7/26/2019 Ejemplo N°2

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Ejemplo N° 2 – página 5

Calcule el volumen del solido limitado superiormente por la superfcie  z=3 x2+ y

2

e ineriormente por la región acotada por la recta  y= x  Ʌ la parábola

 x= y

2

− y  

!olución

"# $ráfca del solido%

!%  z=3 x2+ y

2

&araboloide el'ptico

(%  y= x )ecta

C%  x= y2− y &arábola del eje *ori+ontal

C : x= y2− y   ⇒   x= y

2− y+

1

4−1

4  ⇒   x=( y−

1

2 )2

−1

4

 L∩C :    x= y2− y   ⇒    y

2

−2  y=0   ⇒    y ( y−2  y )=0  

⇒    y=2  Ʌ y=0

2# )egión de integración,# !olido generado

-# .olumen del !ólido% V 

V =∬ R

❑

 zdA

V =∫0

2

∫ y

2

− y

Y 

(3 x2+ y

2 ) dxdy   ¿   ∫0

2

[ x3+ x y

2 ] y2− y

 y

dy

V =∫0

2

[ y3+ y

3−( y2

− y )3−( y2− y ) ]dy

7/26/2019 Ejemplo N°2

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V =∫0

2

[− y6+3 y

5−4 y

4+4 y

3 ] dy   ¿   [− y7

7+ y

6

2−4

5 y

5+  y

4]0

2

V =144

35unid

3.