Distribución muestral

Conceptos y Aplicaciones

13/07/2010 H. Medina Disla

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Distribución Muestral

El muestreo y importancia

Tipo de Muestreo

Distribución en el muestreo

¿Qué es?

Importancia de la distribución muestral

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Distribución Muestral del promedio, ()

Importancia del promedio

Características

1. (Xi – ) = 0

2. (Xi – )2 = mínimo

3. Es la única medida central que se puede inferir

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Ejemplo: población hipotéticas

A, B, C y D2, 5, 2, 3μx = Xi/Nμx = (2+5+2+3)/4

μx = 3

Muestra i

AB (2+5)/2 = 3.5

AC (2+2)/2 = 2.0

AD (2+3)/2 = 2.5

BC (5+2)/2 = 3.5

BD (5+3)/2 = 4.0

CD (2+3)/2 = 2.5

= 3

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Variaciones de las muestras

μx = 3

Muestra i

AB (2+5)/2 = 3.5 AC (2+2)/2 = 2.0 AD (2+3)/2 = 2.5 BC (5+2)/2 = 3.5 BD (5+3)/2 = 4.0 CD (2+3)/2 = 2.5

Error estándar del estimador

Error estándar del promedio

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Ejemplo

En una muestra de 150 empleados seobtuvo un salario promedio de 10.0 y unadesviación estándar de 2.25.

A) Hallar el error estándar del salariopromedio

B) Explicar que significa el error estándar

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Distribución muestral de la Proporción

La Proporción

px = Casos favorables/ Casos posibles

Error estándar de la proporción

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Forma de una variable con

distribución simétrica

EstimaciónConceptos y

Aplicaciones

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Estimación¿Qué es?

Estimador Vs. Parámetro

Estimador Puntual

Estimador por intervalo

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Parámetros y Estadígrafos

Parámetro Significado Estadígrafo

μxMedia Poblaciónal

σ2 Varianza Poblaciónal S2

σDesviacin Estándar

Poblaciónal S

PProporción de éxitos

En la Población p

N Población n

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EstimaciónCaracterísticas de los Estimadores

Insesgado

Eficiente

Consistente

Inferencia sobrela media

aritmética o promedio

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Estimación Puntual16.2, 14.0, 8.5, 10.0, 12.1, 5.0, 7.5, 5.0, 3.0

Salario de nueve empleados

= 9.1 $

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Estimación Puntual: Varianza

Estimación por Intervalo

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Intervalo de Confianza Nivel de Confianza

Nivel de Significación

Elementos a tener en consideración

1. Origen de la Varianza

2. Tamaño de la Muestra

Grande; n ≥ 30

Pequeña; n < 30

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Ejemplo: Población Hipotética de empleados

Muestra i

AB (2+5)/2 = 3.5

AC (2+2)/2 = 2.0

AD (2+3)/2 = 2.5

BC (5+2)/2 = 3.5

BD (5+3)/2 = 4.0

CD (2+3)/2 = 2.5

P(2.0 μx 4.0) =100.0%

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Comportamiento de una variable normal

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Varianza poblacional

P( Z(α/2) × ) = 1 - α

Z(α/2) : valor de Z para un nivel de confianza dado

: Error estándar del promedio, = x /n

x : Desviación estándar de la variablen: Tamaño de la muestra

α : Nivel de significación

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Ejemplo: El proceso de llenado de una funda decemento tiene una varianza de 0.85 Kg2. En unamuestra de 20 fundas se encontró que el pesopromedio era de 41.75 Kg. Con un nivel de confianzade 99.0%, estimar el intervalo del peso promedio delllenado de las fundas de cemento

= 41.75, n = 20, x= 0.923, α = 0.01

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P[ Z(α/2) × ] = 1 – α

P[41.75 Z0.005 × 0.206] = 0.99P[41.75 2.58 × 0.206] = 0.99P[41.75 0.532] = 0.9941.75 - 0.532] = 41.21041.75 + 0.532] = 42.277[41.21 μx 42.28] = 99.0%

= 41.75, n = 20, = 0.206, α/2 = 0.005

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Varianza muestral: Calculada en

muestra grande, n > 30

( Z(α/2)× S) = 1 - α

Z(α/2) : Valor de Z para un nivel de confianza dado

S : Error estándar del promedio, S = Sx/n

Sx :Desviación estándarn: Tamaño de la muestraα : Nivel de significación

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Ejemplo: La Empresa Re-Phelon se dedica al ensamblaje dedispositivos electrónicos. Para establecer las especificacionesque deben tener los arbor, a fin de que por lo menos el 97.5%de ellos cumplan con dichas especificaciones, se ha tomado unamuestra de 42 abor y ha encontrado que la medida promedio esde 3.0 cm y una varianza de 0.25 cm2

= 3.0, n = 42, S2x = 0.25, α = 0.025

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= 3.0, n = 42, S = 0.08, α/2 = 0.0125

P[ Z(α/2) × S] = 1 – α

P[3.0 Z0.0125 × 0.08] = 0.975P[3.0 2.24 × 0.08] = 0.975P[3.0 0.17] = 0.9753.0 - 0.173 = 2.833.0 + 0.173 = 3.17

[2.83 μx 3.17] = 97.5%

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Varianza muestral: Calculada en muestra

pequeña, n < 30

( t(n-1, α/2) × S) = 1 - α

t(n-1, α/2): valor de t para un nivel de confianza dado

S : Error estándar del promedio, S =Sx/n

Sx: Desviación estándar de la muestran: Tamaño de la muestraα : Nivel de significación

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Ejemplo: Un inversionista quiere saber, con unnivel de confianza de 95.0% cual es el rango enel que varía el precio de un grupo de accionesen las cuales piensa invertir. En una muestrade 12 acciones ha encontrado que el preciopromedio es de 18.5$ con una desviaciónestándar de 2.36$

= 18.5, n =12, sx =2.36, α = 0.05

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= 18.5, n = 12, s = 0.68, α/2 = 0.025

P[ t(n-1, α/2) × S] = 1 – α

P(18.5 t(11, 0.025) × 0.68) = 0.95P[18.5 2.2010 × 0.68] = 0.95P[18.5 1.50] = 0.9518.5 – 1.50 = 17.018.5 + 1.50 = 20.0[17.0 μx 20.0] = 95.0%

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Intervalo de confianza para el Total

• Total estimado, T = N ×

• Desviación Total, ST = N × S

El intervalo de Confianza

P[T t(n-1, α/2) × sT] = 1 – α, donde;

T : Total Estimado

sT: Desviación estándar Total

n : Tamaño de la muestra

α : Nivel de significación

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Ejemplo: En una muestra de 25 clientes de una tarjeta decrédito se encontró que el número de transaccionespromedio mensual es de 12, con una desviación estándarde 2.5. Estimar el intervalo, con un nivel de confianza de90.0%, del total de transacciones con tarjetas si el bancotiene un total de 20,000 clientes con tarjeta.

= 12, n = 25, sx = 2.5, N= 20,000 α = 0.10

Luego,

T = 20,000 × 12 = 240,000

ST= 20,000 × 2.5 = 50,000

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T = 240,000 , ST= 50,000, α = 0.10

•P[T t(n-1, α) × sT] = 1 – α

• P[240,000 t(24, 0.10) × sT] = 0.90,

• P[240,000 1.7109 × 50000] = 0.90,

• P[240,000 85,545] = 0.90,

240,000 – 85,545 = 154,455

240,000 + 85,545 = 325,545

[154,455 T 325,545] = 90.0%

Inferencia sobre la Proporción o porcentaje

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Estimación PuntualLa Proporción

px = Casos favorables/ Casos posibles

Ejemplo: Salario de nueve empleados

16.2, 14.0, 8.5, 10.0, 12.1, 5.0, 7.5, 5.0, 3.0

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Salario: 16.2, 14.0, 8.5, 10.0, 12.1, 5.0, 7.5, 5.0, 3.0

• Calcular la proporción de empleados con salario menor a RD$6.0.

• Calcular el error estándar de esta proporción

px = # de empleados con salario menor a RD$6.0

Total de empleados en la muestra

Salario: 16.2, 14.0, 8.5, 10.0, 12.1, 5.0, 7.5, 5.0, 3.0

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px = # de empleados con salario menor a RD$6.0

Total de empleados en la muestra

Px =3/9 Px =1/3 Px =0.33

Error estándar de la proporción

Salario: 16.2, 14.0, 8.5, 10.0, 12.1, 5.0, 7.5, 5.0, 3.0

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Px =0.33 Error estándar de la proporción

Salario: 16.2, 14.0, 8.5, 10.0, 12.1, 5.0, 7.5, 5.0, 3.0

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Px =0.33 Error estándar de la proporción

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Ejemplo

En una muestra de 200 clientes 93 dijeronque están muy satisfechos con el serviciorecibido

A) Estimar la proporción o porcentaje declientes muy satisfechos

B) Hallar el error estándar de la proporciónde clientes muy satisfechos

C) Explicar que significa el error estándar

Estimacion por intervalo de la

Proporción o porcentaje

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Intervalo de confianza para la Proporción

P[px Z(α/2)×Sp]=1 - αpx : Proporción obtenida en la muestraZ : Valor de la distribución normal para el nivel de

confianza dadon : Tamaño de la muestraα : Nivel de significación

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Ejemplo: Se desea estimar, con un nivel deconfianza de un 95.0%, el porcentaje declientes que están muy satisfechos con elservicio recibido. De una muestra de 200usuarios, 93 dijeron estar muy satisfecho con elservicio recibido. Estimar el intervalo deconfianza para dicha proporción

Casos Favorables 93, n = 200, px= 93/200 = 0.465

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px= 93/200 = 0.465

P[px Z(α/2) ×Sp]=1 – α

P[0.465 Z0.025×0.0353 ]= 0.95

P[0.465 1.96 ×0.0353]= 0.95

P[0.465 0.0691]= 0.95

0.465 - 0.0691 = 0.396

0.465 + 0.0691 = 0.534

[0.396 px 0.534] = 95.0%

Intervalo de confianza