1ETSII-UPM

Clculo matricial de estructuras reticulares planas con Matlab

Matemticas de la Especialidad (Mecnica - Mquinas)Madrid, 23 de octubre de 2000

Prof: Javier Garca de Jaln

ETSII-UPM

Estructuras reticulares planasq Hiptesis de partida:

La estructura est contendida en el plano vertical x-y, y la gravedad acta en la direccin negativa del eje y.

Todas las cargas exteriores y el peso propio actan en el plano de la estructura. Las deformaciones de la estructura son pequeas frente a las dimensiones. Se

puede por ello suponer que la posicin de equilibrio de la estructura deformada coincide con la posicin inicial. El equilibrio de fuerzas habra que plantearlo en la posicin final o deformada, que no es conocida, por lo que el problema se complicara muchsimo (se hace no lineal).

q Por tanto se supone que el problema es lineal y se aplica el Principio de Superposicin: Si se duplican las fuerzas, las deformaciones se duplican tambin. Las deformaciones que resultan de aplicar dos o ms sistemas de fuerzas

simultneamente son la suma de las deformaciones que resultan de aplicar cada sistema de fuerzas por separado.

Un problema lineal de estas caractersticas conduce a un sistema de ecuaciones lineales del tipo: [ ]{ } { }fxK =

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Datos necesarios para el clculoq Se presentarn por medio de un ejemplo sencillo:

=

072048

1548024

152400

COOR

=

65

64

54

53

52

42

32

31

21

BARS

1

2 4

3 5 6

1

2

3

4

5

6

78

9

24 24 24

15

{ }forces= 0 0 0 -10 0 0 0 0 0

{ }fixed= 1 2 12

{ }xcon= 0 0 0,E A

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Fichero de Datos para Matlab% fichero datos1.mCOOR=[0 0

2 32 04 34 06 36 08 0];

EA= 10E+07; %(kg/cm*cm)*cm*cm

BARS = [1 2 EA1 3 EA2 3 EA2 4 EA2 5 EA3 5 EA4 5 EA4 6 EA5 6 EA5 7 EA6 7 EA6 8 EA7 8 EA];

forces=[0 0 0 0 0 -30 0 0 ...0 0 0 0 0 -30 0 0]';

% grados de libertad fijosfixed=[1, 2, 16]';

% valores de los desplazamientos% conocidosxcon=[0, 0, 0]';

% factor de escala para dibujar la% deformadafac=300000;

% llamada al programa de clculoestruct

Coordenadas de los 8 nudos

Nudos y producto EA

para cada barra

Fuerzas que actan en los 8 nudos

Grados de libertad con

desplazamiento conocido

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Matriz de rigidez de la estructura

1

2

4

3 5 6

d8=1

k38

k48

k78

k88

k10,8

k12,8

k11,8

11 12 13 1 1

21 22 23 24 25 2 2

31 32 33 35 3 3

42 44 45 46 4 4

52 53 54 55 56 5 5

64 65 66 6 6

0 0 0

0

0 0

0 0

0

0 0 0

k k k x f

k k k k k x f

k k k k x f

k k k k x f

k k k k k x f

k k k x f

=

q Significado de la columna ide la matriz de rigidez [K]: fuerzas que mantienen un desplazamiento unidad segn el gdl i y cerosegn todos los dems gdl.

q Estas fuerzas pueden calcularse sumando las contribuciones de cada elemento:

[ ]{ } [ ]{ } { }i ii= =K x k x f

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Matriz de rigidez de un elemento [KE]

q Tiene la expresin general y significado fsico siguientes:

q Esta expresin general es difcil de calcular directamente para una barra en una posicin cualquiera.

dix

djxdiy

djy

i

j

x

y

=

jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

ij f

f

f

f

kkkk

kkkk

kkkk

kkkk

dd

dd

44434241

34333231

24232221

14131211

2ETSII-UPM

Matriz de rigidez de un elemento [KL]q Si la barra est sobre el eje x, su matriz de rigidez es fcil de calcular

q Esta matriz puede transformarse ahora a unas coordenadas diferentes

x

y

dix=1

diy=1

djy=1

djx=1

LEA

-

LEA

LEA

-

LEA

1 0 1 0

0 0 0 0

1 0 1 0

0 0 0 0

ij

ijij

EA

L

- = -

K

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Cambio de coordenadas

q Relacin entre las coordenadas locales y generales:

q La ecuacin de equilibrio en coordenadas locales:

a

x

y

x

y

i

j

a x

y

x

y

x

xy

y

-

=

y

x

cossen

sencos

y

x

aaaa [ ]x c s x x

y s c y y

= - R

=

j

i

j

i

jjji

ijii

f

f

kk

kk

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Matriz de rigidez en coordenadas globales

=

j

i

j

i

jjji

ijii

f

f

R

R

R

R

kk

kk

0

0

0

0

=

=

j

i

j

i

j

i

jjji

ijii

f

f

f

f

R

R

R

R

R

R

kk

kk

R

R0

0

0

00

0

0

0T

T

T

T

=

R

R

kk

kk

R

Rkk

kk

jjji

ijii

jjji

ijii

0

0

0

0T

T

q Introduciendo el cambio de coordenadas para desplazamientos y fuerzas:

q Premultiplicando por la matriz de cambio de coordenadas traspuesta:

se obtiene finalmente, para la matriz de rigidez de la barra:

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Ensamblaje de la Matriz de Rigidezq Las matrices de rigidez de cada elemento se suman teniendo en

cuenta los grados de libertad que afectan a dicho elemento:

1

2 4

3 5 6

1

2

3

4

5

6

78

9

1 2 3 4

12

34

56

78

910

1112

5 6 7 8 9 10 11 12

1 2 3 4

12

34

34

910

3 4 9 10

[ ]{ } [ ]{ } { }ii

= = k x K x f

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Resolucin del sistema de ecuaciones finalq En los gdl en los que se conocen las fuerzas (fc) se desconocen los

desplazamientos (xc) y viceversa:

q Desarrollando este sistema matricial de ecuaciones:

q De donde se puede obtener:

=

d

c

d

c

dddc

cdcc

f

f

x

x

kk

kk

( ) ( )1 \-= - -c cc c cd d cc c cd dx k f k x k f k x

ddddcdc fxkxk =+cdcdccc fxkxk =+

= +d dc c dd df k x k x

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Esfuerzos en las barrasq Para cada barra se pueden calcular las fuerzas en los nudos que

producen los desplazamientos ya calculados:

q A partir de estas fuerzas puede calcularse el esfuerzo axial proyectando sobre la barra:

fix

fjx

fiy fjy

i

j

x

y

a

{ } { }e e e = K x f

aa sencos iyix fff +=