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D E F L E X I Ó N
En análisis estructural, se considera a las deflexiones, como la respuesta
estructural, por que expresa, un momento de parámetros, que responde, a una
acción de cargas aplicadas, las deflexiones son en cantidades no visibles.
Se entiende por deflexión aquella deformación que sufre un elemento por el
efecto de las flexiones internas.
Concepto General:
Las deformaciones que acompañan a la flexión son tales que se
producen desviaciones con respecto a la posición original de la viga sin carga,
a estas desviaciones se les llama Deflexión.
Para el cálculo de las deflexiones se toma la desviación de la línea
neutra, a la forma que toma la línea neutra deformada a la cual se le conoce
como Curva Elástica.
Características:
Describe una curva uniforme a lo largo de los puntos de una sección
de viga, además un ángulo y su arco respectivo.
Se cumple la ley de Hooke, también es aplicable para materiales
linealmente elásticos.
Sus rotaciones son pequeñas.
Las secciones transversales del elemento permanecen planas de
modo que el ángulo entre ellas es dθ.
M (-)
Curva
negativa
M
(+)
Curva positiva
EIM
1 1
EIxM )(1
2
Fig. 1.1a
EIxP )(1
DEFORMACION DE UNA VIGA BAJO CARGA TRANSVERSAL.
Cuando una viga está sometida a carga transversal, se dice que una viga
prismática sometida a flexión, se flexiona en forma de arco y que dentro del
rango elástico, la curvatura de la superficie neutra puede expresarse como:
Se anotó que esta ecuación es válida para cualquier sección transversal de una
viga bajo carga transversal se rige el principio de Saint-Venant. Sin embargo, el
momento flector y la curvatura variarán en las diversas secciones. Si x es la
distancia de la sección al extremo izquierdo de la viga se tiene:
Considérese, por ejemplo, una viga en voladizo AB de longitud L sometida a
una carga concentrada de P en su extremo libre (ver figura 1.1a). Se tiene
que M(x) = -Px, y sustituyendo en
1
La cual muestra que la curvatura de la superficie neutra varía linealmente con x,
desde 0 en A, donde es infinito, hasta −PLEI en B, donde
|ρB|=EIPL (ver
Fig. 1.1b)
Considérese ahora la viga AD (ver Fig. 1.2a) que sostiene dos cargas
concentradas, como se muestra.
Del diagrama de cuerpo libre de la viga (ver figura 1.2b) se tiene que las
reacciones en los apoyos son RA = 1kN RC = 5kN
Fig. 1.1b
Fig. 1.2a
Fig. 1.2b
DESARROLLO
Como podemos observar que los valores para RA=1 kN y RC=5 kN
respectivamente, y se dibuja el diagrama de momento flector correspondiente
(ver Fig. 1.3a)
Nótese que My, por tanto, la curvatura se anula en ambos extremos de la viga y
también en el punto E situado en . Entre A y E el momento flector es
positivo y la viga es cóncava hacia arriba; entre E y D el momento flector es
negativo y la viga es cóncava hacia abajo (ver Fig. 1.3b)
Obsérvese también que el máximo valor de curvatura (es decir, el mínimo valor
del radio de curvatura) ocurre en el apoyo C, donde |M| es máximo.
Fig. 1.3b
Fig. 1.3a
∑M A=0
−4(3 )+RC (6)−2(9 )=0
−12+RC (6 )−18=0−30+RC (6 )=0 ⇒ RC (6)=30 ⇒ RC
306
⇒ RC=5 kN
RA−6+5=0 ⇒ RA−1=0 ⇒ R A=1 kN
RA−4+5−2=0RA−6+5=0 ⇒ RA−1=0 ⇒ R A=1 kN
DEFLEXION MAXIMAL
Cuando una viga colgante apoyada simplemente soporta una carga asimétrica,
la deflexión máxima, por lo general, no ocurre en el centro de la viga.
Para determinar la máxima deflexión de una viga como la descrita, se debe
localizar el punto K de ella en el que la tangente es horizontal, y calcular la
deflexión en dicho punto.
El análisis debe comenzar con la determinación de una tangente de referencia
en uno de los apoyos. Si se selecciona el apoyo A. la pendiente θA se obtiene
con el método en la sección precedente, es decir, con el cálculo de la
desviación tangencial del apoyo B con respecto A y dividiendo dicha
cantidad entre la distancia L entre los dos apoyos.
Como la pendiente en el punto K es cero (Fig. 1.4a), debe cumplirse que
Fig 1.4a
Se concluye que el punto K puede determinarse con la medición bajo el
diagrama (M/EI) de un área igual a (Fig. 1.4b)
Como la observación de que la deflexión máxima es igual a la desviación
tangencial del apoyo A con respecto a K (Fig. 1.4a), se obtiene con el
calculo del primer momento del área A entre A y K respecto al eje vertical que
pasa por A (Fig.1.4b)
ECUACION DE LA CURVA ELASTICA
Para obtener las ecuaciones generales de la curva elástica de una viga, se
considera la viga en voladizo AB mostrada en la Fig. 2.1a. Se toma el origen de
las coordenadas en el extremo fijo, con el eje x dirigido a la derecha y el eje y
dirigido hacia abajo. Como en las explicaciones previas, se supone que el plano
xy es un plano de simetría y que todas las cargas actúan en este plano; luego,
el plano xy es el plano de flexión. La deflexión v* de la viga en cualquier punto
m1 a una distancia x del origen (Fig. 2.1a) es la traslación (o desplazamiento) de
ese punto en la dirección y, medida desde el eje x hasta la curva de deflexión.
Así para los ejes que hemos seleccionado, una deflexión hacia abajo es positiva
y una deflexión hacia arriba es negativa. Cuando v se presenta como una
función de x se tiene la ecuación de la curva de deflexión.
El ángulo de rotación θ del eje de la viga en cualquier punto m1 es el
ángulo entre el eje x y la tangente a la curva de deflexión (Fig. 2.1b). Este
ángulo es positivo en el sentido de las manecillas del reloj, siempre y cuando los
ejes x y y tengan las direcciones indicadas.
Fig. 2.1 Curva elástica de una
viga
dsd
1(2.1)
Considérese ahora un segundo punto m2, localizado sobre la curva de deflexión
a escasa distancia ds más adelante sobre la curva y a una distancia x + dx
(medida paralela al eje x) desde el origen. La deflexión en este punto es v + dv,
donde dv representa el incremento en deflexión conforme se pasa de m1 a m2.
También el ángulo de rotación en m2 es donde es el incremento
en el ángulo de rotación. En los puntos m1 y m2, se pueden trazar líneas
normales a las tangentes de la curva de deflexión.
La intersección de estas normales representa el centro de curvatura O´, y la
distancia desde O´ a la curva es el radio de curvatura . En la figura se
aprecia que = ds; por lo que, la curvatura (igual al recíproco del
radio de curvatura) está dada por la siguiente ecuación:
Obsérvese que una curvatura positiva corresponde a un valor positivo de
lo que significa que el ángulo se incrementa conforme se recorre
longitudinalmente la viga en la dirección x positiva.
La pendiente de la curva de deflexión es la primera derivada dv/dx,
según lo indica el cálculo. De la Fig. 2.1b se aprecia que la pendiente es igual a
la tangente del ángulo de rotación , ya que dx es infinitesimalmente pequeño;
luego,
o sea ec. 2.2ab
Muchas vigas sufren únicamente pequeñas rotaciones cuando se cargan; por
tanto, sus curvas de deflexión son muy planas con curvaturas extremadamente
pequeñas. En estas condiciones, el ángulo es una cantidad muy pequeña,
por lo que se pueden hacer algunas aproximaciones que simplifiquen el trabajo.
En la Fig. 2.1b se aprecia que:
ds= dxcos θ
dxds (a)
dxd
1 (2-3)
(b)dxdv
tan
2
2
dxvd
dxd
(c)
dxd
12
2
dxvd
(2-4)
Como cos θ≈ 1cuando es pequeño, se obtiene
Por lo tanto, la Ec. (2-1) resulta
También, dado quetan θ≈ θcuando es una cantidad pequeña, se puede
aproximar la Ec. (2-2a) como sigue:
Luego, para pequeñas rotaciones de una viga, el ángulo de rotación y la
pendiente son iguales. (Nótese que el ángulo de rotación se mide en radianes.)
Tomando la derivada de con respecto a x, se obtiene:
Ahora, combinando esta ecuación con la Ec. (2-3), se obtiene:
Esta ecuación relaciona la curvatura con la deflexión v de la viga. Es válida para
una viga de cualquier material, siempre y cuando las rotaciones sean pequeñas.
Si el material de la viga es linealmente elástico y cumple con la ley de
Hooke, la curvatura es:
(2-5)κ=1ρ=− M
EI
x
CdxxMdxdy
EI0 1)(
(2-7)
Figura 2.3
)(tan xdxdy
Donde M es el momento flexionante y EI es la rigidez a flexión de la viga.
Nótese que la Ec. (2-5) es válida tanto para rotaciones grandes como pequeñas.
Combinando la Ec. (2-4), que se limita a rotaciones pequeñas con la Ec. (2-5)
se obtiene
que es básicamente la ecuación diferencial de la curva elástica de una viga.
Esta ecuación puede integrarse en cada caso particular para determinar el
ángulo de rotación o la deflexión v, siempre y cuando se conozca el momento
flexionante M.
El producto EI se conoce como la rigidez a flexión y si varía a lo largo de la viga,
como en el caso de una viga de sección variable, debe expresársele como
función de x antes de integrar la ecuación (2-6) sin embargo, para una viga
prismática, que es el caso considerado aquí, la rigidez a flexión es constante.
Puede multiplicarse ambos miembros de la ecuación (2-6) por EI e integrar en x.
Se escribe
Siendo C1 una constante de integración. Si θ(x) es el ángulo en radianes
que la tangente a la curva elástica forma con la horizontal en Q (véase la Fig.
2.3) y recordando que este ángulo es pequeño, se tiene
(2.6)dθdx
=d2vdx 2
=− MEI
20 0 1)( CdxCdxxMyEIx x
(2-8)
20 10)( CxCdxxMdxyEI
xx
En consecuencia la ecuación (2-7) puede escribirse en la forma alternativa
Integrando los dos miembros de la ecuación (2-11) en x, se tiene
en donde C2 es una segunda constante y el primer término del miembro derecho
es la función de x obtenida integrando dos veces en x el momento flector M(x)
sino fuera porque C1 y C2 permanecen indeterminadas, la ecuación (2-8)
definiría la deflexión de la viga en cualquier punto dado Q y la ecuación (2-7) o
la ( 2-7´) definirían del mismo modo la pendiente de la viga en Q.
Los constantes C1 y C2 se determinan de las condiciones de frontera o,
más precisamente, de las condiciones impuestas en la viga por sus apoyos.
Limitando el análisis en esta sección a vigas estáticamente determinadas, es
decir, a vigas apoyadas de tal manera que las reacciones pueden obtenerse por
estática, obsérvese que aquí pueden considerarse tres tipos de vigas (véase la
Fig. 2.4): a) la viga simplemente apoyada, b) la viga de un tramo en voladizo y
c) la viga en voladizo.
En los primeros dos casos los apoyos son de segundo género en A y de
primero en B y todos requieren deflexión cero. Haciendo x = xA, y = yA = 0 en la
ecuación (2-8) y luego x = xB, y = yB = 0 en la misma, se obtienen dos
ecuaciones que pueden resolverse para C1 y C2. En el caso del voladizo (véase
la figura 2-4 c), se nota que tanto la pendiente como la deflexión en A deben ser
cero. Haciendo x = xA, y = yA = 0 en la ecuación (2.8) y, x = xA, = A = 0
en la ecuación (2-7´) se obtienen de nuevo dos ecuaciones que pueden
resolverse para C1 y C2.
(2-7´)EI θ ( x )=0xM ( x ) dx+C1
En este trabajo se emplearán estas ecuaciones para determinar deflexiones de
vigas. El procedimiento consiste en integraciones sucesivas de las ecuaciones;
evaluando las constantes de integración resultantes a partir de las condiciones
de frontera de la viga
Los pasos a seguir para aplicar el método de la doble integración son los
siguientes:
1. Se traza un diagrama de cuerpo libre de la viga y las cargas, y se
bosqueja su eje deformado.
2. Se localizan los ejes coordenados.
3. Se toma una sección cualquiera de la viga a una distancia x a partir del
eje de coordenadas y se traza el diagrama de cuerpo libre resultante.
Figura 2.4 Condiciones de frontera para vigas estáticamente determinadas
4. Se escribe una ecuación para el momento flexionante en la viga en
términos de x y de las cargas.
5. Se sustituye esta expresión para M en la ecuación.
6. Se integra la ecuación del paso 5 para obtener la ecuación de la
pendiente dy/dx de la viga.
7. Se calcula la constante de integración aplicando las condiciones de
frontera.
8. Se integra la ecuación de la pendiente para obtener la ecuación de la
deflexión de la viga.
9. Se calcula la constante de integración aplicando las condiciones de
frontera.
Al realizar la doble integración, se obtienen dos constantes de
integración, una para cada una, y se hallan al reemplazar las condiciones de
frontera de la estructura. Cabe anotar que a medida que la configuración de las
cargas que actúan sobre la viga sean más complicadas, el método se vuelve
muy tedioso y poco práctico.
DETERMINACIÓN DIRECTA DE LA CURVA ELASTICA A PARTIR DE LA
DISTRIBUCION DE CARGA.
La ecuación de la curva elástica puede obtenerse integrando dos veces
la ecuación diferencial.
Ec. 3.1
Siendo el momento flector de la viga. Recuerde que cuando una viga
soporta una carga , , se obtiene y en cualquier
punto de la viga. Derivando la ec. 3.1 con respecto a y suponiendo a
constante
Ec. 3.2
Derivando una vez más:
Se concluye que cuando una viga prismática soporta una carga
distribuida w(x) su curva elástica obedece a la ecuación diferencial lineal de
cuarto orden.
Ec. 3.3
Multiplicando ambos miembros de la ecuación 3.3 por la constante EI e
integrando cuatro veces
Las cuatro constantes de integración se determinan de las condiciones
de frontera, ya que éstas incluyen:
a) Las condiciones impuestas en la deflexión o pendiente de la viga por sus
apoyos.
b) La condición de que tanto V como M deben ser cero en el extremo libre
de una viga en voladizo o que el momento flector debe ser cero en
ambos extremos de una viga simplemente apoyada. (ver la siguiente
figura que se presenta a continuación).
Fig. Condiciones de frontera para vigas que soportan cargas distribuidas.
Ya que por medio de este método se puede utiliza eficientemente en voladizos o
vigas simples con cargas distribuidas. En el caso de vigas con dos apoyos y
voladizo, por lo tanto, las reacciones en los apoyos causarán discontinuidades
en la fuerza constante, es decir en la tercera derivada de y, y se requerirán
diferentes funciones para definir la curva elástica en toda la viga.
VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS.
Una viga es estáticamente indeterminada si el número de reacciones
desconocidas es mayor que el número de ecuaciones de equilibrio estático
disponibles. El grado de indeterminación estático, D, es igual a la diferencia
entre el número de reacciones desconocidas, R, y el número de ecuaciones de
equilibrio estático, NEq, es decir:
D = R – NEq
Para analizar las ecuaciones estáticamente indeterminadas se puede hacer
uso de la ecuación de equilibrio de cuarto orden o de la ecuación de momentos
de segundo orden. Si se emplea la ecuación de cuarto orden, se puede de
determinar la deflexión y todas sus derivadas utilizando las condiciones
geométricas así como las condiciones de contorno de fuerza y las condiciones
de continuidad.
USO DE FUNCIONES DE SINGULARIDAD PARA HALLAR LA PENDIENTE Y
LA DEFLEXION DE UNA VIGA
Se nota que el método de la integración proporciona un modo
conveniente y efectivo de calcular la pendiente y la deflexión en cualquier punto
de una viga prismática, siempre que pueda representarse el momento flector
por una función analítica única M(x). Sin embargo, si el modo de carga de la
viga existe dos funciones para representar el momento flector, como en la Fig.
4.1, se requieren cuatro constantes de integración y un número igual de
ecuaciones que expresen continuidad en el punto D, y deben usarse
condiciones de frontera en los apoyos A y B, para determinar estas constantes.
Si se requieren tres o más funciones para representar el momento flector, crece
el número de constantes y de ecuaciones adicionales, lo que da como resultado
el uso de cálculos extensos. En esta sección se estudiará cómo pueden
simplificarse los cálculos mediante el uso de funciones de singularidad.
Considere nuevamente la viga y carga de la Fig. 4.1, dibuje el diagrama
de cuerpo libre de esa viga (figura 4.2) .
Fig. 4.2Fig. 4.1
LxPxP
xM41
43
)( Ec. 4.1
LxPxP
dxyd
EI41
43
2
2
Ec 4.2
1
22
41
21
83
CLxPPxdxdy
EIEI Ec.4.3
21
33
41
61
81
CxCLxPPxyEI Ec.4.4
Usando la función de singularidad apropiada para representar la contribución a
la fuerza cortante de la carga concentrada P, se escribe.
V ( x )=3 P4
−P ⟨x− 14L⟩0
Integrando en x y recordando que en ausencia de pares concentrados, la
expresión obtenida para el, momento flector no tendrá términos constantes, se
escribe
Sustituyendo M(x) de (4.1) en la ecuación (2.6)
e integrando en x,
Las constantes C1 y C2 se determinan mediante las condiciones de fronteras
mostradas en la Fig. 5.3. Haciendo x = 0, y = 0 en la ecuación (5.4)
Fig. 4.3
que se reduce a C2 = 0, ya que cualquier paréntesis triangular que contenga una
cantidad negativa es igual a cero. Haciendo ahora x = L, y = 0 y C2 = 0 en la
ecuación (5.4),
Como la cantidad entre paréntesis triangular es positiva, estos pueden
reemplazarse por paréntesis ordinarios. Resolviendo por C1,
se verifica que las expresiones obtenidas para las constantes C1 y C2 son las ya
encontradas antes, pero se ha eliminado la necesidad de las constantes
adicionales C3 y C4 y no hay que escribir ecuaciones que expresen que la
pendiente y la deflexión son continuas en el punto D.
0=18PL3−1
6P ⟨ 34L⟩3
+C1L
METODO DE EL AREA-MOMENTO.
En numerosas aplicaciones de ingeniería en que se deben determinar
deflexiones de vigas, las cargas son complejas y la sección transversal de la
viga puede variar. Esta es la situación usual en ejes de maquinas, donde se
tienen variaciones graduales o por pasos en el diámetro de los ejes para poder
montar rotores, cojinetes, collarines, retenes, etc. Así mismo, se suelen
emplear vigas ahusadas en estructuras aeronáuticas y de puentes.
Interpretando semigráficamente las operaciones matemáticas para resolver la
ecuación diferencial que rija, se ha obtenido un procedimiento efectivo para
obtener deflexiones en casos complicados. Si se utiliza este procedimiento en
alternativa se halla que en problemas con discontinuidades de carga y
variaciones arbitrarias en las características de inercia de aérea transversal de
una viga no tienen mayores complicaciones y requieren solo algo mas de
trabajo aritmético para su resolución. En esta parte del capitulo acerca del
método del aérea del diagrama de momento flexionante, el objetivo será la
resolución de tale problemas.
DEDUCCION DE LOS TEOREMAS DEL AREA DE MOMENTO.
Los teoremas necesarios se basan en las geometría de la elástica y el
diagrama de M/(EI) relacionados. Las condiciones de frontera no intervendrán
en la de deducción de los teoremas, ya que estos se basan únicamente en la
interpretación de integrales definidas. Como se vera mas adelante, se
requieren consideraciones geométricas adicionales para resolver en su
totalidad un problema.
Para deducir los teoremas, d2v/dx2= M/ (EI), se puede escribir en las dos
formas alternativas siguientes:
o
Como se puede ver en la figura (a) la cantidad [(M/(EI)] dx corresponde a un
área infinitesimal en el diagrama de (M/(EI). De acuerdo con esta ecuación esta
área es igual al ángulo entre dos tangentes consecutivas. La contribución de un
ángulo de esta clase en un elemento a la deformación de la curva elástica se
muestra en la figura (b).
Si el ángulo pequeño, para un elemento se multiplica por su distancia x, a un
origen arbitrario, se obtiene una distancia vertical dt, (fig. b). Como solo se
consideran deflexiones pequeñas hay una diferencia despreciable entre el arco
AA’ y el segmento vertical dt. Con base en este razonamiento geométrico se
tiene:
Integrando formalmente las ecuaciones y entre dos puntos cualesquiera tales
como A Y B en la viga se obtiene los dos teoremas del área de momento. El
primero es
Esta expresión dice que el ángulo entre las tangentes (medido en radianes) a
dos puntos A Y B de la curva elástica es numéricamente Igual al área del
diagrama del momento flexionante M/(EI), limitada por las coordenadas
correspondientes A y B. Por tanto, si se conoce la pendiente de la elástica en
un punto, como el A se puede determinar la pendiente en otro punto a su
derecha como en B:
El primer teorema indica que la evaluación numérica del área del diagrama de
M/ (EI), comprendida entre las ordenadas en dos puntos de la elástica, da la
desviación angular entre las tangentes correspondientes. Al efectuar dicha
evaluación (o integración), las áreas que corresponden a momentos
flexionantes positivos se consideran positivas y las correspondientes a
momentos negativos se consideran negativos también. Si las sumas de las
áreas elementales entre dos puntos cualesquiera como A y B es positiva, la
tangente de la derecha en B a girado en sentido contrario de las manecillas del
reloj con respecto a la tangente en A; si dicha suma es negativa la citada
tangente de la derecha habrá girado en el sentido de las manecillas del reloj
en la figura (b).Si el área neta es cero las tangentes son paralelas.
La cantidad dt en la citada figura b1 se debe al efecto de curvatura de un
elemento. Sumando tal efecto para todos los elementos desde A hasta B, se
obtiene la distancia vertical AF. Geométricamente esta distancia representa el
desplazamiento o desviación lineal del punto A con respecto a la tangente a la
curva elástica en un punto B (a la derecha de A). Tal distancia se llama
desviación tangencial del punto A con respecto a la tangente en B y se
designara por tAB. Esto en forma matemática da la expresión del segundo
teorema del área momento:
Lo anterior expresa que la desviación tangencial de un punto A de la elástica
con respecto a la tangente en otro punto B de tal curva es igual al momento
estático (o primer momento) del área limitad en el diagrama de M/EI con
respecto a la vertical que pasa por A. En la mayor parte de los casos la
desviación tangencial no es en si la deflexión por determinar en una viga.
Los dos teoremas anteriores son aplicables entre dos puntos cualesquiera de la
curva elástica continua de una viga con cualquier condición de carga. Se
aplican entre las reacciones y mas allá de ellas en el caso de vigas continúas y
con voladizos sin embargo hay quehacer notar que solo se obtiene
directamente rotaciones relativas de tangentes y las desviaciones tangenciales.
Para determinar deflexiones se necesitan en cada caso consideraciones
adicionales de la geometría de la elástica en los apoyos para incluir las
condiciones de frontera.
Para la aplicación de este método de área de momento siempre es necesario
un croquis de la elástica trazado cuidadosamente. Puesto que ninguna
deflexión es posible en una articulación o en un apoyo de rodillo, la elástica se
traza pasando por tales soportes. En un empotramiento no se permite un
desplazamiento ni una rotación de la tangente a la elástica, de manera que tal
curva se debe trazar tangente de la dirección del eje descargado de la viga. Al
dibujar un croquis de la elástica en la forma anterior, se acostumbra exagerara
las deflexiones previstas en tal dibujo la deflexión de un punto de una viga se
suele indicar arriba o debajo de su posición inicial, sin dar mucha importancia a
los signos.
METODO DE SUPERPOSICION
Como método suplementario para la evaluación de pendiente y ordenadas de la
elástica se pueden utilizar los resultados de algunos tipos sencillos de cargas,
para obtener, por suma de efectos, las soluciones correspondientes a cargas
mas complicadas. Este procedimiento, llamado método de superposición,
determina la pendiente y la deflexión en un punto de una viga por suma de las
pendientes o de las deflexiones producidas, en ese mismo punto, por cada una
de las cargas cuando estas actúan por separado. La única restricción o
condición impuesta para poder aplicar este método es que cada carga aislada
no debe producir un cambio apreciable en la forma inicial o en la longitud de la
viga, esto es, la actuación de cada carga no debe influir en la forma de actuar
de las demás.
La aplicación del método de superposición presenta notables ventajas, sobre
todo cuando las cargas son una combinación de los tipos que aparecen en la
tabla G. Para cargas parcialmente distribuidas, el metro requiere una integraron.
En tales casos, es preferible el método de la doble integración. Si de lo que se
trata es de calcular deflexión o la pendiente en un punto determinado, lo mejor
es el método del área de momentos.
Las ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión de una viga son
ecuaciones diferenciales lineales; esto es, todos los términos que contienen la
deflexión v y sus derivadas están elevados a la primera potencia únicamente.
Por lo tanto, las soluciones de las ecuaciones para varias condiciones de carga
pueden superponerse. Luego, la deflexión de la viga causada por varias cargas
diferentes que actúan simultáneamente puede determinarse mediante la
superposición de las deflexiones ocasionadas por cada carga actuando en
forma separada. Por ejemplo, si v1 representa la deflexión debida a una carga
q1 y si v2 representa la deflexión debida a una carga q2 la deflexión total
producida por q1 y q2 actuando simultáneamente es v1 + v2.
Para ejemplificar esta idea, considérese la viga en voladizo mostrada en
la figura 5.1. Esta viga soporta una carga uniforme de intensidad q sobre una
porción del claro y una carga concentrada P que actúa sobre su extremo libre.
Supóngase que se desea calcular la deflexión b en el extremo libre. Cuando la
carga P actúa sola, la deflexión en B es PL3/3EI, también, la deflexión debida a
la acción de la carga uniforme es qa3 (4 L−a) /24 EI . Por lo que la deflexión
b debida a la carga combinada es
La deflexión y el ángulo de rotación en cualquier punto de la viga pueden
determinarse mediante este procedimiento.
El método de superposición es muy útil cuando el sistema de carga sobre
la viga puede subdividirse en condiciones de carga que producen deflexiones
que son ya conocidas para su uso conveniente en problemas de este tipo se
incluyen tablas de deflexiones de vigas. Mediante estas tablas y el método de
superposición, podemos determinar deflexiones y ángulos de rotación para
muchas condiciones de carga diferentes para viga.
La superposición también puede emplearse para cargas distribuidas
considerando un elemento de la carga distribuida como si fuera una carga
concentrada e integrado a lo largo de la región de la carga. Este procedimiento
puede entenderse fácilmente mediante el ejemplo mostrado en la Fig. 5.2. La
carga sobre la viga simple AB esta distribuida triangularmente sobre la mitad
izquierda de la viga, y supongamos que se desea conocer la deflexión en el
punto medio de la viga. Un elemento q dx de la carga distribuida puede
visualizarse como una carga concentrada. La deflexión en el punto medio
producida por una carga concentrada P que actúa a una distancia x del extremo
izquierdo, es
δ b=PL3
3EI+qa3 (4 L−a)24 EI
)43(48
22 xLEI
Px
)43(48
222/
0xL
EIdxqxL
LEI
LqdxxxL
LEI
q L
240)43(
24
4022/
0
220
la cual se obtiene de la Tabla, sustituyendo q dx por P en esta expresión, y
observando que q=2q0 x /L , obtenemos para la deflexión
Mediante este mismo procedimiento de superponer elementos de cargas
distribuidas podemos calcular el ángulo de rotación en el extremo izquierdo
de la viga. La expresión para este ángulo debido a una carga concentrada P es
En esta expresión debemos reemplazar P por 2q0 x dx /L , a por x y b por
Fig. 5.1 Fig. 5.2
Pab (L+b)6 LEI
L – x; luego
En cada uno de los ejemplos anteriores, se ha utilizado el principio de
superposición para determinar deflexiones de vigas. Este concepto es
ampliamente usado en mecánica y es válido siempre y cuando la cantidad a ser
determinada sea una función lineal de las cargas aplicadas. Bajo tales
condiciones, la cantidad deseada puede determinarse debido a la acción
separada de cada carga, y entonces los resultados pueden superponerse para
obtener el valor total debido a la acción simultánea de todas las cargas. En el
caso de deflexión de vigas, el principio de superposición es válido si el material
cumple con la ley de Hooke y si las deflexiones y rotaciones de la viga son
pequeñas. El requisito de rotaciones pequeñas asegura la linealidad de la
ecuación diferencial de la curva de deflexión, y el requerimiento de deflexiones
pequeñas aseguran que las líneas de acción de las cargas y reacción no varíen
en forma significativa a partir de sus posiciones originales.
θa=0L /2 q0 x dx
3 L2EI( x )(L−x )(2 L− x )=
41q0 L3
2880EI
A N E X O S
B I B L I O G R A F I A
Resistencia de MaterialesNicholás WilliamsMcGraw-HillPrimera Edición, 1981
Mecánica de MaterialesGere – TimoshenkoEditorial IberoaméricaSegunda Edición, 1986
Mecánica de MaterialesF.P. BeerE. Russell Johnston Jr.J.T. DeWolfTercera Edición, 2003
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo de investigación contiene en forma detallada, el
desarrollo de ciertos temas que son considerados de gran importancia en la
mecánica de materiales, especialmente para el diseño de estructuras por lo que
tratamos de presentar nuestros resultados con la mayor claridad posible,
logrando así una comprensión mas fácil y concreta.
La investigación de este documento está basada principalmente en el estudio
de vigas, ya que el cálculo de la deflexión máxima de una viga bajo una carga
dada es de interés particular, ya que las especificaciones de diseño incluyen
generalmente un valor máximo admisible para la deflexión.
Se explicara la forma de calcular las reacciones en los apoyos y
empotramientos (si los hay), cuando tales vigas son estáticamente
indeterminadas.
Los temas que se desarrollan en este trabajo son los siguientes:
Método de Integración.
Método de área-momento
Método de superposición.
Cada uno de estos temas se ha definido teóricamente, dando conceptos
y generalidades, luego se detalla la forma de analizarlos matemáticamente
hablando y por último se presentan problemas resueltos, explicando claramente
los pasos que se dan en el desarrollo de estos.
Cabe mencionar que en el desarrollo de la teoría presentada, hemos
considerado necesario introducir ciertas ilustraciones (figuras) que nos hablan
gráficamente sobre lo que se está tratando o lo que se quiere dar a entender;
por lo que será mas fácil asimilar la teoría y en general nos ayuda a tener una
idea mas concreta y concisa en lo que respecta a esta investigación.