MECANICA DE FLUIDOS ITema: DINÁMICA DE LOS FLUIDOS IDEALES Y ECUACIÓN DE BERNOULLI

Facultad de Ingeniería, Arquitectura y Urbanismo

Escuela Profesional de Ingeniería Civil

DINAMICA DE LOS FLUIDOS

La dinámica de fluidos (parte de la reologia) es una rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de las leyes de los fluidos en movimiento.

HIDRODINÁMICA AERODINÁMICA

ESTUDIA LOS FLUIDOS

IMCOMPRESIBLES

ESTUDIA MOVIMIENTOS DE LOS GASES

INTRODUCCIÓN

Características: Viscosidad cero. Flujo estacionario. Son incompresibles . El flujo es laminar. Es de flujo irrotacional. La velocidad de todas las moléculas

del fluido en una sección transversal de tubería es la misma.

Un fluido ideal no tiene fricción, es incompresible a aquel que fluye sin dificultad alguna, aquel cuya viscosidad vale cero y que no es turbulento. En la naturaleza no existen fluidos ideales, pero en ciertas circunstancias -en las que resulta una razonable aproximación a la realidad será aplicable a fluidos con viscosidad pequeña.

FLUIDOS IDEALES

FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTO

Flujo laminar. Es un flujo en el cual el fluido puede ser considerado lento y que se mueve en capas uniformes denominadas laminas.

Flujo turbulento.  este tipo de flujo es rapido las láminas fluyen desorganizadas y caoticas, tanto en su dirección como en su velocidad.

DINÁMICA DE LOS FLUIDOS PERFECTOS;

;

Se estudiara el elemento diferencial ortoédrico, situado en el interior de la masa de un fluido en movimiento, sometido a las presiones que sobre sus caras ejerce el resto del fluido y a la acción de fuerzas exteriores o de masa.

Sea “p” la presión que actúa sobre cada una de las caras del triedro más próximo al origen de coordenadas. Sobre las caras del triedro opuesto las presiones serán respectivamente:

Habiéndose despreciado infinitésimas de orden superior al primero.

= Resultante de la Fuerzas externas unitaria o Fuerza total externa por unidad de masa (concentrada en el centro de gravedad de la masa contenida en el elemento diferencial ortoédrico de volumen

Donde X, Y y Z son las componentes de la fuerza unitaria o fuerza por unidad de masa.

Siendo “m” la masa de una partícula en movimiento y su aceleración interna y la fuerza que actúa, se puede escribir:

F

d dxdydz

F X i Y j Z k

mA R

x y z x y zmA i mA j mA k R i R j R k

dxx

pp

dyy

pp

dzz

pp

Con relación a cada uno de los ejes se presentan las siguientes ecuaciones generales, cuando existen movimientos relativos:

m Ax = Rx …. (1)

m Ay = Ry….. (2)

m Az = Rz ….. (3)

Desarrollo de (1):

 

Pero: m = masa contenida en el elemento diferencial ortoédrico

m d

Xx AmF .

xmAXmdydzdxx

pppdydz

xAddXdydzdxx

pppdydz

  

0   

xAdxdydzdxdydzXdxdydzx

ppdydzpdydz

xAdxdydzdxdydzXdxdydzx

p   

)  (  xAXdxdydzdxdydzx

p

Análogamente, desarrollando (2) y (3), resulta:

))......(   ( IAXx

px

)).....(   ( IIIAZzp

z

)).....(   ( IIAYyp

y

Sumando miembro a miembro (I), (II), y (III), vectorialmente:

p (F A).........(IV)

x y z

p p pi j k (X A ) i (Y A ) j (Z A )k

x y z

La expresión (IV), constituye la Ecuación Fundamental Vectorial de la Dinámica del Fluido Perfecto.

Donde:

p = presión media que actúa sobre las caras del volumen diferencial ortoédrico más próximo al origen de coordenadas.

r = densidad del fluido

= Fuerza unitaria o fuerza por unidad de masa; que depende del volumen considerado, como por ejemplo el peso. Es una aceleración, pero externa.

= Aceleración (interna) de la partícula fluida.

F

A

Si A = 0, entonces; De la expresión (IV), despejando, resulta: Se conoce que:

(6) en (5)Ecuación vectorial de la Dinámica del fluido perfecto o Ecuación de

Euler:

1A p F............(5)

2v 1A (v ) ( v) v........(6)

t 2

2v 1 1(v ) ( v) v p F..........( )

t 2

M

p F

Para el caso de movimiento permanente del fluido perfecto, sometido exclusivamente al campo gravitacional.

Ecuación de Bernoulli o el Teorema de Bernoulli, resulta de la aplicación de la Ecuación de Euler, a los fluidos sujetos a la acción de la gravedad (fluidos pesados), en movimiento permanente.En estas condiciones, de la Ecuación de Euler:

Ecuación de Bernoulli

V0

t

; (Movimiento permanente; las características hidráulicas en un punto se mantienen constantes).

Como está sometido sólo a la acción del campo gravitacional, actuará sólo en la componente z, en estas condiciones:

F X i Y j Zk

Donde: X = 0

Y = 0

Z =-g

Luego:

F gk

Y reemplazándolo en la ecuación anterior resulta:

21 1(v ) ( v) v p gk

2

Proyectamos la expresión vectorial en la dirección (vector direccional de la partícula): dr dx i dy j dzk

21 1(v ) dr ( v) v dr p dr gk dr ........( )

2

Casos:

1.-Movimiento Irrotacional: v 0

( v) v dr 0

21 1(v ) dr p dr gk dr ........( )

2

Cálculo de: 21

(v ) dr2

2 2 221 1 v v v

(v ) dr dx dy dz ..........(A)2 2 x y z

1p dr

1 1 p p pp dr dx dy dz ..........(B)

x y z

gk dr

gk dr gdz..........(C)

Reemplazando (A), (B) y (C) en ( Ω )

gdzdzz

pdy

y

pdx

x

p1dz

z

Vdy

y

Vdx

x

V

2

1 222

21 1d(v ) d(p) gdz

2

21 1d(v ) d(p) gdz 0

2

Dividiendo entre “g”: 21 1 d(v )dz d(p) 0

2 g

Ecuación diferencial de Bernoulli, se utiliza tanto para líquidos y gases.

2) Movimiento Rotacional:

y son vectores paralelos (tienden a ser colineales). Es decir que se considera tangente a la línea de corriente y por lo tanto paralelo o colineal con .

v

dr

dr

v

De la ecuación de Euler ( ):21 1

(v ) dr ( v) v dr p dr gk dr ........( )2

Desarrollo del término

( v) v dr

De la figura se observa que los vectores y ;

son ortogonales, por lo tanto por definición de producto escalar:

= 0

Por lo tanto la ecuación de Euler ( ) se reduce a la expresión ( )

( v) v

dr

( v) v dr

21 1(v ) dr p dr gk dr ........( )

2

Cuyo desarrollo es el mismo para el caso del Movimiento Irrotacional; es decir, la Ecuación Diferencial de Bernoulli:

21 1 d(v )dz d(p) 0

2 g

3) Fluidos Líquidos (Incompresibles), en Movimiento Rotacional o Irrotacional, en movimiento permanente, sometido exclusivamente a la acción del campo gravitacional.

= Cte. (si no habría que expresarlo en función de “”)2p v

z Cte.2g

Ecuación de Bernoulli o Teorema de Bernoulli, o Ecuación de la Energía para un fluido incompresible, perfecto, cuyo desarrollo en dos secciones de una corriente líquida será:

2 21 1 2 2

1 2

p v p vz z Cte.

2g 2g

“A lo largo de cualquier línea de corriente, la suma de las alturas cinéticas (V2/2g), piezométricas (p/) y potencial (z) es constante”El Teorema de Bernoulli no es otra cosa que el principio de Conservación de la Energía. Cada uno de los términos de la ecuación representa una forma de Energía o la capacidad de producir trabajo:

Z = Energía de posición o potencial o carga de posición.

= Energía de presión o

piezométrica o carga de presión.

= Energía cinética o carga de velocidad.

p

2v

2g

Primer Término: (z)

Significado de cada uno de los términos de la Ecuación de Bernoulli

Es una cota, o sea la distancia de un plano “P” a un cuerpo “M”.Imaginemos que el cuerpo tiene una masa “M” y un peso “W”. Por su posición respecto a “P” este cuerpo puede desarrollar un trabajo al descender de su posición primitiva a “P”. Siendo la energía de posición la cantidad de trabajo que puede dar un cuerpo al pasar de una posición en su plano a otro plano, tenemos: Ep = W z

Cuando W = 1, ya sea un kilogramo o una libra; la energía de posición del cuerpo es “z”.

“z” representa entonces la energía de posición de un kilogramo o una libra de agua.

Ep = z = Energía potencial o de posición por unidad de peso.

Segundo Término: (V2/2g)Supongamos un cuerpo cuyo peso es “W” y de masa “m”, animado de una velocidad “V”, que desliza sin frotamiento sobre un plano. Por el principio de inercia sabemos que si ninguna fuerza interviene, el cuerpo continúa indefinidamente su movimiento; entonces la energía cinética, o sea la capacidad que tiene el cuerpo para dar trabajo, estará medida por la relación:

2

VmE

2

c

Como m = W/g; sustituyendo en la fórmula anterior:2

V

g

WE

2

c

Cuando W = 1 (kg o lb) la energía cinética es:

g2

VE

2

c

Esto nos dice que el segundo término de la Ecuación de Bernoulli representa la energía cinética que posee cada kilogramo o libra de líquido, por esto se le llama carga de velocidad.

Tercer Término: (p/)

Imaginemos un cuerpo de bomba horizontal, provisto de un émbolo con su vástago y conteniendo una cierta cantidad de agua.La llave “A” está cerrada y sobre el émbolo está actuando una fuerza “F” que ejerce compresión sobre el líquido, por lo que está sometido a una presión que llamaremos “p” y que es igual a p = F/S.

Si se deja actuar a la fuerza “F” indefinidamente, el líquido será sometido a la presión “p”, si abrimos la llave “A”, el líquido puede dar cierta cantidad de trabajo al exterior, lo que significa que el líquido tiene una cierta energía, que es lo que le da el trabajo producido por “F”. Llamando “L” a la distancia que recorre el émbolo para expulsar el agua del cilindro, la energía que pueda poseer el líquido por la acción de “F” vale:

Ep = F L ; pero F = p S

Ep = p S L ;pero S L =

Ep = p

Pero también:W

luego: W

Wp

Reemplazando en Ep = p :

Ep =

Cuando W = 1 (kg o lb)

pEp

Esta última energía de presión no propia del fluido, proviene del exterior pero es cómodo considerarla como poseída por aquel.

PROBLEMAS

PROBLEMA N° 01Está circulando 0.37 m3/seg. De agua de a hacia b, existiendo en a una altura de Presión de 6.60m. Suponiendo que no existen perdidas de energía entre a y b, Determinar la altura de presión en b

Va²/2g

Pa = 6.60m

Za = 3.00m

Da = 0.30

Db = 0.60

Va²/2g

Pb

Zb = 7.50mPLANO DE REFERENCIA

LINEA DE ALTURAS TOTALES

D D

Se aplica la Ecuación de Bernoulli entre a y b tomando como plano de referencia la horizontal que pasa por a.Energía en a + Energía Añadida + Energía Perdida = Energía en b

(Pa + Va²/2g + Za) + 0 - 0 = (Pb + Vb²/2g + Zb)

Donde :

Va = Q / A = 0.37 / (p/4)(0.30²) = 5.24 m/seg.

Vb = Q / A = 0.37 / (p/4)(0.60²) = 1.31 m/seg.

Sustituyendo tenemos :

(6.60 + 1.40 + 0) - 0 = (Pb + 0.09 +4.50)

Pb = 3.41m

Va²/2g

Pa = 6.60m

Za = 3.00m

Da = 0.30

Db = 0.60

Va²/2g

Pb

Zb = 7.50mPLANO DE REFERENCIA

LINEA DE ALTURAS TOTALES

D D

Puede representarse la Energía Total en una sección cualquiera como la altura sobre un plano horizontal de referencia. Utilizando en este caso el plano que pasa por D-D.

Altura Total en "a" :

Pa + Va²/2g + Za = 6.60 + 1.40 + 3.00 = 11.00m

Altura Total en "b" :

Pb + Vb²/2g + Zb = 3.41 + 0.09 + 7.50 = 11.00m

Se observa que tiene lugar la transformación de una forma de Energía en otra durante el flujo, en el caso presente parte de la presión y de la energía cinética en “a” se transforma en Energía Potencial en “b”

V²/2g = 1.40m

P = 6.60m

Z = 3.00m

Da = 0.30

Db = 0.60

V²/2g = 0.09m

P = 3.41m

Z = 7.50mPLANO DE REFERENCIA

LINEA DE ALTURAS TOTALES

D D

PROBLEMA N° 02De un depósito sale una tubería de 10" de diámetro, la que por medio de una reducción pasa a 5" descargando luego libremente en la atmosfera. El gasto a la salida es de 105 lts/seg. Se pide calcular:a) La presión en la sección inicial de la tubería.b) Altura del agua en el depósito, medida sobre el eje de la tubería.

hA B

0

10"5"

Z

 

hA B

0

10"5"

Z

 

hA B

0

10"5"

Z

 

hA B

0

10"5"

Z

PROBLEMA N° 03Por la tubería indicada en la figura circula agua, siendo la relación entre el diámetro en el punto 1 y el diámetro en el punto 2 igual a √2. En 1 la presión es de 0.5 Kg/cm2 y la elevación 100 m. En 2 la presión es 3.38 Kg/cm2 y la elevación 70 m. ¿Calcular la velocidad en dichos puntos despreciando el rozamiento?.

 

 

PROBLEMA N° 04Una vena líquida es descargada verticalmente hacia abajo por un tubo de 2cm. de diámetro. A 0.25m por debajo de la boca de descarga, el diámetro de la vena se ha reducido a 1cm. -Calcular el caudal descargado por el tubo.

Aplicando Bernoulli entre los puntos A y B, teniendo presente que como están sometidos a la presión atmosférica, sus presiones son relativos

Por continuidad:

Remplazando (2) en (1)

Entonces :