420 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA

12-7 RESUMEN

En este capítulo se han presentado el diseño y los métodos de análisis para experimentos con un so-

lo factor. Se subrayó la importancia de la aleatorización de los experimentos de un solo factor. En

un experimento completamente aleatorio, todas las experiencias se hacen al azar para balancear los

efectos de variables perjudiciales desconocidas. Si una de estas variables puede controlarse, puede

utilizarse la realización de bloques como una alternativa de diseño. Se presentó el modelo de análi-

sis de efectos fijos y el de efectos aleatorios. La principal diferencia entre los dos modelos es el es-

pacio de deducción. En el modelo de efectos fijos, las deducciones son válidas sólo respecto de los

niveles del factor considerados de manera específica en el análisis, en tanto que en el modelo de efec-

tos aleatorios, las conclusiones pueden extenderse a la población de todos los niveles del factor. Se

sugirieron los contrastes ortogonales y la prueba de Tukey para realizar comparaciones entre medias

del nivel del factor en el experimento de efectos fijos. También se brindó un procedimiento para es-

timar las componentes de varianza en un modelo de efectos aleatorios. Por último, se presentó el

análisis residual para verificar las suposiciones básicas del análisis de varianza.

12-8 EJERCICIOS

12-1 Se realiza un estudio para determinar el efectode la velocidad de corte sobre la vida (en ho-ras) de una máquina-herramienta particular. Se

seleccionan cuatro niveles de la velocidad decorte para el estudio, obteniendo los resultados

siguientes:

Velocidad Vida de lade corte herramienta

1 41 43 33 39 36 40

2 42 36 34 45 40 39

3 34 38 34 34 36 33

4 36 37 36 38 35 35

a) ¿La velocidad de corte afecta la vida de laherramienta? Dibuje gráficas de caja com-parativas y realice un análisis de varianza.

b) Trace una gráfica del promedio de vida de

la herramienta contra la velocidad de cor-

te, e interprete los resultados.

c) Use la prueba de Tukey para investigar lasdiferencias entre los niveles individualesde velocidad de corte. Interprete los resul-

tados.

d) Encuentre los residuos y examínelos paradeterminar la inadecuación del modelo.

12-2 En "Orthogonal Design for Process Optimiza-tion and Its Application to Plasma Etching" (So-

lid State Technology, mayo de 1987), G. Z. Yin

y D. W. Jillie describen un experimento paradeterminar el efecto de la tasa de flujo de CZF6sobre la uniformidad del grabado en una obleade silicio empleada en la manufactura de un

circuito integrado. Se utilizan tres tasas de flujoen el experimento, y la uniformidad resultante(en porcentaje) para seis réplicas se muestra en

seguida.

Observaciones

125 2.7 4.6 2.6 3.0 3.2 3.8

160 4.9 4.6 5.0 4.2 3.6 4.2

200 4.6 3.4 2.9 3.5 4.1 5.1

a) ¿La tasa de flujo de C2F6 afecta la unifor-midad del grabado? Construya gráficas de

caja para comparar los niveles del factor y

DISEÑO Y ANÁLISIS DE EXPERIMENTOS DE UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA 421

b) ¿Los residuos indican algún problema res-

pecto de las suposiciones básicas?

e) Analice los residuos de este experimento yverifique la inadecuación del modelo.

12-3 Se está estudiando la resistencia del concreto ala compresión. Se investigan cuatro técnicas delIZmezclado diferentes. Los datos recabados son

los siguientes:

Técnica demezclado

Resistencompresi

cia a laón (lpc)

1 3129 3000 2865 289(}

2 3200 3300 2975 3150

3 2800 2900 2985 3050

4 2600 2700 2600 2765

a) Pruebe la hipótesis de que las técnicas demezclado afectan la resistencia del con-creto. Emplee a = 0.05.

b) Utilice la prueba de Tukey para efectuarcomparaciones entre pares de medias. Es-time los efectos de tratamiento.

12-4 Una fábrica de hilados tiene un gran númerode telares . Se supone que cada uno de los tela-res proporciona la misma producción de telapor minuto. Para comprobar esta suposición, se

eligen cinco telares al azar y se mide su produc-ción en diferentes tiempos. Se obtienen los si-guientes datos:

Telar Producción ( lb/min)

1 4.0 4.1 4.2 4.0 4.1

2 3.9 3.8 3.9 4.0 4.0

3 4.1 4.2 4.1 4.0 3.9

4 3.6 3.8 4.0 3.9 3.7

5 3.8 3.6 3.9 3.8 4.0

a) ¿Es éste un experimento de efectos fijos o

aleatorios? ¿Los telares tienen un nivel deproducción similar?

b) Estime la variabilidad entre telares.

c) Estime la varianza del error experimental.

d) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar Hrr si

6 es cuatro veces la varianza del error

experimental?

12-5 Se efectuó un experimento para determinar sicuatro temperaturas de cocción específicas afec-

tan la densidad de cierto tipo de ladrillo. El ex-

perimento condujo a los siguientes datos:

Temperatura

(°F) Densidad

100 21.8 21 .9 21.7 21 .6 21.7 21.5 21.8

125 21.7 21.4 21.5 21.5 - - -

150 21.9 21 . 8 21.8 21 .6 21.5 - -

175 21.9 21.7 21.8 21.7 21.6 21.8 -

¿La temperatura de cocción afecta la den-sidad de los ladrillos?

b) Estime las componentes del modelo.

c) Analice los residuos del experimento.

12-6 Un ingeniero en electrónica está interesado en elefecto de la conductividad de cinco diferentestipos de recubrimiento para tubos de rayos cató-dicos utilizados en un dispositivo de desplieguede telecomunicaciones. Se obtuvieron los si-guientes datos respecto de la conductividad:

Tipo de

recubrimiento Conductividad

1 143 141 150 146

2 152 149 137 143

3 134 133 132 127

4 129 127 132 121)

5 147 148 144 1

a) ¿Hay alguna diferencia en la conductivi-dad según el tipo de recubrimiento? Em-plee a = 0.05.

b) Estime la media general y los efectos de tra-tamiento.

c) Calcule una estimación de intervalo de 95%para la media del recubrimiento del tipo 1.

Calcule una estimación de intervalo de

99% de la diferencia media entre dos tiposde recubrimiento, 1 y 4.

422 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA

d) Pruebe todos los pares de medias emplean-

do la prueba de Tukey, con a = 0.05.

e) Suponiendo que el tipo de recubrimiento4 es el que se está empleando, ¿qué reco-mendaciones haría al fabricante? Desea-mos minimizar la conductividad.

12-7 Se determinó el tiempo de respuesta en milise-

gundos para tres tipos diferentes de circuitosutilizados en una calculadora electrónica. Losresultados se presentan a continuación:

Tipo de circuito Tiempo de respuesta

1 19 22 20 18 25

2 20 21 33 27 40

3 16 15 18 26 17

a) Pruebe la hipótesis de que los tres tipos decircuito tienen el mismo tiempo de res-

puesta.

Velocidad de flujo de chorro (mis)Tipo de

Boquilla 11.73 14.37 16.59 20 . 43 23.46 28.74

1 0.78 0 . 80 0.81 0.75 0 . 77 0.78

2 0.85 0 . 85 0.92 0 . 86 0.81 0.83

3 0.93 0.92 0.95 0.89 0.89 0.83

4 1.14 0.97 0.98 0 . 88 0.86 0.83

5 0.97 0.86 0 . 78 0.76 0.76 0.75

a) ¿El tipo de boquilla afecta el factor de for-

ma? Compare las boquillas con gráficasde caja y el análisis de varianza.

b) Emplee la prueba de Tukey para determi-nar las diferencias específicas entre las bo-quillas. ¿Una gráfica del promedio (o ladesviación estándar) del factor de formacontra el tipo de boquilla ayuda en la for-

mulación de conclusiones?

c) Analice los residuos de este experimento.

b) Emplee la prueba de Tukey para compararpares de medias de tratamiento.

c) Construya un conjunto de contrastes orto-gonales, suponiendo que al principio delexperimento usted sospecha que el tiempo

de respuesta del circuito tipo 2 será dife-rente de los otros dos.

d) ¿Cuál es la potencia de esta prueba paraidetectar y 3 = tTi la- = 3.0?

e) Analice los residuos de este experimento.

12-8 En "The Effect of Nozzle Design on the Stabi-

lity and Performance of Turbulent Water Jets"(Fire Safety Journal, vol. 4, agosto de 1981),

C. Theobald describe un experimento en el que

se determinó un factor de forma para distintosdiseños de boquillas en diferentes niveles develocidad de flujo de chorro. El interés en esteexperimento se enfoca principalmente en el di-seño de boquillas, y la velocidad es un factorproblemático. Los datos se muestran a conti-

nuación:

En su libro Design and Analysis of Experi-ments (2001), D. C. Montgomery describe un

experimento para determinar el efecto de cua-tro agentes químicos sobre la resistencia de untipo particular de tela. Debido a la posible va-

riabilidad entre las telas, las piezas de tela se

consideran como bloques. Se seleccionan cincopiezas de tela y se eligen al azar cuatro produc-tos químicos para aplicarlos a cada una. Los re-sultados respecto de la resistencia son:

12-9

Pieza de tela

Producto químico 1 2 3 4 5

1

2

3

4

73 68 74 71 67

73 67 75 72 70

75 68 78 73 68

73 71 75 75 69

a) ¿Existe alguna diferencia en la resistenciasegún el producto químico utilizado?

P

DISEÑO Y ANÁLISIS DE EXPERIMENTOS DE UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA 423

b) Use la prueba de Tukey para determinar

las diferencias específicas entre los pro-ductos químicos.

(-) Analice los residuos de este experimento.

12-10 Suponga que cuatro poblaciones normales tie-nen varianza común 62 = 25 y medias p, = 50,

I.t, = 60. p^ = 50 y p4 = 60. ¿Cuántas observa-ciones deben tomarse en cada población, demanera que la probabilidad de rechazar la hi-

pótesis de igualdad de medias sea al menos de0.90'? Emplee a = 0.05.

12-11 Suponga que cinco poblaciones normales tienenvarianza común a2 = 100 y medias 175,µ, = 190, µ3 = 160, µ., = 200 y Ps = 215.¿Cuántas observaciones por población debentomarse, de modo que la probabilidad de re-chazar la hipótesis de igualdad de medias seaal menos de 0.95? Emplee a = 0.01.

12-12 Considere la prueba de igualdad de las mediasde dos poblaciones normales donde se descono-cen las varianzas, pero se suponen iguales. Elprocedimiento de prueba apropiado es la prue-ba t de dos muestras. Demuestre que ésta esequivalente al análisis de varianza de clasifica-ción unilateral.

12-13 Demuestre que la varianza de la combinaciónlineal 2

12-14 En un modelo de efectos fijos . suponga que hayn observaciones para cada tino de los cuatro tra-tamientos. Sean Q '. Q; y Q z componentes deun solo grado de libertad para los contrastes or-togonales. Demuestre que SCtratamiei , = Q +

Q2+Q;.

12-15 Considere los datos que se dieron en el ejerci-cio 12-7.

a) Escriba en forma completa las ecuacio-nes normales de mínimos cuadrados paraeste problema, y resuélvalas respecto dea y t,, considerando la restricción usual

(Y--, 1 t, = 0). Estime r, - r,.

b) Resuelva las ecuaciones planteadas en el

inciso a), empleando la restricción t, = 0.¿Los estimadores t, y A son los mismosque usted encontró en a)'? ¿Por qué? Estime

luego r1 - r, y compare su respuesta con a).¿Qué enunciado puede usted hacer en tornoa la estimación de contrastes en r,?

c) Estimep+r1,2r1-r,-r1yp+TI +r,,empleando las dos soluciones para lasecuaciones normales. Compare los resul-tados obtenidos en cada caso.