distribucion muestral

Distribuciones Muestrales

Ing. Lucero Gpe. González Mundaca

Universidad Autónoma de Durango

ESTADISTICA CRIMINAL

DISTRIBUCION MUESTRAL

Es el conjunto de estadísticos (valores que resultan del análisis de muestreo), que pueden obtenerse de las diferentes muestras de igual tamaño que conforman una población determinada.

POBLACION“N”

MUESTRA 1

MEDIA VARIANZA

PROPORCION

MUESTRA 2

MEDIA VARIANZA

PROPORCION

MUESTRA n

MEDIA VARIANZA

PROPORCION

DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS •Es una distribución de probabilidades de todas las medias posibles de las muestras de igual tamaño que se pueden extraer de poblaciones dadas.

Para realizar una distribución muestral de medias es necesario seguir los siguientes pasos:

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS.1. Determinar el # de muestras

2. Listar todas las muestras3. Calcular la media para cada muestra.4. Agrupación de media y calculo de la media de medias . Completar la siguiente tabla.

5. Cálculo de la media poblacional (la media de la población dada)

6. Confirmar que 7. Calculo del error típico

8. Confirmar que

Muestreo con reposición: Muestreo sin reposición

Para: Muestreo con reposiciónError típico para muestra

Error típico para población

Tabla para encontrar la desviación

Donde: n: son los elementos que se toman de la poblaciónN: son el total de elementos de la población

Para: Muestreo sin reposiciónError típico para muestra


se determina de la misma manera que para muestreo con reposición.

f

( )x( )X

x .f X 2( )f X X

( )x

x( )

( )

2( )f x xxf

2( )f x xxf

2( )X X

DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIASCómo determinar el número de muestras y como listar las muestras.

1. Se tiene la siguiente población: N= A,B,C,D. (N= 4 elementos)Determine cuántas muestras de dos elementos (n=2) se pueden obtener y haga un listado de esas muestras.Utilice los dos métodos: muestreo con reposición y sin reposición.

Muestreo con reposiciónNúmero de muestras que se obtienen al seleccionar dos elementos de cuatro. N=4 n=2

Habrán 16 muestras de 2 elementosN= A,B,C,D.Listar muestras: cada elemento de la población se relaciona con todos los elementos.

24 16nN

AA BA CA DAAB BB CB DBAC BC CC DCAD BD CD DD

Muestreo sin reposición

Número de muestras que se obtienen al seleccionar dos elementos de cuatro.N=4 n=2

Se tendrán 6 muestras de 2 elementos

Listar muestras: como no se permite repetición; El primer elemento de la población se relaciona con todos los elementos que aparecen después de él. El segundo elemento se relaciona, con todos los elementos que están después de él. El tercer elemento se relaciona con todos los que están después de él. Y así sucesivamente. N= A,B,C,D.

DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS

24 6N nC C

AB BC CDAC BDAD

EJEMPLOS DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS (CON REPOSICIÓN)

1. Para la siguiente población: haga una distribución muestral de medias para una selección de 2 elementos.N= 1,3,5,7 Solución:DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS.1. Determinar el # de muestras (muestreo con reposición)N= 4 elementos n= 2 elementos2. Listar todas las muestras N= 1,3,5,7

3. Calcular la media para cada muestra.

24 16nN 1,1 3,1 5,1 7,11,3 3,3 5,3 7,31,5 3,5 5,5 7,51,7 3,7 5,7 7,7

muestras muestras muestras muestras

1,1 (1+1)/2= 1 3,1 (3+1)/2= 2 5,1 (5+1)/2= 3 7,1 (7+1)/2= 4

1,3 (1+3)/2= 2 3,3 (3+3)/2= 3 5,3 (5+3)/2= 4 7,3 (7+3)/2= 5

1,5 (1+5)/2= 3 3,5 (3+5)/2= 4 5,5 (5+5)/2= 5 7,5 (7+5)/2= 6

1,7 (1+7)/2= 4 3,7 (3+7)/2= 5 5,7 (5+7)/2= 6 7,7 (7+7)/2= 7

x

x x x x

4. Agrupación de media y calculo de la media de medias . Completar la siguiente tabla.

5. Cálculo de la media poblacional (la media de la población dada). N= 1,3,5,7

6. Comprobar que

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS (CON REPOSICIÓN)

x xf Prob.

1 1 1x1=1 9 9 1/162 2 2x2=4 4 8 2/163 3 3x3=9 1 3 3/164 4 4x4=16 0 0 4/16

5 3 5x3=15 1 3 3/166 2 6x2=12 4 8 2/167 1 7x1=7 9 9 1/16

Total : ∑

16 64 40 16/16

x f X 2( )f X X2( )X X En la primer columna escribimos todas las medias que resultaron, y en la segunda, el número de veces que se repite cada una de ellas.

Media de medias

64 416

f XXf

1 3 5 7 44

xN

4x





x( )

7. Calculo del error típico (usar formulas para muestreo con reposición) N= 1,3,5,7 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS (CON REPOSICIÓN)

Error típico para la muestra: N=4 elementos n=2 elementos

Error típico para la población:

2( ) 40 1.5816

f x xxf

2( )xN

xn

x1 (1-4)2= 93 (3-4)2=15 (5-4)2=17 (7-4)2=9∑ 20

2( )x

4

2( ) 20 54

xN

5 1.582

xn

8. Comprobar que x x

1.58x x

2( )f x xxf

EJEMPLOS DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS (SIN REPOSICIÓN)1. Para la siguiente población: haga una distribución muestral de medias para una selección de 2 elementos.N= 2,4,6,8Solución:DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS. 1. Determinar el # de muestras (SIN REPOSICIÓNN= 4 elementos n= 2 elementos

2. Listar todas las muestras N= 2,4,6,8

3. Calcular la media para cada muestra.

4 2 6N nC C

2,4 4,6 6,8

2,6 4,8

2,8

x

muestras muestras

2,4 (2+4)/2= 3 4,6 (4+6)/2= 5

2,6 (2+6)/2= 4 4,8 (4+8)/2= 6

2,8 (2+8)/2= 5 6,8 (6+8)/2= 7

x x

EJEMPLOS DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS (SIN REPOSICIÓN)4. Agrupación de media y calculo de la media de medias . Completar la siguiente tabla.

5. Cálculo de la media poblacional (la media de la población dada). N= 2,4,6,8

6. Comprobar que

x x

f Prob.

3 1 3x1=3 4 4 1/6

4 1 4x1=4 1 1 1/6

5 2 5x2=10 0 0 2/6

6 1 6x1=6 1 1 1/6

7 1 7x1=7 4 4 1/6

Total : ∑ 6 30 10 6/6

x f x 2( )f x x2( )x xEn la primer columna escribimos todas las medias que resultaron , y en la segunda, el numero de veces que se repite cada una de ellas.

Media de medias

30 56

f xxf

2 4 6 8 54

xN

5x

EJEMPLOS DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS (SIN REPOSICIÓN)





x( )

7. Calculo del error típico (usar formulas para muestreo sin reposición) N= 2,4,6,8Error típico para la muestra: N=4 elementos n=2 elementos


2( ) 10 1.296

f x xxf

2( )xN

.1

N nxNn

x2 94 16 18 9∑ 20

2( )x

5

2( ) 20 54

xN

5 4 2. . 1.291 4 12

N nxNn


1.29x x

2( )f x xxf

Ejercicio. Sea la población de 5 calificaciones: 4,5,6,7 y 8. Construya la distribución de medias respectivas con y sin reposición para una muestra de tamaño 2 y sin reposición para una muestra de tamaño 3.

Muestreo sin reposición

Número de muestras que se obtienen al seleccionar dos elementos de cuatro.N=5 n=2

Se tendrán 6 muestras de 2 elementos

Listar muestras: como no se permite repetición; El primer elemento de la población se relaciona con todos los elementos que aparecen después de él. El segundo elemento se relaciona, con todos los elementos que están después de él. El tercer elemento se relaciona con todos los que están después de él. Y así sucesivamente. N= 4,5,6,7,8.

DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS

24 6N nC C

4,5 5,6 6,7 7,84,6 5,7 6,84,7 5,84,8

5 10

TAREA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS (CON REPOSICIÓN)

1. Sea la población de 5 calificaciones: 4,5,6,7 y 8. Construya la distribución de medias respectivas con y sin reposición para una muestra de tamaño 2 y sin reposición para una muestra de tamaño 3.N= 4,5,6,7,8 Solución:1. Determinar el # de muestras (muestreo con reposición)N= 5 elementos n= 2 elementos2. Listar todas las muestras N= 4,5,6,7,8

3. Calcular la media para cada muestra.muestra

smuestr

asmuestr

asMuestras muestras

4,4 (4+4)/2= 4 5,4 (5+4)/2= 4.5 6,4 (6+4)/2= 5 7,4 (7+4)/2= 5.5

8,4 (8+4)/2= 6

4,5 (4+5)/2= 4.5

5,5 (5+5)/2= 5 6,5 (6+5)/2= 5.5

7,5 (7+5)/2= 6 8,5 (8+5)/2= 6.5

4,6 (4+6)/2= 5 5,6 (5+6)/2= 5.5 6,6 (6+6)/2= 6 7,6 (7+6)/2= 6.5

8,6 (8+6)/2= 7

4,7 (4+7)/2= 5.5

5,7 (5+7)/2= 6 6,7 (6+7)/2= 6.5

7,7 (7+7)/2= 7 8,7 (8+7)/2= 7.5

4,8 (4+8)/2= 6 5,8 (5+8)/2= 6.5 6,8 (6+8)/2= 7 7,8 (7+8)/2= 7.5

8,8 (8+8)/2= 8

x

x x x x

4,4 5,4 6,4 7,4 8,44,5 5,5 6,5 7,5 8,54,6 5,6 6,6 7,6 8,64,7 5,7 6,7 7,7 8,74,8 5,8 6,8 7,8 8,8

x

4. Agrupación de media y calculo de la media de medias . Completar la siguiente tabla.

5. Cálculo de la media poblacional (la media de la población dada). N= 4,5,6,7,8

6. Comprobar que

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS (CON REPOSICIÓN)

x xf Prob.

4 1 4x1=4 4 4 1/254.5 2 4.5x2=9 2.25 4.5 2/255 3 5x3=15 1 3 3/25

5.5 4 5.5x4=22

0.25 1 4/25

6 5 6x5=30 0 0 5/256.5 4 6.5x4=2

60.25 1 4/25

7 3 7x3=21 1 3 3/257.5 2 7.5x2=1

52.25 4.5 2/25

8 1 8x1=8 4 4 1/25Total :

∑25 150 25 25/25

x f X 2( )f X X2( )X X En la primer columna escribimos todas las medias que resultaron, y en la segunda, el número de veces que se repite cada una de ellas.

Media de medias

64 416

f XXf

1 3 5 7 44

xN

4x





x( )

7. Calculo del error típico (usar formulas para muestreo con reposición) N= 1,3,5,7 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS (CON REPOSICIÓN)

Error típico para la muestra: N=4 elementos n=2 elementos


2( ) 40 1.5816

f x xxf

2( )xN

xn

x4 (4-6)2= 45 (5-6)2=16 (6-6)2=07 (7-6)2=18 (8-6)2=4∑ 10

2( )x

4

2( ) 20 54

xN

5 1.582

xn


1.58x x

2( )f x xxf

=

√ 2525=1

√21

1

EJEMPLOS DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS (SIN REPOSICIÓN)1. Sea la población de 5 calificaciones: 4,5,6,7 y 8. Construya la distribución de medias respectivas con y sin reposición para una muestra de tamaño 2 y sin reposición para una muestra de tamaño 3.N= 4,5,6,7,8 Solución:DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS. 1. Determinar el # de muestras (SIN REPOSICIÓNN= 5 elementos n= 3 elementos

2. Listar todas las muestras N= 4,5,6,7,8

3. Calcular la media para cada muestra.xmuestras muestras muestras

4,5 (4+5)/2= 4.5

5,6 (5+6)/2= 5.5

6,8 (6+8)/2= 7

4,6 (4+6)/2= 5 5,7 (5+7)/2= 6 7,8 (7+8)/2= 7.5

4,7 (4+7)/2= 5.5

5,8 (5+8)/2= 6.5

4,8 (4+8)/2= 6 6,7 (6+7)/2= 6,5

x x

24 6N nC C 5 10

34,5 5,6 6,7 7,84,6 5,7 6,84,7 5,84,8

x

EJEMPLOS DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS (SIN REPOSICIÓN)4. Agrupación de media y calculo de la media de medias . Completar la siguiente tabla.

5. Cálculo de la media poblacional (la media de la población dada). N= 4,5,6,7,8

6. Comprobar que

x x

f Prob.

4.5 1 4.5x1=4.5 2.25 2.25 1/10

5 1 5x1=5 1 1 1/10

5.5 2 5.5x2=11 0.25 0.5 2/10

6 2 6x2=12 0 0 2/10

6.5 2 6.5x2=13 0.25 0.5 2/10

7 1 7x1=7 1 1 1/10

7.5 1 7.5x1=7.5 2.25 2.25 1/10

Total : ∑ 10 60 7.5 10/10

x f x 2( )f x x2( )x x En la primer columna escribimos todas las medias que resultaron , y en la segunda, el numero de veces que se repite cada una de ellas.

Media de medias

30 56

f xxf

2 4 6 8 54

xN

5x

6010=6

6

6

x4 (4-6)2= 45 (5-6)2=16 (6-6)2=07 (7-6)2=18 (8-6)2=4∑ 10

EJEMPLOS DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS (SIN REPOSICIÓN)





x( )

7. Calculo del error típico (usar formulas para muestreo sin reposición) N= 4,5,6,7,8Error típico para la muestra: N=5 elementos n=3 elementos


2( ) 10 1.296

f x xxf

2( )xN

.1

N nxNn

2( )x

5

2( ) 20 54

xN

5 4 2. . 1.291 4 12

N nxNn


1.29x x

2( )f x xxf

6

=

= 0.707 √2√3

PROPORCIÓN es la fracción, porción relativa o porcentaje que expresa la parte de la población o muestra que tiene un atributo particular de interés.

INTRODUCCIÓN

Se define como p = x/n, donde x es el número de elementos en la muestra que poseen cierta característica y n es el total de elementos de la muestra.

Una proporción muestral

Distribución muestral de una proporciónExisten ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media

de una muestra, sino que queremos investigar la proporción de personas con cierta preferencia, etc. en la muestra. La distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones.

DISTRIBUCION

El estimador de una proporción poblacional debe estar a mas o menos de 0.05, como un nivel de confianza de 95%. El mayor estimador de la proporción poblacional es de 0.15 .De que tamaño debe ser la muestra que se requiere?

Formula a aplicar: n= P(1-P) (z/e) 2

Donde: P= proporciónZ= valor limitee= error muestral

Solución :

El estimador de la proporción poblacional debe estar a mas menos de 0.10 con el nivel de confianza de 99%. El mejor de la proporción poblacional es de 0.45. De que tamaño debe ser la muestra que se requiere?

Ejemplo

Formula a aplicar: n= P(1-P) (z/e) 2

Intervalo de confianza para la proporcion

• En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada.

•Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional.

EJERCICIO # 1 Claudia Zepeda considera postularse para la alcaldía

de la ciudad de Houston , Texas . Antes de la postulación decide realizar una encuesta entre los electores de Houston . Una muestra de 400 (n) electores revela que 300(x) la apoyaran en las elecciones de noviembre.

DATOS:x = 300n = 400

a.- Calcule el valor de la muestra de la proporción

p= x/n = 300/400= 0.75

b.- Calcule el error estándar de la proporción muestral

c.- Construya un intervalo de confianza de 99% para la proporcion poblacional

Las pruebas de hipótesis se probará la hipótesis nula de que p = p0. La información de que suele disponerse para la estimación de una porción real o verdadera (porcentaje o probabilidad) es una proporción muestral, donde x es el número de veces que ha ocurrido un evento en n ensayos.

PRUEBA DE HIPOTESIS Y TOMA DE DECISIONES

Donde las variables son: n= Tamaño de la muestrax= MuestraH0= Hipótesis Nula H1= Hipótesis Alterna o Alternativas= Error Estandar o Tipico (desviacion estandar)p= Propocion Muestralp= Proporcion Poblacional

Toma de decisión: Para tomar una decisión, es necesario conocer, comprender, analizar el problema, para así poder darle solución.

Planteamiento del problema

Se ha determinado que 60% de los estudiantes de la universidad De San Carlos fuman cigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 800 estudiantes. Calcule la probabilidad de que la proporción de la muestra de la gente que fuma cigarrillos sea menor que 0.55.

PROBLEMA #1

DatosP =0.60n = 800 estudiantesp =.55p(p<0.55)= ?

Media=np = (800)(0.60) = 480

El procedimiento para la prueba de hipótesis de proporciones es el siguiente:

Especifica la hipótesis nula y alternativa.

Hipótesis Nula: Ho = p < .55

Hipótesis Alternativa: Ha = P > .55

Donde p = la proporción de la gente que fuma cigarrillos.

Se Calcula nuestro estadístico (error estándar), Z y tomamos una decisión:

npps p

)1(

Donde: p = proporción especificada en la hipótesis nula. n = tamaño de la muestra.

Por consiguiente: 0173.0800

)60.01(60.0

ps

psHproporciónobservadaproporciónz )_()_( 0

92.20173.0

60.0549375.0

z

Interpretación:

La interpretación en esta solución, estaría enfocada a la proporción de la muestra, por lo que diríamos que la hipótesis nula es aceptada porque la probabilidad de que al extraer una muestra de 800 estudiantes de esa universidad, la proporción de estudiantes que fuman cigarrillos sea menor al 55% es del 0.17%.



Un medicamento para malestar estomacal tiene la advertencia de que algunos usuarios pueden presentar una reacción adversa a él, más aún, se piensa que alrededor del 3% de los usuarios tienen tal reacción. Si una muestra aleatoria de 150 personas con malestar estomacal usa el medicamento, encuentre la probabilidad de que la proporción de la muestra de los usuarios que realmente presentan una reacción adversa, exceda el 4%.

PROBLEMA #2

DatosP =0.03n = 150 personasp =0.04p(p<0.04)= ?

Media=np = (150)(0.03) = 4.5





Donde p = la proporción de los usuarios que realmente presentan una reacción adversa.


npps p

)1(



)03.01(03.0

ps


96.00139.0

03.00433.0

z

Interpretación:

Observe que este valor es igual al obtenido y la interpretación es: existe una probabilidad del 17% de que al tomar una muestra de 150 personas se tenga una proporción mayor de 0.04 presentando una reacción adversa.Por lo tanto se rechaza la hipótesis nula.



Se sabe que la verdadera proporción de los componentes defectuosos fabricadas por una firma es de 4%, y encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 60 tenga:Menos del 3% de los componentes defectuosos.

TAREA


Se sabe que la verdadera proporción de los componentes defectuosos fabricadas por una firma es de 4%, y encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 60 tenga:Menos del 3% de los componentes defectuosos.

PROBLEMA #3

DatosP =0.04n = 60 articulosp =0.03p(p<0.03)= ?

Media=np = (60)(0.04) = 24





Donde p = la proporción de los componentes defectuosos.


npps p

)1(



)04.01(04.0

ps


73.00253.0

04.00216.0

z

Interpretación:

La probabilidad de que en una muestra de 60 artículos exista una proporción menor de 0.03 artículos defectuosos es de 0.2327.La hipótesis nula es aceptada.


DISTRIBUCION MUESTRAL DE DIFERENCIAS Y SUMAS

•Supóngase que se tienen dos poblaciones. Para cada muestra de tamaño N1 extraída de la primera población se calcula un estadístico S1. Esto proporciona una distribución muestral del estadístico S1 cuya media y desviación típica vienen dadas por µs, y σs respectivamente. •Análogamente, para cada muestra de tamaño N2, extraída de la segunda población, se calcula un estadístico S2. Esto igualmente proporciona una distribución muestral del estadístico S2, cuya media y desviación típica vienen dadas por µs2 y σ s2. •De todas las posibles combinaciones de estas muestras de las dos poblaciones se puede obtener una distribución de las diferencias, S1 –S2 que se conoce como distribución muestral de diferencias de los estadísticos. La media y la varianza de esta distribución muestral se denotan, respectivamente, por µs1 –s2 y σs1 –s2.

EJEMPLOS DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE DIFERENCIAS Y SUMAS

Sea U1 la variable de los elementos de la población 3, 7, 8 y U2 la variable de los elementos de la población 2,4. Calcular :(a) , (b) , (c) , (d) ,(e) y (f) .

Solución: (b) = media de la población U1 = (3 + 7+ 8)/3= 6.

(c) = media de la población U2 = (2 + 4)/2 =3.

(d)La población consistente en las diferencias de cualquier término de U1 y cualquiera de U2 es:

3-2 7-2 8-2 o 1 5 6 3-4 7-4 8-4 o -1 3 4

Entonces = media de (U1-U2) = Esto concuerda con el resultado general = - sacado de

(a) y (b).


(d) = varianza de la población U1 =

o =

(e) = varianza de la población U2 = o = 1

f) = varianza de la población (U1-U2) = o = Esto concuerda con el resultado general para muestras

independientes, = sacado de (d) y (e).

TAREA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE DIFERENCIAS Y SUMAS

Sea U1 la variable de los elementos de la población 50, 150, 250 y U2 la variable de los elementos de la población 300,450. Calcular :(a) , (b) , (c) , (d) ,(e) y (f) .

Solución: (b) = media de la población U1 = (50 + 150 + 250)/3= 150.

(c) = media de la población U2 = (300 + 450)/2 =375.

(d)La población consistente en las diferencias de cualquier término de U1 y cualquiera de U2 es:

50-300 150-300 250-300 o -250 -150 -50 50-450 150-450 250-450 o -400 -300 -200

Entonces = media de (U1-U2) = Esto concuerda con el resultado general = - sacado de

(a) y (b).

= -225


(d) = varianza de la población U1 =

o =

(e) = varianza de la población U2 = o = 5625

f) = varianza de la población (U1-U2) = o Esto concuerda con el resultado general para muestras

independientes, = sacado de (d) y (e).

= 12291.66

GRACIAS POR SU ATENCION!!!

distribucion muestral

Documents

Transcript of distribucion muestral