Estadística Descriptiva: 3. Análisis Bivariado Ricardo Ñanculef Alegría Universidad Técnica...

Estadística Descriptiva:3. Análisis Bivariado

Ricardo Ñanculef AlegríaUniversidad Técnica Federico Santa María

Estadística Descriptiva Objetivo

• Obtener información desde una muestra, que permita entender o formular hipótesis acerca del fenómeno que se estudia.

• Tipos de Análisis:

• Describir cómo se comporta una variable• Describir cómo una variable (digamos explicativa) afecta el comportamiento de a otra (digamos dependiente)• Describir cómo interaccionan varias variables

Estadística Descriptiva Objetivo

• Obtener información desde una muestra, que permita entender o formular hipótesis acerca del fenómeno que se estudia.

• Tipos de Análisis:

• Análisis Univariado• Análisis Bivariado• Análisis Multivariado

Estadística Descriptiva Ejemplos de Análisis Bivariado

• Hipotesis Preliminar que Guía el Análisis: La probabilidad de muerte del feto en un embarazo se ve influenciada (aumenta) con el nivel de estrés de la madre.

• Posible experimento. 1. Tomamos una muestra de casos clínicos. 2. Separamos la muestra en dos grupos: (A) madres con estrés y (B) madres sin estrés. 3.Medimos la frecuencia de muertes en cada grupo4.Comparamos ambas frecuencias.

Estadística Descriptiva Análisis de Muestras Estratificadas

• Lo anterior es un ejemplo de Análisis Estratificado:

• Se divide una muestra de acuerdo al valor de una variable que llamaremos variable estratificadora X.• Se estudia el comportamiento de otra variable de interés Y en cada subgrupo o estrato. • Se da cuenta de cómo cambia el comportamiento de Y al cambiar de estrato X.

• El análisis estratificado pretende mostrar cómo cambia una variable (Y) cuando cambia otra (X). • En el estudio con las embarazadas:

• Estratificadora (X): Presencia o ausencia de estrés.• Dependiente (Y): Presencia o no de muerte fetal.• Se determina cómo cambia el promedio de Y (tasa de muerte) cuando cambiamos de estrato.

• ¿Qué tal si la hipótesis fuera?: “La probabilidad de muerte fetal depende del número de sueño de la madre en el período de gestación”.

• ¿Cómo estratificamos la muestra? El problema es que la variable explicativa (X=horas de sueño) es ahora continua.

• Idea: Si la variable explicativa es continua, definir categorías de valores posibles y separar la muestra de acuerdo a ellas.

• ¿Cómo determinar las categorías?:

• juicio o conocimiento previo: estrato económico, partido político, niveles normales/anormales. • criterio estadístico: como el utilizado construir histogramas (organizar por clases).

Estadística Descriptiva Análisis de Muestras Estratificadas • Ejemplo: En la muestra se registraron las siguientes horas de sueño promedio durante los últimos 6 meses de gestación: 8.0, 8.5, 11.0, 6.5, 7.2, 6.2, 10.0, 10.5, 9.2, 9.5, 6.0, 7.2, 6.9, 6.4, 12.5, 10.8

con k = 3 R = 12.5 – 6.0 = 6.5A = (R + 1) / 3 = 2.5

Límites

5.5 - 8.08.0 - 10.510.5 – 13.0

6.759.25

• Una vez que ya hemos estratificado con algún criterio:

¿qué medimos?

• Una vez que ya hemos estratificado con algún criterio: ¿qué medimos?: frecuencias.

• ¿Cuántas observaciones caen en cada estrato?: frecuencias absolutas (n1 , n2 , … , nm) ó relativas (p1 , p2 , … , pm )

• Estas últimas dan el peso del estrato en la muestra total

• Una vez que ya hemos estratificado con algún criterio: ¿qué medimos?: tendencia.

• ¿Cuál es la tendencia en cada estrato?: media, mediana, etc.

• Una vez que ya hemos estratificado con algún criterio: ¿qué medimos?: dispersión.

• ¿Cuál es la dispersión en cada estrato?: varianza, IQR

• Una vez que ya hemos estratificado y analizado el comportamiento de la variables por estrato, es útil presentar las estadísticas de manera gráfica, e.g. box-plots.

• Box-plots por cada estrato

• Una forma de medir el efecto de la variable presuntamente explicativa (X) sobre la explicada (Y) es el Análisis de Varianza.

• Idea: si la presunta variable estratificadora X explica bien la otra variable Y, ésta última no debiera ser muy variable con X constante en comparación con el cambio observado al cambiar X

• Análisis de Varianza:

• Varianza Intra-Estratos: dentro de los grupos.

Varianza no explicada por la variable estratificadora

Ponderamos por el peso del estrato!!!

• Varianza Inter-Estratos: entre los grupos.

hh YYp

Varianza explicada por la variable estratificadora

media de cada grupo inducido por la variable explicativa X

media total o promedio ponderado de las medias por grupo.

nhYpY1

• Varianza Inter-Estratos: entre los grupos.

hh YYp

Varianza explicada por la variable estratificadora

Ponderamos por el peso del estrato!!!

• Varianza Muestral Total:

hhhT YYpVpV

iT YYn

interintra VVVT

Varianza Muestral Sin Estratificar

• Cuociente de Varianza Explicada:• Medida de la calidad de la variable estratificadora X como variable explicativa para Y • Para todo lo anterior necesitamos que Y sea continua, pero X puede ser continua o discreta, numérica o cualitativa.

inter/VVT

• Ejemplo de Análisis de Varianza:

Consideremos la siguiente hipótesis de estudio: Caminar ayuda a mantener un índice de grasa corporal adecuado.

Para validar la hipótesis se tomó una muestra de 16 hombres, encuestándolos acerca del número de horas caminadas a la semana y midiendo su % de grasa corporal. La muestra es la siguiente:

horas (H) % grasa (G) horas (H) % grasa (G)

4 18.9 2 22.5

1.5 24.8 6.5 18.0

5 17.5 0.5 27.2

1 26.2 0.9 25.5

4.2 18.2 3 20.8

6 18.4 5 21.8

2.5 21.4 4 22.6

7 17.4 3.5 21.0

3875.21G7898.9TV

Decidimos estratificar la muestra de acuerdo al número de horas caminadas, considerano 3 clases para el conjunto de valores de esta variable:

R = (7-0.5) = 6.5A = (R + 1)/3 = 2.5

clase Límites frecuencia

1 (0, 2.5] 0.3750

2 (2.5, 5] 0.4375

3 (5, 7.5] 0.1875

Estratificamos por cada clase de valores para la variable “horas caminadas” generandose 3 submuestras

1.5 24.8

1 26.2

2.5 21.4

2 22.5

0.5 27.2

0.9 25.5

Estrato 1

4 18.9

5 17.5

4.2 18.2

3 20.8

5 21.8

4 22.6

3.5 21.0

Estrato 2

6 18.4

7 17.4

6.5 18.0

Estrato 3

Medimos las medias y las varianzas por estrato:

clase límites frecuencia media varianza

1 (0, 2.5] 0.3750 24.60 4.1367

2 (2.5, 5] 0.4375 20.11 3.1784

3 (5, 7.5] 0.1875 17.93 0.1689

Calculamos las varianzas intra e inter

0.16890.18753.17840.43754.13670.375intra V

1 (0, 2.5] 0.3750 24.60 4.1367

2 (2.5, 5] 0.4375 20.11 3.1784

3 (5, 7.5] 0.1875 17.93 0.1689

9735.2intra V

• Ejemplo de Análisis de Varianza:Calculamos las varianzas intra e inter

)G-(17.930.1875

)G-(20.110.4375)G-(24.600.375inter

1 (0, 2.5] 0.3750 24.60 4.1367

2 (2.5, 5] 0.4375 20.11 3.1784

3 (5, 7.5] 0.1875 17.93 0.1689

3875.21G8255.6inter V

Corroboramos la descomposición propuesta:

% de varianza explicada (fracción del cambio en el índice de grasa que explica o predice el número de horas caminadas)

8255.6inter V

9735.2intra Vinterintra7898.9 VVVT

6966.0/inter TVV %)70( Hay una relación bien significativa

• ¿Es valida la relación entre las varianzas cuando estas se calculan normalizando la suma de cuadrados por n-1 en vez de n?

• Cuando entremos en Estadística Inferencial justificaremos porqué es más útil y correcto comparar las sumas de cuadrados

IiT YYS

k Eiki

2intra )(

kkk YYnS

2inter )(

Número de observaciones en el estrato k

Suma sobre los estratos

Suma sobre las observaciones del estrato k

• ANOVA (Análisis de Varianza)Comparamos la variabilidad intra versus la inter

De acuerdo al valor de F podemos aseverar que la variable estratificadora induce cambios en la otra variable con una significancia estadística α

1intra

F Estadístico F de Fisher(m: número de clases)

Análisis de Contingencia o Correspondencia

• Dadas dos variables X, Y dividir los posibles valores de X en k grupos y los posibles valores de Y en s grupos. • Determinar luego las frecuencias conjuntas de cada par formado por uno de los grupos de X y uno de los grupos para Y: con qué frecuencia las observaciones caen en un grupo X y un grupo Y simultáneamente.

Y: B1 B2 … Bs

… Ar

Grupos de valores para Y

Grupos de valores para X

Frecuencia con que en la muestra aparecen observaciones que caen en la categoría i de acuerdo al valor de X y en la categoría j de acuerdo al valor de Y

B1 B2 ..... Bj ..... Bs

A1 n11 n12 ..... n1j ..... n1s

A2 n21 n22 ..... n2j ..... n2s

Ai ni1 ni2 ..... nij ..... nis

Ar nr1 nr2 ..... nrj ..... nrs

• Frecuencias Marginales:

Cuando interesa la frecuencia de una de las variables independiente de lo que pase con la otra hablamos de Frecuencia Marginal de la variable X ó Y

• Frecuencias Marginales por Clases de X

B1 B2 ..... Bj ..... Bs Total

A1 n11 n12 ..... n1j ..... n1s n1

A2 n21 n22 ..... n2j ..... n2s n2

Ai ni1 ni2 ..... nij ..... nis ni

Ar nr1 nr2 ..... nrj ..... nrs nr

• Frecuencias Marginales por Clases de Y

B1 B2 ..... Bj ..... Bs Total

A1 n11 n12 ..... n1j ..... n1s n1

A2 n21 n22 ..... n2j ..... n2s n2

Ai ni1 ni2 ..... nij ..... nis ni

Ar nr1 nr2 ..... nrj ..... nrs nr

Total n1 n2 ..... nj ..... ns n

n = n_

• Frecuencias Marginales:

jiji nn

Frecuencia Absoluta de la clase Ai; i = 1, ,2, ... ,rFrecuencias Independientes de la clases Bj a la que estén asociadas: suma de los valores de la fila i-ésima

iijj nn

Frecuencia Absoluta de la clase Bj; j= 1, ,2, ... ,sFrecuencias Independiente de las clases Ai a la que estén asociadas: suma de los valores de la columna j-ésima

• Tabla de Contingencia con Frecuencias Relativas B1 B2 ..... Bj ..... Bs Total

A1 f11 f12 ..... f1j ..... f1s f1

A2 f21 f22 ..... f2j ..... f2s f2

Ai fi1 fi2 ..... fij ..... fis fi

Ar fr1 fr2 ..... frj ..... frs fr

Total f1 f2 ..... fj ..... fs f

fij nijn

• Frecuencias Relativas Marginales: Análogo al caso de frecuencias absolutas.

jiji ff

Frecuencia Relativa de la clase Ai; i = 1, ,2, ... ,rsuma de los valores de la fila i-ésima de la tabla de frecuencias relativas conjuntas

iijj ff

Frecuencia Relativa de la clase Bj; j= 1, ,2, ... ,ssuma de los valores de la columna j-ésima de la tabla de frecuencias relativas conjuntas

• Frecuencias Condicionales:

Las frecuencias condicionales de una clase Ai (asociada a X) dado un grupo Bj (asociado a Y) corresponden a la proporción de casos de Bj en que se observa Ai

ijji f

• Frecuencias Condicionales:

Las frecuencias condicionales de una clase Bj (asociada a Y) dado un grupo Ai (asociado a X) corresponden a la proporción de casos de Ai en que se observa Bj

ijij f

• Ejemplo

Se tiene la siguiente sospecha: “El consumo de sal sube la presión arterial”. Para ello se toma una muestra de pacientes a quienes se les hace un seguimiento, midiendo ambas variables

X: cucharas de sal consumidas en la semanaY: presión arterial media en la semana

Después de un análisis se decide dividir la variable X en 3 intervalos: bajo, medio, alto. Análogamente, la variable Y se divide en tres intervalos que asociamos a: baja, normal, alta.

• Ejemplo

Después de un análisis se decide dividir la variable X en 3 intervalos: bajo, medio, alto. Análogamente, la variable Y se divide en tres intervalos que asociamos a: baja, normal, alta. Las frecuencias conjuntas en la muestra son las sgtes:

Baja Normal Alta

Bajo 8 8 4

Medio 5 15 5

Alto 1 5 20

Y: presión arterial

• Ejemplo

Las frecuencias conjuntas en la muestra son las sgtes:

Baja Normal Alta

Bajo 8 8 4

Medio 5 15 5

Alto 1 5 20

• Ejemplo

Las frecuencias marginales son las sgtes:

Baja Normal Alta

Bajo 8 8 4 20

Medio 5 15 5 25

Alto 1 5 20 26

14 28 29 71

• Ejemplo

Las frecuencias relativas son las sgtes:

Baja Normal Alta

Bajo 8/71 8/71 4/71 20/71

Medio 5/71 15/71 5/71 25/71

Alto 1/71 5/71 20/71 26/71

14/71 28/71 29/71 1

• EjemploCondicionando a la variable X (consumo de sal)Las frecuencias condicionales son las sgtes:

Baja Normal Alta

Bajo 8/20 8/20 4/20 1

Medio 5/25 15/25 5/25 1

Alto 1/26 5/26 20/26 1

• EjemploCondicionando a la variable X (consumo de sal)

X: Bajo X: Medio X: Alto

0,7 Observamos un claro cambio de la distribución de la presión de acuerdo al consumo de sal

• Frecuencias Condicionales: Proporcionan una forma de medir la influencia de la variable X sobre la variable Y (o viceversa)

• Notar que las frecuencias se normalizan por un número más reducido de casos, que corresponden a los casos en que se observa el condicionante.

• Independencia:Diremos que X es independiente de Y si las frecuencias condicionales de X a las diferentes clases de Y son todas iguales; es decir, no dependen de la clase condicionante

siii fff /2/1/ i

• Independencia:Diremos que Y es independiente de X si las frecuencias condicionales de Y a las diferentes clases de X son todas iguales; es decir, no dependen de la clase condicionante

rjjj fff /2/1/ j

• Observación 1: Si X es independiente de Y

• Similarmente, si Y es independiente de X

• Demostración?

isiii ffff /2/1/ i

iji ff / ji,

jij ff / ji,

• Demostración:

isiii ffff 21

ssiiii fffffff /22/11/

)( 21/ sjii fffff

jii ff /

ijji f

• Observación 2: Si X es independiente de Y

• Demostración

jiij fff

jijjiij fffff /j

ijji f

• Observación 3: Si X es independiente de Y entonces Y es independiente de X

• Demostración

ijij f

• Información Mutua

• Si aceptamos la tabla de contingencia como una distribución aproximada podemos computar la información mutua de X e Y

JIij ff

ffYXI log),(

• Información Mutua

• Si X es independiente de Y, I=0• Si X = Y, I es equivalente a la entropía de X

JIij ff

ffYXI log),(

• Distancia entre las condicionales

• Una forma intuitiva de cuantificar el cambio que induce una variable en la otra es medir las distancias entre las condicionales considerandolas vectores

2/1/2/1/ ),( iiii ffffd

• Al igual que antes es útil analizar la relación entre las variables de manera gráfica.

• Se presentan las frecuencias de una variable (digamos Y), por cada clase de la otra (X)

• También es posible mostrar las frecuencias condicionales en vez de las frecuencias relativas

• Histogramas por clase

Clase 1 (Y)

Clase 2 (Y)

Clase 3 (Y)

X: Clase 1 X: Clase 2 X: Clase 3 X: Clase 4

FrecuenciasRelativas

• Histogramas por clase (apilados)

X: Clase 1 X: Clase 2 X: Clase 3 X: Clase 4

Clase 1 (Y)

Clase 2 (Y)

Clase 3 (Y)

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Estadística Descriptiva: 4. Correlación y Regresión Lineal Ricardo Ñanculef Alegría Universidad Técnica Federico Santa María.

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