De la Television al Aula. ModelizacionMatematica

J. I. Montijano, L. Randez

IUMA-Dpto. Matematica AplicadaUniversidad de Zaragoza

12-septiembre-2014

1 Introduccion

2 Pendulo de longitud variable

3 Catenaria

4 . . .

Introduccion

«Lo importante es no dejar de hacerse preguntas»A. Einstein

«Una de las principales enfermedades del hombre es su inquieta cu-riosidad por conocer lo que no puede llegar a saber»

B. Pascal

Introduccion

«Lo importante es no dejar de hacerse preguntas»A. Einstein

«Una de las principales enfermedades del hombre es su inquieta cu-riosidad por conocer lo que no puede llegar a saber»

B. Pascal

¿Que se pide?

Apelar a la curiosidad.

Tener una actitud crıtica.

Modelizar. Aplicar leyes cientıficas (segunda ley de Newton...), conadecuadas simplificaciones.

Pendulo de longitud variable

Ejemplos

¿Como columpiarse de manera optima?

Dinamica del «Botafumeiro»El Hormiguero, 19-septiembre-2012

L. Randez & J.I. Montijano De la Television al Aula. Modelizacion Matematica 12-septiembre-2014 4 / 14

Pendulo de longitud variable

Pendulo de longitud `(t) variable

θ′′(t) +2`′(t)

`(t)θ′(t) +

g sin(θ(t))

`(t)= 0, θ(0) = θ0, θ

′(0) = θ′0.

`(t)θ

m

L. Randez & J.I. Montijano De la Television al Aula. Modelizacion Matematica 12-septiembre-2014 5 / 14

Pendulo de longitud variable

-0.5 0.5 1.0 1.5

-1.0

-0.5

0.5

Catenaria

La catenaria es la curva que adopta un cable sostenido por sus extremosdebido a su propio peso.

Catenaria

Ejemplos

Problema matematico «clasico», Galileo (1638), J. Bernoulli, G.Leibniz y C. Huygens (1691).

Utilizacion en arquitectura e ingenierıa

El Hormiguero, 10-julio-2014

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Ecuacion de un cable suspendido

T0

T

Peso = Ρ longitud

De manera analoga al casoanterior, las condiciones deequilibrio son{

T cos θ = T0,T sen θ = ρ · `(x)

siendo `(x) la longitud delcable. Dividiendo,

y ′(x) = tan θ = ρ · `(x)/T0

Como `′(x) =√

1 + y ′(x)2,

tenemos y ′′(x) =

√1 + y ′(x)2

T0cuya solucion es y(x) = T0 cosh(x/T0) + b

Analogıa entre arco y catenaria.Un cable trabaja siempre a traccion; si seinvierte, las tracciones se convierten encompresiones, y la catenaria invertida es,segun Hooke la figura de un arco perfecto.(Poleni 1748)

Estudio de funiculares. Cupula Colonia Guell

Ejemplo. ¿Catenaria o parabola?

L. Randez & J.I. Montijano De la Television al Aula. Modelizacion Matematica 12-septiembre-2014 11 / 14

Ajuste por mınimos cuadrados

catenariaparabolaobservaciones

residual relativo

Catenaria 0.0573Parabola 1.1376

El Hormiguero

¿Es una catenaria?

El Hormiguero

¿Es una catenaria?

Todavıa mas...

Todavıa mas...

Perspectiva anamorfica.

Ley de Lenz, ,

El «gol» de Roberto Carlos, partido amistoso Francia-Brasil en 1997.

El salto de Felix Baumgartner, 14 de octubre de 2012.

Pendulo vertical....