Post on 06-Jul-2015
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UNAD México, Noviembre 2014
Gpe. Rodríguez
Procesos Estocásticos
Ejemplos de Estacionalidad
Estacionalidad� Teorema: Toda matriz estocástica P tiene como valor propio a λ=1, es decir, existe un vector π tal que:
π= λ πP
Donde λ=1 siendo π un vector renglón
� Una cadena de Markov es estacionaria si su distribución de probabilidad incondicional πn tiende a mantenerse constante a largo plazo, cuando n tiende a infinito independientemente en que estado se inicie. Esto significa que las probabilidades se estabilizan en el tiempo.
EstacionalidadSe sabe que:
πn= πn-1PAhora
π= lim πnn→∞
Entoncesπ= lim πn-1P
n→∞Si hay estacionalidad
lim πn-1=πn→∞
Por tanto
π= πP
Estacionalidad� Aunque se continúe multiplicando por la matriz P el vector π
ya no cambia. El vector π es el vector característico de la matriz P correspondiente al valor característico λ=1
� Para obtener π basta con resolver el sistema de ecuaciones:
π= πPAgregando la restricción adicional
Σ π(x)=1x∈S
Para λ1=1
π(0)=0.3π(0)+0.5π(1)π(1)=0.7π(0)+0.5π(1)
π(0)+π(1)=1Despejando π(0)=5/12 y π(1)=7/12
Ejemplos
=
5.05.0
7.03.0(1)) ),0(((1)) ),0(( ππππ
=
5.05.0
7.03.0P
0 1
0.3
0.7
0.50.5
05.05.0
7.03.0=
−
−
λ
λ
� Ejemplo 1
Encontrando los valores propios
(0.3-λ)(0.5-λ)-(0.35)=0
0.15-0.8λ+λ2-0.35=0
λ2 -0.8λ-0.2=0
(λ-1)(λ+0.2)=0 ∴λ 1=1 λ 2=-0.2
EjemplosSi multiplicamos
Supongamos que iniciamos en ceroπ0=(1,0)π1=(0.3,0.7)π3=(0.44,0.56)
.
.
.
)12
7 ,
12
5(
5.05.0
7.03.0)
12
7 ,
12
5( =
El 42% del tiempo se pasará en el estado 0 y el 58% en el estado 1
¿Qué pasará si iniciamos
en 1?
Ejemplos
absoluta Movilidad 01
10P
=
0 1
1
1
001
10=
−
−
λ
λPara λ1=1
π(0)=π(1)π(1)=π(0)π(0)+π(1)=1
Despejando π(0)=1/2 y π(1)=1/2
� Ejemplo 2
Encontrando los valores propios
λ2 -1=0
∴λ 1=+1 λ 2=-1
=
01
10(1)) ),0(((1)) ),0(( ππππ
El orden es 2 en las raíces de 1 en este caso nos indican periodicidad de
orden 2.
EjemplosSi multiplicamos
Supongamos que iniciamos en unoπ0=(0,1)π1=(1,0)π3=(0,1)
.
.
.
)2
1 ,
2
1(
01
10)
2
1 ,
2
1( =
El 50% del tiempo se pasará en el estado 0 y el 50% en el estado 1
¿Qué pasará si iniciamos
en 0?
Ejemplos
10
10P
=
0 1
1
1
010
10=
−
−
λ
λPara λ2=1
π(0)=0π(1)=π(0)+ π(1)π(0)+π(1)=1
Despejando π(0)=0 y π(1)=1
� Ejemplo 3
Encontrando los valores propios
λ2 -λ-0=0
λ(λ-1)=0
∴λ 1=0 λ 2=1
=
10
10(1)) ),0(((1)) ),0(( ππππ
EjemplosSi multiplicamos
Supongamos que iniciamos en ceroπ0=(1,0)π1=(0,1)π3=(0,1)
.
.
.
1) ,0(10
101) ,0( =
El 0% del tiempo se pasará en el estado 0 y el 100%
en el estado 1 (estado absorbente)
¿Qué pasará si iniciamos
en 1?
Ejemplos
10
01P
=
0 1
1
1
010
01=
−
−
λ
λPara λ1=1
π(0)= π(0)π(1)= π(1)π(0)+π(1)=1
Solución múltiple, no es estacionario.
� Ejemplo 4
Encontrando los valores propios
(1-λ)2=0
λ2 -2λ+1=0
∴λ 1=1 λ 2=1
=
10
01(1)) ),0(((1)) ),0(( ππππ
Dos raíces iguales a la
unidad indica dos estados
absorbentes y dos clases finales
EjemplosSupongamos que iniciamos en cero
π0=(1,0)
π1=(1,0)
π3=(1,0)
.
.
.
¿Qué pasará si iniciamos
en 1?
� Ejemplo 5
Encontrando los valores propios
-λ3 +1=0
λ3=1
∴λ 1=1 λ 2=1 λ 3=1
Ejemplos
3)orden de dad(Periodici Absoluta Movilidad
001
100
010
P
=0 1
1
1
0
001
100
010
=
−
−
−
λ
λ
λ
Para λ1=1
π(0)=π(2)π(1)=π(0)π(2)= π(1)
π(0)+π(1)+ π(2)=1Despejando π(0)=1/3, π(1)=1/3,
π(2)=1/3
=
001
100
010
(2)) (1), ),0(((2)) (1), ),0(( ππππππ
21
El orden es 3, indica que el periodo es 3
EjemplosSi multiplicamos
Supongamos que iniciamos en el estado 2
π0=(0,0,1)π1=(1,0,0)π3=(0,1,0)
.
.
.
1/3) 1/3, 1/3,(
001
100
010
1/3) 1/3, 1/3,( =
El 33% estaremos en cada
estado
Periodicidad de orden 3
� Ejemplo 6
Encontrando los valores propios
-λ(1-λ)(1-λ)(1-λ)=0
∴λ 1=0 λ 2=1 λ 3=1, λ 4=1
Ejemplos
0000
0100
0010
4.04.02.00
P
=
0
1
11
0
1000
0100
0010
4.04.02.0
=
−
−
−
−
λ
λ
λ
λPara λ2=1
π(0)=0π(1)=0.2 π(0)+ π(1)π(2)=0.4π(0)+ π(2)π(3)=0.4 π(1)+ π(3)
π(0)+π(1)+ π(2)+ π(3) =1Solución Múltiple, no es estacionario, la distribución a largo plazo depende en que
estado se inicie
=
1000
0100
0010
4.04.02.00
(3)) (2), (1), ),0(((3)) (2), (1), ),0(( ππππππππ
21
2
0.20.4
0.4
3 raíces igual a 1(3 clases finales: 3 estados absorbentes)
� Ejemplo 7
Encontrando los valores propios
(0.5-λ)(-λ(0.5-λ)-0.5)=0
(0.5-λ)(-0.5λ+λ2-0.5)=0
(0.5-λ) (λ-1) (λ-0.5)=0
∴λ 1=0.5 λ 2=1 λ 3=-0.5
Ejemplos
5.05.00
100
05.05.0
P
=
0
2
0
5.05.00
100
05.05.0
=
−
−
−
λ
λ
λ
Para λ2=1
π(0)=0.5π(0)π(1)=0.5π(0)+ 0.5π(2)π(2)= π(1)+0.5 π(2)π(0)+π(1)+ π(2)=1
Despejando π(0)=0, π(1)=1/3, π(2)=2/3
=
5.05.00
100
05.05.0
(2)) (1), ),0(((2)) (1), ),0(( ππππππ
1
{1,2} Recurrentes
{0} Transitorio
Clase final
Un sólo valor característico
igual 1 significa una sola clase
final
EjemplosSi multiplicamos
Supongamos que iniciamos en el estado 0
π0=(1,0,0)π1=(0.5,0.5,0)π3=(0.25,0.25,0.5)
.
.
.
2/3) 1/3, 0,(
5.05.00
100
05.05.0
2/3) 1/3, 0,( =
El 33% estaremos en el estado 1 y el 66% en el
estado 2 y 0 en el estado 0
La distribución a largo plazo es única y no depende del estado inicial
¿Qué pasará si iniciamos en 1 o 2?
� Ejemplo 8
Encontrando los valores propios
-λ(λ2-1)=0
∴λ 1=0 λ 2=1 λ 3=-1
Ejemplos
010
100
5.05.00
P
=
0
2
0
10
100
5.05.00
=
−
−
−
λ
λ
λ
Para λ2=1
π(0)=0π(1)=0.5π(0)+ π(2)π(2)= 0.5π(0)+π(1)π(0)+π(1)+ π(2)=1
Despejando π(0)=0, π(1)=1/2, π(2)=1/2
=
010
100
5.05.00
(2)) (1), ),0(((2)) (1), ),0(( ππππππ
1
{1,2} Recurrentes
{0} Transitorio
Clase final
Un sólo valor característico
igual 1 significa una sola clase
final de orden 2 (periodicidad 2)
EjemplosSi multiplicamos
Supongamos que iniciamos en el estado 0
π0=(1,0,0)π1=(0,0.5,0.5)π3=(0,0.5,0.5)
.
.
.
1/2) 1/2, 0,(
010
100
5.05.00
1/2) 1/2, 0,( =
El 50% estaremos en el estado 1 y 2, y 0 en el
estado 0
¿Qué pasará si iniciamos en 1 o 2?
Observaciones Generales� Toda matriz estocástica P tiene al menos un valor
característico λ=1� El número de valores característicos iguales a uno es igual al
número de clases finales de la cadena.� El número de valores característicos raíces de la unidad
(λ5=1) indica el orden de la periodicidad. La periodicidad de orden 1 implica aperiodicidad.
� Cuando hay más de una clase final existen múltiples soluciones para el vector de distribución a largo plazo π.
� Cuando hay periodicidad el estado a largo plazo depende en realidad del estado inicial y del número de transición.