Estructuras de Materiales Compuestos 6...Introducción 2 Estructuras de Materiales Compuestos -...

Ing. Gastón Bonet - Ing. Cristian Bottero - Ing. Marco Fontana

Estructuras de Materiales Compuestos

Resistencia de láminas

Introducción

2

Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas

• Las láminas de compuestos son, en general, muy resistentes en la dirección de las fibras, y poco resistentes a cargas transversales o de corte en el plano.

• Los compuestos pueden sufrir diferentes tipos de fallas. Éstas pueden ocurrir en las fibras, la matriz o la interfase.

• Las fallas en la fibra son en general catastróficas llevando a la fractura del laminado.

• Las fallas en la matriz pueden ocurrir a una carga bastante menor a la de fractura del laminado.

• Estamos interesados en el comportamiento macroscópico de la falla de la lámina

Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP

Tracción longitudinal

3


• En tracción longitudinal, la fibra y la matriz trabajan en paralelo, es decir, a la misma deformación específica en la dirección longitudinal

• La fase con menor deformación de rotura fallará primero

• Recordando la expresión de micromecánica, la tensión presente en cada fase será:


s1

sf

sm

sm

1 m m f fV Vs s s

sm, sf = tensión media en la matriz y fibra respectivamente

Vm, Vf = fracción volumétrica de matriz y fibra respectivamente


4


• Primer caso: deformación última de la fibra menor a la deformación última de la matriz


s1

sf

sm

sm

1

1max

1max max

m m f f

u

ft

m

f f m

f

V V

EV V

E

s s s

s s

u u

ft mt s1

1

fibras

matriz

f max mmax

sfmax

sfmax


5


• En la realidad, no todas las fibras rompen al mismo tiempo

• La rotura de una fibra modifica la tensión localmente, afectando también a las fibras adyacentes

• El efecto global reduce el ancho portante en 2d



6


Dependiendo de las propiedades de los constituyentes, la rotura de una fibra produce diferentes tipos de fallas locales:

1. Fisura de la matriz transversal a la carga (matriz frágil - interfase resistente)

2. Pérdida de adherencia entre la matriz y la fibra (interface débil - alta deformación a rotura de la matriz)

3. Fisuras cónicas en la matriz (matriz dúctil - interfase resistente)



7


A medida que se incrementa la carga, se incrementa la densidad de roturas puntuales, y la interacción produce fallas adyacentes.

Estas últimas a su vez interactúan para propagar una rotura catastrófica.

En la práctica, se oyen las fallas puntuales y la rotura catastrófica genera un ruido muy fuerte.



8


• Segundo caso: deformación última de la fibra mayor a la deformación última de la matriz


s1

sf

sm

sm

s1

1

fibras

matriz

f maxmmax

sfmax

sfmax

u u

ft mt

1

1max

1max max

m m f f

u

mt

f

m m f

m

V V

EV V

E

s s s

s s


9


• La falla inicia con la formación de múltiples fisuras de la matriz.

• Estas fisuras producen estados tensionaleslocalizados, con altas tensiones de corte en la interfase fibra - matriz

• En consecuencia se producen pérdidas de adherencia fibra - matriz, y roturas singulares de fibras.


Compresión longitudinal

10


• La falla esta asociada con el micropandeo de las fibras dentro de la matriz (pandeo en un medio elástico)

• Existen numerosos modelos propuestos para estimar la ocurrencia de dicho fenómeno

• Las tensiones de flexión generadas en las fibras llevan a la formación de bandas de falla (kink bands)


Compresión longitudinal

11


Kink bands


La desalineación de las fibras reduce drásticamente la resistencia a compresión longitudinal del compuesto

Tracción transversal

12


• Estado de tensión más crítico

• Caracterizado por la alta concentración de tensiones en la matriz y la interfase

• Dichas concentraciones se superponen a las tensiones residuales de la contracción de la matriz y a los efectos higrotérmicos

• La falla se caracteriza por fisuras en la matriz y pérdida de adherencia de la matriz



13


Las tensiones residuales del curado poseen gran influencia sobre la resistencia del compuesto a tracción transversal



14



Compuesto acondicionado en cámara térmica y ensayado en tracción transversal a temperatura

ambiente

Compresión transversal

15


• La resistencia a compresión transversal suele ser mayor a la de tracción transversal

• La falla se suele producir en la matriz por corte o compresión

• Altas tensiones de corte en la interfase pueden generar pérdida de adherencia de la fibra y la matriz.


Corte en el plano

16


• Bajo cargas de corte en el plano se generan altas tensiones de corte en la interfase produciendo la falla por corte en la matriz o la pérdida de adherencia de la fibra y la matriz.

• Existen numeroso modelos para estimar la resistencia a corte en el plano


Cargas fuera del plano

17


• Las cargas fuera del plano pueden ser s3 , t4 , t5

• El plano 23 es un plano de isotropía

• Los modos de falla correspondientes a s3 en tracción y compresión serán los mismos correspondientes a tracción transversal y compresión transversal respectivamente

• El modo de falla correspondiente a t5 será equivalente al modo de falla correspondiente al corte en el plano


Cargas fuera del plano

18


• El estado de carga t4 es equivalente a una tracción y compresión de igual magnitud en un sistema tomado a 45°

• Debido a que la resistencia a tracción transversal es menor a la de compresión transversal, la falla se presentará como una falla de tracción transversal, pero con un plano de falla a 45°

• Sin embargo, la carga de falla será menor a la de tracción transversal debido a que el estado de carga en el sistema rotado es combinado


2

3

t4 3' 4s t

2 ' 4s t

Estados de carga fundamentales

19



1

2

s1 > 0 s1 < 0

s2 > 0 s2 < 0

t6 > 0

t6 < 0

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

Anisotropía

20


• La resistencia de la lámina es una propiedad anisótropa

• La resistencia de la lámina es diferente para cada estado de carga fundamental

• En tensión plana, la resistencia se puede caracterizar por cinco parámetros de resistencia


Parámetro Denominación

Resistencia a tracción longitudinal F1t

Resistencia a compresión longitudinal F1c

Resistencia a tracción transversal F2t

Resistencia a compresión transversal F2c

Resistencia a corte en el plano F6

Anisotropía

21


Las resistencias definidas corresponden a los ejes principales de la lámina: sistema 123


Parámetro Denominación

Resistencia a tracción longitudinal F1t

Resistencia a compresión longitudinal F1c

Resistencia a tracción transversal F2t

Resistencia a compresión transversal F2c

Resistencia a corte en el plano F6

1

2

3

Anisotropía

22


La resistencia a corte es indiferente al signo en el sistema 123


t6 > 0

1

2

t6 < 0

1

2

6xs t

6ys t

6xs t

6ys t

Anisotropía

23


La resistencia a corte no es indiferente al signo en el sistema XYZ


X

Y

ts > 0

X

Y

ts < 0

1 ss t

2 ss t

1 ss t

2 ss t

1

2

1

2

Criterios de falla

24


• Hemos visto que, bajo los estados de carga fundamentales, podemos obtener la resistencia mediante ensayos o por medio de modelos micromecánicos

• En general, los estados de carga presentes en las láminas de un laminado no son los fundamentales sino combinaciones de éstos

• Existen diversos criterios para estimar la resistencia de una lámina bajo carga combinada


Criterios de falla

25


Los criterios de falla de lámina se pueden dividir en tres grupos

• Criterios no interactivos: no se considera una interacción entre los modos de falla. Predicen el modo de falla.

• Criterios interactivos: se considera la interacción entre modos. La resistencia se estima mediante una expresión en la que intervienen diferentes modos. No queda identificado el modo de falla

• Criterios basados en el modo de falla: las expresiones

para la falla de fibra y de matriz son diferentes.


Criterio de tensión máxima

26


La falla ocurre cuando al menos una de las componentes de tensión en el sistema de ejes materiales de la lámina alcanza el valor de resistencia correspondiente.


666

555

444

333

222

111

FF

FF

FF

FF

FF

FF

tc

tc

tc

t

t

t

s

s

s


27


Si el material posee un plano de isotropía transversal 23


2 3

2 3

5 6

t t

c c

F F

F F

F F

4 2tF F

2

3

t43' 4s t

2 ' 4s t


28


En un caso de tensión plana, para cualquier tensión de corte t6 F6 la envolvente de falla es la siguiente


s1

s2

F2t

F2c

F1c F1t

s2s2

s1

s1


29Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP

Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina

1

x

y

2z=3

q

2 2

1

2 2

2

2 2

6

2

' 2 0

0

xm n mn

n m mn

mn mn m n

s s

s s

t

2

1

2

2

6

cos

cos

x

x

x

sen

sen

s s q

s s q

t s q q

Ejemplo de cálculo


30Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP


1 1

2 2

2 2

2 2

6 6

cos cos

cos cos

c t

x

c t

x

x

F F

F F

sen sen

F F

sen sen

sq q

sq q

sq q q q

Conocidas las tensiones en los ejes materiales de la lámina, podemos aplicar el criterio de falla para saber a qué tensión sx

se produce la falla del material


31

Ejemplo



Calcule utilizando el criterio de tensión máxima, la resistencia a tracción (sx

max) de una lámina unidireccional cuyas fibras están orientadas a 15° con respecto al eje x.

12

y

x sxsx

1

1

2

2

6

726

302

97.6

127

51.5

t

c

t

c

F MPa

F MPa

F MPa

F MPa

F MPa


32

Ejemplo



Comenzamos calculando las tensiones en los ejes principales de la lámina

2 2

1

2 2

2

2 2

6

2 0.933 0.067 0.5

' 2 0 0.067 0.933 0.5 0

0 0.25 0.25 0.866 0

0.933* 0.067*0 0.5*0

0.067* 0.933*0 0.5*0

0.25* 0.25*0 0.8

x x

x

x

x

m n mn

n m mn

mn mn m n

s s s

s s

t

s

s

s

0.933*

0.067*

66*0 0.25*

x

x

x

s

s

s

Ahora debemos determinar si la falla se produce por tracción longitudinal, tracción transversal o corte.


33

Ejemplo



La falla por tracción longitudinal se producirá cuando:

La falla por tracción transversal se producirá cuando:

La falla por corte se producirá cuando:

Tomamos el mínimo de los valores calculados ya que la falla por corte ocurrirá antes que las fallas por tracción transversal y tracción longitudinal

max 778x MPas

max 1457x MPas

max 206x MPas

max 206x MPas

MPa F xt 726933.0 max

11 ss

MPa F xt 6.97067.0 max

22 ss

MPa- F x 5.5125.0 max

66 st

Criterio de deformación máxima

34


La falla ocurre cuando al menos una de las deformaciones medidas en el sistema de ejes materiales de la lámina alcanza el valor de la deformación específica máxima del ensayo uniaxial.


1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

5 5 5

5 5 5

u u

c t

u u

c t

u u

c t

u u

u u

u u


35


Las deformaciones máximas dependen directamente de las tensiones máximas


1 1

1 1

1 1

2 2

2 2

2 2

3 3

3 3

3 3

4

4

12

5

5

12

6

6

12

u uc t

c t

u uc t

c t

u uc t

c t

u

u

u

F F

E E

F F

E E

F F

E E

F

G

F

G

F

G

3121

1 2 3

3212

11 1 2 3

2 13 23

1 2 33

4

235

6

13

12

10 0 0

10 0 0

010 0 0

0

010 0 0 0 0

0

010 0 0 0 0

10 0 0 0 0

utt

E E E

FE E E

E E E

G

G

G

uu

uu

u u

Tensión simple


36


En el caso de tensión combinada, de acuerdo a este criterio, existe cierta interacción debido al efecto Poisson.


3121

1 2 3

3212

1 11 2 3

2 213 23

3 31 2 3

4 4

235 5

6 6

13

12

10 0 0

10 0 0

10 0 0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

E E E

E E E

E E E

G

G

G

uu

uu

s

su u

s

t

t

t

Tensión combinada


37


Asumiendo un estado combinado, las ecuaciones explícitas son:


31 2

1 21 31 1 12 2 13 3

1 2 3 1

31 2

2 12 32 21 1 2 23 3

1 2 3 2

31 2

2 13 23 31 1 32 2 3

1 2 3 3

5 64

4 5 6

23 13 12

1

1

1

E E E E

E E E E

E E E E

G G G

ss s u u s u s u s

ss s u u u s s u s

ss s u u u s u s s

t tt


38


Acotando las deformaciones a las máximas, pero expresado en función de las tensiones máximas


1 1 12 2 13 3 1

2 21 1 2 23 3 2

3 31 1 32 2 3 3

4 4 4

5 5 5

6 6 6

c t

c t

c t

F F

F F

F F

F F

F F

F F

s u s u s

u s s u s

u s u s s

t

t

t


39


En un caso de tensión plana, para cualquier tensión de corte t6 F6 la envolvente de falla es:


F2t

F2c

F1c F1t

s2

s2s2

s1

s12 21 1 2tFs u s

2 21 1 2cFs u s

Criterio de Tsai-Hill

40


• Considera interacción

• Es una adaptación de los criterios energéticos conocidos para materiales isótropos

• Hill propuso una modificación del criterio para metales dúctiles anisótropos

• Azzi y Tsai adaptaron este criterio para materiales compuestos. A,B,C y D son parámetros característicos del material función de las resistencias fundamentales


2 2 2

1 2 1 2 yps s s s s

2 2 2

1 2 1 2 6 1A B C Ds s s s t

Criterio de Von Mises para tensión plana. Componentes principales de tensión.


41


Del ensayo uniaxial de tracción longitudinal a rotura se obtiene


2

1 1tAF 2

1

1

t

AF

0

0

6

2

1

F 1t

u

t

s

s

Del ensayo uniaxial de compresión longitudinal a rotura se obtiene

2

1 1cAF 2

1

1

c

AF

0

0

6

2

1

F- 1c

u

t

s

s

El parámetro A toma diferentes valores de acuerdo al signo de la tensión normal s1


42


Del ensayo uniaxial de tracción transversal a rotura se obtiene


0

0

6

2

1

F

2t

u

t

s

s

Del ensayo uniaxial de compresión transversal a rotura se obtiene

El parámetro B toma diferentes valores de acuerdo al signo de la tensión normal s2

2

2 1tBF 2

2

1

t

BF

2

2 1cBF 2

2

1

c

BF

0

0

6

2

1

F-

2c

u

t

s

s


43


Del ensayo de corte puro en el plano a rotura se obtiene


6

u F

6

2

1

0

0

t

s

s

El parámetro D es independiente del signo de la tensión t6

2

6 1DF 2

6

1D

F


44


El parámetro C que considera la interacción entre las tensiones s1 y s2 debe ser obtenido de ensayos.

Sin embargo, si se supone un estado biaxial de s1 = s2 y t6 = 0se puede aproximar por el criterio de tensión máxima. Como la resistencia en la dirección transversal es mucho menor que la resistencia en la dirección longitudinal, el material fallará cuando la tensión alcance el valor F2.


2 2

22 2

22 2

1 2

1F F

CFF F

2

1

1C

F

El parámetro C toma diferentes valores de acuerdo al signo de la tensión normal s1


45



2 2 2

1 2 1 2 6 1A B C Ds s s s t

12

1

12

1

10

10

t

c

siF

A

siF

s

s

22

2

22

2

10

10

t

c

siF

B

siF

s

s

12

1

12

1

10

10

t

c

siF

C

siF

s

s

2

6

1D

F


46



Tomando valores de t6 podemos ver que la ecuación describe cuatro ecuaciones de elipse (una en cada cuadrante)

22 2

61 2 1 2

2 2 2 2

1 2 1 6

1F F F F

ts s s s

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x 109

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

7

s1

s2


2 2

21 2 1 2

2 2 2

1 2 1

1 kF F F

s s s s

Criterio de Tsai-Wu

47



• Tsai y Wu propusieron un criterio más general para considerar la interacción.

• Explícitamente para tensión plana:

• Como el signo de la tensión de corte no debe influenciar el criterio, se tiene:

Donde fi y fij son tensores de primer y segundo orden respectivamente

1i i ij i jf fs s s

2 2 2

1 1 2 2 6 6 11 1 22 2 66 6

12 1 2 16 1 6 26 2 62 2 2 1

f f f f f f

f f f

s s t s s t

s s s t s t

6 16 260 0 0f f f

Criterio de Tsai-Wu

48



• Realizando las simplificaciones anteriores, la falla se asume cuando:

• Considerando los casos de falla en tensión uniaxial longitudinal de tracción y compresión:

2 2 2

1 1 2 2 11 1 22 2 66 6 12 1 22 1f f f f f fs s s s t s s

1 1

2

2 1 1 11 1 1

1 1

6

1 1

2112 1 1 11 1

1 1

6

1 10 1

0

10 1

0

t

t t

t c

c

c ct c

F

f F f F fF F

F

ff F f FF F

s

s

t

s

s

t

Criterio de Tsai-Wu

49



• Considerando los casos de falla en tensión uniaxial transversal de tracción y compresión:

• Considerando corte puro hasta la falla:

1

2

2 2 2 2 22 2 2

2 2

6

1

2222 2 2 2 22 2

2 2

6

01 1

1

0

01

1

0

t t t

t c

c c ct c

F f F f F fF F

fF f F f FF F

s

s

t

s

s

t

1

2

2 66 6 66 2

6

6 6

01

0 1f F fF

F

s

s

t

Criterio de Tsai-Wu

50



• Para obtener f12 es necesario realizar un ensayo biaxial. Sin embargo, dicho ensayo es generalmente complicado de implementar, y por lo tanto, los resultados son poco confiables. En la práctica, se utiliza la siguiente aproximación:

Se ha demostrado que típicamente para compuestos de vidrio o carbono:

Viendo esta relación, se puede definir un factor adimensional f12*

En la práctica se puede asumir f12* = 0 ó f12* = -0.5 para evitar la realización de los ensayos biaxiales:

12

11 22

0.9 0f

f f

* *12

12 12 12 11 22

11 22

ff f f f f

f f

Criterio de Tsai-Wu

51



La ventaja de este criterio es que sólo se necesita una ecuación para representar la envolvente completa.

Para valores de t6 constantes representa la ecuación de una elipse de ejes rotados.

2 2

1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

2 *

6 12 1 22

1 1 2 26

1 1 1 1 1 1

1 12 1

t c t c t c t c

t c t c

F F F F F F F F

fF F F FF

s s s s

t s s

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x 109

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

7

s1

s2

Criterio de Tsai-Wu

Comparación off-axis

52



Comparación de criterios

53



-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x 109

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

7

s1

s2

Criterios de falla - Comparación

6 0t

Criterio basados en el modo de falla

54



• Los modos de falla de fibra y de matriz o interfase son fenómenos físicos diferentes

• Los modos de falla de fibra están asociados a la tensión s1

(rotura de fibra en tracción - micropandeo en compresión)

• Los modos de falla de matriz o interfase están asociados a las tensiones s2 y t6

• Puck desarrolló un criterio muy aceptado que considera además no-linealidad del material. La falla de matriz o interfase esta basado en el criterio de Mohr, y el criterio predice el plano de fractura.

Criterio de Hashin - Rotem

55



Hashin y Rotem presentaron un criterio que diferencia estos fenómenos

1 1

1

1 1

0

0

t

c

F siF

F si

s

s

1

1

1F

s

22

62

2 6

1F F

ts

2 2

2

2 2

0

0

t

c

F siF

F si

s

s

s2

s1

Validación experimental

56



• Existen numerosos criterios además de los mostrados anteriormente para estimar la resistencia de láminas anisótropas bajo cargas combinadas

• Hinton, Soden y Kaddour organizaron el “Worldwide Failure Exercise” que duró 12 años, con el fin de comparar la capacidad de predicción de cada criterio

• Como resultado, se observó que el criterio de Tsai-Wu es uno de los más acertados en comparación con los resultados experimentales

• Cuadrante a cuadrante varía la precisión de los diferentes criterios dependiendo también del material


57




58




59



Diferentes enfoques

60



Máxima deformación

Máxima tensión

Máxima tensión

Tsai-Wu

s2

s1

Híbrido

Diferentes enfoques

61



Conservativo

Máxima tensión

Máxima deformación

Teoría interactiva

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