Post on 13-Mar-2021
197
A continuación, resumimos en un cuadro lo estudiado sobre cónicas:
Ecuación canónica Gráfica Elementos principales
Circunferencia
Centro
Radio
Elipse con eje de simetría
vertical
Centro
Longitud de semiejes ( y )
Vértices principales
Vertices secundarios
Elipse de eje de simetría
horizontal
Hipérbola de eje principal
vertical y centro
Centro
Vértices
Longitudes semieje transversal y
variable auxiliar
( y )
Hipérbola de eje principal horizontal y centro
Parábola vertical
Vértice
Parámetro
Foco
Eje de simetría Parábola horizontal
198
Relaciona cada ecuación con la gráfica que le corresponde y justifica tu elección.
a)
b)
c)
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Lo primero que podemos observar es que las tres ecuaciones están escritas en forma
canónica y que las tres cónicas están centradas en el y que tanto la ecuación a)
como la ecuación b) son elipses, ya que en la ecuación dada la variable está elevada al
cuadrado, y precedida por un signo positivo, al igual que la variable . Además las
constantes que acompañan a ambas variables son diferentes. En cambio en la ecuación
c) los términos con e tienen signos diferentes por lo que será una hipérbola.
En la ecuación a) tenemos que y se ubica debajo de la variable y y está
debajo de . Por lo tanto, es una elipse de eje principal horizontal y corresponde a la
figura 2.
En la ecuación b) podemos ver que nuevamente es 3, pero se encuentra debajo de la
variable , por lo que es una elipse de eje principal vertical. Tenemos además que .
Por lo tanto es la figura 3.
Por último, en la ecuación c) tenemos una hipérbola de eje principal horizontal ya que el
signo está delante de la , y por lo tanto y . Y la figura que corresponde es
la figura 1.
Forma general de las cónicas
La forma general de las cónicas estudiadas en esta materia es
,
para distintos números reales y . Esta forma se obtiene cuando desarrollamos las ecuaciones canónicas de las cónicas que estudiamos.
Existen algunos criterios que nos ayudarán a reconocer qué cónica está asociada a una ecuación dada en forma general. En el siguiente esquema mostramos un resumen de estos criterios:
199
Ecuación general de la cónica
o y
y tienen el mismo signo, pero y tiene signos distintos
Parábola Circunferencia Elipse Hipérbola
Pasar a la forma canónica
El número que divide al
término con es más grande
que el que divide al
término con .
El número que divide al término con es más
grande que el que divide
al término con .
El signo que antecede al
término con es positivo y el que antecede
al término con es negativo.
El término que antecede al
término con es positivo y el que antecede al término con
es negativo.
Parábola horizontal
Parábola vertical
Elipse horizontal
Elipse vertical
Hipérbola horizontal
Hipérbola vertical
Identifica a qué cónicas se corresponden las siguientes ecuaciones y justifica tu elección:
a)
b)
a) Tenemos que y como no hay término con podemos deducir que , con
lo que la ecuación representa una parábola vertical.
b) Como y , y tienen diferentes signos, podemos deducir que la ecuación
representa una hipérbola. Para poder reconocer si la hipérbola es vertical u
horizontal, podemos llevar la ecuación a la forma canónica
Como el signo que antecede al coeficiente con es positivo, sabemos que la ecuación
corresponde a una hipérbola horizontal.
Si tenemos la ecuación , notemos que está dada en la forma general , con y . Como tenemos que y que y B tienen el mismo signo, sabemos que la ecuación corresponde a una elipse. Si llevamos a la forma canónica completando cuadrados obtenemos:
Es decir, una elipse horizontal, ya que el número que divide al término con es el 4, que es más grande que el número que divide al término con (en este caso, es un 1).
200
Actividades
62. A partir de las siguientes ecuaciones determina de qué tipo de cónica se trata, sus elementos principales y haz un gráfico aproximado señalando los elementos.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
63. Relaciona cada ecuación con la gráfica que le corresponde. Justifica tu elección.
a) b) c)
64. Relaciona cada ecuación con la gráfica que le corresponde. Justifica tu elección.
a)
b)
c)
1 2 3