Post on 27-May-2015
ALEJANDRO PEDREROS MATTA
ÁNGELA BAEZA PEÑA
MARCIA VILLENA RAMÍREZ
PABLO JORQUERA ROZBACZYLO
GABRIEL MORENO RIOSECO
MAT
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201
0
EDUCACIÓN MEDIA
TEXTO PARA EL ESTUDIANTE
EDICIÓN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACIÓNPROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN
AÑO 2010
EDICIÓN ESPECIAL PARA ELMINISTERIO DE EDUCACIÓNPROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN
AÑO 2010
9 789561 512504
ISBN 956-15-1250-5
PORTXTO MATEMATICA IV 07 24/7/09 16:41 Page 1
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El texto Matemática, para Cuarto Año de Educación Media, es una obra colectiva, creaday diseñada por el departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de:
MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA
Coordinación Área Científico-Matemática: GABRIEL MORENO RIOSECO
Edición: ÁNGELA BAEZA PEÑA
MARCIA VILLENA RAMÍREZ
Ayudante de edición: PABLO JORQUERA ROZBACZYLO
Autores: ALEJANDRO PEDREROS MATTA
ÁNGELA BAEZA PEÑA
MARCIA VILLENA RAMÍREZ
PABLO JORQUERA ROZBACZYLO
GABRIEL MORENO RIOSECO VILLENA RAMÍREZ
Corrección de estilo: ISABEL SPOERER VARELA
Documentación: PAULINA NOVOA VENTURINO
RUBÉN ÁLVAREZ ALMARZA
La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de
VERÓNICA ROJAS LUNA
con el siguiente equipo de especialistas:
Coordinación gráfica: CARLOTA GODOY BUSTOS
Diseño y diagramación: XIMENA MONCADA LOMEÑA
ALFREDO GALDAMES CID
Cubierta: XENIA VENEGAS ZEVALLOS
www.santillana.clareaciencias@santillana.cl
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o
parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella
mediante alquiler o préstamo público.
© 2006, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile)
PRINTED IN CHILE Impreso en Chile por Quebecor World S.A.
ISBN: 956 - 15 - 1250 - 5Inscripción N°159.772
www.santillana.cl
Pag.2 Créditos 6/30/08 4:39 PM Página 2
EEDDUUCCAACCIIÓÓNN MMEEDDIIAA
TEXTO PARA EL ESTUDIANTE
ALEJANDRO HUMBERTO PEDREROS MATTAPROFESOR DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILEDOCTOR EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN (C),PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
ÁNGELA ROSSANA BAEZA PEÑAPROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILEMAGÍSTER EN EDUCACIÓN MENCIÓN DIFICULTADES DEL APRENDIZAJE,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
MARCIA ROMINA VILLENA RAMÍREZPROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILEMAGÍSTER EN EDUCACIÓN MENCIÓN DIFICULTADES DEL APRENDIZAJE (C),PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
PABLO ALFONSO JORQUERA ROZBACZYLOPROFESOR DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILEMAGÍSTER EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA (C),PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO
GABRIEL IVÁN MORENO RIOSECOPROFESOR DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILEDIPLOMADO EN DISEÑO YPRODUCCIÓN DE MULTIMEDIOS INTERACTIVOS,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
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Para archivar
4 Organización del texto
ORGANIZACIÓN DEL TEXTO
REPASO
En estas dos páginas pretendemos que revises tus aprendizajesanteriores y que te detengas en aquellos que todavía no dominas.Es un buen momento para que te autoevalúes y pidas ayuda a tuprofesor o profesora en lo que estimes que estás más débil.
EJERCICIOS RESUELTOS
En estas dos páginas te mostramos cómo resolver cierto tipo deejercicios, con algunas estrategias muy particulares que te puedenayudar a solucionar problemas similares. Eso sí, en matemática siem-pre hay más de un camino para resolver un problema.
ÍCONOS DE SEÑALIZACIÓN
PÁGINAS DE CONTENIDOS
Las páginas de contenidos están en un lenguaje muy sencillo y directoque se apoyan en una gran cantidad de ejercicios. Algunas seccionesque encontrarás son: “Para archivar”, que generaliza o enfatiza loimportante del contenido, En equipo, Enlace, Historia, Ayuda yalgunos “tips” que complementan los contenidos. Además, se indicacuándo debes realizar una actividad de laboratorio a través del sitiowww.santillana.cl/emedia/mat4 .
DOBLE PÁGINA INICIAL
Presenta una introducción y motivación al tema de la unidad a travésde elementos e imágenes de la vida diaria. Además se presentan losobjetivos que se pretenden lograr. Por otra parte, como uno de nues-tros objetivos es la integración de las tecnologías de la información ycomunicación (TIC) con la matemática, te proponemos que al comien-zo de cada unidad desarrolles el laboratorio que encontrarás en lapágina web: www.santillana.cl/emedia/mat4 .
En este texto encontrarás 6 unidades temáticas, 2 evaluaciones semestrales y un glosario de términosmatemáticos. Cada unidad temática se estructura de manera que puedas identificar lo mejor posible loscontenidos, los ejercicios, los ejercicios resueltos, los desafíos y las evaluaciones que te proponemos.
AyudaDefinición Ir a la Web
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5Organización del texto
DESAFÍOS Y MEDIOS
Tomando en cuenta que una de las alternativas al egresar de laEducación Media es rendir la PSU, incluimos algunas preguntas tipo deesta prueba, y otras que hemos recopilado de evaluaciones interna-cionales para que midas tus destrezas matemáticas frente a jóvenes deotros países. En la sección Medios te presentamos la matemática enconexión con diversos ámbitos de la vida diaria: medios de comunicación,Internet, el arte, etc.
EVALUACIÓN SEMESTRAL
Luego de terminar las primeras 3 unidades del texto, te proponemosuna evaluación semestral que incluya estos contenidos. Al final de las3 unidades siguientes encontrarás la segunda evaluación semestral.
EJERCICIOS DE REFUERZO
Según tu evaluación o lo que indique tu profesor o profesora, podrásreforzar aquellos contenidos que no dominas bien o que quieras prac-ticar aún más.
EVALUACIÓN
En estas dos páginas podrás autoevaluarte con respecto a los conte-nidos matemáticos aprendidos en la unidad.
SÍNTESIS
Este es un espacio para que construyas tu mapa conceptual a partir dealgunos conceptos clave.Además, encontrarás el resumen de los conceptos y definiciones tra-tados en la unidad.
En equipo Enlaces HistoriaTips
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6 Índice
ÍNDICE
3 Función Potencia y Logarítmica 68
Repaso 70
Funciones 72
- Función inversa 73
- Funciones periódicas 74
Gráficos con Javamath 75
Función potencia 76
- Análisis de la función potencia 77
- Traslaciones verticales y horizontales 79
Concepto de logaritmo 80
- Base de un logaritmo 81
- Propiedades de los logaritmos 82
Función logarítmica 84
- Distintas gráficas de la función logarítmica 86
- Profundizando en los logaritmos 88
- Logaritmo natural o neperiano 89
Ecuaciones logarítmicas con una incógnita 90
Aplicaciones de los logaritmos 92
Ejercicios resueltos 94
Desafíos 96
Medios: Modelación matemática 97
Síntesis 98
Evaluación 100
Ejercicios de refuerzo 102
Unidad
2 Estadística II 34
Repaso 36
- Media aritmética 38
Medidas de tendencia central 38
Medidas de dispersión 41
- Desviación media 42
- Desviación estándar o típica 43
- Desviaciones para datos agrupados 43
- Correlación 45
Medidas de localización:cuartiles, percentiles y deciles 46
Diagrama de cajas 49
Muestras al azar 50
- Muestras representativas 50
- Nivel de confianza 51
- Margen de error 51
- Tamaño de la muestra 52
Aplicaciones de la estadística 53
Distribución normal 56
Ejercicios resueltos 58
Desafíos 60
Medios: ¿Cuántas personas tendránun accidente mañana? 61
Síntesis 62
Evaluación 64
Ejercicios de refuerzo 66
Unidad
4 La función exponencial 108
Repaso 110
Función exponencial 112
Aproximándonos al número e 116
Función exponencial natural 117
Función exponencial y función logarítmica 118
- Caso particular 119
Ecuaciones exponenciales 120
Crecimiento exponencial 122
Decrecimiento exponencial 124
- Aplicaciones de la función exponencial 126
Unidad
Evaluación semestral 1 104
1 Estadística I 8
Repaso 10
Historia de la estadística 12
- Conceptos básicos 13
Ordenando la información 14
- Tabla de frecuencias de datos agrupados 15
- Diagrama de tallo y hoja 16
Análisis de gráficos 17
Uso del computador 21
Ejercicios resueltos 24
Desafíos 26
Medios: Indicadores mensuales: INE 27
Síntesis 28
Evaluación 30
Ejercicios de refuerzo 32
Unidad
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7Índice
5 Vectores 138
Repaso 140
Rectas en el espacio 142
Planos en el espacio 144
- Posiciones relativas entre 2 planos 144
- Planos y sistemas de ecuaciones 145
- Intersección de planos 146
Coordenadas cartesianas 148
- Vectores 150
- Módulo de un vector 150
- Operatoria con vectores 152
- Regla del paralelogramo 152
- Producto de un número real por un vector 154
- Propiedades del producto 155
- Producto escalar 156
- Producto cruz 157
Vectores en el plano cartesiano 158
- Ecuación vectorial de la recta 160
Ecuación vectorial de la recta en el espacio 162
Ecuación vectorial de un plano en el espacio 164
Gráfico de rectas y planos 166
Intersección de rectas y planos en el espacio 168
Transformaciones geométricas 170
- Traslación 170
- Composición de traslaciones 171
- Homotecia 172
- Composición de homotecias 173
Ejercicios resueltos 174
Desafíos 176
Medios: Ajedrez: un juego de razonamientoy concentración 177
Síntesis 178
Evaluación 180
Ejercicios de refuerzo 182
Ejercicios resueltos 128
Desafíos 130
Medios: Ley de enfriamiento de Newton 131
Síntesis 132
Evaluación 134
Ejercicios de refuerzo 136
Unidad
6 Geometría: áreas y volúmenes 184
Repaso 186
Concepto de área 188
Concepto de volumen 189
Principio de Cavalieri 190
Teorema de Euler 191
Área y volumen de prismas 192
- Volumen de un prisma 193
Área y volumen de pirámides 194
Área y volumen de cilindros 196
Área y volumen de conos 198
Área y volumen de la esfera 200
- Volumen de una esfera 200
- Área de una esfera 201
Secciones de una esfera 202
Proyecciones en el plano 204
Cuerpos generados mediante rotación 206
Problemas de aplicación I 208
Problemas de aplicación II 210
Ejercicios resueltos 212
Desafíos 214
Medios: Las latas de bebida 215
Síntesis 216
Evaluación 218
Ejercicios de refuerzo 220
Unidad
Evaluación semestral 2 222
Solucionario 226
Glosario 251
Bibliografía 255
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UN
IDA
D
1
Estadística I
Hoy en día no seentendería una campaña
publicitaria sin los estudiosprevios basados en la información
que aporta la estadística. En general,la mayoría de las empresas tienen su
departamento de estudios estadísticosque se encarga de recopilar, organi-
zar y analizar los datos refe-rentes a un determinado
producto.
Los avances tecnológicosde hoy, como la red de Internet,
y los que vendrán, causarán efectos sobrela producción, ya que esta se orientará
de acuerdo a la información que se obtenga sobrelas necesidades, gustos e intereses de la población.De ahí, la importancia de conocer mecanismos para
analizar la información que se tiene.
8 Estadística I
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En esta unidad aprenderás a...
Conocer algunos hitos importantes en el desa-rrollo de la estadística.
Trabajar con algunos conceptos básicos de laestadística: muestra, población y tipos de variables.
Ordenar y organizar la información.
Analizar tablas y gráficos.
Usar el computador para analizar y presentar lainformación.
ExploraRealiza el laboratorio 1
correspondiente a la unidad 1que aparece en
www.santillana.cl/emedia/mat4
9Estadística I
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Unidad 1 ESTADÍSTICA I
10 Estadística I
REPASO
¿Cuánto sabes? 1. La siguiente es una tabla que muestra el número de alumnos(as) que hay en4º medio en un colegio, agrupados por curso y por sexo.
Niñas Niños
4º A 20 25
4º B 22 23
Escribe la razón entre:
a. el número de niñas y el número de niños del 4º A.b. el número de mujeres y el número de hombres.c. los estudiantes del 4º A y del 4º B.
2. Completa la tabla.
Porcentaje Fracción Fracción irreductible Expresión decimal
75 0,75
0,3–
90
3. Indica qué números enteros están contenidos en los siguientes intervalos.
a. �2, 9� b. �–3 , 3� c. �0 , 1� d. �–1 , 10�
4. Encuentra un intervalo de números reales que cumpla con lo pedido.
a. Un intervalo abierto que contenga a , 0 y – .
b. Un intervalo que contenga todos los números mayores que 5.
c. Un intervalo que no contenga a los números positivos.
d. Un intervalo semiabierto que no contenga ni al 8,3 ni al .7
10
13
12
150
62100
34
75100
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Unidad 1 ESTADÍSTICA I
11Estadística I
¿Qué debesrecordar?
Construye un gráfico de barras que tengacomo variables la edad y la cantidad depersonas que tienen esa edad.
5. En la siguiente tabla se muestran las edades de 6 niños pertenecientes a untaller de teatro.
Nombre Edad (años)
Pablo 8
Daniela 6
Enrique 10
Carolina 6
Angélica 8
Jaime 6
6. En la siguiente tabla se muestra la población por grupos de edad del censode 1992. Completa los recuadros de la tabla con la frecuencia acumulada.
Grupos de edad Habitantes Frecuencia acumulada
0 – 14 3.929.468
15 – 24 2.425.140
25 – 39 3.286.011
40 – 49 1.415.589
50 – 64 1.415.149
65 y más 877.044
1 El a% de un número se puede representar con la fracción .
Ejemplo: 34% se representa por . Su fracción irreductible es y
la expresión decimal equivalente es 0,34.
2 �a, b� es la representación del intervalo cerrado a, b; por tanto, contiene aa y a b y a todos los números comprendidos entre ellos.
3 �a, b� es la representación del intervalo abierto a, b; por tanto, solocontiene a aquellos números que están comprendidos entre a y b.
4 �a, b� o �a, b� son representaciones de un intervalo semiabierto quecontiene a a o b, según sea el caso, también contiene a los valorescomprendidos entre a y b.
5 Frecuencia: es la cantidad de veces que ocurre un suceso.
6 Frecuencia acumulada: es la suma de las frecuencias observadas hasta uncierto punto.
1750
34100
a100
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Unidad 1 ESTADÍSTICA I
12 Estadística I
CONTENIDOS
Historia de la estadística
Los orígenes de la estadística, aunque no se sabe con exactitud cuándo secomenzó a utilizar, pueden estar ligados al antiguo Egipto como a los censoschinos que se realizaron hace unos 4.000 años, aproximadamente.
Sin duda, fueron los romanos, maestros de la organización política, quienesmejor supieron ocupar la estadística. Cada cinco años realizaban un censo de lapoblación, cuyos datos de nacimientos, defunciones y matrimonios eran esen-ciales para estudiar los avances del imperio; sin olvidar los recuentos de gana-do y las riquezas que dejaban las tierras.
Desde esa época, diversos Estados realizaron estudios sobre algunas caracterís-ticas de sus poblaciones, sus riquezas, posesiones, etc.
En 1662, John Graunt (1620 – 1674), un mercader inglés, publicó un libro sobrelos nacimientos y defunciones ocurridos en Londres; el libro contenía conclu-siones acerca de ciertos aspectos relacionados con estos acontecimientos. Estaobra es considerada como el punto de partida de la estadística moderna.
La palabra estadística comenzó a usarse en el siglo XVIII, en Alemania, enrelación a estudios donde los grandes números, que representaban datos, erande importancia para el Estado. Sin embargo, la estadística moderna se desarro-lló en el siglo XX a partir de los estudios de Karl Pearson.
Hoy, la estadística tiene importancia no solo porque presenta información, sinoque además permite inferir y predecir lo que va a ocurrir, y por lo tanto, es unaherramienta fundamental a la hora de tomar decisiones de importancia.
EJERCICIOS
1. Averigua en qué parte del libro “Números”, del
Antiguo Testamento, se hace referencia a censos
o recuentos estadísticos. ¿Qué semejanzas hay
con los censos actuales?
2. ¿Qué importante acontecimiento relacionado
con la estadística marcó el momento del
nacimiento de Cristo?
3. En tu vida diaria, ¿cuándo usas la estadística
para informarte? ¿Cuándo lo haces para tomar
decisiones?
4. ¿Por qué crees tú que la estadística demoró
tanto tiempo en desarrollarse?
5. Señala 4 áreas distintas en las cuales se utilice la
estadística como herramienta de investigación.
HISTORIA
Karl Pearson
(1857 – 1936)
Matemático inglés, trabajó en la
University College de Londres.
Es considerado el padre de la
Estadística Moderna.
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Unidad 1 ESTADÍSTICA I
13Estadística I
EJERCICIOS
1. Se desea saber si los dueños de automóviles
catalíticos están dispuestos a pagar la conversión
de sus motores a gas natural. Para ello se decide
realizar una encuesta.
a. Determina cuál de las siguientes es la mejor
muestra:
i. Escoger al azar a adultos que caminan por el
centro de las principales ciudades del país.
ii. Escoger al azar a conductores de automóviles
en las intersecciones más concurridas.
iii. Escoger al azar del registro de vehículos
motorizados a dueños de automóviles
catalíticos y enviarles un encuestador.
b. Explica la razón de tu elección, señala las
ventajas y desventajas de cada alternativa.
c. ¿Cuáles son las variables utilizadas en la
encuesta? ¿A qué tipo de variables correspon-
den? ¿Por qué?
Conceptos básicos
El Instituto Nacional de Estadísticas (INE) es el organismo encargado de reco-ger, de forma fidedigna y oportuna, información relevante para la adminis-tración del Estado y para las actividades nacionales, con el objetivo de mejorarla calidad de vida de las personas.
En muchas ocasiones, para llevar a cabo una investigación se hacen encuestas,las cuales son dirigidas a una muestra representativa de la población. Paracomprender mejor este tipo de estudio es importante que conozcas los siguien-tes términos básicos:
ENLACES
En la página web www.ine.cl
podrás encontrar más información
relacionada con estudios estadísti-
cos.
Población: es un conjunto de personas, eventos o cosas de las cualesse desea hacer un estudio, y tienen una característica en común.
Muestra: es un subconjunto cualquiera de la población; es impor-tante escoger la muestra en forma aleatoria (al azar), pues así selogra que sea representativa y se puedan obtener conclusiones másafines acerca de las características de la población.
Para estudiar alguna característica específica de la población sepueden definir los siguientes tipos de variables:
Variables cualitativas: relacionadas con características no numéricasde un individuo (por ejemplo: atributos de una persona).
Variables cuantitativas: relacionadas con características numéricas delindividuo. Las variables cuantitativas se dividen en discretas (aquellasque pueden tomar solo algunos valores en un intervalo y no valoresintermedios) o continuas (aquellas que pueden tomar cualquier valoren un intervalo real).
Portada del estudio “Estadísticas
Sociales de los Pueblos Indígenas en
Chile” publicado por el Instituto
Nacional de Estadísticas (INE) acerca
de la información recopilada en el
censo del año 2002.
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4,2 5 20,8524
3,2 4 16,7424
Unidad 1 ESTADÍSTICA I
14 Estadística I
CONTENIDOS
Ordenando la información
Al ordenar datos muy numerosos, es usual agruparlos en clases o categorías.Al determinar cuántos pertenecen a cada clase, establecemos la frecuencia.Construimos así una tabla de datos llamada tabla de frecuencias.
Ejemplo
Los siguientes datos corresponden a las notas obtenidas por un curso de24 alumnos en un trabajo de matemática:
Ordenemos estos datos en la siguiente tabla:
Nota Frecuencia absoluta (fi) Frecuencia relativa (hi) Frecuencia relativa porcentual (%)
2,8 1 4,2
3,9 3 12,5
5,0 4 16,7
6,0 4 16,7
¿Qué conclusiones puedes obtener de la tabla anterior?Solo un 16,7% del curso obtuvo nota seis. El 33,4% del curso obtuvo nota defi-ciente, etc.
424
424
324
124
TIPS
A veces, por efecto de las aproxi-
maciones, es posible que la suma
de las frecuencias relativas porcen-
tuales no sea exactamente 100%.
EJERCICIOS
PARA ARCHIVAR
La frecuencia absoluta de una clase es el número de datos que forma dichaclase, mientras que la frecuencia relativa corresponde a la razón entre lafrecuencia absoluta y el total de datos, la cual se puede expresar medianteel uso de porcentajes.
3,2 4,2 5,6 6,0 2,8 3,9 4,2 4,2 5,0 5,0 3,9 3,93,2 3,2 4,2 5,6 6,0 6,0 3,2 6,0 4,2 5,0 5,6 5,0
5,6 3 12,5324
1. Los siguientes datos corresponden a los lugares
favoritos de vacaciones de los empleados de una
empresa.
Mar - Montaña - Campo - Mar - Mar - Montaña -
Campo - Mar - Mar - Montaña - Campo - Mar - Campo.
a. Completa la siguiente tabla y luego obtén al
menos dos conclusiones.
F. Absoluta F. Relativa %
Campo
Mar
Montaña
Total
LugarFrecuencia
IR A LA WEB
Desarrolla el laboratorio 2.
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15Estadística I
Tabla de frecuencias de datos agrupados
En ocasiones, el agrupar los datos en intervalos, nos puede ayudar para realizarun mejor análisis de ellos.
Ejemplo
Consideremos los siguientes datos, expresados en metros, correspondientes alas estaturas de 80 estudiantes de Cuarto año de Educación Media.
1,67 1,72 1,81 1,72 1,74 1,83 1,84 1,88 1,92 1,751,84 1,86 1,73 1,84 1,87 1,83 1,81 1,77 1,73 1,751,78 1,77 1,67 1,83 1,83 1,72 1,71 1,85 1,84 1,931,82 1,69 1,70 1,81 1,66 1,76 1,75 1,80 1,79 1,841,86 1,80 1,77 1,80 1,76 1,88 1,75 1,79 1,87 1,791,77 1,67 1,74 1,75 1,78 1,77 1,74 1,73 1,83 1,761,83 1,77 1,75 1,77 1,77 1,84 1,83 1,79 1,82 1,761,76 1,76 1,79 1,88 1,66 1,80 1,72 1,75 1,79 1,77
Estatura mayor: 1,93 m; estatura menor: 1,66 m; rango: 0,27 m = 27 cm. Formaremos 6 intervalos. Para calcular el tamaño de cada uno dividimos 27 : 6 = 4,5 �� 5.
Nos queda la siguiente tabla,
Intervalo Marca de clase Frecuencia absoluta
1,65 – 1,69 1,67 6
1,70 – 1,74 1,72 12
1,75 – 1,79 1,77 30
1,80 – 1,84 1,82 22
1,85 – 1,89 1,87 8
1,90 – 1,94 1,92 2
Total: 80
Unidad 1 ESTADÍSTICA I
EJERCICIOS
1. Utilizando los datos anteriores, haz una tabla de
frecuencias para datos no agrupados. Luego
responde:
a. ¿Cuántos alumnos miden entre 1,75 m y
1,89 m?
b. ¿Qué ventajas y desventajas tiene la
utilización de cada tipo de tabla?
2. Considera los siguientes datos:
1, 2, 5, 4, 7, 8, 9, 5, 6, 4, 7, 4, 1, 8, 5, 2, 3,
construye una tabla de datos agrupados y
determina la marca de clase de cada intervalo.
AYUDA
El rango, está dado por la diferen-
cia entre el máximo y el mínimo
valor de una variable.
AYUDA
La marca de clase es el represen-
tante de un intervalo, y corres-
ponde al promedio entre los ex-
tremos de este.
PARA ARCHIVAR
Para construir una tabla de frecuencias para datos agrupados, determinamosel tamaño de cada intervalo, dividiendo el valor del rango por la cantidad deintervalos que se desea obtener. Se recomienda tomar como longitud de losintervalos un valor entero que sea mayor o igual al cociente obtenido.
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Unidad 1 ESTADÍSTICA I
16 Estadística I
CONTENIDOS
Diagrama de tallo y hoja
Otra forma de organizar la información, es la utilización del diagrama de talloy hoja, este nos sirve para analizar la variabilidad de los datos, o bien paracomparar dos grupos diferentes.
Ejemplo:Los siguientes datos corresponden a la esperanza de vida de hombres y mujerescorrespondientes a diversos países.
Si observas los datos anteriores podrás apreciar que son similares, sin embargo,el siguiente diagrama de hoja nos permite apreciar algunas diferencias.
Esperanza de vida del hombre Esperanza de vida de la mujer
7 3 2 4 6 73 6 5 0 2
2 6 8 3 2 2 8 6 6 6 7 94 6 1 7 5 1 8 3 7 5 2
0 8 2
El diagrama anterior nos permite visualizar que la esperanza de vida de la mujeres mayor que la del hombre. Además podemos obtener otras conclusiones,como por ejemplo, que el intervalo �62, 68�, presenta la mayor frecuenciarespecto a la esperanza de vida del hombre.
ENLACES
Para mayor información acerca
de datos estadísticos de diversos
países ingresa a la página web:
www.amstat.org/publications/jse/
AYUDA
En este caso el tallo representa la
cifra de las decenas y las hojas, las
unidades.
Mujer75 66 66 6746 47 50 6971 78 73 5277 82 75 72
Hombre68 62 62 5642 43 47 6368 62 80 5374 76 71 66
EJERCICIOS
1. Los siguientes datos corresponden a la tasa bru-
ta de natalidad y mortalidad infantil de algunos
países de Latinoamérica.
Natalidad (niños nacidos vivos en 1 año, por
cada 1.000 habitantes):
21 47 29 27 23 3328 29 35 33 18 28
Mortalidad (número de muertes al año por cada
1.000 habitantes, niños menores de 1 año):
26 51 63 40 17 6356 43 42 109 22 23
a. Construye un diagrama de tallo y hoja para
los datos anteriores.
b. Se afirma que la tasa de mortalidad infantil
correspondiente a países africanos es de
aproximadamente 96. ¿A qué crees que se
debe la diferencia entre países latinoameri-
canos y africanos?
c. ¿A qué problemas puede conllevar la dife-
rencia entre tasas de natalidad y mortalidad?
d. Averigua las tasas de natalidad y mortalidad
correspondientes a otros grupos de países,
por ejemplo, países de Oriente o Asia, y
compáralos con las tasas de Latinoamérica.
Comparte tus resultados con tus compañeros.
TIPS
La variabilidad de los datos se rela-
ciona con cuán dispersos están
estos.
U1 Pág. 8 - 23 29/11/06 17:13 Page 16
Unidad 1 ESTADÍSTICA I
17Estadística I
ENLACES
Para obtener más información
visita el sitio www.conace.cl.
Recuerda que el contenido de la
página puede variar.
Análisis de gráficos
En mayo del 2005, el Consejo Nacional para el Control de Estupefacientes,(CONACE), publicó el Sexto Estudio Nacional de Drogas en Población Generalde Chile (realizado en el año 2004), relacionado con las tendencias en el uso dealgunas drogas en el país.
En los siguientes gráficos se muestran las tendencias, de los adolescentes (entre12 y 18 años) en el uso de ciertas drogas (lícitas e ilícitas), según el ingreso total,al mes, de la familia.
Ejemplo 1: Histograma
Fuente: Sexto Estudio Nacional de Drogas en Población General de Chile (2004),
www.conace.cl, julio 2005.
La más alta frecuencia de consumo de marihuana se registra entre las personascuyas familias tienen ingresos promedios mensuales sobre 1 millón de pesos,con una tasa cercana al 20%. Esta tasa porcentual de marihuana es tres vecesmás alta que en familias con los más bajos ingresos, con tasas de 6,7%.El consumo de cocaína entre adolescentes está latente, con tasas que bordeanel 1%, en familias de todos los niveles de ingresos, con la salvedad de las fami-lias con los más altos recursos.
Ejemplo 2: Gráfico circular
TIPS
El polígono de frecuencias se gra-
fica a partir de un histograma. Se
construye uniendo los puntos me-
dios de cada barra (marca de clase).
Ejemplo:
fi
5
12
30
37
34
26
12
Edad
16 – 20
21 – 25
26 – 30
31 – 35
36 – 40
41 – 45
46 – 50
Marca de clase
18
23
28
33
38
43
48
40
30
20
10
018 23 28 33 38 43 48 Edad
fi
Consumo de cigarrillos De aquellos adolescentes que consumencigarrillos, el 36% provienen de familias conlos más altos ingresos mensuales. Dicha tasaes 16 puntos porcentuales más alta que enfamilias con los más bajos ingresos, con tasasde 20%.
Fuente: Sexto Estudio Nacional de Drogas en Población
General de Chile (2004), www.conace.cl, julio 2005.
Menos de $ 100.000 – $ 200.000
$ 200.001 – $ 500.000
$ 500.001 – $ 1.000.000
$ 1.000.001 – más $ 2.000.000
20%
Menos de $ 100.000 –$ 200.000
6,7
0,9 1,1
5,4
1,00,3
5,5
0,60,0
Marihuana
Pasta Base
Cocaína
25
20
15
10
5
0$ 200.001 – $ 500.000 $ 500.001 – $ 1.000.000 $ 1.000.001 – Más de
$ 2.000.000
20%24%
36%
1,1
19,5
0,0
IR A LA WEB
Desarrolla el laboratorio 3.
www.santillana.cl/emedia/mat4
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Unidad 1 ESTADÍSTICA I
18 Estadística I
CONTENIDOS
Ejemplo 3: Pictograma
El consumo de cigarrillos en adolescen-tes de familias con el ingreso más alto,tiene una tasa que supera casi por 21puntos porcentuales al consumo enfamilias con el ingreso más bajo.
Ejemplo 4: Gráfico de barras
La encuesta Consumo de Cultura, realizada por el Instituto Nacional de Estadís-ticas (INE) entre varias temáticas, arrojó la siguiente información relacionadacon el tipo de música que escuchan hombres y mujeres.
Fuente: Encuesta Consumo de Cultura, www.ine.cl , julio 2005.
Ejemplo 5: Gráfico de dispersiónEn la gráfica se observan datos obteni-dos del Censo del año 2002, relacionadocon la cantidad de población que hay encada región del país.Por millones de habitantes, una de lasregiones está por sobre las demás, conaproximadamente seis millones depersonas. Le siguen en tamaño, con másde un millón de habitantes, dosregiones más. En las restantes regiones,la cantidad de población es bastantehomogénea.
Fuente: Censo 2002, www.ine.cl , julio 2005.
TIPS
Observa otro tipo de gráfico que
te permite un buen análisis de
información.
Fuente: Estudio de la Mujer (2004), www.sernam.cl, julio 2005.
fi
138.478
156.305
37.436
13.529
5.205
120.129
12.308
26.074
Tipo de música
Rock latino
Hip-hop
Electrónica (tecno)
Funk
Punk
Cumbia
Sound
Bossa Nova
fi
138.478
156.305
37.436
13.529
5.205
120.129
12.308
26.074
Tipo de música
Rock latino
Hip-hop
Electrónica (tecno)
Funk
Punk
Cumbia
Sound
Bossa Nova
180.000
160.000
140.000
120.000
100.000
80.000
60.000
40.000
20.000
0
7.000
6.000
5.000
4.000
3.000
2.000
1.000
0
mile
s de
per
sona
s
regiones
Rock la
tino
Hip-hop
Electrónica
(tecn
o)Fu
nkPunk
Cumbia
Sound
Bossa N
ova
Fuente: Sexto Estudio Nacional de Drogas enPoblación General de Chile (2004), www.conace.cl,julio 2005.
Cantidad de población por región(Chile. Censo 2002)
Consumo de alcohol y cigarrillos
alcohol
Menos de $ 100.000–$ 200.000
29,2
25,1
32,4
25,4
38,7
30,0
41,2 44
,1
$ 200.001 – $ 500.000 $ 500.001 – $ 1.000.000 $ 1.000.001 – Más de$ 2.000.000
cigarrillos
cantidad de población
7
6
5
4
3
2
1
0
Año
s de
est
udio
Grupos de edad
Mujer
Hombre
15 – 19 20 – 34 35 – 49 50 y más
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII RM
U1 Pág. 8 - 23 6/30/08 10:40 PM Página 18
Unidad 1 ESTADÍSTICA I
19Estadística I
PARA ARCHIVAR
Utilidad de diversos tipos de gráficos:
Gráfico de barras: facilita la comparación entre las frecuencias de las variables.
Pictograma: mediante figuras o diagramas representa los valores de una variable estadística.
Gráfico circular: es útil cuando se necesita representar porcentajes.
Histograma: sirve para expresar información sobre datos que están agrupados.
Gráfico de dispersión: sirve para estudiar la homogeneidad o heterogeneidad de los datos.
EJERCICIOS
1. El gráfico muestra la cantidad de pacientes
semanales que asistieron al hospital Sótero del
Río, por motivos de enfermedades respiratorias.
a. ¿Qué conclusiones puedes obtener a partir
del gráfico?
b. ¿En qué período las atenciones médicas
fueron similares, en cantidad de pacientes?
c. ¿En qué período se produjo mayor demanda
en el hospital?
2. El siguiente gráfico nos presenta la información
obtenida de 300 encuestados por la Fundación
Futuro (2004), acerca de la pregunta: ¿Qué nota
colocas a lo bueno y malo en el deporte chileno?
a. ¿Cuál fue la categoría mejor evaluada? ¿Tú
también la hubieras evaluado con esa nota?
¿Por qué?
500
400
300
200
100
0
ATENCIONES SEMANALES A ADULTOS POR CAUSASRESPIRATORIAS EN SERVICIO DE URGENCIA
HOSPITAL SÓTERO DEL RÍO, ABRIL A AGOSTO 2003–2005.
Fuente: DEIS. Departamento de Estadísticas eInformación de Salud, Ministerio de Salud.
Número de atenciones
Semanas Estadísticas
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
Fuente: Encuesta Lo bueno, lo malo y lo feo,www.fundacionfuturo.cl , julio 2005.
1 2 3 4 5 6 7
6,9
6,7
6,5
5,4
5,4
4,6
2,5
3,9
LO BUENO
LO MALO
Massú y Gonzálezcampeones olímpicos
Carlo de Gavardocampeón de Rally
mundial
Chile a la seriemundial deCopa Davis
Salida de Orozcode U. de Chile
Cobreloa campeóndel torneo de
clausura
U. de Chilecampeón del torneo
de apertura
Quiebra deColo-Colo
Retiro del Chino Ríosdel tenis
200520032004
Nota promedio
U1 Pág. 8 - 23 6/30/08 10:40 PM Página 19
EJERCICIOS
Unidad 1 ESTADÍSTICA I
20 Estadística I
CONTENIDOS
b. De lo bueno, ¿qué área del deporte tiene el
mejor promedio, el tenis o el fútbol?
c. Con la información obtenida en b, construye
un gráfico circular que muestre la diferencia
obtenida? ¿A qué atribuyes esta diferencia?
3. Dada la siguiente tabla, que muestra los resulta-
dos de la prueba SIMCE (Sistema de Medición de
la Calidad de la Educación) año 2002 de 4º año
Básico, responde:
Región Matemática Lenguaje
I Tarapacá 240 245
II Antofagasta 247 250
III Atacama 244 248
IV Coquimbo 242 249
V Valparaíso 249 254
VI L. Bdo. O´Higgins 246 252
VII Maule 243 248
VIII Bío- Bío 243 247
IX Araucanía 235 243
X Los Lagos 242 249
XI Aisén 254 261
XII Magallanes 254 260
RM Región Metropolitana 254 257
Total 248 252
a. ¿Cuáles son las regiones que tienen menos de
246 puntos en Matemática?
b. ¿Qué región obtuvo el puntaje más bajo en
cada área? ¿Coinciden estos puntajes con la
misma región?
c. ¿Qué región obtuvo el mejor promedio en
Lenguaje? Esta región, ¿también obtuvo el
puntaje más alto en Matemática?
d. ¿Qué tipo de variables son las consideradas
en esta tabla?
e. ¿Qué tipo de gráfico representa mejor la
diferencia de puntajes totales en cada área?
f. ¿Qué tipo de gráfico construirías para repre-
sentar los puntajes de las mejores 5 regiones?
4. Uno de los problemas más complejos que debe
abordar nuestra sociedad es la pobreza; un país
que quiere surgir debe eliminar este problema.
En la tabla se ven las comunas más pobres del
país; en la mayoría de ellas vive población
mayoritariamente mapuche que no ha podido
salir del círculo de la pobreza.
a. ¿Qué gráfico representaría mejor la informa-
ción dada en la tabla? ¿Por qué?
b. ¿Qué tipo de variable utilizaste para el gráfi-
co anterior?
c. De la tabla, determina los dos pueblos que
presenten mayor porcentaje de pobreza y dos
que tengan el menor porcentaje. Elige algún
tipo de gráfico que te permita estudiar la
comparación, ¿qué puedes concluir?
d. ¿Qué factores culturales crees tú que afectan
al pueblo mapuche y le impiden salir de la
pobreza?
e. ¿Qué factores de nuestra sociedad impiden a
los mapuches vivir como ellos desean?
f. ¿Qué soluciones ves tú al problema?
g. Averigua en cuáles de las comunas del cuadro
vive mayoritariamente gente mapuche.
Fuente: Prueba SIMCE, 4º Año Educación Básica (2002),www.mineduc.cl, julio 2005.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Más pobres %
59,5
53,3
50,8
50,6
49,9
48,5
47,8
46,9
46,4
45,4
44,5
44,4
44,1
44,0
43,8
Comunas
Mulchén
Angol
Carahue
Gorbea
Constitución
Coihueco
Curanilahue
Padre Las Casas
Nueva Imperial
Traiguén
Coronel
Lebu
Collipulli
Nacimiento
Cañete
Fuente: CASEN 1998, MIDEPLAN
U1 Pág. 8 - 23 29/11/06 17:13 Page 20
Unidad 1 ESTADÍSTICA I
21Estadística I
Uso del computador
Las planillas de cálculo permiten ahorrar gran cantidad de tiempo al hacer tra-bajos estadísticos. A continuación se presenta un ejemplo de cómo utilizar elprograma Excel para graficar un conjunto de datos. Lo primero que se debe hacer es construir una tabla de valores, luego selec-cionarla y por último pulsar “Asistente de gráficos”.
Ejemplo
La siguiente tabla muestra las hectáreas afectadas en 1999 por incendios fores-tales, para graficarla realizamos lo siguiente:
1. Seleccionamos presionando con el mouse, desde la columna B2 hasta la
columna D14.
2. En la barra de menú, selecciona “Insertar”, luego selecciona “Gráfico” en el
submenú.
3. Elegimos “Tipo de gráfico”, en este caso seleccionamos un gráfico de barras.
4. Finalizamos nuestro gráfico en “Terminar”.
TIPS
Puedes personalizar tu gráfico,
haciendo clic sobre él, de esta ma-
nera puedes cambiar los colores.
Además en “Título”, puedes poner
nombre a los ejes y al gráfico.
EJERCICIOS
1. Utilizando los datos anteriores realiza lo
siguiente:
a. Ingresa la tabla anterior en una planilla Excel.
b. Realiza un gráfico de dispersión y otro circu-
lar. ¿Qué ventaja tiene la utilización de cada
tipo de gráfico?
c. ¿En qué regiones se observa mayor cantidad
de hectáreas afectadas por incendios fores-
tales? ¿A qué crees que se debe?
d. Está comprobado que la mayor cantidad de
incendios forestales es causada directa o indi-
rectamente por el ser humano. ¿Qué medidas
tomarías tú para proteger nuestros bosques?
IR A LA WEB
Desarrolla el laboratorio 4.
www.santillana.cl/emedia/mat4
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Unidad 1 ESTADÍSTICA I
22 Estadística I
CONTENIDOS
Uso Invierno Verano
Duchas 250 350
Aseo en lavatorios 50 60
Descarga WC 300 300
Comida y lavado de vajilla 80 90
Lavado general 150 185
Riego 5 165
Total diario 835 1.150
Total mensual 25.050 34.500
Fuente: EMOS.
Colesterol total (mg/dl) Frecuencia
170 – 179 4
180 – 189 7
190 – 199 12
200 – 209 16
210 – 219 35
220 – 229 37
230 – 239 11
240 – 249 8
EJERCICIOS
2. Las siguientes son las respuestas de un grupo de
jóvenes a la pregunta: ¿Cuál es tu deporte
favorito?
Fútbol - Tenis - Fútbol - Basquetbol - Fútbol -
Automovilismo -Tenis - Fútbol - Natación -
Fútbol - Tenis - Automovilismo - Gimnasia -
Fútbol - Hockey - Fútbol - Tenis - Atletismo -
Fútbol -Gimnasia - Tenis - Atletismo - Gimnasia
a. Construye en Excel un gráfico circular e inter-
preta los resultados.
b. ¿Qué deporte presenta mayor frecuencia?
3. Según la Empresa Metropolitana de Obras
Sanitarias (EMOS), el consumo promedio de
agua, en metros cúbicos, en una familia de
5 integrantes es:
a. Construye en Excel, un gráfico que permita
comparar el consumo de una familia de
5 integrantes en invierno y verano.
b. Construye un gráfico circular, para el
consumo de invierno que muestre los
porcentajes de agua destinados a cada fin.
c. Repite el ejercicio anterior para mostrar el
consumo de agua en verano.
d. ¿A qué crees que se deba el incremento del
consumo de agua en verano?
e. Divide cada uno de los valores dados en la
tabla por 5, luego construye un gráfico que
muestre estos valores. ¿Qué resultados nos
entrega este gráfico?
f. Discute con tus compañeros acerca de la
escasez del agua y su mal uso.
4. La siguiente tabla de frecuencias muestra la
cantidad de colesterol total de un grupo de
pacientes cuya edad es de 50 a 60 años.
a. Calcula las frecuencias relativas para cada
intervalo.
b. Se considera un nivel normal de colesterol
entre 200 y 239 (mg/dl). ¿Cuántos de los
pacientes se encuentran dentro de los niveles
normales?
c. Construye en Excel un histograma para
comparar la frecuencia de cada intervalo.
¿Qué puedes concluir?
U1 Pág. 8 - 23 6/30/08 10:40 PM Página 22
Unidad 1 ESTADÍSTICA I
23Estadística I
EJERCICIOS
5. En septiembre del año 2003, la Fundación Futuro
realizó un estudio en 34 comunas de Santiago,
que arrojó los siguientes resultados, respecto a la
siguiente pregunta:
¿En qué lugar se siente más seguro?
a. Construye un gráfico circular para cada uno
de los lugares. ¿Qué puedes concluir?
b. Construye un histograma que muestre las
diferencias entre los cuatro lugares. ¿A qué
crees que se deba esta diferencia?
c. Si la muestra de la encuesta anterior fue de
402 personas, ¿cuántas personas correspon-
den a cada categoría?
d. La encuesta fue realizada telefónicamente.
¿Cómo influye este hecho en los resultados
de la encuesta? Discútelo con tus
compañeros(as).
e. ¿Qué medidas implementarías para mejorar
los problemas relacionados con la seguridad?
6. La siguiente tabla muestra la disponibilidad de
agua (en miles de metros cúbicos) por persona
en el año 1950 y en el año 2000.
a. Construye un gráfico de barras que permita
comparar la disponibilidad de agua durante
ambos períodos.
b. Calcula el porcentaje de descenso para cada
lugar.
c. ¿Por qué crees que en algunos lugares el
descenso de la cantidad de agua es mayor
que en otras?
d. ¿Qué crees que sucederá con la disponibilidad
de agua en 50 años más?
e. Construye un gráfico circular que muestre la
diferencia de disponibilidad de agua en el
año 2000. ¿Qué puedes concluir? ¿A qué se
debe la diferencia?
1950 2000
África 17,8 4,8
Asia 7,6 2,9
Europa 5,9 4,5
América del Norte 32,4 17,6
América Latina 72,1 22,8
Ex URSS 24,1 14,8
Oceanía 159,5 65,6
Fuente: FAO (Food and Agriculture, Organizationof the United Nations)
Casa Lugar Lugares Callede trabajo públicos
% % % %
Muy seguro 53 41 41 13
Muy inseguro 47 30 55 86
No responde 1 29 5 1
Fuente: Estudio Fundación Futuro, julio 2005.
U1 Pág. 8 - 23 6/30/08 10:40 PM Página 23
Unidad 1 ESTADÍSTICA I
24 Estadística I
EJERCICIOS RESUELTOS
Cantidad de habitantespor kilómetro cuadrado.
Cantidad de hombrescomprendidos en el
intervalo �10, 24�, por
cada año.
1950
Intervalo Frecuencia Frecuenciaabsoluta acumulada
[10, 14] 300.000 300.000
[15, 19] 280.000 580.000
[20, 24] 300.000 880.000
2000
Intervalo Frecuencia Frecuenciaabsoluta acumulada
[10, 14] 700.000 700.000
[15, 19] 650.000 1.350.000
[20, 24] 600.000 1.950.000
2025
Intervalo Frecuencia Frecuenciaabsoluta acumulada
[10, 14] 700.000 700.000
[15, 19] 700.000 1.400.000
[20, 24] 700.000 2.100.000
800 700 600 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800
202520001950Edad (años)
80 y más75 – 7970 – 7465 – 6960 – 6455 – 5950 – 5445 – 4940 – 4435 – 3930 – 3425 – 2920 – 2415 – 1910 – 14
5 – 90 – 4
800 700 600 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800
Edad (años)80 y más
75 – 7970 – 7465 – 6960 – 6455 – 5950 – 5445 – 4940 – 4435 – 3930 – 3425 – 2920 – 2415 – 1910 – 14
5 – 90 – 4
500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500
Miles de personas Miles de personas Miles de personas
Chile: Población estimada al 30 de junio
Edad (años)80 y más
75 – 7970 – 7465 – 6960 – 6455 – 5950 – 5445 – 4940 – 4435 – 3930 – 3425 – 2920 – 2415 – 1910 – 14
5 – 90 – 4
Fuente: Proyecciones de población INE-CELADE.Hombres Mujeres
Ejercicio 1Los siguientes gráficos piramidales, muestran la distribución poblacional de Chileen tres años diferentes. Observa y luego responde las siguientes preguntas.
a. ¿Cuántos hombres aproximadamente comprende el intervalo �10, 24� en
cada uno de los años mostrados en los gráficos?
b. ¿En qué año la población masculina comprendida en el intervalo �10, 24�presentó una mayor diferencia por tramos de edad?
c. ¿Qué consecuencias geográficas podrían derivarse de la pirámide
poblacional proyectada para el año 2025?
d. ¿En qué tipo de análisis es recomendable la utilización de gráficos
piramidales?
Solucióna. Para responder, debemos determinar la frecuencia de cada uno de los
tramos comprendidos en el intervalo �10, 24�, es decir, en los tramos
�10, 14�, �15, 19�, �20, 24� para cada año.
b. Si observamos la frecuencia acumulada para cada año, podemos concluir
que en el año 2025 la población masculina comprendida en el intervalo
�10, 24� presentará una mayor diferencia por tramos de edad.
c. Dado que en el año 2025 se observa un importante incremento de la pobla-
ción, uno de los principales problemas podrá estar dado por la densidad, y
como consecuencia, el espacio disponible por individuo se verá disminuido.
d. Se recomienda el uso de gráficos piramidales para realizar comparación de
variables que presentan más de una categoría, por ejemplo, sexo.
U1 Pág. 24 - 33 29/11/06 17:14 Page 24
Unidad 1 ESTADÍSTICA I
25Estadística I
Ángulo correspondientea cada categoría.
Resolviendo la proporción
=
x = 3,6º
100%1%
360ºxº
Ejercicio 2
El siguiente gráfico circular muestra la distribuciónde personas de 60 años o mayores, según estadocivil en Chile.
a. Determina el porcentaje correspondiente a cada
categoría.
b. Determina el ángulo central aproximado corres-
pondiente a cada uno de los grupos indicados
en el gráfico.
Solución
a. Para calcular el porcentaje correspondiente a cada categoría, completare-
mos la siguiente tabla de frecuencias.
Categoría Frecuencia Frecuencia Frecuencia relativaabsoluta relativa porcentual (%)
Casado 684.590 0,524 52,43
Conviviente 40.872 0,031 3,13
Soltero 150.833 0,115 11,55
Viudo 364.120 0,27 27,9
Anulado o separado 65.142 0,05 4,98
Total 1.305.557 0,99 99,99
b. Ahora que hemos calculado los porcentajes correspondientes, determina-
remos el ángulo central correspondiente a cada grupo.
Sabemos que los 360º del círculo representan la frecuencia relativa porcen-
tual acumulada, es decir 100%, por lo tanto cada 1% corresponderá a 3,6º.
Luego para obtener el ángulo correspondiente, basta con multiplicar cada
porcentaje por 3,6. Nos queda:
Categoría % Ángulo (grados)
Casado 52,43 188,75
Conviviente 3,13 11,27
Soltero 11,55 41,58
Viudo 27,9 100,44
Anulado o separado 4,98 17,93
Total 99,99 359,9
Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas, www.ine.cl, Julio 2005.
CasadoConvivienteSolteroViudoAnulado o separado
684.590
65.142
364.120
40.872
150.833
Porcentajecorrespondiente a cadacategoría.
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Unidad 1 ESTADÍSTICA I
26 Estadística I
DESAFÍOS
1. (Ensayo PSU, 2004) En un curso cada estudiante
puede optar solamente por una actividad
extraprogramática: las tres cuartas partes de los
estudiantes elige deportes y una sexta parte del
curso elige teatro. ¿Cuál de las siguientes es la
mejor estimación del porcentaje de estudiantes
que participa en alguna de estas dos actividades?
A. Menos del 91%
B. Entre el 91% y el 93%
C. Entre el 93% y el 95%
D. Entre el 95% y el 97%
E. Más del 97%
2. (Ensayo PSU, 2004) La distribución del número
de horas que duraron encendidas 200 ampo-
lletas está dada en el gráfico siguiente. La
duración promedio de una ampolleta en horas,
aproximadamente, es:
A. 1
B. 380
C. 400
D. 480
E. 580
3. (Facsímil PSU, Demre, 2004) El estadio A de una
ciudad tiene capacidad para 40.000 personas
sentadas y otro estadio B para 18.000. Se hacen
eventos simultáneos; el A se ocupa hasta el 25%
de su capacidad y el B llena solo el 50%.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) El estadio A registró mayor asistencia depúblico que el B.
II) Si se hubiese llevado a los asistentes deambos estadios al A, habría quedado eneste, menos del 50% de sus asientos vacíos.
III) Los espectadores que asistieron en conjuntoa los dos estadios superan en 1.000 a lacapacidad de B.
A. Solo I D. I y II
B. Solo II E. I y III
C. Solo III
4. (Pisa, 2003) Un presentador de TV mostró este
gráfico y dijo:
“El gráfico muestra que hay un enorme aumento del
número de robos comparando 1998 con 1999”.
¿Consideras que la afirmación del presentador es
una interpretación razonable del gráfico? Da
una explicación que fundamente tu respuesta.
5. (Pisa, 2003) Los siguientes gráficos muestran
información sobre las exportaciones de
Zedlandia, un país cuya moneda es el zed.
¿Cuál fue el valor de las exportaciones de zumo
de fruta en el año 2000?
A. 1,8 millones de zeds.
B. 2,3 millones de zeds.
C. 2,4 millones de zeds.
D. 3,4 millones de zeds.
E. 3,8 millones de zeds.
100
50
100
200 400 600 800 horas
No de ampolletas
Distribución de las exportaciones deZedlandia en el año 2000
Tejido dealgodón
26%
Otros21%
Carne14%
Té5%
Arroz13%
Zumode fruta
9%
Tabaco7%
Lana5%
Total de las exportaciones anuales deZedlandia en millones de zeds, 1996–2000
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
01996 1997 1998 1999 2000
20,4
25,427,1
37,9
42,6
Año
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Unidad 1 ESTADÍSTICA I
27Estadística I
MEDIOS
Indicadores mensuales: INEEn la página web del Instituto Nacional de Estadísticas (INE) se publican mensualmente las variacionesque experimentan los precios de los productos con lo cual se obtiene el IPC del mes. El siguiente textocorresponde a las variaciones de julio del 2005.
Una variación mensual de 0,6% experimentó el IPC en julio, con lo cual la inflación acumulada en el añoes de 2,4%. En doce meses se registra un alza de 3,1%. El grupo Transporte, con un aumento promedio de 1,5%, muestra la más importante alza de precios.También se observaron aumentos en los grupos Vivienda (0,8%), Salud (0,7%), Alimentación (0,6%) yEquipamiento de la Vivienda (0,1%). En tanto, los precios del grupo Vestuario cayeron en 0,8%, fundamentalmente por las liquidaciones detemporada. Por otra parte, este grupo muestra una tendencia a la baja que se refleja en una caída de16,4% en los últimos cinco años. Los grupos Educación y Recreación y Otros se mantuvieron sin variación respecto de junio. Especial incidencia en el alza del grupo Vivienda tuvo el aumento del precio de la electricidad quealcanzó al 4,4%. Éste obedeció al efecto rezagado del aumento de tarifas de mediados de junio. Entre los veinte productos con mayor ponderación en el cálculo del IPC resaltan las alzas de la bencinay el gas licuado, frente a caídas en los precios medios del pasaje de micro, el agua potable y el dividendohipotecario.
1. Actualiza esta información según la fecha en que te encuentres ingresando a la página web del INE.
2. ¿Cuál es la variación histórica del IPC del mes buscado?
3. ¿Cuáles son los productos con mayor variación? ¿Y cuáles son los que no tuvieron variación?
4. ¿Qué elementos importantes hacen que se produzcan variaciones importantes del IPC?
U1 Pág. 24 - 33 29/11/06 17:14 Page 27
Unidad 1 ESTADÍSTICA I
28 Estadística I
SÍNTESIS
Mapaconceptual
Resumen
Construye tu mapa conceptual que relacione al menos los conceptos clavedados.
Conceptos clave:
Población
Muestra
Variables
Clase
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Intervalos
Diagrama de tallo y hoja
Gráficos
1 Población: conjunto completo de individuos u objetos a observar, que
tienen una característica que se desea medir.
2 Muestra: parte representativa de la población sobre la que se efectúa la
medición.
3 Variable estadística: característica o atributo que se observa en cada uno
de los elementos de la población y que se mide en la muestra.
4 Variable cualitativa: son aquellas que no se pueden expresar con nú-
meros, pues representan una cualidad (color de pelo, comuna, deporte
preferido, etc.).
U1 Pág. 24 - 33 6/30/08 10:43 PM Página 28
Unidad 1 ESTADÍSTICA I
29Estadística I
908070605040302010
10 20 30 40 50 60 70
6
5
4
3
2
1
01 2 3
4%
4% 9%8%
12%
25%18%
20%
4 5 6 7
Gráfico de barras Gráfico circular
Gráfico de dispersión Histograma
0
5 Variable cuantitativa: son aquellas que se pueden expresar numérica-
mente, pues representan una cantidad (edad, peso, cantidad de habitan-
tes, etc.).
6 Frecuencia absoluta: número de veces que se repite un valor de la variable
en la muestra.
7 Frecuencia relativa: razón entre la frecuencia absoluta y el número total
de elementos de la muestra.
8 Frecuencia relativa porcentual: corresponde a la frecuencia relativa expre-
sada en porcentaje.
9 Diagrama de tallo y hoja: sirve para comparar la distribución de frecuen-
cias, se puede realizar considerando una o dos variables.
10 Tipos de gráficos: los gráficos nos permiten representar la información de
manera visual, algunos de ellos son:
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Unidad 1 ESTADÍSTICA I
30 Estadística I
EVALUACIÓN
1. De las siguientes afirmaciones, son correctas:
I) Los chinos hacían censos desde hace miles
de años atrás.
II) La palabra estadística comenzó a usarse en
Alemania.
III) Pearson es considerado el padre de la
Estadística Moderna.
A. Solo I D. I y III
B. I y II E. Todas.
C. II y III
2. En un análisis estadístico, el conjunto de todos
los elementos que conforman el objeto de
estudio se llama:
A. rango.
B. marca de clase.
C. muestra.
D. población.
E. datos.
3. La estatura de un grupo de personas,
empleada para un estudio estadístico, es una
variable:
I) cuantitativa.
II) continua.
III) discreta.
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. Solo I y II
E. Solo I y III
4. El tipo de muestra que es adecuado escoger
para un estudio estadístico, es:
A. una muy grande.
B. una muy pequeña.
C. una proporcional a la población.
D. una representativa de la población.
E. según sea el caso.
5. El gráfico que mejor representa la tabla es:
Nº de semanas fi
0 2
1 4
2 15
3 2
A. D.
B. E.
C.
6. Catalina quiere estudiar psicología. La tabla
muestra sus resultados y las ponderaciones
pedidas.
N.E.M. PSU Leng. PSU Matem. PSU Hist. y Geog. PSU Ciencia
740 712 770 605 610
20% 20% 30% 10% 20%
Con respecto a la tabla es verdadero que:
I) El puntaje de postulación es levemente
superior a 700.
II) La prueba de más valor es la de
matemática.
III) Si el 10% del valor de la prueba de historia
se va a la prueba de lenguaje, el puntaje
de lenguaje aumenta unos 10 puntos.
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. I y II
E. Todas.
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Unidad 1 ESTADÍSTICA I
31Estadística I
6
5
4
3
2
1
días
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 ºC
7. El gráfico muestra las temperaturas máximas
del mes de enero en el Valle Central.
Con respecto a la información del gráfico es
falso que:
A. Más de la mitad del mes hubo entre29º a 31º.
B. Los días más calurosos tuvieron temperaturas de 30º y 31º.
C. La menor frecuencia fue 34º.
D. Ningún día la máxima fue 34º.
E. 11 días hubo menos de 30º.
El gráfico circular nos muestra los porcentajes de
los componentes alimenticios que el ser humano
debiera consumir.
Fuente: RDA (Recommended Dietary Allowences)
Según el gráfico anterior contesta las siguientes
preguntas:
8. ¿Qué porcentaje corresponde a aquellos
componentes alimenticios que no sean
carbohidratos?
A. C. E.
B. D.
9. El ser humano debe consumir mayormente:
I) grasas.II) proteínas.III) carbohidratos.IV) fibra.
A. Solo I D. Solo II y III
B. Solo III E. Todas las anteriores.
C. Solo I y II
10. De los siguientes gráficos el único que
presenta una variabilidad homogénea es:
A. C. E.
B. D.
11. La siguiente tabla de frecuencias muestra las
calificaciones de un examen de matemática.
¿Cuál es la proposición falsa?
Calificaciones Cantidad de alumnos
7.0 36.9 – 6.0 65.9 – 5.0 54.9 – 4.0 133.9 – 3.0 102.9 – 2.0 3
A. Hay 6 alumnos que tienen una calificación
entre 6.0 y 6.9.
B. Hay 14 alumnos que tienen una
calificación mayor a 4.9.
C. El total de la muestra es de 40 alumnos.
D. Hay 13 alumnos que obtuvieron nota
insuficiente.
E. Hay 11 alumnos que calificaron con nota
inferior a 7.0 y superior a 6.0.320
3100
57100
14
43100
Carbohidratos
Fibra
Proteínas
Grasas
57%3%
15%
25%
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Unidad 1 ESTADÍSTICA I
32 Estadística I
EJERCICIOS DE REFUERZO
1. Determina cuál de las siguientes muestras son
representativas. En el caso de que no lo sean,
explica por qué.
a. Se aplicó una encuesta durante la campaña
para la elección de senadores de una región.
El muestreo se realizó seleccionando
2.000 personas al azar, a las cuales se las
llamó por teléfono. Para la selección se usó
la guía de la región.
b. En un hospital se hace una encuesta acerca
de los hábitos alimenticios de los pacientes,
para ello cada médico debe encuestar a tres
pacientes en una semana; la selección debe
ser al azar.
c. En un club social y deportivo quieren saber
qué deportes nuevos le interesan a sus aso-
ciados, para ello encuestaron a los asistentes
a un bingo un día sábado.
2. La siguiente tabla presenta los gustos musicales
de los alumnos(as) de dos cuartos medios.
Música fi
Sound 5
Hip-hop 7
Romántica 12
Rock 16
Reagee 10
b. Construye un gráfico circular.
3. El siguiente diagrama de tallo y hoja, nos per-
mite visualizar el porcentaje de atenciones
respiratorias en niños, de abril a julio del 2005
(datos aproximados) www.minsal.cl .
Niños menores 1 año Niños entre 1 y 14 años
9 5 4 6 9 6 4 2 0 6 1 2 3 4 9
9 8 3 3 2 7 2 2 5 7 7 7 87 5 3 2 1 0 8 1 1
1 9
a. Construir una tabla de frecuencias para cada
categoría.
b. Construir un gráfico de dispersión para cada
categoría.
c. Compara ambas distribuciones ¿qué conclu-
siones puedes obtener?
4. La siguiente tabla de distribución de frecuencias
agrupa las marcas, expresadas en metros, obte-
nidas por un grupo de estudiantes en el lanza-
miento del disco.
a. ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo mar-
cas en el intervalo 39,1 – 39,9?
b. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo una
marca igual o superior a los 40 m?
5. Completa la siguiente tabla de distribución de
frecuencias correspondientes a las medidas de
una pieza de motor, después de un año de uso.
Expresa las frecuencias relativas aproximadas a
las milésimas (tres decimales).
Intervalo (mm) fi frFrecuencia
relativa porcentual
100 – 109 4
110 – 119 17
120 – 129 29
130 – 139 18
140 – 149 10
150 – 159 5
160 – 169 2
a. Calcula la frecuencia
relativa de cada tipo
de música.
Intervalo (m) fi
34,1 – 34,9 12
35,1 – 35,9 15
36,1 – 36,9 18
37,1 – 37,9 30
38,1 – 38,9 28
39,1 – 39,9 20
40,1 – 40,9 17
41,1 – 41,9 6
42,1 – 42,9 4
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Unidad 1 ESTADÍSTICA I
33Estadística I
6. Dibuja, en un solo gráfico, el histograma y el
polígono de frecuencias correspondiente a la
tabla del ejercicio anterior.
7. Los siguientes datos corresponden a la dura-
ción en horas, de uso continuo de 50 dispo-
sitivos electrónicos iguales, sometidos a un
control de calidad.
480 496 724 780 801570 802 795 886 714775 712 683 830 560826 560 794 676 760890 590 750 489 725666 746 668 880 570830 452 810 720 680680 660 490 895 660
Construye una tabla de distribución de frecuen-
cias agrupadas que considere las columnas:
intervalo, frecuencia absoluta, frecuencia rela-
tiva.
8. A un curso de 40 estudiantes de cuarto medio
se les preguntó su grupo sanguíneo.
a. ¿A qué tipo de gráfico corresponde el repre-
sentado?
b. ¿Qué procedimiento utilizarías para encon-
trar la cantidad de personas por grupo san-
guíneo?
c. Realiza un gráfico de barras cuyas variables
sean el grupo sanguíneo y su frecuencia
absoluta.
9. Construye un diagrama de tallo y hoja con los
datos del ejercicio 7.
10. El siguiente gráfico muestra la principal razón
para no estar estudiando, según nivel socio-
económico (NSE).
a. ¿Qué NSE presenta, en mayor medida, mo-
tivos para no poder terminar los estudios?
b. ¿Cuál es el que tiene más personas con sus
estudios terminados?
11. Los datos que se indican a continuación corres-
ponden a g/dl de hemoglobina en la sangre de
pacientes hombres entre 25 y 35 años de edad.
14,3 15,1 15,3 15,5 13,015,0 14,5 15,2 14,2 15,915,2 15,7 15,4 15,8 17,513,2 15,4 16,1 17,1 15,215,4 16,2 14,2 15,4 13,315,2 15,3 16,7 15,5 16,915,1 15,2 14,2 13,2 15,314,3 14,6 13,3 15,2 14,315,5 14,1 15,5 14,8 13,613,9 15,0 16,2 15,2 14,914,7 14,7 15,0 14,9 15,915,8 16,4 17,3 14,7 16,314,8 14,8 16,4 16,8 15,015,7 16,5 14,8 15,6 14,814,6 14,9 15,6 16,0 14,716,3 16,5 16,9 17,3 15,817,2 15,8 16,3 15,9 16,916,0 17,1 16,8 16,7 17,317,5 16,8 16,4 17,4 16,015,7 15,9 16,1 15,8 16,4
Con ayuda de una planilla Excel, construye una
tabla de frecuencias que agrupe estos datos.
grupo A32%
grupo B18%
grupo AB8%
grupo O42%
31,2
9
47
Alto MedioNivel socioeconómico
Principal razón para no estar estudiando por NSE
Bajo
54,3
14,1 148,8
Problemas económicos/trabajo
Porque tengo que cuidara mi hijo
Terminé mi educación19,2
50,4
U1 Pág. 24 - 33 29/11/06 17:14 Page 33
UN
IDA
D
2
34 Estadística II
A veces, cuando las poblacionesson muy grandes, es muy difícil,
por problemas de tiempo y dinero, hacer un análisis que incluya a toda la población.
Por este motivo, lo que se hace es estudiar unaparte de ella, llamada muestra; cuando los indi-viduos de la muestra han sido seleccionados de
acuerdo a procedimientos estadísticos, sepueden sacar conclusiones que caracteri-
zan a toda la población. A estosresultados los llamaremos
inferencias.
Estadística II
Es común, hoy en día,recibir invitaciones a participar
de encuestas en la mayoría de lossitios de Internet relacionados con
las comunicaciones o empresas que necesitansaber lo que quieren sus clientes. Por ejemplo,
en un diario electrónico se publicó unaencuesta sobre la creencia en extraterrestres.En relación con ella, ¿se puede decir que el
67% de las personas cree en extraterrestres?¿Bastará con encuestar a 316 personas
para obtener conclusionesrelevantes?
U2 Pág. 34 - 57 1/12/06 12:57 Page 34
35Estadística II
En esta unidad aprenderás a...
Conocer las medidas de tendencia central: pro-medio, mediana y moda.
Conocer las medidas de dispersión: rango, des-viación media, desviación estándar.
Trabajar con las medidas de localización: cuarti-les, deciles, percentiles.
Conocer y trabajar con muestras, identificandoniveles de confianza y margen de errores.
ExploraRealiza el laboratorio 1
correspondiente a la unidad 2que aparece en
www.santillana.cl/emedia.cl/mat4
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Unidad 2 ESTADÍSTICA II
36 Estadística II
REPASO
1. Calcula el valor de x en las siguientes proporciones.
a. = c. : = : x e. =
b. = d. x : 2,4 = 3 : 1,8 f. =
2. Calcula los siguientes porcentajes.
a. 10% de 457 c. 99% de 1.246 e. 18% de 310.000
b. 25% de 398 d. 5,7% de 45.980 f. 60% de 94.327
3. Completa.
a. 281,49 representa el % de 853
b. 38.000 representa el % de 95.000
c. 13.891,5 representa el % de 18.522
d. 2.809,8 representa el % de 46.830
e. 652 representa el % de 65.200
f. 55.928,95 representa el % de 76.615
4. En una empresa se ha entregado la planilla de sueldos correspondiente almes de julio. Completa la planilla para poder saber cuánto dinero recibecada persona al cobrar su sueldo.
NombreSueldo Fonasa o Isapre AFP
Sueldo líquido(imponible) (7% del imponible) (13% del imponible)
Daniel $ 165.249
Carolina $ 237.860
Andrea $ 551.925
Sebastián $ 618.004
Jorge $ 1.045.776
5. Usando tu calculadora, evalúa cada expresión dados los siguientes valores(aproxima el resultado a tres decimales):
a = b = 0 c = –5 d = 8019
24x
x6
x900
721
2,51,4
0,7x
13
1512
16
15x
624
¿Cuánto sabes?
a. d. (c – b : d3) : (a2 + ) g.
c. f. a – b + c – d2 i. a d+( )63a d ci − 2
b cca
−( ) :4
2da bd c+ −
b. e. h. (c – a) • (b + d)abc d
c
3ac
a b acd: 4 2+ i
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Unidad 2 ESTADÍSTICA II
37Estadística II
¿Qué debesrecordar?
términos extremos
términos medios
6. Los siguientes datos corresponden a las estaturas, en metros, de los alum-nos de IV Medio de un colegio.
Mujeres1,56 – 1,49 – 1,63 – 1,71 – 1,56 – 1,55 – 1,61 – 1,74 – 1,68 – 1,52 – 1,57 – 1,48 – 1,54 –1,60 – 1,55 – 1,54 – 1,49 – 1,50 – 1,56 – 1,53 – 1,72 – 1,66 – 1,53 – 1,62 – 1,59 – 1,63 –1,71 – 1,69 – 1,73 – 1,67 – 1,59 – 1,63 – 1,65 – 1,76 – 1,61 – 1,57 – 1,58 – 1,71 – 1,51 –1,66 – 1,64 – 1,63
Hombres1,65 – 1,69 – 1,74 – 1,81 – 1,72 – 1,68 – 1,61 – 1,73 – 1,79 – 1,81 – 1,74 – 1,85 – 1,84 –1,76 – 1,66 – 1,69 – 1,73 – 1,72 – 1,76 – 1,79 – 1,86 – 1,69 – 1,63 – 1,79 – 1,77 – 1,76 –1,74 – 1,81 – 1,83 – 1,69 – 1,74 – 1,77 – 1,71 – 1,75 – 1,68 – 1,88 – 1,76 – 1,74 – 1,68 –1,83 – 1,81 – 1,73 – 1,76 – 1,78 – 1,76 – 1,79 – 1,83 – 1,66
a. Determina el valor máximo y mínimo en cada caso.b. Construye un gráfico de barras y un polígono de frecuencias con la
estatura de todos los alumnos de IV Medio.c. Usando una planilla Excel, construye un gráfico de dispersión que per-
mita comparar la estatura de los hombres y la estatura de las mujeres.¿Qué conclusiones puedes obtener?
1 Teorema fundamental de las proporciones: “Dos razones forman unaproporción si y solo si el producto de sus términos extremos es igual al pro-ducto de sus términos medios”.
a : b = c : d ⇔ = ⇔ a • d = b • c, b ≠ 0, d ≠ 0
2 Para calcular el a% de un número b cualquiera, puedes aplicar el siguien-te procedimiento:
• b
O puedes calcular x • b, donde x es la expresión decimal que representael a%.
3 Sean a, b dos números reales cualesquiera. Para calcular a qué porcentajecorresponde a de b, puedes aplicar el siguiente procedimiento:
Si x es el porcentaje, entonces x = .
4 Población: es un conjunto de personas, situaciones o cosas de las cuales sedesea hacer un estudio y las cuales tienen una característica en común.
5 Muestra: es un subconjunto cualquiera de la población.
a • 100b
a100
cd
ab
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Unidad 2 ESTADÍSTICA II
38 Estadística II
CONTENIDOS
PARA ARCHIVAR
El uso de sumatoria tiene evidentes ventajas, puesto que permite escribirfórmulas de manera reducida.
Medidas de tendencia central
Las medidas de tendencia central nos dan una idea acerca del comportamien-to de los datos a los que se refieren. Se puede decir que expresan el grado decentralización de los datos que representan.
Antes de profundizar en las principales medidas de tendencia central, es nece-sario conocer la siguiente notación de sumatoria.
Una suma como x1 + x2 + x3 + x4 + … + xn se puede expresar de manera resu-mida mediante el uso del símbolo de sumatoria: Σ.
La suma de los términos de la forma xk, donde k es un número natural que
varía desde 1 a n, se simboliza por Σ xk .
Entonces, Σ xk = x1 + x2 + x3 + x4 + … + xn
Media aritmética
La media aritmética de n datos numéricos que expresan cantidades, es elcociente entre la suma de todos los datos y la frecuencia total de ellos.
Es decir, x–
= =
Ejemplo 1
La siguiente tabla muestra el precio (en pesos) de un cuaderno en diferentestiendas comerciales (según un estudio del SERNAC).
Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3 Tienda 4 Tienda 5
940 1.100 845 820 745
Calculemos la media aritmética de los precios anteriores:
x–
= = = 890 pesos
Observa que el promedio en este caso no coincide con ninguno de los valoresdados en la tabla.
4.4505
940 + 1.100 + 845 + 820 + 7455
n
x1 + x2 + x3 + x4 + … + xnn
n
k = 1n
k = 1
n
k = 1
TIPS
El símbolo Σ es la letra griega
“sigma” mayúscula. Corresponde
a la decimoctava letra del alfa-
beto griego, que equivale a la
letra S de nuestro alfabeto.
TIPS
El promedio que se emplea en las
calificaciones escolares, corres-
ponde a la media aritmética de
estas.
TIPS
La media aritmética se designa
por el signo x–
.
Σ xk
AYUDA
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = Σ k
5
k = 1
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Unidad 2 ESTADÍSTICA II
39Estadística II
EJERCICIOS
1. Un alumno obtuvo las siguientes notas par-
ciales en Matemática: 4,8; 2,5; 6,0; 3,9 y una
quinta nota que no recuerda. Si su promedio
fue 4,6, calcula la nota que falta.
2. Dos alumnos obtuvieron el mismo promedio
semestral de notas. ¿Significa que tuvieron las
mismas notas? Justifica numéricamente tu
respuesta.
3. En una oficina, el jefe gana $ 540.000 y tres
empleados ganan $ 100.000, $ 155.000 y
$ 165.000, respectivamente. La media aritmética
de los sueldos, ¿es un valor representativo de
esos sueldos?
4. En una muestra de control se midieron 10
clavos de una bolsa, con los siguientes resulta-
dos: 5 de 2,00”; 3 de 1,99” y 2 de 2,05”.
Calcula la longitud media de la muestra.
PARA ARCHIVAR
Para calcular la media aritmética de datos no agrupados utilizamos la
fórmula , mientras que para datos agrupados utilizamos ,
donde fi es la frecuencia absoluta y xi la marca de clase correspondiente acada intervalo.
Σfi • xi
Σfin
AYUDA
• Observa que, en el ejemplo 2,
se calculó la media aritmética
para datos agrupados (separa-
dos en intervalos, en una
tabla de frecuencias).
• La marca de clase es un valor
representativo de cada interva-
lo, corresponde al punto medio
de este y lo calculamos suman-
do cada extremo del intervalo
y dividiéndolo en dos. Si se
conocen solo los intervalos y no
los datos, para calcular el
promedio, consideraremos que
el valor de los datos corres-
ponde a la marca de clase del
intervalo al que pertenecen (se
puede calcular de manera
abreviada como un promedio
ponderado).
• Σf • x =
Σ xk
n
k = 1
Ejemplo 2
La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencias de los puntajes obte-nidos por 50 alumnos en una prueba de matemática.
Intervalo Frecuencia absoluta Marca de clase (xi) fi • xi(fi)
60 – 64 5 62 310
65 – 69 5 67 335
70 – 74 8 72 576
75 – 79 12 77 924
80 – 84 16 82 1.312
85 – 89 4 87 348
Σfi = 50 Σfi • xi = 3.805
El promedio de los valores está dado por x–x–
= = = 76,1 puntos.3.805
50Σfi • xi
Σfi
IR A LA WEB
Desarrolla el laboratorio 2.
www.santillana.cl/emedia/mat4
Σxi • fi
Σfi
n
i = 1n
i = 1
U2 Pág. 34 - 57 6/30/08 10:45 PM Página 39
Unidad 2 ESTADÍSTICA II
40 Estadística II
CONTENIDOS
Ejemplo 3
Un alumno que postula a la Universidad tiene los siguientes puntajes en lasPruebas de Selección Universitaria (PSU) y en sus notas de Educación Media.
Puntaje Ponderación (%)
Prueba Lenguaje 680 10
Prueba Matemática 752 20
Prueba Ciencias 640 10
Prueba Historia y Geografía 720 40
Notas E. Media 590 20
Calculemos su puntaje ponderado, es decir, la media aritmética ponderada desus puntajes:
x–
= = = 688,4 puntos.
Hemos calculado la media aritmética ponderada, la cual nos sirve para calcularel promedio de datos que no tienen igual ponderación.
Ejemplos
68.840
100
10 • 680 + 20 • 752 + 10 • 640 + 40 • 720 + 20 • 590
10 + 20 + 10 + 40 + 20
PARA ARCHIVAR
Si pk es la ponderación de un dato xk, el promedio ponderado se obtiene
utilizando la siguiente expresión: x–
=
MedianaLa mediana de un conjunto de datos numéricos ordenados en formacreciente o decreciente, es el dato que se encuentra al centro dedicha ordenación, o la media aritmética de los datos centrales (encaso que la muestra tenga un número de datos pares).
ModaLa moda de un conjunto de datos, es aquel que tiene la mayorfrecuencia.
Σ xk • pk
n
k = 1
Σ pk
n
k = 1
AYUDA
La mediana divide los datos en
dos subconjuntos que contienen
igual cantidad de elementos.
EN EQUIPO
Averigüen el promedio de notas
por cada alumno del curso.
Ordenen la información en una
tabla de frecuencia, luego deter-
minen media, mediana y moda.
¿Qué pueden concluir?
AYUDA
La importancia de un dato se
traduce en un número que co-
rresponde a su ponderación.
1 3 6 7 9
Mediana: 6
1 3 4 5 7 9
Mediana: 4,5 (promedio entre 4 y 5)
U2 Pág. 34 - 57 6/30/08 10:45 PM Página 40
41Estadística II
Unidad 2 ESTADÍSTICA II
AYUDA
Recuerda que el rango de un
conjunto de datos numéricos,
se calcula como la diferencia
entre el dato mayor y el dato
menor.
TIPS
¿Qué significado tiene un rango
de notas 4,2 respecto de las notas
de otro alumno cuyo rango es
2,1?
En el primer caso las notas están
más dispersas que en el segun-
do. Sin embargo, no sabemos en
qué caso son mejores; para de-
terminarlo debemos disponer de
más información.
Muchos conjuntos de notas pue-
den tener rango 2,1 y sus respec-
tivas medias aritméticas ser muy
diferentes.
Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión determinan cuán cercanos o lejanos están los datosde un valor central, respecto a la media aritmética. También indican el gradode variabilidad de los datos. En estas páginas estudiaremos algunas de ellas:rango, desviación con respecto a la media y la desviación estándar o típica.
Ejemplo
El colegio otorgará una beca de matrícula para la universidad, al alumno cuyobuen rendimiento se haya mantenido por mayor tiempo, en el último trimestrede 4º medio. Para calcular el mejor promedio solo consideraron algunas asig-naturas. Los mejores alumnos de la promoción fueron Pablo y Soledad. La media aritmética (promedio) de cada uno es 6,3. Si solo uno debe ser elegido ¿quién ganará la beca?
Las calificaciones son las siguientes:
Lenguaje Matemática Historia Ciencias
Pablo 6,2 6,8 5,8 6,4
Soledad 6,9 5,0 7,0 6,3
Observa la siguiente representación de las calificaciones,
Pablo
Soledad
Las calificaciones de Pablo se encuentran más cercanas a la media aritmética,que las notas de Soledad. Es decir, las calificaciones de Soledad se encuentranmás dispersas. ¿Es suficiente este argumento para optar por Pablo, como un alumno que hamantenido su buen rendimiento?
Las medidas de dispersión nos permitirán realizar un análisis más certero.
RangoAnteriormente utilizamos el rango para determinar el tamaño de cada inter-valo en una tabla de frecuencias. Simbolizaremos el rango por la letra R.Aunque no es una medida muy significativa, este nos indica cuán dispersos seencuentran los datos entre los valores de los extremos.
Pablo R: 6,8 – 5,8 = 1 Soledad R: 7,0 – 5,0 = 2
Como el valor del rango de las notas de Pablo es menor que el de Soledad,podemos decir que sus calificaciones son menos dispersas. Por lo tanto, sería elmás apto para ganar el premio por mantener un buen rendimiento.
5,8 6,2
6,3
6,4 6,8
6,35,0
6,3
6,9 7,0
U2 Pág. 34 - 57 29/11/06 17:15 Page 41
Unidad 2 ESTADÍSTICA II
42 Estadística II
CONTENIDOS
Desviación media
La media aritmética de ambos alumnos es de 6,3. Si calculamos la diferencia de una nota con la media aritmética tendremos la desviación de la nota con respecto a x
–. Las desviaciones de todas las
notas, de Pablo y Soledad, con respecto a xx–
= 6,3 se indican a continuación:
Si sumamos las desviaciones medias de cada uno resulta 0.
Para conocer quién presenta un valor de desviación, que nos indique cuán cer-cano o lejano está de la media aritmética, será necesario calcular el valor abso-luto de la desviación.
Desviación absoluta de Pablo: Σ⎟xk – x–⎟ = 0,1 + 0,5 + 0,5 + 0,1 = 1,2
Desviación absoluta de Soledad: Σ⎟xk – x–⎟ = 0,6 + 1,3 + 0,7 + 0 = 2,6
Como el valor de la desviación absoluta de Soledad es mayor, entonces lasnotas de Pablo son las que representan mejor un buen rendimiento duranteun período de tiempo.
La DM de Pablo es 0,3 y la de Soledad es 0,65.
PARA ARCHIVAR
La desviación de una variable x con respecto a la media aritmética x– estádada por la diferencia: d = x – x– .La suma de las desviaciones de todos los datos con respecto a su media arit-mética es cero.
TIPS
La idea de desviación representa
el mayor o menor alejamiento
de un dato con respecto a x–
.
TIPS
La desviación se puede calcular
con respecto a cualquier valor,
no solo respecto a la media arit-
mética. Esta puede ser positiva,
cero o negativa.
Nota x 6,2 6,8 5,8 6,4
Desviación respecto a la media x – x– –0,1 0,5 –0,5 0,1
Pablo
Nota x 6,9 5,0 7,0 6,3
Desviación respecto a la media x – x– 0,6 –1,3 0,7 0
Soledad
Nota x 6,2 6,8 5,8 6,4
Desviación respecto a la media ⎟x – x– 0,1 0,5 0,5 0,1
Pablo
Nota x 6,9 5,0 7,0 6,3
Desviación respecto a la media ⎟x – x– 0,6 1,3 0,7 0
Soledad
AYUDA
Comprobemos que la suma de
las desviaciones es siempre 0:
Pablo:
–0,1 + 0,5 – 0,5 + 0,1 = 0
Soledad:
0,6 – 1,3 + 0,7 + 0 = 0
⎟ ⎟
4
k = 1
4
k = 1
EN EQUIPO
Si las desviaciones se calculan en
relación a un valor distinto de la
media aritmética, ¿cuánto suman
sus valores?, ¿por qué?
Se define desviación media como la media aritmética de las desvia-ciones absolutas respecto a la media. La designaremos como DM.
DM = n
Σ⎟xk – x–⎟
n
k = 1
U2 Pág. 34 - 57 29/11/06 17:15 Page 42
Desviación estándar o típica
Otra importante medida de dispersión es la desviación estándar.
Continuando con el análisis de quién ganará la beca, obtendremos el valor de
la desviación estándar de cada alumno:
Observamos que el valor de la desviación estándar de las notas de Pablo esmenor que la de Soledad, entonces, podemos decir que las calificaciones dePablo están más cercanas a la media, y son menos dispersas. Por lo tanto, el más indicado para ganarse la beca que otorga el colegio esPablo, ya que sus calificaciones cumplen con haber mantenido un buenrendimiento.
Desviaciones para datos agrupados
Recordemos que los datos agrupados pertenecientes a una clase se consideraniguales a la respectiva marca de clase.
Unidad 2 ESTADÍSTICA II
43Estadística II
TIPS
La desviación estándar es muy
inestable a pequeñas variacio-
nes que se producen respecto a
la media.
TIPS
Recuerda que la desviación
estándar (s) puede estar referida
a otro valor que no sea la media
aritmética (x–
). Si se emplea x–
, el
valor de s que se obtiene es míni-
mo. En otros casos este valor
sería mayor.
Sole
dad
Pab
lo
EN EQUIPO
Averigüen, ¿qué significa la pa-
labra “homogéneo” y “hete-
rogéneo”?
Para datos agrupados, el cálculo de ambos tipos de desviaciones sepuede aplicar al método abreviado, tal como se obtuvo en la mediaaritmética:
La desviación estándar o típica expresa el grado de dispersión de losdatos con respecto a la media aritmética (x–) . Se designará con laletra s, y se calculará de la forma:
s =
x x
n
kk
n
−( )=
∑ 2
1
PARA ARCHIVAR
Mientras menor sea el valor de la desviación estándar, el grupo deobservaciones es más “homogéneo” que si el valor de la desviaciónestándar fuera más grande. O sea, a menor dispersión mayor homo-geneidad y a mayor dispersión, menor homogeneidad.
AYUDA
La desviación típica (s) es un
valor de la misma naturaleza
que los datos con que se calcula.
Si el valor de s en un conjunto
de notas es s = 1,8, el número
1,8 se refiere a puntos de notas.
s = ≈0 52
40 36
,,
s = ≈2 54
40 79
,,
Nota (x) 6,2 6,8 5,8 6,4
(xk – x–
)2 0,01 0,25 0,25 0,01 0,52
Nota (x) 6,9 5,0 7,0 6,3
(xk – x–
)2 0,36 1,69 0,49 0 2,54
Desviación media: Desviación estándar:
DM = s = f x x
n
i −( )∑ 2f x x
f
∑∑
–•
Σ�xk – x–�24
k = 1
Σ�xk – x–�24
k = 1
U2 Pág. 34 - 57 30/6/08 12:36 Page 43
Unidad 2 ESTADÍSTICA II
44 Estadística II
CONTENIDOS
EJERCICIOS
1. El análisis de las notas de un curso señala que en
ambos trimestres el promedio en matemática es
5,1, al término del primer y segundo trimestre,
la nota máxima es 7,0 y la mínima es 3,2. Sin
embargo, los alumnos tienen la sensación de
mejores resultados en un trimestre que en otro.
Primer trimestre
Segundo trimestre
Responde las siguientes preguntas:
a. ¿Cuánto es el coeficiente del rango en cada
trimestre? ¿Qué trimestre tiene un coefi-
ciente de rango menor?
b. Según el coeficiente del rango, ¿qué
trimestre presenta calificaciones más disper-
sas, en relación al promedio?
c. ¿Cuánto es el valor del coeficiente de la
desviación media en cada trimestre?
d. Según la situación, ¿cómo interpretarías el
coeficiente de desviación media? ¿Corrobora
la “sensación” de los estudiantes?
e. Calcula el coeficiente de la desviación están-
dar para cada trimestre.
f. ¿Qué trimestre presenta calificaciones más
homogéneas?
g. ¿Cómo interpretarías el valor del coeficiente
de desviación estándar?
h. ¿Cuál fue el mejor trimestre?, ¿por qué lo
consideras mejor?
i. Construye la gráfica que mejor represente la
situación.
2. Un grupo de alumnos obtuvo las siguientes mar-
cas, en salto con garrocha, expresadas en metros:
2,50 ; 2,80 ; 2,60 ; 3,00 ; 2,90.
a. Comprueba que la suma de las desviaciones
de estos datos respecto a x–
es 0.
b. Calcula la desviación media de los datos.
3. La tabla de distribución de frecuencias muestra la
puntuación obtenida por 1.800 alumnos de 5º a
8º Básico en un cuestionario de cultura general.
a.
b. ¿A qué cantidad de puntos corresponden los
valores de x–
+ s y x–
– s?
4. En una misma prueba de Matemática dos cursos
A y B, obtuvieron resultados cuyos datos estadís-
ticos son los siguientes:
Curso A Curso B
x–
5,3 5,4
s 0,7 0,4
De acuerdo con estos datos:
a. Un alumno del curso A obtuvo un 6,7 y uno
del curso B un 6,6. ¿A cuál de los alumnos
le fue mejor en la prueba, en relación a su
curso?
b. Justifica la respuesta anterior y compártela
con un compañero.
7,06,96,55,85,6
5,65,45,24,84,8
4,34,34,14,13,2
7,06,86,35,75,6
5,45,25,24,84,5
4,34,14,13,23,2
7,06,15,75,45,3
5,35,25,15,05,0
5,04,74,74,53,2
6,46,05,55,35,3
5,25,25,05,05,0
4,94,14,64,53,2
Puntaje
0 – 23 – 56 – 8
9 – 1112 – 1415 – 1718 – 2021 – 2324 – 2627 – 29
Frecuencia
2150
1102414234572751346623
Calcula la desviación estándar de la distribución.
U2 Pág. 34 - 57 6/30/08 10:45 PM Página 44
Unidad 2 ESTADÍSTICA II
45Estadística II
Correlación
La correlación indica el grado de asociación de dos variables; la influencia quepueda tener una sobre la otra, lo que a veces permite encontrar funciones quepredicen ciertos comportamientos, como, por ejemplo, el modelo que se usapara aplicar la restricción vehicular.
Veamos algunos ejemplos gráficos.
PARA ARCHIVAR
El grado de asociación o correlación de dos variables puede ser:• positiva: están directamente relacionadas.• negativa: se relacionan de manera inversa.• nula: no existe relación entre ellas.
x2 – 4x – 960 = 0
EJERCICIOS
1. En las siguientes situaciones señala si la correla-ción es positiva, negativa o nula.
a. Cantidad de hijos de una familia y dinero gas-
tado por esa familia en el supermercado.
b. Edad de una persona y cantidad de libros que
ha leído.
c. Promedio en matemática de cuarto medio y
resultado de esa persona en la PSU de
matemática.
2. Averigua los promedios que tus compañerosobtuvieron en el primer semestre en los subsec-tores de Lengua Castellana y Comunicación,Historia y Ciencias Sociales, Educación Matemá-tica, Biología, Química y Física.
a. Calcula los coeficientes de correlación entre:
- Educación Matemática y Física
- Educación Matemática y Química
- Lengua Castellana y Comunicación
e Historia y Ciencias Sociales
- Química y Biología
- Lengua Castellana y Comunicación y
Educación Matemática
b. ¿Entre qué asignaturas existe mayor
correlación?
c. ¿Son lógicos los resultados? Justifica.
3. Al estudiar la relación entre la masa y la edad de
los niños de un jardín infantil, la directora obtu-
vo que el coeficiente de correlación de Pearson
era de 0,85, por lo que dedujo que había un alto
grado de asociación entre ambas variables.
Por otra parte, el director de una casa de reposo
para ancianos hizo el mismo estudio, obteniendo
como coeficiente de correlación 0,345, por lo
que determinó que la edad no tenía ninguna
relación con la masa. ¿A qué se deben estas
diferentes conjeturas.
TIPS
Para calcular el coeficiente de
correlación en Excel se utiliza la
función estadística COEF. DE
CORREL.
AYUDA
La correlación se puede medir
usando el coeficiente de corre-
lación lineal de Pearson (r).
r =
sxy = – x–
• y–
sx = Desviación típica x.
sy = Desviación típica y.
r cercano a 1, indica correlación
positiva.
r cercano a –1, indica correla-
ción negativa.
r cercano a cero, indica correla-
ción nula.
Σxi • yi
n
sxy
sx • sy
Correlación positiva Correlación negativa Correlación nula
n
i = 1
U2 Pág. 34 - 57 7/24/09 3:12 PM Página 45
Unidad 2 ESTADÍSTICA II
46 Estadística II
CONTENIDOS
Medidas de localización: cuartiles, percentilesy deciles
Anteriormente aprendiste que la mediana de un conjunto de datos ordenados,de acuerdo a su magnitud, los separa en dos mitades.
Ahora estudiaremos otros valores típicos que dividen a un conjunto de datosnuméricos en cierta cantidad de partes iguales, como los cuartiles, deciles, per-centiles.
Ejemplo
En la distribución de notas de un grupo de alumnos, el cuartil Q2 es una notade referencia que permite afirmar que el 50% de los alumnos obtuvo esa notao una menor.
Ejemplo
En el caso anterior, el decil D6 es una nota de referencia que nos permite afir-mar que el 60% de los alumnos obtuvo esa nota o una menor.
CuartilLos cuartiles de una distribución de datos numéricos, corresponden alos 3 valores que dividen a estos en 4 partes iguales, es decir, al 25%,50% y 75%. Los cuartiles se designan por Q1(25%), Q2(50%) y Q3(75%).
Deciles
Los deciles de una distribución de datos numéricos corresponden alos 9 valores que dividen a estos en 10 partes iguales.Los deciles se designan por D1, D2, ..., D9
TIPS
Observa que, en el caso de los
cuartiles, la mediana corres-
ponde a Q2. En el caso de los
deciles, corresponde a D5.
Q1 Q2 Q3
25%
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
10%
La prueba de tolerancia a la glucosa
se realiza mediante muestras de
sangre, determinando si los niveles
de glicemia están dentro de los per-
centiles considerados normales.
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Desarrolla el laboratorio 3.
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U2 Pág. 34 - 57 29/11/06 17:15 Page 46
Ejemplo
Calculemos el percentil 45 considerando la distribución de frecuencias de212 puntajes obtenidos en la PSU.
Puntaje Frecuencia absoluta Frecuencia acumulada
[400, 450[ 10 10
[450, 500[ 9 19
[500, 550[ 20 39
[550, 600[ 31 70
[600, 650[ 80 150
[650, 700[ 42 192
[700, 750[ 10 202
[750, 800[ 10 212
212
Unidad 2 ESTADÍSTICA II
47Estadística II
PARA ARCHIVAR
Para calcular el n-ésimo percentil utilizamos la siguiente fórmula
Pn = Ii + (Ii + 1 – Ii) • , con
li : extremo izquierdo del intervalo donde se ubica el percentil.
li + 1 : extremo derecho del intervalo donde se ubica el percentil.
fi : frecuencia acumulada hasta li.
fi + 1 : frecuencia acumulada hasta li + 1.
fn : frecuencia acumulada hasta el percentil buscado (Pn).
fn – fifi + 1 – fi
Cuando queremos estudiar una muestra que contiene muchos datos, podemossubdividir esta en percentiles. Los percentiles de una distribución de datosnuméricos, corresponden a los 99 valores que dividen a estos en 100 partesiguales.Los percentiles se designan por P1, P2, … , P99
Ejemplo
El percentil P70 de una distribución de frecuencias dadas en una competenciadel lanzamiento de la jabalina, nos indica que el 70% de los competidoresalcanzó esa distancia o una menor.
AYUDA
Observa que: P50 equivale a la
mediana.
AYUDA
La frecuencia acumulada hasta
el percentil Pn, se calcula de la
siguiente manera:
fn = • N
(N: tamaño de la muestra).
n
100
TIPS
En Excel podemos calcular per-
centiles utilizando la función:
=PERCENTIL().
Por ejemplo, el percentil 5 de los
datos A1 hasta A6 se ingresa:
=PERCENTIL(A1:A6,5).
U2 Pág. 34 - 57 29/11/06 17:15 Page 47
Unidad 2 ESTADÍSTICA II
48 Estadística II
CONTENIDOS
El 45% de los datos es 95,4, entonces fn = 95,4, este valor se encuentra en elintervalo [600, 650[. Además li = 600; li + 1 = 650; fi = 70; fi + 1 = 150.
Remplazando en la fórmula tenemos:
P45 = 600 + (650 – 600) • �� 615,9.
El resultado nos indica que el 45% de los alumnos obtuvo puntajes menores oiguales a 615,9.
NotaLa fórmula para encontrar un determinado percentil se puede generalizar paraencontrar cuartiles y deciles, solo varía el cálculo de fn.
(95,4 – 70)150 – 70
TIPS
Los percentiles, deciles y
cuartiles reciben el nombre de
cuantiles. Conocer estos valores
nos proporciona una impor-
tante información acerca de los
datos de una cierta distribución.
EJERCICIOS
1. A partir de los datos dados en la tabla anterior:
a. Calcula D3.
b. Calcula Q3.
c. ¿Qué información nos entrega (a) y (b)?
d. ¿Qué porcentaje de los 212 alumnos obtuvo
resultados entre 620 y 680 puntos?
2. Dada la siguiente tabla de distribución de fre-
cuencias, que muestra los puntajes obtenidos
por 50 alumnos en un test (se consideran va-
lores enteros), calcula:
Intervalo F. Absoluta F. Acumulada
[60, 64] 5 5
[65, 69] 5 10
[70, 74] 8 18
[75, 79] 12 30
[80, 84] 16 46
[85, 89] 4 50
a. P3
b. P90
c. Q1
d. Q3
e. Interpreta los resultados obtenidos.
3. ¿Qué significa que un alumno haya obtenido
un puntaje superior al noveno decil D9 en un
cuestionario de intereses científicos?
4. Analiza el siguiente cuadro que muestra la
evolución de la distribución del ingreso per
cápita entre 1987 y 1998 según quintiles
(divide a la muestra en 5 partes iguales).
Fuente: MIDEPLAN, encuesta CASEN.
a. Investiga sobre el monto de ingresos
per cápita en los años que indica el cuadro
y establece los valores por año y quintil.
b. Establece el significado de los quintiles y
su aporte como complemento a la media
aritmética que es el ingreso per cápita.
Quintil
I
II
III
IV
V
Total
1987
4,3
7,9
11,7
19
57,2
100
1990
4,4
8,2
12,3
18,1
56,9
100
1992
4,6
8,5
12,2
18,4
56,3
100
1994
4,3
8,2
12
18,5
56,9
100
1996
4,1
8,2
11,9
19,1
56,7
100
1998
4,1
8,2
11,8
19,1
56,9
100
Años
U2 Pág. 34 - 57 29/11/06 17:15 Page 48
Unidad 2 ESTADÍSTICA II
49Estadística II
Diagrama de cajas
Ejemplo
Los siguientes datos corresponden a la masa (en kg) de 24 mujeres de 17 años.
44 48 48 48 48 50 50 5152 52 54 54 54 55 55 5555 57 57 57 57 58 60 61
Al analizar estos datos podemos obtener lo siguiente:
Tamaño muestra Mediana Cuartiles Valor mínimo Valor máximo Rango
Q1 = 50
24 54 Q2 = 54 44 61 17
Q3 = 57
Visualizaremos todos los elementos anterioresmediante el siguiente diagrama de caja.
Observa que en el gráfico, los extremos del rec-tángulo indican los cuartiles Q1 y Q3, mientrasque la línea que divide a este horizontalmenteindica la mediana (Q2).
Las líneas que sobresalen del rectángulo, indi-can el valor mínimo y máximo de la distribución,y el signo + indica la media aritmética.
EJERCICIOS
1. La siguiente tabla muestra la tasa de desocu-
pación, correspondiente a los meses de abril,
mayo y junio del 2005, según el Boletín Informa-
tivo del Instituto Nacional de Estadísticas.
Actividad Tasa desocupación
Agricultura, caza, pesca 685,01Minas y canteras 73,07Industria manufacturera 798,13Electricidad, gas y agua 30,69Construcción 451,36Comercio 1.122,93
a. Calcula la media.
b. Construye el diagrama de caja correspon-
diente.
c. ¿A qué crees que se debe la diferencia
entre la tasa de desocupación de cada
actividad?
d. Si la tasa de desocupación de servicios
financieros es de 510,32, ¿a qué cuartil
corresponde?
El diagrama de cajas consiste en un gráfico que muestra simultánea-mente diferentes características de un conjunto de datos, tales como,mediana, rango, cuartiles, valores extremos, etc.Este diagrama presenta los tres cuantiles, (y los valores mínimos ymáximos) alineados sobre una caja horizontal o verticalmente.
TIPS
A este tipo de gráfico se le llama
también “cajón con bigotes”.
AYUDA
Observa que Q1 = 50 indica
que el 25% pesó menos de
50 kilos o igual; Q2 que el
50% pesó menos o igual que
54 kilos y Q3 que el 75% pesó
menos de 57 kilos o igual.
AYUDA
En un gráfico de cajas se pue-
den expresar los datos de ma-
nera vertical u horizontal. 40
masa (kg)
50
6061
54
57
44
70
Q3
Q2
Q1
+
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Unidad 2 ESTADÍSTICA II
50 Estadística II
CONTENIDOS
Muestras al azar
En determinadas ocasiones se debe obtener el número de elementos que tieneuna cierta población. Para este fin, se toma una muestra, se marca y se devuelvea la población originaria. Se vuelve a tomar una segunda muestra, y con los ele-mentos marcados de esta muestra, se forma una razón con su total, entregan-do así un total aproximado del tamaño de la población.
Ejemplo
Un grupo de científicos llegó al parque nacional Pan de Azúcar a estudiar lafauna del lugar. Observaron una gran colonia de pingüinos Humboldt, para cal-cular la cantidad total siguieron el siguiente procedimiento: Durante 4 días, endiversos lugares del parque, capturaron 120 pingüinos, a los cuales marcaroncon una cinta: a la semana, en diversos sitios del parque, capturaron 160 pingüi-nos, de los cuales 30 estaban marcados. Con esta simple proporción obtuvieronla cantidad aproximada de pingüinos en la isla.
= ⇒ 160 • = 640
Muestras representativas
El cálculo anterior no es más que una estimación de la cantidad de población,ya que dependerá de lo representativa que sea la muestra escogida. La esti-mación en la práctica es muy difícil, por esta razón se toman varias muestraspara mejorarla.
Para que la muestra sea representativa se deben considerar varios aspectos;uno de ellos es el tamaño de la muestra, mientras mayor sea su tamaño mayorserá su confiabilidad, pero a su vez más costoso será el estudio. Otro aspecto serelaciona con que todos los integrantes de la población tengan la misma pro-babilidad de ser seleccionados en la muestra, por este motivo la selección debeser al azar, es decir una muestra aleatoria.
Las muestras, al igual que las poblaciones, nos permiten calcular parámetrosestadísticos como la media, la desviación estándar, etc.; para diferenciarlosusaremos x
–y s, respectivamente, en el caso de la muestra, µµ y σσ en el caso de
la población.
12030
120N
30160
PARA ARCHIVAR
El tamaño de la población se aproxima despejando N de la ecuación:
= .n1N
mn2
Donde, n1 : tamaño de la primera muestra.
n2 : tamaño de la segunda muestra.
m : número de individuos marcados en la segunda muestra.
N : tamaño de la población.
AYUDA
Recuerda:
x–
: media muestral.
s : desviación estándar
muestral.
µµ : media poblacional.
σσ : desviación estándar
poblacional.
TIPS
El término muestreo es el nom-
bre que recibe la forma de
seleccionar a un individuo de la
población, para una muestra.
Algunas técnicas de muestreo
son: muestreo aleatorio, mues-
treo sistemático, muestreo
estratificado, entre otros.
U2 Pág. 34 - 57 29/11/06 17:15 Page 50
Unidad 2 ESTADÍSTICA II
51Estadística II
Nivel de confianza
Si se desea conocer la media aritmética de una población, se puede obtener unintervalo, que con cierto nivel de confianza, pueda asegurar que esta se en-cuentra dentro de un intervalo.
Margen de error
El margen de error depende del nivel de confianza y del tamaño de la muestra.
Ejemplo
Un grupo de médicos de distintos hospitales desea saber cuánto tiempo per-manecen hospitalizados los pacientes con problemas cardíacos. Extraen unamuestra de 80 pacientes obteniendo una media muestral de 2,5 días; ellossabían que la desviación típica era de 4 días. Si el nivel de confianza es de un95%, ¿cuál es el intervalo?
�1,62 ; 3,38� con un 95% de confianza.
Por lo tanto, la cantidad de días que permanecerán los pacientes, será aproxi-madamente entre los valores dados en el intervalo.
2 5 1 964
80, ,± ⇒i
PARA ARCHIVAR
Llamaremos intervalo de confianza al intervalo en el cual se encuentrael verdadero valor del parámetro que se está estimando, con una proba-bilidad determinada. El nivel de confianza es la “probabilidad” de queel intervalo calculado contenga al verdadero valor del parámetro.La media poblacional se encuentra en el siguiente intervalo de confianza:
x–
, donde x–
: media muestralk: coeficiente asociado al nivel de confianza s: desviación estándar de la muestran: número de elementos de la muestra
± ks
n
PARA ARCHIVAR
Al estimar la media poblacional a partir de una muestra, el intervalo de
confianza está dado por: �x–
– E, x–
+ E� siendo E = (error).ks
n•
AYUDA
La estimación por intervalos, es
más útil, ya que se calculan dos
valores, entre los que se encon-
trará el parámetro, con un nivel
de confianza fijado de ante-
mano.
AYUDA
Un parámetro es una caracterís-
tica numérica de una población.
Equivale a una constante fija
para cada estudio particular.
AYUDA
El coeficiente k se obtiene de la
siguiente tabla.
68 0,99
75 1,15
80 1,28
90 1,64
95 1,96
96 2,05
97 2,17
98 2,32
99 2,58
Nivel deCoeficienteconfianza
k(%)
U2 Pág. 34 - 57 11/7/08 13:29 Page 51
1. Para estimar la cantidad de salmones en un
lago se realizó lo siguiente:
I. Se capturó una muestra al azar, se les
marcó y fueron devueltos al agua.
II. Breve tiempo después, se capturó una
nueva muestra, se registró la proporción de
salmones marcados versus el total de
salmones de la muestra.
a. Si en el primer proceso se capturan y
marcan 100 salmones. Posteriormente,
80 salmones, de los cuales 20 están
marcados, ¿cuántos salmones hay aproxi-
madamente en el lago?
2. Trabajo experimental: Se dispone de una bolsa
con 100 fichas numeradas y distribuidas como
lo indica la tabla.
a. Obtén muestras al azar de tamaño 10, 20 y
30. Calcula para cada una de ellas la media
de los valores de las fichas y su desviación
estándar.
b. Compara los valores de las medias y desvia-
ciones estándar obtenidos para cada muestra
de la pregunta a.
c. ¿Qué inferencias puedes sacar a partir de las
medias poblacionales anteriores?
Unidad 2 ESTADÍSTICA II
52 Estadística II
CONTENIDOS
Tamaño de la muestra
El tamaño de la muestra está dado por el número de sujetos que componen lamuestra extraída de una población.
Ejemplo
En un colegio de 1.600 alumnos se está estudiando la relación entre la estatu-ra de los niños al nacer y otras variables. Se sabe que la desviación típica pobla-cional es de 1,5 cm y se desea estimar la media con un 99% de confianza y conun error máximo de 0,5 cm.
Se debe tomar al menos una muestra de 60 alumnos.
n kE
n=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ → = ≈,i σ2
59 9076 60
E kn n
, ,,
= → =i iσ0 5 2 58
1 5
PARA ARCHIVAR
El tamaño de la muestra se calcula de la siguiente forma:
donde, k: nivel de confianzaσσ: desviación estándar de la poblaciónE: margen de error
n kE
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
• σ2
EJERCICIOS
nk
En= → = =
, ,,
,i iσ 2 58 1 5
0 57 74
TIPS
El error porcentual está dado
por • 100.E
x–
Nº de ficha 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Cantidad 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
AYUDA
El tamaño de la muestra corres-
ponde al número mínimo de
unidades de análisis (personas,
organizaciones, municipios, etc),
que se necesitan para confor-
mar una muestra n que asegure
un error estándar menor que
un valor determinado, fijado
por el investigador, dado que
la población N.
U2 Pág. 34 - 57 30/6/08 12:36 Page 52
Unidad 2 ESTADÍSTICA II
53Estadística II
Aplicaciones de la estadística
Ciencias naturalesLos estudios estadísticos, realizados por el Ministerio de Salud, relacionados conel estado nutricional de las personas, tienen como uno de sus objetivos el“supervisar la situación alimentario-nutricional de la población chilena, detec-tando grupos en riesgo de sufrir alguna forma de malnutrición, y normar laimplementación de acciones y programas orientados a prevenir el daño endichos grupos y en la población general” (www.minsal.cl). La siguiente tabla y gráfico nos muestran la cantidad de población adultomayor, de la Región Metropolitana, que se encuentra en algún estado de nor-malidad o no, en relación a su masa.
Fuente: Estado nutricional del adulto mayor en control, según servicios de salud,
(diciembre 2004), www.minsal.cl, julio 2005.
¿Qué puedes concluir?De la población estudiada, observamos que en toda la Región Metropolitana lapoblación se ordena en: personas con peso normal, sobrepeso, obesidad y bajopeso. Por otro lado, la cantidad de población con sobrepeso y obesidad, superaen demasía a la población con peso normal. Siendo el rango de bajo peso, elque considera la menor porción de población adulto mayor.
Metropolitano norte
Metropolitano occidente
Metropolitano central
Metropolitano oriente
Metropolitano sur
Metropolitano oriente
Bajo peso
2.2202.2181.4533.6472.7272.527
Peso normal
8.45413.3565.760
14.51411.82710.898
Sobrepeso
7.58010.0004.8069.433
11.0178.926
Obesidad
6.8789.9884.0197.1838.8947.816
ESTADO NUTRICIONAL DEL ADULTO MAYOR EN CONTROL,SEGÚN SERVICIOS DE SALUD, DICIEMBRE 2004.
Bajo peso
Peso normal
Sobrepeso
Obesidad
Met
ropo
litan
ono
rte
Met
ropo
litan
o oc
cide
nte
Met
ropo
litan
oce
ntra
l
Met
ropo
litan
oor
ient
e
Met
ropo
litan
osu
r
Met
ropo
litan
osu
r or
ient
e
Cant
idad
de
pers
onas
16.000
14.000
12.000
10.000
8.000
6.000
4.000
2.000
0En los últimos 40 años, el grupo lla-
mado “adulto mayor” ha crecido
más de un 25%, llegando a repre-
sentar más del 10% de la pobla-
ción total. Por este motivo, el país
ha creado nuevas políticas, con el
fin de mejorar su calidad de vida.
U2 Pág. 34 - 57 6/30/08 10:45 PM Página 53
Unidad 2 ESTADÍSTICA II
54 Estadística II
CONTENIDOS
Al igual que las ciencias naturales, la estadística es aplicable a otros campos,tales como las ciencias humanas, económicas, entre otras.
Ciencias humanasEn la tabla se observa que la asistencia delos chilenos a espectáculos masivos hacambiado en los 10 últimos años. Seaprecia claramente un aumento en even-tos de orden artístico cultural, como sonel teatro, los conciertos y los recitales; unresurgimiento del cine, y una leve bajaen los espectáculos deportivos. El cinebajó mucho durante la década de los 90debido al auge de los video club y cuan-do parecía que este iba a ser un espec-táculo cada vez menos masivo, hubo unresurgimiento producto de un cambio enel concepto del cine.
En vez de tener grandes salas para mostrar una gran película, ahora se tienenmuchas salas pequeñas con gran variedad de películas, más un ambienteacogedor y venta de chocolates, cabritas, bebidas, etc. El cine volvió a ser atrac-tivo, pues es una alternativa interesante y entretenida que permite desconec-tarse de los deberes del hogar, cosa que no se logra con el video.
Ciencias económicas
Fuente: indicadores del mes de INE, Empleo y sectoriales. Boletín Nº 81 de junio de 2005Distribución de energía eléctrica por sectores económicos. Junio 2005.
EN EQUIPO
Según la información de
ciencias humanas, contesten
las siguientes preguntas:
a. ¿Cuál de los espectáculos
tuvo mayor aumento en
estos años?
b. De mantenerse el ritmo
de aumento de asistencia
al cine, ¿en qué año se
superará la asistencia de
1989? ¿La asistencia a este
tipo de espectáculos, sería
superior a los años señala-
dos en la tabla?
Fundamenten.
c. Si hicieran una encuesta
este año, ¿la asistencia a
este tipo de espectáculos
sería superior a los años
señalados en la tabla?
Fundamenten.
EN EQUIPO
¿A qué causas atribuyen uste-
des que el área agrícola utilice
menor cantidad de energía
eléctrica?
Fuente: Anuario de Cultura y Medios de Comunicación 1989–1998 y Datos preliminares 1999.
Año
19891990199119921993199419951996199719981999
Conciertos
110122113 127 203159145156225230 308
Espectáculos deportivos
6.9577.034 7.5248.816 8.1407.8075.4677.4837.1456.3005.885
Cine
9.2587.2576.2425.1894.8564.2624.4034.0545.0396.1987.739
Teatro
195150158246179221175247354352 407
Recitales
246275191333 273 331 403306440373512
Tasa de asistentes (Por cien mil habitantes) Cine, Teatro, Recitales, Conciertos y Espectáculos Deportivos
1989-1999 (promedio mensual)
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Unidad 2 ESTADÍSTICA II
55Estadística II
50,00
45,00
40,00
35,00
30,00
25,00
20,00
15,00
10,00
5,00
0,00<15 años15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60 y más
PorcentajePorcentajes de matrimonios por grupos de edad
del contrayente. 1980 y 1998
Grupo de edad del contrayente
1980
1998
EJERCICIOS
1. En la tabla y en el gráfico se aprecia la evolución
de la relación edad/matrimonio en los últimos
años.
a. ¿Qué conclusiones se obtienen con respecto a
las edades en que se casan las personas?
b. ¿Cómo es la distribución de las edades en que
se casa la gente? ¿Por qué?
2. En una provincia se desea establecer la media de
los sueldos, con un 99% de confianza y con un
error máximo de $ 15.000. Si se sabe que la
desviación estándar es de $ 100.000, ¿de qué
tamaño debe ser la muestra?
3. El IPC se calcula sobre la base de un promedio
ponderado, de modo que cada rubro tiene dis-
tinta importancia de acuerdo a los consumos de
la población.
a. Observa la tabla y determina cuál es el rubro
que tiene mayor importancia.
b. ¿Por qué crees tú que los rubros de salud y
educación son los que más subieron?
c. ¿Por qué crees tú que el rubro vestuario es el
que más bajó?
4. El gráfico muestra la variación de las ventas de
marzo de 2004 comparado con noviembre del
2005.
a. ¿Por qué crees tú que se compara con el
mismo mes del año anterior?
b. Averigua qué diferencias hay entre los indi-
cadores nominal y real.
Año
1980198119821983198419851986198719881989199019911992199319941995199619971998
Hombre
26,626,727,026,927,027,027,027,127,227,227,527,827,927,727,928,028,328,528,9
Mujer
23,823,924,324,224,324,324,424,624,724,725,025,225,325,225,425,525,826,026,3
Edad media al matrimoniopor sexo de los contrayentes
1980–1998
Fuente: INE. Anuario de Demografía. Serie 1980-1988.9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Nominal
Real
Marzo 04/Marzo 05
Marzo 05/Marzo 04
Variación anual %
2,03,50,1
–4,84,44,94,90,02,6
Grupos
AlimentaciónViviendaEquipamiento de la ViviendaVestuarioTransporteSaludEducación y RecreaciónOtrosÍndice General
IPC 2001Variaciones e incidencias anuales
Incidencia anual
0,520,730,00
–0,310,650,470,560,002,64
Indicadores del mes precios y remuneraciones del INE, Boletín Nº 38,www.ine.cl, enero 2002.
Fuente: www.ine.cl, julio 2005.
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Unidad 2 ESTADÍSTICA II
56 Estadística II
CONTENIDOS
Distribución normal
Cuando una variable continua tiene distribu-ción normal, su gráfico es similar al indicado.Como se observa, tiene forma de campana(conocida como campana de Gauss) y essimétrico con respecto a la media, ademáspresenta pocos valores extremos.Además, se sabe que si una población tienemedia µµ y desviación típica σσ, se cumple losiguiente:
La distribución normal, una de las más importantes, recibe su nom-bre debido a que en cierto momento se pensó que la mayoría de losfenómenos estaban distribuidos de dicha manera. Esta distribuciónnos permite representar fenómenos estadísticos de manera proba-bilística.
PARA ARCHIVAR
Una de las distribuciones probabilísticas de variables continuas es la distribu-ción normal, cuya representación gráfica tiene una forma muy conocida enel ámbito de la estadística y las ciencias naturales: la campana de Gauss.
EJERCICIOS
1. Determina en cuáles de los siguientes casos se
trata de una población con distribución normal.
a. Sueldos que se pagan en una empresa.
b. Edad a la que una persona muere.
2. De un colegio mixto egresaron 210 varones y
225 damas. Las edades de los varones se dis-
tribuyen N(18,8; 0,4) y las de las damas,
N(18,2; 0,6).
a. ¿Cuántos varones tenían más de 18 años?
b. ¿Cuántas damas tenían más de 17 años?
c. Si se selecciona un alumno al azar, ¿cuál es
la probabilidad de que tenga a lo menos
18,8 años?
c. El 99,7% de los individuos se
encuentran en el intervalo
�µµ – 3σσ , µµ + 3σσ�.
a. El 68,3% de los individuos se
encuentran en el intervalo
�µµ – σσ , µµ + σσ�.
b. El 95,5% de los individuos se
encuentran en el intervalo
�µµ – 2σσ , µµ + 2σσ�.
HISTORIA
Abraham de Moivre
(1667-1754)
Matemático francés exiliado en
Londres, donde publicó en 1733
una obra en la que aparece por
primera vez la curva de distribu-
ción de los errores, que con el
tiempo conocemos como distri-
bución normal de Gauss.
AYUDA
Si una población tiene distribu-
ción normal con media µ y
desviación típica σσ, anotamos
que ella distribuye N(µ, σσ).
68,3% 95,5% 99,7%
µµ – σσ µµ µµ µµ
m
µµ + σσ µµ – 2σσ µµ + 2σσ µµ – 3σσ µµ + 3σσ
U2 Pág. 34 - 57 29/11/06 17:15 Page 56
AYUDA
Unidad 2 ESTADÍSTICA II
57Estadística II
Ejemplo
El resultado de una prueba de cuarto medio, tiene una distribu-ción N(5,3 ; 0,6). El total de estudiantes que rindió la prueba esde 150. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un estudianteal azar este haya obtenido al menos un 6,0?
Calcularemos la probabilidad de que un alumno tenga menos deun 6,0; para facilitar el uso de la tabla, el complemento será lobuscado.
z = = = 1,16 �� 1,2
En la tabla, 1,2 corresponde a 0,8849; por lo tanto,1 – 0,8849 = 0,1151 (probabilidad de obtener un alumno con notaigual o superior a 6,0, o bien el 11,51% de los alumnos obtuvouna nota perteneciente a ese intervalo).
0,70,6
6,0 – 5,30,6
PARA ARCHIVAR
Se puede demostrar que si X es una variable que se distribuye N(µµ, σσ),
utilizando la variable Z = , distribuirá N(0, 1).
A este procedimiento se le conoce como tipificación.
La ventaja de la variable Z es que existen valores tabulados para ella (verayuda), de modo que se pueden hacer cálculos de probabilidades y tama-ños de grupos de población con solo usar correctamente la tabla, y luegohacer los cálculos correspondientes.
X – µµσσ
EJERCICIOS
1. Utilizando los datos dados en el ejemplo ante-
rior, determina cuántos alumnos reprobaron.
2. Las estaturas de los recién nacidos en un hospi-
tal distribuyen N(46, 2), en cm. Calcula la pro-
babilidad de que:
a. Un bebé mida menos de 44 cm.
b. Un bebé mida más de 50 cm.
3. Se ha calculado que los gastos de los jóvenes
en un fin de semana tienen una distribución
N(8.500, 5.700), en pesos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un joven
gaste más de $ 20.000?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que un joven
gaste entre $ 5.000 y $ 10.000?
c. Si un joven invita a su pareja, ¿cuál es la
probabilidad de que gaste menos de
$ 25.000?
Ayuda(tabla pag 204 cuarto medio)
P(Z < z)
z
HISTORIA
C. Friedrich Gauss
(1777–1855)
Matemático alemán llamado el
“príncipe de las matemáticas”.
Entre sus contribuciones desta-
can la demostración del teorema
fundamental de álgebra y el des-
cubrimiento de la distribución
normal.
z
–3,0
–2,9
–2,8
–2,7
–2,6
–2,5
–2,4
–2,3
–2,2
–2,1
–2,0
–1,9
–1,8
–1,7
–1,6
–1,5
P(Z < z)
0,0013
0,0019
0,0026
0,0035
0,0047
0,0062
0,0082
0,0107
0,0139
0,0179
0,0228
0,0287
0,0359
0,0446
0,0548
0,0668
z
–1,4
–1,3
–1,2
–1,1
–1,0
–0,9
–0,8
–0,7
–0,6
–0,5
–0,4
–0,3
–0,2
–0,1
0,0
0,1
P(Z < z)
0,0808
0,0968
0,1151
0,1357
0,1587
0,1841
0,2119
0,2420
0,2743
0,3085
0,3446
0,3821
0,4207
0,4602
0,5000
0,5398
z
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
P(Z < z)
0,5793
0,6179
0,6554
0,6915
0,7257
0,7580
0,7881
0,8159
0,8413
0,8643
0,8849
0,9032
0,9192
0,9332
0,9452
0,9554
z
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
P(Z < z)
0,9641
0,9713
0,9772
0,9821
0,9861
0,9893
0,9918
0,9938
0,9953
0,9965
0,9974
0,9981
0,9987
0,9990
0,9993
0,9995
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Unidad 2 ESTADÍSTICA II
58 Estadística II
EJERCICIOS RESUELTOS
Dicho de otra forma:
Jorge obtuvo un mejor
rendimiento en biología
ya que 1 • s está por
encima de x–
, mientras
que en física está
solamente 0,875 • ssobre x
–, aun cuando
obtuvo nota más
alta en física.
Ejercicio 1
Jorge obtuvo un 5,4 en biología y un 5,7 en física. Si los promedios en ambasasignaturas fueron 4,8 y 5,0 y las desviaciones estándar 0,6 y 0,8,respectivamente, ¿en qué asignatura obtuvo un lugar relativo mejor?
Solución
Los datos entregados, por cada asignatura son: nota cualquiera: 5,4 y 5,7media aritmética: 4,8 y 5,0desviación estándar: 0,6 y 0,8
Como se quiere conocer en cuál de las asignaturas Jorge tuvo un rendi-miento relativamente mejor, obtendremos los puntajes tipificados de cadaasignatura (o puntajes z).
Biología
z = ⇒ z = 1 ⇒ valor tabulado correspondiente: 0,8413⇒ equivale aproximadamente a 84%
Física
z = ⇒ z = 0,875 ⇒ valor tabulado correspondiente: 0,7881⇒ equivale aproximadamente a 78%
En relación a la media x–
, Jorge obtuvo un mejor rendimiento en biologíaque en física, ya que, su puntaje z, está por encima de la media x
–.
Ejercicio 2
El siguiente gráfico corresponde a las tasas de natalidad de ciertos países deOriente Medio (grupo 4) y Asia (grupo 5).
5,7 – 5,00,8
5,4 – 4,80,6
El valor tipificado se
encuentra a través de la
expresión: z = x – µµ
σσ
1
2
3
4
5
6
0 10 20 30 40 50 60Tasa natalidad
Gráficos de caja
Grupo
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Unidad 2 ESTADÍSTICA II
59Estadística II
Los datos, de tasa de natalidad , utilizados para construir el gráfico anteriorcorresponden a:
grupo Oriente Medio: 42,6 22,3 26,8 29,2 38,9 42,128,4 42,5 22,8 45,6 31,7
grupo Asia: 28,6 21,2 30,5 21,3 11,7 30,342,2 39,6 41,4 31,6 17,8 31,833,2 23,5 36,1 40,4 22,3
a. Obtén los cuartiles de cada grupo de datos.b. Encuentra el promedio de cada grupo de datos.c. Encuentra la mediana de cada grupo de datos.d. Obtén el valor máximo y mínimo de cada grupo de datos.e. Con los datos obtenidos y la gráfica dada, ¿qué puedes concluir, en
relación a la tasa de natalidad de cada país?
Solución
a. Q1 Q2 Q3
Oriente Medio 27,6 31,7 42,3
Asia 22,3 30,5 36,1
b. x–
Oriente Medio = �� 33,99 ; x–
Asia = �� 29,62
c. La mediana de cada grupo corresponde al valor del cuartil 2 (Q2).
Oriente Medio: 31,7Asia: 30,5
d. Valor mínimo Valor máximo Rango
Oriente Medio 22,3 45,6 23,3
Asia 11,7 42,2 30,5
e. Como el valor mínimo de Oriente Medio coincide con el valor del Q1de Asia, podemos decir que la tasa de natalidad de los países de esteúltimo grupo es más baja. Las tasas de natalidad de los países de Asia se encuentran másdispersas, ya que la distancia del primer al segundo cuartil es bastantemás amplia que del segundo al tercero. En cambio la mayor dispersión,en el otro grupo, se encuentra entre el segundo y tercer cuartil,confirmando de esta manera que los países de Oriente Medio tienenuna menor tasa de natalidad.
503,517
373,911
La tasa de natalidad
corresponde a niños
nacidos vivos en el año
por cada
1.000 habitantes.
El cálculo de los cuartiles
se pueden obtener en el
programa EXCEL.Recuerda que se debe
anotar, = CUARTIL().Ejemplo:
= CUARTIL(A1: A6; 2). A1: fila en la cual se ubica
el primer dato ordenado.
A6: fila en la cual se ubica
el último dato ordenado.
2: segundo cuartil.
Para obtener el valor de
la mediana hay que
ordenar los datos
entregados. El valor debe
coincidir con el valor del
Q2.
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Unidad 2 ESTADÍSTICA II
60 Estadística II
DESAFÍOS
1. (Ensayo PSU, 2004) Alberto, Sebastián y Carlos
juegan a lanzar un dado 2 veces y gana el que
obtiene una suma par. En el primer lanzamiento
Alberto obtiene un 2, Sebastián un 3 y Carlos un
6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verda-
dera?
A. Todos tienen probabilidad de ganar.
B. Todos tienen probabilidad de ganar.
C. El que tiene más probabilidad de ganar es
Carlos.
D. Carlos tiene más probabilidad de ganar que
Alberto.
E. Sebastián tiene menos probabilidad de
ganar que Alberto y Carlos.
2. (Ensayo PSU, 2004) La tabla muestra las edades
de 220 alumnos de un colegio. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La moda es 17 años.II) La mediana es mayor que la media (prome-
dio).III) La mitad de los alumnos del colegio tiene
17 o 19 años.
A. Solo I C. I y III E. I, II y III
B. I y II D. II y III
3. (Facsímil PSU, Demre, 2004) En un supermercado
el precio de costo de un kilogramo de pan es de
$ 600 y lo venden en $ 820; las conservas de
mariscos tienen un costo de $ 800 y las venden en
$ 1.060. Si la política de asignación de precios del
supermercado es lineal, ¿cuál es el precio de venta
de un kilogramo de arroz cuyo costo es $ 400?
A. $ 600 C. $ 547 E. $ 530
B. $ 580 D. $ 537
4. (Pisa, 2003) En la figura, se tiene una ruleta en
que la flecha puede indicar cualquiera de los
4 sectores y ella nunca cae en los límites de
dichos sectores. ¿Cuál(es) de las siguientes
proposiciones es(son) verdadera(s)?
I) La probabilidad de que la flecha apunte al
número 1 es de .
II) La probabilidad de que la flecha apunte al
número 2 es de .
III) La probabilidad de que la flecha apunte al
número 2 o al 3 es de .
A. Solo I C. Solo III E. Todas.
B. Solo II D. I y II
5. (Facsímil PSU, Demre, 2004) El gráfico de la figura
muestra las preferencias de 30 personas en
actividades deportivas. ¿Cuál(es) de las siguien-
tes afirmaciones es(son) correctas(s)?
I) La frecuencia relativa del grupo de fútbol esde 40%.
II) Las frecuencia relativa del grupo debasquetbol es de 30%.
III) La mitad del grupo no prefirió fútbol ni tenis.
A. Solo I C. Solo III E. Todas.
B. Solo II D. I y II
23
14
12
13
12
Edad (en años) 15 16 17 18 19
Alumnos 50 40 60 50 20
fútbol12
basquetbol9
atletismo6
tenis3
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Unidad 2 ESTADÍSTICA II
61Estadística II
MEDIOS
¿Cuántas personas tendrán un accidente mañana?
A partir de la información diaria relativa a los accidentes del tránsito, se pueden construir estadísticasque permitan inferir de manera aproximada la cantidad de muertos en futuros accidentes. Porejemplo, se espera que en las épocas de fiestas patrias mueran, aunque no quisiéramos, ciertacantidad de personas. Carabineros de Chile en su sitio web publica a diario, estadísticas sobre accidentes y sus causas. (Verwww.carabinerosdechile.cl)
1. Construye en una planilla de cálculo distintostipos de gráficos asociados a estos datos.
2. Actualiza estos datos según el día actual.
3. ¿En qué medida ayuda conocer las estadísticas
de accidentes del tránsito?
4. Quizás muy pronto tendrás la oportunidad de
obtener tu licencia de conducir, por lo que sería
muy bueno averiguar las causas más importantes
detectadas en los accidentes. Construye un
gráfico con la información que obtengas.
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Unidad 2 ESTADÍSTICA II
62 Estadística II
SÍNTESIS
Mapaconceptual
Resumen
Construye tu mapa conceptual que relacione al menos los conceptos clavedados.
Conceptos clave:
Media
Moda
Mediana
Rango
Desviación media
Desviación estándar
Correlación
Muestra
Error porcentual
Intervalo de confianza
1 Media aritmética: cociente entre la suma de todos los valores de un con-
junto de datos y la frecuencia total de estos. Está dada por la expresión:
2 Mediana: dato que ocupa el valor central de un conjunto de datos
ordenados según magnitud (decreciente o creciente).
3 Moda: la moda de un conjunto de datos es el valor que presenta
mayor frecuencia.
4 Rango: diferencia entre el mayor valor y menor valor de una
distribución de datos.
5 Desviación: representa el mayor o menor alejamiento de un dato
respecto a la media aritmética, para calcularla, utilizamos la fórmula:
d = x – x–
x–
= = n
x1 + x2 + … + xnn
(para datos no agrupados)
n
k = 1Σ xk
x–
= = f1x1 + f2x2 + … + fjxj
f1 + f2 + … + fj
j
k = 1Σ fk xk
j
k = 1Σ fk(para datos agrupados)
, donde j es el númerode intervalos en que se agrupan los datos.
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Unidad 2 ESTADÍSTICA II
63Estadística II
6 Desviación respecto a la media: media aritmética de las desviaciones abso-
lutas respecto de la media. Se calcula utilizando la fórmula:
DM = o DM =
(para datos no agrupados) (para datos agrupados)
7 Desviación estándar o típica: representa el grado de dispersión de los datos
respecto a la media, la calculamos utilizando la expresión:
s = o s =
(para datos no agrupados) (para datos agrupados)
8 Correlación: indica el grado de asociación de dos variables, esta puede
ser positiva, negativa o nula.
9 Tamaño de la población: número de individuos que pertenecen a una
cierta población, se calcula mediante la proporción: = ,
(n1: tamaño de la primera muestra; n2: tamaño de la segunda muestra;
m: número de marcados en segunda muestra; N: tamaño de la población).
10 Tamaño muestral: se calcula utilizando la expresión: n = � �2
(k: nivel de confianza; σσ: desviación estándar de la población; E: margen
de error).
11 Margen de error: se calcula utilizando la expresión: E = k • ;
s: desviación estándar; k: coeficiente asociado al nivel de confianza;
n: número de elementos de la muestra.
El error puede ser expresado de manera porcentual dado por • 100 .
12 Intervalo de confianza: intervalo que con cierto nivel de confianza, nos
asegura que dentro de él se encuentra la media poblacional.
Está dado por � x–
– E, x–
+ E � , donde E es el margen de error.
13 Medidas de localización: dividen a una distribución de datos en una cierta
cantidad de partes iguales, los más conocidos son cuartiles (cuatro partes
iguales), deciles (diez partes iguales) y percentiles (cien partes iguales).
E
x–
s
k • σσE
n1N
mn2
f x x
n
i −( )∑ 2x x
n
kk
n
−( )=
∑2
1
f x x
f
i −∑∑
x x
n
kk
n
−=
∑1
n
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Unidad 2 ESTADÍSTICA II
64 Estadística II
EVALUACIÓN
1. Las edades de los jóvenes de un grupo
musical son 15, 14, 13, 15, 14 y 13 años.
Entonces, es verdadero que:
I) la media es 14 años.
II) la mediana es 15 años.
III) la desviación típica es años.
A. Solo I D. I y II
B. Solo II E. I y III
C. Solo III
2. La tabla muestra las
edades de los jóvenes
de un grupo de una
parroquia. Con respecto
a la información de la
tabla, es falso que:
A. el 25% tiene 15 años.
B. la moda es 16 años.
C. la media es alrededor de 15 años.
D. el 35,7% tiene 16 años.
E. la mediana es 16 años.
3. Las notas de Claudia en Física son: 3,5; 4,2;
5,3; 2,8; 5,6 y 5,6. Con respecto a esta
situación, es verdadero que:
I) su media es 4,5.
II) la moda es un 5,6.
III) si Claudia obtiene en un trabajo un 6,5 ylo remplaza por su peor nota, su mediaahora es un 5,1.
A. Solo I D. I y II
B. Solo II E. Todas.
C. II y III
4. Antonia lleva un 5,5 de promedio con
4 notas en Física y debe rendir la Prueba
Coeficiente 2. Con respecto a esta situación,
es verdadero que:
I) si se saca un 7,0 en la prueba global supromedio sube a 6,0.
II) si se saca un 4,0 en la prueba global supromedio baja a 5,0.
III) No se puede sacar el promedio si no seconocen las otras notas.
A. Solo I D. I y II
B. Solo II E. Ninguna.
C. Solo III
5. En la selección de voleibol de un colegio A,
la media de las estaturas es 183 cm y la
desviación típica 3,5 cm. En otro colegio B,
la media es 174 cm y la desviación típica es
5 cm. Entonces:
I) los seleccionados de B tienen unaestatura más pareja que en A.
II) los seleccionados más altos están en A.
III) los seleccionados más bajos están en B.
A. Solo I C. Solo III E. II y III
B. Solo II D. I y II
6. Con respecto al coeficiente de correlación de
Pearson es verdadero que:
I) Cuando su valor es cercano a 1, haycorrelación positiva.
II) Cuando su valor es cercano a 0,5, lacorrelación es nula.
III) Cuando su valor es 0, la correlación esnegativa.
A. Solo I C. Solo III E. Todas
B. Solo II D. II y III
23
Edad fi
14 615 816 1217 6
Total 32
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Unidad 2 ESTADÍSTICA II
65Estadística II
7. En un zoológico desean saber cuántos loros
hay. Escogen una muestra de 50 loros y los
marcan; al día siguiente toman una muestra
de 40 y observan que 5 de ellos están
marcados. El total aproximado de loros del
zoológico es:
A. 100 C. 400 E. 350
B. 250 D. 200
8. Cecilia, en su preparación para la PSU de
lenguaje, realizó 10 ensayos y su tiempo
promedio fue de una hora y media. Ella sabe
que su desviación típica es de 20 minutos. Si
se asume un nivel de confianza del 95%, el
error máximo en tiempo, el día que rinda la
prueba, será aproximadamente:
A. 0,14 minutos.
B. 12 minutos.
C. 13 minutos.
D. 3,92 minutos.
E. Ninguna de las anteriores.
9. En un colegio de 4.000 alumnos, las notas en
matemáticas se distribuyen N(5,2; 0,6).
¿Alrededor de cuántos alumnos tienen pro-
medio sobre 6,0?
A. 0,9032 C. 10% E. 500
B. 0,0968 D. 390
10. Un consultorio realizó un estudio para
determinar la masa de la población femenina
de su comuna obteniendo una distribución
N(62, 5). ¿Alrededor de qué porcentaje de la
cantidad de mujeres de la comuna tienen una
masa entre 57 y 62 kilogramos?
A. 99% C. 68% E. 24%
B. 95% D. 34%
11. Se desea saber las preferencias musicales de la
juventud chilena y para ello se decide hacer
una encuesta. ¿Cuál de los siguientes procedi-
mientos asegura una muestra representativa?
A. Se encuesta a 100 jóvenes en el centro delas principales ciudades.
B. Se encuesta a 2.000 jóvenes a la salida delos liceos de acuerdo a la cantidad dealumnos de cada liceo.
C. Se consigue en el registro civil una listade todos los jóvenes del país y seseleccionan 2.500 al azar.
D. Se pide a los jóvenes que den su opiniónen una radio de alcance nacional.
E. Se invita a los jóvenes a participar en suscomunas habilitando formularios ybuzones.
12. La vida media de una pila (en horas) tiene
una distribución N(150, 50). ¿Cuál es la
probabilidad (en porcentaje) de que dure
menos de 50 horas?
A. 2% C. 16% E. 68%
B. 4% D. 32%
13. En la selección de personal para un museo
de historia, se realizará una prueba de
conocimientos básicos de Historia de Chile.
Se sabe que los puntajes distribuyen
N(132, 18) y tan solo el 10% de los puntajes
más altos será seleccionado.
Aproximadamente, ¿desde qué puntaje se
aceptará a los candidatos?
A. 109
B. 155
C. 190
D. No se puede determinar.
E. Ninguna de las anteriores.
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Unidad 2 ESTADÍSTICA II
66 Estadística II
EJERCICIOS DE REFUERZO
1. En un curso universitario se sabe que la moda
de las edades es de 20 años, la mediana es
21 años, el menor de los alumnos tiene 19 años
y el mayor 23 años. Si hubiera uno más que
tuviera 22 años, la moda sería ésta. Si en total
hay 9 alumnos, construye una tabla de fre-
cuencias con sus edades y calcula la media, la
desviación media y la desviación estándar.
2. Calcula la media del tiempo de espera en un
consultorio de acuerdo a la siguiente tabla.
Tiempo (min) fi
[0 – 10[ 2
[10 – 20[ 12
[20 – 30[ 15
[30 – 40[ 10
[40 – 50[ 8
[50 – 60[ 7
3. En un curso hay 24 hombres y 16 mujeres. En
la tabla se muestra la estatura y la masa
promedio.
Estatura (m) Masa (kg)
Hombres 1,78 74
Mujeres 1,59 56
Calcula la media de la estatura y de la masa
del total del curso.
4. Los números que aparecen a continuación co-
rresponden a la cantidad de preguntas omitidas
en un ensayo de PSU de un cuarto medio:
6 - 0 - 7 - 15 - 2 - 5 - 36 - 18 - 9 - 3 - 2 - 0 - 1 - 4 -4 - 6 - 7 - 5 - 8 - 10 - 9 - 0 - 3 - 0 - 2 - 0 - 8 - 9 -22 - 16 - 0 - 4 - 7 - 0 - 12 - 11 - 0 - 6 - 8 - 0 - 0 - 9
a. Calcula la media, la mediana, moda, rango
y desviación estándar.
b. ¿Qué valores distorsionan la media y no
son representativos del curso?
5. En las siguientes situaciones indica si la corre-
lación es positiva, negativa o nula. Fundamenta
tu respuesta.
a. Sueldo de una persona comparado con el
dinero que destina a recreación.
b. Estatura de una persona comparado con el
número de calzado que usa.
c. Estatura de una persona comparado con el
número de cabezazos que se da con lám-
paras colgantes.
d. Edad de una persona comparada con la
cantidad de veces que ha salido de vaca-
ciones en su vida.
e. Notas promedio de una persona en la ense-
ñanza media comparada con puntaje en la
PSU.
f. Número de cesáreas comparado con núme-
ro de partos normales.
g. Peso de una persona comparado con su can-
tidad de dientes.
h. Lugar de un tenista en el ranking mundial
comparado con su número de derrotas.
6. En una feria ganadera se remataron 9 terne-
ros, de acuerdo con el siguiente cuadro:
Cabezas Peso (kg) Precio ($ x kg)
3 204 496
2 148 488
4 196 482
Calcula:
a. El peso promedio ponderado.
b. El precio promedio ponderado por kilo-
gramo.
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Unidad 2 ESTADÍSTICA II
67Estadística II
Frecuencia
193
251
1.156
2.747
9.152
10.718
24.176
27.609
28.480
22.830
14.183
6.223
2.721
1.822
1.209
Intervalo
[100,149]
[150,199]
[200,249]
[250,299]
[300,349]
[350,399]
[400,449]
[450,499]
[500,549]
[550,599]
[600,649]
[650,699]
[700,749]
[750,799]
[800,849]
7. La siguiente tabla presenta los puntajes
obtenidos por los jóvenes que rindieron la PSU
Matemática en el año 2003.
a. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo punta-
jes iguales o superiores a los del intervalo
[700,749]?
b. Calcula los percentiles 10, 30, 40, 60, 70, 80
y 90.
c. Calcula la mediana y la desviación estándar
de esta distribución de puntajes.
d. Calcula Q1, Q2 y Q3.
e. Calcula el segundo decil (D2) y el quinto
decil (D5).
f. ¿A qué percentil corresponde, aproximada-
mente, el puntaje 628?
8. Un fabricante asegura que el contenido pro-
medio de nicotina de sus cigarrillos es de 2 mg.
Para verificar esto se realizó un estudio con una
muestra aleatoria de 45 cigarrillos, obtenién-
dose un promedio de 3 mg de nicotina. Se sabe
que el contenido de nicotina de un cigarrillo
sigue una distribución normal con desviación
estándar de 0,5 mg.
a. Obtén e interpreta un intervalo con un 95%
de confianza para el verdadero promedio.
b. Obtén el intervalo con un 80% de confianza
para la media.
c. ¿Qué puedes concluir en relación con lo que
dice el fabricante?
9. En una misma prueba de Inglés dos cursos,
C y D, obtuvieron resultados cuyos datos esta-
dísticos son los siguientes:
Curso C Curso D
x–
5,0 5,1
s 0,6 0,5
De acuerdo con estos datos:
a. Compara el resultado de ambos cursos.
b. Un alumno del curso C obtuvo un 6,0 y uno
del curso D, un 6,2. ¿A cuál de los dos alum-
nos les fue mejor en la prueba, en relación a
su curso?
c. Suponiendo que las notas se distribuyeron en
forma normal, ¿entre qué notas por debajo y
por encima del promedio se encuentra el
68,3% central de los alumnos en cada curso?
10. Un apicultor desea conocer, con fines industria-
les, la cantidad de miel producida por las abejas
de colmenas. Estudios anteriores indican que la
desviación estándar es de 10 kg anuales.
a. ¿Cuántas colmenas debe incluir en su estu-
dio, si admite un error máximo de 2 kg y un
98% de confianza?
b. Si desea disminuir su error en un 50%, ¿cuán-
tas colmenas más debe incluir en el estudio?
c. ¿Qué relación hay entre los resultados obte-
nidos?
U2 Pág. 58 - 67 6/30/08 10:48 PM Página 67
Muy cerca del lugardonde se clonó a la oveja “Dolly”,
en Inglaterra, nació y vivió John Napier(1550 - 1617), quien sin ser un matemático
de profesión contribuyó al desarrollode una herramienta que simplificó los cálculos
matemáticos y mercantiles: los logaritmos.En tu tercer año de educación media hubo una
aproximación al tema de los logaritmos, específicamentecomo una ayuda para calcular el pH de algunas
sustancias. Recordarás que el pH representael grado de acidez y se expresa como:
pH = –log�H+�donde �H+� corresponde a la concentración
de iones de Hidrógeno y quegeneralmente se expresa como
potencia de 10.
UN
IDA
D
3
68 Función Potencia y Logarítmica
Función Potenciay Logarítmica
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En esta unidad aprenderás a...
69Función Potencia y Logarítmica
Trabajar con distintas funciones identificando: dominio, recorrido, periodicidad y gráficos.
Obtener funciones inversas.
Usar programas computacionales para graficar y resolver problemas.
Conocer las funciones potencia y logarítmica: dominio, recorrido y gráficos.
Trabajar con logaritmos en base 10.
Resolver ecuaciones logarítmicas.
ExploraRealiza el laboratorio 1
correspondiente a la unidad 3que aparece en
www.santillana.cl/emedia/mat4
U3 Pág. 68 - 93 29/11/06 17:18 Page 69
1. Completa con el número que falta para que la igualdad sea verdadera.
a.–5
= f. : 75 = 74• 7–2
b. 107• = 104 g. �642�5
= �2 �10
c. 5 = h. 10 = 1.024
d. (–6) = –216 i. �– � = –
e. � �4= j. �– � =
2. Grafica las siguientes funciones.
a. y = 8x – 3 d. y = –2x2 + 1 g. m(x) = 9 + 4x
b. y = 3x2 e. g(x) = 5 h.
c. f. h(x) = –7x i. y= 6 – 5x2
3. Determina para qué valores están definidas las siguientes funcionesreales.
a. f(x) = f. m(x) = 4x2 – (2x)2 + 5
b. g(x) = (x – 3) (x + 8) g. n(x) = x2 + 2ax + a2
c. h. p(x) =
d. i(x) = i. q(x) =
e. j.
4. Determina los intervalos para los cuales las siguientes funciones soncrecientes y decrecientes.
a. u(x) = –(x + 5)2 b. c. w(x) = 3 + (10 – x)2v x x( ) = − +2 4
u xx b
( ) =−
12
k x x a( ) = −
x + 2x2 + 10x + 25
4x + 1
1 – x2
x + 1h x
x( ) = +
−6
3
1
2x2 – 1
f x x( ) = − + 4
q x x( ) = + −6 2
122
25681
343512
78
1625
132
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
70 Función Potencia y Logarítmica
REPASO
¿Cuánto sabes?
2
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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
71Función Potencia y Logarítmica
¿Qué debesrecordar?
5. Completa el cuadro, indicando a qué intervalo debe pertenecer x paraque la función sea negativa, cero o positiva.
f(x) = –
f(x) = x2 – 10
f(x) = |x – 5|
f(x) = 1 – 4x2
f x x( ) = + 7
f x x( ) = −11
1x – 3
1x
f < 0 f = 0 f > 0
f(y)
f(x)
x y
f(x)
f(y)
x y
1 Propiedades de las potencias:
am• an = am + n
am : an = = am – n, a ≠ 0
�am�n= a m • n
, con n ≠ 0
2 Función creciente y decreciente:
Sean a, b � �
a. Una función f es creciente en el intervalo]a, b[ si dados x e y cualquiera en ese intervalo,se tiene
x < y ⇒⇒ f(x) < f(y)
b. Una función f es decreciente en el intervalo]a, b[ si dados x e y cualquiera en ese intervalo,se tiene
x < y ⇒⇒ f(x) > f(y)
Si en la gráfica de la función cuadrática, el vértice es el punto más bajode los valores del eje Y, entonces el eje de simetría indica un cambio dedecreciente a creciente.Por el contrario, si en la gráfica de una función cuadrática, el vértice esel punto más alto de los valores en el eje Y, entonces el eje de simetríaindica un cambio de creciente a decreciente.
a amnmn=
am
an
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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
72 Función Potencia y Logarítmica
CONTENIDOS
Funciones
En cursos anteriores has estudiado diversos tipos de funciones: función portramos, función cuadrática, etc. Recordemos el concepto de función:
Por ejemplo, consideremos
a la función f(x) = (x – 32)
que convierte grados
Fahrenheit (ºF) a
grados Celsius (ºC).
Por ejemplo, f(32) = 0 indica
que 32 ºF equivalen a
0 ºC, f(5) = –15 indica que
5 ºF son equivalentes
a –15 ºC, etc.
59
EJERCICIOS
1. Si x es un número natural, se define f(x) de la
siguiente manera:
Si x = 1 o x = 2, f(x) = 1
Si x > 2 entonces f(x) = f(x – 1) + f(x – 2)
a. Calcula: f(1), f(2), f(3), f(4), f(5) y f(6).
b. Determina el dominio y el recorrido de la
función.
2. Determina el dominio y recorrido de:
a. f(x) = c.
b. f(x) = + d.
3. Si f(x) = |x – 1| + |x – 2|, completa los datos que
faltan en el gráfico de f(x). Indica el dominio y
recorrido de f(x).
f xxx
( ) = +−
11
1x – 1
1x
f x x( ) = + 2x
x – 1
AYUDA
Un método para encontrar el
recorrido de f(x) es despejar la
variable x y luego analizar los
valores que puede tomar la va-
riable y en la expresión resultante. Una función es una regla que asigna a cada elemento x de unconjunto A un único elemento f(x) de un conjunto B, donde A seconoce como dominio (dom(f)) de la función y B es el conjunto dellegada o codominio, además el conjunto de valores que lafunción puede tomar se conoce como imagen o recorrido (rec(f)).
TIPS
Muchas de las teclas de la calcu-
ladora definen funciones, por
ejemplo, la tecla funciona
así:
aparecerá en la
pantalla 3, que es la imagen de 9
en la función .
Sin embargo, si remplazamos 9
por –4, aparecerá –E–. Esto nos
indica que –4 no pertenece al
dominio de la función, y por
ende, no podemos encontrar su
imagen.
y x=
9 =
Y
X
Recorrido de f
Dominio de f
50
25
0
-25
-50
-75 -50 -25 25 50 75
ºC
ºF
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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
73Función Potencia y Logarítmica
EJERCICIOS
1. Encuentra la inversa de la función
y = f(x) = , con x ≠≠ 3.
a. ¿Cuál es el dominio de f–1(x)?
b. ¿Cuál es el recorrido de f–1(x)?
2. Encuentra la función inversa para:
a. y = c.
b. d.
3. Determina, a partir del gráfico, cuáles de las
siguientes funciones tienen inversas.
a. c.
b. d.
yx
=+
1
1y x= + −3 4
y x= + 1
2
3x – 510
x – 1x – 3
AYUDA
• Observa que la función inversa
en función de y también se
representa con x.
• Se define una composición de
funciones como una función
denotada por (g o f)(x) que
resulta de aplicar primero f
sobre x y después g sobre el
resultado obtenido. Es decir:
(g o f)(x) = g[f(x)].
• Observa que: (fof–1)(x) = x
f–1(x) corresponde a la función inversa de f(x). Para determinar lafunción inversa de una función f(x), despejamos la variable x. Además,si f(a) = b entonces f–1(b) = a.
PARA ARCHIVAR
TIPS
Criterio de la recta horizontal. No
todas las funciones tienen inver-
sa. Por ahora, puedes utilizar un
método que se basa en el gráfico
para saber si una función tiene o
no tiene inversa. Uno de los
métodos consiste en trazar una
recta imaginaria paralela al eje X
y moverla de arriba a abajo. Si
intersecta a la función en dos o
más puntos, entonces la función
NO tiene inversa.
Función inversa
Consideremos la función f(x) = (x – 32) estudiada anteriormente.
Buscaremos una expresión que nos permita expresar grados Celsius enfunción de grados Fahrenheit, para esto debemos expresar x en función def(x), es decir, despejaremos la variable x de la expresión original.
y = f(x) = (x – 32) y = (x – 32)
9y = 5(x – 32)
y = x – 32
x = y + 32
La expresión obtenida en el proceso anterior se conoce como función inversa
de f, y se escribe como f –1(x). Luego, tenemos por ejemplo:
f(–4) = (–4 – 32) = –20 y f –1(–20) = (–20) + 32 = –495
59
95
95
59
59
59
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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
74 Función Potencia y Logarítmica
CONTENIDOS
Funciones periódicas
Observa las siguientes gráficas correspondientes a las funciones sen(x) ycos(x), respectivamente.
y = f(x) = sen(x) y = f(x) = cos(x)
¿Qué puedes observar?
• El recorrido de ambas funciones corresponde al intervalo [–1, 1].• Ambas funciones tienen un comportamiento que se repite cada ciertos
valores.• El comportamiento de ambas funciones nos permiten predecir cómo será
la prolongación de su gráfica.• Tanto la función sen(x) como cos(x) son funciones periódicas, con período
de 360º o 2ππ.
La válvula de aire de la rueda
de una bicicleta describe una
curva periódica conocida como
cicloide. Esta curva está dada
por las ecuaciones:
x = x(t) = a(t – sen(t));
y = y(t) = a(1 – cos(t))
(a: radio de la rueda)
EJERCICIOS
1. Observa las siguientes gráficas e indica
el período de la función representada.
a. y =
b. y = sen(x) • cos(x)
2. El siguiente gráfico
corresponde a
la función tan(x).
a. Indica el dominio
y recorrido de
la función.
b. ¿Cuál es el período de tan(x)?
3. Gráfica las siguientes funciones e indica si son
periódicas o no; en caso afirmativo, indica el
período. (Puedes usar un computador)
a. y = c. y =
b. y = sen(x + 24) d. y = x2 + tan(x)
cos(x)sen(x)
1tan(x)
1cos(x)
Una función f es periódica de período T, si T es el menor número posi-tivo tal que x + T está en el dominio de la función y f(x) = f(x + T).Gráficamente se puede observar que la función se repite en intervalosde largo T.
PARA ARCHIVAR
AYUDA
Y
Xx + T
T
x
X
Y
1
-1
1
-1
Y
X
X
X
Y
Y
Y
π2
π2
3π2
3π2
2π 2πππ
π2-
π2π
-π
π
π2 π
π2 π
-
X
π2
-
U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 74
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
75Función Potencia y Logarítmica
Gráficos con Javamath
La utilización de programas computacionales, resulta muy útil para el análisisde funciones. En esta página te enseñaremos acerca de Java Componentsfor Mathematics, un sitio web que utiliza el lenguaje de programación Javapara desarrollar applets (pequeños programas de aplicación) que comple-mentan y apoyan el aprendizaje de las matemáticas. Además, puedesdescargar el sitio completo a tu computador.
Este programa funciona mediante elingreso de funciones, en las cualespuedes variar los parámetros y observarsu comportamiento. Veamos cómoingresar dichas funciones:
1. Ingresamos ahttp://math.hws.edu/javamath/
2. Con el mouse seleccionamos"Configurable applets"
3. Seleccionamos "MultiGraph",luego "Launch MultiGraph".
4. Ingresamos las funciones a graficaren f1(x), f2(x), f3(x) o f4(x).
Ejemplo
Queremos comparar la gráfica de lasfunciones f(x) = x2, para x �� 0, y suinversa dada por .Ingresamos ambas funciones enf1(x) y f2(x) respectivamente(ver pantalla adjunta).
f x x− ( ) =1
EJERCICIOS
Utilizando Javamath, realiza lo siguiente:
1. Grafica las siguientes funciones y determina
si tienen o no inversa.
a. f(x) =
b. f(x) =
c. f(x) =
2. Grafica las siguientes funciones e indica
dominio, recorrido y período.
a. f(x) = sen2 (x)
b. f(x) =
c. f(x) = cos x
1sen(x) • cos(x)
1x2
1x
1x – 1
d. f(x) = |x – 2|
e. f(x) = x3
d. f(x) = x2 + x + 41
e. f(x) = + 1
x – 11x
TIPS
Javamath fue un proyecto desa-
rrollado por David Eck en el
Hobart and William Smith
Colleges, en el año 2001.
AYUDA
Observa que la función raíz
cuadrada de x se ingresó como
sqrt(x).
Para ver cómo se ingresan otras
funciones puedes buscar en
"Configurable applets":
"Expressions in JCM"
U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 75
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
76 Función Potencia y Logarítmica
CONTENIDOS
Función potencia
Observa las siguientes gráficas correspondientes a la función f(x) = x2 yg(x) = x3.
f(x) = x2 g(x) = x3
¿Cuál es el dominio de cada función?Ambas funciones están definidas para todo �, es decir:
dom (f) = dom (g) = �
¿Cuál es el recorrido de cada función?En el primer caso, el rec (f) es �+
o y en el segundo es rec (g) = �.
Las funciones estudiadas anteriormente pertenecen al tipo de funcióndenominada función potencia: axn.
EJERCICIOS
1. Utilizando algún programa computacional, o
bien en papel milimetrado, grafica las siguientes
funciones. Luego responde.
y = x4 y = x5 y = x6 y = x7
a. Las funciones dadas, ¿son simétricas?
b. A medida que el exponente aumenta, ¿qué
sucede con las gráficas de las funciones?
c. ¿Cuál es el dominio de cada función?
d. ¿Cuál es el recorrido de cada función?
2. Se quiere construir una caja de cartón con
forma similar a un paralelepípedo recto de base
cuadrada. Se dispone de 12 dm totales de cinta
para pegarla en cada una de sus aristas. ¿Cuál
es el mayor volumen que puede tener la caja?
3. Determina para qué valores de x las siguientes
funciones son positivas.
a. y = 4x2; b. y = x323
Una función potencia es una función de la forma f(x) = axn, donde a esun número real y n = 0, 1, 2, 3,… Su dominio es �.
PARA ARCHIVAR
U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 76
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
77Función Potencia y Logarítmica
Análisis de la función potencia
Exponente par
Los siguientes gráficos corresponden a la función y = axn, para n par.
y = x2 y = x4 y = x6
y = –x2 y = –x4 y = –x6
Observando los gráficos podemos obtener las siguientes conclusiones:
• Si a > 0, entonces la gráfica de la función y = axn, para n par tiene suvértice en el punto más bajo de la curva.
• Si a < 0, entonces la gráfica de la función y = axn, para n par, tiene suvértice en el punto más alto de la curva.
• En ambos casos las gráficas presentan simetría respecto al eje Y, es decir,f(x) = f(–x), para todo x perteneciente al dominio de la función.
Sea y = axn una función potencia con n par, entonces:
Si a > 0, la gráfica de la función Si a < 0, la gráfica de la funciónes de la forma: es de la forma:
PARA ARCHIVAR
EN EQUIPO
Grafiquen las siguientes funciones:
y = 0,05x2 y = x2
y = 3x2 y = 5x2
¿Qué sucede a medida que a
crece?
¿Ocurrirá lo mismo para a < 0?
TIPS
Si f(x) = f(–x), para cualquier x
en el dominio, la función f es
par.
IR A LA WEB
Desarrolla el laboratorio 2.
www.santillana.cl/emedia/mat4
X
Y Y Y
Y Y Y
X X
X
Y Y
X X
X X
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
3
2
1
0
-1
-2
-3
U3 Pág. 68 - 93 7/17/08 11:22 PM Página 77
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
78 Función Potencia y Logarítmica
CONTENIDOS
Exponente impar
Ampliaremos nuestro análisis para n impar.
y = 2x3 y = x5 y = 4x7
y = – x3 y = –3x5 y = – x7
Observando los gráficos podemos obtener las siguientes conclusiones:
• Si a > 0, la gráfica de la función se encuentra en el primer y tercer cua-drante.
• Si a < 0, la gráfica de la función se encuentra en el segundo y cuartocuadrante.
• Las gráficas presentan simetría central respecto al origen, es decir,f(–x) = –f(x), para todo x perteneciente al dominio de la función.
12
32
13
EN EQUIPO
Determinen qué sucede con el
gráfico de una función de la
forma y = axn para 0 < a < 1 y n
impar.
TIPS
Si f(–x) = –f(x), para cualquier x
en el dominio, a función f es
impar.
PARA ARCHIVAR
Sea y = axn una función potencia con n impar, entonces:
Si a > 0, la gráfica de la función Si a < 0, la gráfica de la funciónes de la forma: es de la forma:
Y
X
Y
X
X X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y Y
U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 78
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
79Función Potencia y Logarítmica
EJERCICIOS
1. Grafica las siguientes funciones (puedes
utilizar un programa computacional):
a. y = x4 y = (x + 2)4 y = (x – 2)4
b. y = 2x3 y = 2(x – 1)3 y = 2(x + 1)3
2. Construye 2 funciones polinomiales que corres-
pondan a una traslación horizontal en cada
caso. Dibuja los gráficos.
a. y = –3x3
b. y = 5x4
c. y = –5x5
3. A partir del gráfico de la función f(x) = 2x5,
haz un bosquejo de g(x) = 2x5 + 3.
a. ¿Qué semejanzas encuentras?
b. Según lo obtenido, ¿cómo se obtiene una
función trasladada verticalmente con
respecto a f(x) = –3x2?
4. Indica la función que representa a cada una
de las siguientes gráficas.
5. Comprueba que para una función del tipo
f(x) = axn + c, con n par, su recorrido está dado
por el intervalo [c, +��[.
6. Determina el dominio y recorrido de las
funciones del ejercicio 1, e indica para qué
valores son positivas.
EN EQUIPO
Comprueben que para el caso
de funciones potencia con expo-
nente par, también se cumple
este tipo de traslación.
Traslaciones verticales y horizontales
La figura muestra las gráficasde las siguientes funciones:
y = x3
y = (x + 2)3
y = (x – )3
Podemos observar que el gráfico deestas funciones polinomiales es elmismo pero trasladado con respectoal de la función potencia: x3.
12
Si f(x) = axn, entonces la gráfica de la función polinomial g(x) = a(x + c)n,con c > 0, es idéntica a la de f pero trasladada hacia la izquierda.
Si f(x) = axn, entonces la gráfica de la función polinomial g(x) = a(x + c)n,con c < 0, es idéntica a la de f pero trasladada hacia la derecha.
PARA ARCHIVAR
AYUDA
Las funciones polinomiales o
polinómicas son aquellas que se
pueden formar sumando fun-
ciones potencia, cuyos expo-
nentes correspondientes son
enteros. Ejemplos,
f(x) = 3x2 + x + 1
f(x) = –3x5 – 1
f(x) = 3x4 + x3 + x2 + x – 7
Y
X
Y
X
U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 79
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
80 Función Potencia y Logarítmica
CONTENIDOS
Concepto de logaritmo
Logaritmo de un número
A partir de la expresión bn = p, podemos plantear distintas ecuaciones,dependiendo de cuál de sus tres elementos es el desconocido.
Caso I: Se desconoce el valor de la potencia: p.Si p = x, entonces se tiene la ecuación x = bn.Esto implica el cálculo del valor de una potencia, operación que se denominapotenciación.El valor de x es la enésima potencia de b.
x = bn ⇒ Ejemplo: x = 34 = 81
Caso II: Se desconoce el valor de la base de la potencia: b.Si b = x, entonces se tiene la ecuación xn = p.Esto implica el cálculo del valor de una raíz enésima, que se denominaradicación.El valor de x es la raíz enésima de p.
xn = p ⇔ ⇒ Ejemplo: x3 = 64 ⇒ = 4
Caso III. Se desconoce el valor del exponente de la potencia: n.Si n = x, entonces se tiene la ecuación exponencial bx = p.Esto implica calcular el exponente de una potencia conocida su base y suvalor, operación que se denomina logaritmización.Este exponente x es el logaritmo de p en base b, lo que en símbolos serepresenta por:
x = logb p ⇔ bx = p
Ejemplo: x = log2 16 ⇔ 2x = 16 ⇒ 2x = 24 ⇒ x = 4
x = 643x pn=
HISTORIA
John Napier (1550 - 1617).
Los logaritmos fueron inventados
por John Napier. “Descripción de
la maravillosa regla de los loga-
ritmos”, es el título del libro que
publicó en 1614. El término
acuñado por él tiene la descom-
posición:
logos razón,
aritmos números.
TIPS
En relación al logaritmo se puede
deducir que, tal como una poten-
cia se puede escribir como un
logaritmo, de manera recíproca,
un logaritmo puede expresarse
en forma exponencial.
TIPS
En algunas textos, el número p
en la expresión logb p, recibe el
nombre de antilogaritmo o
argumento.
PARA ARCHIVAR
Dada la expresión bx = p ⇔ x = logb p podemos decir que el logaritmoes el exponente de una potencia, siendo p un valor real positivo. La expresión logb p se leerá como: “logaritmo de p en base b“
AYUDA
Recuerda que, xn = c ⇒⇒ x cn=
Ejemplos
a. Calcula el valor de log7 343.
log7 343 = x ⇔ 7x = 343 = 73 ⇒⇒ x = 3 ⇒⇒ log7 343 = 3
b. Obtener el valor de x en logx 32 = 5.
logx 32 = 5 ⇒⇒ x5 = 32 ⇒⇒ ⇒⇒ x = 2x = 325
U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 80
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
81Función Potencia y Logarítmica
PARA ARCHIVAR
En relación a la base de un logaritmo:- es siempre positiva;- el número 1 no puede ser considerado como base de un logaritmo.En general, la base de un logaritmo es un número real positivo distintode 1. Es decir, en la expresión logb p, la base b pertenece a los �+ – {1}.
TIPS
Los logaritmos más utilizados
son los logaritmos decimales (de
base 10) que se denotan escri-
biendo simplemente log.
Por convención matemática se
ha establecido que cuando la
base del logaritmo es 10, se
puede representar por la
expresión log (x). Entonces,
log10 (x) = log (x). Sin embargo,
hay libros que no la utilizan, ya
que no existe una única
notación universal, pero en este
texto la ocuparemos.
TIPS
Se denomina sistema logarítmico
al conjunto de todos los logarit-
mos que tienen la misma base.
Ejemplo:
log3 3, log3 5, log3 27 y log3 81
son logaritmos del sistema de
base 3.
Base de un logaritmo
Revisemos algunas particularidades de los logaritmos.
Ejemplo 1: Base positiva.
¿Qué podrías concluir?
Ejemplo 2: Base negativa.
¿Cuánto resulta log(–2) 8?Sea x = log(–2) 8, entonces (–2)x = 8 = 23
No existe un valor real de x, tal que (–2)x sea igual a 8.
Ejemplo 3: Base igual a 1.
¿Cuánto resulta log1 5? ¿Cuánto resulta log1 ?
Sea x = log1 5 Sea x = log1
entonces, 1x = 5 entonces, 1x =
No existe un valor real de No existe un valor real de x,
x, tal que 1x sea igual a 5. tal que 1x sea igual a .
¿Será una restricción considerar 1 como base de un logaritmo?
14
14
14
14
¿Cuánto resulta log8 512?
Sea x = log8 512
entonces, 8x = 512 = 83
⇒ x = 3
¿Cuánto resulta log 64?
Sea x = log 64
entonces, � �x
= 64 = 26
� �x
= � �–6
⇒ x = –612
12
12
12
12
IR A LA WEB
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U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 81
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
82 Función Potencia y Logarítmica
CONTENIDOS
Propiedades de los logaritmos
Ya vimos que un logaritmo es el exponente de una potencia y, por lo tanto,puede ser escrito en forma exponencial. O sea, a partir de las propiedadesde las potencias, se pueden demostrar las propiedades de los logaritmos.Para las propiedades consideraremos un sistema logarítmico de base b,donde b pertenece a los �+ – {1}. Las propiedades son las siguientes.
1. Logaritmo de la unidad
logb 1 = 0
Ejemplo: log5 1 = 0
3. Logaritmo de una potencia
logb an = n • logb a
Ejemplo:
log2 43 = 3 • log2 4 = 3 • 2 = 6
5. Logaritmo de un producto
logb (a • c) = logb a + logb c
Ejemplo:
log2 24 = log2 (4 • 6)
= log2 4 + log2 6
= 2 + log2 6
7. Logaritmo de una potenciacon igual base
logb bn = n
Ejemplo
log6 63 = 3
Revisemos algunas demostraciones de las propiedades anteriores.
Propiedad 1 Propiedad 7
logb 1 = x ⇔ bx = 1 logb b = x ⇔ bx = bn ⇒ b(x – n) = 1
bx = b0 ⇒ x = 0 ⇒ x – n = 0 (b ≠ 1)
�� logb 1 = 0 x = n
�� logb b = n
TIPS
En relación a las propiedades de
los logaritmos se debe tener
presente lo siguiente:
logb (p • q) ≠ logb p • logb q
logb (p + q) ≠ logb p + logb q
logb (p – q) ≠ logb p – logb q
≠ pq
logb plogb q
AYUDA
Dado un determinado logaritmo
podemos encontrar su valor con
una calculadora científica.
Observa atentamente.
Ejemplo 1. Logaritmo decimal.
Calcular log 20,6.
En algunas calculadoras debes
seguir los siguientes pasos:
1º Anota el número (20,6).
2º Pulsa la tecla log
El valor es 1,313…
En otras calculadoras, se procede
primero con el paso 2º y luego 1º.
Ejemplo 2.
Para calcular el valor de log3 7,
primero se debe hacer un cam-
bio de base, ya que la base del
logaritmo no es 10.
Entonces, x = log3 7 ⇒⇒ x =
Con este cambio a base 10, basta
obtener el cociente entre los va-
lores del log 7 y log 3.
log 7log 3
2. Logaritmo de la base del sistema
logb b = 1
Ejemplo: log3 3 = 1
4. Logaritmo de una raíz
logb = • logb a
Ejemplo:
log4 = • log4 4 = • 1 =
6. Logaritmo de un cociente
logb � � = logb a – logb c
Ejemplo
log3 � � = log3 81 – log3 243
= 4 – 5 = – 1
8. Fórmula de cambio de base
logb B =
para todo b, c, B > 0; b, c ≠ 1
Ejemplo
log2 5 = log5log2
logc Blogc b
81243
ac
56
56
56
456
mn
amn
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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
83Función Potencia y Logarítmica
EJERCICIOS
1. Calcula cada uno de los siguientes logaritmos.
a. log9 243 f. log6
b. log2 128 g. log
c. loga a9 h. loga
d. log0,7 0,343 i. log8 16
e. log16 8 j. loga
2. Dada cada expresión, encuentra el valor de x.
a. log2 x = 6 c. log x = –2
b. log0,3 x = 3 d. log0,004 x = –3
3. Calcula el valor de cada una de las siguientes
expresiones.
a. log4 64 + log 1.000 + log5 125
b. log – log + log 10.000
c. 2log5 25 – 3log7 49 + 4log8 4.096
d. 2 log 100.000 – 2 log4 256 + 4 log2 32
4. Desarrolla cada una de las siguientes expre-
siones, utilizando propiedades.
a. logp
b. logm
c. logb (x2 – 9x – 22)
d. logb (100x8 – 80x7 + 16x6)
e. logb (x3 + y3)2
5. Utilizando calculadora encuentra el valor de
las siguientes expresiones.
a. log 4 b. log6 7 c. log7 9 d. log6 11
6. Demuestra las siguientes propiedades.
a. logb an = n • logb a
b. logb = • logb a
c. logb (a • c) = logb a + logb c
d. logb � � = logb a – logb c
7. Reduce cada una de las siguientes expresiones
a un solo logaritmo.
a. 2logb 3 + 3logb 2
b. logb c – 6logb a
c. logb a – logb c – logb d + logb e
d. logb c + logb a – 1
e. logm a – 2logm b + logm c – 3logm d
f. logb (x2 + 1) + logb (x + 1) + logb (x – 1)
g. logp (x + y + z) – 4logp (x – y – z)
h. logp (x + 3) – 4logp (x – 2)
8. Si log6 2 = A, log6 3 = B y log6 5 = C, expresa
en términos de A, B y C.
a. log6 5.400
b. log6 90
c. log6
d. log61.08032.400
216
14
34
13
35
23
23
34
23
34
12
ac
mn
amn
83
(a – b)3 c4
(d + f) .
a2 b4 c5
d2
125216
56
49
23
34
a25
a8
94
32
136
1
5
U3 Pág. 68 - 93 29/11/06 17:18 Page 83
Función logarítmica
Para estudiar las características de la función logarítmica, graficaremos en
Javamath, algunas de ellas.
Caso I. Consideremos la función logaritmica: f(x) = logb (x), con b > 1.Grafiquemos en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones: f1(x) = log2 (x), f2(x) = log3 (x), f3(x) = log4 (x) y f4(x) = log5 (x).
Si observamos los gráficos de las funciones anteriores, podemos generalizarcon respecto a la función f(x) = logb (x) que para b > 1:
• La curva asociada a la función logarítmica intersecta al eje de las abscisasX en el punto (1, 0).
• La función es creciente para todo valor real de x.• El dominio de la función son los números reales positivos: �+
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
84 Función Potencia y Logarítmica
CONTENIDOS
EJERCICIOS
1. Utilizando Javamath, grafica las siguientes
funciones. Luego, responde en tu cuaderno.
i. f(x) = log5 (x) iii. f(x) = log15 (x)
ii. f(x) = log10 (x) iv. f(x) = log20 (x)
a. ¿Qué semejanzas y diferencias observas
entre las gráficas? Justifica.
2. Dada la función y = log7 (x), grafícala y deter-
mina observando el gráfico, el valor aproximado
a las décimas de los siguientes logaritmos.
a. log7 (4) c. log7 (10)
b. log7 (7) d. log7 (2)
AYUDA
El programa Javamath acepta como
expresiones válidas los siguientes
logarítmos: log10 y log2 .
Para escribir expresiones en el
computador debes usar lo si-
guiente:
f(x)=log10 x ⇒⇒ f(x)=log10(x)
f(x)=log2 x ⇒⇒ f(x)=log2(x)
Para otras base deberás usar
cambio de variable:
f(x)=log3x⇒⇒ f(x)=log10(x)/log10(3)
La función logarítmica se representará por f(x) = logb (x), donde labase b es un valor perteneciente a �+ – {1}.
X
Y
U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 84
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
85Función Potencia y Logarítmica
Caso II. Consideremos la función f(x) = logb (x), con 0 < b < 1.En un mismo sistema de coordenadas grafiquemos las siguientes funciones:f1(x) = log (x), f2(x) = log (x), f3(x) = log0,6 (x) y f4(x) = log0,75 (x).
Observando las gráficas anteriores de la función, con 0 < b < 1, se puedegeneralizar lo siguiente:
• la curva asociada a la función logarítmica intersecta al eje de las abscisasX en el punto (1, 0).
• La función es decreciente para todo valor real de x.• Los reales positivos son el dominio de la función: �+.
¿Qué conclusiones puedes sacar de ambos casos?
12
13
PARA ARCHIVAR
La función logarítmica, f(x) = logb (x), tiene las siguientes características: - El dominio de la función son los números reales positivos.- El conjunto de valores que puede tomar la variable y (recorrido) es �.- La curva asociada a la función, intersecta al eje de las abscisas en el
punto (1, 0).
Si b > 1, entonces la función Si 0 < b < 1, entonces la funciónes creciente. es decreciente.
IR A LA WEB
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www.santillana.cl/emedia/mat4
X
Y
X X
Y Y
U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 85
EJERCICIOS
1. Dada la función logarítmica f(x) = log2 (x),
determinar:
a. f(4) e. f� �b. f(16) f. 2f(2) – 6f� �c. f(32) g. 2f(4) + 3f(32) – f� �d. f� � h. 2f(128) – 8f� �
2. Determina si las siguientes proposiciones son
verdaderas o falsas. Justifica las falsas.
a. La función f(x) = log(x) es creciente.
b. La gráfica de la función f(x) = log3 (x)
pasa por el punto (2, 9).
c. Una función logarítmica es decreciente
para valores negativos de x.
d. Una función logarítmica es siempre
creciente.
e. La gráfica de una función logarítmica es
siempre simétrica con respecto al eje
de las abscisas.
f. El punto, (1, 0) pertenece a cualquier
función logarítmica.
1128
18
18
12
164
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
86 Función Potencia y Logarítmica
CONTENIDOS
Distintas gráficas de la función logarítmica
Ya conocida la función f(x) = logb (x), con b perteneciente a �+ – {1},
analizaremos distintas gráficas según sea el caso.
b = 10 y a > 0
f1(x) = log (x)
f2(x) = 2 log (x)
f3(x) = 4 log (x)
f4(x) = 0,5 log (x)
b = 10 y a < 0
f1(x) = log (x)
f2(x) = –3 log (x)
f3(x) = –5 log (x)
f4(x) = –0,3 log (x)
b = 2 y a > 0
f1(x) = log2 (x)
f2(x) = 2 log2 (x)
f3(x) = 4 log2 (x)
f4(x) = 0,5 log2 (x)
b = 2 y a < 0
f1(x) = log2 (x)
f2(x) = –3 log2 (x)
f3(x) = –5 log2 (x)
f4(x) = –0,3 log2 (x)
Caso I. Función logarítmica f(x) = a logb (x) con a perteneciente a �.Graficaremos las siguientes funciones.
f3(x)
f2(x)f1(x)f4(x)
f3(x)
f2(x)
f1(x)f4(x)
f3(x)
f2(x)
f1(x)
f4(x)
f3(x)
f2(x)f1(x)f4(x)
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 86
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
87Función Potencia y Logarítmica
Observamos, en las gráficas anteriores, que dada la función f(x) = a logb (x),con b perteneciente a �+ – {1} que:
• Si a > 0, la gráfica de la función será siempre creciente.• Si a < 0, la gráfica de la función será siempre decreciente.
¿Qué otras conclusiones se podrían obtener de las gráficas anteriores?
con
En el caso II, observamos que las gráficas corresponden a traslaciones hori-zontales de la función f1(x) = log (x) y según sea el valor de a, positivo onegativo, la traslación es hacia la izquierda o hacia la derecha, respectiva-mente.
En las gráficas del caso III, las traslaciones son verticales, hacia abajo o haciaarriba, según sea el valor positivo o negativo de a.
EJERCICIOS
1. Utilizando algún programa computacional
grafica las siguientes funciones logarítmicas.
Luego indica el tipo de traslación en relación a
la función f(x) = log (x).
a. f(x) = log (x) + 4 c. f(x) = –log (x + 1)
b. f(x) = log (x – 5) d. f(x) = 2 log (x) – 3
2. Grafica las siguientes funciones, y luego responde.
i. f(x) = log (x – 1) + log (x + 1)
ii. f(x) = log (x + 2) + log (x – 2)
iii. f(x) = log (x – 3) + log (x + 3)
a. ¿Qué regularidad observas entre las gráficas?
b. ¿Cuál es el dominio de cada función?
c. ¿Las funciones son crecientes o decrecientes?
3. Grafica en un mismo sistema de coordenadas
las siguientes funciones, y luego responde.
i. f(x) = log (x) y f1(x) = –log (x)
ii. g(x) = log2 (x) y g1(x) = –log2 (x)
iii. m(x) = log (x – 4) y m1(x) = –log (x – 4)
a. ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras
entre las gráficas de las funciones de i?,
¿y de ii?, ¿y de iii?
b. En las funciones de i, ii y iii, ¿cuál es
el punto de intersección con el eje X?
c. ¿Cuál es el dominio de las funciones i, ii
y iii?
Caso II. Sea f(x) = logb (x + a), con a ∈ �.
Para b = 10
f1(x) = log (x)
f2(x) = log (x + 1)
f3(x) = log (x – 1)
Caso III. Sea f(x) = logb (x) + a, con a ∈ �.
Para b = 10
f1(x) = log (x)
f2(x) = log (x) + 3
f3(x) = log (x) – 3
EN EQUIPO
Discutan la siguiente pregunta.
En el caso II o III, ¿cambiará la
gráfica de la función si la base
del logaritmo toma otro valor?
Justifiquen su respuesta.
f2(x)
f2(x) f1(x) f3(x)
f1(x)
f3(x)
X
Y
X
Y
U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 87
EJERCICIOS
1. Completa.
a. log (googol)
b. log (log googol)
c. log log log (googolplex)
2. Verifica la siguiente afirmación:
“El número de dígitos de un número n está entre
log n y (log n + 1) o, dicho de otra manera: si
n > 0, entonces n tiene [log n] + 1 dígitos,
donde [log n] equivale a la parte entera”.
a. Determina el número de dígitos de 2195.
b. ¿Qué número es mayor: 6970 o 7069?
3. El número de configuraciones de un cubo de
Rubik es, según la matemática de conteo:
227• 314
• 53• 72
• 11
a. Demuestra que este número tiene 20 cifras.
b. ¿Es mayor o menor que 43 trillones?
4. Demuestra que:
log (hectoplex-plex) = googol
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
88 Función Potencia y Logarítmica
CONTENIDOS
Profundizando en los logaritmos
Googol y grandes números
En muchas ocasiones es necesario trabajar con grandes cantidades, por estoa lo largo del tiempo se han establecido algunas abreviaturas para expresardichas cantidades de manera más sencilla.
En 1930, Edward Kasner popularizó el número “googol”, es decir, unnúmero que tiene 100 ceros: 10................0.
En 1953 un comité internacional de pesos y medidas sugirió las siguientesdenominaciones (n – plex es 10n):
Ejemplo
Calculemos log (n – plex). Sabemos que n – plex equivale a 10n, entonces:
log (n – plex) = log 10n
= n log 10= n
entonces log (n – plex) = n
HISTORIA
Arquímedes
(287 a. C. - 212 a. C.)
Arquímedes, el sabio griego de
la Antigüedad, estaba interesa-
do en determinar la cantidad de
granos de arena que cabrían en
el Universo y afirmaba que
aunque podría ser un número
muy grande, no significaba que
fuese infinito.
10 mil millones
googol
dekaplex
hectoplex
kiloplex
megaplex
gigaplex
teraplex
googolplex
1010
10100
10 1.000
10 1.000.000
10 1.000.000.000
10 1.000.000.000.000
10 goolgol o hectoplexplex
U3 Pág. 68 - 93 29/11/06 17:18 Page 88
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
89Función Potencia y Logarítmica
EJERCICIOS
1. Dada la función y = ln x, calcula utilizando
calculadora científica, el valor de y para los
siguientes valores de x.
a. 1 b. 2 c. 5 d. e.
2. Usa una calculadora científica para resolver.
a. ln 2
b. Calcula 2� + • + • �c. ¿Qué sucede si agregas más términos a la
suma en b?
d. Escribe la suma del ejercicio b con 7 térmi-
nos y determina la diferencia entre este
valor y el de ln 2.
3. En los siguientes gráficos aparece la función
y = f(x) = para x > 0.
Usando las áreas achuradas, completa:
a. < ln 2 <
b. ¿Qué sucede con la precisión de ln 2 si
aumentas la división del intervalo [1, 2]?
1x
135
15
133
13
13
15
12
Logaritmo natural o neperiano
Entre las funciones logarítmicas, merece especial importancia aquella quetiene como base el número irracional e. La denotaremos por y = loge x, obien y = ln x y se lee "logaritmo natural de x".
El gráfico de esta función es el siguiente:
Sabemos que e > 1, por lo tantosus características son similaresa las funciones logarítmicasde bases mayores que 1.
AYUDA
Neper concibió los logaritmos
como el área bajo la curva. Así ln u
es el valor numérico del área
bajo y = entre 1 y u.1x
AYUDA
Recuerda quee �� 2,7182818
PARA ARCHIVAR
Sea y = logb x, con b = e �� 2,7182…., entonces loge x se representa porln x y se llama logaritmo natural de x. Además, ln 1 = 0 y ln e = 1.
y
y =
xu1
1x
Y
y =
X21 1,5
1x
Y
y =
X21 1,5
1x
X
Y
U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 89
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
90 Función Potencia y Logarítmica
CONTENIDOS
Ecuaciones logarítmicas con una incógnita
Ejemplos: log (x + 1) = 1 log (2x + 3) = log (x + 2)
En general, para resolver una ecuación logarítmica con una incógnita, hayque escribirlas de la forma, logb f(x) = logb g(x), donde f(x) y g(x) son expre-siones que contienen a la incógnita. Como la función y = logb (x) es “uno auno” (inyectiva), es decir, existe un único valor de y para cada valor de x,entonces: logb f(x) = logb g(x) ⇔ f(x) = g(x).Lo anterior, junto con las propiedades de los logaritmos, nos permitiráresolver una ecuación.
Ejemplo 1log (x + 4) = log 2 + log (x + 1)
log (x + 4) = log (2 • (x + 1))
log (x + 4) = log (2x + 2)
x + 4 = 2x + 2
x = 2
Verificaremos la solución, remplazando x = 2 en la ecuación:
log (x + 4) = log (2 + 4) = log 6 = log 2·3 = log 2 + log 3 = log 2 + log (2+1)
Por lo que x = 2 satisface la ecuación.
Ejemplo 2log (x2 – 18) = log 3 + log x
log (x2 – 18) = log (3x)
x2 – 18 = 3x
x2 – 3x – 18 = 0
(x – 6) (x + 3) = 0
x = 6 y x = –3
Al remplazar x = 6 obtenemos: log (62 – 18) = log 3 • 6. Por lo tanto satisfacela ecuación logarítmica. Por otra parte, al tomar x = –3 se obtiene el loga-ritmo de un número negativo (–9) para el cual la función logarítmica no estádefinida. Por lo tanto, x = –3 no es solución de la ecuación.
Se denomina ecuación logarítmica con una incógnita a una igualdaden la que intervienen logaritmos y donde dicha incógnita formaparte del argumento (antilogaritmo), de al menos uno de ellos.
AYUDA
Las soluciones de una ecuación
logarítmica deben ser compro-
badas ya que esta función solo
admite valores positivos, y
podría ocurrir que el valor
encontrado no satisfaga esta
condición.
Las ecuaciones logarítmicas nos
permiten calcular, mediante la
expresión pH = log [H+], el pH
de una concentración acuosa.
Aplicamos propiedades de los logaritmos.
Desarrollando el paréntesis e igualando.
“Eliminamos” los logaritmos por ser la funciónuno a uno .
Aplicando las propiedades de los logaritmos.
Igualando el argumento de ambos logaritmos.
Al resolver esta ecuación de grado 2 seobtienen 2 soluciones.
U3 Pág. 68 - 93 29/11/06 17:18 Page 90
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
91Función Potencia y Logarítmica
EJERCICIOS
1. Obtén el valor de x en los siguientes casos.
a. log2 128 = x c. logx 100 =
b. log343 = x d. log2 322 = x
2. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.
a. log x = log 7
b. log x = 4
c. log x – log 2 = 3
d. log x + log 7 = log 4
e. 6 log x = log 64 + log
f. log � � = 1
g. log (x + 3) + log (x – 5) = 2log (x – 6)
h. log (3x – 4) – log x+ log 5 = log (15x + 2) – log (x + 2)
i. log (x + 5) = log 2
j. log (6x + 5) + log (2x + 7) = log (3x + 4) + log (x + 5)
k. log (x + 7) – log (x + 5) = log (x2 + 10x + 25)
l. log x + 2log x + log x3 – 5log x = 2
m. log3 [log3 (5x + 2)] = 1
n. log2 [log2 (5x + 6)] = 2
ñ. log2 {log2 [log2 (2x – 8)]} = 0
o. log3 {log3 [log3 (x + 25)]} = 0
p. log (x – 4) + log x = log 5
q. 2log (2x – 1) – 2 = –2log (3x – 4)
r. log5 (5x – 4) – log5 (2x – 7) = 2
s. log � – x� = log � � – log x
t. = 2
u. log + log = log 30
v. log2 x + log2 6 = log2 30 – log2 5
w. log (log x3) = –1
x. log7 = log7 xx + 1
x − +5 12 3x −
log4 (x2 + 8)log4 (x + 3)
92
92
12
12
12
15
3 – x2
2x + 10
x4
7
12
Ejemplo 3
log(x2 – 1) = log (x – 1)
log(x2 – 1) = log (x – 1)
x2 – 1 = x – 1
x2 – x = 0
x(x – 1) = 0
x = 0 y x = 1
Para x = 0 obtenemos log (–1), que ya sabemos que no está definido.
Para x = 1 obtenemos log (0), que también está indefinido.
Por lo tanto, la ecuación logarítmica no tiene solución real, aunque desdeel punto de vista técnico se obtuvieron valores. De aquí la importancia decomprobar tus resultados.
Igualando los argumentos de ambos logaritmos.
Resolviendo la ecuación de segundo grado.
U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 91
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
92 Función Potencia y Logarítmica
CONTENIDOS
Aplicaciones de los logaritmos
La variación de la masa de cierta cantidad de Carbono–14, a través del tiempo,puede calcularse, aproximadamente, aplicando la siguiente función:
M(t) = Mi • 0,886t
donde Mi (en gramos) es la masa inicial, t (en miles de años) es el tiempotranscurrido y M (en gramos) es la masa de carbono que queda como conse-cuencia de la desintegración radiactiva.Utilizando esta expresión puedes calcular la edad aproximada de cualquierfósil.
Ejemplo
Supongamos que se halló un fósil con 100 g de Carbono–14 y se sabe quecuando estaba vivo, contenía 200 g de Carbono–14. ¿Cuántos años deantigüedad tiene?
Resolvamos este problema con la ayuda de logaritmos.
100 = 200 • 0,886t
= 0,886t
log = t log 0,886
t =
t �� 5,788
Entonces, el fósil tiene aproximadamente 6.000 años.
Así como en la situación anterior, existen variadas aplicaciones de los loga-ritmos, en otras áreas del conocimiento, como por ejemplo, física,psicología, música.
12
12
EJERCICIOS
1. Los químicos miden el pH de una solución
(condición de ácido o base) mediante la fórmula:
pH = –log [H+], donde [H+] es la concentración
de iones de hidrógeno en moles por litro.
a. Muchas soluciones tienen un rango de pH
que fluctúa entre 1 y 14. ¿Qué valores de
H+ están asociados a esos valores extremos?
b. Encuentra el pH aproximado de:
i. Cerveza, [H+] = 6,31 • 10–5
ii. Sangre, [H+] = 3,98 • 10–8
iii. Vinagre, [H+] = 6,3 • 10–3
c. Si el huevo tiene un pH = 7,79, una
manzana un pH = 3,0 y el agua pura un
pH = 7,0, encuentra [H+] en cada caso.
log
log ,
12
0 886
Aplicando logaritmos.
U3 Pág. 68 - 93 7/24/09 4:03 PM Página 92
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
93Función Potencia y Logarítmica
EJERCICIOS
2. Estudios hechos por agrónomos han demostra-
do que el crecimiento de un bosque se puede
proyectar mediante la expresión:
M(t) = m (1 + i)t
en que M es la madera que habrá dentro de
t años, m la madera inicial e i la tasa de cre-
cimiento anual, que en este caso considerare-
mos como i = 0,03.
a. Si al inicio se tienen 3 há de madera,
¿cuántas há habrá dentro de 10 años?
b. Obtener una expresión para t(M).
c. ¿Cuántos años tarda en duplicarse la
madera del bosque?
3. Una famosa escala para medir la cantidad de
energía liberada por un sismo es la escala de
Richter, representada por la ecuación:
log E = 1,5R+11,8
donde E: energía liberada medida en ergios;
R: magnitud del sismo en grados de la escala Richter.
a. Calcula la cantidad de energía liberada en un
sismo de grado 6 y en un sismo de grado 7.
b. ¿Qué relación numérica existe entre ambos
valores?
c. ¿Qué aumento representa en la cantidad
de energía liberada, el aumento de un
grado en la escala Richter? Si el aumento
fuera de dos grados, ¿cómo aumenta la
energía liberada?
d. El terremoto de mayor magnitud registrado
corresponde al ocurrido en 1960 en la ciudad
de Valdivia, el cual fue de 9,5 grados Richter.
¿Cuál fue la energía liberada por este sismo?
e. Averigua acerca de otros terremotos
ocurridos en nuestro país y compara su
magnitud con el terremoto de Valdivia.
(Puedes encontrar información acerca de sismos
en la página web del Servicio Sismológico de la
Universidad de Chile http://ssn.dgf.uchile.cl/)
4. El nivel de decibeles del sonido (db), se puede
calcular mediante la siguiente fórmula:
D = 10 log (l • 1012)
donde l corresponde a la intensidad del sonido
medido en .
a. Si se duplica la intensidad del sonido ¿cómo
cambia el nivel de decibeles del sonido?
b. El umbral auditivo es la mínima intensidad
de sonido que podemos oír, y corresponde
a 10–12. Demuestra que el nivel de decibeles
del umbral auditivo es cero.
c. En una multitienda se vende un equipo
musical que tiene 1.000 de salida.
¿A qué nivel de decibeles corresponde esta
intensidad?
d. Si en la misma tienda se vende otro equipo
musical cuya intensidad es de 2.000 ,
¿corresponde al doble del nivel de decibeles
del equipo anterior?
e. Completa la siguiente tabla.
f. ¿Qué medidas implementarías para
disminuir la contaminación acústica?
Discútelo con tus compañeros.
wattsm2
wattsm2
wattsm2
Fuente Intensidad Decibeles
Susurro 10–10
Tráfico callejero 10–5
Posible daño auditivo 10–3,5
Cercano a un trueno 120
Umbral del dolor 130
Perforación
instantánea 160
del tímpano
Concierto de rock 101
U3 Pág. 68 - 93 29/11/06 17:18 Page 93
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
94 Función Potencia y Logarítmica
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio 1
Considera la figura:
Demuestra que logh q + logh p = 2
Solución
Realizaremos un cambio de base.
logh q = logh p =
Entonces, remplazando en la expresión inicial:
Ahora aplicaremos el teorema de Euclides:
h2 = p • q
log h2 = log (p • q)
2 log h = log p + log q
2 =
Hemos demostrado que: logh q + logh p = 2
Ejercicio 2
Si u3 – v• w5v = uv + 5
• w3v, demuestra que v log � � = log u.
Solución
u3 – v• w5v = uv + 5
• w3v,
(3 – v) log u + 5v log w = (v + 5) log u + 3v log w
3 log u – v log u + 5v log w = v log u + 5 log u + 3v log w
3 log u – v log u – v log u – 5 log u = 3v log w – 5v log w
–2v log u – 2 log u = –2v log w
–2 log u = –2v log w + 2v log u
log u = v log w – v log u
log u = v(log w – log u)
log u = v log � �wu
wu
log p + log qlog h
log plog h
log qlog h
Igualdad a demostrar.
Aplicamos logaritmo.
Aplicamos logaritmo.
Factorizamos.
Q.e.d.
Es equivalente a la
expresión original.
Reducimos términos
semejantes.
Dividimos toda la
expresión por –2.
qp
h
+ = 2 ⇒ = 2 log q + log p
log hlog plog h
log qlog h
U3 Pág. 94 - 103 6/30/08 11:03 PM Página 94
Ejercicio 3
Si log = p calcula log a en función de p.
Solución
log = p
log a = p
log a = p
log a = 3p
Por otro lado, la expresión log a puede ser escrita como log a, luegoremplazando tenemos:
log a = • 3p = p
Entonces, log a = p.
Ejercicio 4
Demuestra que ax = bx logb a.
Solución
x log a = x log a
x log a = x • log b
x log a = x logb a • log b
x log a = (x log b) • logb a
x log a = logb ax log b
Podemos observar que la expresión resultante es una identidad, por lotanto, la expresión original ax = bx logb a, es verdadera.
log alog b
65
25
65
25
25
25
25
13
13
a3
25a3
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
95Función Potencia y Logarítmica
Aplicamos propiedades
de logaritmos.
Recuerda que: a a313=
Aplicamos las propiedades.
Realizamos un cambio
de base.
Multiplicamos por log blog b
U3 Pág. 94 - 103 7/28/09 12:45 PM Página 95
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
96 Función Potencia y Logarítmica
DESAFÍOS
1. (Ensayo PSU, 2004) Si f(x) = xa + 1 y f(2) = 9,
entonces a =
A. 9
B. 4
C. 3
D. 2
E.
2. (Ensayo PSU, 2004) Al aplicar la definición de
logaritmo a la expresión log3 2 = a resulta:
A. a3 = 2
B. a2 = 3
C. 23 = a
D. 32 = a
E. 3a = 2
3. (Facsímil PSU, Demre, 2004) Las raíces o
soluciones de la ecuación x(x – 1) = 20 son:
A. 1 y 20
B. 2 y 20
C. 4 y 5
D. 4 y –5
E. –4 y 5
4. (Facsímil PSU, Demre, 2004) La trayectoria de
un proyectil está dada por la ecuación:
y(t) = 100t – 5t2
donde t se mide en segundos y la altura y(t) se
mide en metros. ¿En cuál(es) de los siguientes
valores de t estará el proyectil a 420 m de
altura sobre el nivel del suelo?
I. 6 segundos
II. 10 segundos
III. 14 segundos
A. Solo I D. I y II
B. Solo II E. I y III
C. Solo III
5. ¿Cuál de las siguientes figuras representa la
gráfica de las rectas 3x + y = 4 y x + y = 0?
A.
D.
B.
E.
C.
6. Facsímil PSU, Demre, 2004) Si g(x) = 3a – 2x,
donde a es número real fijo mayor que cero,
representa los gastos de una persona, entonces
cuando x varía entre y el gasto varia
entre:
A. 2a y a
B. a y a
C. 3a y 2a
D. 3a y a
E. a y 2a52
52
52
a2
a4
8
2
4
2
4
22
2
–2
–2
4
4
–2
–2
Y
Y
Y
Y
Y
X
X
X
X
X
U3 Pág. 94 - 103 6/30/08 11:03 PM Página 96
Modelación matemática
Cuando el físico M. Faraday presentó su descubrimiento, inmediatamente alguien le preguntó:“¿Para qué sirve?” A lo que él respondió: “¿Para qué sirve un recién nacido?”Todo quedó ahí hasta que 50 años después, en 1881, T. A. Edison, basándose en las teorías deFaraday, inauguraba la primera planta eléctrica de Nueva York.En otro lugar en el tiempo, Einstein propone las ecuaciones matemáticas que rigen el Universo,permitiendo así escudriñar hasta su último rincón.Son muchos los ejemplos y el denominador común es uno solo: las matemáticas describeninexorablemente a las Ciencias Naturales. Hoy en día, en diversas partes del mundo, Chile incluido,existen centros de “modelamiento matemático” que se dedican a estudiar problemas que, de sersolucionados significan una avance que incide en el bienestar de todos.
1. Averigua acerca de las instituciones que se dedican al modelamiento matemático en Chile.Debes indicar el área de investigación (minería, transporte, recursos, etc.) y el financiamientoutilizado.
2. Desarrolla una investigación sobre los triunfos del pensamiento humano que aportaron aldesarrollo de la civilización tal como la conocemos hoy y para los cuales la matemática fuedecisiva. Abarca desde los griegos hasta nuestros días.
Michael Faraday
(1791 - 1867)
Nacido en los turbu-
lentos días de la Revo-
lución Francesa, a los 13
años comienza a tra-
bajar como ayudante de
encuadernación. Se pue-
de señalar que en esta
etapa de su vida comien-
za su proceso de educa-
ción, lo cual le llevaría a
ser el más importante de
los experimentadores del
siglo XIX. Su ejemplo, es
la prueba de la completa
independencia entre el
genio creador y la forma-
ción escolar tradicional.
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
97Función Potencia y Logarítmica
MEDIOS
U3 Pág. 94 - 103 29/11/06 17:19 Page 97
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
98 Función Potencia y Logarítmica
SÍNTESIS
Mapaconceptual
Resumen
Construye tu mapa conceptual que relacione al menos los conceptos clavedados.
Conceptos clave:
Función
Dominio
Recorrido
Función potencia
Logaritmo
Función logarítmica
Logaritmo natural
1 Función: es aquella correspondencia entre variables que asocia a cada
valor de la variable independiente (x) un único valor de la variable
dependiente (y).
2 Dominio: conjunto de todos los valores que puede tomar la variable
independiente.
3 Recorrido: conjunto de todos los valores que puede tomar la variable
dependiente.
4 Función periódica: una función f es periódica de período T, si T es el
menor número positivo tal que x + T está en el dominio de la función y
f(x) = f(x + T). Gráficamente se puede observar que la función se repite
en intervalos de largo T.
5 Función inversa: función inversa de f(x) = y corresponde a la función g
que toma el elemento y y lo devuelve a x de tal forma que
f(g(x) = g(f(x)) = x.
6 Función potencia: está dada por y = axn, donde a es un número real
distinto de cero y n pertenece a los naturales.
U3 Pág. 94 - 103 6/30/08 11:03 PM Página 98
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
99Función Potencia y Logarítmica
7 Logaritmo: es el exponente de una potencia. Además,
Si by = x ⇔ y = logb x
Por otra parte, en la expresión logb x, llamaremos base del logaritmo a
b (b pertenece a �+ – {1}), y argumento a x.
8 Algunas propiedades de los logaritmos son:
a. logb 1 = 0
b. logb b = 1
c. logb (a • c) = logb a + logb c
d. logb � � = logb a – logb c
e. logb an = n logb a
f. logb = logb a
g. logb bn = n
h. logb a = : cambio de base
9 Función logarítmica: esta función está dada por f(x) = logb x, donde
b pertenece a �+ – {1}, cuyo dominio son los reales positivos y su
recorrido el conjunto de los números reales.
Además:
Si b > 1, el gráfico Si 0 < b < 1, el gráfico
de la función está dado por: de la función está dado por:
10 Logaritmo natural: corresponde a y = loge x, con e �� 2,7182 y se puede
representar como ln x.
logc alogc b
mn
amn
ac
Y
XX
Y
U3 Pág. 94 - 103 6/30/08 11:03 PM Página 99
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
100 Función Potencia y Logarítmica
EVALUACIÓN
1. El dominio de f(x) = es:
A. ]1, 2[ D. � – {1, 2}
B. ]–∞∞, 2[ E. �
C. ]–∞∞, 1] U [2, +∞∞[
2. El dominio de f(x) = es:
A. ]–∞∞, 1[ U [2, +∞∞[
B. ]–∞∞, 1[ U ]2, +∞∞[
C. � – {0, 1, 2}
D. ]1, 2[
E. �
3. La función inversa de g(x) = x3 + 1 es:
A. D.
B. E.
C.
4. Si h(x) = x3 y k(x) = 3x – 4, entonces
(k–1 o h–1) (8) es:
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
E. Ninguna de las anteriores.
5. Si f(x) = 2x + 3, entonces f–1 (33)
A. 15 D. 69
B. 18 E. 70
C. 30
6. El recorrido de f(x) = 2x2 + 5, con x � 0 es el
conjunto:
A. [5, +∞∞[
B. ]5, +∞∞[
C. �+
D. �–
E. �
x − 13
x +( )133x x+ 3
x −( )133x3 1−
x
x x−( ) −( )1 2
x x−( ) −( )1 2 7. ¿Cuál de las siguientes funciones no es
periódica?
A. y = sen x
B. y = –sen x
C. y = – sen x
D. y = sen x + 2
E. y = sen
8. ¿Cuál de los siguientes corresponden al
gráfico de la función g(x) = 2x3?
A.
B.
C.
D.
E. Ninguna de las anteriores.
1x
12
U3 Pág. 94 - 103 7/24/09 3:23 PM Página 100
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
101Función Potencia y Logarítmica
9. Si logb 3 = – , entonces el valor de b es:
A. 3–1 D. 12
B. E. 27
C. 9
10. Una expresión equivalente a
• (3 loga x – 5 loga y – 30 loga z) es:
A. loga
B.
C.
D.
E. N.A.
11. Si logb 16 = –2, entonces el valor de b es:
A. D. 2
B. y – E. 4 y –4
C. 4
12. Si pH = –log [H+], halla la concentración de
H+ si el pH de una sustancia es 6,8.
A. 1,58 • 10–7 D. 6,8 • 10–7
B. –6,8 E. 1,58 • 107
C. 6,8 • 107
13. La solución de la ecuación log3 3x2
= 1 es:
A. 0 D. 3
B. 1 E. Todos los reales.
C. 1 y –1
14
14
14
logax
y z
3
5 30+
logax
y z3
5 30+
logax
y z
3
5 30+
3x5y + 30z
12
127
13
14. Encuentra el valor de x en la ecuación
log2 x + log2 x = 2
A. x = 0 D. x = 3
B. x = 1 E. x = 2,5
C. x = 2
15. La siguiente fórmula relaciona los decibeles
según la potencia de un amplificador
D = 10 • log(l • 1012) (con I: intensidad).
Si en un amplificador de sonido triplicamos la
potencia, ¿en cuánto aumentan los decibles?
A. Aproximadamente 4 unidades.
B. Aproximadamente 5 unidades.
C. Aproximadamente 10 unidades.
D. Aproximadamente 12 unidades.
E. Ninguna de las anteriores.
16. Si en el mismo amplificador se aumenta de
I a 5I, ¿cuántos decibeles aumenta D?
A. 5 D. 15
B. 7 E. 70
C. 10
17. Si A = log x con x > 1, B = log �1 + � y
C = log (1 + x), entonces se cumple:
A. A + B = C D. A + B + C = 0
B. A + C = B E. N.A.
C. B + C = A
18. ¿Cuál de las siguientes propiedades son
siempre verdaderas?
I. a = blogb a
II. logb a • loga b = 1
III. logb • loga a = 0
A. Solo I D. II y III
B. Solo II E. Todas.
C. I y II
1a
1x
U3 Pág. 94 - 103 29/11/06 17:19 Page 101
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
102 Función Potencia y Logarítmica
EJERCICIOS DE REFUERZO
1. Grafica las siguientes funciones, considerando
como dominio el conjunto de los números
reales.
a. f(x) = 4x c. h(x) = – x
b. g(x) = 2 • 1,25x
2. Calcula la inversa de las siguientes funciones.
a. f(x) = 4 + 7x
b.
c.
d. k(x) = 10 –
3. A partir de la gráfica de la función g(x) = x5,
dibuja la gráfica de las funciones:
a. t(x) = g(x) + 4 c. v(x) = g(x + 1)
b. u(x) = g(x) – 3 d. w(x) = g(x – 2) + 5
4. Determina el recorrido y el período de las
siguientes funciones.
a. y = 2 sen x d. y = sen x + 2
b. y = –2 cos x e. y = cos x – 1
c. y = – sen x f. y = cos x
5. La gráfica siguiente muestra una función que
representa cómo varía la tensión arterial
mínima de una persona a lo largo de varios días.
a. ¿Es una función periódica? Si lo es, indica
el período.
b. Utiliza la prueba de la recta vertical, para ver
si la gráfica representa una función. Si lo es,
indica el dominio y el recorrido de la función.
6. Representa en un gráfico las funciones
trigonométricas y = cot(x), y = sec(x) e
y = cosec(x) en el intervalo [0, π]. A partir de
estas gráficas, determina:
a. si la función tiene algún período en ese
intervalo.
b. El recorrido de cada una.
c. si es posible extender el intervalo dado y
obtener igualmente una función.
7. Caracteriza el parámetro a y el exponente
n en la función y = axn, para los siguientes
gráficos:
a. c.
c. d.
8. Expresa en la forma más reducida posible.
a. log13 + log – 13
b. – log ab + log + log
c. log + log a –
9. Demuestra que:
(loga b) (logb c) (logc d)… (logm n) (logn a) = 1
para cualquier conjunto de números positivos
a, b, c,…, n distintos de 1.
10. Calcular, en cada caso, el dominio de f(x)
a. f(x)= log (log x)
b. f x x x( ) = ( ) − +log log2
5 6
ab12
b
ba12
1312
12
3 + x2
h x x( ) = +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3 517
4,
g xx( ) =
− 55
23
16
12
8
4
1 2 3 4 5
U3 Pág. 94 - 103 29/11/06 17:19 Page 102
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
103Función Potencia y Logarítmica
11. Sean x1 y x2 dos números reales positivos
tales que:
log � � = (log x1 + log x2)
Calcula el valor de: 5x1x2
12. Demuestra o refuta la igualdad:
loga x + logb x = logab x
para todo valor de x, siendo a y b positivos.
13. Las funciones logarítmicas graficadas son del
tipo y = log (x – a)
a. Halla el valor de a para cada una de ellas.
b. ¿Cuál de las gráficas corta al eje Y?
14. Analiza la validez de las siguientes
afirmaciones:
a. Los logaritmos son siempre positivos.
b. No existen logaritmos de números
negativos.
c. Los logaritmos están definidos para bases
positivas.
d. Las potencias de un número positivo son
todas positivas.
15. Considera que log 2 = 0,301030, y calcula el
valor de las siguientes expresiones:
a. b.
16. Demuestra las siguientes propiedades:
a. a = blogb a
b. logb � � + logb a = 0
c. log xn = n • log x
17. ¿En qué casos se cumple la siguiente
igualdad?
(loga b) (logb a) = 1
18. Si se verifica que log a + log b = 0, ¿cuál es la
relación entre a y b?
19. Si a, b pertenecen a �, calcula el valor de:
log a + logb � �20. Completa el siguiente cuadro:
21. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
a. log3 (3x – 2) = 2
b. log2 x2 + 3log2 x = 10
c. log (x + 3) – log (2x – 1) = 0
d. log2 (x + 1) + log2 (x – 1) = log2 8
e. ln x3 – ln x=
f. log x–1 + (log x) –1 = –
g. log8 x – log8 3 – log8 7 = 13
32
52
12
1b1
a
1a
log1
2 2
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟log
2
2
3
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
12
x1 • x23
Producto Concentración de H+ pH
Leche 6,6
Pasta de 9,9
dientes
Vino 3,162 • 10–4
–3 –1 1 3 5 7 9
Y1
X
U3 Pág. 94 - 103 29/11/06 17:19 Page 103
104 Evaluación semestral 1
1. Una distribución de datos tiene como
diagrama de barras:
A. La media es 3.
B. La mediana es 3.
C. La moda es 3.
D. La desviación media es 3.
E. La desviación estándar es 3.
2. Observa el siguiente gráfico circular
asociado a una encuesta sobre veracidad
de la información en los medios de
comunicación.
Sabiendo que 400 personas dijeron que la
información es muy veraz, ¿a cuántas
personas se encuestó aproximadamente?
A. 1.000
B. 1.600
C. 4.000
D. 8.000
E. Ninguna de las anteriores.
Para los problemas 3 a 7, consideraremos la distri-
bución de frecuencia con las alturas (en metros)
de 100 estudiantes.
3. La media aritmética es:
A. 1,658 m D. 1,6901 m
B. 1,6745 m E. Ninguna de las anteriores.
C. 1,683 m
4. La mediana es aproximadamente:
A. 1,665 m D. 1,674 m
B. 1,669 m E. 1,681 m
C. 1,671 m
5. La moda es aproximadamente:
A. 1,66 m D. 1,69 m
B. 1,67 m E. 1,70 m
C. 1,68 m
6. La desviación estándar es:
A. 0,0185 m D. 0,0304 m
B. 0,0216 m E. 0,0417 m
C. 0,0292 m
7. La desviación media es:
A. 0,0193 D. 0,0292
B. 0,0216 E. Ninguna de las anteriores.
C. 0,0227
Intervalo
1,60 – 1,62
1,63 – 1,65
1,66 – 1,68
1,69 – 1,71
1,72 – 1,74
fi
5
18
42
27
8
N = 100
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
Muy veraz
Aceptable
Poco veraz
Nada veraz
1 2 3 4 5
EVALUACIÓN SEMESTRAL 1
Eval Pág. 104-107 7/24/09 3:28 PM Página 104
105Evaluación semestral 1
EVALUACIÓN SEMESTRAL 1
8. Se lanza un dado cierta cantidad de veces y
con los valores obtenidos se construye la
tabla de frecuencias que se indica. Si la media
aritmética de los valores es 3,8, el número
total de lanzamientos es:
x fi
1 5
2 2
3 4
4 a
5 4
6 7
A. 3 D. 25
B. 4 E. Ninguna de las anteriores.
C. 19
9. Las calificaciones de un estudiante en
Química son: 5,4 – 4,8 – 6,2 y 3,5.
Si las ponderaciones son 20%, 10%, 30% y
40%, respectivamente, entonces su
promedio ponderado final será·:
A. 4,8 C. 5,0 E. 5,3
B. 4,9 D. 5,2
10. Las marcas de clase en una distribución de
frecuencias son:
126 – 135 – 144 – 153 – 162 – 171 – 180.
Entonces, el tamaño de los intervalos de
clase es:
A. 4,5 D. 10
B. 5 E. Ninguna de las anteriores.
C. 9
Para los problemas 11, 12 y 13, considera el con-junto de datos:{2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18, 20}.
11. La media aritmética es:
A. 7,4 C. 9,5 E. 11,7
B. 8,2 D. 10,1
12. La mediana es:
A. 7 C. 10 E. 20
B. 9 D. 11
13. La moda es:
A. 2 C. 9 E. 20
B. 7 D. 18
14. La desviación media del conjunto de datos
{2, 3, 6, 8, 11} es:
A. 2,8 C. 5,5 E. 6,3
B. 3,6 D. 6
15. La desviación estándar de los datos,
3 – 5 – 6 – 7 – 10 – 12 – 15 – 18, es:
A. 2,48 C. 9 E. 11,36
B. 4,87 D. 9,5
Para los problemas 16, 17 y 18, la tabla de distri-bución de frecuencias muestra los puntajes obte-nidos por 120 estudiantes de una universidad enuna prueba de álgebra.
16. El percentil P70 es:
A. 73,5 C. 82,5 E. 90,5
B. 74,9 D. 83,9
Puntaje
38 – 4647 – 55
56 – 64
65 – 73
74 – 8283 – 91
92 – 100
fi
13
1121
43329
Eval Pág. 104-107 29/11/06 17:30 Page 105
106 Evaluación semestral 1
17. El cuartil Q2 es:
A. 66
B. 67
C. 78,52
D. 83
E. Ninguna de las anteriores.
18. El decil D3 es:
A. 47,5
B. 55,5
C. 64,5
D. 73,5
E. Ninguna de las anteriores.
19. El cuartil Q3 es un valor que, ordenados
todos los datos:
A. deja por encima el 50%.
B. deja por debajo el 75%.
C. deja por debajo el 25%.
D. deja por encima el 75%.
E. Ninguna de las anteriores.
20. En una encuesta se obtiene una media
muestral x; se sabe que la desviación
estándar de la población es σσ, el tamaño de
la muestra es n y la variable tiene una
distribución normal.
El intervalo de confianza con un 99,7% de
confianza para la media µµ , está dado por:
A. � x–
– 3σσ, x–
+ 3σσ�
B. � x–
– 2σσ, x–
+ 2σσ�
C. � x–
– , x–
+ �
A. todos los números reales.
B. todos los números negativos.
C. todos los números reales mayores que 1.
D. todos los números reales, sin incluir al –1.
E. todos los números reales menores que 1.
22. ¿Cuál es el recorrido de la función que
asocia a cada número su raíz cúbica?
A. Solo los números reales positivos.
B. Todos los números reales.
C. Solo los números no negativos.
D. Solo los múltiplos de 3.
E. Solo los números naturales.
23. Si f es una función periódica y T es su
período, ¿cuál de las siguientes afirmaciones
es falsa para todo x?
A. f(x) = f(x – T)
B. f(x) = f(x + 4T)
C. f(x) = f(2x + T)
D. f(x) = f(x + 6T)
E. Ninguna de las anteriores.
24. Dada la función g, que asocia a cada
número su triple menos 2 unidades, ¿cuánto
es g(2)?
A. –2
B. 0
C. 2
D. 4
E. 63σσ3σσ
D. � x–
– , x–
+ �2σσ2σσ
E. � x–
– , x–
+ �kσσkσσ
n n
n n
nn
21. El dominio de f(x) = es:1
x + 1
EVALUACIÓN SEMESTRAL 1
Eval Pág. 104-107 29/11/06 17:30 Page 106
107Evaluación semestral 1
25. Dado el gráfico de la función h(x) = axn.
Es correcto afirmar que:
I) a es positivoII) n es parIII) a �� 0
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. I y II
E. II y III
26. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es
verdadera?
A. La gráfica de la ecuación y = xn, para
todo n par, se encuentra ubicada en los
cuatro cuadrantes del plano.
B. El gráfico de f(x) = x3 tiene forma de
parábola.
C. La gráfica de y = (x + 7)2 e y = x2 + 7 es
exactamente la misma.
D. La gráfica de la función t(x) = 5x6, se
encuentra ubicada en el primer y
segundo cuadrante.
E. Ninguna de las anteriores.
27. Si log 3 �� 0,47 y log 5 �� 0,70, entonces el valor
de la expresión log 75 – log 125 + log 81 es:
A. 0,47 C. 0,94 E. 1,65
B. 0,9 D. 1,41
28. El valor de la expresión
log2 – log3 + log5 es:
A. –3 C. 4 E. 11
B. 3 D. 7
29. ¿Cuál de las siguientes igualdades es
incorrecta?
A. log 53 = 3 log 5
B. log 10 + log 100 = log 1.000
C. log 81 = 2 log 9
D. log =
E. log 8 = log 12 – log 4
30. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son)
verdadera(s) para la función f(x) = logb x?
I) Si b >1 entonces f(x) es creciente.II) logb x = logb z ⇔ x = zIII) El recorrido de f(x) es �.
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. II y III
E. Todas
31. El valor de x en la ecuación log2 x = log3 x es:
A. –1 C. 0 E. 1
B. – D.
32. El valor de x en la expresión log0,4 0,064 = x
es:
A. 3 C. 16 E. 64
B. 4 D. 60
12
12
log 26
26
1125
181
116
EVALUACIÓN SEMESTRAL 1
(soluciones en página 250)
5
–5
–4–8 84
Eval Pág. 104-107 29/11/06 17:30 Page 107
Según el último censo(2002), publicado por el Instituto
Nacional de Estadísticas (INE) la poblaciónde nuestro país llegaba a 15.116.435 personas.Mediante modelos matemáticos se estimó la
población para los años siguientes, esperándose para elaño 2005, 16.267.278 personas. ¿Qué expresiones
matemáticas estarán involucradas en esta predicción?En esta unidad trabajarás con expresiones del tipof(x) = Cax, en que la variable independiente x es el
exponente de una constante positiva y cuyo aporte es elestudio del crecimiento o decrecimiento de poblaciones.De esta manera, surge otro de los números importantes
en la matemática: el número e.
UN
IDA
D
4
108 La función exponencial
La función exponencial
U4 Pág. 108 - 127 6/30/08 11:07 PM Página 108
109La función exponencial
ExploraRealiza el laboratorio 1
correspondiente a la unidad 4que aparece en
www.santillana.cl/emedia/mat4
En esta unidad aprenderás a...
Conocer el concepto de función exponencial y su gráfico.
Trabajar con el número e en funciones expo-nenciales.
Analizar el crecimiento y decrecimiento de fun-ciones exponenciales: crecimiento geométrico y aritmético.
Relacionar la función logarítmica y exponencial.
Resolver ecuaciones exponenciales.
Resolver problemas de aplicación.
U4 Pág. 108 - 127 29/11/06 17:20 Page 109
Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
110 La función exponencial
REPASO
¿Cuánto sabes?
c. � �2x2
= i. 28x = 42x1128
12
f. 5 • � �2x – 15= 253x l. (0,25)3 + 10x =
1
4–215
b. y = + e. w(x) = 6 + x – 192
x3
1. Encuentra el valor de x.
a. 52x – 1 = 25 g. 2x + 5 = 32
b. 22x + 3 = (0,5)3x + 2 h. � �3 – 2x= 82x
d. • 2 • • 2 • = 2 • j. 3–2x2 + 14x – 6 = � �x2 – 2x + 4
e. 1 – ax2 – 5x – 84 = 0 k. =
2. Un capital estuvo depositado 3 años con un interés de 1,8% mensual. Sidio una utilidad de $ 382.761, ¿cuánto fue el capital depositado?
3. Romina reunió un capital de $ 6.000.000 y lo depositó. Si en dos añosprodujo una utilidad de $ 600.000, ¿a qué tasa de interés anual lo colocó?
4. Completa la siguiente tabla.
Capital inicial Interés Capital final después de 3 años
$ 200.000 1,5% anual $
$ 10% anual $ 2.600.000
$ 300.000 % anual $ 435.000
5. Dado log 2 �� 0,301; log 3 �� 0,477; log 5 �� 0,699; log 7 �� 0,845 ylog 11 �� 1,041. Calcula:
a. log 70 d. log g. log 2.401
b. log 0,22 e. log 0,6 h. log
c. log f. log i. log
6. Grafica las siguientes funciones indicando en qué intervalo la función escreciente y en cuál decreciente.
a. u(x) = x2 – 5 d. y = –
c. v(x)= (x – 1,7)2 + 3
x
21330
511.00015
67
554
30
1
3121
92x
127
18
1x
12
1
22
14
U4 Pág. 108 - 127 29/11/06 17:20 Page 110
Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
111La función exponencial
¿Qué debesrecordar?
7. A partir de los siguientes gráficos, escribe la representación algebraicade esas funciones y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
a. c. e.
b. d. f.
8. Un tipo de bacteria se reproduce de tal forma que cada hora hay 10 vecesmás bacterias que la hora anterior. Si partimos con 1 sola bacteria,
a. ¿cuántas habrá dentro de una hora? ¿Y 2 horas? ¿Y 10 horas?b. Si en un instante tenemos 10 millones de bacterias, ¿cuántas había
una hora antes? ¿Y 3 horas antes?c. ¿En cuántas horas hay 1 millón de bacterias?
–5
5
–4 4 8
–5
5
–5
–3
–3
3
5
4,5 9–4–8 4
13,5
–5
5
4 8
4
–2 2
8 12
1 Para resolver una ecuación exponencial debes igualar las bases de laspotencias y luego resolver la ecuación que resulta de igualar losexponentes.
Por ejemplo: 32x – 5 = 27x – 1
32x – 5 = 33(x – 1)
32x – 5 = 33x – 3 ⇔ 2x – 5 = 3x – 3
–5 + 3 = 3x – 2x
–2 = x
2 El interés simple es el que se obtiene cuando los intereses producidos,durante todo el tiempo que dura una inversión, se deben únicamenteal capital inicial.
3 La utilidad u producida al invertir $ C durante t meses con un interéssimple mensual de r% es:
u = t • r • C100
X
Y
X
Y
X
Y
XXX
YYY
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Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
112 La función exponencial
CONTENIDOS
TIPS
AYUDA
La curva de la función expo-
nencial se dice que es asintótica
al eje X, ya que se acerca a esa
recta sin llegar nunca a intersec-
tarla.
EJERCICIOS
1. Utilizando algún programa computacional,
grafica las siguientes funciones, y luego
responde.
i. f(x) = 2x iii. f(x) = 22x
ii. f(x) = 2 • 3x iv. f(x) = 4 • 3x
a. ¿Cuál es el dominio de cada función?
b. ¿En qué punto intersectan al eje Y?
c. Las gráficas, ¿mantienen las características
de una función exponencial f(x) = ax, con
a > 1?
2. Dada la función f(x) = 3x, determina en el
gráfico el valor aproximado de:
a. 30,5 b. 3 c. d. 3 33 213
Una función exponencial se representa por f(x) = ax, con aperteneciente �+ – {1} y x perteneciente a �.
Función exponencial
Observa las siguientes gráficas para determinar las características de estafunción.
Caso I. Función exponencial f(x) = ax, con a > 1.En el mismo sistema de coordenadas graficaremos las siguientes funciones: f1(x) = 2x, f2(x) = 4x, f3(x) = 9x y f4(x) = 100x.
En estas gráficas observamos varios aspectos importantes: • la curva asociada a la función exponencial f(x) = ax, para los valores de a:
2, 4, 9 y 100, intersecta al eje de las ordenadas (Y) en el punto (0, 1). Nohay intersección con el eje X.
• La función es creciente para todo valor de x.• El dominio de la función son todos los números reales.• Los valores que toma la variable dependiente y son los números reales
positivos.
Para graficar la función
f(x) = 2x puedes usar la página
www.santillana.cl/emedia/mat4/
grafica.htm y escribir la expresión
2^x en el espacio correspondiente.
X
Y
U4 Pág. 108 - 127 6/30/08 11:07 PM Página 112
113La función exponencial
Caso II. Función exponencial f(x) = ax, con 0 < a < 1.
Graficaremos en el mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones:
f1(x) = � �x , f2(x) = � �x
, f3(x) = � �x y f4(x) = � �x
.
Al observar las gráficas anteriores podemos generalizar lo siguiente:• la curva asociada a la función exponencial f(x) = ax, con 0 < a < 1, inter-
secta al eje Y en el punto (0, 1). No hay intersección con el eje X. • La función es decreciente para todo valor real de x.• Los números reales son el dominio de la función; y el recorrido, los reales
positivos.
Dados los dos casos, ¿podrías sacar algún tipo de conclusión?
1100
19
14
12
Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
La función exponencial, f(x) = ax, con a perteneciente a �+ – {1} y x perteneciente a �, posee las
siguientes características:
• el dominio de la función son los números reales.• Los números reales positivos son el recorrido de la función.• La curva asociada a la función, intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, 1).
Si a > 1, la función es creciente. Si 0 < a < 1, la función es decreciente.
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Desarrolla el laboratorio 2.
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X
Y
X
Y
X
Y
U4 Pág. 108 - 127 6/30/08 11:07 PM Página 113
Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
114 La función exponencial
CONTENIDOS
Algunas consideraciones para a en la función f(x) = ax:
• Base a = 1.
Si la base de la función es el número real1, la función es f(x) = 1x.
Se observa que para todo valor real dex se tiene que f(x) = 1, de lo cual resultauna recta paralela al eje de las abscisasX, es decir, se trata de una funciónconstante, por lo que no se habla de unafunción exponencial.
• Base a = 10.
Si la base de la función es el número 10,la función es f(x) = 10x.Si comparas su gráfica con la gráfica def(x) = log x obtienes curvas simétricascon respecto a la gráfica de la funciónf(x) = x. Compruébalo.
Ejemplo
Grafiquemos en el mismo sistema de coordenadas las funciones
f(x) = 2x y g(x) = � �x = 2–x
¿Qué semejanzas y diferencias hayentre ellas?
Semejanzas: • el dominio de cada una de ellas
son los números reales.• el recorrido de cada una de ellas
son los números reales positivos.
Diferencias:• En f(x), si los valores de x se hacen cada vez más grandes, los valores de y
aumentan con rapidez, mientras que en g(x) si los valores de x se hacencada vez más grandes, los valores de y se acercan cada vez más a cero.
• La base de g(x) es el inverso multiplicativo de la base de f(x).• Las gráficas de f(x) y g(x) son simétricas entre sí, con respecto al semieje OY.
Cuando las funciones son inversas, ¿son siempre simétricas al semieje OY? Verifica tu respuesta graficando este tipo de funciones exponenciales.
12
AYUDA
El semieje OY está representado
por:
O
Y
X
g(x)g(x) f(x)
f(x) = 10x
→
→
→
X
Y
X
X
Y
Y
U4 Pág. 108 - 127 30/6/08 12:39 Page 114
115La función exponencial
Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
EJERCICIOS
1. Utilizando algún programa computacional,
grafica las siguientes funciones.
a. f(x) = 4x g. f(x) = 2–x
b. f(x) = � �xh. f(x) = � �–x
c. f(x) = –4x i. f(x) = 2x – 1
d. f(x) = –� �xj. f(x) = � �x
e. f(x) = 5x k. f(x) = 2x + 1
f. f(x) = � �–xl. f(x) = –� �x
2. Grafica en un mismo sistema de coordenadas
las siguientes funciones. Luego responde.
a. f(x) = 5x y g(x) = � �x
c. f(x) = 2x y g(x) = 2–x
d. f(x) = 3–x y g(x) = 3x
e. f(x) = –2x y g(x) = 2x
f. f(x) = –� �xy g(x) = � �x
h. f(x) = 3 • 2x y g(x) = 2 • 2x
i. f(x) = 2x + 1 y g(x) = 2x – 1
j. f(x) = � �x+ 1 y g(x) = � �x – 1
k. En relación a la gráfica, dominio y
recorrido, ¿qué puedes concluir entre las
funciones de: a y b, c y d, e y f, g y h,
i y j?
3. Dadas las siguientes funciones indica su
dominio, recorrido y el punto de intersección
con cada eje.
a. m(x) = 5–x d. r(x) = 2x2
b. n(x) = e. f(x) = 3x + 2 – 9
c. s(x) = 2⎟x⎟ f. f(x) = 3x – 3–x
4. Sin construir las tablas de valores ni las
gráficas, indica cuáles de las siguientes
funciones son crecientes o decrecientes.
a. r(x) = 675x c. r(x) = 0,001x
b. r(x) = � �xd. r(x) = 2,01x
5. Encuentra la función f(x) = ax que pasa por los
siguientes puntos, respectivamente.
a. (3, 216) d. (3, 743)
b. (–1, 5) e. (–4, 0,625)
c. (4, 4.096) f. (m, m5)
6. Dada la función exponencial f(x) = (0,09)x,
indica cuál(es) de las siguientes proposiciones
es(son) correcta(s). Justifica.
a. f(–m) = �f(m)�–1
b. f(n + m) = f(n) • f(m)
7. Indica cuál(es) de las siguientes funciones
exponenciales pasa(n) por el origen del
sistema de coordenadas.
a. y = 2x + 1 c. y = 1 – 2x
b. y = 2x + 1 d. y = 1 – 2x + 1
45
14x
13
13
12
12
15
23
12
23
14
13
14
b. f(x) = � �xy g(x) = 7x1
7
g. f(x) = 2 • � �xy g(x) = 3 • � �x1
212
U4 Pág. 108 - 127 29/11/06 17:20 Page 115
Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
116 La función exponencial
CONTENIDOS
El número e se define como el valor al que tiende la expresión
�1 + �xcuando x toma valores muy grandes. Su expresión
decimal es aproximadamente e = 2,71828182845.
1x
TIPS
La siguiente simbología f(x) → e
cuando x → +∞∞, es una forma
de escribir que la función f(x) se
aproxima a e cuando x tiende a
infinito (números cada vez más
grandes).
HISTORIA
Leonhard Euler(1707- 1783)
Euler fue el primero en simbolizar
el número e, utilizando este sím-
bolo, quizás, por ser la primera
letra de la palabra exponencial.
Aproximándonos al número e
El número e surge del estudio de la función definida por f(x) = �1 + �x,
donde x es un número positivo.
Estudiaremos los valores de la función a medida que x aumenta.
x f(x) Aproximación
10 �1 + �102,5937424601...
100 �1 + �1002,70481382942...
.
1.000 �1 + �1.0002,71692393224...
10.000 �1 + �10.0002,71814592683...
100.000 �1 + �100.0002,71826823717...
1.000.000 �1 + �1.000.0002,71828046923...
¿Qué tendencia hay en la función f(x) a medida que los valores de x se hacencada vez más grandes?
Como observas, a medida que los valores de x aumentan, el valorde la función f(x) se aproxima al valor 2,71828… O dicho de otraforma, a medida que los valores de x se hacen cada vez másgrandes, la función f(x) se aproxima al número e.
Graficaremos la función f(x) para observar cómo se comporta amedida que los valores de x crecen infinitamente.
El gráfico de la función muestra que f(x) tiende a estabilizarseen la medida en que x aumenta.
Verifica, de manera análoga, lo que sucede para valores ne-gativos de x.
11.000.000
1100.000
110.000
11.000
1100
110
1x
Y
X
U4 Pág. 108 - 127 6/30/08 11:07 PM Página 116
Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
117La función exponencial
La función exponencial natural f(x) = ex, con base el número e, y xperteneciente a los números reales, posee las siguientescaracterísticas:
• El dominio de la función son los números reales.• El recorrido son los números reales positivos.• La curva asociada a la función, intersecta al eje de las ordenadas
en el punto (0, 1).
Función exponencial natural
Una función exponencial especialmente importante es f(x) = ex, cuya basees el número irracional e, y x perteneciente a los números reales. Para estudiar f(x) = ex graficaremos las siguientes funciones:
f(x) = ex g(x) = e–x
Observamos que para ambas funciones el dominio y recorrido es el mismo.El dominio serán los reales, y el recorrido corresponderá a los reales positivos.La curva asociada a f(x) es creciente, mientras que para g(x) es decreciente.Ambas gráficas intersectan al eje Y en el punto (0, 1).
EJERCICIOS
1. Grafica las siguientes funciones y analiza qué
sucede con cada una.
a. f(x) = e0,1x c. f(x) = e0,001x
b. f(x) = e0,01x d. f(x) = e0,0001x
2. Dadas las siguientes funciones, ¿cuál es su
dominio y recorrido?
a. f(x) = ex + 1 c. f(x) = e2x
b. f(x) = –ex + 1 d. f(x) = e–2x
3. En cada uno de los siguientes puntos, la
gráfica de una función exponencial f(x) = ax
pasa por el punto dado. Encuentra f.
a. (–1, e2) b. (2, e)
4. En un sistema de coordenadas realiza un
esbozo de las siguientes funciones.
a. f(x) = c. f(x) = + e–x
2ex
2ex
2
b. f(x) = d. f(x) = + ex + 1
2ex + 1
2e–x
2
AYUDA
Las características de la función
exponencial natural son las
mismas que una función expo-
nencial.
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Desarrolla el laboratorio 3.
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X X
Y Y
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Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
118 La función exponencial
CONTENIDOS
Función exponencial y función logarítmica
Dada y = bx, determinemos la función inversa de y, para b > 0, b = 1, paraesto debemos despejar x en función de y.
y = bx
log y = log bx
log y = x log b
x =
x = logby
Luego, y–1 = logbx.
Para realizar un mejor análisis graficaremos ambas funciones.
Caso I: Si b > 1 Caso II: Si 0 < b < 1
¿Qué puedes observar?
• Ambas funciones son simétricas con respecto a la recta y = x.• El dominio de la función logarítmica es el conjunto de los reales positivos,
lo cual corresponde al recorrido de la función exponencial.• El recorrido de la función logarítmica es el conjunto de los números reales
y corresponde al dominio de la función exponencial.
log ylog b
AYUDA
Recuerda que:
logb a = log a
log b
AYUDA
y–1 = f–1(x)
Sea y = bx una función exponencial, su inversa está dada pory–1 = logb x.
PARA ARCHIVARTIPS
La recta y = x es bisectriz de los
cuadrantes I y III, es decir, los
divide en dos regiones iguales.
TIPS
Una manera de graficar la fun-
ción logarítmica es “reflejando”
sobre la recta y = x, la función
exponencial correspondiente.
y = bx
y–1 = logbx
y–1 = logbx
y = x
y = xy = b
x
aplicamos logaritmo ya que y y b son números positivos
ya que b = 1
utilizando la propiedad de cambio de base, tenemos
al encontrar la función inversa remplazamos x por y
X
Y
X
Y
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Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
119La función exponencial
AYUDA
Recuerda que para encontrar
una función inversa despejamos
la variable independiente en
función de la variable depen-
diente y, luego, intercambiamos
las variables x e y en la expresión
resultante.
La función inversa del logaritmo natural y = ln x, está dada por lafunción y = ex.
PARA ARCHIVAR
Caso particular
¿Cuál es la función inversa de y = ln x?
Si y = ln x ⇒ y = loge x, luego, por definición de logaritmo se tiene que
ey = x.
Por lo tanto, y–1 está dada por la función y = ex.
EJERCICIOS
1. En un mismo sistema de coordenadas, grafica
las funciones y = ln x e y = ex.
a. Indica los puntos de intersección con losejes.
b. Determina el dominio y recorrido de cadafunción.
c. Determina el eje de simetría.
2. Determina la función inversa de las siguientes
funciones exponenciales.
a. y = 2x c. y = � �x
b. y = 3x d. y = � �x
3. Determina la función inversa de las siguientes
funciones logarítmicas.
a. y = log6 x c. y = log x
b. y = log9 x d. y = log x
4. Dada la función y = 4x, determina su función
inversa y grafícalas en un mismo sistema
cartesiano.
5. Si f(x) = xa + 1 y f(2) = 32, determina el valor de a.
6. Determina la veracidad de las siguientes
proposiciones:
a. Si la función y = ax es creciente, entoncesy = loga x es decreciente.
b. La función y = � �xes la función inversa
de y = log2 x.
c. Una función exponencial es siempredecreciente, al igual que una funciónlogarítmica.
d. Las gráficas de la función logarítmica y surespectiva función inversa son simétricasrespecto a una recta.
7. Dadas las funciones exponencial y = 3x y
logarítmica y = log3 x, represéntalas en un
mismo sistema de coordenadas. ¿Qué puedes
concluir?
12
34
25
157
54
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Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
120 La función exponencial
CONTENIDOS
Ecuaciones exponenciales
En cursos anteriores hemos resuelto ecuaciones exponenciales en la que esposible igualar las bases de las potencias, aplicar propiedades y por último igua-lar los exponentes.Este año estudiaremos aquellas ecuaciones exponenciales en la que no es posi-ble igualar sus bases y se resuelven aplicando logaritmos y sus propiedades.
Ejemplo 1
La población de un país dentro de t años está dada por la relación
P(t) = 2 • 3 millones de habitantes. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para
que la población del país sea 148 millones de habitantes?
Si t es la incógnita, remplazamos P(t) = 148, y obtenemos: 148 = 2 • 3 .
Aplicamos logaritmos y sus propiedades, ya que ambas expresiones de laigualdad son positivas.
log 148 = log �2 • 3 � log 148 = log 2 + log 3
log 3 = log 148 – log 2
t = = �� 5,876
Deben transcurrir entre 5 y 6 años.
Ejemplo 2
3x + 6 = 2
Aplicamos logaritmos y propiedades, ya que 3x+6 y 2 son expresionespositivas.
log 3x + 6 = log 2 (x + 6) log 3 = log 2 x log 3 + 6 log 3 = log 2
x log 3 = log 2 – 6 log 3
despejamos la incógnita x,
x = = – x = – 6log 2log 3
6 log 3log 3
log 2log 3
log 2 – 6 log 3log 3
3(2,17026 – 0,30102)2 • 0,47712
3(log 148 – log 2)2 log 3
2t3
2t3
2t3
2t3
2t3
Una ecuación exponencial es una igualdad en la que intervienenpotencias, en uno o en ambos lados de la ecuación, y que constade una incógnita en al menos uno de sus exponentes.
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Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
121La función exponencial
Ejemplo 3
Resuelve la siguiente ecuación exponencial: ax + 3 = b2x + 5
ax + 3 = b2x + 5
(x + 3) log a = (2x + 5) log b
Utilizamos propiedad distributiva:
x log a + 3 log a = 2x log b + 5 log b
Agrupamos y factorizamos los términos de la incógnita:
2x log b – x log a = 3 log a – 5 log bx(2 log b – log a) = 3 log a – 5 log b
Ya que a = b2, tenemos que 2 log b – log a = 0, por lo que despejamos la incógnita:
x = solución de la ecuación.3 log a – 5 log b2 log b – log a
EJERCICIOS
1. Resuelve las siguientes ecuaciones
exponenciales, igualando las bases.
a. 2x – 1 = 4
b. 83x + 1 = 32x
c. 81x2 – 1 = 27–(7 – 5x)
d. 8–3x• 2x + 1 = 4x + 2
e. 64x2 + 2x• 16x – 5 = 0
2. Determina el radio de una esfera si su
volumen es 113,04 m3. (El volumen de una
esfera está dado por la relación
V = • ππ • R3).
Resuelve el problema utilizando ecuaciones
exponenciales. Compara tu respuesta con la de
un compañero.
3. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones
exponenciales.
a. 22x + 1 = 3x + 5
b. 4x2 – 1 = 154
c. 3 = 768
d. 8x = 81
e. 3 • 2x + 1 = 5
f. 5 • 23x = 9
g. 2x + 4 = 3 • 4x – 3
h. 4x + 2 = 93x – 4
i. a3x + 4 = b2x – 3
j. mx +
= n3x +
l. m– + 4
= 4x – 2
n. 2 • 3x = 5
4. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones.
a. 3x + 5 – 3x + 2 + 3x = 506
b. 22(x + 3) + 22(5 + x) = 3.264
c. 0,1252(x + 1) – 0,253(x + 2) = 189
x4
23
13
x2
43
k. p2x +
= q0,75x – 128
m. a3x +
= cx + 13
713
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aplicamos logaritmo y propiedades, ya que ax+3 y b2x+5 sonexpresiones positivas
con a y b positivos, a = b2.
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Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
122 La función exponencial
CONTENIDOS
Crecimiento exponencial
En el mundo de los negocios, en la biología y en las ciencias sociales, elestudio del crecimiento de las variables es de mucho interés, ya que permite,por ejemplo, predecir valores de las monedas, número de bacterias opoblaciones en el futuro.
Ejemplo
Según información entregada por el INE, la población en nuestro país en 1960era de 7.643.277 habitantes, y en 1970, de 9.569.631 habitantes.Solo con estos datos, se podría estimar la cantidad de habitantes en Chile parael año 2000. El crecimiento poblacional, ya sea de insectos, bacterias o seres humanos, lopodemos modelar como:
P(t) = P0ert, donde P(t): población en un tiempo t.
P0: población cuando t = 0 (año 1960).
r: constante relacionada con la tasa de crecimientoen porcentaje anual.
Como transcurrieron 10 años (t) entre las 2 mediciones, podemos conocer elvalor de r resolviendo la ecuación:
8.836.223 = 7.374.712 • e10r
= e10r
ln � � = 10r r = 0,018080
Luego, la proyección estimada de la población para el año 2000 es:
P = 8.836.223 • e0,018080 • 30
P(30) = 15.199.454 habitantes, lo cual es bastante cercano a la población realque existió en Chile en el año 2002.
8.836.2237.374.712
8.836.2237.374.712
Si el crecimiento de las variables se puede modelar mediante la funciónf(x) = c • ax, con c > 0, a > 1, diremos que crecen exponencialmente, obien que presentan un crecimiento exponencial.
PARA ARCHIVAR
TIPS
A la modelación del crecimiento
de la población mediante la
fórmula P(t) = P0ert, se le llama
teoría malthusiana del creci-
miento de la población.
AYUDA
Si a > 1, f(x) = ax es una función
estrictamente creciente, es decir,
si x1 < x2 entonces f(x1) < f(x2), y
el gráfico es de la forma:
ax
X
Y
Aplicamos logaritmo natural
para despejar la incógnita.
Recuerda que ln e = 1 ⇒ ln(ex) = x.
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Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
123La función exponencial
EJERCICIOS
1. Actualmente la población de Chile bordea los
15 millones de habitantes y la tasa de
crecimiento, entre el censo de 1982 y el censo de
1992, fue de 1,6% anual.
a. ¿En cuánto tiempo se habrá duplicado la
población?
b. Si la tasa de crecimiento se mantiene en los
siguientes 20 años, ¿cuál será la población en
el año 2012?
c. Estima la población de Chile en el año 1980.
2. En un almanaque del año 1970 se encontraron
los siguientes datos:
Provincias 1970 1960(cantidad de habitantes) (cantidad de habitantes)
Antofagasta 250.665 215.376
Santiago 3.218.155 2.436.398
Concepción 638.118 539.450
Magallanes 88.244 73.426
a. Determina expresiones matemáticas de
crecimiento para cada ciudad.
b. Calcula, según estas fórmulas, la proyección
para el año 2002.
c. ¿Por qué el crecimiento no es lineal?
Fundamenta tu respuesta
3. El crecimiento de organismos en ambientes
limitados sigue otro tipo de fórmula o modelo.
Por ejemplo, si se quiere predecir el número de
alumnos de una universidad que tiene planes de
expansión limitada, el modelo usado es:
P(t) = 1.500 • (0,5)0,4tdonde t es el número de
años después de abierta la universidad.
a. ¿Qué cantidad de alumnos había cuando
abrió la universidad?
b. Después de 2 años de funcionamiento,
¿cuántos alumnos tiene?
c. ¿Qué forma tiene la curva del gráfico?
d. ¿A qué valor máximo se aproxima P?
4. Según investigaciones médicas, las personas que
conducen bajo los efectos del alcohol tienen un
riesgo R(x) de tener un accidente, el cual está
dado por la siguiente expresión: R(x) = 6ekx,
donde k es una constante y x es la concentración
porcentual de alcohol en la sangre.
a. Se sabe que un 4% de alcohol en la sangre
implica un riesgo de 10% de tener un
accidente. ¿Cuál es el valor de la constante?
b. Grafica la función f(x) = R(x) = 6ekx.
c. Indica si la función es creciente o decreciente.
d. ¿Cuál es el máximo riesgo posible?
e. Si el riesgo de tener un accidente es de un
90%, ¿cuál es la concentración de alcohol en
la sangre?
f. ¿Cuál es la máxima concentración de alcohol
en la sangre para no sobrepasar un riesgo
del 20%?
g. Averigua acerca del “alcotest” y de los máxi-
mos niveles de alcohol que puede soportar el
cuerpo humano.
5. Una empresa dedicada a vender viviendas decide
colocar en marcha una campaña publicitaria. La
agencia proyecta que el número de viviendas
que se venderán está dado por la siguiente
expresión:
y = 800 • (0,1)0,7x
en que x representa la cantidad de meses que
transcurren una vez que empieza la campaña.
a. Antes del comienzo de la campaña, ¿cuántas
viviendas se vendían?
b. ¿Cuántas se venden después de 5 meses?
c. ¿Cuál es el máximo que se espera vender?
d. Haz un esbozo de la función.
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Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
124 La función exponencial
CONTENIDOS
Si el decrecimiento de las variables se puede modelar mediante lafunción, f(x) = c • arx con c > 0, a > 1 y r < 0, diremos que las variablesdecrecen exponencialmente o bien, que presentan un decrecimientoexponencial.
PARA ARCHIVAR
Decrecimiento exponencial
Para cada sustancia radiactiva, existe un tiempo llamado vida media, que esel tiempo que transcurre hasta que se desintegra la mitad de su masa (de lasustancia radiactiva). Usando esta información es posible hallar la edadaproximada de objetos de antigüedad desconocida. Este tipo de situacionesse puede modelar mediante una ecuación de decrecimiento exponencial.
Ejemplo
En los años 80 se encontraron unos cacharros y unos huesos. Para datar susedades se usó el modelo matemático dado por: P(t) = P0 • e–λt.
Se elige el Carbono–14, cuya vida media es conocida y es de 5.570 años,
y λλ está dado por λλ = = 0,0001244.
Luego, si se analiza la cantidad de radiación del Carbono–14 que emite, porejemplo, uno de estos huesos, es posible hallar la edad aproximada de este.Si un hueso hallado emana 15,5 unidades por minuto y un hueso normalactual emana 19,5 unidades por minuto se obtiene:
15,5 = 19,5 • e–0,0001244t
Entonces, el problema se reduce a encontrar el valor de t en la expresiónanterior.
15,5 = 19,5 • e–0,0001244t
= e–0,0001244t
–0,229574 = –0,0001244t ⇒ 1.845,45 = t
Por lo tanto, los huesos hallados tienen una antigüedad de 1.845 años,aproximadamente.
15,519,5
0,6935.570
AYUDA
Una función se dice decrecien-
te si x1 < x2, entonces,
f(x1) > f(x2). Un ejemplo de la
gráfica de funciones decre-
cientes es el decrecimiento
exponencial como se muestra:
ln � � = ln �e–0,0001244t�15,519,5
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X
Y
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Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
125La función exponencial
EJERCICIOS
1. Se dispone de 500 miligramos de Carbono–14
de un organismo muerto. Si la cantidad que
queda después de x años está dada por
P(x) = 500e–0,000115x miligramos:
a. Expresa x en términos de P.
b. Indica el dominio y recorrido de la función.
c. ¿Qué cantidad es posible encontrar en
1.000 años más?
d. ¿Cuántos años deben transcurrir para que
solo sea posible hallar 1 miligramo?
e. ¿En cuánto tiempo la cantidad de
Carbono-14 baja a la mitad?
2. Al momento de morir, un organismo
contiene 50 miligramos de átomos de
Carbono–14 radiactivo. La cantidad de
Carbono–14 x años después, se ajusta a la
función: P(x) = 50e–0,000119x miligramos.
a. ¿Después de cuánto tiempo de la fecha
de muerte del organismo, le quedará
0,8 miligramos de Carbono–14?
b. Indica el dominio y el recorrido de la
función.
3. Al consumir un medicamento, este queda en
el organismo una cierta cantidad de tiempo,
dado por la expresión: m(h) = 10e–0,2h, donde
m representa los miligramos del medicamento
y h el tiempo en horas.
a. Utilizando algún programa computacional,
grafica la función e indica qué tipo de
función es (creciente o decreciente).
b. Si en un organismo se encuentran
0,407 miligramos de un cierto
medicamento, ¿cuánto tiempo ha
transcurrido desde que se ingirió?
c. Si la cantidad de medicamento no puede
ser menor a 2 miligramos, ¿cada cuánto
tiempo se debe tomar el remedio?
d. Discute con tus compañeros acerca de la
importancia de respetar los horarios de
ingesta de medicamentos.
4. La ecuación I(t) = �1 – e� �t�, en que t es el
tiempo en segundos, es utilizada en el estudio
de algunos circuitos eléctricos. Si E = 10 volts,
R = 12 ohms y L = 7 henrys, entonces:
a. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para llegar
a una corriente de I = 0,9 amperes?
b. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para llegar
a una corriente de I = 0,55 amperes?
5. Halla el valor de f(10) si f(x) = 30 – ae–kx,
sabiendo que f(0) = 10 y f(3) = 20.
a. ¿Existirá un punto a tal que f(a) = 15?
b. Grafica la función. ¿Qué puedes observar?
c. Indica el dominio y el recorrido de la
función.
6. Para tratar el virus de la influenza, en una
región del país, se vacunó a la población. Se
espera que la cantidad de contagiados
disminuya siguiendo el siguiente modelo:
f(x) = 150�e–0,472x�, donde x representa las
horas transcurridas.
a. ¿Cuál es el número de contagiados luego
de 2 horas?
b. Grafica la función y discute con tus
compañeros acerca de la validez del
modelo utilizado.
RLE
R
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Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
126 La función exponencial
CONTENIDOS
Aplicaciones de la función exponencial
Como has estudiado a lo largo de esta unidad, la función exponencial estápresente en diversas áreas. Entre algunas de sus importantes aplicaciones seencuentran las matemáticas financieras, la biología y la física.
Ejemplo 1
Una persona deposita en un banco $ 2.000.000 al 12% anual de interés. ¿Enqué tiempo ascenderá su capital a $ 2.508.800?
Aplicamos logaritmos a la fórmula para el cálculo de capital, estudiado enaños anteriores:
log Cf = log �Ci�1 + �n� ⇒ log Cf = log Ci + log �1 + �n
Entonces:
Ci: $ 2.000.000 y log 2.000.000 = 6,30103Cf: $ 2.508.000 y log 2.508.000 = 6,3993t = 12% anual.
Calculamos:
log �1 + � = log �1 + � = log (1,12) = 0,04922
luego, �� 2
Entonces, su capital será de $ 2.508.000 al cabo de 2 años.
Ejemplo 2
Un cultivo de bacterias experimenta un crecimiento dado por la función
Nt + 1 = Nt • er • t.
Donde,Nt: población inicial de bacterias que tienen la capacidad de reproducirse.Nt + 1: población de bacterias luego de transcurrido un tiempo determinado.r: índice de crecimiento poblacional por bacteria.t: tiempo de cultivo.
Consideremos Nt = 100 bacterias y r = 8. ¿Cuál es la población de bacteriasal cabo de 10 horas?
Nt +1 = 100 • e8 • 10 ⇒ Nt+1 �� 100 • 5,54 • 1034 ⇒ Nt + 1 �� 5,54 • 1036
Luego de 10 horas la población de bacterias será de Nt + 1 �� 5,54 • 1036.
6,3993 – 6,301030,04922
12100
t100
t100
t100
AYUDA
Para calcular el capital, utiliza-
mos la fórmula:
Cf = Ci�1 + �n
Donde:
Ci: capital a depositar.
Cf: capital final.
t: porcentaje de interés.
n: tiempo.
t
100
AYUDA
e8 • 10 �� 5,54 • 1034
log �1 + �t100
log Cf = log Ci + n log �1 + � ⇒ n = log Cf – log Cit
100
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Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
127La función exponencial
EJERCICIOS
1. En muchas situaciones, el crecimiento de las
poblaciones de seres vivos comienza acorde a
una función exponencial, pero luego se ve
frenado por condiciones medioambientales. En
estos casos se presenta un tipo de crecimiento
que se puede aproximar mediante una función,
llamada logística, según la siguiente expresión:
f(t) = , donde L es el valor máximo
al que crece esta población, k y a son constantes
por determinar y t el tiempo transcurrido en días.
a. Utilizando algún programa computacional
grafica la función anterior e indica dominio,
recorrido e intervalos de crecimiento o
decrecimiento según corresponda.
b. La siguiente función de crecimiento
corresponde a una población de mosquitos:
f(t) =
¿Cuál es la población en 50 días? ¿Y en
300 días? ¿Y en 800 días?
2. Calcula la tasa de interés compuesto al que se
invierten $ 10.000.000, si al cabo de 2 años
produjeron 2 millones de pesos.
3. Determina una fórmula que describa el
crecimiento exponencial de una población que
aumenta el 12% cada 5 años, considerando una
cantidad inicial de 55 millones de personas.
a. ¿Cuál será la población en 40 años más?
4. Interés capitalizado continuamente. Si se
invierten P0 pesos a una tasa de interés anual
de R y el interés se capitaliza continuamente,
después de t años se dispone de
P(t) = P0 • eRt pesos.
a. Si se invierten dos millones de pesos a una
tasa de interés anual del 6,9%, calcula el
monto después de 6 años si el interés se
capitaliza continuamente.
b. ¿Después de cuánto tiempo se duplicará la
fortuna de un millonario si la invierte a una
tasa de interés anual del 7,1% con
capitalización continua?
c. El dinero depositado en una financiera se
duplica cada 12 años. Esta capitaliza el interés
en forma continua. ¿Cuál es la tasa de interés
de la financiera?
5. Utilizando la fórmula para calcular el interés
capitalizado al cabo de cierto tiempo, dado en
el ejercicio anterior, responde:
a. ¿Cuánto dinero debe invertir un corredor de
la Bolsa, a una tasa anual del 7,2% para que
dentro de 5 años tenga 8 millones de pesos,
si el interés se capitaliza continuamente?
6. La población de un continente está dada por la
función:
P(t) = 10 • � �Si t se mide en años, ¿cuánto tiempo transcurrirá
para que la población de este continente se
cuadruplique?
t23
2
500.000
1 + 499 • e–0,02t
L1 + k • e–at
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Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
128 La función exponencial
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio 1
Grafica la función y = f(x) = e–x2
, luego responde:
a. ¿Cuál es el valor máximo de la función?
b. ¿Qué sucede para valores grandes de x?
c. Evalúa f(105) y f(–105).
d. ¿Es f(x) una función par?
SoluciónEl gráfico de lafunción está dado por:
a. Como se puede apreciar en el gráfico, el valor máximo de la función es 1.
b. Observando el gráfico, podemos afirmar que a medida que x crece, la fun-
ción se acerca a cero.
c. Evaluaremos la función para 105.
y = f(105) = e –�105�2
f(105) = e–1010
Ahora evaluaremos la función para x = –105.
y = f(–105) = e–�–105�2
f(–105) = e–1010
Por lo tanto, f(105) = f(–105).
d. Determinemos si f(x) es una función par.
De c, podemos deducir que sí es una función par, sin embargo, verificaremos
esta condición algebraicamente.
Para esto evaluaremos la función para x y –x:
f(x) = e–x2
y f(–x) = e–(–x)2, por lo tanto
f(x) = f(–x), es decir y = f(x) = e–x2
es una función par.
Recuerda: �ab�c= ab • c
f(x) es par si f(x) = f(–x).
Si c es par, entonces
ac = (–a)c.
Se puede observaren el gráfico que f(x)
es par, pues es simétricarespecto a la recta x = 0.
X
Y
U4 Pág. 128 - 137 6/30/08 11:09 PM Página 128
Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
129La función exponencial
Despejamos x en función
de y.
Ejercicio 2
Si y = , demuestra que x = ln .
Solución
y =
y(e2x + 1) = e2x – 1
ye2x + y = e2x – 1
ye2x – e2x = –1 – y
e2x(y – 1) = –1 – y
e2x =
ln e2x = ln � �2x = ln � �x = ln � �, q.e.d.
Ejercicio 3
Sin usar calculadora, obtén el valor de 25log58.
Solución
25log58 = x
log (25log58) = log x
log5 8 • log 25 = log x
• log 52 = log x ⇒ • 2 • log 5 = log x
2 • log 8 = log x
log 82 = log x ⇒ 82 = x ⇒ x = 64
log 8log 5
log 8log 5
y + 11 – y
12
–(y + 1)–(1 – y)
–1 – yy – 1
–1 – yy – 1
e2x – 1
e2x + 1
1 + y1 – y
12
e2x – 1
e2x + 1
Factorizamos.
Aplicamos logaritmo
natural.
Realizamos cambio debase.
Usando propiedades delos logaritmos.
La función logarítmica es
inyectiva.
Aplicamos logaritmo.
Recuerda que ln ea = a
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Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
130 La función exponencial
DESAFÍOS
1. (Ensayo PSU, 2004) Una persona P decide
apostar en un casino, para lo cual elabora el
siguiente plan: apostar cada vez el doble de
su apuesta anterior. ¿Cuál de las siguientes
expresiones representa el dinero que apuesta
P en la jugada n, si comienza con $ 1.000?
A. $ 1.000 • 2nB. $ 1.000 • 2n – 1
C. $ 1.000 • 2n
D. $ 1.000 • nE. $ 1.000 • 2(n – 1)
2. (Ensayo PSU, 2004) a2 + b2 = (a + b)2 es cierto
si:
1) a = 02) b = 0
A. 1 por sí sola.B. 2 por sí sola.C. Ambas juntas, 1 y 2.D. Cada una por sí sola, 1 ó 2.E. Se requiere información adicional.
3. Después de x semanas del brote de influenza
en una región del país, la cantidad de perso-
nas (en cientos) que había contraído el virus
se podía modelar mediante la expresión
matemática:
f(x) =
a. ¿Cuántas personas padecían la enferme-dad cuando se comenzó a hablar de brote?
b. Después de un mes y si las condicionessiguen igual, ¿cuántas personas tendráninfluenza?
c. Si no se ataca el brote en su momento,¿en cuánto tiempo es posible esperar1.000.000 de infectados? ¿Qué medidasconsideras se debieran tomar en unasituación similar?
d. Grafica f(x) y compara tus respuestas conlas de tus compañeros(as).
4. Al resolver la ecuación 2x• 42x – 1 = 84 – 2x, el
valor que se obtiene para x es:
A. 10 C. E. 27
B. D. –4
5. Si f(x) = 2x + 2–x y g(x) = 2x – 2–x, entonces
f(2) – g(–2) es igual a:
A. C. E. 8
B. D. 64
6. Si f(x) = , entonces f(2) es igual a:
A. 10 C. 80 E. –1
B. D. 82
7. Si f(t) = , ¿qué valor tiene
f para t = ?
A. C. E.
B. 42 D. 0
8. Sea la función exponencial
f(t) = . ¿Cuál es el valor de f(4)?
A. 15 C. 60 E. 9.000
B. 25 D. 1.125
4.500
64
12
2542
2540
125
25
40 + 12 • 6–25t
4041
3x – 3–x
3x + 3–x
18
116
12
1411
12
22
1 + 21e–1,12x
t12
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Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
131La función exponencial
MEDIOS
Ley de enfriamiento de Newton
Newton, junto a Arquímedes y Einstein, figura como uno de los más grandes pensadores de la historia,tanto por el impacto de sus teorías como por los giros radicales que significaron en su época.Una de las tantas aplicaciones del cálculo que Newton desarrolló es la llamadaLey del enfriamiento, la cual dice:
“La rapidez con que un objeto se enfría es directamente proporcionala la diferencia de temperaturas entre el objeto y el medio que lo rodea”.
El modelo matemático de esta ley se expresa por: T(t) = T0 + � • e–kt
donde k > 0 es una constante y � es la diferencia de temperatura entre el estado inicial y el medioambiente T0.
En algunas películas, como en Los 7 pecados capitales, los protagonistas deducen la hora en que fueroncometidos los crímenes. ¿Cómo lo hacen? Analicemos un ejemplo concreto.
• La policía llegó al lugar de los hechos a las 10:00 y la temperatura del cadáver a esa hora era de 29 °C.• La temperatura de la pieza donde se encontró el cuerpo era de 23 °C.• Una hora y media después, la temperatura del cuerpo bajó a 27 °C.
¿A qué hora fue el crimen?
Usando la expresión dada por Newton, tenemos:T0 = 23 °C y � = 29 – 23 = 6. Falta por determinar k.Tenemos entonces:T(t) = 23 + 6 • e–kt
Por otra parte, la temperatura del desafortunado erade 27 °C a las 11:30, es decir: T(1,5) = 27.Igualando y aplicando logaritmo natural tenemos:
23 + 6 • e–1,5k = 27
k = 0,27031007
Por lo tanto,
T(t) = 23 + 6 • e–0,27031007t
Volviendo al problema original, se sabe que la temperatura normal del cuerpo humano es 36,5 °C,se obtiene:
36,5 = 23 + 6e–0,27031007t
Al resolver esta ecuación, se obtiene t = –3 con lo que podemos concluir que el crimen se cometió3 horas antes, es decir, a las 7 de la mañana.
1. Plantea un problema similar pero variando los datos. Pídele a un compañero(a) que loresuelva.
Gentileza, Carabineros de Chile.
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Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
132 La función exponencial
SÍNTESIS
Mapaconceptual
Resumen
Construye tu mapa conceptual que relacione al menos los conceptos clavedados.
Conceptos clave:
Función exponencial
Número e
Ecuación exponencial
Crecimiento exponencial
Decrecimiento exponencial
1 Función exponencial: es una función de la forma y = f(x) = ax, donde
a > 0 y a ≠ 1; x �� �.
2 Propiedades de la función exponencial:
• El dominio de la función exponencial está dado por todos los númerosreales.
• El recorrido de la función exponencial está dado por los reales posi-tivos.
• El punto de intersección de la función con el eje Y es (0, 1).• La función no intersecta al eje X.• La función exponencial se sitúa encima del eje de las abscisas: eje X.
3 Ecuación exponencial: es aquella en la cual la incógnita aparece en el
exponente.
Ejemplo: 35x = 9x – 6
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Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
133La función exponencial
ax
f(x) f(x)
f–1(x)
f–1(x)
4 Número e: el número e surge del análisis de la función f(n) = �1 + �n,
donde n es un entero positivo. e se aproxima a 2,71828182...
5 Crecimiento exponencial: una función exponencial y = f(x) = ax, es cre-
ciente si a > 1, es decir, si x1 < x2 entonces f(x1) < f(x2) y su gráfica es de
la forma:
6 Decrecimiento exponencial: una función exponencial y = f(x) = ax, es
decreciente si 0 < a < 1, es decir: si x1 < x2 entonces f(x1) > f(x2) y su
gráfica es de la forma:
7 Inversa de la función exponencial: sea f(x) = ax una función exponen-
cial, su inversa está dada por f–1(x) = logax. Además, sus gráficas son
simétricas respecto a la recta y = x.
Si a > 1 Si 0 < a < 1
1
n
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
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Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
134 La función exponencial
EVALUACIÓN
1. Al simplificar ln ex + eln x + 1 se obtiene:
A. 1
B. x + 1
C. 2x + 1
D. ln (ex + 1)
E. Otro valor.
2. ¿Qué valor tiene x en la siguiente ecuación200 = 150 • e0,15x?
A. 1,917
B. 19,17
C. 10
D. 1,5
E. 1,05
3. ¿Cuánto demora un capital P en duplicarse si seinvierte con un interés compuesto del 11%?
A. 4,5 años
B. 5 años
C. 6,5 años
D. 11 años
E. 1,1 años
4. El valor de x en eln (5x – 5) = 5 es:
A. x = 0
B. x = e
C. x = 2 y x = –2
D. x = 2
E. x = 5
5. La solución de eln x2= 9 es:
A. x = 9 y x = –9
B. x = 3 y x = –3
C. x = 3
D. x = 9
E. Ninguna de las anteriores.
6. La solución de ln e–4x + 5 = 21 es:
A. x= –4
B. x = 4
C. x = 4 y x = –4
D. x = e
E. Ninguna de las anteriores.
7. La solución de la ecuación 2ex + 5 = 3e–x es:
A. e2 C. ln 2 E. ln (–2)
B. e–2 D. –ln 2
8. Si f(x) = �3x + 3–x� y g(x) = �3x – 3–x�,
entonces f(x) + g(x) es igual a:
A. 3x C. 3x – 3–x E. 3x + 3–x
B. D. –3–x
9. Un cultivo de bacterias tiene 300 bacteriasen un principio y después de una hora hay450 bacterias. Según este crecimiento,¿en cuánto tiempo el número de bacterias setriplica?
A. 163 minutos
B. 2 horas
C. 2,5 horas
D. 3 horas
E. 3,5 horas
10. Una población de bacterias duplica sutamaño cada 21 minutos. ¿Cuánto tiempotardará en incrementarse el número deorganismos de 106 a 109 bacterias?
A. 1 hora
B. 2 horas
C. 200 minutos
D. 209 minutos
E. Ninguna de las anteriores.
3x
2
1
2
1
2
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Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
135La función exponencial
11. Cuando x toma un valor muy grande,f(x) = 2 + 3 • 10–x se acerca a:
A. 2 D. 6
B. 3 E. Falta información
C. 5
12. Las soluciones de la ecuación(x2 – 5)ex + 4exx = 0 son:
A. x = 0
B. x = 0 y x =
C. x = 1 y x = –5
D. x = –4 y x =
E. Infinitas soluciones.
13. El valor de 3x + 3x + 1 es igual a:
A. 3 • 3x + 1
B. 2 • 32x + 1
C. 4 • 3x
D. 32x + 1
E. Otro valor.
14. El valor de log2(3x + 3x + 1) es igual a:
A. x log 3 + 2
B. x log2 3 + 2
C. log2 3x + log2 3x + 1
D. log2 32x + 1
E. 32x + 1
15. Al despejar la variable x en la ecuación
y = ln (x – 1) se obtiene:
A. x = e2y + a
B. x = e2y + 1
C. x = e2y
D. x = 2ln (x – 1)
E. x = ln (x – 1)
16. El número de bacterias en un cultivo,está dado por la relación f(t) = B • 2kt,con t medido en horas. Si al cabo de 8 horas,
el número de bacterias es veces lo quehabía al principio, ¿cuál es el valor de k?
A.
B. 2
C. 64
D.
E. Ninguna de las anteriores.
17. ¿Cuál de las siguientes relaciones sonverdaderas para la función exponencialf(x) = ax con a > 0 y a ≠ 1?
I) El dominio de f(x) es �.II) Si a > 1 entonces f(x) es creciente.III) ax = az ⇔ x = z
A. Solo I C. I y III E. Todas.B. Solo II D. II y III
18. Al resolver la ecuación ln (5 – 2x) = –2, elvalor de x es:
A. 5 – e–2 D.
B. E. Ninguna de las anteriores.
C.
19. Si f(x) = ax, a > 0, entonces f(x) • f(z) es:
A. axz D. f(x + z)
B. ax + az E. ax – az
C. axz
e–2
10
5 – e–2
2
5
2
1
128
1
2
216
1
2
5
5
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Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
136 La función exponencial
EJERCICIOS DE REFUERZO
1. Tiempo de duplicación. Si una población crecesin interrupción a razón del 3% anual, ¿encuánto tiempo se duplica?Indicación: usa la fórmula de crecimientoy = aert con r = 0,03.
2. Estudios hechos por agrónomos han demos-trado que el crecimiento de un bosque sepuede proyectar mediante la expresión:
M(t) = m(1 + i)t
en que M es la madera que habrá dentro det años, m la madera inicial e i la tasa de creci-miento anual, que en este caso consideraremoscomo i = 0,03.
a. Si al inicio se tienen 3 há de madera,¿cuántas há habrá dentro de 10 años?
b. Obtener una expresión para t(M).c. ¿Cuántos años tarda en duplicarse la
madera del bosque?
3. Una población de bacterias crece en un 10%cada día. Un estudio sobre cierto cultivo indicaque el crecimiento de la población P(x), despuésde x días, está dado por la fórmula P(x) = 5.000 e0,17x.
a. ¿Cuántas bacterias había en un comienzo?b. ¿Cuál es el número de bacterias después de
5 días?c. ¿Cuánto tiempo debe pasar para alcanzar
una población de 20.000 unidades?
4. Encuentra el valor de la incógnita en cada caso:
a. ex = 5,2
b. eln e100= x
c. 2ex =
d. = e2x
5. En circuitos eléctricos aparecen las siguientesfórmulas para la intensidad I(t). Despeja encada una de ellas la variable t.
a. I(t) = �1 – e �b. I(t) = e
6. La función f(x) = �eax + e–ax�; a > 0, describe
algunos fenómenos como la curva de lostendidos eléctricos o los cables de los puentescolgantes. Resuelve la ecuación f(x) = 1 paraa = 1.
7. Demuestra la equivalencia:
ex – e–x = 2y ⇔ x = log �y + �8. Una suma de dinero se invierte a 4 años con un
interés del 4% y luego 6 años más a un interésdel x%. Determina x, si la cantidad de dinero seduplica exactamente a los 10 años.
9. Si la población de la ciudad de Concepción enun instante t está dada por P(t)= 1,1 • e0,025t
millones. ¿Cuál es el porcentaje de crecimientopor año? (t: años)
10. Un cultivo de laboratorio tiene una cantidad
de 100100 bacterias. Después de 1 hora la
cantidad de bacterias es • 100100.
Encuentra el tiempo necesario para que elnúmero de bacterias se triplique.
11. Si y = donde e = 2,71828...
demuestra que x = ln .1 + y
1 – y
1
2
ex – e–x
ex + e–x
3
2
y2 1+
1
2
tRC
E
R
–RtL
E
R
ex – 1
4
1
3
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Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
137La función exponencial
12. Dadas las siguientes funciones,
f(x) = ln (x – 1) ; F(x) = e2x + 1 ;
g(x) = ; G(x) = ln calcula:
a. (f o F)(x)
b. (F o f)(x)
c. (g o G)(x)
d. (G o g)(x)
13. Si y = ln (x – 1), demuestra que
x = ln .
14. Un plato de lentejas con temperatura de80 ºC se pone en la mesa de un comedor queestá a 22 ºC. Su temperatura después dex minutos está dada por,f(x) = 22 + 58e–0,051x ºC. ¿Cuánto tarda cadaplato de lentejas en enfriarse hasta llegar auna temperatura de 37 ºC?
15. Un experimento parte con P0 gramos depolonio y la cantidad que queda después dex días está dada por:
P(x) = P0e–0,0005x
Encuentra el número de días necesariospara que la cantidad de polonio sea de0,48 P0 gramos.
16. Resuelve la ecuación:
(20.736)x2 – 4x – 1 = 248.832
17. Despeja x en la ecuación abx= c.
¿Qué condiciones deben cumplir a, b y c?
18. Un hueso fosilizado, supuestamente de unmilodón, encontrado en Magallanes contiene
de la cantidad de Carbono-14.
Determina la edad del fósil.
19. La medida de la presión atmosférica P enpulgadas de mercurio a una altitud de x millas sobre el nivel del mar, está dada porla ecuación p(x) = 28 e–0,22x.
a. Si la presión en la cima de la montaña esde 15 pulgadas de mercurio, determina laaltura de la montaña.
b. ¿Cuál es la presión atmosférica en la cimadel Everest? (Altura 8.000 metros).
20. Encuentra la función inversa de las siguientesfunciones:
a. h(x) = � �x
b. g(x) = 2 • 1,25x
c. l(x) = 0,1x•
d. f(x) = � �– x
21. Grafica en un mismo sistema de ejes coor-denados las siguientes funciones:
I) y = ln x
II) y = ex
III) y = 4x
IV) y = log4 x
a. Indica el dominio de cada función.b. Indica el recorrido de cada función.c. Encuentra la función inversa para cada
una de las funciones anteriores.
121
64
13
23
1
1.000
1 + y
1 – y
1
2
1
2
1 + x
1 – x
1
2e2x – 1e2x + 1
1
2
U4 Pág. 128 - 137 29/11/06 17:21 Page 137
Vectores
UN
IDA
D
5
138 Vectores
En Astronomía,gracias a la labor heroica y
milenaria de hombres y mujeresque han contemplado los diferentes
planetas y estrellas, ha permitidoproponer y desarrollar leyes que intentan
desentrañar los grandes secretos delUniverso. Gracias a la geometría, comoformalización del conocimiento, se ha
permitido modelar, conocer ycomprender nuestro sistema
solar y nuestro planeta.
O
p1→
p2→
U5 Pág. 138 - 157 29/11/06 17:22 Page 138
En esta unidad aprenderás a...
139Vectores
Calcular magnitudes vectoriales y escalares.
Utilizar operatoria con vectores.
Identificar vectores en el plano y en el espacio.
Obtener la ecuación vectorial de la recta y del plano.
Identificar la intersección de planos.
Identificar ángulos diedros.
Realizar traslaciones y homotecias.
ExploraRealiza el laboratorio 1
correspondiente a la unidad 5que aparece en
www.santillana.cl/emedia/mat4
U5 Pág. 138 - 157 29/11/06 17:22 Page 139
1. Grafica las siguientes funciones.
a. y = 2 c. y = 2x + 1 e. y = –(x + 1)
b. y = x + 7 d. y = –3x + 3 f. y = – x + 2
2. Analiza los siguientes gráficos y determina si corresponden a una funcióncontinua o discontinua.
3. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a. �x� = 2 c. �x – 2� = 1 e. 3�x + 4� = 8
b. �x� = 10 d. �–x� = 5 f. –3�x – 5� = 12
4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y analiza sus soluciones.
a. 3x + 2y = 14 b. x + y = 42 c. x – y = 3
x – y = 28 2x + 2y = 24 4x – 2y = 24
5. Comprueba la falsedad de las siguientes afirmaciones dando un contra-ejemplo. Como por ejemplo:
La suma de dos números primos siempre es otro número primo. Contraejemplo: Los números 3 y 7 son primos, pero su suma es 10, y estenúmero no es un número primo. Por lo tanto la proposición es falsa.
a. El producto de un número impar por otro par es siempre impar.
b. Todo número natural al cuadrado es siempre un número par.
c. El producto de dos fracciones es siempre menor que 1.
14
12
12
14
12
Unidad 5 VECTORES
140 Vectores
REPASO
¿Cuánto sabes?
X
X
X
Y Y Y
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Unidad 5 VECTORES
141Vectores
¿Qué debesrecordar?
6. Representa las siguientes proposiciones, tal como lo indica el ejemplo.
Ejemplo: Representaremos simbólica y gráficamente la afirmación “larecta a’ y la recta b’ se intersectan en el punto C”.
Lenguaje simbólico: Representación grafica:
a. Las rectas αα y ββ se encuentran a la misma distancia de un punto p.
b. Los planos γγ y δδ no se intersectan.
c. La intersección de la recta αα con el plano φφ es la misma recta alfa.
1 El módulo de un número o de una expresión algebraica es siempre elvalor absoluto de esta.
�x� =
2 Todo sistema de dos ecuaciones lineales presenta tres posibilidades encuanto a las soluciones.
Si se tiene que una
ecuación de la recta es
una amplificación de la
otra, el sistema tiene
infinitas soluciones,
ya que las rectas son
coincidentes.
2x + 6y = 10x + 3y = 5
Si se tiene que ambas
rectas tienen igual valor
de la pendiente y la
ecuación no es la misma,
el sistema no tiene solu-
ción, ya que sus rectas
son paralelas.
x – y = 0x – y = 2
Si se tiene que las rectas
no son coincidentes ni
paralelas, el sistema
tiene una única solución,
ya que sus rectas son
secantes.
x – y = 02x – y = 1
–x si x < 0
x si x �� 0�
La’ �� Lb’ = �C�
La’Lb’
C
1
2
es una amplificación
de .2
1
x 2
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Unidad 5 VECTORES
142 Vectores
CONTENIDOS
Rectas en el espacio
Para conocer aproximadamente dónde se encuentra la Línea del Ecuador,podemos fijar una varilla verticalmente en una superficie plana y horizon-tal, y posteriormente trazar varios círculos concéntricos cuyos centros seanel pie de la varilla.
Luego de haber marcado en la mañana y en la tarde los diferentes puntosen que la extremidad de la sombra de la varilla toca los círculos concéntri-cos, y trazando a continuación las bisectrices correspondientes a cada sectorcircular, obtendremos la dirección de la meridiana o plano meridiano.
Como podemos observar, si se une el punto ubicado en el pie de la varilla yel punto de intersección en cada círculo se forma un segmento, dandoorigen a un plano.
¿Cómo podemos determinar un único plano ππ?
Puntos no colineales Dos rectas que se intersectan
AYUDA
Tres puntos son colineales si
pertenecen a una misma recta.
Tres puntos no colineales deter-minan un único plano.
Si dos rectas secantes pertenecena un mismo plano, estas danorigen a cuatro semiplanos.
A B
C
ππ ππ
L1L2
Sol
SUR
NORTE
LÍNEA
MERIDIANA
TIPS
Si la intersección de dos rectas o
de dos planos es no vacía, se dice
que son secantes.
TIPS
Los planos se simbolizan utili-
zando la letra ππ.
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Unidad 5 VECTORES
143Vectores
Dos rectas paralelas
Dos rectas paralelas determinan un único plano.
Una recta y un punto exterior a ella
Una recta y un punto exterior a ella determinan un único plano.
EJERCICIOS
1. Indica ejemplos de modelos físicos en que se
observen:
a. Rectas: concurrentes, paralelas y alabeadas.
b. Puntos no colineales.
c. Rectas y planos: secantes, paralelos y coinci-
dentes.
2. De acuerdo con la figura, en la cual los puntos
A, B, C y D son coplanarios (pertenecen al
mismo plano), indica en cada caso si la afirma-
ción es verdadera o falsa, según corresponda.
a. Los puntos A, E y F son colineales.
b. Los puntos B, C, E y F son coplanarios.
c. El segmento AC se intersecta con BD.
d. El segmento AC se intersecta con DF.
e. Los puntos B, E y F son coplanarios.
f. Los puntos B, D, F y G son coplanarios.
3. Construye un contraejemplo para cada una de
las siguientes proposiciones.
a. Si dos rectas diferentes se intersectan, exis-
ten solo dos planos que las contienen.
b. Dado tres puntos colineales, existe un único
plano que los contiene.
TIPS
Si dos rectas están contenidas en
planos distintos y no se intersec-
tan, diremos que dichas rectas
son alabeadas.
A
B
CL
ππ
ππ
L1
L2
DG
CA
B
E
F
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Unidad 5 VECTORES
144 Vectores
CONTENIDOS
AYUDA
Por una recta pasa un número
infinito de planos. Se habla de
un haz de planos.
ππ1
ππ2
ππ1
ππ1
ππ2
ππ2
BC
L
Planos en el espacio
Observa la siguiente representación de 3 planos en el interior de un cubo.
Posiciones relativas entre 2 planos
• Planos paralelos
• Planos secantes
• Planos coincidentes
La intersección de tres planos en un punto (el piso y dos murallas de undormitorio) da origen a tres semiplanos distintos, los cuales nos permitenhacer referencia al largo, ancho y a la altura.
PARA ARCHIVAR
Dos planos paralelos no tienen puntosde intersección.
La intersección de dos planos secantesdetermina una recta y por ende poseeninfinitos puntos de intersección pertene-cientes a esa recta.
Dos planos coincidentes tienen todos suspuntos en común.A
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145Vectores
Planos y sistemas de ecuaciones
Las representaciones gráficas de planos en el espacio tienen directa relacióncon un sistema de ecuaciones, de 3 ecuaciones lineales con tres incógnitas.
Ejemplo
Siempre que tres planos conformen un haz de planos, es decir, que la inter-sección entre estos planos dé origen a una línea recta, podemos inferir queel sistema de ecuaciones asociado a la representación gráfica tiene infinitassoluciones, ya que una línea recta está constituida por infinitos puntos.
Unidad 5 VECTORES
Un sistema de ecuaciones de tres ecuaciones y tres incógnitas puederepresentarse gráficamente mediante la intersección de planos.
No hay solución.
Infinitas soluciones (3 planoscoincidentes).
Infinitas soluciones (tres planossecantes)
PARA ARCHIVAR
EJERCICIOS
1. Representa gráficamente las siguientes situa-
ciones.
a. El plano ππ1 tiene origen a partir de la recta
Lββ y un punto Z exterior a ella.
b. El plano ππ1 es secante con el plano ππ2 dando
origen a la recta L1 que es perpendicular a la
recta L2 que pertenece al plano ππ2.
c. El plano ππ1 es perpendicular con el plano ππ2
dando origen a la recta L1 que es paralela a
la recta L2 que pertenece al plano ππ1.
d. Dado los planos ππ1, ππ2 y ππ3, cada uno de
ellos intersecta a los otros dos planos.
¿Cuántos semiplanos se forman en esta
representación gráfica?
AYUDA
La solución de un sistema de
ecuaciones debe satisfacer a cada
una de las ecuaciones involu-
cradas.ππ1
ππ1
ππ2 ππ3
ππ2 ππ3
ππ1
ππ2ππ3
ππ1
ππ2
ππ3
AB
C
EN EQUIPO
Utilizando alguno de los métodos
para resolver sistemas de ecua-
ciones aprendidos anteriormente
intenten resolver un sistema de 3
ecuaciones con 3 incógnitas.
Al intersectar estos 3 planos se
obtiene una recta llamada arista
del haz.
Una solución.
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Unidad 5 VECTORES
146 Vectores
CONTENIDOS
Intersección de planos
Como hemos aprendido, la intersección de dosplanos da origen a distintos semiplanos que secortan. El ángulo de intersección entre dossemiplanos se denomina ángulo diedro.
En la figura observamos que P se ubica en una cara y Q en la otra (cada caracorresponde a un semiplano). Mientras, los puntos A y B se ubican en la aristadel diedro (recta común a los dos semiplanos).
Los ángulos diedros se simbolizan de la siguiente manera: ��(P, , Q), donde
P y Q representan puntos de cada semiplano, respectivamente, y la rectarepresenta la recta común a ambos semiplanos.
Dado el nombre de cada semiplano, un ángulo diedro también se puede repre-sentar por: ��(ππ1, , ππ2).
¿Dónde se utiliza un ángulo diedro? Las avionetas que conforman un ángulodiedro entre las alas, tienen mayor estabilidad de vuelo (que el diedro neutro).
Diedro positivo Diedro neutro Diedro negativo
¿Cómo conocer la medida del ángulo diedro?
Observa la figura. Se conoce como ángulo rec-tilíneo al ángulo formado por dos rectas situa-das una en cada cara del ángulo diedro, demanera tal que ambas sean perpendiculares ala recta en un mismo punto de ella. La me-dida del ángulo diedro es igual a la medida delángulo rectilíneo correspondiente.
AB� ���
AB� ���
AB� ���
AB� ���
Se llama ángulo diedro a la porción de espacio comprendida entredos semiplanos que tienen un borde (recta) común , y estánsituados en planos distintos.
AB� ���
ππ1 y ππ2 es el nombre que
representa a cada semiplano.
Ángulo diedro
CaraCara
Arista
A
B
A
O
BP
Q
P
ππ2
ππ1
ππ1
ππ2
Q
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Unidad 5 VECTORES
147Vectores
EJERCICIOS
1. Observa los siguientes poliedros.
a. ¿Cuál o cuáles de los poliedros anteriores no
se pueden apoyar sobre todas sus caras?
b. ¿Qué característica tiene el ángulo diedro en
los poliedros que sí se pueden apoyar en
todas sus caras?
c. Según la siguiente clasificación: A los
poliedros que tienen alguna cara sobre la que
no se pueden apoyar, se les llama cóncavos y
a los demás, convexos. ¿Cuáles de los
poliedros anteriores son convexos o
cóncavos?
2. Busca en tu sala los siguientes tipos de ángulos.
En los cuerpos geométricos regulares se encuentra el hexaedro, tetrae-dro, octaedro, icosaedro y dodecaedro. A continuación se presentan lasmedidas del ángulo diedro en cada uno de ellos (el ángulo diedro delcubo ya fue revisado).
PARA ARCHIVAR
Como sabemos, los cuerpos geométricos son poliedros que están conformadospor caras regulares y congruentes.
El cubo es un cuerpo geométrico con 6 caras cuadradas congruentes, lo cual im-plica que dos rectas pertenecientes a distintas caras se intersectan perpendicu-larmente, es decir, el ángulo rectilíneo mide 90º. Por lo tanto, el ángulo diedroen el cubo (hexaedro) mide 90º.
Tetraedro Octaedro70,53º 109,45º
Icosaedro Dodecaedro138,2º 116,57º
Cubo
Triedro Tetraedro
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Coordenadas cartesianas
Las coordenadas cartesianas fueron crea-das por René Descartes y representan unade las herramientas más usadas y útiles enel estudio de las matemáticas.
Descartes consiguió establecer una sólidarelación entre la geometría y las ecuacio-nes. A cada recta se le asigna una ecuaciónque relaciona el eje Y con el eje X, de talmodo que se pueden representar gráfica-mente en el plano cartesiano.
Ejemplo
La ecuación de una recta es y = 2x – 3, de tal modo que para cada valor de xtenemos un valor para y. Si x = 0, al evaluar en la expresión y = 2 • 0 – 3 = –3 obtenemos el punto de coor-denadas (0, –3).Si x = 2, al evaluar en la expresión y = 2 • 2 – 3 = 1 obtenemos el punto de coor-denadas (2, 1).
Unidad 5 VECTORES
148 Vectores
CONTENIDOS
El plano cartesiano está formado por dos líneas rectas (ejes) perpendi-culares entre sí. La representación en coordenadas de los cuadrantes esla siguiente:
Primer cuadrante (x, y)
Segundo cuadrante (–x, y)
Tercer cuadrante (–x, –y)
Cuarto cuadrante (x, –y)(Considerando x > 0, y > 0).
El eje horizontal se llama eje de abscisas o también eje X, el eje de lasordenadas o eje Y, y el punto O se llama origen de coordenadas.
PARA ARCHIVAR
AYUDA
Recuerda que todo plano carte-
siano tiene 4 cuadrantes: en el
primer cuadrante ambas coorde-
nadas son positivas, en el tercer
cuadrante ambas coordenadas
son negativas.
AYUDA
• Dado dos puntos distintos, se
puede obtener una única ecua-
ción de la recta.
• Todo punto en el plano carte-
siano tiene coordenadas (x, y).
Y
XO
III
IVIII
Y
X–2 2
1
–1
–2
2
1–1
Y
X–2 2
1
–1
–2
2
1–1
(2, 1)
(–1, –1)
(–1, –2)
(2, 1)
y = x – 1
HISTORIA
René Descartes
(1596–1650)
IR A LA WEB
Desarrolla el laboratorio 2.
www.santillana.cl/emedia/mat4
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Unidad 5 VECTORES
149Vectores
EJERCICIOS
1. Completa las siguientes afirmaciones.
a. Si la abscisa y la ordenada tienen el mismo
signo, el punto (x, y) se encuentran en el
cuadrante.
b. Si la ordenada es negativa y la abscisa es
positiva, el punto (x, y) se encuentran en el
cuadrante.
c. Si la abscisa es negativa y la ordenada es
positiva, el punto (x, y) se encuentra en el
cuadrante.
2. Responde.
a. ¿Cuáles son las coordenadas del punto que
está a 4 unidades a la izquierda del eje de
las ordenadas y 3 unidades por encima del
eje de las abscisas?
b. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos
que se encuentran a 5 u del origen del plano
cartesiano?
3. Probar que los puntos son vértices de un trián-
gulo equilátero.
4. Probar que los puntos son vértices de un para-
lelogramo.
5. Escoge cuatro puntos de tal manera que sean
los vértices de un cuadrado, y cada punto
pertenezca a un único cuadrante.
AYUDA
Teorema de Pitágoras: la suma
de las medidas de los catetos al
cuadrado es igual a la medida
de la hipotenusa al cuadrado.
¿Cómo se calcula la distancia entre dos puntos del plano cartesiano?
Por el teorema de Pitágoras podemos calcular la distancia de cada cateto deltriángulo rectángulo que se muestra en la figura a continuación.
Dado que el punto E tiene coordenadas (x1, y2), la medida de los lados estaría
dada por: = (x1 – x2), = (y1 – y2) y = d.
Aplicando el teorema de Pitágoras, obtenemos que + = ,
y sustituyendo (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = d2,
de donde, d = . (x – x ) + (y – y )1 22
1 22
P P1 22
EP12
P E22
P P1 2EP1P E2
Y
XAC
D E
B
0
P1(x1, y1)
P2(x2, y2)
Y
XO
P3(3 , 3 )33
P2(–3, –3)
P1(3, 3)
Y
X
A(–4, 2)
B(2, 10)C(20, 14)
D(14, 6)
O
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Unidad 5 VECTORES
150 Vectores
CONTENIDOS
Vectores
Johannes Kepler logró deducir las famosas tres leyes descriptivas del movimien-to orbital de los planetas. Una de sus leyes tiene relación con que el radio vectorque va desde el Sol al planeta describe áreas iguales en tiempos iguales.
Como podemos observar,el radio vector es todosegmento de recta dirigidoen el espacio. Por lo tanto,cada radio vector posee unorigen, un sentido y unadirección.
Módulo de un vector
Se sabe que cuando el planeta está más alejado del Sol su velocidad esmenor que cuando está más cercano al Sol. Observa la siguiente imagen:
El vector velocidad 1 tienemayor módulo (longitud) queel vector 2.
�� 1 �� > �� 2 ��
El radio r tiene menor móduloque el radio r2.
�r� < �r2�
�v
�v
�v
�v
Todo radio vector posee las siguientes características.
Origen o también denominado punto de aplicación: corresponde alpunto exacto sobre el cual actúa el vector.Dirección: está dada por la orientación en el espacio de la recta que locontiene.Sentido: se indica mediante una punta de flecha situada en el extremodel vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige elvector.
PARA ARCHIVAR
TIPS
La palabra vector, proviene del
latín, y significa “el que conduce”.
TIPS
• Dos vectores son iguales al ser
paralelos y tener la misma
intensidad o módulo.
• Dos vectores son opuestos al
tener igual intensidad y direc-
ción, pero sentido contrario.
2
�v
1
�v
Sol
La Tierra
r2 r1
r
θ
�v
HISTORIA
Johannes Kepler
(1571–1630)
U5 Pág. 138 - 157 30/6/08 12:44 Page 150
Unidad 5 VECTORES
151Vectores
¿Qué sucede si el origen de un vectorcoincide con el punto O del planocartesiano?
Cuando el punto de aplicación de unvector está en el origen de un sistemade coordenadas, su extremo, coinci-dirá con un punto del plano, el punto(x, y).
Entonces, si el punto de aplicación es el punto (0, 0), utilizando el teorema dePitágoras, podemos determinar el módulo de este vector , pues la suma de loscuadrados de los catetos (las coordenadas) debe ser el cuadrado de lahipotenusa (la intensidad o módulo del vector). Es decir:
�� ��2 = x2 + y2 o bien, �� �� = x y2 2+�v
�v
EJERCICIOS
1. Dibuja y calcula el módulo de los siguientes
vectores centrados en el origen del plano y cuyo
extremo es el siguiente punto:
a. A(3, 4)
b. B(–7, 12)
c. C(–9, –12)
d. D(–13, 12)
e. E(–1, 0)
f. F(0, –4)
2. Dos vectores de igual intensidad, pero distinta
dirección y sentido, son distintos; cuando tienen
la misma dirección y sentido, pero distinta inten-
sidad, también son distintos. ¿Cómo son los
siguientes vectores?
a. c.
b. d.
Las coordenadas de un vector se denominan componentes, ademástodo vector está definido por dos puntos, y a su vez, cada punto tienedos componentes, una x y otra y, que corresponden a las componentescartesianas del vector.
Todo vector posee además módulo que corresponde a la longitud o tama-
ño del vector, dado por la expresión: �� �� = .x y2 2+�v
PARA ARCHIVARTIPS
�� �� = ��– ���v
�v
AYUDA
El vector o segmento orientado
con origen en A y extremo en B, se
representa por el símbolo: .AB� ���
y
xO
�v
A
B
AB� ���
U5 Pág. 138 - 157 29/11/06 17:22 Page 151
Unidad 5 VECTORES
152 Vectores
CONTENIDOS
Operatoria con vectores
Un bote se desplaza en línea recta desde el puerto hastauna isla, y luego lo hace desde la isla hasta el faro. Si obser-vas el dibujo, el desplazamiento final del bote corres-ponde al vector que tiene su origen en el puerto y suextremo en el faro, y se expresa como: = + .
En general, para hallar el vector suma = + , dibujas
uno de ellos, por ejemplo , y luego representas el
vector colocando el origen de en el extremo de .
El vector resultante tiene su origen en y su extremo en .�b
�a
�a
�b
�b
�a
�b
�a
�s
�b
�a
�s
�s
Regla del paralelogramo
Otra forma de realizar la suma de y esdibujar dos representantes de ambos vectorescon un mismo origen, O. A continuación sedibuja un paralelogramo cuyos lados son y ,
el vector suma + es la diagonal de dichoparalelogramo de origen O.
�b
�a
�b
�a
�b
�a
La adición de vectores cumple las siguientes propiedades:
• Conmutativa:
• Asociativa: + ( + ) = ( + ) +
• Elemento neutro: + 0 = 0 + =
•
• Dado un vector existe un elemento opuesto (– ), de igual módulo ydirección, pero sentido opuesto, de forma que al sumarlos se obtieneel vector o nulo + (– ) = .
�0
�a
�a
�0
�a
�a
� � � �a b a b+ +≤
�a
�a
�a
�c
�b
�a
�c
�b
�a
� � � �a b b a+ = +
PARA ARCHIVAR
� � �s a b= +
� � �s a b= +
�a
�b
�b
AYUDA
La adición de vectores da como
resultado un vector.
�a
�a
�b
�a
� �a b+
�b
IR A LA WEB
Desarrolla el laboratorio 3.
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→ →
U5 Pág. 138 - 157 29/11/06 17:22 Page 152
Unidad 5 VECTORES
153Vectores
Al igual que en el caso de los números, la sustracción es la operación inversa dela adición. Restar dos vectores consiste en sumarle al primero, el vector opuestodel segundo: – = + (– ).
Gráficamente, si empleamos el método del paralelogramo, para la sustracción,la otra diagonal del paralelogramo obtenido representa la resta de los dosvectores.
�b
�a
�b
�a
EJERCICIOS
1. Resuelve las siguientes sumas de vectores, repre-
sentando gráficamente los resultados.
a. (2, 5) + (3, –2)
b. (–1, 3) + (–1, –1)
c. (0, –5) – (3, 6)
d. (–6, –9) – (5, –3)
2. Encuentra el valor de x e y en los siguientes
casos.
a. (x, y) + (1, 6) = (2, –3)
b. (x, 3) + (2, y) = (9, –2)
c. (x, 2) – (–3, y) = (–1, 3)
d. (–1, –4) – (x, y) = (5, 6)
3. Resuelve los siguientes problemas.
a. El minutero de un reloj mide 5 cm. Represen-
ta gráficamente el vector desplazamiento de
su punta después de quince minutos, media
hora, tres cuartos de hora y después de una
hora.
b. Una araña está en un vértice de una sala
cuyas dimensiones son 7 m de largo, 5 m de
ancho y 3 m de alto, y desea ir al vértice
diametralmente opuesto. Determina la
distancia mínima que recorrería y el vector
desplazamiento que realizaría.
c. Dos vectores de desplazamiento centrados en
el origen tienen módulos iguales a 6 metros y
8 metros. ¿Cuál debe ser la dirección y senti-
do de cada uno de estos vectores para que la
resultante tenga un módulo igual a 14
metros, 2 metros y 6 metros? Representa
gráficamente cada uno de los casos pedidos.
La suma de vectores en forma analítica se efectúa a través de sus coor-denadas cartesianas. La adición se realiza entonces sumando compo-nente a componente. Por ejemplo, la suma de los vectores centrados en el origen y cuyosextremos son (2, 3) y (–1, 2) respectivamente, será el vector resultantede (2, 3) + (–1, 2) = (2 + –1, 3 + 2) = (1, 5).
PARA ARCHIVAR
AYUDA
La diagonal de un paralelo-
gramo es la recta que pasa por
dos vértices opuestos.
AYUDA
La representación de la diago-
nal como – o – , de-
penderá del punto de aplicación
del vector y de su extremo.
�a
�b
�b
�a
v→ v→w→w→
v→ – w→v→ + w→ v→ + w→
w→ – v→
U5 Pág. 138 - 157 1/11/10 3:37 PM Página 153
Unidad 5 VECTORES
154 Vectores
CONTENIDOS
Producto de un número real por un vector
Ejemplo
Dado el vector = (2, 3) lo representaremosgeométricamente, de color rojo.
En el mismo sistema de coordenadas, ¿cómo representarías el vector 2 ?
Aplicaremos la definición de ponderacióndel vector . Entonces se tiene,
= (2, 3) ⇒2 = 2 • (2, 3) = (2 • 2, 2 • 3) = (4, 6)
Observa, que tanto gráfica como algebraicamente, el vector ponderado aumen-ta al doble su módulo, manteniendo su dirección y sentido.
¿Cómo se graficará el mismo vector, pero ponderado por –1?Revisemos su representación algebraica,
= (2, 3) ⇒ –1 = –1 • (2, 3) = (–1 • 2, –1 • 3) = (–2, –3)
Gráficamente resulta,
¿Qué puedes concluir?
�a
�a
�a
�a
�a
�a
�a
AYUDA
Hay que mencionar que existen
magnitudes vectoriales (veloci-
dad, fuerza, etc.) y aquellas que
no lo son; estas últimas son las
llamadas magnitudes escalares
(distancia, masa, etc.).
TIPS
Al número real que pondera a
un vector también se le llama
escalar.
El producto de un número real λλ por un vector , de coordenadas
(x, y), es otro vector dado por λλ , y se define como:
λλ = λλ(x, y) = (λλx, λλy).�a
�a
�a
El producto de un número real (λλ: escalar) por un vector , resulta el
vector ponderado λλ , que tiene las siguientes características:
• Mantiene la misma dirección.
• ��λλ �� = �λλ � • �� ��.
• Si λλ > 0, el vector mantiene el mismo sentido. Si λλ < 0, el vector cambiade sentido.
• Si λλ = 0, entonces λλ = (vector nulo).�0
�a
�a
�a
�a
�a
PARA ARCHIVAR
X
Y
X
Y
3
2
2
–
�a
�a
�a
�a
U5 Pág. 138 - 157 29/11/06 17:22 Page 154
Unidad 5 VECTORES
155Vectores
Propiedades del producto
Dado los escalares λλ y µµ, y los vectores y , se cumplen las siguientespropiedades:
1. λλ ( + ) = λλ + λλ 3. λλ(µµ ) = (λλµµ)
2. (λλ + µµ) = λλ + µµ 4. 1 =
Ejemplo
Dados los vectores = (–5, 2) y = (3, –4), ¿cuánto resulta ( + )?�v
�u
12
�v
�u
�u
�u
�u
�u
�u
�u
�u
�v
�u
�v
�u
�v
�u
EJERCICIOS
1. Comprueba numéricamente las propiedades 2,
3 y 4.
2. Conocidos los vectores , y representa
sobre una cuadrícula los siguientes vectores.
a. +
b. 3
c. 2 –
d. – 2
e. 2 – +
3. Dado el producto de µµ , con ≠ , contesta
las siguientes preguntas:
a. ¿Qué características cumple el producto si:
µµ > 1?, ¿µµ = 1?, ¿0 < µµ < 1?, ¿µµ = 0?,
¿µµ = –1?, µµ < –1?
b. Para cada caso anterior, justifica tu respues-
ta con la representación gráfica correspon-
diente.
4. Considera los siguientes vectores (1, 2); (4, 8);
(0, 0) y (–2, –4).
a. Expresa algebraicamente, por medio del
producto de un escalar por un vector, cada
uno en términos del otro.
b. Grafica los cuatro vectores en el mismo
sistema de coordenadas.
c. De la pregunta a y b, ¿se genera alguna
regularidad?
d. ¿Qué conclusiones puedes obtener?
5. Dados los siguientes vectores, selecciona aque-
llos que pueden representarse en función de
otro.
(–2, 1); (2, –1); (0, 1); (4, –2); (1, –0,5); (3, 1,5)
a. Los vectores seleccionados, represéntalos en
un sistema de coordenadas.
b. ¿Qué regularidad se cumple?
c. Reflexiona acerca de la siguiente frase:
“que uno o más vectores puedan escribirse
en función de otro, quiere decir que
pertenecen a la misma recta”. Justifica tu
respuesta.
�0
�a
�a
�w
�v
�u
�w
�v
�v
�u
�u
�v
�u
�w
�v
�u
TIPS
La colinealidad de puntos se
puede expresar y verificar vecto-
rialmente por medio de la
ponderación. Si M, N y P son tres
puntos colineales, entonces exis-
te algún número real λλ tal que:
= λλ .MN� ���
MP� ��
Sumo coordenadas de vectoresAplico propiedad no1
( + ) = + = (–5, 2) + (3, –4) = �– , 1� + � , –2� = �– + , 1 – 2� = (–1, –1)32
52
32
52
12
12
�v
12
�u
12
�v
�u
12
M
N
P
�w
�v
�u
U5 Pág. 138 - 157 29/11/06 17:22 Page 155
Unidad 5 VECTORES
156 Vectores
CONTENIDOS
Producto escalar
Así como está definida la operación suma para dos vectores, se define otra ope-ración, el producto escalar entre dos vectores. Este producto debe su nombre aque su resultado es un número, no un vector.
El producto escalar se define para dos vectores representados en forma carte-siana, = (a1, a2) y = (b1, b2), como la multiplicación de las coordenadas deambos vectores, componente a componente y sumando sus resultados.
Ejemplo 1
Dados los vectores = (2, –1) y = (3, 4), ¿cuánto resulta su producto escalar?
• = (2, –1) • (3, 4) = 2 • 3 + (–1) • 4 = 6 – 4 = 2
Otra manera de obtener el producto escalar entre dos vectores = (a1, a2) y
= (b1, b2), es cuando está involucrado el ángulo que se forma entre ellos (αα).
Este se calcula como, • = �� �� • �� �� • cos(αα)).
Ejemplo 2
Se tienen los mismos vectores que en el ejemplo 1. ¿Cuál es el ángulo compren-dido entre ellos?
De, • = �� �� • �� �� • cos(αα)) despejamos cos(αα))
cos αα = = �� 0,179
cos (αα)) �� 0,179 ⇒ αα �� 79,7°
2
�b
�a
�b
�a
�b
�a
�b
�a
�b
�a
�b
�a
�b
�a
�b
�a
El producto escalar de dos vectores es el producto del módulo de unode ellos por la proyección ortogonal del otro sobre él. El productoescalar de dos vectores y está dado por la expresión:
�b
�a
• = �� �� • �� �� cos (αα)) (αα: ángulo comprendido entre ambos vectores)�b
�a
�b
�a
o bien si = (a1, a2, ..., an) y = (b1, b2 ..., bn)�b
�a
• = a1 • b1 + a2 • b2 + ... + an • bn�b
�a
Por ejemplo:Dados los vectores = (a1, a2) y = (b1, b2), el producto escalar seobtiene de la siguiente forma:
• = (a1, a2) • (b1, b2) = a1 • b1 + a2 • b2�b
�a
�b
�a
PARA ARCHIVAR
TIPS
• El producto escalar es conmu-
tativo:
• Se cumple que:� �b a•≤
� �a b•
� � � �a b b a• •=
�� �� • �� ���b
�a
•�b
�a
5 5
Ya se calculó el producto escalar
Calcular el módulo de cada vector
EN EQUIPO
Analicen qué ocurre con el
producto escalar de y si:
a. aumenta y se mantiene
constante.
b. y aumentan.
c. y son perpendiculares.
d. y son paralelos.�b
�a
�b
�a
�b
�a
�b
�a
�b
�a
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Unidad 5 VECTORES
157Vectores
Producto cruz
En el producto escalar entre dos vectores y se obtiene como resultado unvalor numérico (escalar), en cambio, en el producto cruz se obtiene un nuevovector.
�b
�a
El producto cruz cumple con las siguientes propiedades:
• Es distributivo respecto de la suma de vectores.• El producto cruz de un vector por sí mismo es nulo.
EJERCICIOS
1. Demuestra algebraicamente:
a. Que el producto cruz es distributivo.
b. Que el producto cruz de un vector por sí
mismo es el vector nulo.
2. Considera un cubo de 4 unidades de arista y los
posibles vectores que se pueden formar.
Completa en cada caso con el vector que resulta.
a.
b.
c.
d.
3. En el pizarrón se dibuja un vector horizontal
de 12 unidades y otro de 10 unidades que
forman un ángulo de 30º con el anterior.
a. ¿Cuál es la dirección del producto de x ?
b. ¿Cuál es el sentido de este vector?
c. ¿Cuál es el módulo de este producto cruz?
d. ¿Cuál es el área del paralelogramo que se
forma con estos vectores?
�b
�a
BF x BC� �� � ��EA x EF� �� ���CD x CB� ��� � ��AB x AD� ��� � ���
El producto cruz o vectorial entre dos vectores y , se define
como un tercer vector , perpendicular a los vectores y , cuyo
módulo corresponde al área del paralelogramo que forman y ,
y se simboliza por x , el cual corresponde al nuevo vector , es
decir, x = .
Además: �� �� = �� �� • �� �� • sen(αα)) , donde αα es el ángulo menorformado por los vectores y
�b
�a
�p
�p
�b
�a
�p
�b
�a
�b
�a
�b
�a
�p
�b
�a
EN EQUIPO
Demuestren que el producto
cruz no es conmutativo.
D
B
C
E
F
GH
A
� � �p a x b=
� � �p b x a=
� � �p a b= •
αα
αα
αα
�p
�a
�b
�p
�a
�a
�b
�b
�b
sen(αα))
sen(αα))
AYUDA
Si colocas los dedos de tu mano
derecha, de modo que el dedo
índice apunte en el mismo senti-
do que el vector y el dedo
del medio en el mismo sentido
que el vector , el sentido del �b
�a
producto cruz entre y está
dado por el dedo pulgar cuando
este se estira en forma perpendi-
cular a los otros dos dedos. Esto
se conoce como “la regla de la
mano derecha”.
�b
�a
�a
�b
x�b
�a
�a
�b
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Unidad 5 VECTORES
158 Vectores
CONTENIDOS
Vectores en el plano cartesiano
El vector unitario es perpendicular al
vector unitario .
�� �� = 1 y �� �� = 1
Ejemplos
Observa la siguiente imagen en que se muestra el vector cuya proyección
sobre el eje X es 2 vectores unitarios , y cuya proyección sobre el eje Y es
3 vectores unitarios .
De esta manera, las componentes ocoordenadas del vector son:
= 2 + 3 = (xc, yc)
= 2 + 3 = (2, 3)ji�c
ji�c
�c
j
i
�c
ji
i
j
TIPS
• Para representar vectores uni-
tarios que están en los ejes X e Y,
utilizamos las letras y respec-
tivamente.
• El vector unitario tiene la
misma dirección que el eje X, en
sentido positivo.
• El vector unitario tiene la
misma dirección que el eje Y, en
sentido positivo.
j
i
ji
Se denominan vectores unitarios aquellos vectores cuya magnitudo módulo es igual a la unidad. Estos definen las coordenadas deun vector respecto del origen del plano cartesiano.
Si los vectores unitarios y están centrados en el origen, estos sepueden escribir en la forma canónica, es decir:
= (xi, yi) = (1, 0) �� �� = 1
= (xj, yj) = (0, 1) �� �� = 1jj
ii
ji
PARA ARCHIVAR
X
Y
Y
X
3
2
1
–1
–2
–3 –2 –1 1 2 3
3
2
1
–1
–2
–3 –2 –1 1 2 3i
�c
j
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Unidad 5 VECTORES
159Vectores
Entonces, para expresar en forma canónica el vector , debemos descom-poner las coordenadas (xc, yc) en función de las coordenadas de los vectoresunitarios.
= (2 , 3) = 2 + 3 = 2 (1, 0) + 3 (0, 1)
¿Cómo realizarías la suma de vectores en el plano cartesiano?
Dado los vectores = (ax, ay), = (bx, by) y = +
Entonces se tiene que = ax + ay y = bx + by .
= + = ax + ay + bx + by
= + = (ax + bx) + (ay + by)
Finalmente = + = (ax + bx, ay + by).�b
�a
�c
ji�b
�a
�c
jiji�b
�a
�c
ji�bji
�a
�b
�a
�c
�b
�a
ji�c
�c
EJERCICIOS
1. Expresa en forma canónica los siguientes
vectores y grafícalos.
a. = (–1, 2) d. = (0, 5)
c. = (–4, 0)
2. Escribe en forma canónica los vectores señala-
dos en la imagen.
3. En un mismo sistema cartesiano dibuja los
siguientes vectores de posición.
= (–1, 4) = � , 3� = (–1, –3)
= (2, –2) = (1, 1) = (1, –1)
4. Expresa los vectores , y en términos de
los vectores unitarios y .ji
�c
�b
�a
OF� ���
OE� ���
OD� ���
OC� ���1
2OB� ���
OA� ���
�u
�v
�s
Todo vector = (vx, vy) puede ser escrito en forma canónica de la si-guiente manera:
= (vx, vy) = vx + vy = vx(1, 0) + vy(0, 1)ji�v
�v
PARA ARCHIVAR
b. = �–3, – � e. = �– , – �12
12
�x
13
�t
–4
–4
4
4 X
Y
O
O
OO
i
j�b
�b �
a�a
�c
�c �
d
IR A LA WEB
Desarrolla el laboratorio 4.
www.santillana.cl/emedia/mat4
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Unidad 5 VECTORES
160 Vectores
CONTENIDOS
Ecuación vectorial de la recta
Sabemos que dos puntos determinan una recta en el plano. Del mismo modo,si esos puntos son extremos de vectores, podríamos generalizar diciendo quedos vectores dan origen a una recta.
En un plano cartesiano se puede representar una recta L que pasa por el puntoP0(x0, y0) y con vector de dirección . Si P es un punto cualquiera de la recta
de coordenadas P(x, y), existe un número real λλ, tal que, = λλ , y por lo tanto:
OP = OP0 + λλ
Utilizando los vectores de posición p0 de P0 y de P, resulta:
= p0 + λλ
Además, si d1 y d2 son las componentes del vector , la ecuación vectorial de larecta, expresada en coordenadas es:
(x, y) = (x0, y0) + λλ(d1, d2)
Ejemplo 1
Dado los puntos A(2, 3) y B(5, 2) determina la ecuación vectorial de la recta quepasa por ellos.
Calculamos el vector dirección de la recta buscada = – = (–3, 1).
De esa manera podemos escribir la ecuación de la recta vectorial como:(x, y) = (5, 2) + λλ(–3, 1) con λλ ∈ �.
También podemos escribir la ecuación vectorial como:
(x, y) = (5 – 3λλ, 2 + λλ) o bien,
x = 5 – 3λλ
y = 2 + λλ
�b
�a
�d
�d
�d
�p
�p
�d
�dP P0
� ���
�d
La expresión = p0 + λλ recibe el nombre de ecuación vectorial de la �d
�p
recta o ecuación de la recta en la forma vectorial, donde es el vectordirección conocido, paralelo a la recta, y λλ es un parámetro que al tomardiferentes valores nos entrega diferentes puntos que forman la recta.
�d
PARA ARCHIVAR
Y
X
P0
p0
P
L
O
�
p�
� ��
� ��
la cual se conoce como ecuación paramétrica de la recta.�
� �� � ��
� ��
�d
U5 Pág. 158 - 173 30/6/08 12:49 Page 160
Unidad 5 VECTORES
161Vectores
¿Qué sucede si λλ = ?
Remplacemos en la ecuación (x, y) = (5 – 3λλ, 2 + λλ)
(x, y) = �5 – , 2 + � = � , � = � , �Por otra parte, el punto medio del segmento determinado por estos vectoresestá dado por:
� , � = � , �, lo cual coincide con el punto
correspondiente a λλ = .
Ejemplo 2
Dada la ecuación paramétrica de la recta:
x = 5 + 3λλy = 2 + λλ
determina la ecuación cartesiana.
Para esto debemos despejar el parámetro en cada una de las ecuaciones ante-riores:
x = 5 + 3λλ ⇒ λλ =
y = 2 + λλ ⇒ λλ = y – 2
Igualamos ambos parámetros y despejamos:
= y – 2 ⇒ x – 5 = 3y – 6 ⇒ y = x +
(Ecuación cartesiana de la recta)
Observa que la recta tiene como pendiente , esto indica que un vectordirector posible es (3, 1).
13
13
13
x – 53
x – 53
12
52
72
3 + 22
2 + 52
52
72
4 + 12
10 – 32
12
32
12
Una ventaja importante de una ecuación vectorial de una recta, espoder obtener ecuaciones para un segmento específico de la recta pormedio de una restricción del parámetro λλ. Por ejemplo, la ecuaciónvectorial (x, y) = (2, –1) + λλ(1, 2); 1 �� λλ �� 3 describe el segmento de rectaque va desde (3, 1) hasta (5, 5) (obtenidos al remplazar por el mínimo yel máximo valor del parámetro).
PARA ARCHIVAR
AYUDA
El punto medio de un segmen-
to, cuyos extremos son (a, b) y
(c, d) está dado por:
� , �b + d2
a + c2
AYUDA
La ecuación cartesiana de la
recta está dada por
ax + by + c = 0, o bien
y = mx + n.
TIPS
Si d es un vector director cuyas
coordenadas son (d1, d2), la
pendiente de la recta m corres-
pondiente está dada por
m = .d2
d1
U5 Pág. 158 - 173 30/6/08 12:49 Page 161
Unidad 5 VECTORES
162 Vectores
CONTENIDOS
Ecuación vectorial de la recta en el espacio
Para representar la ecuación vectorial de una recta en el espacio, podemosgeneralizar a partir de su ecuación vectorial en el plano, es decir, dado unpunto P(x0, y0, z0) perteneciente a una recta L, cuyo vector director tienecoordenadas (d1, d2, d3). Entonces la ecuación vectorial en el espacio es:
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λλ(d1, d2, d3)
Además: (x, y, z) = (x0 + λλd1, y0 + λλd2, z0 + λλd3) λλ ∈ �
La forma paramétrica de esta recta se obtiene al despejar las coordenadas, esdecir,
(x, y, z) = (x0 + λλd1, y0 + λλd2, z0 + λλd3)entonces:
x = x0 + λλd1y = y0 + λλd2z = z0 + λλd3
Ejemplo 1
Consideremos la recta L que pasa por P(1, 3, –2) y Q(2, 1, –2). En este caso, el
vector director está dado por = = (1, –2, 0), luego la ecuación vecto-rial de L es:
(x, y, z) = (1, 3, –2) + λλ(1, –2, 0)
Ejemplo 2
¿Cómo podemos determinar si tres puntos son colineales y por tanto quepertenecen a una misma recta?
Dados los puntos P(1, 1, 1), Q(1, 0, –1) y R(1, 2, 3), debemos comprobar que
los vectores y son paralelos, = (0, –1, –2) y = (0, 2, 4).
Ahora debemos comprobar que existe un número real λλ, tal que = λλ .Veamos si se cumple:
(0, 2, 4) = λλ(0, –1, –2) ⇒ 2 = –λλ y 4 = –2λλ, de donde se infiere que λλ = –2.Por lo tanto, los puntos P, Q y R son colineales y pertenecen a la mismaecuación vectorial de la recta.
PQ� ���
QR� ���
QR� ���
PQ� ���
QR� ���
PQ� ���
PQ� ����
d
Ecuación paramétrica dela recta en el espacio.
AYUDA
Si P es cualquier punto de la
recta L, se tiene:
= + λλ λλ ∈ ��d
�q
�p
AYUDA
• Recuerda que los vectores
y son paralelos si existe un
número real λλ, tal que:
�w
�v
• Dos vectores y son per-
pendiculares si • = 0.�w
�v
�w
�v
TIPS
Sean L1: = 0 + λλ y
L2: = 0 + µµ , entonces L1 es
paralela con L2 solo si es para-
lelo a .
Del mismo modo, L1 es perpen-
dicular a L2 solo si es perpen-
dicular a .�w
�v
�w
�v
�w
�q
�q
�v
�p
�p
= λλ�w
�v
�dQ
P
O
Z
Y
L
X
�
RP
Q
= –2PQ� ���
QR� ���
�q�
p
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Unidad 5 VECTORES
163Vectores
La ecuación vectorial de la recta en el espacio que pasa por (x0, y0, z0),con vector director (d1, d2, d3) está dada por(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λλ(d1, d2, d3), con λλ � �.
PARA ARCHIVAR
EJERCICIOS
1. ¿Se puede determinar la ecuación vectorial de
la recta a partir de los puntos (1, 1) y (4, 4)? Si
la respuesta fuera sí. ¿Cuál sería la ecuación
vectorial?
2. Dado el punto P(2, –2) y el punto Q(–4, 4).
¿Cuál es el punto medio del segmento PQ?
3. Dada la ecuación vectorial de la recta
(x, y) = (1, 2) + λλ(4, 8). Determina tres puntos
que pertenezcan a la recta.
4. Dada la ecuación vectorial de la recta
(x, y) = (1, 2) + λλ(4, 8). Determina la ecuación
cartesiana de la recta.
5. Dada la recta y = 3x, grafícala y luego obtén
su ecuación vectorial.
6. Encuentra la ecuación cartesiana correspondien-
te a la recta que pasa por el punto (5, –2) y es
paralela a la dirección del vector = (–2, 3).
7. Encuentra la ecuación vectorial de la recta que
pasa por el punto (–3, 2) y es paralela a la
recta y = 3x – 2.
8. Determina si los puntos (0, 0); (0, 11); (–3, 0)
pertenecen a la recta anterior.
9. Determina la ecuación vectorial de una recta
perpendicular a (x, y) = (2, –5) + λλ(1, –4), luego
grafica ambas rectas.
10. Escribe la ecuación vectorial de la recta L que
pasa por P(12, –5, 7) y Q(0, 6 , –3).
11. Determina si los siguientes puntos son coli-
neales.
a. P(1, 0, 2), Q(–1, 1, 1) y R(3, –1, 1).
b. P(–1, –1, –1), Q(–1, 0, 1) y R(–1, –2, –3)
c. P(0, –1, –2), Q(0, 2, 4) y R(0, 1, 2)
d. Escribe la ecuación vectorial para cada trío
de puntos colineales encontrados anterior-
mente.
12. Encuentra la ecuación vectorial de la recta L1
de tal manera que sea paralela a la recta
L2: (x, y, z) = (1, 3, –2) + λλ(6, 4, 2).
13. Generaliza la ecuación vectorial de la recta en
el espacio, para una recta que pasa por el
origen.
14. Generaliza la ecuación vectorial de la recta en
el espacio, para una recta que pasa por un
punto cualquiera y es paralela a una recta
que pasa por el origen.
�d
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Unidad 5 VECTORES
164 Vectores
CONTENIDOS
Ecuación vectorial de un plano en el espacio
Anteriormente aprendiste que un plano queda determinado por tres puntosno colineales, dos rectas secantes, dos rectas paralelas o una recta y un puntoque no está en ella.Complementaremos lo anterior con algunas herramientas matemáticas revi-sadas en la unidad, por lo tanto, un plano en el espacio ππ, también puede estardeterminado por un punto A(a1, a2, a3) y dos vectores directores no paralelos,
= (r1, r2, r3) y = (s1, s2, s3).
Observando la figura, para un punto P(x, y, z) cualquiera del plano ππ se
cumple lo siguiente: .
Por lo que es un vector que pertenece al plano ππ, entonces = λλ + µµ ,
con λλ y µµ números reales, luego = + λλ + µµ .
¿Cuál será la ecuación vectorial del plano?
Expresando la ecuación vectorial por sus coordenadas, tenemos:(x, y, z) = (a1, a2, a3) + λλ(r1, r2, r3) + µµ(s1, s2, s3). Igualando componente a componente, encontraremos las ecuaciones paramé-tricas de un plano, x = a1 + λλr1 + µµs1; y = a2 + λλr2 + µµs2; z = a3 + λλr3 + µµs3.
Las ecuaciones paramétricas se pueden reescribir como sistemas de ecuaciones,para ser eliminados los parámetros λλ y µµ, para así obtener la ecuación generalo cartesiana de un plano.
Ax + By + Cz + D = 0
Ejemplo 1
Dados A(2, –2 , 1), = (1, 0, –1) y = (–2, 3, 2). Determina la ecuación vecto-rial del plano.Conocida la ecuación vectorial = + λλ + µµ , se tiene que la ecuación pedi-
da es: = (2, –2, 1) + λλ(1, 0, –1) + µµ(–2, 3, 2).
Ejemplo 2
Dado un plano ππ que pasa por los puntos no colineales P(1, 1, 1), Q(2, 1, 2) yR(0, 2, –1), ¿cuál es la ecuación vectorial del plano?Para obtener la ecuación pedida tenemos que encontrar los vectores directores.
�p
�s
�r
�a
�p
�s
�r
�s
�rOA
� ���OP� ���
�s
�rAP
� ���AP� ���
OP OA AP� ��� � ��� � ���
= +
�s
�r
La ecuación vectorial del plano en el espacio queda determinada por= + λλ + µµ , siendo y los vectores posición de los puntos
A y P, respectivamente; con λλ y µµ números reales.
�p�
a�s
�r
�a
�p
PARA ARCHIVAR
O
�s
�s
ππ
ππP
�r
A
A �r
U5 Pág. 158 - 173 11/7/08 13:31 Page 164
Unidad 5 VECTORES
165Vectores
= = (1 – 2, 1 – 1, 1 – 2) = (–1, 0, –1)
= = (1 – 0, 1 – 2, 1 + 1) = (1, –1, 2)
Por lo tanto la ecuación vectorial del plano es: ππ : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λλ(–1, 0, –1) + µµ(1, –1, 2).
Ejemplo 3
Dados tres puntos, P(0, 0, –1), Q(1, 2, 1) y R(1, 4, 4) no colineales. Obtén unpunto T, tal que los cuatro puntos conformen un paralelogramo.Determinamos T de la siguiente manera:
= (1 + 1 – 0, 2 + 4 – 0, 1 + 4 + 1) = (2, 6, 6)
¿Cuál es la ecuación vectorial del plano que pasa por los puntos P(0, 0, –1), Q(1, 2, 1) y R(1, 4, 4)?
(x, y, z) = P + λλ + µµ ; λλ, µµ � �.
(x, y, z) = (0, 0, –1) + λλ(–1, –2, –2) + µµ(–1, –4, –5)
Vamos a determinar su ecuación vectorial y luego comprobar que el puntoT(2, 6, 6) pertenece al plano. Para esto debemos resolver el siguiente sistemade ecuaciones.
(2, 6, 6) = (0, 0, –1) + λλ(1, 2, 2) + µµ(2, 6, 7)
Con λλ, µµ � � y su vector director = (2 – 0, 6 – 0, 6 + 1) = (2, 6, 7)
2 = –λλ – 2µµ4 = –2λλ – 4µµ λλ = 06 = –2λλ – 6µµ
–6 = 2λλ + 6µµ µµ = –16 = –1 – 2λλ – 7µµ
Como este sistema tiene solución (satisface las tres ecuaciones), el punto Tpertenece al plano y además conforma un paralelogramo originado a partirde los puntos P, Q y R.
TP� ��
RP� ��
QP� ���
�t
� � � ��� � �� � � �t p PQ PR p q p( – )= + + = + + ( – ) –
� � � � �r p q r p= +
RP p r� �� � �
= –�s
QP p q� ��� � �
= –�r
EJERCICIOS
1. Caracteriza el plano definido por
λλ(2, 2, 0) + µµ(0, 0, 1) = , con λλ y µµ números
cualesquiera.
2. Analiza la suma λλ + µµ(0, 0, 1) para cualquier
valor de los parámetros, con un vector en el
espacio tridimensional. ¿Qué se obtiene?
3. Sitúa un cubo con vértices en el origen, de
modo que las aristas se ubiquen sobre los ejes
X, Y, Z. Determina la ecuación vectorial y
analítica de los planos portadores de sus caras
y de las rectas formadas por la prolongación
de sus aristas.
4. La ecuación vectorial de un plano es
(x, y, z) = (0, 0, 2) + k (2, 4, 4) + g (2, 6, 7),
k, g � �. Determina si es paralelo a alguno de
los ejes X, Y o Z.
�v
�v
�v
TIPS
Si la ecuación vectorial de un
plano es
(x, y, z) = P + λλ + µµ ;
λλ, µµ � �, se tiene que:
• El plano es paralelo al eje X, si
los vectores y son parale-
• El plano es paralelo al eje Y, si
los vectores y son parale-
• El plano es paralelo al eje Z, si
los vectores y son parale-RP� ��
QP� ���
RP� ��
QP� ���
RP� ��
QP� ���
RP� ��
QP� ���
AYUDA
Planos en el espaciotridimensional
Plano horizontal XY ecuación
z = 0.
Plano vertical YZ ecuación x = 0.
Plano vertical XZ ecuación y = 0.
X
Z
Y
X
Z
Y
X
Z
Y
los al vector unitario = (0, 1, 0).j
los al vector unitario = (1, 0, 0).i
los al vector unitario = (0, 0, 1).k
⇒�
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Unidad 5 VECTORES
166 Vectores
CONTENIDOS
Gráfico de rectas y planos
Como ya sabemos, la ecuación vectorial de la recta está determinada por unpunto y una dirección, por consiguiente por un punto de la recta y un vectorparalelo a ella. ¿Cómo graficar una recta en el plano, dada la ecuación vecto-rial de esta?
Ejemplo
Consideremos una recta L en el plano, A(5, 7) un punto perteneciente a L y = (2, 2) un vector paralelo a L.
Primer paso: determinamos la ecuación vectorial de la recta.(x, y) = (5, 7) + λλ(2, 2) con λλ: número real.
Segundo paso: graficamos el punto A y el vector en el plano cartesiano.
Tercer paso: asignamos un valor cualquiera a λλ.Si λλ = 3 el punto B resultante es:(x, y) = (5, 7) + 3 • (2, 2)(x, y) = (5, 7) + (6, 6)(x, y) = (11, 13)
Cuarto paso: unimos el punto A y B para obtenerla recta L.
�d
�d
A
A
16
14
12
10
8
6
4
2
–2
–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
16
14
12
10
8
6
4
2
–2
–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
16
14
12
10
8
6
4
2
–2
–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
A
B
B
�d
�d
�d
U5 Pág. 158 - 173 29/11/06 17:23 Page 166
Unidad 5 VECTORES
167Vectores
Ejemplo 1
Considera el plano ππ paralelo a XY, que pasa por elpunto A(1, 4, 6).
Primer paso: determinamos la ecuación vectorial delplano.ππ: (x, y, z) = (1, 4, 6) + λλ(1, 0, 0) + µµ(0, 1, 0); con λλ, µµnúmeros reales.
Segundo paso: obtenemos la ecuación paramétricadel plano.x = 1 + λλ; y = 4 + µµ; z = 6
Tercer paso: como el plano es paralelo a XY, seobtiene la ecuación cartesiana del plano, z = 6.
Cuarto paso: graficamos.
Veamos ahora cómo graficar un plano en el espacio.
Ejemplo 2
Considera la ecuación cartesiana del plano 4x + 3y = 12.
Primer paso: determinar los puntos en que corta alos ejes coordenados.Intersección eje X: y = 0 y z = 0, entonces4x = 12 ⇒ x = 3. Punto obtenido (3, 0, 0).Intersección eje Y: x = 0 y z = 0, entonces3y = 12 ⇒ y = 4. Punto obtenido (0, 4, 0).Intersección eje Z: x = 0 e y = 0, entonces0 = 12 ⇒ falso. Como esto no es cierto significaque no existe un punto en el eje Z.
Segundo paso: como no hay un punto común aleje Z, el plano que se graficará es paralelo a ese eje.
EJERCICIOS
1. Grafica la recta que pasa por el punto
A(–1, 3, 4) y es paralela al vector
= (3, –1, 2).
2. Grafica el plano que pasa por el punto (1, 6, 1)
y es paralelo al plano XZ.
3. Encuentra la ecuación cartesiana y el gráfico
de un plano, dadas las ecuaciones: x = λλ,
y = 3µµ, z = µµ y con λλ, µµ números reales.
4. Grafica el plano 4x + 5z = 20. ¿A qué eje es
paralelo?
5. ¿Qué sucede cuando en la ecuación cartesiana
de un plano no aparece una variable x, y o z?
Justifica.
6. Grafica el plano que pasa por el punto
A(3, 3, 4) y es paralelo a los vectores
= (2, 1, 1) y = (–3, –3, –3).�u
�v
�v
Z
6 (1, 4, 6)
ππ
X
Y
Z
X 3
4
Y
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Unidad 5 VECTORES
168 Vectores
CONTENIDOS
Intersección de rectas y planos en el espacio
Si consideras una recta y un plano en el espacio, se pueden dar las siguientessituaciones:
Ejemplo
Considera el plano ππ: 4x + 3y – z = 2 y la recta L :
L : con h en �. ¿Cuál es la intersección?
Sea el punto (x0, y0, z0) que pertenece al plano y a la recta. Entonces se tiene:
ππ: 4x0 + 3y0 – z0 = 2
Se tienen 4 ecuaciones.Basta obtener el valor de h0.
Remplazamos las ecuaciones de la recta, en la ecuación del plano.
4(4 + 2h0) + 3(6 + 3h0) – (–2) = 2
16 + 8h0 + 18 + 9h0 + 2 = 2
h0 = –2
Por lo tanto: x0 = 4 + 2 • –2 = 0y0 = 6 + 3 • –2 = 0z0 = –2
El punto obtenido es (0, 0, –2). Este punto satisface la ecuación del plano yla de la recta, por lo tanto, estamos en el caso en que la recta es secante alplano.
EN EQUIPO
¿Cómo tendrían que ser las ecua-
ciones del plano y de la recta, para
que su intersección sea vacía? ¿Y
para que sea una recta? Justifica.
Recta paralela al plano
Su intersección es vacía.
Recta contenida en el plano
Su intersección es la recta L.
Recta secante al plano
Su intersección es un punto P.
x = 4 + 2hy = 6 + 3hz = –2�
�
LL
L
P
ππ ππ ππ
x0 = 4 + 2h0 L : y0 = 6 + 3h0
z0 = –2
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Unidad 5 VECTORES
169Vectores
Si consideramos dos planos en el espacio, estos pueden ser paralelos, secanteso coincidentes.
Ejemplo
Considera los planos:
ππ1: 4x + 3y + z = 6ππ2: 3x + 4y + 4z = 12
Eje x Eje y Eje z
ππ1 � , 0, 0� (0, 2, 0) (0, 0, 6)
ππ2 (4, 0, 0) (0, 3, 0) (0, 0, 3)
Observamos en la gráfica que P y Q son los puntos de intersección de ambosplanos.
La intersección de los planos es una recta, ya que estos son secantes.Determinaremos su ecuación de la recta, considerando que pasa por el punto
P y que su vector director es = �– , , – �.
Entonces la ecuación vectorial de la recta es:
(x, y, z) = � , 0, � + λλ�– , , – �, con λλ perteneciente a �.2126
32
1213
3013
1213
2126
32
1213
PQ� ���
32
HISTORIA
Giuseppe Peano
(1858–1932)
Desarrolló el concepto de espacio
vectorial, en 1888, a partir de lo
cual fue posible encontrar impor-
tantísimas aplicaciones a la geo-
metría en el siglo XX.
Graficamos los planos, revisando los puntos deintersección en cada eje.
El punto Q se ubica en el plano YZ, por lo que suabscisa es cero.
� x = 0 y = z =
Luego, Q tiene coordenadas � 0, , �.32
32
32
El punto P se ubica en el plano XZ, por lo que suordenada es cero.
� y = 0 x = , z =
Luego, P tiene coordenadas � , 0, �.3013
1213
3013
1213 � �
� Z
Y
4x + z = 63x + 4z = 12
3y + z = 64y + 4z = 12
X 4
6
2
32
3
3
PQ
ππ2
ππ1
EJERCICIOS
1. Obtén el punto de intersección de la recta x = 2t,
y = 3t + 1, z = t con el plano 3x + 2y – 11z – 5 = 0.
2. ¿Cuál es la posición relativa del plano
x + y + z + 1 = 0 y la recta de ecuaciones
x – 1 = 2 – y = ?
3. Dados los siguientes planos:
x + y = 1 mz + z = 0
determina los valores de m para los cuales:
a. se cortan en un plano.
b. se cortan en una recta.
c. no se cortan.z3
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Unidad 5 VECTORES
170 Vectores
CONTENIDOS
Transformaciones geométricasTraslación
Una figura dada se puede trasladar según un vector, es decir, considerando unadirección, un sentido y una magnitud dadas. Observa a continuación la traslación T del cuadrilátero ABCD.
AA’ = BB’ = CC’ = DD’ = dABCD A’B’C’D’
Una traslación en el plano cartesiano considera las coordenadas de los vérticesde la figura a trasladar y las coordenadas del vector que traslada.
Ejemplo
La traslación del triángulo cuyos vértices son A(–4, 4), B(–2, 2) y C(–3, 6), dadapor el vector = (2, 1) es:
A’: (–4, 4) + (2, 1) = (–2, 5)
B’: (–2, 2) + (2, 1) = (0, 3)
C’: (–3, 6) + (2, 1) = (–1, 7)
En la siguiente imagen se muestrala traslación del triángulo ABC.La traslación anterior se denotacomo T(2, 1) de los puntos �ABC.
�v
La traslación de una figura en el plano cartesiano, da origen a una nuevafigura que es congruente con la anterior, es decir, mantienen la mismaforma y medidas.
T(x, y) es la traslación de una figura en el plano cartesiano, en cambioT –1 (x, y) es la traslación inversa de T(x, y), y corresponde a la trasforma-ción de A’B’C’ en ABC.
PARA ARCHIVAR
T
d
T
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
–4 –2 2 4
7
6
2
1
AYUDA
En el ejemplo:
ABC ≅ A’B’C’
�v
En esta obra de M. C. Escher se apre-
cian diferentes transformaciones
geométricas, como la traslación y la
rotación.
A
B
B’
A’
C’
C
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Unidad 5 VECTORES
171Vectores
Composición de traslaciones
Si al resultado de una traslación se le aplica otra traslación, hablaremos decomposición de traslaciones.
Observa la figura:
Como podemos observar, A’B’C’ se obtiene aplicando T1 (10, 2) a los vértices deltriángulo ABC. En cambio, A’’B’’C’’ se obtiene aplicando T2 (1, -6) a los vérticesdel triángulo A’B’C’.¿Cómo podríamos designar directamente la traslación de los vértices del trián-gulo ABC a los vértices del triángulo A’’B’’C’’?
Si los vértices del triángulo A’’B’’C’’ se obtienen aplicando T1 a ABC y luego T2 alos vértices del triángulo A’B’C’, podemos inferir que existe una composición detraslaciones, es decir,
si T1(x1, y1) y T2(x2, y2), entonces T1 o T2 = (x1 + x2, y1 + y2).
Una composición de traslaciones resulta de aplicar una traslación a otratraslación ya realizada.
PARA ARCHIVAR
EJERCICIOS
1. Identifica las traslaciones inversas de cada una
de las siguientes traslaciones.
a. T1(2, 3)
b. T2(–3, 4)
c. T3(–6, –7)
d. T4(0, –4)
2. Los vértices de un cuadrilátero son (1, 0); (0, 2);
(–3, 0); (0, –1). ¿Cuáles serán los vértices del
cuadrilátero si se aplica una traslación (3, –2)?
3. Una circunferencia de radio 1 tiene su centro
en el punto (2, 2), realiza una traslación de
esta circunferencia respecto al vector (1, –2).
–6 –4 –2 2 4 6 8 10
4
2
–2
–4
–6
–8
A
B
CA‘
B‘
B‘’
C‘
A‘’
C ‘’
T1
T2
EN EQUIPO
Consideren dos circunferencias,
una con centro O(–2, 3) y la otra
con centro A(–1, 1).
Determinen el vector que permi-
te trasladar la circunferencia de
centro O a la posición con centro
en A. Luego determinen el vec-
tor de la traslación opuesta a la
realizada.
¿Qué pueden concluir?
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Unidad 5 VECTORES
172 Vectores
CONTENIDOS
Homotecia
Una homotecia se refiere a una transformación geométrica realizada a unafigura geométrica, de manera que mantiene inalterable su forma, pero nonecesariamente su tamaño. También se puede decir que dos figuras son homotéticas si al unir medianterectas los puntos o vértices correspondientes de ellas, estas rectas concurren enun único punto que es el centro de homotecia O.
Ejemplo
En la siguiente figura se puede observar el
cuadrilátero KLMN de vértices
K(–5, 1), L(–2, 4), M(–6, 6) y N(–7, 3), y sus
respectivas transformaciones
homotéticas: H1(O, –2) y H2�O, – �.
Observa que –2 y – corresponden a la razón
de homotecia.
32
32
¿Qué sucederá con las homotecias en el espacio?
Sea A(ax, ay, az) un punto cualquiera en el espacio, y A’(ax’, ay’, az’) el puntotransformado de A por la homotecia H(C, k), con centro en C = (cx, cy, cz) yrazón k.
Se cumple que:A’ = (cx, cy, cz) + k(ax – cx, ay – cy, az – cz) lo cual se denomina ecuación vecto-rial de la homotecia H(C, k).
Una homotecia es una transformación geométrica que no afecta la formade la figura, pero sí puede cambiar su tamaño y orientación. Además:
Si k > 0 se llama homotecia directa.
Si k < 0 se llama homotecia inversa.
k = –1 corresponde a una rotación alrededor del centro O en un ángulo de180º.
PARA ARCHIVAR
K
L
O
Y
X
M
N
K2 K1
L1
M1
N1L2
M2
N2
AYUDA
Una homotecia con centro en O
y razón a, se escribe H(O, a).
TIPS
En homotecias de centro en el
origen de coordenadas, si se
considera A(x, y), y su homotético
A’(x’, y’), la relación que hay entre
ellos es la siguiente:
x’ = kx e y’ = ky
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Unidad 5 VECTORES
173Vectores
Composición de homotecias
Al igual que con las traslaciones, se puede realizar una composición de homote-cias.La composición de homotecias con distinto centro y razón nos muestra que lasfiguras se invierten cuando la constante de homotecia es -1.
Ejemplo
A continuación se muestra la composición de homotecias H1 o H2 , con H1(M, –1)y H2(N, –1).
ABC A1B1C1 A2B2C2
Algunas características de las homotecias son:• Las figuras generadas mediante homotecia son semejantes a las figuras
originales. • Los lados correspondientes entre dos figuras homotéticas son paralelos. • El producto de dos homotecias de centro C es otra homotecia de
centro C, y razón, el producto de las razones, esto es:H’(C, k’) o H(C, k) = H1(C, kk’).
PARA ARCHIVAR
TIPS
La palabra homotecia, proviene
del griego homos (semejante) y
thesis (posición).
H1(M, –1) H2(N, –1)
A1
A2
B2
C2
B
C
M
N
AB1
C1
EJERCICIOS
1. Considera un cuadrilátero ABCD de coorde-
nadas A(3, –3); B(6 , –6); C(10, 1) y D(4, 3).
Encuentra su figura homotética, respecto de
a. H(0, –1) b. H�0, �2. Comprueba que el área de una figura homotéti-
ca es igual al producto del área de la figura ori-
ginal por el cuadrado de la razón de homotecia.
3. Obtén la razón de homotecia entre �ABC y
�A’B’C’. Además, calcula las dimensiones de los
triángulos.
32 O
A
B
CC’
A’
B’
15
12
5
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Unidad 5 VECTORES
174 Vectores
EJERCICIOS RESUELTOS
Comprobamos que los
vectores sean
perpendiculares mediante
el producto escalar.
El módulo de debe ser 5.�v
Ejercicio 1
Dados los vectores = (2, x) y = (y, 3), determina el valor de x e y para que
sea perpendicular a y �� �� = 5.
Solución
Si es perpendicular a , su producto escalar debe ser cero, entonces2y + 3x = 0.
Además si �� �� = 5 ⇒ = 5
Despejamos y en la ecuación anterior: y2 + 9 = 25 ⇒ y2 = 16
Entonces y = 4 o y = –4.
Remplacemos los valores para y en la ecuación dada por el producto escalarde ambos vectores:
Para y = 4 8 + 3x = 0 ⇒ x = –
Para y= –4 –8 + 3x = 0 ⇒ x =
Luego, tenemos dos soluciones:
x = – e y = 4 ; x = e y = –4
Comprobemos que las soluciones sean correctas.
Con x = – e y = 4, tenemos = �2, – � y = (4, 3)
• = 8 – 8 = 0
�� �� = = = 5
Con x = e y = –4 , tenemos = �2, � y = (–4, 3)
• = –8 + 8 = 0
�� �� = = = 5
Por lo tanto, ambas soluciones son correctas.
25–4 32 2( )+�v
�v
�u
�v
83
�u
83
254 32 2+�v
�v
�u
�v
83
�u
83
83
83
83
83
y2 23+�v
�v
�u
�v
�v
�u
�v
�u
El módulo de un
vector (a, b)
está dado por .a b2 2+
(a, b) • (d, c) = ad + bc
Despejamos x
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Unidad 5 VECTORES
175Vectores
Ejercicio 2
Dado un paralelogramo ABCD, se conocen tres vértices A(1, –2), B(6, 1) yD(–6, 3).
a. Calcula el cuarto vértice C.b. Encuentra el punto M de intersección de las diagonales.
Solución
Para facilitar la resolución del problema lo represen-taremos gráficamente.
a. Observa que está dado por la suma de y ,es decir,
= B +
= B +
= = (6, 1) + (–6, 3) – (1, –2) = (–1, 6)
Entonces C tiene coordenadas (–1, 6).
b. Las dos diagonales se cortan en su punto medio, por lo tanto
M = = � , � = (0, 2) o bien,
M = = � , � = (0, 2) , coordenadas del punto medio de las diagonales.
Ejercicio 3
Determina si el punto (–2, 7) pertenece a la recta L: (x, y) = (2, 1) + λλ(–2, 3).
Solución
Escribiremos la ecuación vectorial en la forma cartesiana,L: (x, y) = (2 – 2λλ, 1 + 3λλ).
Entonces, x = 2 – 2λλ e y = 1 + 3λλ , por lo tanto, λλ = � � y λλ = � �.
Igualamos los valores de λλ,
= ⇒ 6 – 3x = 2y – 2 ⇒ –2y – 3x + 8 = 0
Por último evaluamos la pertenencia del punto en la recta–2 • 7 – 3 • –2 + 8 = –14 + 6 + 8 = 0
Podemos concluir que (–2, 7) pertenece a la recta L.
y – 13
2 – x2
y – 13
2 – x2
1 + 32
6 – 62
B + D2
–2 + 62
1 – 12
A + C2
� � �b d a( – )+
�c
AD� ����
c
BC� ���
c
BC� ���
b�c
En un paralelogramo, los
lados paralelos tienen igual
medida, por lo tanto:
+ = + AD� ����
bBC� ���
b
También se puede resolver
utilizando = + .DC� ����
d�c
El punto medio entre (a, b)y (d, c) está dado por
� , �.b + c
2a + d
2
Despejando λλ de x e y.
Si un punto pertenece a una
recta, entonces satisface la
ecuación de esta.
C
B
A
D
–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6
7
6
5
4
3
2
1
–1
–2
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Unidad 5 VECTORES
176 Vectores
DESAFÍOS
1. (Demre, 2003) ¿Cuál de las siguientes rectas del
plano cartesiano es representada por la ecuación
x = a?
A. La recta paralela al eje X que pasa por elpunto (0, a).
B. La recta paralela al eje X que pasa por elpunto (a, 0).
C. La recta paralela al eje Y que pasa por elpunto (0, a).
D. La recta paralela al eje Y que pasa por elpunto (a, 0).
E. La recta que pasa por el origen y por elpunto (a, a).
2. (Demre, 2004) El paralelepípedo recto se sitúa
en un sistema cartesiano tridimensional tal como
lo ilustra la figura. ¿Cuáles son las coordenadas
del punto D?
A. (a, b, c) D. (b, 0, c)
B. (0, a, c) E. (0, b, c)
C. (a, 0, c)
3. (Olimpiadas matemáticas, 2003) Dadas 3 rectas
en el plano, que concurren en el punto O,
considere los 3 ángulos consecutivos que se
forman entre ellas (cuya suma es, naturalmente,
180 grados). Sea P un punto del plano que no se
encuentra en ninguna de las rectas y sean A, B, C
los pies de las correspondientes perpendiculares
trazadas desde P a cada recta. Demuestra que el
triángulo ABC tiene los mismos ángulos que los
que las rectas forman entre sí.
4. (Demre, 2004) El �ABC de la figura, se sitúa en
el sistema cartesiano tridimensional, tal como se
ilustra en la figura. ¿Cuál es el perímetro de este
triángulo?
A. 3
B. 10 + 3
C. 10 +
D. 3 + 5
E. N. A.
5. (Olimpiadas matemáticas, 2003) Investiga si
puede un caballo de ajedrez recorrer un mini ta-
blero de tamaño 4 x 4 de modo que llegue a cada
uno de los 16 casilleros una única vez. Nota: el
dibujo abajo muestra los puntos finales de las
ocho posibles movidas del caballo (C) en un table-
ro de ajedrez de tamaño 8 x 8.
6. (Demre, 2004) En la figura, se tiene un círculo de
centro (–2, 2) y radio 1, entonces al efectuar una
traslación del círculo al nuevo centro (2, 1) sitúa
al punto P en las coordenadas:
A. (1, 2)
B. (2, 1)
C. (0, 2)
D. (2, 2)
E. (1, 1)
2
2
2
2
C
X
X
Z
Y
Y
Z
4
33
C
B
A
D
ab
c
Y
X
P
–4 –3 –2 –1 1
4
3
2
1
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Unidad 5 VECTORES
177Vectores
MEDIOS
Ajedrez: un juego de razonamiento y concentración
Se cree que el origen del ajedrez data del siglo VI. Este consiste en un tablero que está formado por64 cuadrados organizado en filas y columnas (llamadas escaques), de las cuales la mitad son blancosy la otra mitad son negros.Sobre el tablero se disponen fichas con las cuales se pueden realizar distintos movimientos. Paradescribir el movimiento de una pieza podemos indicar el número de cuadrados que se desplaza.
Por ejemplo, el alfil blanco que está colocado en la cuadrícula (1, 1), para pasar a la cuadrícula (4, 4), sedesplaza tres cuadraditos hacia el este y tres cuadraditos hacia el norte. Describimos el movimiento del alfil de la siguiente manera:
(3, 3) = (4, 4) – (1, 1)Con la operación anterior hemos encontrado las componentes del vector desplazamiento del alfil.
1. Indica el vector de desplazamiento descrito por los pares de números que se indican acontinuación:
a. Torre blanca pasa de (5, 3) a (5, 7).b. Alfil negro pasa de (3, 6) a (7, 2).c. Peón blanco pasa de (7, 2) a (7, 4).d. Caballo negro pasa de (6, 5) a (7, 7).
2. Para mayor información acerca del ajedrez y de torneos que se realizan en nuestro país, puedesingresar al sitio web: www.clubajedrezchile.cl (recuerda que las páginas o su contenido puedenvariar).
Un juego de ajedrez termina cuando unode los jugadores realiza un “jaque mate”,palabra derivada de shah mat (“el rey hamuerto” en idioma persa).
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Unidad 5 VECTORES
178 Vectores
SÍNTESIS
Mapaconceptual
Resumen
Construye tu mapa conceptual que relacione al menos los conceptos clavedados.
Conceptos clave:
Vector
Sentido
Magnitud
Dirección
Plano
Recta
Espacio
Vector director
Ángulo diedro
1 Módulo de un vector: longitud del segmento determinado por el vector.
El módulo de un vector = (a1, a2) está dado por �� �� = .
2 Dirección de un vector: está dada por la recta que lo contiene.
3 Sentido de un vector: está indicado por la punta de la flecha.
4 Operatoria con vectores
Suma o resta de vectores: se realiza de la siguiente manera,
± = (a1, a2) ± (b1, b2) = (a1 ± b1, a2 ± b2),
donde = (a1, a2) y = (b1, b2)
�b
�a
a a12
22+
�a
�a
�a
�b
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Unidad 5 VECTORES
179Vectores
Ecuación cartesiana de la recta:
Ax + By + C = 0
Ecuación paramétrica de la recta:
x = x0 + λλd1
y = y0 + λλd2
: vector director de la recta que contiene al vector; P0(x0, y0): un punto perteneciente a dicha rectaλλ : parámetro (número real).
�d
�b
�b
�b
�b
�a
�a
�a
�a�� �� cos(αα))
�b
x�b
�a
� �a kb=
αα
Ecuación vectorial de la recta:
(x, y) = p0 + λλ = (x0, y0) + λλ(d1, d2)�d
� ��
Producto escalar de dos vectores: Geométricamente, el producto escalar
de dos vectores es el producto del módulo de uno de ellos por la proyec-
ción ortogonal del otro sobre él. Si el sentido de esta proyección es
opuesto al del primer vector, esta proyección es negativa. El producto
escalar da como resultado un número dado por:
• = �� �� �� �� cos(αα))
• = (a1, a2) • (b1, b2) = a1 • b1 + a2 • b2
Producto cruz o vectorial: este producto entre dos vectores está dado
por la expresión �� �� �� �� sen(αα)), donde αα representa el ángulo
formado por ambos vectores. El resultado de este producto resulta un
nuevo vector, perpendicular a los anteriores.
Vector ponderado: sean y dos vectores con la misma dirección. Si
los situamos en el mismo origen, vemos que podemos expresar uno en
función del otro multiplicando por un escalar: = k o = k’ .
Recíprocamente, si = k o = k’ , los dos vectores tienen la misma
dirección y por lo tanto son paralelos (k: constante).
5 Ecuación de la recta en el plano
6 Ecuación de la recta en el espacio
La ecuación de la recta en el espacio, está dada por la expresión,
(x, y, z) = P0 + λλ = (x0, y0, z0) + λλ(d1, d2, d3), donde : vector director de
la recta; P0(x0, y0, z0): un punto perteneciente a dicha recta; λλ: parámetro
(número real).
7 Ecuación vectorial de un plano en el espacio: está dada por
ππ: (x, y, z) = (x0, y0, z0) + λλ(d1, d2, d3) + µµ(v1, v2, v3), con y vectores
directores del plano; P0(x0, y0, z0) un punto perteneciente a él.
�v
�d
�d
�d
�a
�b
�b
�a
�a
�b
�b
�a
�b
�a
�b
�a
�b
�a
�b
�a
�b
�a
U5 Pág. 174 - 183 30/6/08 12:53 Page 179
Unidad 5 VECTORES
180 Vectores
EVALUACIÓN
1. Los vectores de la figura tienen la misma mag-
nitud. Si = 2 – + , entonces el vector
que mejor representa la dirección de es:
A. C. E.
B. D.
2. Los módulos de los vectores de la figura son 4,
3 y 2 unidades. Si = – 2 – 3 , entonces
el módulo de es:
A. 4 unidades
B. 8 unidades
C. 14 unidades
D. 16 unidades
E. 18 unidades
3. Los vértices de un hexágono regular definen
los vectores de la figura. ¿Cuál de las siguien-
tes relaciones es incorrecta?
A.
B.
C.
D.
E.
4. Sobre una partícula actúan dos fuerzas, como
indica la figura. El módulo de la fuerza
resultante es:
A. 3 N
B. 15 N
C. 21 N
D. 225 N
E. Ninguna de las anteriores.
5. Si = (2, 1); = (0, 1) entonces =
A. 1
B. 2
C. 3
D. (2, 1)
E. (0, 1)
6. La ponderación entre λλ = 5 y = (1, 5) es:
A. 5
B. 25
C. (1, 5)
D. (5, 25)
E. Ninguna de las anteriores.
7. Los vectores de la figura forman un cuadri-
látero. ¿Cuál de las siguientes relaciones entre
ellos es correcta?
A.
B.
C.
D.
E.� � � �a b c d+ = +
� � � �a c d b+ = –
� � � �a d c b+ = –
� � � �a c b d– = –
� � � �a d b c+ = +
�a
� �a b•
�b
�a
� � �e d c– = 3
� � �d a c+ = –2
� � �e c a– =
� � � �e d b a+ = –
� � � �a b c+ + = 0
�r
�c
�b
�a
�r
�r
�c
�b
�a
�r
�a
�a
�a
�d
�a
�b
�b
�b
�c
�c
�c
�b
�c
9 N
12 N
�d
�e
U5 Pág. 174 - 183 29/11/06 17:24 Page 180
Unidad 5 VECTORES
181Vectores
I)
II)
III)
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. I, II y III
E. Ninguna de las anteriores.
9. Sobre una partícula se aplican tres fuerzas
, . Si la partícula se
A.
B.
C.
D.
E. Ninguna de las anteriores.
10. Sean = (2, 3) y = (7, 2), entonces
es:
A. 29
B. (21, 8)
C. (27, 22)
D. 27
E. No se puede determinar.
A. �� �� + �� ��
B. •
C. � , �D. � , �E. � , �
12. Si P es un punto de la recta y Q es un
punto que no pertenece a esta recta, entonces
es falso que:
A. hay una recta perpendicular a que
pasa por Q.
B. hay un plano que contiene .
C. P, Q y M son colineales.
D. P, M y N son colineales.
E. hay un solo plano que pasa por Q, M y N.
13. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa
la misma recta que la ecuación vectorial:
= (1, 1) + λλ(–1, 1)?
A. y – x – 2 = 0 D. –y – x – 2 = 0
B. y + x – 2 = 0 E. –y – x + 2 = 0
C. y + x + 2 = 0
�x
MN� ���
MN� ���
MN� ���
2ac
(a + b)(c2 + 1)cd
a2 – b2
c(a + b)2
d
(a + b)2
c2d
a2 – b2
d
�s
�r
�s
�r
� � �a b b• +
�b
�a
– ˆ ˆ3 4i j–
– ˆ ˆ3 4i j+
13 18ˆ ˆi j–
3 4ˆ ˆi j–
F i j2 5 7���
= – +ˆ ˆF i j1 8 11��
= –ˆ ˆ
�c i jˆ ˆ= –3 3
�b i jˆ ˆ= – –3 4
�a i jˆ ˆ= – –5 2
mantiene en equilibrio, la expresión para es:F3
���
8. Si los vectores , y se encuentran en un
plano cartesiano, ¿cuál(es) de las siguientes
relaciones es(son) correcta(s)?
�c
�b
�a 11. Si = � , � y = � , �
con c y d no nulos, entonces + es:�s
�r
a + bc
a + bcd
�s
a – bc
ac + bcd
�r
(1, 1)(–1, 1)
�a
�b
�c
Y
X
U5 Pág. 174 - 183 29/11/06 17:24 Page 181
1. Un profesor de Educación Física ideó la forma-
ción de su equipo de fútbol en dos esquemas, A
y B. Uno para jugar como local y otro de visita.
Los vectores indican los desplazamientos que
realizan los jugadores desde sus puestos en un
partido. Completa el esquema B con los vectores
correspondientes de acuerdo a las indicaciones
del profesor.
Esquema A
Esquema B
Indicaciones
A. Gómez se mueve en 2 direcciones distintas y en
una dirección en un solo sentido.B. Reyes se mueve en las mismas direcciones que
en el esquema A, pero en una de las direccionesen las que se mueve supera la línea central de lacancha.
C. Solano, desde su nuevo puesto, se mueve en2 direcciones distintas, y sobre cada dirección en2 sentidos.
D. Pérez se desplazará según 3 vectores y 2 de ellosson iguales a los correspondientes a Pinto.
E. Pinto se mueve de la misma forma que en elesquema A.
F. Prado se mueve en una sola dirección.G. Moreno se mueve igual que Reyes en el
esquema A.H. Salas se mueve de la misma forma que en el es-
quema A y además en dirección a la posición deZurita.
I. Quiroz y Zurita repiten su esquema.
2. Los vectores de la figura tienen su origen en el
centro de un cuadrado y el extremo en un vér-
tice o en el punto medio de uno de los lados del
cuadrado. ¿Cuál de las siguientes igualdades es
incorrecta? Explica en cada caso.
a. d.
b. e.
c.
3. En el sistema de la ilustración, aparecen dos
bloques sobre planos inclinados en los cuales
no hay fuerza de roce.
a. Haz un diagrama que te permita repre-
sentar las fuerzas que intervienen.
b. Calcula el peso de cada uno de los bloques.
c. ¿Hacia qué lado se deslizarán los bloques?
� � � �a d b c– = +
� � � �c a b d+ = +
� � �a b d+ = 2
� � �c d b– =
� � �a c c– = –2
Unidad 5 VECTORES
182 Vectores
EJERCICIOS DE REFUERZO
>
>>
>
Pint
oPé
rez
Sola
no
Prad
oM
ore
no
Gó
mez
Reye
s
Qui
roz
Zuri
taSa
las
Pint
o
Pére
zSo
lano
Prad
oM
ore
noG
óm
ez
Reye
s
Qui
roz
Zuri
ta
Sala
s
30º
40º
30 kg
35 kg
�a
�b
�c
�d
U5 Pág. 174 - 183 30/6/08 12:54 Page 182
Unidad 5 VECTORES
183Vectores
4. Sobre el cuerpo de la figura actúan las fuerzas
= (6, 8), = (–15, 20) y = (–4, –16).
Calcula:
a. La magnitud del vector resultante.
b. La dirección del vector resultante.
5. Si = (–4, 5), = (6, –3) y = (–2, –2) grafica y
determina de modo que .
Luego, calcula su módulo y dirección dando el
ángulo que forma con el eje X.
6. En el paralelepípedo rectangular se han defi-
nido las traslaciones T1, T2 y T3 según se indica.
Determina la imagen de los siguientes puntos,
según las traslaciones indicadas.
a. D por T1 seguida de T2.
b. D por T2 seguida de T1.
c. A por T2 seguida de T1.
d. C por T2 seguida de T3–1.
e. G por T1–1 seguida de T2
–1.
f. A por T2 seguida de T3.
g. F por T1–1 seguida de T2
–1.
h. H por T2–1 seguida de T1.
7. Determina la ecuación vectorial de la recta que
pasa por dos puntos dados: A(–4, 6) y B(4, –2).
8. Considera un cuadrado ABCD, tal que el punto
de intersección de sus diagonales es G. Haz el
dibujo en tu cuaderno de las siguientes trans-
formaciones homotéticas.
b. H1(A, 2) seguida de H2�A, – �9. Define cada una de las siguientes traslaciones.
a. T1 y T1–1 b. T2 y T2
–1 c. T3 y T3–1
10. Considera el triángulo de la figura y trans-
seguida de H2(B, –1).
11. Sitúa un cubo con un vértice en el origen, de
modo que las aristas se ubiquen sobre los ejes
X, Y y Z. Determina al menos 3 ecuaciones
vectoriales de los planos portadores de sus
caras y 3 de las rectas portadoras de sus aristas.
32
� � � �v a b c= + – 2
�v
�c
�b
�a
f3���
f2���
f1��
A
T1
T2
T3E
D
H G
F
C
B
fórmalo mediante la homotecia H1�A, �32
a. H1(G, 3) seguida de H2�G, �12
T1–1
T3–1
T2–1
T1T2
T3
A
B
U5 Pág. 174 - 183 29/11/06 17:24 Page 183
UN
IDA
D
6
184 Geometría: áreas y volúmenes
Geometría: áreasy volúmenes
Laconstrucción yremodelación deedificios ha tenido undesarrollo importante enlos últimos años, productodel crecimiento económico denuestro país. En una de las prin-cipales avenidas de Santiago,apreciamos esta realidad.
Si nos detenemos un poco y obser-vamos las formas geométricaspresentes en estas construccionesencontraremos los mismos ele-mentos que has estudiado através de tus años de escolari-dad. En esta unidad profun-dizarás acerca de dosconceptos muy impor-tantes: el área y elvolumen.
U6 Pág. 184 - 207 29/11/06 17:26 Page 184
En esta unidad aprenderás a...
185Geometría: áreas y volúmenes
Calcular áreas y volúmenes de cuerpos geo-métricos.
Conocer y aplicar el principio de Euler y Cavalieri.
Trabajar con las secciones de una esfera.
Dibujar las proyecciones de un cuerpo en el plano.
Calcular el área y volumen de cuerpos genera-dos por traslación y rotación.
ExploraRealiza el laboratorio 1
correspondiente a la unidad 6que aparece en
www.santillana.cl/emedia/mat4
U6 Pág. 184 - 207 29/11/06 17:26 Page 185
1. Si un lado del cuadrado PQRS de la figuramide 20 cm, y L, M, N son puntos medios decada lado, calcula el área sombreada.
2. Calcula el área del trapezoide ABCD de lafigura, considerando que AB = 8 cm, DE = 12 cm,h = 3 cm y h1 = 7 cm.
DE//AB
3. Calcula el área del triángulo FHG de la figura,suponiendo que HG = 3 cm, FH = 5 cm, FG = 7 cm.
4. Calcula el área de las siguientes figuras:
a. c. e.
b. d. f.
5. Expresa la mitad del lado de un triángulo equilátero inscrito en unacircunferencia, en función del radio.
6. Completa las siguientes equivalencias:
a. 234 m = dm g. 53.288 cm3 = dm3
b. 8.400 dm2 = cm2 h. 5.000 dm2 = m2
c. 4,51 m = cm i. 4,0009 m3 = cm3
d. 0,0079 cm2 = m2 j. 0,0057 dm3 = m3
e. 5,606 cm3 = m3 k. 1.000 dm = cm
f. 3.600.000 m = dm l. 9.350 cm2 = dm2
ρ =3
2
Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
186 Geometría: áreas y volúmenes
REPASO
¿Cuánto sabes? S
L
P
R
N
Q
C
E
B
H
F G
3 cm7 cm
2 cm
1,5
cm
3,2 cm
0,6
6
97
122
4
3 3
2
44
4
32
6 6
6
72
5 cm
A
D
h
h1
M
ρ
4 cm
4 cm
2,5 cm
2,5 cm
U6 Pág. 184 - 207 29/11/06 17:26 Page 186
Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
187Geometría: áreas y volúmenes
¿Qué debesrecordar?
7. Calcula el área coloreada de las siguientes figuras, considerando launidad de medida.
a. A = ______ dm2 b. A = ______ m2 c. A = ______ cm2
8. La siguiente lata de conservas tiene un diámetrode 8 cm y una altura de 13 cm.
a. ¿A qué cuerpo geométrico se asemeja?b. ¿Cuál es el área total de sus bases?c. Estima el área de la etiqueta
de papel que cubre la lata.d. Estima el volumen de la lata.
15 m 7,5 m 2 m3 m
1 Un polígono es una figura geométrica plana cerrada formada por launión de un conjunto de segmentos consecutivos que se intersectan alo más en un extremo común, donde cualquier par de ellos con unextremo común no es colineal.
2 Un polígono es convexo si cualquier par de puntos que pertenece a suinterior, determina un segmento totalmente contenido en él. De locontrario, es un polígono cóncavo.
3 Se llama polígono regular a todo polígono convexo cuyos lados y ángu-los son congruentes.
Por ejemplo: triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, etc.
4 Se llama polígono inscrito en una circunferencia a todo polígono cuyosvértices son puntos de ella.
5 Un polígono está circunscrito a una circunferencia si todos sus lados sontangentes a la circunferencia.
6 Equivalencias en las unidades de medida:
1 m = 10 dm = 100 cm1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2
1 m3 = 1.000 dm3 = 1.000.000 cm3
U6 Pág. 184 - 207 6/30/08 11:14 PM Página 187
EJERCICIOS
1. Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal
mide cm.
2. El área de un cuadrado circunscrito en una
circunferencia es 144 m2. Calcula el área de la
circunferencia.
3. Halla el área de un triángulo cuya base y altura
son respectivamente el lado del triángulo
equilátero y el lado del cuadrado, inscritos en
una circunferencia de radio cm.
4. Calcula el área de un cuadrado inscrito en una
circunferencia de radio 8 cm.
5. Calcula el área y el perímetro
de la figura, si para su
construcción se dibujaron 4
semicírculos de radio 2 cm.
6. En la figura, el lado del cuadrado ABCD mide
10 m. Calcula la razón entre el área de la
circunferencia circunscrita e inscrita al cuadrado.2
4 2
Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
188 Geometría: áreas y volúmenes
CONTENIDOS
Concepto de área
A lo largo de tu educación básica y media estudiaste progresivamente lasfiguras en el plano, como cuadriláteros, círculos y triángulos entre otras.
Así también, conociste fórmulas y procedimientos para determinar el área yel perímetro de estas figuras. En esta unidad ampliaremos nuestro estudiohacia el cálculo de áreas y volúmenes en el espacio tridimensional.
Es común asignar al concepto de superficie y área el mismo significado; sinembargo, debemos diferenciar ambos términos.
Una idea intuitiva de superficie se refiere a aquellas formas quecaracterizan a un cuerpo. Una superficie puede ser plana, como esen el caso de las caras de prismas, pirámides, etc., o bien, curvas,como por ejemplo, en el cono, cilindro, etc.
El área es la medida que se asocia a una superficie, el área de uncuerpo será entonces, la suma de las medidas de la superficie decada una de sus caras. El área se mide en unidades tales como,centímetros cuadrados, metros cuadrados, etc.
h h
A B
D C
b
b
TIPS
Superficie se puede entender
como la cáscara que cubre a los
cuerpos.
U6 Pág. 184 - 207 6/30/08 12:23 PM Página 188
Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
189Geometría: áreas y volúmenes
EJERCICIOS
1. Observa los cuerpos anteriores, luego responde.
a. ¿Tienen igual área?
b. ¿Qué puedes concluir?
2. Las medidas de las bases de los siguientes
paralelepípedos son iguales, pero la altura del
bloque C es igual a la suma de las alturas de
los bloques A y B.
a. ¿Qué relación hay entre los volúmenes
respectivos?
3. Demuestra que el
plano trazado que
contiene a las aristas
opuestas de un para-
lelepípedo oblicuo
divide a este cuerpo en dos prismas triangu-
lares equivalentes en volumen.
4. Considera un cubo de arista 2 cm.
a. ¿Qué sucede con el volumen si el lado
aumenta al doble? ¿Y con el área?
b. Si entre dos cuerpos semejantes, el cociente
de sus longitudes (ya sea referida a aristas,
diagonales, etc.) es k, ¿cuál es el cociente
entre sus volúmenes?
Concepto de volumen
Para calcular el volumen de un cuerpo en el espacio, lo comparamos con uncubo de arista una unidad. En el sistema métrico decimal, la unidad de volu-men es el metro cúbico (volumen de un cubo de un metro de arista).
Ejemplo
Cada uno de los siguientes cuerpos está formado por cubitos de 1 metro dearista cada uno.
¿Cuál es el volumen de cada cuerpo?
Todos tienen igual volumen, 8 m3, pues están formados por 8 cubitos deigual medida.
El volumen de un cuerpo es la medida del espacio que ocupa.
AB
C
A BC
D
EF
GH
2
22
2
4 1
1 1
8
U6 Pág. 184 - 207 29/11/06 17:26 Page 189
Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
190 Geometría: áreas y volúmenes
CONTENIDOS
Principio de Cavalieri
Observa la siguiente figura:
A la izquierda tenemos unmontón de discos iguales unossobre otros, a la derecha seencuentran los mismos discospero descolocados. ¿Tendrán elmismo volumen?
Por lo tanto, en la figura anterior, ambos montones de discos tienen elmismo volumen.
EJERCICIOS
1. Determina si las siguientes construcciones
tienen igual volumen en las cuales se ocuparon
bloques de igual dimensión. Justifica.
2. Si el volumen del prisma de la figura es 340 cm3,
calcula el área de una sección transversal que
se obtiene mediante el corte con un plano
paralelo a las bases.
HISTORIA
Bonaventura Cavalieri.
(1598 - 1647)
Matemático y clérigo italiano,
pionero del cálculo integral,
enunció el teorema que actual-
mente lleva su nombre.
Si dos cuerpos tienen la misma altura y bases de igual área, y al cortarlospor cualquier plano paralelo a las bases el área de las secciones es lamisma, ambos tienen el mismo volumen.
Es decir, si A1 = A2, entonces V1 = V2
Lo anterior se conoce como principio de Cavalieri.
PARA ARCHIVAR
12 cm
A1
A2
V1
V2
U6 Pág. 184 - 207 6/30/08 12:24 PM Página 190
Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
191Geometría: áreas y volúmenes
Teorema de Euler
En años anteriores estudiaste diferentes tipos de poliedros, recordemos sudefinición:
Observa los siguientes poliedros convexos:
¿Existe alguna relación entre el número de caras, vértices y aristas de cada uno?
EJERCICIOS
1. En el siguiente cuadro se muestran 5 poliedros
regulares (todas sus caras son polígonos regu-
lares).
a. Verifica el teorema de Euler para cada uno
de ellos.
2. Sabiendo que el número de vértices de un prisma
es 20 y el número de aristas es 30, ¿cuántas
caras tiene?
3. El número de vértices de una pirámide es 11 y
el número de aristas 20, ¿cuántas caras tiene?
4. Determina la veracidad de las siguientes
proposiciones. Justifica tus respuestas.
a. Un poliedro puede tener el mismo número
de vértices que de aristas.
b. Un poliedro puede tener el mismo número
de caras y de aristas.
c. Un poliedro puede tener el mismo número
de vértices que de caras.
En un poliedro convexo cualquiera se cumple la siguiente relación:
nº de caras + nº de vértices = nº de aristas + 2
Esta relación se conoce como Teorema de Euler.
PARA ARCHIVAR
Un poliedro es un cuerpo geométrico cerrado delimitado por cuatroo más regiones poligonales. Las regiones poligonales que limitan alpoliedro se llaman caras del poliedro, los lados de estos reciben elnombre de aristas y concurren a un punto llamado vértice.
AYUDA
Poliedro convexo
Todas sus caras se pueden "apoyar"
en el plano.
Poliedro cóncavo
No todas sus caras se pueden
"apoyar en el plano".
Tetraedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro
Cubo
U6 Pág. 184 - 207 29/11/06 17:26 Page 191
EJERCICIOS
1. Calcula el área de un prisma rectangular de
6,4 y 9,5 cm de base y 16,5 cm de altura.
2. Calcula el área total de un prisma hexagonal
regular de arista 8 cm de base y altura 10 cm.
3. Calcula la arista de un cubo que tiene igual
área total que un octaedro formado por un
triángulo de lado 6 cm.
4. Se quiere pintar una habitación rectangular
(incluido el techo) de medidas 4 m de ancho,
6 m de largo y 3 m de alto. Cada tarro de
pintura sirve para pintar 30 m2.
a. ¿Cuántos tarros de pintura se necesitarán
para realizar el trabajo?
5. Calcula el área de los siguientes prismas.
a. c.
b. d.
Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
192 Geometría: áreas y volúmenes
CONTENIDOS
Área y volumen de prismas
Es fácil deducir cómo obtener el área de un prisma a partir de su desarro-llo, es decir, la figura plana con la que podemos construir el prisma doblan-do y pegando. El desarrollo de un prisma está formado por rectángulos (quecorresponden a las caras laterales) y por dos polígonos que forman lasbases.
Ejemplo
¿Cómo calcularías el área total de un prisma?
TIPS
Aquellos prismas cuyas bases y
caras laterales son paralelo-
gramos se denominan para-
lelepípedos.
El área total de un prisma es igual a la suma de las áreas de cada unade sus caras laterales y basales. Es decir,
AT = AL + 2AB
Donde AT: área total; AL: suma de áreas laterales; AB: área basal.
PARA ARCHIVAR
8 cm
h
2,4 cm
5 cm
4 cm4 cm
4 cm
4 cm4 cm
12 cm
6 cm
10 cm
10 cm
h
B
U6 Pág. 184 - 207 29/11/06 17:26 Page 192
Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
193Geometría: áreas y volúmenes
Volumen de un prisma
Vamos a calcular el volumen de un prisma a partir del volumen de un para-lelepípedo. Puedes observar que un prisma es una traslación de un polígonosobre un plano determinado, y como tal, puede tener dirección y sentido.En las siguientes figuras se observa esta situación.
Todos estos cuerpos tienen la misma altura y sus bases tienen igual área, sinembargo, sus inclinaciones son distintas. Según el principio de Cavalieri:como las áreas transversales son iguales, los volúmenes también lo son, portanto, resulta fácil calcular el volumen, ya que basta con determinar solo eldel paralelepípedo.
EJERCICIOS
1. Calcula el volumen de un cubo de arista 12 cm.
2. Calcula el volumen de un prisma triangular
regular donde la arista de la base mide 10 cm
y altura 6 cm.
3. Calcula el volumen de los siguientes prismas.
En ambos casos la arista de la base mide 3 cm,
la altura 4 cm y sus bases son polígonos regu-
lares.
a.
b.
4. El área de la base de un prisma es x cm2, y su
altura mide 2x cm. Si el volumen del prisma es
54 cm3, ¿cuál es la altura del prisma?
5. Las aristas de un paralelepípedo están en la
razón 2 : 3 : 4 y su diagonal principal mide
cm. ¿Cuál es el área total y el volumen
del paralelepípedo?
6. El volumen de un prisma recto de base hexa-
gonal es m3 y su altura mide 5 cm.
¿Cuál es la medida de los lados del hexágono?
7. En un envase con forma de prisma de base
cuadrada, la altura es el doble de la medida
del lado de la base y el área total es 250 m2.
Calcula el volumen del envase.
120 3
4 29
TIPS
En algunos problemas, lo más
difícil es calcular el área basal.
El volumen de un prisma está dado por la expresión: V = B • h,donde B es el área de la base y h la altura del prisma.
PARA ARCHIVAR
HISTORIA
Gérard Desargues
(1591 - 1661)
Matemático francés, precursor
del planteamiento de la geome-
tría proyectiva.
h h h
B B B
figura 2figura 1 figura 3T
T T1
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B B B
h
H1 H2 H3
Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
194 Geometría: áreas y volúmenes
CONTENIDOS
Área y volumen de pirámides
Al igual que en el caso de los prismas o de cualquier otro poliedro, el áreade una pirámide se calcula sumando el área de cada una de sus caras. ¿Pero,cómo se calculará el volumen de una pirámide?
En las siguientes figuras se observa la descomposición de un prisma trian-gular en tres pirámides regulares.
Las 3 pirámides tienen el mismo volumen.Entonces, ¿qué puedes deducir respecto del volumen de una pirámide?
Ejemplo
Calcula el volumen de las siguientes pirámides, sabiendo que B = 3 cm2 yh = 10 cm.
Como puedes observar, H1, H2, H3 son semejantes a las bases, en cada caso,además cada pirámide tiene igual área basal, por lo tanto podemos concluir que
H1 = H2 = H3
Luego, aplicando el principio de Cavalieri, tenemos que las tres pirámidestienen, igual volumen, es decir,
V = • 3 • 10 = 10 cm313
TIPS
Si la base de una pirámide tiene
n lados, entonces el número de
caras es n + 1, el de aristas 2 • n
y el número de vértices n + 1.
AYUDA
Recuerda que H1, H2 y H3 corres-
ponden a secciones definidas
por el plano transversal.
AYUDA
Una pirámide regular tiene
todas sus aristas de igual medida.
El volumen de una pirámide equivale a un tercio del volumen del prisma,es decir,
Vpirámide = Vprisma = B • h (B: área de la base; h: altura)13
13
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P
Q
N
S
M
R
B
P
Q
N
S
M
R
PP
N
SS
MM M
R
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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
195Geometría: áreas y volúmenes
EJERCICIOS
1. Calcula en cada caso el volumen del prisma y
el de la pirámide. Comprueba las relaciones
obtenidas en la página anterior.
a.
b.
2. Calcula el volumen y el área de las siguientes
pirámides de base cuadrada.
a.
b.
3. El techo de una casa tiene forma de pirámide
cuya base es un cuadrado de 12 m de lado y
8 m de altura. Determina los metros cuadrados
de tejas necesarios para cubrir todo el techo.
4. Calcula la masa del siguiente objeto de base
cuadrada, si cada cm3 tiene una masa de
3,2 gramos.
5. Los siguientes son juguetes de madera que
serán pintados del mismo color. Sobre cada
uno se indica cuántos se van a fabricar. Calcula
la cantidad de pintura necesaria para tal labor.
(Un litro de pintura rinde aproximadamente
3 m2).
6. En el museo del Louvre, en París, se construyó
una pirámide de vidrio en el año 1989. Ésta
tiene una altura de 22 m y la base tiene forma
de un cuadrado de 30 m de lado. Calcula el
volumen y el área de la pirámide.
7 cm4 cm4 cm
6 cm
12 cm
14 cm
12 cm
8 cm6 cm
8 cm
7 cm
4 cm3 cm3 cm
12 cm
h = 24 cm
h
10 cm
4 cm
5,3 cm
12 cm
10 cm5 cm
15 cm
10 cm15 cm
4 cm 3 cm
1530 22
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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
196 Geometría: áreas y volúmenes
CONTENIDOS
Área y volumen de cilindros
Observa la siguiente ilustración:
Las secciones definidas por el plano transversal tienen igual área, por tanto,aplicando el principio de Cavalieri, tenemos que el área de las bases esequivalente, además:
Vprisma = VcilindroV = h • B (B: área de la base)
Vcilindro = h • ππ • r2
Veamos ahora cómo calcular el área de un cilindro.Observa el desarrollo de un cilindro:
Podemos ver que la superficie lateral del cilindro está formada por unrectángulo, mientras que sus bases corresponden a círculos.
AYUDA
El área de una circunferencia está
dada por la expresión ππ • r2.
(r: radio)
AYUDA
Un cilindro se obtiene al rotar
un rectángulo sobre uno de sus
lados. La altura del rectángulo
que genera el cilindro se denomi-
na generatriz (g).
El volumen de un cilindro se calcula mediante la siguiente fórmula:
V = h • ππ • r2 (r: radio de la circunferencia de las bases)
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g
g
h
r
h
r
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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
197Geometría: áreas y volúmenes
Entonces, el área del cilindro está dada por:
A cilindro = 2 • A circunferencia + A rectánguloA cilindro = 2 • ππ • r2 + 2ππr • gA cilindro = 2 • ππ • r (r + g)
El área de un cilindro es igual a la suma del área lateral, dada por unrectángulo, y sus áreas basales, dadas por dos circunferencias congruentes.Esto es:
A cilindro = 2 • ππ • r (r + g)
(g: generatriz o altura del rectángulo; r: radio de la circunferencia de labase)
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AYUDA
La base del rectángulo coincide
con el perímetro de la circunfe-
rencia.
EJERCICIOS
1. ¿Cuál es el área total de un tubo de acero con
forma cilíndrica, si su radio basal mide 5 cm y
su largo 2 m?
a. ¿Cuántos cm3 de pintura se necesitan para
pintar 100 de estos tubos? (1 litro de pintura
rinde aproximadamente 3m2).
2. ¿Qué condición debe cumplir el radio y la
altura de un cilindro para que su área lateral
sea equivalente a la suma de las áreas basales?
3. Responde, dando un ejemplo en cada caso.
a. ¿En qué razón están las áreas de dos
cilindros rectos de igual altura, si el radio
basal de uno de ellos es el doble del otro?
b. ¿Qué sucede con el área de un cilindro
si solo su altura se duplica?
c. ¿Qué sucede con el área de un cilindro
si el radio y la altura se duplican?
d. ¿Qué sucede con el volumen de un cilindro
si solo su altura se duplica?
e. ¿Qué sucede con el volumen de un cilindro
si solo su radio se duplica?
4. Se construyó un pozo como el de la figura.
Si la altura es de 120 cm, el grosor es de 40 cm
y el hueco mide 1 m, ¿cuál es el volumen del
pozo?
5. Las bebidas en lata, en general, tienen todas
el mismo volumen (350 cm3) y tienen forma
cilíndrica. ¿Cuál debería ser el diámetro de la
base de cada lata si ahora todas deben tener
una altura de 5 cm? ¿Por qué tendrán todas
la misma medida?
g
2 • ππ • r
1 m
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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
198 Geometría: áreas y volúmenes
CONTENIDOS
Área y volumen de conos
En esta unidad, se ha estudiado cómo los prismas son generados por trasla-ciones de algún polígono, y cómo las pirámides son generadas por homote-cias (proyecciones) con respecto a un polígono. Los conos, que ahora vere-mos son generados por revoluciones de una región triangular con respectoa un eje de simetría.
Un cono está formado por un círculo (base) y por un sector circular. El arcodel sector circular tiene longitud 2 • ππ • r (porque es la longitud de la circun-ferencia de la base). Por consiguiente, el área lateral de un cono es igual alárea del sector circular.
Asc = = = ππ • r • g
El área de la base corresponde al área de una circunferencia, es decir, ππ • r2,entonces, el área total de un cono se puede calcular mediante la siguientefórmula:
Acono = ππ • r • g + ππ • r2
Acono = ππ • r (g + r)
2 • ππ • r • g2
longitud del arco • radio2
El área de un cono está dada por la expresión:
Acono = ππ • r (g + r)
(r: radio de la circunferencia de la base del cono, g: generatriz del cono).
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CC
generatriz (g)
B
r
BA
AYUDA
r
Sectorcircular
αα
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Hemos determinado una expresión para calcular el área de un cono, pero¿cómo calculamos su volumen?
Si construimos un cilindro y un cono (de cartón por ejemplo) cuyas basestengan igual área y sus alturas sean congruentes, llenando el cono conarena y volcando su contenido en el cilindro, podremos comprobar que elcontenido del cono cabe exactamente tres veces en el cilindro. Esto significaque el volumen del cono equivale a la tercera parte del volumen delcilindro.
Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
199Geometría: áreas y volúmenes
EJERCICIOS
1. Calcula el área de un cono recto cuya genera-
triz mide 20 cm y cuyo radio basal es de 15 cm.
2. Determina la capacidad de un depósito de
arroz que tiene una forma similar a la que se
muestra en la figura.
3. Calcula la altura de un cono si el área lateral
mide 16 ππ cm2 y el radio basal mide 4 cm.
4. En una planta de salitre almacenan el mineral
formando cerros con forma similar a un cono de
dimensiones: 40 m de radio y 10 m de altura.
Si el salitre acumulado debe ser transportado
en un camión con capacidad de carga de
300 m3, ¿cuántos viajes debería realizar el camión?
5. Calcula el volumen del espacio limitado entre
el cono y el prisma, según las medidas indicadas.
5
El volumen de un cono está dado por la expresión
V = ππ • r2• h
(r: radio de la base del cono; h: altura del cono)
13
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20 cm
15 cm
4 cm
4 cm
6 cm
8 cm
12 cm
8 cm 6 cm
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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
200 Geometría: áreas y volúmenes
CONTENIDOS
Área y volumen de la esfera
Volumen de la esfera
Uno de los hallazgos más apreciados del matemático griego Arquímedesfue determinar cómo calcular el volumen de la esfera. El procedimiento queutilizó consistió en relacionar el volumen de la esfera con el volumen delcilindro y el del cono.
Empezó considerando un cilindro de radio R, un cono de radio R y altura R
y una semiesfera de radio R. Arquímedes observó que cuando se corta la
semiesfera, el cilindro y el cono por un plano paralelo a las bases a una
distancia h del vértice, las áreas de las secciones producidas en la semiesfera
(A1), en el cilindro (A2) y en el cono (A3) verifican la siguiente relación:
A1 = A2 – A3
Observa esta situación en el siguiente cuadro.
Se observa que A1 = ππR2 – ππh2 = A2 – A3
Considerando una nueva superficie: el cilindro menos el cono, aplicamos el
principio de Cavalieri, ya que los cuerpos tienen la misma área en la base y la
misma altura, y tenemos:
Vsemiesfera = Vcilindro – Vcono
Vsemiesfera = ππ • R2• R – ππR2
• R
Vsemiesfera = ππR3 – ππR3
Vsemiesfera = ππR3 y a partir de esta relación podemos deducir el volumen
de la esfera.
23
13
13
TIPS
La esfera se puede obtener a
partir de la rotación de una
semicircunferencia sobre un eje.
El volumen de la esfera está dado por la expresión:
Vesfera = ππR3 (R: radio de la esfera)43
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Sección de la semiesfera (A1) Sección del cilindro (A2) Sección del cono (A3)
Como r2 + h2 = R2
Entonces r2 = R2 – h2
A1 = ππr2 = ππR2 – ππh2
A2 = ππR2 A3 = ππr2
Como el radio y la altura del cono soniguales, al cortar por un plano el cono
se forma un triángulo OPQ, luego:
h = rππh2 = ππr2 = A3
O
h Rr R
RO O
hP Qr
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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
201Geometría: áreas y volúmenes
Área de una esfera
El cálculo del área de una superficie esférica es complejo, pues a diferencia
de los poliedros, del cono y del cilindro, esta no se puede representar en el
plano (no es posible construir una red).
Para calcular el área de la superficie esférica, nos apoyaremos en el volumen
de esta.
El volumen de la esfera se puede aproximar sumando los volúmenes de
muchas pirámides triangulares iguales, cuyas bases (triángulos) están
inscritas o circunscritas en la superficie esférica y cuyos vértices están en el
centro de la esfera, como muestra la siguiente ilustración.
El volumen de la esfera equivale a la suma de todos los volúmenes de las
pirámides (supongamos n pirámides). Se obtiene:
Vesfera = B1 • h + B2 • h + … + Bn • h = (B1 + B2 + … + Bn) • h
Además, B1 + B2 + … + Bn equivale al área total de la esfera, luego:
Vesfera = Aesfera • h = ππR3, despejamos Aesfera, Aesfera = 4ππR243
13
13
13
13
13
AYUDA
B1, B2, …, Bn corresponden al área
de la base de cada pirámide.
El área de la esfera está dada por la expresión:
Aesfera = 4ππR2 (R: radio de la esfera)
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EJERCICIOS
1. Calcula el volumen y el área de una esfera de
6 cm de radio.
2. Una esfera, un cilindro y un cono tienen igual
radio. La suma de los volúmenes del cilindro y
del cono ¿puede equivaler al volumen de la
esfera? Justifica.
3. Una esfera está inscrita en
un cubo de 6 cm de arista,
es decir, las caras son
tangentes a la esfera.
Calcula el volumen de
la esfera y el área de la
superficie esférica.
Esta estructura corresponde
a la Geode ubicada en Francia.
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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
202 Geometría: áreas y volúmenes
CONTENIDOS
Secciones de una esfera
Al cortar una esfera por uno o más planos secantes, estos generan dife-rentes secciones. A continuación estudiaremos algunos casos particulares.
Ejemplo
Observa que al cortar la esfera con un plano se forman dos secciones, seconsidera como casquete esférico a la menor de ellas.
Para calcular el área de un casquete esférico, necesitamos conocer la medi-da de la altura de este y el radio de la esfera. Con estos datos, el área estádada por la expresión:
Acasquete = 2ππR • h
Ejemplo
Como puedes apreciar, esta sección está relacionada con el ángulo queforman entre sí estas dos semicircunferencias.
Casquete esférico: parte de la superficie esférica formada al cortaruna esfera por un plano secante.
Huso esférico: parte de la superficie de la esfera limitada por dossemicircunferencias máximas que tienen un diámetro en común.
AYUDA
R: radio de la esfera.
r: radio de la circunferencia
formada por la intersección del
plano y la esfera.
AYUDA
Al cortar una superficie esférica
con un plano, las secciones
obtenidas corresponden a cir-
cunferencias. Si el plano pasa
por el centro de la esfera, las
circunferencias se denominan
circunferencias máximas.
h h
R
r
αα
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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
203Geometría: áreas y volúmenes
Para determinar el área de un huso, utilizaremos proporciones. Tenemos:
= (αα: ángulo formado por las semicircunferencias)
Ahuso = 4ππR2
• αα360º
ααAhuso
360º
4ππR2
EJERCICIOS
1. Calcula el área de un huso esférico con radio
R = 10 cm y ángulo 90º.
2. Si la altura de un casquete es h, entonces el
volumen de este casquete está dado por la
fórmula:
V = ππRh2 – ππh3
a. ¿Cuál es el volumen de un casquete de
3 cm de altura en una esfera de 9 cm
de radio?
b. Si el volumen de un casquete es 54,43 cm3
y su altura es de 2 cm, ¿cuál es el radio
aproximado de la esfera?
c. ¿Cuál es el área del casquete en los dos
casos anteriores?
3. Calcula el área de un huso esférico de 40º de
amplitud, en una esfera de 3 cm de radio.
4. Calcula la amplitud de un huso esférico en una
superficie esférica de 6 cm de radio y cuya
superficie es de 32 cm2.
5. ¿Qué amplitud en grados debe tener un huso
esférico en una esfera de radio 12 cm para que
su área sea igual a la de un casquete esférico
de altura 5 cm?
6. El radio de la tierra es de 6.370 km.
a. ¿Cuál es el área de un huso esférico de 5º?
b. ¿Cuál es el área de un huso esférico de 18º?
7. En la figura se observa un foco que ilumina
una esfera de radio 10 cm. Si la altura del
sector iluminado es 2 cm, ¿cuál es el área de
la superficie iluminada de la esfera?
¿Qué sucede con el área si se aleja o acerca
el foco de luz? Comparte con tus compañeros.
13
El área de un casquete esférico está dada por la expresión:
Acasquete = 2ππR • h
El área de un huso esférico está dada por la expresión:
Ahuso =
(R: radio de la esfera; αα: ángulo formado por dos semicircunferencias;h: altura del casquete esférico).
4ππR2• αα
360º
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U6 Pág. 184 - 207 29/11/06 17:26 Page 203
PV
PH
LT
Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
204 Geometría: áreas y volúmenes
CONTENIDOS
Proyecciones en el plano
En la unidad anterior aprendiste que mediante algunas transformacionesgeométricas, tales como una traslación, se podían generar otras figuras. Enestas páginas estudiaremos cómo, por medio de proyecciones, todo cuerpopuede ser representado en el plano.
Ejemplo
El cuerpo de la figura está representado en tres planos por medio deproyecciones ortogonales (perpendiculares a los planos).
A partir de las proyecciones de un sólido se puede obtener un modelo delmismo en tres dimensiones. Este principio es usado en programas computa-cionales para dar la idea de volumen de un cuerpo que se representa en unapantalla (plano).
Veamos el siguiente ejemplo de un sistema diédrico.
PV: plano vertical
PH: plano horizontal
LT: Línea de tierra
EN EQUIPO
Respondan las siguientes pre-
guntas:
¿Qué tipo de cuerpo se genera
mediante la proyección ortogonal
de un polígono?
¿Qué cuerpo se genera mediante
la proyección ortogonal de un
círculo?
Si la representación del cuerpo es solo en dos planos perpendiculares,se habla de un sistema diédrico.
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Z
X
Y
C
AYUDA
La línea de tierra representa la
intersección entre el plano verti-
cal y horizontal.
U6 Pág. 184 - 207 6/30/08 11:15 PM Página 204
Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
205Geometría: áreas y volúmenes
En la figura anterior, las proyecciones ortogonales originan dos vistas delobjeto: la planta y el alzado, términos muy utilizados por profesionales deldiseño y del arte.
Veamos otros ejemplos:
EJERCICIOS
1. Dibuja en un sistema diédrico los siguientes
cuerpos.
a. b.
2. Dibuja el cuerpo correspondiente
a la siguiente representación
en un sistema diédrico.
3. Supón que un cuadrado tiene uno de sus
vértices en el origen, con uno de sus lados
sobre los ejes de coordenadas y con una arista
de 4 unidades de longitud.
a. ¿Qué cuerpo se genera al trasladar este
cuadrado por un vector (0, 0, 4)?
b. ¿Cuál es el volumen de este cuerpo?
c. ¿Cuál es el área total del cuerpo generado?
d. Si el vector de traslación fuera (0, 0, –8),
¿qué cuerpo se generaría y cuánto sería
su volumen?
e. ¿Cuál debería ser el vector de traslación
que se aplique al cuadrado para generar
un paralelepípedo que tenga un volumen
igual a 1.000 unidades cúbicas?
PV
PVPV
PV
PH
PH PH
PHLT
LT LT
LT
LT
LT
LT
LT
CILINDRO RECTO PRISMA RECTO
PIRÁMIDE PRISMA OBLICUO
TIPS
En relación a las proyecciones
ortogonales en un sistema
diédrico se tiene que:
Alzado: es la vista de frente del
cuerpo.
Planta: es la vista desde arriba.
Además se tiene la vista de lado
llamada perfil, cuando se repre-
sentan 3 planos.
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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
206 Geometría: áreas y volúmenes
CONTENIDOS
Cuerpos generados mediante rotación
Ejemplo
Recordemos algunos cuerpos en revolución anteriormente estudiados:
Tronco de un cono
Un caso particular de cuerpo en revolu-ción, es el tronco de un cono o cono trun-cado. Este se genera mediante la rotaciónde un trapecio rectángulo cuyo eje corres-ponde al lado que forman los ángulosrectos como muestra la siguiente figura:
El área de un cono truncado, corresponde a la suma del área de la base deltronco del cono y el área lateral.
Se denomina cuerpos o sólidos en revolución a aquellos quepueden obtenerse mediante la rotación de una figura plana sobreun eje.
El área de tronco de cono está dada por la fórmula:
AT = ππ�(R + r) • g + R2 + r2�
Por otra parte, el volumen del cono truncado está dado por la expresión:
VTronco de cono = ππ h(r2 + R2 + r • R)
donde, R: radio de la base mayor; r: radio de la base menor; g: generatrizdel cono y h: altura del cono.
13
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Cilindro
(generado por la rotaciónde un rectángulo alrededorde uno de sus lados)
Cono
(generado por la rotaciónde un triángulo rectángulorespecto a uno de sus catetos)
Esfera
(generada por la rotaciónde un semicírculo alrededorde su diámetro)
C C M
D D N
M
N
A
BB
A
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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
207Geometría: áreas y volúmenes
Ejemplo
Calcula el volumen de un tronco de cono cuyos radios basales miden 10 y 6 cm,respectivamente, y su generatriz mide 8 cm.
Para calcular la altura del cuerpo, aplicaremos el teorema de Pitágoras,
h = (utilizamos las medidas del triángulo generado por lageneratriz, la base mayor del cuerpo y la altura)
V = ππ (102 + 62 + 10 • 6) = ππ • 196 �� 1.422 cm3.483
4813
8 4 482 2– =
EJERCICIOS
1. Calcula el área y volumen del siguiente cuerpo.
2. Considera el tronco de cono generado por la
rotación de un trapecio recto cuyas bases
miden 11 y 6 cm y cuya generatriz mide 13 cm.
a. Calcula la altura del tronco de cono.
b. Calcula el área del tronco de cono.
c. Calcula el volumen del tronco de cono
que se genera.
3. Dibuja el cuerpo que se genera al rotar las
siguientes figuras alrededor del eje indicado.
a.
b.
c.
4. Imagina que un rectángulo de lados 4 cm
y 6 cm gira en torno a su lado menor.
a. Dibuja el sólido que se genera.
b. Calcula el volumen del sólido.
c. Compara el volumen del sólido anterior
con el que se genera si la rotación es
respecto al lado mayor.
d. Calcula el área de cada uno de los sólidos.
e. ¿Qué condiciones debe satisfacer
el rectángulo para que el volumen
del sólido generado por la rotación
en torno a uno de sus lados sea igual
al doble del volumen del sólido generado
por una rotación en torno al otro lado?
5. De los cuerpos geométricos estudiados
a lo largo de esta unidad, ¿cuáles se pueden
generar mediante rotaciones?, ¿qué tipo de
rotaciones?
1 cm
8 cm
14 cm
10 cm
8 cm
6 cm
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EJERCICIOS
1. Dibuja en perspectiva los cuerpos relacionados
con las siguientes tomografías.
a. b. c. d.
Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
208 Geometría: áreas y volúmenes
CONTENIDOS
Problemas de aplicación I
Cuando en medicina se quiere obtener la imagen de un órgano por dentro,como por ejemplo el cerebro, se emplea una técnica que se llama tomo-grafía. Consiste en tomar una serie de radiografías del órgano que se estáexaminando, que dan imágenes del mismo según cortes paralelos entre sí,como si se hubieran hecho cortes horizontales de muy poco espesor.
Observa las tomografías que se hacen del siguiente cilindro.
En la siguiente figura se muestra una tomografía realizada a un cono.
Las tomografías funcionan de
manera similar a los rayos X,
con la diferencia que la tomo-
grafía guarda las imágenes
captadas en un computador,
mientras que los rayos X son
grabados en una placa radio-
gráfica.
U6 Pág. 208 - 211 29/11/06 17:27 Page 208
Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
209Geometría: áreas y volúmenes
EJERCICIOS
2. Imagina que el cubo de la figura puede ser
cortado por un plano
a. ¿Cuál debería ser la posición del plano para
que al cortar se origine un cuadrado?
Dibújalo.
b. ¿Cuál debería ser la posición del plano para
que al cortar se origine un rectángulo?
Dibújalo.
c. ¿Cuántos tipos diferentes de cuadriláteros
se pueden obtener? Dibújalos.
d. De todos los rectángulos que se pueden
obtener, ¿cuál es el de área máxima?
e. ¿Se pueden obtener trapecios?
f. Si se quiere obtener un triángulo
equilátero, ¿cómo debería ser el corte?
Calcula el área del mayor que se pueda
obtener.
g. ¿Hay alguna manera de obtener
una superficie que sea un pentágono?
Explica.
h. Aunque no lo creas, es posible obtener
un hexágono. Descúbrelo.
i. ¿Es posible obtener polígonos de más
de 6 lados? Explica.
3. Imagina que una pirámide de base cuadrada
se corta con un plano secante.
a. ¿Cuál debería ser la posición del plano para
que al cortar se origine un cuadrado?
Dibújalo.
b. ¿Cuál debería ser la posición del plano para
que al cortar se origine un trapecio?
Dibújalo.
c. ¿Qué otros cuadriláteros se pueden obtener
al cortar una pirámide de base cuadrada
con un plano?
4. En la figura se observa una tomografía
realizada a un cubo. Intenta dibujar los cortes
realizados al cubo de manera de obtener estas
tomografías.
5. Explica cómo son las posibles secciones que
produce un plano secante en una esfera.
Dibújalas en un papel.
6. Un plano corta a una superficie esférica dando
origen a dos casquetes esféricos. El menor
tiene 9 cm de altura y 192ππ cm2 de superficie.
Halla el área del otro casquete.
7. Explica cómo son las posibles secciones que
produce un plano secante a un cilindro.
Dibújalas en un papel.
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EJERCICIOS
1. Resuelve el problema anterior, utilizando la
semejanza entre el volumen de ambas
pirámides.
2. La maqueta de una piscina tiene forma de
prisma rectangular con dimensiones 10, 25 y
1,5 cm. Si el volumen de la piscina real es de
3 millones de litros, calcula:
a. El volumen de la maqueta.
b. Las dimensiones reales de la piscina.
c. El área de la maqueta y de la piscina real.
3. En un río contaminado hay una concentración
de nitrógeno de 0,4 miligramos por litro.
¿Cuántos gramos de nitrógeno contiene un
depósito cúbico de 12 m de arista?
4. A un lápiz grafito con forma de cilindro se le
sacó punta y esta quedó con forma cónica
como muestra la figura. La densidad de la
madera con la que está hecho el lápiz es de
0,7 , mientras que la mina tiene una
densidad de 2,25 . Considerando que
la punta del grafito es un cono con 5 mm de
altura, calcula en gramos la masa del lápiz con
una precisión de milésimos de gramos.
Considera ππ = 3,14.
kgdm3
gcm3
Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
210 Geometría: áreas y volúmenes
CONTENIDOS
Problemas de aplicación II
La pirámide de Keops es una pirámide cuadrada de arista básica 230 m yaltura 146 m. Se ha construido una maqueta de ella a escala 1 : 5.000 ¿Cuáles el volumen de dicha maqueta?
Resolveremos el problema mediante la utilización de proporcionalidad:Ambas pirámides son semejantes, por lo tanto:
= =
entonces, la altura de la maqueta está dada por
hmaqueta = = 0,0292 m = 2,92 cm
Del mismo modo calculamos la arista de la maqueta,
amaqueta = = 0,046 m = 4,6 cm
(como la pirámide es de base cuadrada el área de la base está dada por (4,6 cm)2
Por lo tanto el volumen de la maqueta es:
Vmaqueta = (4,6)2 • 2,92 �� 20,6 cm313
2305.000
1465.000
15.000
amaquetaapirámide
hmaquetahpirámide
Pirámide de Keops.
AYUDA
Recuerda la fórmula para calcu-
lar el volumen de una pirámide:
V= Ab • h
(Ab: área de la base; h: altura)
13
2 cm 8 mm
2 mm
8 cm
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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
211Geometría: áreas y volúmenes
EJERCICIOS
5. El radio de la Tierra es de 6.370 km y el de la
luna es de 1.738 km.
a. ¿Cuántas veces mayor es el radio de
la Tierra respecto al radio de la luna?
b. ¿Cuántas veces mayor es el volumen de
la Tierra respecto al volumen de la luna?
6. Un arquitecto ha proyectado un edificio de
dimensiones 25, 15 y 20 m. Sabiendo que solo
se aprovecha el 85% del volumen total del
edificio para construir y que la altura de cada
piso es de 2,5 m, calcula:
a. ¿Cuántos departamentos de 75 m2 podrán
construirse?
b. ¿Cuánto dinero obtendrá el arquitecto si
cobra el 3% del total recaudado y el metro
cuadrado de cada piso cuesta $1.200.000 ?
7. La Municipalidad de una ciudad revisó los
planos para construir un nuevo depósito de
agua con forma cilíndrica, y decidió que debía
ser el doble del tamaño planeado original-
mente. Por tanto, ordenó al constructor que
duplicara el diámetro y que no cambiara la
altura original. ¿Qué opinas acerca de esta
decisión? Comenta con tus compañeros(as).
8. Una empresa que vende jugo de fruta en
envases con forma de prisma rectangular
(11 x 6 x 15 cm) decide cambiar dichos envases
por otros en los que disminuye un 10% el área
de la base y aumenta un 10% la altura.
a. El volumen del nuevo envase, ¿es mayor o
menor que el del antiguo?
b. Si mantienen el mismo precio, ¿es positivo
para los consumidores?
9. Una empresa de reciclaje tiene un depósito
lleno de aceite. Mide 25 m de largo y 14 m de
ancho y su profundidad varía, desde los 16 m
en su parte menos profunda a los 20 m de la
zona más profunda.
a. ¿Cuántos metros cuadrados tienen
las paredes del depósito?
b. ¿Cuál es el volumen del depósito?
c. ¿Qué volumen tendría el depósito
si fuera igual de profundo en todas partes?
10. En una habitación de 5 m de largo, 3 m de
ancho y 2 m de altura se requiere almacenar
cajas de 1 m de largo, 60 cm de ancho y
40 cm de altura. ¿Cuántas cajas se pueden
almacenar en esta habitación?
11. ¿Cuántos centímetros de papel se necesitan
para una etiqueta de una lata cilíndrica de
10 cm de altura y base circular de 6 cm de
diámetro? ¿Cuál es el volumen de la lata?
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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
212 Geometría: áreas y volúmenes
EJERCICIOS RESUELTOS
Por criterio desemejanza AA
Remplazamos los valoresconocidos
despejemos h
Ejercicio 1
Un piloto vuela a 6.000 m de altura. ¿Cuál es el área del casquete esféricoque puede observar?
Solución
Si realizamos un dibujo de la situación planteada podremos apreciar unaserie de relaciones que nos pueden ayudar a resolver el problema. Para ellonecesitamos conocer la altura h de dicho casquete esférico.
El triángulo PQO es un triángulo rectángulo al igual que el formado por R,r y (R – h). Además ambos triángulos son semejantes. Luego:
=
dR – dh + R2 – Rh = R2
dR = dh + Rh
h =
h = = = �� 6 km
Por otro lado, sabemos que el área de un casquete esférico está dado por 2ππ • R • h, entonces:
2ππ • 6.370 • 6 �� 240.021,6 km2
El área que el piloto puede observar es de 240.021,6 km2.
38.2206.376
6 • 6.3706.376
dRd + R
dRd + R
RR – h
d + RR
d + R = (6 + 6.370) km= 6.376
6.000 m equivale a 6 km
h
rQ
R
O
P
d = 6.000 m
R = 6.370 km
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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
213Geometría: áreas y volúmenes
Ejercicio 2
Un depósito cilíndrico de 2 m de radio y 5 m de altura está lleno de agua.Se echa dentro una bola de piedra de 3 m de diámetro.
a. ¿Qué cantidad de agua se desbordará?
b. ¿Cuánta agua queda en el depósito?
c. Si se arrojara otra bola, quedando en el depósito 35,3 m3 de agua, ¿cuál
es el volumen de esta bola?
Solución
a. La cantidad de agua que se desbordará será igual
al volumen de la bola. Calculémoslo:
Vbola = ππ R3
Vbola = = 14,13 m3
Luego, se desbordarán 14,13 m3 de agua.
b. Para calcular la cantidad de agua que quedará en el depósito, debemos
calcular su volumen y luego restar a este la cantidad de agua
desbordada.
Vcilindro = ππr2• h
Vcilindro = ππ • 22• 5 �� 62,83 m3
Luego restamos la cantidad de agua que contiene el depósito y la
cantidad desbordada:
62,83 – 14,13 = 48,7 m3
Dentro del depósito quedará 48,7 m3 de agua.
c. Si dentro del depósito quedó 35,3 m3 de agua entonces:
48,7 – x = 35,3
x = 13,4
Luego, el volumen de la bola arrojada es 13,4 m3.
4ππ • (1,5)3
3
43
Volumen de una esfera.
Vesfera = ππ R343
Remplazamos los valoresconocidos.
El volumen del depósitomenos el aguadesbordada será igual
a 35,3 m3.
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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
214 Geometría: áreas y volúmenes
DESAFÍOS
1. (Ensayo PSU, 2004) En la figura, se tiene un
cuarto de círculo de centro O. Se hace rotar la
figura indefinidamente en torno al eje . Si
OT = 3 cm, entonces el volumen del cuerpo
geométrico que se genera es:
A. 9ππ cm3
B. ππ cm3
C. 36ππ cm3
D. 27ππ cm3
E. 18ππ cm3
2. (Facsímil PSU, Demre, 2004) Se han dibujado 3
circunferencias congruentes de radio r y centro
O. ¿En cuál de los siguientes dibujos el
triángulo es rectángulo?
I. III.
II.
A. Solo en II D. II y III
B. I y II E. En todos.
C. I y III
3. (Facsímil PSU, Demre, 2004) Si en un triángulo
equilátero se dibuja una de sus alturas,
entonces se forman dos triángulos:
A. isósceles rectángulos congruentes.
B. acutángulos escalenos congruentes.
C. acutángulos congruentes.
D. escalenos rectángulos congruentes.
E. equiláteros congruentes.
4. (Facsímil PSU, Demre, 2004) En la figura, se
muestra el polígono ABCD. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. el perímetro del polígono es .
II. cada diagonal del polígono mide 4.
III. el área del polígono es .
A. Solo I D. II y III
B. Solo II E. I, II y III
C. I y II
5. (Facsímil PSU, Demre, 2004) En la figura, se
muestra un hexágono regular, sobre sus lados
se construyen exteriormente triángulos
equiláteros, cuyos lados son de igual medida
que el lado del hexágono. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. El área total de la nueva figura duplica al
área del hexágono.
II. La suma de las áreas de los triángulos
es igual al área del hexágono.
III. El perímetro de la nueva figura es el doble
del perímetro del hexágono.
A. Solo III
B. I y II
C. I y III
D. II y III
E. I, II y III
6. (Facsímil PSU, Demre, 2004) En la figura, el
área del ∆ABC es 90 cm2 y AB // DE. ¿Cuál es el
área del trapecio ADEB?
A. 36 cm2
B. 40 cm2
C. 50 cm2
D. 54 cm2
E. 60 cm2
4 2
8 2
272
OT
–2
T
O
Or
r
r 45˚
O
A
D E
C
15 cm
10 cm
E
O
2 X
C A
B
Y
2
D –2
B
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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
215Geometría: áreas y volúmenes
MEDIOS
Las latas de bebida
Uno de los envases más utilizados es el de las latas de bebida en sus diferentes usos: refrescos,
cervezas, conservas, etc. Los hay en muchos tamaños, si nos referimos por ejemplo a la altura y el
radio de cada uno. Para hacer un estudio acabado de este tema te sugerimos que visites un
supermercado y realices las siguientes actividades.
1. Haz una lista de todos los productos diferentes que conozcas que se envasan en lata.
2. Mide 5 diferentes productos envasados en latas y completa:
a. ¿Qué relación encuentras entre las dimensiones de la lata y su capacidad?b. ¿Y entre las dimensiones de las latas de diferentes capacidades?
3. Propón otras 3 medidas de envase para una bebida de 300 cc de capacidad. Calcula la superficiede estos nuevos envases. ¿Qué relación tienen con las dimensiones del envase oficial para latasde 300 cc?
4. A tu juicio, ¿cuáles deberían ser las dimensiones de una lata de bebida de modo que se gastela menor cantidad de material y que almacene los mismos 300 cc? Compara tu respuesta contus compañeros(as) indicando las ventajas y desventajas de tu nuevo envase.
Producto Capacidad Diámetro Altura
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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
216 Geometría: áreas y volúmenes
SÍNTESIS
Mapaconceptual
Construye tu mapa conceptual que relacione al menos los conceptos clavedados.
Conceptos clave:
Área
Volumen
Traslación
Rotación
Prismas
Pirámides
Cuerpos redondos
Resumen 1 Área: medida de la superficie de un cuerpo o figura geométrica. Se
puede distinguir:
Área lateral: medida de las superficies de un cuerpo sin considerar sus
bases.
Área total: medida de toda la superficie de un cuerpo geométrico.
2 Volumen: medida del espacio que ocupa un cuerpo.
3 Principio de Cavalieri: dos cuerpos de la misma altura, bases de la
misma área, y cuyas secciones paralelas a las bases, formadas por un
plano secante tienen igual área, tienen el mismo volumen.
4 Teorema de Euler: en todo cuerpo poliedro convexo se verifica la
siguiente relación:
Nº caras + Nº vértices = Nº aristas + 2
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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
217Geometría: áreas y volúmenes
Prismas
AT = AL + 2Ab
V = Ab • h
(Ab: área basal; h: altura)
Pirámides
AT = AL + Ab
V = Ab • h
(AL: áreas laterales;Ab: área basal; h: altura)
13
Cilindros
AT = 2ππr (h + r)
V = ππ • r2• h
(r: radio de la base; h: altura)
Conos
AT = ππr (g + r)
V = ππ • r2• h
(r: radio de la base;g: generatriz; h: altura)
13
Esfera
AT = 4ππ R2
V = ππ • R3
(R: radio de la esfera)
43
5 Área y volumen de cuerpos geométricos.
6 Proyecciones en el plano: son proyecciones de un cuerpo sobre planos
perpendiculares. Se puede distinguir las siguientes partes del cuerpo:
perfil (vista de lado del cuerpo), planta (vista desde arriba) y alzada
(vista de frente).
7 Cuerpos generados por traslación.
- Prisma: generado por la traslación de un polígono en dirección a un plano
paralelo respecto al plano que lo contiene.
- Cilindro: generado por la traslación de un círculo en dirección a un plano
paralelo respecto al plano que lo contiene.
8 Cuerpos generados por rotación.
- Cilindro: generado por la rotación de un rectángulo sobre uno de sus
lados.
- Cono: generado por la rotación de un triángulo rectángulo sobre uno
de sus catetos.
- Esfera: generado por la rotación de un semicírculo sobre su diámetro.
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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
218 Geometría: áreas y volúmenes
EVALUACIÓN
1. Si la medida de cada una de las aristas de un
cubo aumenta en un 20%, entonces su
volumen aumenta en:
A. 10%
B. 21%
C. 30%
D. 60%
E. 72,8%
2. Una pirámide cuya base es un cuadrado de
lado 2a unidades tiene el mismo volumen
que un prisma cuya base es un cuadrado de
lado a. ¿En qué razón están las alturas de la
pirámide y del prisma?
A. 1 : 4
B. 3 : 4
C. 4 : 3
D. a : 3
E. 3 : 2
3. La medida de la altura de un cono recto es
igual al triple del radio basal. Su volumen es:
A. ππ r3
B. ππr3
C. 3ππ r3
D. 9ππ r3
E. Ninguna
de las anteriores.
4. Un cubo de arista a está inscrito en una
esfera de radio R. Entonces se cumple:
A. a = 2R
B. 2R =
C. 2R =
D. R =
E. R =
5. En la figura se representa la mitad de un
anillo circular. El volumen generado al girar
este anillo en torno al eje indicado es:
A. ππ cm3
B. 128ππ cm3
C. 32ππ cm3
D. ππ cm3
E. 208ππ cm3
6. En la imagen está representado un cuerpo
generado por una revolución de alguna
figura plana. Indica la(s) posible(s) figura(s)
generadora(s).
A. Solo I C. Solo III E. I y III
B. Solo II D. I y II
7. Si el radio basal de un cono recto aumenta
en un 20% y su altura disminuye en un 10%,
entonces su volumen aumenta en:
A. 129,6%
B. 29,6%
C. 2,96%
D. 0,296%
E. Falta información.
2243
163
a 3
a 2
a 3
a 2
13
I II III
2aa
r
2 2
2a
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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
219Geometría: áreas y volúmenes
8. ¿Cuál es la diferencia, en relación a la
superficie, entre construir un tubo de 15 cm
de alto y 6 cm de diámetro y construirlo sin
tapas?
A. 18ππ cm2
B. 36ππ cm2
C. 72ππ cm2
D. 90ππ cm2
E. 108ππ cm2
9. Si una esfera de radio r aumenta su área a
36r cm2, entonces su radio aumentó:
A. al cuádruple.
B. 18 veces.
C. al triple.
D. en 8 veces.
E. al doble.
10. El volumen de la pirámide de base cuadrada
es 96 cm3. ¿Cuál es el volumen de la
pirámide superior si su altura es la mitad de
la pirámide mayor?
A. 96 cm3
B. 64 cm3
C. 48 cm3
D. 36 cm3
E. 12 cm3
11. Las dimensiones de una boya cilíndrica son
r = 2 m y h = 2 m. ¿Cuál es el volumen de la
boya?
A. 2ππ m3
B. 4ππ m3
C. 6ππ m3
D. 8ππ m3
E. 16ππ m3
12. Si el área total de un tetraedro es cm2,
entonces la arista mide:
A. 5 cm
B. 6,25 cm
C. 5 cm
D. 25 cm
E. Ninguna de las anteriores.
13. El volumen de un tronco de cono cuyas
medidas son r = 6 cm; R = 10 cm; h = 4,8 cm
es:
A. 900 cm3
B. 908,5 cm3
C. 984,7 cm3
D. 890 cm3
E. Ninguna de las anteriores.
14. Un poliedro convexo tiene 9 caras y
15 aristas. Su número de vértices es:
A. 12 C. 8 E. 15
B. 6 D. 5
15. En una esfera de radio r, si S es el valor del
área y V el del volumen, se cumple que:
A. S > V
B. V > S
C. S = V si r = 3
D. S = V
E. Ninguna de las anteriores.
16. ¿Cuál es el volumen comprendido entre el
cubo y el cono de la figura?
A. 738 cm3
B. 821 cm3
C. 785 cm3
D. 684 cm3
E. Ninguna de las anteriores.
3
3
25 3
6 cm
r
10 cm
10 cm10 cm
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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
220 Geometría: áreas y volúmenes
EJERCICIOS DE REFUERZO
1. De un cubo sólido de arista a unidades se
extrajo un cubo de arista b unidades tal
como se muestra en la figura. Calcula el
volumen del cuerpo resultante, teniendo en
cuenta los siguientes datos:
(a – b)3 = 27
3a2b = 150
3ab2 = 60
2. Calcula el área total de un prisma recto de
base hexagonal regular, cuya arista basal
mide 4 cm y la arista lateral es de 16 cm.
3. El área total de un paralelepípedo
rectangular es igual a la de un cubo. Si las
medidas de tres aristas que concurren a un
vértice del paralelepípedo miden 3, 5 y 7 cm
respectivamente, ¿cuánto mide la diagonal
del cubo?
4. Calcula la medida de la superficie total de
una pirámide recta de base cuadrada, cuya
arista de la región basal mide 6 cm y su
altura 5 cm.
5. En una esfera con radio de 15 cm se inscribe
un cilindro circular recto con un diámetro
igual al radio de la esfera. Calcula el área
lateral de este cilindro.
6. ¿En qué razón están el área de una esfera y
el área total de un cilindro circular recto,
circunscrito a ella?
7. Supón que se dibuja un dodecaedro en el
interior de una esfera de radio 10 cm y se
coloca un foco de luz en el centro de la
esfera. Al dividir cada pentágono en
5 triángulos equiláteros, el foco proyecta
estos triángulos en la esfera formando
triángulos esféricos. ¿Cuál es el área
de cada uno de estos triángulos?
4 cm
r
r
hr h = 2r
6 cm
16 cm
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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES
221Geometría: áreas y volúmenes
Eje 1
Eje 2
Eje 3
8. Se tiene un cubo cuya arista es de 4 cm y
está constituido por pequeños cubos
independientes con aristas de 1 cm. Se desea
construir con ellos un paralelepípedo.
¿Qué dimensiones tiene el paralelepípedo
de menor área que se puede formar?
¿Y el de mayor área?
9. ¿Cuál es el área lateral de un cono recto
cuya región basal tiene un área de 25ππ cm2
y su altura mide 12 cm?
h = 12 cm
10. Un triángulo isósceles de 16 cm de base y
13 cm de altura, es equivalente en superficie
a un rectángulo de 12 cm de base. Halla las
áreas laterales de los cuerpos que se
generan al girar cada figura en torno a su
eje de simetría.
a. b.
11. La razón de semejanza entre dos pirámides
es 5. Halla el volumen de la menor, sabiendo
que el de la mayor es igual al volumen de
un cubo de 15 cm de arista.
12. Dada la región trapecial de la figura:
a. Representa cada uno de los cuerpos de
revolución generados por su rotación
respecto de cada uno de los ejes
indicados.
b. Calcula el volumen de cada uno de los
cuerpos generados, considerando que los
lados paralelos miden 12 y 8 cm y su
altura 5 cm.
13. Las alturas de dos conos de igual base miden
14 y 6 cm respectivamente. Halla el volumen
del cono mayor sabiendo que el del menor
es de 81 cm3.
14. Un cono de revolución de 6 cm de radio y
8 cm de altura es cortado por un plano
paralelo a la base en el punto medio de su
altura. Determina el área lateral del tronco
de cono resultante.
h
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222 Evaluación semestral 2
1. En la celebración de un matrimonio sirven
un consomé que se enfría siguiendo la ley
de Newton, con lo que su temperatura (°F)
está dada por la función:
f(t) = 70 + 140e–0,04t
¿Cuál era la temperatura inicial del consomé?
A. 70 °F D. 150 °F
B. 100 °F E. 210 °F
C. 140 °F
2. Si dentro de t años la población de cierto
país en África estará dada por la función:
N(t) = + e–0,05t (millones).
¿Cuál es la población actual aproximadamente?
A. 3 millones
B. 4 millones
C. millones
D. 16 millones
E. No se puede saber.
3. Patricio invierte $793.000 en un banco, a
una tasa de interés anual del 9%. Después
de 2 años y medio, ¿cuánto habrá ganado,
si se considera un interés simple?
A. $17.270 D. $810.270
B. $190.647 E. $983.647
C. $794.710
4. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones
no es válida para la ecuación ?
I) Tiene más de una solución.II) Tiene exactamente dos soluciones.III) Una de sus soluciones no es real.
A. Solo I D. I y II
B. Solo II E. I y III
C. Solo III
5. Dada la gráfica de la función y = � �x, se
han estimado ciertas potencias.
¿Cuál de las siguientes expresiones es falsa?
A. � �0,8
= 0,276
B. � �–1
= 5
C. = 1,027
D. � � = 0,089
E. Ninguna de las anteriores.
6. Dada la gráfica de la función y = e– x
El gráfico de y–1 es:
A. D.
B. E.
C.
13
321
5
15
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
15
15
15
2
28
2
2
x
x=
163
163
EVALUACIÓN SEMESTRAL 2
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Eval Pág. 222-225 6/30/08 11:19 PM Página 222
223Evaluación semestral 2
EVALUACIÓN SEMESTRAL 2
7. De las siguientes funciones exponenciales (x > 0);
I) y = e6x
II) y = 5x
III) y = � �x
la(s) que presenta(n) decrecimiento exponen-
cial es(son):
A. Solo II D. II y III
B. Solo III E. Todas las anteriores.
C. I y III
8. La representación del plano cartesiano,
corresponde a los siguientes vectores:
A. = (–5, 3); = (–1, –2); = (–4, 0)
B. = (–5, 3); = (–1, –2); = (1, 2)
C. = (3, –5); = (–2, –1); = (1, 2)
D. = (2, 1); = (–1, –2); = (2, 1)
E. Ninguno de los anteriores.
9. En una semicircunferencia se dibujan los
vectores y . Según esto, la
alternativa falsa es:
A. D.
B. E.
C.
10. En la figura, el pentágono regular ABCDE está
inscrito en una circunferencia. ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A. Solo II D. I, II y III
B. I y II E. Ninguna de
C. I y III las anteriores.
11. La ecuación vectorial de la recta que pasa
por los puntos C(1, –2) y D(3, –1) es:
A. = t(0, 1) + (1, 0)
B. = t(2, 1) + (1, –2)
C. = t(1, –2) + (3, –1)
D. = t(–3, 1) + (1, –2)
E. Ninguna de las anteriores.
12. La ecuación vectorial de la recta 3x – y + 4 = 0
es:
A. (x, y) = t�3, � + �–3, �
B. (x, y) = t� , 1� + (1, 3)
C. (x, y) = t� , 1� + (1, 1)
D. (x, y) = t� , 1� + �– , 3�
E. (x, y) = t� , 1� + (3, 4)13
13
13
13
13
13
13
�x
�x
�x
�x
EF AF��� � ��
=
EF FD DE��� � �� � ��
+ =
EF CB��� � ��
=
� �s t=
ST RT t� �� � �� �
+ = 2RT t s� �� � �
= −
OR OS o� ��� � �� �
+ =ST s t� �� � �
= +
OT t� ��� �
=OR s� ��� �
=
�w
�v
�u
�w
�v
�u
�w
�v
�u
�w
�v
�u
38
S RO
T
s→
t→
A
B
F
E
CD
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2
3
2
1
–1
–2
�u �
w
�v
Eval Pág. 222-225 29/11/06 17:29 Page 223
224 Evaluación semestral 2
13. La ecuación analítica y la ecuación vectorial
de la recta que pasa por el punto A(–2, 1) y
es paralela a la recta y = 2x + 3 es:
A. y = 2x + 5t ; L = t� , 1� + �– , 0�B. y = 2x – 1 ; L = t(1, 2) + (–5, 0)
C. y = 2x + 5 ; L = t(1, 2) + (–5, 0)
D. y = 2x – 1 ; L = t� , 1� + �– , 0�
E. y = 2x + 5 ; L = t� , 1� + �– , 0�14. ¿Cuál de las siguientes igualdades es
incorrecta, respecto al producto escalar
entre dos vectores?
A. (2, –1) • (1, 1) = 1
B. (3, 0) • (1, 2) = 3
C. (5, –2) • (1, –1) = 7
D. (0, 2) • (5, 0) = 0
E. Ninguna de las anteriores.
15. Sea = (3, –2) y = (7, 4), entonces la
expresión equivale a:
A. 13
B. (1, –17)
C. (3, –17)
D. (1, –18)
E. (–17,3)
16. Considerando las siguientes igualdades:
2(1, x) + 3(y, 2) = (8, –2)
Los valores de x e y que verifican la
igualdad, son, respectivamente:
A. –2 y –4 D. –6 y –1
B. 6 y 1 E. –4 y 2
C. –2 y 4
17. En un punto, en equilibrio, de un plano hay
tres fuerzas , y que actúan sobre él.
¿Cuál representación corresponde a ?
A.
B.
C.
D.
E.
18. Sean = (–3, 1), = �– , 0�, y
= (2, –5).
¿Qué vectores tienen igual módulo?
A. y D. y
B. y E. Ninguna de
C. y las anteriores.
19. Un tren se mueve con velocidad a con
respecto a la tierra. Desde la ventanilla de
un vagón cae un objeto con una velocidad
respecto al tren, entonces, la velocidad del
objeto respecto a la tierra está representada
por el vector.
A.
B.
C.
D.
E. Un vector diferente a los anteriores.
20. ¿Cuántos vértices tendrá un poliedro con 8
caras y 18 aristas?
A. 12 B. 18 C. 20 D. 24 E. 26
S�
R��
R��
Q��
S�
P�
Q��
P�
S�
R��
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
52
1,32
Q��
P�
C��
C��
B�
A��
5 2� �u v−
�v
�u
52
12
52
12
52
12 C
��
C��
C��
C��
C��
B�
A��
EVALUACIÓN SEMESTRAL 2
V
t
desplazamiento
Eval Pág. 222-225 29/11/06 17:29 Page 224
225Evaluación semestral 2
21. El volumen de un hexaedro regular es
64 cm3. Se afirma que:
I) la suma de todas sus aristas es 48 cm.
II) El área de una cara es numéricamente
igual al perímetro de ella.
III) Su diagonal mide .
De estas afirmaciones, es(son) verdadera(s):
A. Solo I
B. I y II
C. I y III
D. II y III
E. I, II y III
22. El volumen de un cilindro es V = ππr2h.
Si un cuerpo cilíndrico tiene un volumen de
3.080 cm3 y una altura de 20 cm, entonces el
radio de su base, considerando el valor para
ππ = , es:
A. 1,4 mm
B. 0,014 m
C. 7 cm
D. 70 cm
E. 0,007 km
23. La generatriz de un cono recto mide 13 cm y
la altura 12 cm. Para que su volumen sea
100ππ cm3, su radio basal debe medir:
A. cm D. 5 cm
B. cm E. Ninguna de
las anteriores.
C. 3 cm
24. La superficie de una esfera es 100ππ cm2.
Entonces su volumen mide:
A. 72ππ cm3
B. 144ππ cm3
C. 188ππ cm3
D. 288ππ cm3
E. Ninguna de las anteriores.
25. La arista de un cubo es a. Si los cuatro
vértices de la cara superior se unen con el
centro de la cara inferior, se obtiene una
especie de embudo cuyo volumen es:
A. C. E.
B. D.
26. La tercera parte del volumen de un cubo es
9 m3. Luego, su arista mide:
A. 3 m C. 9 m E. 27 m
B. 6 m D. 18 m
27. A un cilindro de altura igual al diámetro de
la base de radio a, se le circunscribe una
esfera. El volumen de la esfera es:
A. C. E. 4ππ a3
B. ππ a3 D.
28. Las diagonales de un rombo miden 2m y 2n.
Entonces, la razón de los volúmenes de los
cuerpos que se generan al girar
sucesivamente en torno a cada diagonal es:
A. C. E.
B. D. m + nm – n
m – nn
3m4n
mn
m + nn
2ππ a3
322
3
824ππ a3
328ππ a3
3
3a3
8a3
3
2a3
3a2
2a3
4
53
35
227
4 3
EVALUACIÓN SEMESTRAL 2
Eval Pág. 222-225 29/11/06 17:29 Page 225
226 Solucionario
1. a. b. c. 1
2.
3. a. 2, 3, ..., 9 b. –2, –1, 0, 1, 2 c. Ninguno. d. –1, 0, 1, 2, …, 9, 10
5. 6.
1. a. iii
c. Cualitativa.
1. a.
1. a. 60 2.
7
8
4
5Página 10
Página 11
Página 13
Página 14
Página 15
Porcentaje Fracción Fracción irreductible Expresión decimal
75% 0,75
62% 0,62
2% 0,02
33,333...% 0,3–
90% 0,99
10
90
100
1
3
300
900
1
50
2
100
31
50
62
100
3
4
75
100
LugarFrecuencia
F. Absoluta F. Relativa %
Campo 4 30,7
Mar 6 46,2
Montaña 3 23,1
Total 13 100
Intervalo Marca de clase
1 - 3 5
4 - 6 7
7 - 9 5
SOLUCIONARIO Unidad 1
Can
tid
ad d
e p
erso
nas
Edad
Grupos de edad Frecuencia acumulada
0 – 14 3.929.468
15 – 24 6.354.608
25 – 39 9.640.619
40 – 49 11.056.208
50 – 64 12.471.357
65 y más 13.348.401
P226 - 227 6/30/08 11:20 PM Página 226
227Solucionario
1. a. Natalidad Mortalidad
8 1 7
9 9 8 8 7 3 1 2 2 3 6
5 3 3 3
7 4 0 2 3
5 1 6
6 3 3
7
8
9
10 9
1. b. Entre las semanas 16 y 17. c. 2005 (semana 21)
2. a. Massú y González.
3. a. I, III, IV, VII, VIII, IX, X
b. Matemática: IX; Lenguaje: IX
c. Lenguaje: XI; Matemática: XI, XII, RM
d. Variable cuantitativa.
4. c. Mayor: Mulchén y Angol.
Menor: Nacimiento y Cañete.
2. b. Fútbol.
4. a. 0,0307 b. 99
0,0538
0,0923
0,1231
0,2692
0,2846
0,0846
0,0615
5. c. Casa: Muy Seguro 213; Muy Inseguro 189; No responde 4.
Trabajo: Muy Seguro 165; Muy inseguro 121; No responde 117.
Lugares públicos: Muy seguro 165; Muy inseguro 221; No responde 20.
Calle: Muy Seguro 52; Muy inseguro 346; No responde 4.
6. b. África: 73%; Asia: 62%; Europa: 24%; América del Norte: 46%; América Latina: 68%; Ex URSS: 39%;
Oceanía: 59%
1. B 2. D 3. E 5. E
1. E 2. D 3. D 4. D 5. C 6. D
7. E 8. A 9. B 10. C 11. E
SOLUCIONARIO Unidad 1
Página 16
Página 19
Página 20
Página 22
Página 23
Página 26
Página 30
Página 31
P226 - 227 29/11/06 17:40 Page 227
228 Solucionario
1. Solo b
2. a. Sound: 0,1 ; Hip-hop: 0,14 ; Romántica: 0,24 ; Rock: 0,32 ; Reagge: 0,2
b.
4. a. 13,3% b. 18%
5.
6.
SOLUCIONARIO Unidad 1
Página 32
Página 33
Intervalo (mm) fi frFrecuencia
relativa porcentual
100 – 109 4 0,047 4,7%
110 – 119 17 0,2 20%
120 – 129 29 0,341 34,1%
130 – 139 18 0,211 21,1%
140 – 149 10 0,117 11,7%
150 – 159 5 0,059 5,9%
160 – 169 2 0,024 2,4%
P228 - 229 29/11/06 17:40 Page 228
229Solucionario
7.
8. a. Circular.
c.
9. 4 52 80 89 90 96
5 60 60 70 70 90
6 60 60 66 68 76 80 80 83
7 12 14 20 24 25 46 50 60 75 80 94 95
8 01 02 10 26 30 30 80 86 90 95
10. a. Nivel socioeconómico bajo.
b. Nivel socioeconómico alto.
SOLUCIONARIO Unidad 1
Intervalo Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
452 – 497 5 0,1
498 – 543 0 0
544 – 599 5 0,1
600 – 645 0 0
646 – 691 9 0,18
692 – 737 8 0,16
738 – 783 7 0,14
784 – 829 9 0,18
830 – 875 3 0,06
876 – 921 4 0,08
Grupo sanguíneo
Grupo sanguíneo alumnos
Frec
uen
cia
abso
luta
P228 - 229 29/11/06 17:40 Page 229
230 Solucionario
SOLUCIONARIO Unidad 2
1. a. x = 60 b. x = 300 c. x = 2,5 d. x = 4 e. x = 0,392 f. x = 12 y x = –12
2. a. 45,7 b. 99,5 c. 1.233,54 d. 2.620,80 e. 55.800 f. 56.596,2
3. a. 33% b. 40% c. 75% d. 6% e. 1% f. 73%
4.
5. a. 5,333 b. –1,8 c. 3,888 d. –0,558 e. 0 f. –6.404,889 g. 0,094
h. –408,89 i. 6.417,79
6. a. Mujeres: 1,76 metros y 1,48 metros. Hombres: 1,88 metros y 1,61 metros.
b. Mujeres Hombres
c.
Página 36
Página 37
Nombre Sueldo Fonasa o Isapre AFP Sueldo líquido(imponible) (7% del imponible) (13% del imponible)
Daniel $ 165.249 11.567 21.482 $ 132.199
Carolina $ 237.860 16.650 30.922 $ 190.288
Andrea $ 551.925 38.635 71.750 $ 441.540
Sebastián $ 618.004 43.260 80.341 $ 494.403
Jorge $ 1.045.776 73.204 135.951 $ 836.621
Frec
uen
cia
Frec
uen
cia
Estatura
Dispersión de estaturas
Estatura
1,48 - 1,53 1,60 - 1,651,54 - 1,59
1,72 - 1,781,66 - 1,71
1,84 - 1,891,79 - 1,83 : mujeres
: hombres
P230 - 231 6/30/08 11:21 PM Página 230
231Solucionario
SOLUCIONARIO Unidad 2
1. x = 5,8
2. No.
3. No.
4. 2,007
1. a. Primer trimestre: 3,8; Segundo trimestre: 3,8
c. Primer trimestre: 0,9067; Segundo trimestre: 0,52
e. Primer trimestre: 1,113; Segundo trimestre: 0,777
f. Las notas del segundo trimestre son más homogéneas.
2. b. Desviación media = 0,168
3. a. 5,098 b. Entre 9,722 y 19,918 aproximadamente.
4. a. Curso B.
1. a. Positiva. b. Nula. c. Positiva.
1. a. 590 b. 661 d. 35%
2. a. 61,2 b. 83,75 c. 71,25 d. 81,875
3. Significa que está dentro del 10% de las calificaciones más altas.
1. a. 526,87
1. a. 400 salmones.
1. b. No homogénea. 2. Aproximadamente 296. 3. a. Vivienda.
1. b
2. a. 205 b. 220 c. 0,5
1. 2 alumnos.
2. a. 0,1587 b. 0,0228
3. a. 0,0228 b. 0,3436 c. 0,9981
1. A 2. B 3. B 4. D 5. E
1. E 2. D 3. E 4. D 5. E 6. A
7. C 8. B 9. D 10. D 11. C 12. A 13. A
Página 39
Página 44
Página 45
Página 48
Página 49
Página 52
Página 55
Página 56
Página 57
Página 60
Página 64
Página 65
P230 - 231 7/24/09 4:42 PM Página 231
232 Solucionario
SOLUCIONARIO Unidad 2
1. Media: 20,9
Desviación media: 1,012
Desviación estándar: 1,269
2. 30,74 minutos.
3. Estatura: 1,70 metros; masa: 66,8 kilogramos.
4. a. Media: 6,5; moda: 0; mediana: 5,5; rango: 36; desviación estándar: 7,09
b. 15, 16, 18, 22, 36
5. a. Positiva. b. Positiva. c. Nula. d. Positiva. e. Positiva.
f. Nula. g. Nula. h. Negativa.
6. a. 188 kilogramos. b. $ 488
7. a. 3,7%
b. P10: 358,44; P30: 444,23; P40: 473,06; P60: 527,67; P70: 556,33; P80: 589,26; P90: 637,35
c. Mediana: 501,26; desviación estándar: 109,56
d. Q1: 428,68; Q2: 501,26; Q3: 572,79
e. D2: 413,13; D5: 501,26
f. P88
8. a. [2,854; 3,146] b. [2,905; 3,095]
9. b. Al alumno del curso D.
c. Curso C: 4,4 debajo de la media y 5,6 sobre la media.
Curso D: 4,6 debajo de la media y 5,6 sobre la media.
10. a. 135 colmenas.
b. 538 colmenas.
c. Si el error disminuye a la mitad, el tamaño de la muestra aumenta cuatro veces.
Página 66
Página 67
Edad Frecuencia
19 1
20 3
21 2
22 2
23 1
P232 - 233 29/11/06 17:38 Page 232
233Solucionario
SOLUCIONARIO Unidad 3
1. a. 2 b. 10–3 c. –4 d. 3 e. , – f. 77
g. 6 h. 2 i. 3 j. 2
2. a. d. g.
b. e. h.
c. f. i.
3. a. � – �–1, 1� e. x �� a i. � – �–5�b. � f. � j. x > b2
c. x > 1 g. �
d. � – �–1� h. � – �–1�
4. a. C → ]–∞∞, –5[ b. Siempre decreciente en el intervalo ]–4, +∞∞[ c. C → ]10, +∞∞[
D → ]–5, +∞∞[ D → ]–∞∞, 10[
5.
43
43
Página 70
Página 71
f(x) = –
f(x) = x2 – 10
f(x) = |x – 5|
f(x) = 1 – 4x2
f x x( ) = + 7
f x x( ) = −11
1x – 3
1x
f < 0 f = 0 f > 0
]–∞, 0[ U ]3, +∞[ ]0, 3[
�– , � � ]–∞, – [ ∪∪ ] , +∞[
11 ]–∞, 11[
5 ]–∞, 5[ ∪∪ ]5, +∞[
�–∞, – � U � , +∞� � �– , �–7 ]–7, +∞[
12
12
12
12
12
10101010 10
para ningúnvalor de x
para ningún valor de x
para ningún valor de x
para ningún valor de x
P232 - 233 29/11/06 17:38 Page 233
234 Solucionario
SOLUCIONARIO Unidad 3
1. a. f(1) = 1; f(2) = 1; f(3) = 2; f(4) = 3; f(5) = 5; f(6) = 8 (Serie de Fibonacci)
b. Dom f: � rec f: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... (Serie de Fibonacci)
2. a. Dom: � – �1� c. Dom: �
rec: � – �1� rec: �+0
b. Dom: �–∞∞, 0� ∪∪ �0, 1� ∪∪ �1, +∞∞� d. Dom: �–∞∞, –1� ∪∪ �1, +∞∞�rec: � – �0� rec: �+ – �1�
3.
1. a. Dom: � – �1� b. Rec: � – �3�
2. a. f–1(x) = b. f–1(x) = (x – 3)2 + 4 c. f–1(x) = x – d. f–1(x) = – 1
3. a. Sí b. No c. No d. No
1. a. 2ππ b. ππ
2. a. Dom: � – � +– kππ�, k ∈ �0 b. ππ
3. a. Sí, 2ππ b. Sí, 2ππ c. Sí, ππ d. No
1. a. Sí. b. Sí. c. No. d. No. e. Sí.
2. a. Dom: � ; rec: [0, 1]; P = ππ d. Dom: �; rec: x �� 40,75
b. Dom: � – �2kππ� k ∈ �; rec: �–∞∞, –2� ∪∪ �2, +∞∞�; P = ππ e. Dom: � – �0, 1�
c. Dom: � (4k – 1); (4k + 1)�, k ∈ �; rec: [0, 1] ; P = ππ rec: �–∞∞, 0� ∪∪ �0, +∞∞�
1. c. Para todas en �. d. Rec x4: �+0
rec x5: �
rec x6: �+0
rec x7: �
2. 1 dm3
3. a. ∀ x ≠ 0 b. ∀ x > 0
ππ
2
ππ
2
ππ
2
1
x22
10x + 5
3
Página 72
Página 73
Página 74
Página 75
Página 76
Y
X
3
1
1 2dom: �
rec: x �� 1
2
P234 - 235 29/11/06 17:38 Page 234
235Solucionario
SOLUCIONARIO Unidad 3
6. a. Dom: � b. Dom: �
rec: �+0 rec: �
f(x) > 0 para todo x ∈ � f(x) > 0 para x > 0
1. a. b. 7 c. 9 d. 3 e. f. –2 g. 2 h. 4 i. j.
2. a. x = 64 b. x = 0,027 c. x = d. x =
3. a. 9 b. 3 c. 14 d. 22
4. a. 2 logp a + 4 logp b + 5 logp c – 2 logp d d. �logb 2 + logb (5x – 2)� + 16 logb x
c. logb (x – 11) + logb (x + 2)
5. a. 0,602 b. 1,086 c. 1,129 d. 1,338
7. a. logb 72 d. logb g. logp
b. logb e. logm h. logp
c. logb f. logb (x4 – 1)
8. a. 3A + 3B + 2C b. A + 2B + C c. (A + B) d. –(A + B + C)
2. a. 0,7 b. 1 c. 1,2 c. 0,4
1. a. 2 b. 4 c. 5 d. –3 e. –6 f. 8 g. 22 h. 70
2. a. V b. F c. F d. F e. F f. V
32
(x + 3)
(x – 2)4a6
163
109
64169
25
43
34
52
Página 79
Página 83
Página 84
Página 86
b. 3 logm (a – b) + 4 logm c – logm (d + f) e. 2 �logb (x + y) + logb (x2 – xy + y2)�1
5
a e
c d34
23
23
34
a cb
23
35
a c
b2 d94
13
(x + y + z)(x – y – z)4
14
c
P234 - 235 7/24/09 3:32 PM Página 235
236 Solucionario
SOLUCIONARIO Unidad 3
1. a. Vertical b. Horizontal c. Horizontal d. Vertical
2. b. Dom: x > 1 c. i. Creciente. ii. Creciente. iii. Creciente.
dom: x > 2
dom: x > 3
3. b. i. (1, 0) c. i. x > 0 ii. x > 0 iii. x > 4
ii. (1, 0)
iii. (5, 0)
1. a. 100 b. 2 c. 2 2. a. 126 b. 6970 3. b. Mayor que 43 trillones.
1. a. 0 b. 0,693 c. 1,609 d. –0,693 e. –1,609
2. a. 0,6931471... b. 0,6930041... d. 1,04 • 10–8
3. a. 0,583 < ln 2 < 0,83 b. Aumenta.
1. a. 7 b. b. 10.000 b. 10
h. 5 i. 27 j. k. No tiene solución real. l. 100 m. 5
u. 6 v. 1 w. 10 x.
1. a. 10–1 y 10–14 b. i. 4,2 ii. 7,4 iii. 2,2 c. Huevo → 1,62 • 10–8
Manzana → 10–3
Agua pura → 10–7
2. a. 4,0317... b. t(M) = c. En 23 años aproximadamente.
3. a. 1020,8 ; 1022,3 d. E = 1026,05
4. a. Aumentó en 10 log 2 c. D = 150 db d. No, aumenta en 10 log 2.
5 12+
13
–11 616±
16
Página 87
Página 88
Página 89
Página 91
Página 92
Página 93log
Mm
log 1,03
2. a. 7 b. 104 c. 2.000 d. e. f. –10 ± g. 5,1316547
n. 2 ñ. 6 o. 2 p. 5 q. r. 3,8 s. 1,5 ; 3 t. –16
11 26512
+
P236 - 237 29/11/06 17:37 Page 236
237Solucionario
SOLUCIONARIO Unidad 3
4. e.
1. C 2. E 3. E 4. E 5. E 6. E
1. C 2. B 3. C 4. B 5. A 6. A 7. E 8. B
9. B 10. E 11. A 12. A 13. C 14. C 15. B 16. B 17. A 18. C
1. a. b. c.
2. a. = f–1(x) b. f –1(x) = 25x2 + 5 c. f –1(x) = � y – �2d. f –1(x) = 17 – 2x
3. 4. a. rec: [–2, 2] d. rec: [1, 3]
P = 2ππ P = 2ππ
b. rec: [–2, 2] e. rec: [–2, 0]
P = 2ππ P = 2ππ
c. rec: �– , � f. rec: �– , �P = 2ππ P = 2ππ
5. a. Sí, P �� 1,25 b. dom: �+0 ; rec: [6, 10]
7. a. a < 0, n par. b. a > 0, n par. c. a > 0, n par. d. a < 0, n par.
8. a. log b. log = log 1 = 0 c. log 10. a. dom: �+ b. dom: x > 0
11. 45 13. a. a = –4; a = 2 b. y = log (x + 4) 14. a. Falso b. Verdadero c. Falso d. Verdadero
15. a. –1,404806 b. –0,301029 17. a y b ∈ �+ – �1� 18. a = 19. –2
21. a. x = b. x = 4 c. x = 4 d. x = 3 e. e f. 100 y g. x = 4210
10113
1b
ab
ab10
a b
ab
13 13
1013
12
12
12
12
17
27
14
x – 47
Página 93
Página 96
Página 100
Página 101
Página 102
Página 103
Fuente Intensidad Decibeles
Susurro 10–10 20
Tráfico callejero 10–5 70
Posible daño auditivo 10–3,5 85
Cercano a un trueno 1 120
Umbral del dolor 10 130
Perforación instantánea 104 160del tímpano
Concierto de rock 101 130
P236 - 237 7/28/09 12:48 PM Página 237
238 Solucionario
SOLUCIONARIO Unidad 4
1. a. x = b. x = –1 c. x = d. x = 2 e. x = 12 y x = –7 f. x = 2 g. x = 0
h. x = –3 i. x = 0 j. x = –4 k. x = 3 l. x = –
2. $ 362.814 3. t = 4,88% 4. Ci: $1.953.418; Interés: 1,5 %; CF: $ 209.136
5. a. 1,845 b. –0,658 c. –0,067 d. 0,7385 e. –0,222 f. 2,865 g. 3,38
h. 0,435 i. –2,2536
6. a. Creciente: ]0, +��[ b. Creciente: ]–��, +��[ c. Creciente: ]1,7, +��[
Decreciente: ]–��, 0[ Decreciente: ]–��, 1,7[
d. Decreciente: ]–��, +��[ e. Creciente: ]1, +��[
7. a. y = (x – 1)2 b. y = + 2 c. y = – d. y = – 3 e. y = –x2 – 1 f. y = (x + 4)2 – 3
D: �–∞∞, 1� C: �2, +∞∞� D: �–1, +∞∞� C: �0, +∞∞� C: �–∞∞, 0� D: �–∞∞, –4�C: �1, +∞∞� D: �0, +∞∞� C: �–4, +∞∞�
8. a. 10; 100; 1010 b. 1 millón de bacterias, 10.000 bacterias. c. 6 horas.
1. a. Todos los reales, en todos los casos.
b. i) (0,1) ii) (0,2) iii) (0,1) iv) (0,4)
c. Sí, las mantendrían.
2. a. 1,732 b. 1,442 c. 4,729 d. 6,705
xx + 1x – 2
12
± 10
32
Página 110
Página 111
Página 112
± 14
2
P238 - 239 6/30/08 11:24 PM Página 238
239Solucionario
1. a. b. c. d.
e. f. g. h.
i. j. k. l.
2. a. b. c. d.
e. f. g. h.
i. j.
3. a. Dom: �; rec: �+; intersección con eje Y: (0, 1)
b. Dom: �; rec: �+; intersección eje Y: (0, 1)
c. Dom: �; rec: [1, +��[ ; intersección eje Y: (0, 1)
d. Dom: �; rec: [1, +��[ ; intersección eje Y: (0, 1)
e. Dom: �; rec: ]–9, +��[; intersección con los ejes (0, 0)
f. Dom: �; rec: �; intersección con los ejes (0, 0)
SOLUCIONARIO Unidad 4
Página 115
P238 - 239 29/11/06 17:36 Page 239
240 Solucionario
SOLUCIONARIO Unidad 4
4. a. Creciente. b. Decreciente. c. Decreciente. d. Creciente.
5. a. f(x) = 6x b. f(x) = � �xc. f(x) = 8x d. f(x) = (9,057)x e. f(x) = (1,12)x f. f(x) = �m �x
y(x) = (–8)x
6. a y b son correctas.
7. Solo c.
2. a. Dom: �; rec: �+ b. Dom: �; rec: ]–��, 1[ c. Dom: �; rec: �+ d. Dom: �; rec: �+
3. a. f(x) = � �xb. f(x) = � �x
4. a. b. c. d.
1. a. (1, 0) y (0, 1) respectivamente.
b. ln x: dom �+ – {0}; rec �
ex: dom �; rec: �+
c. y = x
2. a. y = log2 x b. y = log3 x c. y = log x d. y = log x
3. a. y = 6x b. y = 9x c. y = � �x
d. y = � �x
4. y = log4 x
5. a = 4
6. a. Falso. b. Falso. c. Falso. d. Verdadero.
7.
34
25
157
54
a1e2
5m1
5
Página 115
Página 117
Página 119
P240 - 241 29/11/06 17:35 Page 240
241Solucionario
1. a. x = 3 b. x = – c. No tiene solución real. d. x = – e. No tiene solución real.
2. R = 3 cm
3. a. x = 16,685... b. x = 2,15 c. x = 12,095 d. x = 2,1133 e. x = –0,26 f. x = 0,28
g. x = 8,4 h. x = 2,2211 i. x = j. x = k. x =
l. x = m. x = n. x = 0,83404...
4. a. x = 0,6981... b. x = 0,789 c. x = –2,264...
1. a. En 43 años aproximadamente. b. Partiendo del 2005, 16.778.000 aproximadamente.
c. Aproximadamente 9.895.000 habitantes.
2. a. Antofagasta: P = 250.665 e0,01517t
Santiago: P = 3.218.155 e0,02782t
Concepción: P = 638.118 e0,01679t
Magallanes: P = 88.244 e0,01838t
3. a. 750 alumnos. b. 1.343 alumnos. c. d. Se aproxima a 1.500.
4. a. 0,11 aproximadamente. b. c. Creciente
e. Aproximadamente 21% de alcohol.
f. Aproximadamente 9,4% de alcohol.
5. a. 80 viviendas. b. 543 viviendas. c. 800 viviendas.
1. a. x = –8.695,652 ln � � b. Dom: �+; rec: �+ c. 445,68 ml
d. 54.040 años aproximadamente. e. 6.027 años aproximadamente.
2. a. 34.749 años. b. Dom: �+; rec: �+
3. a. Decreciente. b. 16 horas. c. Cada 8 horas.
4. a. No tiene solución. b. No tiene solución.
5. a. 28, 01 ; a = 1,24537 c. Dom: �; rec: �–��, 30�
6. a. 58 contagiados.
P500
3log b + 4log a2log b – 3 log a
310
34
4log m + 2log 4
log m – 3log n
23
13
SOLUCIONARIO Unidad 4
Página 121
Página 123
Página 125
log n – log m
7(3log c – log a) 9(7log a – log c)
14
34
log p + log q
log q – 2log p
14
log m + log 4
1.500
750
P240 - 241 29/11/06 17:35 Page 241
242 Solucionario
SOLUCIONARIO Unidad 4
1. b. 50 días: 2.708 habitantes. 2. 9,544% anual.
300 días: 223.524 habitantes.
800 días: 499.972 habitantes.
3. P(t) = 55.000.000 • (1,024)t
a. 142.023.743 habitantes aproximadamente.
4. a. $ 3.025.714 b. 9,7 años. c. 5,77%
5. a. $ 5.581.410 6. 7 años aproximadamente.
1. B 2. D 3. a. 1 b. 18 4. B 5. E 6. B 7. C 8. D
1. C 2. A 3. C 4. D 5. B 6. A 7. D 8. A 9. A 10. D
11. A 12. C 13. C 14. B 15. B 16. D 17. E 18. B 19. D
1. 23 años aproximadamente.
2. a. 4.03 há. b. t = c. 23,45 años.
3. a. 5.000 bacterias. b. 11.698 bacterias aproximadamente. c. Alrededor de 8 días.
4. a. x = 1,65 b. e100 c. x = –1,79 d. x = –2,38
5. a. t = �ln(1 – �� b. t = RC ln� I(t)�6. x = 0 8. 9,3% 9. 2,53% 10. 2, 7 horas.
12. a. x b. x c. x d. x
14. 26 minutos aprox. 15. 1.468 días aprox. 16. y –
17. x =
18. 55.700 años.
19. a. 2,83 millas. b. 9,378 pulgadas de mercurio.
20. a. log x b. log1,25 c. –log 3x d. 2 log64 x
21. a. I) Dom: �+ b. I) Rec: � c. I) ex
II) Dom: � II) Rec: �+ II) ln(x)
III) Dom: � III) Rec: �+ III) log4(x)
IV) Dom: �+ IV) Rec: � IV) 4x
x22
3
.logb
12
92
RE
RIE
–LR
In(M) – ln(m)In(1 + i)
Página 127
Página 130
Página 134
Página 135
Página 136
Página 137
logcloga
log
P242 - 243 6/30/08 11:26 PM Página 242
243Solucionario
1. a. b. c.
d. e. f.
2. a. Discontinua. b. Continua. c. Continua.
3. a. x = 2 o x = –2 b. x = 20 o x = –20 c. x = 3 o x = 1
d. x = 5 o x = –5 e. x = – o x = – f. No tiene solución.
4. a. x = 14; y = –14 b. No tiene solución. c. �
2. a. Falso. b. Falso. c. Verdadero. d. Falso. e. Verdadero. f. Verdadero.
1. a. Los dos primeros. b. Es menor que 180º. c. Los dos primeros son cóncavos.
1. a. Primer y tercer cuadrante. b. Cuarto cuadrante. c. Segundo cuadrante.
2. a. (–4, 3) b. (4, 3); (–4, –3); (–4, 3); (4, –3); (0, 5); (0, –5); (5, 0); (–5, 0)
3. No es equilátero.
1. a. Módulo: 5 b. Módulo: 13,8 aproximadamente. c. Módulo: 15
d. Módulo: 17,69 aproximadamente. e. Módulo: 1 f. Módulo: 4
2. a. Iguales. b. Diferentes. c. Opuestos. d. Diferentes.
1. a. (5, 3) b. (–2, 2) c. (–3, –11) d. (–11, –6)
2. a. x = 1; y = –9 b. x = 7; y = –5 c. x = –4; y = –1 d. x = –6; y = –10
3. b. 9,1 metros; = (7, 5, 3)
3. a. � > 1: resulta un vector con mayor magnitud que
� = 1: resulta un vector equivalente a
0 < � < 1: resulta un vector con menor longitud que a�
a�
a�
v��
203
43
SOLUCIONARIO Unidad 5
Página 140
Página 143
Página 147
Página 149
Página 151
Página 153
Página 155
P242 - 243 1/12/06 16:35 Page 243
� = 0: resulta el vector nulo
� = –1: resulta un vector opuesto a
� < –1: el vector resultante cambia de sentido respecto a y disminuye su módulo.
4. a. (1, 2) = (4, 8) = – (–2, –4) b.
(4, 8) = 4(1, 2) = –(–2, –4)
(–2, –4) = –2(1, 2) = – (4, 8)
(0, 0) = 0(1, 2) = 0(–2, –4) = 0(4, 8)
d. Los vectores pertenecen a una misma recta.
2. a. b. c. d.
3. a. Perpendicular al plano de la pizarra. b. Hacia afuera. c. 60 d. 3.600
1. a. = (–1, 2) = –1 + 2 b. = (–3, – ) = –3 – c. = (–4, 0) = –4
d. = (0, 5) = 5 e. = (– , – ) = – –
2. = 2 + = – + 4 = –2 – = 2 – 2
3. 4. = – – 2 = 3 – 2 = 4 +
1. (x, y) = (1, 1) + λλ(3, 3) 2. (–1, 1) 3. (1, 2); (5, 10); (–3, –6) 4. y = 2x
5. 6. 2y + 3x – 11 = 0
7. (x, y) = (–3, 2) + λλ(1, 3)
8. (0, 0) no pertenece; (0, 11) pertenece; (–3, 0) no pertenece.
9. = (4, 1); (x, y) = (x0, y0) + λλ(4, 1)
10. (x, y, z) = (12, –5, 7) + λλ(–12, 11, –10)
d�
j�i�c�
j�i�b��
j�i�a�
j�i�d�
j�i�c�
j�i�b��
j�i�a�
j�12
i�12
12
12
x��
j�v��
i�u�
j�13
i�13
t�
j�i�s�
BA� ��
EH� ��
CG� ��
AE� ��
12
12
14
a�
a�
0�
244 Solucionario
SOLUCIONARIO Unidad 5
Página 155
Página 157
Página 159
Página 163
–4 4
2
–4
8
1–2
Y
X
(x, y) = λλ( , 1)13
OA� ���
OB� ���
OE� ��
OF� ��
OD� ���
OC� ���
P244 - 245 29/11/06 17:34 Page 244
245Solucionario
SOLUCIONARIO Unidad 5
11. a. No son colineales. b. Son colineales. c. Son colineales.
12. (x, y, z) = (x0, y0, z0) + λλ(6, 4, 2) 13. (x, y, z) = λλ(d1, d2, d3) 14. (x, y, z) = (x0, y0, z0)
1. Vectores directores (2, 2, 0) y (0, 0, 1), el punto (0, 0, 0) pertenece al plano.
3. x = 0; y = 0; z = 0; y = c; z = c; x = c 4. No.
1. 2. 3. (x, y, z) = (0, 0, 0) + λλ(1, 0, 0) + �(0, 3, 1)
4. Es paralelo al eje Y. 5. El plano es paralelo a ese eje.
1. (6, 10, 3) 2. Recta secante al plano.
3. a. m �� –1 b. m = –1 c. No existe tal valor.
1. a. (–2, –3) b. (3, –4) c. (6, 7) d. (0, 4)
2. (4, –2); (3, 0); (0, –2); (3, –3) 3.
1. a.
Página 165
Página 167
Página 169
Página 171
Página 173
Z
XY
Z
X Y
Z
X Y
32
2
3 4 6 10
6
3
1
–3
–6
–10 –6 –4 –3
B´
A´
D´
C´
D
C
B
A
P244 - 245 29/11/06 17:34 Page 245
246 Solucionario
SOLUCIONARIO Unidad 5
b.
3. k = 3 AC = 3 CB = 4 A'C' = 9
1. D 2. B 4. B 6. E
1. D 2. B 3. C 4. B 5. A 6. D 7. E
8. C 9. C 10. E 11. E 12. C 13. B
2. a y b
3. b. Bloque 1: 343 kilogramos.
Bloque 2: 294 kilogramos.
c. En sentido del desplazamiento del bloque 2.
4. a. 17,69 b. (–13, 12)
5. = (6, 6); = 8,48; Forma un ángulo de 45º con el eje X.
6. a. G b. G c. F d. F e. D f. H g. A h. C
7. (x, y) = (–4, 6) + λλ(8, –8)
9. a. T1: (–4, –5); T1–1: (4, 5)
b. T2: (3, -5); T2–1: (–3, 5)
c. T3: (2, 5); T3–1: (–2, –5)
v��
v��
Página 176
Página 180
Página 181
Página 182
Página 183
3 4 6 9 10 15
5
4
3
1
–3
–4
–6
–9
92
92
–
92
32
D
D”
CC”
B
A
B”
A”
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247Solucionario
SOLUCIONARIO Unidad 6
1. 86 cm2 2. 88 cm2 3. 6,5 cm2 aproximadamente
4. a. A = 26 cm2 b. A = 6,25 cm2 c. A = 2,4 cm2 d. A = 11,42 cm2
e. A = 166,28 unidades cuadradas. f. A = 76,13 unidades cuadradas.
5. a = r
6. a. 2.340 b. 840.000 c. 451 d. 7,9 • 10–7 e. 5,606 • 10–6 f. 36.000.000
g. 53,288 h. 50 i. 4.000.900 j. 5,7 • 10–6 k. 10.000 l. 93,5
7. a. 52.987,5 dm2 b. 2,17 m2 c. 240.173,6 cm2
8. a. A un cilindro. b. 100,48 cm2 c. 326,56 cm2 d. 653,12 cm3
1. 16 cm2 2. 113,04 m2 3. cm2 4. 128 cm2
5. A = (8ππ – 16) cm2 ; P = 8ππ cm 6. 2 : 1
1. a. No b. Dos cuerpos pueden tener igual volumen pero diferentes áreas.
2. El volumen de C es igual a la suma de los volúmenes de A y B.
4. El volumen aumenta ocho veces; el área aumenta cuatro veces.
1. Sí, por el principio de Cavalieri. 2. A = 28,3 cm2
2. 12 caras. 3. 11 caras. 4. a. Falso. b. Falso. b. Verdadero.
1. 646,3 cm2 2. 8.112 cm2 3. a = 4,56 cm 4. Aproximadamente 3 tarros.
5. a. 107,45 cm2 b. 192 cm2 c. 547,061 cm2 d. 157,86 cm2
1. 1.728 cm3 2. 259,8 cm3 3. a. 93,53 cm3 b. 36 cm3 4. 2 cm
5. V = 1.536 cm3 ; A = 832 cm2 6. 4 cm 7. 250 cm3
1. a. Prisma: 42 cm3; pirámide: 14 cm3 b. Prisma: 288 cm3; pirámide: 96 cm3
2. a. V = 1.568 cm3; A = 896 cm2 b. V = 384 cm3; A = 384 cm2 3. 240 m2
4. 119,9 aproximadamente. 5. 0,8 litros. 6. Volumen: 6.600 m3 ; Área: 2.497 m2 aprox.
1. 6.280 cm2 a. 20,91 cm3 aproximadamente. 2. Si la medida de la altura es igual a la medida del radio.
4. 3,0520 m3 5. 9,4 cm3
27
643
323
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248 Solucionario
SOLUCIONARIO Unidad 6
1. 1.648,5 cm2 2. 150,72 cm3 3. 8 cm 4. 56 viajes 5. 654,96 cm3
1. A = 144 ππ cm2; V = 288 ππ cm3 2. Si puede equivaler para r = h 3. A = 36 ππ cm2; V = 36 ππ cm3
1. 314 cm2 2. a. 226,08 cm3 b. 49,3 cm c. A1: 169,56 cm2; A2: 619,208 cm2 3. 4 ππ cm2
4. 25,46º 5. αα = 75º 6. a. 7.078.414,77 km2 b. 25.482.293,2 km2 7. 125,6 cm2
1. a. b. 2.
3. a. Un cubo. b. 64 unidades cúbicas. c. 64 unidades cuadradas.
d. Un prisma de base cuadrada; volumen: 128 unidades cúbicas. e. (0, 0, 62,5)
1. A = 599,74 ; V = 295 cm3 2. a. 12 cm b. 1.186,92 cm2 c. 2.800,88 cm3
4. a. 452,16 cm3 d. S1: 376,991 cm2 ; S2: 251,2 cm2 5. Cilindro, cono, esfera.
2. a. b. c. d.
2. e. Sí. g. No. 3. a. Paralelo a la base. b. Diagonal.
4. 6. 106,50 cm2
2. a. 375 cm3 b. 3 m ; 20 m y 50 m c. 605 cm2 y 2.270 m2, respectivamente.
3. 691.200 miligramos. 4. 2,835 kilogramos.
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249Solucionario
SOLUCIONARIO Unidad 6
5. a. Aproximadamente 3,6 veces. b. Aproximadamente 49 veces. 6. a. 34 b. $ 91.800.000
8. a. Menor b. No 9. a. 1.404 m2 b. 6.300 m3 c. 7.000 m3 10. 125 cajas.
11. 188,4 cm, de 10 cm de ancho; volumen: 284,6 cm3
1. E 2. E 3. D 4. C 5. E 6. C
1. E 2. B 3. B 4. C 5. D 6. E 7. B
8. A 9. C 10. E 11. D 12. A 13. C 14. C 15. C 16. A
1. 117 unidades 2. 467,13 cm2 3. 8,426 cm 4. 105,97 cm2
5. 1.413 cm2 6. 2 : 3 7. 20,93 cm2
9. 204,1 cm2 10. a. 383,44 cm2 b. 326,56 cm2 11. 27 cm3
12. a. Eje 1 Eje 2 Eje 3
b. V1: 1.590,7 cm3 ; V2: 837,124 cm3 ; V3: 732,562 cm3
13. 189 cm3
14. 141,3 cm2
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250 Solucionario
Evaluación semestral 1
Página 104
1. C
2. E
3. B
4. C
5. B
6. C
7. C
Página 105
8. D
9. A
10. C
11. C
12. B
13. C
14. A
15. B
16. D
Página 106
17. C
18. D
19. B
20. A
21. D
22. B
23. C
24. D
Página 107
25. E
26. D
27. E
28. A
29. E
30. E
31. E
32. A
Evaluación semestral 2
Página 222
1. E
2. E
3. B
4. D
5. C
6. C
Página 223
7. B
8. E
9. E
10. D
11. B
12. D
Página 224
13. E
14. E
15. D
16. E
17. C
18. B
19. D
20. A
Página 225
21. E
22. C
23. D
24. E
25. B
26. A
27. A
28. C
SOLUCIONARIO Evaluación Semestral 1 y Evaluación Semestral 2
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251Glosario
GLOSARIO
Ángulo diedro: corresponde a cada una de lasregiones limitadas por la intersección de dosplanos.
Área: medida asociada a una superficie.
Casquete esférico: parte de la superficie esféricaobtenida al intersectar la esfera con un planosecante.
Correlación: es el grado de asociación de dosvariables y que explica la influencia que puedetener una sobre la otra.
Cuartil: parte que se obtiene al dividir el total dedatos en cuatro partes con igual cantidad deelementos: 25%, 50% y 75%.
Decil: parte que se obtiene al dividir el total dedatos en diez partes con igual cantidad deelementos: 10%, 20%, 30%,..., 90%.
Desviación estándar: expresa el grado de dispersiónde los datos con respecto a la media aritmética deestos.
Dirección de un vector: corresponde a lainclinación de la recta que contiene al vector.
Distribución normal: describe las distribuciones delos datos relacionados con variables, como porejemplo: el tamaño de algunas especies, variablessociales, etc.
Dominio de una función: conjunto de todos losvalores que puede tomar la variableindependiente.
Ecuación logarítmica: son aquellas ecuaciones enlas cuales la incógnita aparece como argumento ocomo base de un logaritmo.
Ecuación vectorial de la recta: está determinadapor un punto fijo po� y un vector director v�. Suexpresión vectorial es:
p� = po� + λv� , λ ∈ �
Ecuación vectorial del plano: está determinadapor un punto fijo po� y dos vectores directores v� yw�. Su expresión vectorial es:
p� = po� + λv� + µw� , λ y µ ∈ �
Frecuencia absoluta: número de veces que serepite un cierto valor en una variable.
Frecuencia acumulada: es la suma de lasfrecuencias absolutas hasta un determinado valor.
Función cuadrática: función de la forma ax2 + bx + c,donde a ≠ 0 y a, b, c pertenecen a �.
Función exponencial: es aquella cuya variableindependiente es el exponente de una potenciacon base positiva y distinta de 1. Su expresión es:
f(x) = ax a > 0 y a ≠ 1
Función inversa: corresponde a la expresión en lacual la variable independiente está en función dela variable dependiente. Por ejemplo,
si y = 3x + 2 entonces x =
o bien, si f(x) = 3x + 2, entonces f–1(x) =x – 2
3
y – 23
Ejemplo: f(x) = 3x
h
R
r
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Función logarítmica: es aquella cuya expresiónmatemática es:
f(x) = logb x b ∈ �+ – {1}
Función periódica: es aquella cuyos valores serepiten cada cierto intervalo. Esto es:
f(x) = f(x + T) T: período
Función potencia: está dada por f(x) = axn, dondea es un número real distinto de cero y n = 2, 3, 4, 5,...
Homotecia: es una transformación geométrica queno altera la forma inicial, pero puede cambiar sutamaño y posición.
Huso esférico: es una parte de la superficieesférica, limitada por la intersección de doscircunferencias máximas.
Logaritmo: el logaritmo en base a de un número xes el exponente y al que hay que elevar la basepara obtener dicho número. Es decir,
Si loga x = y entonces, x = ay
Logaritmo natural: es aquel cuya base es el númeroe.
Media aritmética: corresponde al cociente entre lasuma de los datos y el número total de ellos. Estecociente indica el valor al cual se aproximan losdatos.
Media aritmética ponderada: es la media de losdatos que no poseen la misma ponderación oimportancia.
Mediana: valor de la variable cuya frecuenciaacumulada es inmediatamente superior a la mitaddel total de datos.
Medidas de dispersión: son los parámetrosestadísticos que indican el mayor o menor gradode agrupamiento de los valores que forman elconjunto de datos.
Moda: es el valor de la variable o intervalo conmayor frecuencia absoluta.
Módulo de un vector: es la longitud del segmentodeterminado por el vector. Su expresión es:
|| a� || =
Muestra: es una parte de la población.
Número e: número que puede obtenerse de laexpresión siguiente cuando n toma valores muygrandes.
�1 + �n
tiende a e = 2,7182...
Percentil: parte obtenida al dividir el total de datosen 100 partes iguales: 1%, 2%, 3%, ... 99%.
Población: conjunto de elementos en los cuales seestudiará un determinado aspecto o característica.
Principio de Cavalieri: dos cuerpos de la mismaaltura, con base de igual área y cuyas seccionesparalelas a las bases son siempre de igual áreatienen el mismo volumen.
Principio de Euler: relaciona el número de caras,vértices y aristas de un poliedro convexo:
Nº caras + Nº vértices = 2 + Nº aristas
Producto cruz: es el producto entre dos vectores yque genera un nuevo vector, perpendicular aambos y cuyo módulo es || a� || • || b� || • sen αα , enque αα representa el ángulo formado por ambosvectores.
1n
a a1 22 2+
252 Glosario
GLOSARIO
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253Glosario
GLOSARIO
Producto escalar: es el producto del módulo de unvector por la proyección ortogonal de otro vectorsobre él. El producto escalar da como resultado unnúmero dado por la expresión
a� • b� = || a� || || b� || cos αα, o bien,
si ambos vectores están dados en coordenadastenemos:
(a1, a2 ) • (b1, b2) = a1 • b1 + a2 • b2
Rango: diferencia entre el mayor y el menor valorde la variable estadística.
Recorrido de una función: conjunto de todos losvalores que puede tomar la variable dependiente.
Sentido de un vector: está indicado por la puntade la flecha del vector.
Sistema diédrico: se refiere a la representación deun cuerpo en dos planos perpendiculares.
Traslación: transformación geométrica que daorigen a una nueva figura congruente con laanterior pero en otra posición.
Variable cualitativa: variable relacionada concaracterísticas no numéricas de un individuo.
Variable cuantitativa: variable que se puede mediry expresar mediante números.
Variable estadística: es todo carácter o aspecto delos elementos de una población o muestra,susceptible de ser estudiado.
Volumen: medida del espacio que ocupa uncuerpo.
αα
a�
b�|| a� || cosαα
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254 Glosario
GLOSARIO
Productos notables
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
(a + b)(a – b) = a2 – b2
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
Factorización
ka + kb = k(a + b)
(a + b)x + (a + b)y = (a + b)(x + y)
x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)
Perímetros y áreas de figuras planas
Alfabeto griego
� Alpha
� Beta
� Gamma
� Delta
� Épsilon
� Zeta
� Eta
� Theta
Iota
Kappa
� Lambda
� Mu
Nu
� Xi
� Ómicron
� Pi
� Rho
� Sigma
� Tau
� Úpsilon
� Phi
� Chi
� Psi
� Omega
Figura Perímetro Área
Triángulo a + b + c
Paralelogramo 2 • (a + b) b • h
Rectángulo 2 • (b + a) b • a
Cuadrado 4 • a a2
Rombo 4 • a
Cometa 2 • (b + a)
Trapecio B + b + a + c
Círculo 2 • ππ • r ππ • r2
(B + b) • h2
D • d2
D • d2
b • h2
a
a
a
a
a
a
b
b
h
r
ca
B
dD
Dd
b
b
b
ch
h
Pág. 251 - 256 29/11/06 17:42 Page 254
Centeno, Julia. Números decimales. Síntesis, Madrid,1995.
Corbalán, Fernando. La matemática aplicada a la vida cotidiana. Graó, Barcelona, 1995.
Enzensberger, Hans Magnus. El diablo de los números. Ediciones Siruela, España, 1998.
Ernst, Bruno. El espejo mágico de M.C.Escher. Taschen, 1994.
Gardner, Martin. ¡Ajá! Paradojas. Paradojas que hacen pensar. Labor S.A., Barcelona, 1989.
Gardner, Martin. Carnaval matemático. Alianza Editorial, Madrid, 1980.
Guedj, Denis. El imperio de las cifras y los números. Ediciones B, S.A., Barcelona,1998.
Guedj, Denis. El teorema del loro. Anagrama, 2000.
Jouette, André. El secreto de los números. Ediciones Robinbook, S.L., Barcelona, 2000.
Julius, Edward. Matemáticas rápidas. Norma, Bogotá, 2002.
Perelman, Yakov. Matemáticas recreativas. Ediciones Martínez Roca S.A., Barcelona, 1987.
Perero, Mariano. Historia e historias de matemáticas. Grupo Editorial Iberoamericano, México,1994.
Stewart, Ian. Ingeniosos encuentros entre juegos y matemáticas. Gedisa, Barcelona, 1990.
Tahan, Malba. El hombre que calculaba. Publitecsa, Barcelona, 1985.
Páginas web interesantes
1. El paraíso de las Matemáticas: www.matematicas.net
2. Sector Matemática: www.sectormatematica.cl
3. Aula virtual de Aritmética: http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/aritmetica.htm
Aula virtual de Álgebra: http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/algebra.htm
4. El número de oro en el arte y la naturaleza: http://www.omerique.net/calcumat/arteoro.htm
Demostraciones del teorema de Pitágoras (en inglés): http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pythagoras.html
Patrones numéricos: http://ciencias.huascaran.edu.pe/modulos/m_sucesiones/act1.htm
5. Entretenimientos matemáticos:
www.geocities.com/Eureka/Gold/8274/matemati.htm
www.geocities.com/Athens/Acropolis/4329/cumat.htm
http://ar.geocities.com/matematicamente/cmagico.htm
255Glosario
BIBLIOGRAFÍA
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Pág. 251 - 256 29/11/06 17:42 Page 256
ALEJANDRO PEDREROS MATTA
ÁNGELA BAEZA PEÑA
MARCIA VILLENA RAMÍREZ
PABLO JORQUERA ROZBACZYLO
GABRIEL MORENO RIOSECO
MAT
EMÁT
ICA
4 oM
edio
TEXT
O P
ARA
EL E
STUD
IANT
E
AÑO
201
0
EDUCACIÓN MEDIA
TEXTO PARA EL ESTUDIANTE
EDICIÓN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACIÓNPROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN
AÑO 2010
EDICIÓN ESPECIAL PARA ELMINISTERIO DE EDUCACIÓNPROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN
AÑO 2010
9 789561 512504
ISBN 956-15-1250-5
PORTXTO MATEMATICA IV 07 24/7/09 16:41 Page 1