Post on 04-Jul-2015
DERIVADAS (1)…
Derivada de una constante
ℜ∈= KKxf )( 0)´( =xf
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero.
Ejercicio nº 1) Sol:
Ejercicio nº 2) Sol:
Ejercicio nº 3) Sol:
Ejercicio nº 4) Sol:
Ejercicio nº 5) Sol:
Ejercicio nº 6) Sol:
Derivada de una función potencial: Forma simple
ℜ∈= rxxf r)( 1.)´( −= rxrxf
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL es igual al exponente por la variable elevado a una unidad menos.
Ejercicio nº 7) Sol:
Ejercicio nº 8) Sol:
Ejercicio nº 9)
Sol:
Ejercicio nº 10) Sol:
Ejercicio nº 11)
Sol:
Ejercicio nº 12) Sol:
1
Ejercicio nº 13)
Sol:
Ejercicio nº 14)
Sol:
Ejercicio nº 15)
Sol:
Ejercicio nº 16)
Sol:
Ejercicio nº 17)
Sol:
Ejercicio nº 18)
Sol:
Ejercicio nº 19)
Sol:
Ejercicio nº 20)
Sol:
Ejercicio nº 21)
Sol:
2
Derivada de una función logarítmica: Forma simple
xxf ln)( =x
xf1
)´( =
Ejercicio nº 22) Sol:
Derivada de una función exponencial con base e: Forma simple
xexf =)( xexf =)´(
Ejercicio nº 23) Sol:
Derivada de una función exponencial con base distinta del número e: Forma simple
xaxf =)( aaxf x ln)´( ⋅=
Ejercicio nº 24) Sol:
Ejercicio nº 25) Sol:
Ejercicio nº 26) Sol:
Ejercicio nº 27) Sol:
Ejercicio nº 28) Sol:
Derivada de una función trigonométrica tipo seno
xsenxf =)( xxf cos)´´( =
Ejercicio nº 29) Sol:
3
Derivada de una función trigonométrica tipo coseno
xxf cos)( = xsenxf −=)´(
Ejercicio nº 30)
Derivada de una función trigonométrica tipo tangente: Forma simple
xtgxf =)( x
xxtgxf2
22
cos
1sec1)´( ==+=
Ejercicio nº 31)
DERIVADAS (2)
)(. xfky = )´(.´ xfky =
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN es igual a la constante por la derivada de la función
Derivada de una función potencial: Forma simple
Ejercicio nº 1) Sol:
Ejercicio nº 2) Sol:
Ejercicio nº 3) Sol:
Ejercicio nº 4) Sol:
Ejercicio nº 5) Sol:
Ejercicio nº 6) Sol:
Ejercicio nº 7) Sol:
4
Ejercicio nº 8) Sol:
POTENCIASSigue recordando:
Ejercicio nº 9)
Sol:
Ejercicio nº 10)
Sol:
Ejercicio nº 11) Sol:
Ejercicio nº 12) Sol:
Ejercicio nº 13) Sol:
Ejercicio nº 14) Sol:
Ejercicio nº 15) Sol:
Ejercicio nº 16) Sol:
5
Ejercicio nº 17) Sol:
Ejercicio nº 18) Sol:
Ejercicio nº 19) Sol:
Ejercicio nº 20) Sol:
Ejercicio nº 21) Sol:
)()( xgxfy += )´()´(´ xgxfy +=
LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES es igual a suma de las derivadas de las funciones
Ejercicio nº 22) Sol
Ejercicio nº 23) Sol:
Ejercicio nº 24) Sol
Ejercicio nº 25) Sol:
Ejercicio nº 26) Sol:
Ejercicio nº 27) Sol:
Ejercicio nº 28) Sol:
Ejercicio nº 29) Sol:
Regla nº 3
6
)()( xgxfy ⋅= )´().()().´(´ xgxfxgxfy +=
LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es igual a la derivada de la primera función por la segunda función mas la primera función por la derivada de la segunda función
Ejercicio nº 30)
Solución:
Ejercicio nº 31)
Solución:
Ejercicio nº 32)
Solución:
Ejercicio nº 33)
Solución:
)(
)(
xg
xfy =
)(
)´().()´().(´
2 xg
xgxfxfxgy
−=
LA DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES es igual a la derivada de la función del numerador por la función del denominador menos la función del numerador por la derivada de la función del denominador, dividido todo ello por el denominador al cuadrado
Ejercicio nº 34)
7
Solución:
Ejercicio nº 35)
Solución:
Ejercicio nº 36)
Solución:
Ejercicio nº 37)
Solución:
Ejercicio nº 38)
Solución:
Derivada de una función logarítmica: Forma simple: Recuerda:
xxf ln)( = x
xf1
)´( =
Ejercicio nº 39) Sol:
Ejercicio nº 40) Sol:
8
DERIVADAS (3)
AVISO
En las fórmulas de las derivadas que aparecen a continuación, cuando ponemos la letra , lo que estamos representando es una función que depende de la variable x, y que realmente se debe
escribir
Derivada de una función logarítmica: Forma compuesta simple
( )xuy ln= u
uy
´´=
LA DERIVADA DEL LOGARITMO NEPERIANO DE UNA FUNCIÓN DE x es igual a la derivada de la función de x dividida entre dicha función
Ejercicio nº 1) Sol:
Ejercicio nº 2) Sol:
Ejercicio nº 3) Sol:
Ejercicio nº 4) Sol:
Ejercicio nº 5) Sol:
Ejercicio nº 6) Sol:
9
Ejercicio nº 7) Sol:
LOGARITMOSRecuerda de la ESO:
El LOGARITMO DE “a” ELEVADO A “b” es igual al exponente b multiplicado por el logaritmo de a
Ejercicio nº 8) Sol:
Ejercicio nº 9)
Sol:
Ejercicio nº 10)
Sol:
Ejercicio nº 11)
Sol:
Ejercicio nº 12)
Sol:
10
Ejercicio nº 13)
Sol:
Ejercicio nº 14)
Sol:
Ejercicio nº 15)
Sol:
Ejercicio nº 16)
Sol:
Ejercicio nº 17)
Sol:
Ejercicio nº 18)
Sol:
Ejercicio nº 19)
11
Sol:
Ejercicio nº 20)
Sol:
Ejercicio nº 21)
Sol:
Ejercicio nº 22)
Sol:
Ejercicio nº 23)
Sol:
Ejercicio nº 24)
Sol:
Ejercicio nº 25)
Sol:
Ejercicio nº 26)
Sol:
Ejercicio nº 27)
12
Sol:
Ejercicio nº 28)
Solución:
Ejercicio nº 29)
Solución:
Ejercicio nº 39)
Solución:
Ejercicio nº 31)
Solución:
Ejercicio nº 32)
Solución:
Derivada de una función exponencial con base e: Forma compuesta
( )xuey = ( )xueuy ´=
LA DERIVADA DEL NÚMERO “e” ELEVADO A UNA FUNCIÓN DE x es igual al número “e” elevado a dicha función de x multiplicado por la derivada de dicha función
Ejercicio nº 35) Sol:
13
Ejercicio nº 36) Sol:
Ejercicio nº 37) Sol:
Ejercicio nº 38) Sol:
Ejercicio nº 39) Sol:
Ejercicio nº 40) Sol:
DERIVADAS (4)
Derivada de una función potencial:
Ejercicio:
( )( )1142.)1(7)´(:
1)(262
72
−=+=
+=
xxxxxfSolución
xxf
Ejercicio:
( ) 8/78/1
8
1)´(;:
)(
−==
=
xxfxxfSolución
xxf
Ejercicio:
( )( ) ( )[ ] )24(2)12cos().12(412cos.2.12.2)´(:
12)( 2
+=++=++=+=
xsenxxsenxxsenxfSolución
xsenxf
Ejercicio:
( )( )[ ] ( ) ( )[ ]
)(
)cos()24(cos.12..2)´(:
)(
23
2232
22
xxsen
xxxxxxxxsenxfSolución
xxsenxf
+++−=+++−=
+=−
−
Ejercicio:
14
( )[ ] ℜ∈= rxuy r ( )[ ] 1´´ −= rxuuy
( )( ) ( )[ ] )15().15(cos1515.5.15cos.3)´(:
15cos)(22
3
++−=+−+=+=
xsenxxsenxxfSolución
xxf
Ejercicio:
( )( ) 3
423
42
3/12
13
22.)1(
3
1)´(:
1)(−−
−
−−=+−=
+=
xxxxxfSolución
xxf
Ejercicio:
( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )12sec1212sec2122
1)´(:
12)(
22
322
3
2/1
+⋅+−=++−=
+=−
−
−
xxtgxxtgxfSolución
xtgxf
Derivada de una función logarítmicaEjercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Derivada de una función exponencial con base el número e
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
15
Solución:
Derivada de una función exponencial con base distinta del número e
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
16
Derivada de una función trigonométrica tipo seno
Ejercicio:
( )( )( ) ( ) 22
2
)63cos().63(663cos363.2)´(:
63)(
+−+−−=+−−+−=
+−=
xxxxxfSolución
xsenxf
Ejercicio:
( )( )( )( )6lncos.
6
1)´(:
6ln)(
++
=
+=
xx
xfSolución
xsenxf
Ejercicio:
( )( )tgx
xxfSolución
xtgsenxf
cos.cos
1)´(:
)(
2=
=
Ejercicio:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )7272462
6272724
725
1cos1.170
2171cos.15)´(:
1)(
+⋅++
=⋅+⋅++=
+=
xxsenxx
xxxxsenxfSolución
xsenxf
Ejercicio:
( )( )( )( )xxL
xx
xxfSolución
xxLsenxf
3cos.3
33)´(:
3)(
33
2
3
+++=
+=
Ejercicio:
( )( ) ( ) ( )42424242
42
3cos3323cos.33.2)´(:
3)(++++
+
⋅=⋅=
=xxxx
x
LLxfSolución
senxf
Derivada de una función trigonométrica tipo coseno
17
Ejercicio:
( )( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) 222
22
22
63263663)63cos().63(12
63363263cos.2)´(:
63cos)(
+−+−=+−⋅+−+−
=+−⋅−+−−⋅+−=
+−=
xsenxxsenxx
xsenxxxfSolución
xxf
Ejercicio:
( )( )( )( )xxsen
xx
xxfSolución
xxxf
+++−=
+=
22
2
4ln.4
18)´(:
4lncos)(
Ejercicio:
( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( ) ( )xsenxsenxsen
xsenxsenxsenxfSolución
xxf
⋅⋅−=−⋅−⋅−=
=
coscoscos
coscoscos)´(:
coscoscos)(
Ejercicio:
( )( ) ( ) ( )33223
33
2.2323)´(:
2cos)(
xxsenxxxxfSolución
xxxf
+++−=
+=
Ejercicio:
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) 6262352
5262623
624
11cos.148
2161.1cos4)´(:
1cos)(
+⋅++−
=⋅+⋅+−+=
+=
xsenxxx
xxxsenxxfSolución
xxf
Ejercicio:
( )( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )xxLsenxxLxx
x
xxLsenxx
xxxLxfSolución
xxLxf
33cos3
66
3.3
333cos2)´(:
3cos)(
333
2
33
23
32
++
++−
=+
++−+⋅=
+=
Ejercicio:
18
( )( ) ( ) ( )4444
4
2222
2
33323.33.2)´(:
3cos)(++++
+
⋅−=⋅−=
=xxxx
x
senxLsenLxxfSolución
xf
Derivada de una función trigonométrica tipo tangente
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
19