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Alonso Ramírez Manzanares Métodos Numéricos 09.11

Diferenciación numéricaMAT-251

Dr. Alonso Ramírez ManzanaresCIMAT A.C.e-mail: alram@cimat.mxweb: http://www.cimat.mx/~alram/met_num/

Dr. Salvador BotelloCIMAT A.C.e-mail: botello@cimat.mx

Saturday, November 12, 16

¿Cuándo es necesario aplicar diferenciación numérica?

• En la solución de ecuaciones diferenciales

• En todo lo que resta del curso.

• Ejemplos: Derivadas parciales de funciones R2 -> R

• En la solución de ecuaciones diferenciales

• En todo lo que resta del curso.

• Ejemplos: Derivadas parciales de funciones R2 -> R

Teóricamente , tenemos que

• El cálculo de la derivada en un punto está dada por:

• sin embargo, en la práctica (numéricamente) tenemos problemas por error de redondeo.

Aproximación numérica de la derivada

• Ahora, vamos a aproximar f’(x0), con x0 ∈ (a,b) y f ∈ C2[a,b], de tal forma que el intervalo define x1 = x0 + h para h ≠ 0, de tal manera que h es lo suficientemente pequeño para que x1 ∈ [a,b].

• Aproximamos utilizando el polinomio de Lagrange para f usando x0 y x1:

• para un número ξ en [a,b]. Aquí la idea es que obtengamos una cota del error.

• Ahora, vamos a aproximar f’(x0), con x0 ∈ (a,b) y f ∈ C2[a,b], de tal forma que el intervalo define x1 = x0 + h para h ≠ 0, de tal manera que h es lo suficientemente pequeño para que x1 ∈ [a,b].

• Aproximamos utilizando el polinomio de Lagrange para f usando x0 y x1:

• para un número ξ en [a,b]. Aquí la idea es que obtengamos una cota del error.

• Derivando

• obtenemos

• Derivando

• obtenemos

• Por lo tanto la aproximación PARA TODO x que obtenemos es (lo que habíamos supuesto, mhh):

• pero ahora tenemos una expresión para el error:

• Por lo tanto la aproximación PARA TODO x que obtenemos es (lo que habíamos supuesto, mhh):

• pero ahora tenemos una expresión para el error:

• Esta parte del error depende de h y la segunda derivada de f

• Esta parte del error depende de

• Lo cual NO ES MUY UTIL pues contiene un término desconocido

• Pero cuando x = x0, (para estos puntos es lo que normalmente aproximamos) entonces este término desaparece y queda el error simplificado como:

• para un número ξ ∈[x0, x0 +h].

Aproximación numérica de la derivada• Supóngase que |f’’(x)| está acotado por M en [x0,x0+h], entonces el error está

acotado por M|h| / 2.

• Esta aproximación es entonces la bien conocida “diferencia hacia adelante” (forward difference formula) para h >0, y “diferencia hacia atras” (backward difference formula) si h<0.

Aproximación de diferencias hacia adelante.

Aproximación numérica de la derivada• Supóngase que |f’’(x)| está acotado por M en [x0,x0+h], entonces el error está

acotado por M|h| / 2.

• Esta aproximación es entonces la bien conocida “diferencia hacia adelante” (forward difference formula) para h >0, y “diferencia hacia atras” (backward difference formula) si h<0.

Aproximación de diferencias hacia adelante.

Ejemplo:

• Sea f(x) = ln(x) y x0 = 1.8.

• Donde el error de la aproximación por diferencia hacia adelante se comporta

Ejemplo:

• Sea f(x) = ln(x) y x0 = 1.8.

Ejemplo:

• Sea f(x) = ln(x) y x0 = 1.8.

Caso donde el error es más grande ya que:

Ejemplo:

• Sea f(x) = ln(x) y x0 = 1.8.

Caso donde el error es más grande ya que:

Ejemplo:

• Aproximaciones obtenidas para diferentes valores de h (valor exacto )

Aproximación de derivadas en el caso general• Para n+1 números distintos en un intervalo [x0,xn], y usando polinomios de

Lagrange

• donde suponemos que f ∈ Cn+1 [x0,xn] y el valor ξ(x) está dentro de [x0,xn].

• La derivada de esta expresión nos lleva a

Aproximación de derivadas en el caso general• Para n+1 números distintos en un intervalo [x0,xn], y usando polinomios de

Lagrange

• donde suponemos que f ∈ Cn+1 [x0,xn] y el valor ξ(x) está dentro de [x0,xn].

• La derivada de esta expresión nos lleva a

Aproximación de derivadas en el caso general

• En esta expresión usamos el mismo razonamiento que en el caso anterior, tomando en cuenta la aproximación para los xk.

• Quedando en particular:

en el caso de 2 puntos quedaba x0 - x1 = -h

• Esta aproximación de derivadas se conoce como la aproximación de n+1 puntos. En teoría, entre más puntos agreguemos es más exacta, pero en la práctica resulta problemático usar muchos puntos por el error de redondeo y las múltiples evaluaciones de la función.

01(x) =

2x� x0 � x2

(x1 � x0)(x1 � x2)

02(x) =

2x� x0 � x1

(x2 � x0)(x2 � x1)

• Calculemos

Aproximación de derivada de 3 puntos

L0(x) =(x� x1)(x� x2)

(x0 � x1)(x0 � x2)! L

00(x) =

2x� x1 � x2

(x0 � x1)(x0 � x2)

• Por lo tanto, usando

• Tenemos para una xj

• y cuando los nodos son equidistantes (x0, x1 = x0+h, x2 = x0 +2h)

• para un ξ ∈[x0, x0 + 2h] (queda un -2h y un -h).

0(xj) = f(x0)L00(xj) + f(x1)L0

1(xj) + f(x2)L02(xj)

(3)(⇠j)2Y

k=0,k 6=j

(xj � xk)

0(xj) = f(x0)L00(xj) + f(x1)L0

1(xj) + f(x2)L02(xj)

(3)(⇠j)2Y

k=0,k 6=j

(xj � xk)

0(xj) = f(x0)L00(xj) + f(x1)L0

1(xj) + f(x2)L02(xj)

(3)(⇠j)2Y

k=0,k 6=j

(xj � xk)

0(xj) = f(x0)L00(xj) + f(x1)L0

1(xj) + f(x2)L02(xj)

Aproximación de derivada de 3 puntos• Si hacemos los mismos cálculos, pero ahora tomando el polinomio de

Lagrange que pasa por los puntos x0-h, x0, x0+h, obtenemos:

• para un ξ ∈[x0-h x0+h].

• Pero nótese que este error es la mitad en magnitud que el anterior, y que la función se evalúa en solo 2 puntos (aún así, ambas se llaman fórmulas de aproximación de 3 puntos).

• El anterior se debería de utilizar cuando se está en las fronteras del intervalo, con -h en la frontera derecha y con +h en la frontera izquierda.

• La expresión de arriba se debería de utilizar en todos los demás casos

Aproximación de derivada de 3 puntos• Si hacemos los mismos cálculos, pero ahora tomando el polinomio de

Lagrange que pasa por los puntos x0-h, x0, x0+h, obtenemos:

• para un ξ ∈[x0-h x0+h].

• Pero nótese que este error es la mitad en magnitud que el anterior, y que la función se evalúa en solo 2 puntos (aún así, ambas se llaman fórmulas de aproximación de 3 puntos).

• El anterior se debería de utilizar cuando se está en las fronteras del intervalo, con -h en la frontera derecha y con +h en la frontera izquierda.

• La expresión de arriba se debería de utilizar en todos los demás casos

• La última es una aproximación centrada, e intuitivamente funciona mejor porque toma información de adelante y atrás, y no solo de una dirección.

• Análogamente, si derivamos las expresiones usando el polinomio de Lagrange que pasa por 5 puntos desde x0-2h hasta x0+2h obtenemos

• O bien para el intervalo x0 hasta x0+4h

Ejemplo comparativo:• Tenemos la tabla de evaluaciones de la función f(x) = xex

• Queremos aproximar f’(2.0) (sabemos que es (x+1)ex, lo resulta en 22.167168)

• Los errores son:

Aproximaciones de 3 puntos

Aproximación de 5 puntos

Otro Factor: Error de redondeo

• Veamos que tan determinante es el error de redondeo, en la ecuación de 3 puntos centrada

• Cuando calculamos las expresiones tenemos errores numéricos relacionados de la siguiente manera:

• Con el siguiente error de aproximación total (error de redondeo + truncamiento):

Error de redondeo

• Suponiendo que los errores de redondeo están acotados por un número ε y la 3ª derivada de f(x) por un valor M, tenemos que:

• Entonces, como casi siempre en la vida, tenemos un compromiso en h: queremos reducir el error de truncamiento pero no aumentar el error de redondeo.

• En la práctica, si usamos un h demasiado pequeño el error de redondeo domina (recordar que pasa cuando el error de redondeo es dividido por un número pequeño).

Ejemplo de error de redondeo

• Dada la tabla

• Aproximar f’(0.9) (el valor de la derivada es cos(0.9)=0.62161 ) usando la siguiente fórmula para diferentes valores de h (cifras de 5 dígitos, continua...)

• Dada la tabla

• Aproximar f’(0.9) (el valor de la derivada es cos(0.9)=0.62161 ) usando la siguiente fórmula para diferentes valores de h (cifras de 5 dígitos, continua...)

• Minimizar

• En este caso podemos calcular una cota para M en [.8 y 1] y cos(0.8) para encontrar

• Minimizar

mínimo cerca de

• Minimizar

mínimo cerca de

• Minimizar

mínimo cerca de

• Minimizar

mínimo cerca de

• Minimizar

mínimo cerca de

• Minimizar

mínimo cerca de

Conclusiones

• ¡¡La diferenciación numérica es inestable numéricamente!!

Conclusiones

• Y debe de ser evitada en lo posible.

Conclusiones

• Y debe de ser evitada en lo posible.

• No podemos evitarla :(

Aproximación de derivadas de orden superior

• La aproximación de segundo orden de la derivada centrada en el intervalo [x0-h , x0+h] está dada por:

• para un número ξ entre [x0-h , x0+h]

0(x) =f(x + h/2)� f(x� h/2)

00(x) =f

0(x + h/2)� f

0(x� h/2)h

0(x) =f(x + h/2)� f(x� h/2)

00(x) =f

0(x + h/2)� f

0(x� h/2)h

00(x) =f(x+h/2+h/2)�f(x+h/2�h/2)

� f(x�h/2+h/2)�f(x�h/2�h/2)h

• De igual manera se puede aproximar la derivada de segundo orden hacia adelante como

• En general las derivadas centrales quedan como

00(x0) =f(x0 + 2h)� 2f(x0 + h) + f(x0)

(n)h (x0) =

(�1)i

◆f(x0 + (n/2� i)h)

00(x0) =f(x0 + 2h)� 2f(x0 + h) + f(x0)

(n)h (x0) =

(�1)i

◆f(x0 + (n/2� i)h)

Caso particular:

00(x0) =f(x0 + 2h)� 2f(x0 + h) + f(x0)

(n)h (x0) =

(�1)i

◆f(x0 + (n/2� i)h)

Caso particular:

Derivadas de alto orden

• En general, lo que uno hace para aproximar derivadas de alto orden es

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