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ELECTRICIDAD y MAGNETISMOPROBLEMAS RESUELTOS III
Antonio J. BarberoDpto. Física Aplicada UCLM
C.A. UNED Albacete
2
Cálculo de componentes de un campo magnéticoLa componentes Bj y BZ de un campo magnético, expresadas en coordenadas cilíndricas, están dadas a continuación. Calcular la componente Br de este campo.
0 constante sin
3 ZBA
r
AB
01
· 1
z
BB
rBr
rrB Z
r
u
ru
zu
La divergencia del campo B es cero. Expresada en cilíndricas
Puesto que BZ = 0 tiene que cumplirse
B
rBr
rr r
1 ·
1
Calculamos
B 33
cossin
r
A
r
A
B
Brr r ·
3
cos ·
r
ABr r
Integramos
C
r
drABr r 3
cos ·
C
rA
22
1cos
r
C
rABr 32
1cos
Constante arbitraria
33
Fuerza electromotriz de movimientoUna varilla conductora de resistencia 10 se desliza sin rozamiento a 2 m/s sobre dos raíles metálicos de resistencia despreciable que forman un ángulo de 60º entre si (véase figura). El conjunto se encuentra inmerso en un campo magnético uniforme de 0.5 T orientado perpendicularmente al plano de los raíles y con sentido entrante.
m/s 2v
º60T 5.0B
10R
Calcular la intensidad de corriente que circula por este circuito cuando la distancia entre resistencia y vértice es 5 cm. Indicar el sentido de la densidad de corriente en la varilla móvil.
dy
dtt
S
2tan
2tan 00
yyyyS 00
2tan yyyy
hm
nh
nm
2Área
20
2 2
tan yy
20
2 2
tan · · yyBSB 2
02
2tan · yy
dt
dB
dt
dfem
dt
dyyBfem ·2
2tan ·
vyBfem · · 2
tan · 2
vdt
dy
Faraday:
m/s 2vº60
T 5.0B 10R
vyR
B
R
femI · ·
2tan ·
2
m 05.0yA 10·77.5 3I
Elegimos el sentido entrante para el vector superficie: eso implica que el ángulo entre S y B es 0º, y que el sentido considerado positivo para recorrer la espira es el sentido horario.
El signo negativo aquí indica que la densidad de corriente generada por el movimiento de la varilla es de sentido opuesto al considerado positivo para el recorrido del contorno de la espira; por tanto el sentido de la corriente es antihorario. En la varilla móvil, de derecha a izquierda.
tt
El área barrida por la varilla móvil es un trapecio isósceles.
2
2
yB
0y
0t
S
Variación flujo:
4
Cálculo de flujo magnéticoCalcular el flujo magnético a través de una espira cuadrada de 20 cm de lado colocada paralelamente al plano XZ del modo indicado en la figura. La espira se encuentra cerca de un conductor rectilíneo indefinido que transporta una corriente de 5 A a lo largo del eje Z. cm 10
cm 20
X Y
Z
A 5
cm 20
r
Yu
Sd
u
B
90
Nuestro punto de partida será el resultado para el campo magnético alrededor de un hilo conductor indefinido que transporta la corriente I. De acuerdo con el teorema de Ampère, ese campo magnético a la distancia r es igual a:
ur
IB
20
d
a
a
X Y
Z
I
dxx
B
Sd
u
ru r
El campo magnético alrededor del hilo conductor tiene simetría cilíndrica, por eso dividiremos la espira en elementos de área formados por tiras verticales, cada una de longitud a (= 20 cm) y ancho dx, y buscaremos el modo de calcular el flujo magnético dF a través de cada una de esas tiras.
Elemento de área
Elemento de áreaVista desde arriba
cm 10 cm 20A 5 daI Yudxaur
ISdBd
·
2 · 0
90
22 xdr
22sin
xd
x
r
x
sin90cos · Yuu
dxar
Id sin
20
X
YZ
x
dx
d dxxd
xa
Idx
xd
xa
xd
Id
2
222
0
2222
0
5
dxxd
xa
Id
2 220
r
Yu
Sd
u
B
90
Elemento de áreaVista desde arriba
90
22 xdr
X
YZ
x
dx
d
Cálculo de flujo magnéticoCalcular el flujo magnético a través de una espira cuadrada de 20 cm de lado colocada paralelamente al plano XZ del modo indicado en la figura. La espira se encuentra cerca de un conductor rectilíneo indefinido que transporta una corriente de 5 A a lo largo del eje Z. cm 10
cm 20
X Y
Z
A 5
cm 20
ax
x
dxxd
xa
I
0
2 22
0
ax
xxdaI
0 220 ln
2
1
2
2
20 1ln
4 d
aa
I
Flujo elemental a través de la tira de área a dx
Resultado numérico
2
20 1ln
4 d
aa
I
27
2
27
m
T 10 · 61.1
1.0
2.01ln · m .20 A· 5
m
H 10
d
a
a
X Y
Z
I
dxx
B
Sd
u
ru r
Elemento de área
cm 10 cm 20A 5 daI
6
Cálculo de coeficiente de inducciónCalcular el coeficiente de inducción mutua entre una espira cuadrada de 20 cm de lado colocada paralelamente al plano XZ del modo indicado en la figura y un conductor rectilíneo muy largo dirigido en la dirección del eje Z. cm 10
cm 20
XY
Z
cm 20
Consideremos el resultado del problema anterior para el flujo a través de la espira cuando el conductor dirigido según el eje Z transporta la corriente I
2
20 1ln
4 d
aa
I
El coeficiente de inducción mutua M es el cociente entre flujo y corriente:
2
20 1ln
4 d
aa
IM
H 10 · 22.31.0
2.01ln · m .20
m
H 10 8
2
27
7
Corrientes de imanaciónUna esfera de 20 cm de diámetro tiene un hueco esférico centrado de 10 cm de diámetro. El material de la esfera está uniformemente imanado en la dirección Z, siendo M = 2·104 A/m. Calcular las densidades de corriente de imanación.
A/m 10·2 4M
Corte del cuadrante superior derecho de la esfera hueca
Z
2r
1r
m 05.0 m 10.0 21 rr
M
1
2
ru
ru
MJm
Nm uMK
Volumétrica
Superficial
Corrientes de imanación: Imanación uniforme 0 M
0mJ
Tendremos dos corrientes superficiales, una exterior (1) y otra interior (2).
ruMK1
ruMK
2
ZYXrN uuuuu
cos sinsin cossin
ZYXZ uuuuM
cos sinsin cossin
ZYXZ uuuuM
cos sinsin cossin
YZXZ uuuuMK sinsin cossin 1
XY uuMK
sinsin cossin 1 YX uuM
cossin sinsin
uMK
sin 1
1K
1K
Z
YX uuu
cos sin
Corriente superficial exterior
(1)
(2) ZYXrN uuuuu
cos sinsin cossin
YZXZ uuuuMK sinsin cossin 2
XY uuMK
sinsin cossin 2 YX uuM
cossin sinsin
urMK
sin 22
Solución numérica: es función del ángulo azimutal
141 A·m sin 10 · 2 uK
142 A·m sin 10 · 2 uK