Post on 04-Jul-2020
PreliminaresMétodos de Derivación Numérica
DERIVACIÓN NUMÉRICA
DERIVACIÓN NUMÉRICA
PreliminaresMétodos de Derivación Numérica
Contenido
1 PreliminaresIntroducción
2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
DERIVACIÓN NUMÉRICA
PreliminaresMétodos de Derivación Numérica
Introducción
Contenido
1 PreliminaresIntroducción
2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
DERIVACIÓN NUMÉRICA
PreliminaresMétodos de Derivación Numérica
Introducción
Introducción
Las fórmulas de derivación numérica son importantes en eldesarrollo de algoritmos para resolver problemas de contornode ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones enderivadas parciales.
DERIVACIÓN NUMÉRICA
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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Contenido
1 PreliminaresIntroducción
2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
DERIVACIÓN NUMÉRICA
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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
El Límite del Cociente Incremental
Se busca aproximar numéricamente la derivada de f (x):
f ′(x) =lim
h→0f (x + h)− f (x)
h
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El Límite del Cociente Incremental
Método:
Se elige una sucesión {hk} tal que hk → 0 y se calcula el límitede la sucesión
Dk =f (x + hk )− f (x)
hk;
para k = 1, 2.......
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El Límite del Cociente Incremental
Los términos de la sucesión {Dk}se calculan hasta que
|DN+1 − DN | ≥ |DN − DN−1| ;
la intención es tratar de determinar la mejor aproximaciónantes de que los términos empiecen a alejarse del límite.
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2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Fórmulas de Diferencias Centradas
Son fórmulas de aproximación a f ′(x) que requieren que lafunción se pueda evaluar en abcisas situadas simétricamente aambos lados del punto x0 (donde se desea hallar la derivada).
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Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h2)
(1) f ′(x0) ≈ f1 − f−12h
(2) f ′′(x0) ≈ f1 − 2f0 + f−1h2
(3) f (3)(x0) ≈ f2 − f1 + 2f−1 − f−22h3
(4) f (4)(x0) ≈ f2 − 4f1 + 6f0 − 4f−1 + f−2h4
fk = f (x0 + kh); k = −2,−1, 0, 1, 2
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Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h2)
(1) f ′(x0) ≈ f1 − f−12h
(2) f ′′(x0) ≈ f1 − 2f0 + f−1h2
(3) f (3)(x0) ≈ f2 − f1 + 2f−1 − f−22h3
(4) f (4)(x0) ≈ f2 − 4f1 + 6f0 − 4f−1 + f−2h4
fk = f (x0 + kh); k = −2,−1, 0, 1, 2
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Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h2)
(1) f ′(x0) ≈ f1 − f−12h
(2) f ′′(x0) ≈ f1 − 2f0 + f−1h2
(3) f (3)(x0) ≈ f2 − f1 + 2f−1 − f−22h3
(4) f (4)(x0) ≈ f2 − 4f1 + 6f0 − 4f−1 + f−2h4
fk = f (x0 + kh); k = −2,−1, 0, 1, 2
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Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h2)
(1) f ′(x0) ≈ f1 − f−12h
(2) f ′′(x0) ≈ f1 − 2f0 + f−1h2
(3) f (3)(x0) ≈ f2 − f1 + 2f−1 − f−22h3
(4) f (4)(x0) ≈ f2 − 4f1 + 6f0 − 4f−1 + f−2h4
fk = f (x0 + kh); k = −2,−1, 0, 1, 2
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Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h2)
(1) f ′(x0) ≈ f1 − f−12h
(2) f ′′(x0) ≈ f1 − 2f0 + f−1h2
(3) f (3)(x0) ≈ f2 − f1 + 2f−1 − f−22h3
(4) f (4)(x0) ≈ f2 − 4f1 + 6f0 − 4f−1 + f−2h4
fk = f (x0 + kh); k = −2,−1, 0, 1, 2
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Fórmulas de Diferencias Centradas
Cuando se hacen los cálculos con un computador, no esaconsejable elegir h demasiado pequeño; por eso seríaútil disponer de fórmulas que aproximen las derivadas def (x) con un error de truncamiento de orden O(h4).
Se logra la misma precisión con un incremento mayor.
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Fórmulas de Diferencias Centradas
Cuando se hacen los cálculos con un computador, no esaconsejable elegir h demasiado pequeño; por eso seríaútil disponer de fórmulas que aproximen las derivadas def (x) con un error de truncamiento de orden O(h4).
Se logra la misma precisión con un incremento mayor.
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Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h4)
(5) f ′(x0) ≈ − f2 + 8f1 − 8f−1 + f−212h
(6) f ′′(x0) ≈ − f2 + 16f1 − 30f0 + 16f−1 − f−212h2
(7) f (3)(x0) ≈ − f3 + 8f2 − 13f1 + 13f−1 − 8f−2 + f−38h3
(8) f (4)(x0) ≈ − f3 + 12f2 − 39f1 + 56f0 − 39f−1 + 12f−2 − f−36h4
fk = f (x0 + kh); k = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
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Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h4)
(5) f ′(x0) ≈ − f2 + 8f1 − 8f−1 + f−212h
(6) f ′′(x0) ≈ − f2 + 16f1 − 30f0 + 16f−1 − f−212h2
(7) f (3)(x0) ≈ − f3 + 8f2 − 13f1 + 13f−1 − 8f−2 + f−38h3
(8) f (4)(x0) ≈ − f3 + 12f2 − 39f1 + 56f0 − 39f−1 + 12f−2 − f−36h4
fk = f (x0 + kh); k = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
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Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h4)
(5) f ′(x0) ≈ − f2 + 8f1 − 8f−1 + f−212h
(6) f ′′(x0) ≈ − f2 + 16f1 − 30f0 + 16f−1 − f−212h2
(7) f (3)(x0) ≈ − f3 + 8f2 − 13f1 + 13f−1 − 8f−2 + f−38h3
(8) f (4)(x0) ≈ − f3 + 12f2 − 39f1 + 56f0 − 39f−1 + 12f−2 − f−36h4
fk = f (x0 + kh); k = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
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Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h4)
(5) f ′(x0) ≈ − f2 + 8f1 − 8f−1 + f−212h
(6) f ′′(x0) ≈ − f2 + 16f1 − 30f0 + 16f−1 − f−212h2
(7) f (3)(x0) ≈ − f3 + 8f2 − 13f1 + 13f−1 − 8f−2 + f−38h3
(8) f (4)(x0) ≈ − f3 + 12f2 − 39f1 + 56f0 − 39f−1 + 12f−2 − f−36h4
fk = f (x0 + kh); k = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
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Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h4)
(5) f ′(x0) ≈ − f2 + 8f1 − 8f−1 + f−212h
(6) f ′′(x0) ≈ − f2 + 16f1 − 30f0 + 16f−1 − f−212h2
(7) f (3)(x0) ≈ − f3 + 8f2 − 13f1 + 13f−1 − 8f−2 + f−38h3
(8) f (4)(x0) ≈ − f3 + 12f2 − 39f1 + 56f0 − 39f−1 + 12f−2 − f−36h4
fk = f (x0 + kh); k = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
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1 PreliminaresIntroducción
2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Si sólo se puede evaluar la función en abcisas que estánen un lado de x0, entonces la Fórmulas de DiferenciasCentradas no pueden usarse.
Las fórmulas que utilizan abcisas equiespaciadas queestán todas a derecha (o izquierda) de x0 se llamanFórmulas de Diferencias Progresivas (o Regresivas).
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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Si sólo se puede evaluar la función en abcisas que estánen un lado de x0, entonces la Fórmulas de DiferenciasCentradas no pueden usarse.
Las fórmulas que utilizan abcisas equiespaciadas queestán todas a derecha (o izquierda) de x0 se llamanFórmulas de Diferencias Progresivas (o Regresivas).
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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Fórmulas de Diferencias Progresivas de orden O(h2)
(9) f ′(x0) ≈ − 3f0 + 4f1 − f22h
(10) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f1 + 4f2 − f3h2
(11) f (3)(x0) ≈ − 5f0 + 18f1 − 24f2 + 14f3 − 3f42h3
(12) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f1 + 26f2 − 24f3 + 11f4 − 2f5h4
fk = f (x0 + kh); k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Fórmulas de Diferencias Progresivas de orden O(h2)
(9) f ′(x0) ≈ − 3f0 + 4f1 − f22h
(10) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f1 + 4f2 − f3h2
(11) f (3)(x0) ≈ − 5f0 + 18f1 − 24f2 + 14f3 − 3f42h3
(12) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f1 + 26f2 − 24f3 + 11f4 − 2f5h4
fk = f (x0 + kh); k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
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Fórmulas de Diferencias Progresivas de orden O(h2)
(9) f ′(x0) ≈ − 3f0 + 4f1 − f22h
(10) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f1 + 4f2 − f3h2
(11) f (3)(x0) ≈ − 5f0 + 18f1 − 24f2 + 14f3 − 3f42h3
(12) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f1 + 26f2 − 24f3 + 11f4 − 2f5h4
fk = f (x0 + kh); k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Fórmulas de Diferencias Progresivas de orden O(h2)
(9) f ′(x0) ≈ − 3f0 + 4f1 − f22h
(10) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f1 + 4f2 − f3h2
(11) f (3)(x0) ≈ − 5f0 + 18f1 − 24f2 + 14f3 − 3f42h3
(12) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f1 + 26f2 − 24f3 + 11f4 − 2f5h4
fk = f (x0 + kh); k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Fórmulas de Diferencias Regresivas de orden O(h2)
(13) f ′(x0) ≈ 3f0 − 4f−1 + f−22h
(14) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f−1 + 4f−2 − f−3h2
(15) f (3)(x0) ≈ 5f0 − 18f−1 + 24f−2 − 14f−3 + 3f−42h3
(16) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f−1 + 26f−2 − 24f−3 + 11f−4 − 2f−5
h4
fk = f (x0 + kh); k = −5,−4,−3,−2,−1, 0
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Fórmulas de Diferencias Regresivas de orden O(h2)
(13) f ′(x0) ≈ 3f0 − 4f−1 + f−22h
(14) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f−1 + 4f−2 − f−3h2
(15) f (3)(x0) ≈ 5f0 − 18f−1 + 24f−2 − 14f−3 + 3f−42h3
(16) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f−1 + 26f−2 − 24f−3 + 11f−4 − 2f−5
h4
fk = f (x0 + kh); k = −5,−4,−3,−2,−1, 0
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Fórmulas de Diferencias Regresivas de orden O(h2)
(13) f ′(x0) ≈ 3f0 − 4f−1 + f−22h
(14) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f−1 + 4f−2 − f−3h2
(15) f (3)(x0) ≈ 5f0 − 18f−1 + 24f−2 − 14f−3 + 3f−42h3
(16) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f−1 + 26f−2 − 24f−3 + 11f−4 − 2f−5
h4
fk = f (x0 + kh); k = −5,−4,−3,−2,−1, 0
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Fórmulas de Diferencias Regresivas de orden O(h2)
(13) f ′(x0) ≈ 3f0 − 4f−1 + f−22h
(14) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f−1 + 4f−2 − f−3h2
(15) f (3)(x0) ≈ 5f0 − 18f−1 + 24f−2 − 14f−3 + 3f−42h3
(16) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f−1 + 26f−2 − 24f−3 + 11f−4 − 2f−5
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fk = f (x0 + kh); k = −5,−4,−3,−2,−1, 0
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Fórmulas de Diferencias Regresivas de orden O(h2)
(13) f ′(x0) ≈ 3f0 − 4f−1 + f−22h
(14) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f−1 + 4f−2 − f−3h2
(15) f (3)(x0) ≈ 5f0 − 18f−1 + 24f−2 − 14f−3 + 3f−42h3
(16) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f−1 + 26f−2 − 24f−3 + 11f−4 − 2f−5
h4
fk = f (x0 + kh); k = −5,−4,−3,−2,−1, 0
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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
Se mostrará la relación que existe entre las fórmulas deorden O(h2) para aproximar f ′(x) y un algoritmo generalque permite calcular derivadas numéricamente.
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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
Recordar que el Polinomio Interpolador de Newton (PIN) P(t)de grado N = 2 que aproxima f (t) usando los nodos t0, t1 y t2,viene dado por
P(t) = a0 + a1(t − t0) + a2(t − t0)(t − t1), (1)
siendo
a0 = f (t0)
a1 =f (t1)− f (t0)
t1 − t0
a2 =
f (t2)−f (t1)t2−t1
− f (t1)−f (t0)t1−t0
t2 − t0
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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
La derivada de P(t) es
P′(t) = a1 + [a2(t − t1) + a2(t − t0)] = a1 + a2 [(t − t1) + (t − t0)] (2)
que evaluada en t = t0, produce
P ′(t0) = a1 + a2(t0 − t1) ≈ f ′(t0). (3)
En (a), (b) y (c) no hace falta que los nodos {tk} esténequiespaciados. Ordenando los nodos de maneras distintasobtendremos fórmulas de aproximación a f ′(x) distintas.
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Caso 1:
Si t0 = x , t1 = x + h, t2 = x + 2h , entonces
a1 =f (x + h)− f (x)
h
a2 =f (x+2h)−f (x+h)
h − f (x+h)−f (x)h
2h=
f (x)− 2f (x + h) + f (x + 2h)
2h2
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y al sustituir estos valores en (c), obtenemos
P ′(x) =f (x + h)− f (x)
h+
(−h) [f (x)− 2f (x + h) + f (x + 2h)]
2h2
=f (x + h)− f (x)
h+−f (x) + 2f (x + h)− f (x + 2h)
2h
=2f (x + h)− 2f (x)− f (x) + 2f (x + h)− f (x + 2h)
2h
=−3f (x) + 4f (x + h)− f (x + 2h)
2h≈ f (x),
que es la fórmula (9).
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Caso 2:
Si t0 = x , t1 = x + h, t2 = x − h , entonces
a1 =f (x + h)− f (x)
h
a2 =
f (x−h)−f (x+h)−2h − f (x+h)−f (x)
h
−h=
f (x−h)−f (x+h)+2f (x+h)−2f (x)−2h
−h
=f (x + h)− 2f (x) + f (x − h)
2h2
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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
y al sustituir estos valores en (c), obtenemos
P ′(x) =f (x + h)− f (x)
h+−f (x + h) + 2f (x)− f (x − h)
2h
=2f (x + h)− 2f (x)− f (x + h) + 2f (x)− f (x − h)
2h
=f (x + h)− f (x − h)
2h≈ f ′(x),
que es la fórmula (1).
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Caso 3:
Si t0 = x , t1 = x − h, t2 = x − 2h , entonces
a1 =f (x − h)− f (x)
−h=
f (x)− f (x − h)
h
a2 =
f (x−2h)−f (x−h)−h − f (x)−f (x−h)
h
−2h=
−f (x−h)+f (x−2h)+f (x)−f (x−h)−h
−2h
=f (x)− 2f (x − h) + f (x − 2h)
2h2
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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
y al sustituir estos valores en (c), obtenemos
P ′(x) =f (x)− f (x − h)
h+
f (x)− 2f (x − h) + f (x − 2h)
2h
=2f (x)− 2f (x − h) + f (x)− 2f (x − h) + f (x − 2h)
2h
=3f (x)− 4f (x − h) + f (x − 2h)
2h≈ f ′(x),
que es la fórmula (13).
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Generalización:
El Polinomio Interpolador de Newton (PIN) P(t) de grado N queaproxima f (t) usando los nodos t0, t1, ...., tN viene dado por
P(t) = a0 + a1(t − t0) + a2(t − t0)(t − t1) + a3(t − t0)(t − t1)(t − t2)+........ + aN(t − t0).....(t − tN−1).
La derivada de P(t) es
P′(t) = a1 + a2 [(t − t0) + (t − t1)] + a3 [(t − t0)(t − t1) + (t − t0)(t − t2) + (t − t1)(t − t2)]
+........ + aN
N−1Xk=0
N−1Yj=0
(t − tj ) para j 6= k.
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Evaluando P ′(t) en t = t0,
P ′(t0) = a1 + a2(t0 − t1) + a3(t0 − t1)(t0 − t2) + ........
+aN(t0 − t1)(t0 − t2)(t0 − t3).....(t0 − tN−1) ' f ′(t0). (4)
Si|t0 − t1| ≤ |t0 − t2| ≤ ...... ≤ |t0 − tN |
y si {tj}Nj=0 es un conjunto equiespaciado (quizá
reordenándolos) de N + 1 nodos, entonces la suma parcialN-ésima de (*) es una aproximación a f ′(t0) de orden O(hN).
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Apéndice
Bibliografía
MATHEWS, John; KURTIS, Fink.Métodos Numéricos con MATLAB.Prentice Hall, 2000.
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