Post on 09-Aug-2015
DEFINICION DE DERIVADA.
La expresión h
)x(f)hx(fLímm o0
0hT
−+=
→ se utiliza para calcular la pendiente de una
recta tangente a la curva de f ( x ) , para un valor de x = c.
Pero, la expresión h
)x(f)hx(fLím)x('f
0h
−+=→
se utiliza para calcular la pendiente de
una recta tangente a la curva de f ( x ) , para cualquier valor de x. Donde f ‘ ( x ) se conoce como derivada de f ( x ) , y se lee f prima de x . Así, la derivada de f ( x ) es la fórmula que se utiliza para calcular la pendiente de la recta tangente a la curva de f ( x ) , para cualquier valor de x. Ejercicios: Determine la derivada de cada una de las siguientes funciones, haciendo uso de la definición. Luego, determine las pendientes que, en cada caso, se pidan. 1. f ( x ) = x2 + 1 ; ( a ) x = 2 , ( b ) x = 0 , ( c ) x = – 1 Solución: * Partiendo de la fórmula para encontrar la derivada:
h
)x(f)hx(fLím)x('f
0h
−+=→
Se empieza determinando cada componente de la misma. Se encuentra la evaluación del primer término del numerador.
1hhx2x
.cuadradoelrdesarrolladebeSe1)hx()hx(f22
2
+++=
++=+
Se realiza la resta del numerador, y dividiendo entre h :
quedado ha que lo a límite aplica Se hx2
fracciónlasimplificaSeh
)hx2(h
numeradorelencomúnfactorsacaSeh
hhx2
xposeennoqueosmintércancelanSeh
1x1hhx2x
)x(fdeparéntesiselrimesupSeh
)1x(1hhx2xh
)x(f)hx(f
2
222
222
+=
+=
+=
∆−−+++=
+−+++=−+
Se aplica límite a la expresión obtenida, y se evalúa: x20x2)hx2(Lím)x('f
0h=+=+=
→
Como la tendencia es de x∆ , el término 2x permanece intacto. La derivada es: f ‘ ( x ) = 2x Con este resultado se puede determinar cuanta pendiente se desee, evaluando en ella. a) Para x = 2 � mT = f ‘ ( 2 ) = 2 ( 2 ) = 4 mT = 4 b) Para x = 0 � mT = f ‘ ( 0 ) = 2 ( 0 ) = 0 mT = 0 c) Para x = – 1 � mT = f ‘ ( – 1 ) = 2 ( – 1 ) = – 2 mT = – 2 Ahora: Encuentre la derivada de f ( x ) = 4 – x 2 Luego, determine la pendiente de la recta tangente en: a) x = 1 , b) x = 0 , c) x = – 2 Respuestas: f ‘ ( x ) = – 2x a) mT = – 2 , b) mT = 0 , c) mT = 4 2. f ( x ) = 2x2 – 3x + 5 ; ( a ) x = 1 , ( b ) x = 0 , ( c ) x = – 2 Solución: * Se obtiene )hx(f +
5h3x3h2 h4x 2x
5h3x3) h h2x x( 2
5)hx(3)hx(2)hx(f
22
22
2
++−++=
++−++=
++−+=+
* Aplicando en la fórmula de definición:
)3h2 4x (Lím
hlasnsimplificaSeh
)3h2 4x (h Lím
numeradorelencomúnfactorsacaSeh
h3h2 h4x Lím
opuestososmintércancelanSeh
5x3x25h3x3h2 h4x 2xLím
paréntesislosrimensupSeh
)5x3x2(5h3x3h2 h4x 2xLím
h)x(f)hx(f
Lím)x('f
0h
0h
2
0h
222
0h
222
0h
0h
++=
++=
++=
−+−++−++=
+−−++−++=
−+=
→
→
→
→
→
→
* Evaluando el límite.
3 4x)x('f +=
++=++=→
3)0(2 4x )3h2 4x (Lím)x('f0h
* Ahora, se va a calcular cada una de las pendientes. ( a ) x = 1 � mT = f ‘ ( 1 ) = 4 ( 1 ) + 3 � mT = 7 ( b ) x = 0 � mT = f ‘ ( 0 ) = 4 ( 0 ) + 3 � mT = 3 ( c ) x = – 2 � mT = f ‘ ( – 2 ) = 4 ( – 2 ) + 3 � mT = – 5
3. f ( x ) = 2x
5−
; ( a ) x = 3 , ( b ) x = 0 , ( c ) x = – 1
Solución: * Se obtiene )hx(f +
2hx
5)hx(f
−+=+
* Aplicando en la fórmula de definición:
)2x()2hx(5
Lím
hlasnsimplificaSe)2x()2hx(h
h5Lím
mediosyextremosnmultiplicaSe
1h
)2x()2hx(h5
Lím
opuestossignosconosmintércancelanSeh
)2x()2hx(10h5x510x5
Lím
indicadosproductosefectúanSeh
)2x()2hx()2hx(5)2x(5
Lím
solaunaenfraccioneslasconviertenSeh
2x5
2hx5
Lím
h)x(f)hx(f
Lím)x('f
0h
0h
0h
0h
0h
0h
0h
−−+−=
−−+−=
−−+−
=
−−++−−−
=
−−+−+−−
=
−−
−+=
−+=
→
→
→
→
→
→
→
* Evaluando el límite.
2)2x(
5)x('f
−−=
−−−=
−−+−=
−−+−=
→ )2x()2x(5
)2x()20x(5
)2x()2hx(5
Lím)x('f0h
* Ahora, se va a calcular cada una de las pendientes.
( a ) x = 3 � mT = f ‘ ( 1 ) = 15
)1(
5
)21(
522
−=−−=
−−
� mT = – 5
( b ) x = 0 � mT = f ‘ ( 0 ) = 45
)2(
5
)20(
522
−=−−=
−−
� mT = – 45
( c ) x = – 1 � mT = f ‘ ( – 2 ) = 95
)3(
5
)21(
522
−=−−=
−−−
� mT = –95
4. f ( x ) = 3x + ; ( a ) x = 1 , ( b ) x = 0 , ( c ) x = – 2
Solución: * Se obtiene )hx(f + 3hx)hx(f ++=+
* Aplicando en la fórmula de definición:
3x3hx
1Lím
hlasnsimplificaSe)3x3hx(h
hLím
opuestososmintércancelanSe)3x3hx(h
3x3hxLím
paréntesisrimensupSe)3x3hx(h
)3x(3hxLím
radicalesrimensupSe)3x3hx(h
)3x()3hx(Lím
3x3hx
3x3hx.
h
3x3hxLím
aciónracionalizaplicaSeh
3x3hxLím
h)x(f)hx(f
Lím)x('f
0h
0h
0h
0h
22
0h
0h
0h
0h
++++=
++++=
++++−−++=
+++++−++=
+++++−++
=
+++++++++−++
=
+−++=
−+=
→
→
→
→
→
→
→
→
* Evaluando el límite.
3x2
1)x('f
+=
+++=
++++=
++++=
→ 3x3x
1
3x30x
1
3x3hx
1Lím)x('f
0h
* Ahora, se va a calcular cada una de las pendientes.
( a ) x = 1 � mT = f ‘ ( 1 ) = )2(2
1
42
1
312
1 ==+
= � mT = 41
( b ) x = 0 � mT = f ‘ ( 0 ) = 32
1
302
1 =+
= � mT = 32
1
( c ) x = – 2 � mT = f ‘ ( – 2 ) = )1(2
1
12
1
322
1 ==+−
= � mT = 21