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ELECTIVA I
PROGRAMA DE FISICADepartamento de Física y GeologíaUniversidad de PamplonaMarzo de 2010
NESTOR A. ARIAS HERNANDEZ - UNIPAMPLONA
NESTOR A. ARIAS HERNANDEZ - UNIPAMPLONA
En esta sección nos enfocaremos en una clase muy limitada, pero importante que involucra modificaciones sencillas de la variable independiente.
Estas modificaciones no permiten introducir varias propiedades de las señales y los sistemas.
EJEMPLOS DE TRANSFORMACION DE VARIABLES
CORRIMIENTO DE TIEMPO
Ocasiona desplazamiento de la señal en el eje de la variable independiente
Esta desplazamiento es ocasionado por la adición de una constante en el argumento de la función.
EJ: Radar, sísmica, sonar.
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( ) ( ) 0o ox t x t t con t
[ ] [ ] 0o ox n x n n con n
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IN VERSION DE TIEMPO
( ) ( )x t x t
[ ] [ ]x n x n
Reflejo en t=0
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ESCALAMIENTO DEL TIEMPO.
( )x t
(2 )x t
( / 2)x t
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( ) ( )x t x t
Alargada linealmente si:
Comprimida linealmente si:
Invertida si:
Desplazada si:
1
1
0
0
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Ejemplo 1.
0, 0
( ) 0 1, 1
1 2, 2
2 0
t x
x t t x
t x t
t x
Encontrar, 3 32 2
( 1), ( 1), ( ), ( 1)x t x t x t x t
( 1)x t
1, 0
1 0, 1
0 1, 1
1, 0
t x
t x
t x t
t x
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( 1)x t
1, 0
1 0, 1
0 1, 1
1, 0
t x
t x
t x t
t x
32
( )x t23
32 43 3 2
43
0, 0
0 , 1
, 2
, 0
t x
t x
t x t
t x
32
( 1)x t
23
23
323 2
23
, 0
0, 1
0 , 1
, 0
t x
t x
t x t
t x
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SEÑALES PERIODICAS
( ) ( ),x t x t mT con m entero
Es periódica en periodos igual a:
,2 ,3 ,4 ,...T T T T
El Periodo Fundamental es:
oT T
Señal periódica continua
Señal periódica discreta
[ ] [ ]x n x n NEs periódica en periodos igual a:
,2 ,3 ,4 ,...N N N N El Periodo Fundamental es: oN N
3oN
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Ejemplo : probar que la siguiente señal es periodica.
cos( ), 0( )
( ), 0
t si tx t
sen t si t2oT
cos( 2 ) cos( )t t ( 2 ) ( )sen t sen t
Pero;
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SEÑALES PARES E IMPARES
( ) ( )x t x tPAR
IMPAR ( ) ( )x t x t
Una señal impar debe ser 0 0en x
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Cualquier señal se puede separar o descomponer en la suma de una señal par y una impar.
EJEMPLO: consideremos las siguientes funciones.
12
{ ( )} ( ) ( )Od x t x t x t12
{ ( )} ( ) ( )Ev x t x t x t
Parte Par Parte Impar
Verificar que la parte Par es realmente Par y de igual forma con la parte Impar y que la suma de las dos es ( )x t
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En señales discretas
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SEÑALES EXPONENCIALES Y SENOIDALES
Señales continuas exponencial compleja y senoidal
( ) tx t Ce donde y C son Complejos
Si y C son reales Señal exponencial real
0 0
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Pero; ( ) ojw tx t e Señal exponencial compleja
La cual es posible probar que es una señal periódica, con periodo T
( )ojw t Te o ojw t jw T
e e ojw te
Para el valor positivo mas pequeño de T se cumple
2o
o
Tw
De tal manera que: ojw te ojw t
y e Tienen el mismo periodo
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( ) cos( )ox t A w t
2o ow f
cos( )oA w t
( ) ( )
2
o oj w t j w te e
A
( )oAsen w t
( ) ( )
2
o oj w t j w te e
Aj
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cos( )oA w t( )oj w t
Re Ae
( )oAsen w t( )
Im oj w tAe
Tambien;
Ejemplo:
Calcular al magnitud de la señal3 2( ) j t j tx t e e
( ) 2 cos(0.5 )x t t
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Señales exponenciales complejas generales
( ) tx t Ce donde y C son Complejos
j
oC C e y r jw
Entonces,
tCe( )or jw tjC e e
( )oj w trtC e e
Usando Euler,
tCe cos( ) ( )rt rt
o oC e w t j C e sen w t
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0r
0r
rtC e
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Señales Disctretas exponencial compleja y senoidal
[ ] n nx n C Ce donde y C son Complejos
Si y C son reales Señal discreta exponencial real
1 0 1
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1 0
1
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Pero, si [ ] ojw nx n e Señal discreta exponencial compleja
La cual es posible escribir como
ojw
[ ] cos( )ox n A w n
cos( )oA w n
( ) ( )
2
o oj w n j w ne e
A
( )oAsen w n
( ) ( )
2
o oj w n j w ne e
Aj
De igual forma se puede escribir,
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Señales exponenciales complejas generales
[ ] nx n C donde y C son Complejos
ojwjC C e y e
Entonces,
nC ojw nnC e
Usando Euler,
nC cos( ) ( )n n
o oC w n j C sen w n
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1
1
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PROPIEDADES DE LAS EXPONENCIALES CONTINUAS
• Mientras mas grande se la magnitud w mayor es la velocidad de oscilación de la señal. Para cada w una señal periódica diferente.
• Una función exponencial continua es periódica para cualquier w.
¨Existen diferencias en estas propiedades para las señales exponenciales discretas.¨
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Consideremos la exponencial discreta con frecuencia 2ow
( 2 )oj w ne 2ojw n j ne e ojw n
e
La exponencial con frecuencia es la misma que la exponencial ow 2ow
Por tanto, en las exponenciales discretas es necesario tomar solo un intervalo
0 2o
o
w
o
w
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Analizando la otra propiedad, que tiene que ver con la periodicidad
( )o o ojw n N jw n jw Ne e e
Para que sea periódico, debe cumplirse la condición : 1ojw Ne
( )o ojw n N jw ne e
Esto quiere decir que: 2ow N m
2
ow m
NEs un numero racional o
Entonces, una señal es periodica si la fraccion anterior es un racional y no lo es en otro caso.
2ow m
N
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La frecuencia fundamental de una señal periódica discreta ojw ne
2 ow
N m
FRECUENCIA FUNDAMENTAL
El periodo fundamental de una señal periódica discreta ojw ne
2
o
mN
w
PERIODO FUNDAMENTAL
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SEÑALES DISCRETAS PERIODICAS
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No es una señal periódica
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Ejemplo: Encontrar el periodo fundamental de la señal discreta
(2 /3) (3 /4)[ ] j n j nx n e e
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Ejercicios:
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