Estimación

Diferencia de dos medias Estimación de muestra pequeña: distribución t Estimación de proporciones Estimación de la varianza de una población normal

Diferencia de dos medias Comparemos dos medias de población calculando su

diferencia Un valor estimado razonable es la diferencia entre las

medias muestrales

),(

),(

2

22

22

1

21

11

2121

nNX

nNX

XX

Independencia del muestreo

2

22

1

21

21

2121

22

212121

)var(

)var()var()var(

)var()var()var(

)()()(

)()()(

nnXX

XXXX

YbXabYaX

XEXEXXE

YbEXaEbYaXE

Combinación lineal de dos v. aleatorias X e Y

MEDIA

VARIANZA

TEOREMA:Si X e Y son normales, entonces cualquier combinación lineal Z= a X+ b Y también es una var. aleatoria normal

2

22

1

21

2121 ,)(nn

NXX

Intervalo de confianza para la diferencia entre medias

2

22

1

21

2121

2

22

1

21

2121

96.1)(

,)(

nnXX

:confianza de 95% con intervalo

nnNXX

Estimación de muestra pequeña: la distribución t

Se supone que las poblaciones originales son normales

n<30 Conocida:

s: desviación standard de la muestra Desconocida:

σ: desviación standard de población

Para muestras grandes, el intervalo de confianza del 95% es:

n

szX 95.0

A cuánto se tiene que aumentar el valor estimado del intervalo para muestras pequeñas?

La Distribución t

ns

Xt

n

XZ

Student de t variablela introduce se

:adaestandariz normal variablela construye se

Comparación entre la distribución normal standard y la t

Grados de libertad de un estadístico Se define como el número de observaciones

independientes en la muestra N menos el número k de parámetros en la población, el cual debe ser estimado de las observaciones de la muestra.

1

ón tdistribuci la para

..

N

kNfd

Intervalo de confianza del 95%

libertad de grados 1con

superior extremo elen

adprobabilid de 2.5% deja que crítico valor el es

025.0

n-

tn

stX

Puntos críticos

Diferencia entre dos medias- (µ1 - µ2) Muestras independientes

Se supone que las dos poblaciones tienen: Medias diferentes Varianza común σ2

Si se conoce σ2 puede usarse:

Si se desconoce, hay que calcularla.

21

2121

1196.1)(

nnXX

La estimación apropiada consiste en sumar todas las desviaciones cuadráticas de ambas muestras y después dividirlas entre los d.f. (n1-1)+ (n2-1), para obtener un estimador no sesgado.

2

11

2

1

21025.0

21025.0212

2

1

2

122

2

111

21

221

nn d.f. con crítico valor el es t

nnstXX

:95% del confianza de intervalo

2 muestra la en nobservació ésima-i X

1 muestra la en nobservació ésima-i X

XXXXnn

s

:es conjunta muestral varianza la

P1

i

i

n

ii

n

iiP

Se requiere el uso de la distribución t

Ejemplo: extracción y análisis de dos grupos de calificaciones en dos grupos numerosos

1175

584186398

)234(

1

2

1

2

2

122

2

111

21

221

P

n

ii

n

iiP

s

XXXXnn

s

Se calcula el intervalo de confianza del 95%:

1.210.143

1

4

111757.20.600.74

11

2

2

21025.0212

1

1

P1 nnstXX

• La gran diferencia entre medias muestrales queda oscurecida por una tolerancia de error de muestreo aún más grande

• Esta tolerancia es consecuencia de la pequeñez de las muestras

•Este procedimiento requiere:

•muestras independientes (no considerar alumnos que estudian juntos)

•que la varianza de las calificaciones sea la misma en los dos cursos

Diferencia entre dos poblaciones(muestra única)

libertad de grados 1con superior extremo

elen adprobabilid de 2.5% deja que críticovalor :

025.0

21

n-

tn

stD

XXD

D

Estimación de proporciones

población de proporción :

superior extremo elen adprobabilid de 2,5% deja que crítico valor :z

)1(zP

95% del confianza de intervalo

1-0población una de extraída muestral media- muestral proporción :P

grande) ( grandes Muestras

0.025

0.025

n

PP

n

Estimación de proporciones

n

PP

nPP

n

198.0P

muestreo de a tolerancila de máximo valor :41

)1(

superior extremo elen adprobabilid de 2,5% deja que crítico valor :1.96t

)1(tP

95% del confianza de intervalo

1-0población una de extraída muestral media- muestral proporción :P

)100(50 grandes temedianamen Muestras

0.025

0.025

Muestras pequeñas: gráficos

Diferencia entre dos proporciones

superior extremo elen adprobabilid de 2,5% deja que crítico valor :1.96t

)1()1(t)P()(

95% del confianza de intervalo

1-0población una de extraída muestral media- muestral proporción :P

grandes Muestras

0.025

2

22

1

110.0252121

n

PPn

PPP

Estimación de varianza de una población normal

muestra la de standard desviación :s

población la de standard desviación :

modificada cuadrado chi variablede Def.

2

22

s

Distribuciones de Ҳ2 modificada

Puntos críticos

Intervalo de confianza para σ2

asimétrico confianza de intervalo :nuevo caso325.005.2

10..11 para ejemplo2

22

2975.0

22

2025.0

2

ss

fdn

Cs

Cs

Lectura obligatoria

Teoría de muestreo:

Spiegel págs 161-175 Teoría de muestras pequeñas:

Wonnacott págs 179-198