Post on 21-Feb-2021
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Assintótica
GaussCordeiro
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Objetivos
ExpansãoPonto deSela atravésda Expansãode Laplace
ExpansãoPonto deSela atravésda ExpansãodeEdgeworth
Expansõesde Daniels
SoluçãoNumérica
Aplicaçõesna inferência
Curso de Teoria Assintótica
Gauss Cordeiro
UFRPE e UFPE
27 de dezembro de 2007
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Objetivos
ExpansãoPonto deSela atravésda Expansãode Laplace
ExpansãoPonto deSela atravésda ExpansãodeEdgeworth
Expansõesde Daniels
SoluçãoNumérica
Aplicaçõesna inferência
1 Objetivos
2 Expansão Ponto de Sela através da Expansão de Laplace
3 Expansão Ponto de Sela através da Expansão de Edgeworth
4 Expansões de Daniels
5 Solução Numérica
6 Aplicações na inferência estatística
7 Referências
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Aplicaçõesna inferência
As expansões ponto de sela são muito importantes nateoria assintótica, pois aproximam de forma precisa asfunções densidade e de distribuição.
Em muitas aplicações estatísticas, as expansões têm suaimportância no que se refere, por exemplo, ao cálculo dosp-valores, à construção de testes e intervalos de confiançapara os parâmetros desconhecidos.
Em muitos casos, a expansão ponto de sela é utilizada paradeterminar limites uniformes com erros relativos sobre todoo intervalo de variação da distribuição.
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Aplicaçõesna inferência
A expansão de Laplace é dada por
∫
f (y)dy ≈ exp{h(y)}[
− 2π
h′′(y)
]1/2
. (1)
Seja KY (λ) a função geradora de cumulantes.Aproximando a integral de exp{KY (λ)} com relação àvariável λ, e por (1), tem-se
f (y) ≈∫
exp
{
KY (λ) +(λ − λ)2
2
∂2KY (λ)
∂λ2
∣
∣
λ
}
dλ
= exp{KY (λ)}[
− 2π∂2KY (λ)
∂λ2 |λ
]1/2
. (2)
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Aplicaçõesna inferência
Obtém-se a função densidade após mudança de variável a partirda função característica
fY (y) =1
2πi
∫ T+i∞
T−i∞exp{KY (λ) − λy}dλ. (3)
Expandindo KY (λ) − λy referente ao expoente da equação (3),obtém-se a aproximação (4). E associando esta aproximaçãocom a equação (2), obtém-se a equação (5).
KY (λ) − λy ≈ KY (λ) − λy +(λ − λ)2
2K
′′
Y (λ). (4)
fY (y) ≈[
1
2πK′′
Y (λ)
]1/2
exp{KY (λ) − λy}. (5)
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Aplicaçõesna inferência
A f.g.m. da média amostral (Y ) é dada por φY (λ) = φY (λ/n)n
e a f.g.c. é, então, KY (λ) = n KY (λ/n). Assim, uma diretaaplicação de (5) produz a equação (6) em que o lado direitodesta equação é a aproximação ponto de sela da funçãodensidade (ou de probabilidade) de Y .
fY (y) ≈[
n
2πK′′
Y (λ)
]1/2
exp{n[KY (λ) − λy ]}. (6)
A qualidade da expansão ponto de sela pode ser freqüentementeobtida pela multiplicação da aproximação da densidade por umaconstante de forma que sua integração resulte em 1.
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Aplicaçõesna inferência
A expansão de Edgeworth de uma distribuição é obtidaexpandindo a f.g.c. através da série de Taylor em torno dezero e invertendo-a em seguida.Sejam fSn
(s; λ) e KSn(t; λ) as funções densidade e geratriz
de cumulantes de Sn. Definindo a família exponencial (7),obtém-se a equação (8) para Sn.
f (y ; λ) = exp[λy − K (λ)]f (y). (7)
fSn(s; λ) = exp[sλ − nK (λ)]fSn
(s), (8)
sendo fSn(s) = fSn
(s; 0).
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Aplicaçõesna inferência
As funções densidade de Sn e S∗n estão relacionadas por
fSn(s; λ) = fS∗
n(y ; λ)
1√
nK′′(λ)
, (9)
em que y = [s − nK′
(λ)]/√
nK′′(λ).
A função fS∗
n(y ; λ) é aproximada pela expansão de Edgeworth
fS∗
n(y) = φ(y)
[
1 +ρ3
6√
nH3(y) +
ρ4
24nH4(y) +
ρ23
72nH6(y)
]
+O(n−32
(10)
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Aproximando fS∗
n(y) na origem (y = 0), obtém-se uma
expansão em potências de n−1.
Interpretando λ como a EMV de λ relativa a uma únicaobservação, tem-se
fSn(s; λ) = fS∗
n(0; λ){nK
′′
(λ)}−1/2,
sendo
fS∗
n(0; λ) =
1√2π
[1 + M(λ) + O(n−2)], (11)
em que M(λ) é um termo de ordem n−1 dado por
M(λ) =3ρ4(λ) − 5ρ3(λ)2
24n, (12)
sendo ρ3(λ) e ρ4(λ) os cumulantes padronizados que medem aassimetria e a curtose da distribuição de Y .
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Fazendo λ = λ em (8), explicitando fSn(s) e usando (9) e (11)
vem
fSn(s) =
exp[nK (λ) − sλ]√
2nπK′′(λ)
[1 + M(λ) + O(n−2)]. (13)
O termo principal da equação (13) é chamado expansão ponto
de sela para a função densidade da soma estocástica Sn
proveniente de Y .
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O interesse maior da expansão ponto de sela consiste em obteraproximações precisas para probabilidades de uma amostra iid
de n observações.
Lugannani e Rice (1980) definiram uma equação bastanteprecisa para aproximar probabilidades
P(Sn ≤ s) = Φ(r) +
(
1
r− 1
ν
)
φ(r), (14)
em que r = sinal(λ){2nλK′
(λ) − λs}1/2 e ν = λ{nK′′
(λ)}1/2.
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A aproximação (14) é boa em quase todo intervalo de variaçãode s, exceto próximo ao ponto s = E (Sn) ou r = 0, onde deveser substituída pelo seu limite, quando r → 0, dado por
P(Sn ≤ s) =1
2− ρ3
6√
2πn,
em que ρ3 é o terceito cumulante padronizado avaliado em λ.
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A expansão para P(Sn ≥ s) até O(n−1/2) quando s > nE (Y ),ou seja, quando λ > 0, válida para distribuições discretas, tem aforma (Daniels, 1987)
P(Sn ≥ s) = exp{(r2 + ν2)/2}{λ/(1 − e−λ)}×[
(1 − Φ(ν))
{
1 − ρ3ν3
6√
n− ν√
nK ′′
(λ−1 − (eλ − 1)−1)
}
+φ(ν)
{
ρ3(ν2−1)6√
n+ 1√
n K ′′
(λ−1 − (eλ − 1)−1)
}]
,
com todas as quantidades já definidas anteriormente.
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No caso de s < nE (Y ), ou seja, λ < 0, pode-se obterP(Sn ≥ s) até O(n−1/2) como
P(Sn ≥ s) = H(−ν) + exp(nK − λs + ν2/2)×
[
{H(ν) − Φ(ν)}(
1 − ρ3ν3
6√
n
)
+ φ(ν) ρ3(ν2−1)6√
n
]
em que H(w) = 0, 1/2 e 1 quando w < 0, w = 0 e w > 0,respectivamente.
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Em muitas aplicações a equação de ponto de sela (K ′Y (λ) = y)
não pode ser resolvida analiticamente, mesmo quando a soluçãode λ existe.
Usa-se o método de Newton-Raphson para calcular oponto de sela numericamente, tendo este, em geral, bomdesempenho desde que a função KY (λ) − λy que éminimizada seja convexa.
Há ainda o método da secante. Esse método geralmentesó produz a resposta correta em uma iteração se K ′
Y (λ) élinear, como é o caso do método Newton-Raphson. Adiferença com relação ao método Newton-Raphsonconsiste em não existir no método secante a possibilidadede divergência.
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Ilustra-se com exemplos a obtenção da expansão ponto de selapara a distribuição de Poisson com média γ, para a distribuiçãoexponencial com média unitária, para a distribuição normalinversa e mais um caso relacionado ao processo autorregressivode ordem 1.
A expansão ponto de sela pode, também, ser usada emdistribuições discretas. Sejam Y1, . . . ,Yn variáveis aleatórias iid
seguindo uma distribuição de Poisson com média γ. A f.g.c. deYi é dada por KY (λ) = γ {exp(λ) − 1} tendo como ponto desela λ = log(y/γ).
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A equação (6) pode ser usada diretamente, mas agora a médiasó pode assumir valores tais que y = r/n para r inteiro.Substituindo na equação, obtém-se
fY (y) ≈[
1
2πny
]1/2
exp
{
n
[
γ
(
y
γ− 1
)
−(
logy
γ
)
y
]}
.
fY (y) =
[
1
2πn
]1/2
e−γn γny
yny+1/2.
Essa quantidade exata da distribuição de Y é obtida pelaaproximação de Stirling.
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Tabela: Calculando P(Sn ≥ s) com as aproximações ponto de selapara a distribuição de Poisson (γ = 1, n = 1, 5 e 10).
n s Exato L-R (1980) Daniels (1987)1 1,0 0,6321 0,6330 0,6330
3,0 0,0803 0,0804 0,07907,0 0,0000832 0,0000834 0,00008259,0 0,00000113 0,00000113 0,00000115
5 1,0 0,99326 0,99319 0,993563,0 0,8753 0,8752 0,87655,0 0,5595 0,5595 0,559515,0 0,000226 0,000226 0,000225
10 1,0 0,9999546 0,9999536 0,99995675,0 0,9707 0,9710 0,971010,0 0,5421 0,5421 0,524120,0 0,00345 0,00345 0,00344
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(Cordeiro, 1999) Sejam Y1, . . . ,Yn variáveis aleatórias iid
com distribuição exponencial de média um. Assim, afunção densidade exata de Sn é dada por
πSn(s) = sn−1e−s/(n − 1)!.
Tem-se, φ(λ) = (1− λ)−1 e K (λ) = − log(1− λ). A EMVλ é λ = 1 − n/s, K (λ) = log(s/n) e K (2)(λ) = s2/n2.Ainda, M(λ) = −1/12n. Portanto, a expansão ponto desela (13) implica
fSn(s) =
sn−1e−s
√2πe−nnn−1/2
[
1 − 1
12n+ O(n−2)
]
.
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Considerando a distribuição exponencial, compara-se na tabelaseguinte o valor exato de P(Sn ≥ s) e os valores aproximadosobtidos pelas equações de Daniels (1987) e de Lugannani e Rice(1980) para n = 1, 5 e 10 e diversos valores de s.
Tabela: Comparando P(Sn ≥ s) com as aproximações de Daniels e asde Lugannani e Rice para a distribuição exponencial.
Aprox. Daniels(1987) Aprox.
n s Exato até O(n−1/2) até O(n−1) LR (1980)1 0,5 0,6065 0,6176 0,6077 0,6043
1,0 0,3679 0,3670 0,3670 0,36703,0 0,0498 0,0482 0,0510 0,05007,0 0,00091 0,00095 0,00091 0,00093
5 1,0 0,99634 0,99638 0,99635 0,996333,0 0,8153 0,8172 0,8156 0,81527,0 0,4405 0,4405 0,4405 0,440510,0 0,0293 0,0291 0,0293 0,029320,0 0,0000169 0,0000171 0,0000169 0,0000170
10 5,0 0,9682 0,9683 0,9682 0,968210,0 0,4579 0,4579 0,4579 0,457915,0 0,0699 0,0695 0,0699 0,069920,0 0,00500 0,00499 0,00500 0,00500
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Na tabela a seguir compara-se a probabilidade exataP(Sn ≥ s) com as aproximações de Daniels (1987) atéordens O(n−1/2) e O(n−1) e, também, com a expansão deLugannani e Rice (1980) para a distribuição normal inversa.
f (y ; µ) =µ
(2π)12 y3/2
exp{−(y − µ)2/(2y)},
e
KY (t) = µ{1 − (1 − t)12 }.
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Tabela: Comparando P(Sn ≥ s) com as aproximações de Daniels e asde Lugannani e Rice para a distribuição normal inversa com µ = 1(n = 3, 5 e 10).
Aprox. Daniels(1987) Aprox.
n s Exato até O(n−1/2) até O(n−1) Lugannani e Rice (1980)3 1,0 0,9645 0,9651 0,9644 0,9638
2,0 0,6782 0,6824 0,6753 0,67243,0 0,3927 0,3848 0,3848 0,38485,0 0,1156 0,1006 0,1176 0,117810,0 0,0055 0,00493 0,00573 0,0050520,0 0,0000174 0,0000169 0,0000176 0,0000155
5 1,0 0,999946 0,999947 0,999946 0,9999463,0 0,8334 0,8358 0,8330 0,83155,0 0,4147 0,4108 0,4108 0,410810,0 0,0378 0,0312 0,0344 0,032820,0 0,000148 0,000144 0,000150 0,00014125,0 0,0000099 0,0000097 0,00001 0,0000094
10 5,0 0,9825 0,9827 0,9826 0,982410,0 0,4384 0,4369 0,4369 0,436915,0 0,0721 0,0697 0,0723 0,071520,0 0,00789 0,00766 0,00794 0,0079925,0 0,00073 0,00071 0,000732 0,00071730,0 0,0000621 0,000061 0,0000623 0,0000608
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Consideremos o processo autoregressivo Y0, Y1, . . . dadopor Yk = λYk−1 + ǫk , em que |λ| < 1, ǫk são iid comǫk ∼ N(0, σ2) e Y0 tem distribuição estacionária, isto é,Y0 ∼ N(0, σ2/(1 − σ2)). O interesse está voltado para adistribuição de Y definida por
Y =√
nλ − λ√1 − λ2
=√
nU
V,
em que λ é o estimador de mínimos quadrados de λbaseado em Y0, . . . ,Yn,U =
∑ni=1
Yi−1(Yi − λYi−1)/√
1 − λ2 e V =∑n
i=1Y 2
i−1.
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Na tabela abaixo comparamos a probabilidade exataP(
√n|λ − λ|/
√1 − λ2 > w) com duas aproximações de
Edgeworth e as aproximações ponto de sela de primeira esegunda ordens para n = 10.
Tabela: Comparação entre as aproximações de Edgeworth e as deponto de sela no processo autorregressivo de ordem 1.
Aprox. Edgeworth Aprox. Ponto de Selaλ w Exato 1 2 1 20.4 1,0 0,3009 0,3173 0,3003 0,2984 0,3052
2,0 0,0498 0,0556 0,0557 0,0480 0,05003,0 0,0059 0,0067 0,0122 0,0056 0,0056
0.8 1,0 0,3444 0,3173 0,3433 0,3130 0,34742,0 0,1302 0,1053 0,1957 0,1102 0,13103,0 0,0507 0,0149 0,0994 0,0440 0,0505
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Aplicaçõesna inferência
Daniels, H. E. (1954). Saddlepoint Approximations in Statistics. TheAnn. Math. Statistics, 25, 631–650.
Daniels, H. E. (1987). Tail Probability Approximations. InternationalStatistical Review, 55, 1, 37–48.
Cordeiro, G.M. (1999). Introdução à teoria assintótica. 22o ColóquioBrasileiro de Matemática, IMPA, 70–77.
Cordeiro, G.M. (1992). Introdução à teoria da verossimilhança. Capítulo3, Seção 3.8, 90–95.
Goutis, C. e Casella, G. (1999) Explaining the Saddlepoint
Approximation. The American Satistician, 53, n. 3,216–224.
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Referências
Hinkley, D. V., Reid, N. e Snell, E. J. (1990). Statistical Theory and
Modelling. In honour of Sir David Cox, FRS. Chapmanand Hall.
Jensen, J. L. (1988). Uniform Saddlepoint Approximations. Adv. Appl.Prob., 20, 622–634.
Kolassa, J. E. (1997). Series Approximation Methods in Statistics.Lecture Notes in Statistics, 88, second edition, Springer,58–81.
Lugannani, R. e Rice, S. (1980). Saddle Point Approximation for The
Distribution of The Sum of Independent Random
Variables. Adv. Appl. Prob., 12, 475–490.