Post on 03-Aug-2020
COLEGIO SANTO DOMINGO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CUADERNILLO DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE MATEMÁTICA PARA
SEGUNDO MEDIO 2017
PRIMER SEMESTRE
NOMBRE:________________________________
2
Introducción:
Una de las formas más fáciles para estudiar matemática es repasar y aplicar
los conceptos analizados en clases a través de ejercicios y problemas; este
cuadernillo pretende ser una ayuda que debes usar tanto en su casa como en el
colegio con el fin de facilitar tu aprendizaje.
Algunos de los ejercicios y problemas de las guías que forman parte del
cuadernillo han sido cuidadosamente seleccionados de los texto de estudio
existentes en el mercado y otros son creaciones de tus profesores.
Esperamos que este conjunto de guías te sirva como un apoyo para tu
aprendizaje de la matemática en el presente año.
Muchos éxitos.
Departamento de Matemática
3
GUÍA: CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
I) Determinar cuáles de los siguientes números son irracionales
1) 2 2) 1,4142 3) 4) 2,01001000100001….5) 3,678678678…
6) 7) 562, 8) / 9) 17/11 10) 0,21211211121111….
II) Completar la siguiente tabla con y Número IN (naturales) Z (enteros) Q (Racionales) Irracionales Reales 1,25 2,22222….
- 49
23
-7
49 /
9/3 -2,25
25
III) Aproximar los siguientes números irracional de acuerdo al criterio dado en cada caso 1) Redondear a la milésima 3) Redondear 3,1711711171117…. a la diezmilésima 4) Truncar 0,0203040506070809010011012013… a la centésima
6) Aproximar 57 por exceso a la décima
7) Aproximar 83 por defecto a la centésima
8) Aproximar 2 por exceso a la milésima
IV) Calcular las siguientes raíces cuadradas
1) 676 2) 841 3) 1089 4) 4012. 5) 8491. 6) 2961.
V) Redondear con un decimal las siguientes raíces cuadradas
1) 300 2) 360 3) 750 4) 0001. 5) 0002. 6) 800
VII) Usando regla y compás y el teorema de Pitágoras, representar en la recta numérica dibujada sobre papel milimetrado, las siguientes raíces cuadradas:
1) 2
2) 5
3) 8
4) 10
5) 17
6) 18
7) 20
8) 29
9) 3
4
VIII) Calcular las siguientes raíces
1) 64
2) 100
3) 841
4) 83
5) 15
6) 643
7) 112
8) 325
9) 3433
10) 2435
11) 10003 .
12) 10003 .
IX) Transformar las siguientes potencias a raíces
1) 4
3
5
2) 5
2
3
3) 2
1
9
4) 5
2
32
5) 2
3
16
6) 3
2
8
7) 8
3
p
8) 3
2
a2
X) Transformar las siguientes raíces a potencias
1) 3 23 2)
4 32 3) 5 8 4) 27 5)
6 4 6) 7 7
XI) Escribir una raíz equivalente a cada una de las siguientes expresiones
1) 32
2) 23
3) 5 2
4) 62
5) 710
6) 83
7) 29
8) 9
32
4
3
9) 4051 ,,
XII) Descomponer las siguientes raíces de modo que la cantidad subradical sea lo menor posible
1) 8
2) 20
3) 45
4) 32
5) 50
6) 24
7) 40
8) 48
XIII) Descomponer y reducir las siguientes expresiones
1) 272523
2) 5032
3) 7548227
4) 203452
5) 634428
6) 3239040
7) 206328480
8) 45320455
5
XIV) Racionalizar las siguientes expresiones
1) 2
5
2) 5
3
3) 6
6
4) 3
9
5) 34
25
6) 2
12
7) 5
23
8) qp
qp
9) 34
5
10) 25
5
11) 12
12
12) 11a
11a
GUÍA: LOGARITMO I) Completar la siguiente tabla
LOGARITMO POTENCIA RAÍZ
4813 log 8134 3814
1255log
51283
7168075
1010242 log
644096
409646
II) Calcular el valor de los siguientes logaritmos 1) log3 9 2) log4 64 3) log2 32 4) log5 625 5) log3 243 6) log2 128
7) log3 (1/3) 8) log2 (1/4) 9) log3 (1/243) 10) log4 32 11) log9 27 12) log6 216
13) log8 (1/32) 14) log8 16 15) log7 7 16) log12 1 17) log 5 5
7
18) log4 412
III) Desarrollar aplicando las propiedades de los logaritmos
1) log (ab) 2) log (2x) 3) log (p/q) 4) log (a
3b
2)
5) log (3m5)
6) b
alog
3
2
7) 2
43
r
qplog
8) log (abc)3
9) cb
alog
3
4
2
10) mlog
11) 5xlog
12) log abc
13) logyx
cba2
5 223
3
7
IV) Escribir en un solo logaritmo aplicando propiedades
1) log x + log y 2) 4log z 3) log 2 + log a 4) 2log a + 3log b 5) 3log a – 2log b + 5log c 6) 4log x – 3log y + 2log z – 5log v
7) alog2
1
8) nlogmlog2
1
2
1
9) ylogxlog3
1
3
1
10) xlog3
2
V) Calcular los siguientes logaritmos usando la propiedad del cambio de base y la calculadora
1) 63log
2) 72log
3) 105log
4) 208log
5) 96log
6) 123log
7) 612log
8) 202log
VI) Calcular los siguientes logaritmos sabiendo que log 2 = 0,301; log 3 = 0,477 y log 7 = 0,845 y usando las propiedades
1) log 6 2) log 12 3) log 5 4) log 15 5) log 9 6) log 16 7) log 28
VII) Calcular los siguientes logaritmos naturales usando la calculadora
1) Ln 2 2) Ln 3 3) Ln 4 4) Ln 5
4) Ln 10 5) Ln 12 6) Ln 36
7
ALTERNATIVAS
1)
2)
3)
8
4)
5)
6)
7)
8)
9) 272125
erdetpuedeseNo)E
33)D
32)C
34)B
316)A
10) 16
15
4
16
valoreslosdeNinguno)E
20
7856)D
20
151)C
5
2
4
6
2
7)B
20
61)A
9
arminer
25
48
anterioresvalores
10
11) 3 1x3 2x2 aa
1x
3x
x3
6 3x3
3x3
a)E
a)D
a)C
a)B
a)A
12) 3 2
2=
1)E
2)D
8)C
2)B
4)A
6
6
3
3
13) Si a2 , c5yb3 entonces ¿cuál(es) de las expresiones siguientes
es(son) equivalentes a 60
I) 2bc
II) 4 224 cba
III) bca2
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III
14) 38212
520)D
510)C
15)B
23)A
E) Ninguno de los valores anteriores
11
15) 2:)24251250(
40)E
32)D
58)C
210)B
10)A
16)
3 55555
55555
55555
55555
2
3
3
2
6
5
5)E
5)D
1)C
5)B
5)A
17)
22
3
22
6
2
236)E
2
296)D
296)C
22
3)B
0)A
18) El número 162 es igual a:
14
4
4
2)D
2)C
32)B
2)A
E) Ninguno de los números anteriores
12
19) Para todo m > 0 la expresión mmm 3 23 4 es igual a
6 7
5 7
5
8 7
m)E
m)D
m)C
m)B
m)A
20) log (a + b)
2 – log (a + b) =
A) 2 B) a + b C) log a + 3log b D) log a + log b E) log (a + b)
21) Si 2x1
1log
entonces x vale:
20
19)E
100
101)D
100
99)C
99)B
100
99)A
22) ¿Cuál de las siguientes opciones es igual a log 12?
2log6log)E
3log2log2log)D
6log2)C
2log10log)B
2log6log)A
13
23) El valor de la expresión es16log
9
1log8log
4
32
4
7)E
4
5)D
3)C
2
1)B
2
5)A
24) log32 = a resulta A) a
3 = 2
B) a2 = 3
C) 23 = a
D) 32 = a
E) 3a = 2
25) Si a > 1, entonces )a(loglog 2a2 =
A) 0 B) 1 C) 2 D) a E) a
2
26) ¿Cuál de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)?
4log10log4log)III
3030log2
1log)II
20log20log1log)I
A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III
14
27) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
7
1xentonces,249logSi)III
3xentonces,2xlogSi)II
29
1log)I
x
3
3
A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 28) log 2.000
2 =
A) 4 log 1.000 B) 6 + 2 log 2 C) 2(6 + log 2) D) 2(log 2)(log 1.000) E) 3 + 2 log 2
29) ¿Cuál es el valor de la expresión ?10log9log8log 32
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
30) Sean x e y números positivos, la expresión )yxlog( 23 es siempre igual a
)ylog2)(xlog3()E
ylog2
xlog3)D
ylog2xlog3)C
)xylog(2
3)B
)xylog(6)A
15
GUÍA FUNCIONES REPASO: I) Determinar en cuales de las siguientes situaciones está involucrada una función 1) Artículos de un supermercado con su precio 2) Una persona con su padre 3) Un padre con su hijo mayor 4) La relación mi hermano es 5) Un ser humano con su hijo 6) Los minutos que se usa el teléfono al mes con el valor de la cuenta 7) Los alumnos de un curso y su nota en la prueba de funciones II) Determinar en cuales de los siguientes diagramas se representa una función
16
II) Sean f, g, h funciones de IR ––> IR definidas por
f(x) = 3x – 5 g(x) = 7
x34 h(x) = x
2 – 5x = + 2
A)Calcular: 1) f(2) = 2) g(5) =
3) h(-2) = 4) g(-3) + - g(2) =
5) h(-3) + 2f (3) = 6) g(5) - 2f(-1)=
B) Encontrar: a) h(g(3)) = b) f(g(11)) = c) (g o f ) (9)=
d) (f o h )(4)= e) Dom f, g, h f) Rec f
g) f(g(-1)) h) g(f(-1))
III) Dadas las funciones:
1I) ( ) 2 3 II) ( ) 4 III) ( ) 2 3 IV) ( ) V) ( )
2f x x g x h x x r x x p x x
a) Identificar cada una de las funciones b) Grafique cada una de las funciones c) Encontrar el dominio y el recorrido de cada una de las funciones
17
GUÍA ALTERNATIVAS FUNCIONES
1) Con respecto a la función parte entera f(x) = [x] la única afirmación falsa es:
a) [ 4,3] = 4 b) [ 3] = 3
c) 24
7
d) [ -0,3] = - 1 e) [ 6,8] = 6
2) El valor de [ 4,5+ 4,5 + 4,5] – ([ 4,5] + [ 4,5] + [ 4,5]) = ?
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
3) Con respecto a la función valor absoluto de x, f(x) = I x I la única afirmación verdadera es:
a) I -2,5 I = -3 b) I 2,5 I = -2 c) I 1,2 I = 1 d) I -7 I = 7 e) I 25 I = -25
4) Si a es un número real positivo entonces I a + 5 I = ?
a) 5 – a b) a + 5 c) –a – 5 d) a – 5 e) 5
18
5) De las siguientes funciones, la única que no es constante es:
a) f(x) = 5 b) f(x) = -2 c) f(x) = a d) f(x) = x e) f(x) = 2,34
Utilizar el gráfico para responder las preguntas 6 a 11 6) El dominio de la función es
a) Los números reales mayores que -7 b) Los números reales menores que -7 c) Los números reales entre a y 9 d) Los números reales entre –a y 9 e) Todos los números reales
7) Si y = f(x), el valor de f(b) es:
a) a b) –a c) b d) –b e) Imposible de determinar a partir del gráfico
8) El recorrido de la función es:
a) Los números reales mayores que -7 b) Los números reales menores que -7 c) Los números reales entre a y 9 d) Los números reales entre –a y 9 e) Todos los números reales
9) El valor de f(9) es:
a) 6 b) 9 c) a d) b e) otro valor
X
Y
b
9
6
a
-7
19
10) La imagen de a es:
a) a b) –a c) b d) –b e) 0
11) El menor valor de la función es:
a) a b) b c) 6 d) 9 e) -7
12) Con respecto a los siguientes gráficos se realizan las siguientes afirmaciones I) II) III)
I) El grafico I no es función II) El grafico II sería función si unimos las dos curvas con un segmento recto III) El tercer gráfico representa una función
De las afirmaciones son verdaderas:
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) I, II y III
Con las funciones f(x) 3x + 2 ; g(x) = x2 – 3x – 2 y h(x) =
2x
7x2
resolver las preguntas 14 a 20
13) f (g (3)) es:
a) -2 b) -4 c) -58 d) -62 e) Otro valor
y
x
y
x
y
x
20
14) (f h) (3) = ?
a) 13 b) 15 c) 39 d) 41 e) Otro valor
15) (g f) (-1) es:
a) 1 b) -1 c) 0 d) -6 e) Otro valor
16) h ( g (2)) es
a) 1/6 b) -1/6 c) 1/2 d) -1/2 e) Otro valor
17) f ( u + 2) = ?
a) 3u + 2 b) 3u + 4 c) 3u + 8 d) 9u + 2 e) 9u + 4
18) Si h(x) = 0, entonces x = ?
a) -3,5 b) 3,5 c) -7 d) 7 e) Otro Valor
19) ?)x)(gf(
a) 3x
2 + 2
b) 3g(x)2 + 2
c) 3x2 – 9x – 4
d) 3x2
e) Otra expresión
21
Dadas las siguientes funciones, responder las preguntas 21 a 25 y 20) El valor de f (-1) + f (1) es:
a) 0 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5
21) Con respecto al valor de la expresión g(1) + g(2) se afirma que:
I) Es equivalente al valor de g(3) II) Su valor es (-3)
-1
III) Su valor es menor que g(0) De las afirmaciones son verdaderas
a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) II y III e) II y III
22) Si g(a) = 5 entonces el valor de a es:
a) 2 b) 3 c) 12 d) 17 e) Otro valor
23) Con respecto a las funciones f y g se afirma I) Dom f = IR II) Rec f = IR III) Rec g = IR
+
De las afirmaciones son verdaderas
a) Sólo I b) Solo II c) Sólo III d) I y II e) II y III
24) El valor de g ( f ( -2) ) es
a) -1 b) 0 c) 1 d) 1/3 e) Otro valor
2x + 3 si x<0 f (x) = x
2 + 3 si x 0
g(x) = 3
2x si x<2
5x –10 si x 2
22
25) En el gráfico de la figura, se muestran las tarifas de un estacionamiento por horas. Un automovilista estaciona durante 4 días: el primer día 152 minutos, el segundo día 180 minutos, el tercer día 90 minutos y el cuarto día 210 minutos. ¿Cuánto canceló en total por los días que estacionó?
A) $ 1.900 B) $ 2.300 C) $ 2.400 D) $ 2.000 E) Ninguno de los valores anteriores.
26) ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s) respecto del gráfico de la función f(x), en la figura? I) f(– 2) > f(4) II) f(– 1) + f(3) = f(– 3) III) f(– 6) – f(8) = 2 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III
27) Del gráfico de la función real x1)x(f , se puede afirmar que:
I) tiene su vértice en el punto (0,0) II) sus ramas se abren hacia abajo III) corta al eje de las abscisas en x = 1 y en x = -1 Es(son) verdadera(s): A) Solo II B) Solo III C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III
23
28) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función real y = [x +1] ?
29) De acuerdo al gráfico de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? I) f(-1) + f(1) = f(0) II) 3f(-2) – f(0) = 2f(2) III) f(-2) – f(1) = f(2) -1 A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III
30) Un taxista tiene un cobro fijo de $ 150 y cobra, además, $ 300 por cada Km. recorrido. Entonces la función que relaciona el valor (y) y los kilómetros recorridos (x) es:
1x300150y)E
1x300150y)D
3001x150y)C
300x150y)B
x300150y)A
31) El servicio de agua potable de una localidad rural tiene las siguientes tarifas según tramo de consumo:
Consumo en m0 - 910 –20 o más
Además, siempre se agrega un cargo fijo de $ 4.000. Si el consumo no entero, éste se aproxima al entero superior. ¿Cuál de los siguientes gráficos interpreta el sistema de cobros de la empresa?
32) Dada la función f(x)=
verdadera(s)?
0)2(f)III
2
1
2
1f)II
)1(f)2(f)I
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III
24
El servicio de agua potable de una localidad rural tiene las siguientes tarifas según tramo de
Consumo en m3 Precio
9 $3.000 – 19 $ 8.000
20 o más $11.000
Además, siempre se agrega un cargo fijo de $ 4.000. Si el consumo no corresponde a un número entero, éste se aproxima al entero superior. ¿Cuál de los siguientes gráficos interpreta el sistema
Dada la función f(x)= xx12 , ¿cuál(es) de las siguientes
El servicio de agua potable de una localidad rural tiene las siguientes tarifas según tramo de
corresponde a un número entero, éste se aproxima al entero superior. ¿Cuál de los siguientes gráficos interpreta el sistema
, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son)
25
GUÍA: FUNCIONES LOGARÍTMICA, EXPONENCIAL Y RAÍZ CUADRADA
I) Estimar las gráficas de las siguientes funciones, considerando la variación de parámetros, y encontrar dominio y recorrido para cada una. 1) f(x) = log (x+6)
2) f(x) = Ln x
3) f(x) = log x + 5
4) f(x) =log (2x-3)
5) f(x) = -Ln (x) 6) f(x)= log (100 – x)
7) f(x) = 2x
8) f(x) = ex+4
9) f(x) = 10x – 2
10) 4 x)x(f 11) ( ) 3f x x 12) ( ) 7f x x
26
II) Resolver los siguientes ejercicios y problemas a partir de las funciones dadas o de la información que permita establecer una función 1) La población de un país está dada por la función P = P0 e
0,025 t donde P0 es la población inicial, t
es el tiempo transcurrido en años y P es la población final
a) Si la población del país el año 2.000 era 20.000.000 de personas ¿Cuántas personas habrá para el año 2.020?
b) Si la función es válida por 50 años ¿Cuáles son el dominio y el recorrido de la función?
2) Considere que si I es la intensidad del sonido medido en watts/m2, el nivel de decibeles(db) del sonido esta dado por la función D = 10 log (I • 10
12) db
a) En un equipo de amplificación se lee la siguiente información: “2.000 watts/m2 de salida”. ¿A qué nivel de sonido, en decibeles, corresponde esta información? b) Si otro equipo tuviera la lectura “4.000 watts/m2 de salida”, ¿correspondería a un nivel de sonido igual al doble de decibeles que el anterior? c) Si el umbral mínimo auditivo para el ser humano es de 10-12 Watt/m2 y el umbral de dolor se produce con 10 watt/m
2 ¿Cuáles son el domino y el recorrido de esta función para el oído humano?
3) Una especie de conejos tiene un crecimiento poblacional de acuerdo a la función C =C0 (1+i)
t
donde C es la cantidad de conejos después de t meses; C0 es la cantidad inicialDe conejos e i es la tasa de aumento expresada en decimal. Alberto compra 250 de estos conejos; si i = 3%
a) ¿Cuántos conejos tiene Alberto después de 1 año? b) Si después de 3 años Alberto vende todos sus conejos ¿Cuál es el domino y el recorrido
de la situación? 4) La cantidad de miligramos de un medicamento que queda en el organismo de una persona luego de h horas de haber sido administrado está dada por f(h) =50e(-0,2h) .
a) ¿Cuánto medicamento queda en el organismo después de 4 horas? b) Completa la siguiente tabla
H 2 4 6 8 10 12 24 F(h)
c) Si la cantidad de medicamento no puede bajar de 10 mg ¿Cada cuanto tiempo se debe tomar el medicamento?
d) Si el efecto del medicamento dura 24 horas ¿Cuáles son el dominio y el recorrido de la situación?
5) El crecimiento de una población de bacterias está dado por la función t.e
)t(P0201991
200
,
donde P(t) es la cantidad en miles de bacterias y t el tiempo en minutos. a) ¿Cuántas bacterias hay el 20 minutos? b) ¿Cuántas bacterias hay en 5 horas? c) ¿Cuántas bacterias hay en 2 días?
27
III) Resolver el siguiente problema realizando despejes de variables cuando sea necesario. 1) A partir del momento de la compra de un automóvil, el precio se va devaluando progresivamente en forma exponencial de acuerdo a la función V= V0 (1-i)
t
donde V0 es el valor inicial del automóvil, i es el porcentaje de devaluación anual (expresado en decimal), t es la cantidad de años transcurridos desde la compra y V es el valor actual del auto. a) Se sabe que en esta época el2001un auto costó $ 8.400.000 y su precio actual es la mitad. ¿Cuál es la tasa de devaluación? b) Cuanto demora en devaluarse a la mitad un auto cuya tasa de devaluación es del 8% c) ¿Cuál es el valor de un auto que costó $ 6.900.000, si ya han pasado 3 años y su tasa de devaluación es del 20%?
28
GUÍA REPASO ÁLGEBRA BÁSICA I) Reducir términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas 1) 8a-6a
2) m2 - 2m2 - 7m2
3) 9a -3a +5a
4) 2x -6y -2x -3y -5y
5) 3ab2 +4a
2b -9ab
2 -3a
2b
II) Eliminar los paréntesis y luego reducir términos semejantes 1) 23u -(u -5) -16
2) 2a -(2a -3b) -b
3) -x - 2x - (x +y) -3x
4) 2x -(x + y) + 2y +(2x -4y)
5) 3x + 2y - x-(x-y)
6) 4x -2y - (x -y) -(5y +2x)
III) Multiplicar los siguientes monomios
1) 3x•2x
2) 5y2•2y
3) 4u3•-5u
6
4) ab•3b3
5) 7ac•2ac2
6) -3x•4xy
IV) Resolver las siguientes multiplicaciones de monomio por polinomio
1) -4( u -2v)
2) 2u (u -5u2)
3) x( x2 + 2y)
4) a2 ( a
3 -3a )
5) 7xy (2x -3y2)
6) (a2b + 7ab -9) • -8b2
V) Multiplicar los siguientes polinomios
1) (a - 2) (x + 8)
2) (u - 5) (v + 3)
3) (a + 2) (b + 3)
4) (3x - 2y) (5x + 3y)
5) (2x2y - 5x) (xy
2 + 3y)
6) (x2 -x -1) (x + 1)
VI) Resolver los siguientes productos y luego reducir
1) (5x +1) (x -2) + x (3x -5)
2) 2(x2 -3x - 5) + (x - 3) (2x +4)
VII) Factorizar las siguientes expresiones lo máximo posible 1) 6a
2 -3
2) 15mn -10m
3) 5m2 -15m3
4) 15a4b
2 -12a
3b
3 +27a
2b
4
5) 21a6 -14a
5 +56a
7
6) x8 +x6 -x4 -x2
7) 3a5 -12a
6 -a
7
8) 25a3 -10a
5 +15a
8 -5a
2
9) abc2 +ab2c -a2bc
29
X) Factorizar las siguientes expresiones
1) x(a -b) +y(a -b)
2) 2(x -1) + y(x -1)
3) 3(a -2) -a(a -2)
4) a(n +2) + n +2
5) 3x (2x -y) -2x +y
6) 3p -2q -7m(3p -2q)
7) a(y -3) +y -3
8) a2 +1 +b(a2 +1)
9) (x +y) (n +1) -3(n +1)
XI) Factorizar los siguientes productos notables
1) x2 +14x +49
2) 4x2 +20x +25
3) x2 +6x +8
4) 9x2 -6x +1
5) x2 -16x +63
6) 81x2y2 -36
7) m2 -6m +9
8) u2 +8u +7
9) y2 +y -56
10) 9x2 -30xy +25y2
11) x2 -13x -48
12) y2 -14y +48
30
GUÍA: SIMPLIFICACIÓN Y POTENCIAS
I) Simplificar las siguientes fracciones
1) b6
a3
2) q12
p8
3) n35
m20
4) y24
x18
5) b25
b16
6) s60
r51
7) v46
u23
8) q28
m7
II) Realizar las siguientes multiplicaciones y divisiones aplicando las reglas de las potencias, expresando el resultado con exponentes positivos, utilizando fracciones en caso de ser necesario
1) a3a-6 2) p-7p-5 3) y-6y-9 4) mm-7
III) Simplificar las siguientes expresiones, utilizando propiedades de las potencias
1) ab
bc
2) 2
5
a
ab
3) 9
12
pq
qr
4) 28
7
2a b
ab
5)
25
75
2
2
a b
ab
6)
25
15
2
2
p q
pq
7) 2
18
2
2
m np
mn p
8) 108
216
2 3
5 4 2
a b c
a b c
9) 125
5
6 5 4x y z
xyz
31
V) Simplificar las siguientes expresiones factorizando cuando sea necesario
1) a b
a b
2
2) p
p
2 3
2 4
1
1
3)
a b
a b
2 2
2 2 4
4)
15
10
4
3 2
ab p q
ab p q
5)
24 2
18 22
a x y
a x y
6) 32
96
4 3
3 4
z y
z y
7)
4
6
2
2
ax y a b
a x a b
8) a b
a b
3 2 2
6 85
9) 3 3
1
a ab
b
10) 2
2 2
xy
x y xy
11) 8 8
6 12
ax a
ax a
12) 3 15
5 25
x
x
13) 4 4
5 5
a b
a b
14) 3 3
2 2
2 2
2
x y xy
x xy
15) p pq q
p q
2 22
7 7
16) xy
x y xy3 32 2
17) m p
p m
2 2
12 12
18) 9 16
3 4
2 2x y
x y
19) x x
x x x
4 2
3 2
49
2 63
20) a b
a b
2 29
3 9
21) 8 7
64 492 2
x y
x y
22) x x
x x
2
2
2 1
23) x
x x
2
2
16
8 16
24) 3
2 22 3
ab
a x a
25) p
p p
2
2
25
20
26) x x
x x
3 2
2
6
12 36
27) m n
m n
2
2 2
28) a a
a
2
2
5 6
4
29) 18 27
4 12 9
2 2
2 2
a b ab
a ab b
30) x x
x x
2
2
5 14
9 14
31) 3 15
25
2
2
p q pq
p
32) n n
n
2
2
4 5
1
33) x x y y
x y
4 2 2 4
4 4
2
34) w w
w w
2
2
6 8
7 12
35) ac ad bc bd
ac ad bc bd
36) 2 6
6
2 2
2 2
a b ab
a ab b
37) 5 5
1
a ab b
a
38) cx c dx d
c d
2 22 2
39) u
u
4
2
1
1
40) 3
3 6
2
2
xy
xy x y
41) x
x x
2
2
1
2 3
42) a a a
a a
4 3 2
3
3 2
43) 2 2 12
4 16 12
2
2
u u
u u
44) 50 2
4 44 120
2
2
y
y y
45) 2 10 12
6
2
2
a a
a a
32
GUÍA ALTERNATIVAS: FRACCIONES ALGEBRÁICAS
1) ¿Qué valor toma la expresión 7n3
n2
para n = -5?
a) 4
5
b) 4
5
c) 11
5
d) 5
3
e) 5
1
2) La fracción 2n3
5n2
no está definida para n =
a) 2
5
b) 3
2
c) 2
5
d) 2
3
e) 3
2
3) Si 06n2
1n
, entonces el valor de n es:
a) 0 b) 1 c) 3 d) -3
e) 8
1
4) ¿Para qué valor de x la expresión bx
ax
es 0?
a) a b) b c) –a d) –b e) 0
33
5) En la fracción 6x2
5x
el único valor que no puede tomar x es:
a) 3 b) 1 c) 0 d) –1 e) –3
6) Si simplificamos la expresión ab5
a4 2
se obtiene
a) b
a
b) a
b
c) 5
4
d) b5
a4
e) b4
a5
7) La fracción que sigue en la serie 1b
a8,
1b
a4,
1b
a24
3
3
2
2 es:
a) 1b
164
b) 1b
a84
4
c) 1b
a165
3
d) 1b
a165
3
e) 1b
a165
4
34
8) La expresión más simple equivalente a a2
a2ab es
a) ab + 1 b) ab
c) 2
)2b(a
d) b+2
e) 2
2b
9) La expresión V = 3r
3
4 se utiliza para calcular el volumen de la esfera, siendo r el radio de la
esfera ¿Qué ocurre con el volumen de la esfera si el radio aumente al triple?
a) Queda igual b) Aumenta al triple c) Aumenta a ocho veces su valor d) Aumenta a 27 veces su valor e) No se sabe con certeza
10) En la fracción b
a el numerador aumenta al triple y el denominador se reduce a su cuarta parte;
entonces el valor de la fracción
a) Queda igual b) Aumenta 12 veces c) Disminuye a su doceava parte
d) Aumenta a 3
4 veces lo que era
e) Disminuye a sus tres cuartas partes
11) Al simplificar la fracción ab2b
ab2a2
2
se obtiene
a) b
a
b) 2
2
b
a
c) 1b
1a2
2
d) 2b
2a2
2
e) La fracción ya es irreductible, no se puede simplificar
35
12) De las siguientes expresiones
I) ab4
a2 2
II) b16
a9 III)
2
2
b2
ba
Son equivalentes con b2
a
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) I y III
13) La única expresión por la que no se puede simplificar la fracción nm18mn9
m12m62
32
es:
a) m b) 3 c) n d) 3m e) (1+2m)
14) La fracción irreductible equivalente a 3224
22
ba8ba4
b4ba2
es:
a) 2a2
1
b) 2a4
1
c) ba2
12
d) a
1
e) 4
2
a
1b
15) Al factorizar y simplificar la expresión 15u8u
10u3u2
2
a) 3u
2u
b) 2u
3u
c) 3
2
d) 3
2
e) u – 5
36
16) La fracción más simple equivalente a 22
22
nm
)nm)(nmn2m(
a) m+n b) m – n c) m
2 + n
2
d) nm
1
e) nm
1
17) Al simplificar 1a2a
aa2
3
se obtiene:
a) 0 b) –2a +1 c) 1 d) a
e) 1a
)1a(a
18) ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones al ser simplificada(s) resulta(n) 1?
ab2ba
)ab()III
)ba(
ba)II
a23
3a2)I
22
2
2
22
A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III
19) La expresión 44 ba se puede escribir como
A) 4)ba(
B) 22 )ba()ba(
C) )ba)(ba( 33
D) )ba)(ba( 2222
E) )ba)(ba( 33
37
20) El área de un rectángulo es 2x2 + 2x -24. Si uno de sus lados mide (x -3), el otro lado mide
A) (x + 8) B) 2(x + 8) C) 2(x -4) D) 2(x -3) E) 2(x + 4)
21) ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) divisor(es) de la expresión algebraica 2x2 −
6x − 20 ? I) 2 II) (x − 5) III) (x + 2) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III 22) En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El área de ABCD es a
2 + 2ab + b
2
II) El área de la región achurada es (a + b)2
III) El área de AEFD es b2 + ab
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III 23) Si x es un número entero mayor que 1 y el área de un rectángulo se expresa como (x
2 + 5x –
6), ¿cuál de las siguientes opciones puede representar a sus lados? A) (x – 1) y (x – 5) B) (x + 2) y (x – 3) C) (x – 1) y (x + 6) D) (x + 1) y (x – 6) E) (x – 2) y (x – 3)
38
24) Dada la expresión xxyyxyx 222 , ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son)
factor(es) de ella? I) xy + 1 II) x + 1 III) y + 1 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III
25) a:]aa)aa(aa[a
A) –a
2
B) –a C) a D) 2a E) a – 2
26) Si 29bay10ba 22 , entonces el valor de (a – b)2 es:
A) 9 B) 19 C) 29 D) 49 E) No se puede determinar el valor
27) ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 2)nm( – 4mn?
A) (m – n)
2
B) m2 – 2 + n
2
C) m2 – 4mn + n2 D) 2m – 4mn + 2n E) 2m – 2mn + 2n
28) El cuadrado ABCD, de lado 8, tiene en sus esquinas cuatro cuadrados de lado x cada uno. ¿Cuál es el área sombreada? A) 8 – x B) 64 – 4x2 C) 64 – x2 D) 8 – x2 E) 64 – x4
39
29)
yx
3
2yx
3
2
22
22
22
22
yx6
4)D
yx9
2)C
yx9
4)B
yx3
4)A
E) Ninguna de las expresiones anteriores
30) En el rectángulo de la figura axAD , xDF y aFC . Además AD//EF .
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones equivale(n) al área del rectángulo ABCD?
)ax)(ax()III
ax)II
a)ax(x)I22
2
A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III
40
GUÍA: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
I) Resolver las siguientes multiplicaciones
1) a
b
ab
b2
2) 2 1x
y x
3) 2
3
3
4
m
n
mn
4) a
b
ab
a
2
5) 3
5
10
6
x
y
y
x
6) 3
2
2
18
2
2
u v
u
uv
v
7) 10
4
2
5
2
3
a bc
b
b
ac
8) a
b
b
c
c
a
2
3
4
9) x y
x
x
x y
2
10) 9 1 2
3 1
2
2
x
x
x
x
11) x x
x
x
x
2
2 2
5 6
4
2
9
12)
1
1
1
1
2
2
x
x
x
x
13) a ab
ab
a b
a b
2
2 22
14) x x
x
x
x
2 2
2
6 5
2
4
1
15) 3 6
2 6
9
4
1
3
2
2
x
x
x
x
16) 2 4
3 12
4
16
8 16
22
2a
a
a
a
a a
a
17) x
x
x x
x x
x
x
6
2
2
9 18
2
1
2
2
18) m mp
p
p
m p m
2
2 2 22
4 1
2
19) a b
a b
ab
a b
a ab b
ab
2 2 2
2 22
3
20) a a a
a a
a
a a
3 2
2
2
2
2
7 10
25
1
1
2
41
II) Resolver las siguientes divisiones
1) a a
2 3
2) x
y
x
y
2
3) 2
3
6
2
ab
b
a
ab
4) x x
1
5
1
10
5) 2
3
2
3
axy
a
x
y
6) a
a
a
a
2 1
2
1
2
7) 2 6
3
5 6
62
2x
x y
x x
xy
8) x x y
xy
x y
x y
3 2 2 2
2
9) a
a
a
a
1
2
1
4
2
2
10) a
b
a
b2
2
11) 1 1 1
x x x
12) a a a
a a
a a
a
3 2
2
3 2
2
5 6
7 12
3
6 6
42
GUÍA ALTERNATIVAS : MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
1) Al dividir x
v
v
u se obtiene
a) v
b) x
u
c) u
x
d) 2v
ux
e) ux
v2
2) Si se multiplica bc
a
c
ba 12
se obtiene
a) c
a
b) 2c
a
c) a
c
d) c
ab
e) ab
c
3) Al dividir 2
2
3
2
n
mp
n
pm se obtiene
a) np
m
b) m
np
c) 5
33
n
mp
d) n
mp 33
e) 33
5
mp
n
43
4) b4
a3
b3
a23
5
=?
a) 3
6
b12
a6
b) 4
5
b
a
c)
4
b
a
d) 6
4
a
b2
e) 4
6
b2
a
5) 5
5
4
3
m10
n21
n7
m5 = ?
a) 9
8
n147
m50
b) 2m2
n3
c) 2m3
n2
d) n3
m2 2
e) n
m
6) 23
2
b
a
b
a
= ?
a) b
a
b) a
b
c) b
a3
d) 5
3
b
a
e) ab
44
7) 6
3
1
5
x
y
y
x
= ?
a) 2y
x
b) x
y2
c) x2y
d) xy2
e) xy
8) a
)ba(
)ba(
)ba(3
2
=?
a) a – b
b) 1
c) -1
d) 2
2
)ba(a
)ba(
e)
2
ba
ba
9) 2)vu(
)qp(
)qp(
)vu)(vu(
=?
a) u+v
b) u – v
c) vu
vu
d) (p+q)2
e) 2)qp(
vu
45
10)
3
3
3
4
)nm(
)nm(
)nm(
nm
= ?
a) m+n
b) m – n
c) nm
1
d) nm
1
e) 6
7
)nm(
)nm(
11)
4
5
4
5
)ba(
)cb(
)ca(
cb
=?
a) c
b
b) b
c
c) ca
ba
d) 4
10
)ca)(ba(
)cb(
e)
4
ca
ba
12) El producto de 3)b2a3(
b3a2
por
3)b3a2(
b2a3
es equivalente a:
a) 1
b) -1
c)
2
b2a3
b3a2
d)
2
)b3a2)(b2a3(
1
e) (2a + 3b)2 (3a – 2b)
2
46
13) El valor de 4a
3a
3a
2a
es:
a) a b) a + 3 c) (a +3)
2
d)
2
3a2
e) 4a
2a
14) El valor de 1x
3x
1x
3x
es:
a) -1 b) 1
c) 1x
1x
d) 1x
1x
e)
1x
3x2
2
15) Al factorizar y multiplicar 2x
10x5
6x3
4x2
se obtiene
a) 2
2
)2x(3
)2x(10
b) 2x
2x
c) 2x
2x
d) 3
10
e) 0,3
47
16) Al factorizar y dividir y14x7
y12x8
y2x
y9x6
se obtiene
a) 4
21
b) 21
4
c) y2x
y3x2
d) y3x2
y2x
e) 7
48
18)
p
m
m
q
p
m
q
p=?
a) p
m
b) m
p
c) mp
d) mp
q2
e) 2q
mp
19) La expresión y
z
z
x
y
x es equivalente a
a) xyz
b)
2
z
x
c)
2
yz
x
d) yz
x
e) x
yz
48
20) Al factorizar y resolver la expresión )ba)(ba(
q6p3
q4p2
b3a3
se obtiene
a) 2
3
b) )ba(2
9
c) ba
9
d) )ba(2
1
e) )ba(2
)q2p(9
22) Si x = a-2
entonces x a-4
es equivalente a:
a) a
b) a-1
c) x-1
d) x
e) 1
23) La expresión 3
n3m2
n9m6
n9m6
es equivalente a:
a) 3(2m+3n)
b) 2)n3m2(
)n3m2(3
c) )n3m2(3
)n3m2( 2
d) 3
n3m2
e) 3
m2n3
49
26) 2
22
2
22
b
b9a
a
b9ab6a
=?
a) )b3a(a
)b3a(b2
2
b) )b3a(b
)b3a(a2
2
c) 22
4
ba
)ba(
d)
2
b
a
e) a
b
27) Si a = y
x2
y b= 2x
y entonces se afirma que
I) ab = xy II) b
a=(xy)
3 III) a = b
-1
De las afirmaciones son verdaderas
a) solo I
b) solo II
c) Sólo III
d) I y III
e) II y III
28) 2
2
2
24
a
4a
2a3a
aa
=?
a) (a+1)(a–2)
b) (a+1)(a+2)
c) (a–1)(a+2)
d) a2(a–1)
e) (a–1)(a–2)
50
29) 23
2
2 a6a
18a3a
a
1
a) a + 3
b) –a – 3
c) 3a
1
d) a3
1
e) 3a
1
30) Si a = 1x
12
, b= 1x
1x
y c =
1x2x
1x2x2
2
, entonces se afirma que:
I) ab = (x – 1)-2
II) ac = (x – 1)-4
III) bc =
3
1x
1x
De las afirmaciones son verdaderas:
a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) I y III e) II y III
51
GUÍA: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
I) Calcular el mínimo común múltiplo para cada uno de los siguientes grupos de expresiones: 1) 2, 2p, 5p
2) 3m, 3mn
3) p2,p
4) pq, pm
5) 3b,9ab2
6) a2, 2b
7) 2x , x2, 6y
8) 6p2q , 9pq3
9) 20x3y , 15xy2z
10) (3x + 2y), (3x – y)
11) (6m+6) , 4(m+1)
12) m , (m+1) , (m – 1)
13) (2b + 6) , (3b + 9) , 4(b+3)
14) (u + 6) , ( u – 3)
15) (x + 2y)2 , 5(x + 2y)
16) (3x – 2y)2 , (9x2 – 4y2)
17) (x+ 3) , (x2 – 9) , (x2 – 6x + 9)
18) (u2 + 6u + 8) , (u2 – u – 6)
19) (2x2 + 6x – 20) , (3x – 15)
20) (p2 – 4) , (p3 – 3p2 + 2p)
II) Resolver las siguientes adiciones y sustracciones
1) 1 1
a b
2) a
b
a
bc
3) x
y
y
x
4) a
b
b
a4 6
5) a
x1
6) ab
c
7) 1b
c
8) ba
c
9) x
ab
y
ac
10) 3 5
2a a
11) 2
1x
x a
12) 2x
x ax
13) aa b
2
14) 5
3
2
5
7
15
p p p
15) p
q
q
p pq
1
16) 4 3
1p q
17) a b
a
a b
b
18) 1 1
a b a b
19) x
x
x
x
2
4
2 3
3
20) 1 2
2 2x y
y
x y
21) 2 2
2 2
y
x y
y
y x
22) 8 3
4 4
6 4
3 3
x
x
x
x
23) y
ax ay
x
ax ay
24) a ba b
a b
2 2
25) x y
x y
x y
x y
26) 4 3 5
2 2a b
a b
b a
52
27) 42 2
xy
x y
x y
x y
28) x
x
x
x
1
2
2
1
3
2
29) 1
1
1
2
2
3x x x
30) 2 2 2
2 2
a
a b
a b
a b
a b
b a
31)
a b
a
a
a b
b
b a b
2 2 2
32) x
x
x
x
x
x
2
2 1 1 1
33) 1
7 12
2
4 3
3
5 42 2 2a a a a a a
34) x
x x x x x x2 2 25 6
15
9 14
12
10 21
53
GUÍA ALTERNATIVAS: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES
1) Al sumar a
b
b
a se obtiene:
a) 1 b) -1 c) ab
d) ab
ba 22
e) ab
ba
2) La diferencia c
3
c
2 es equivalente a
a) 1 b) -c
-1
c) c d) –c e) c-1
3) Al sumar b
2ab
b
2ab
se obtiene
a) a b) b c) ab d) 2a e) 2ab
4) La diferencia b2
ba
b2
ba
es:
a) 0 b) 2a c) 2b d) a e) 1
5) a
b2a
b
ba2
=?
a) ab
)ba)(ba(2
b) ab
ba
c) ab
)ba(3
d) ba
)ba(3
e) 0
54
6) a-1
+ b-1
=?
a) a + b b) a – b
c) ab
ba
d) ab
ba
e) ba
ab
7) El mínimo común múltiplo entre a, 2ab y 3a
2 es:
a) a
3b
b) 6a3b
c) 6a2b
d) 3a3b
e) a2b
8) El MCM de (3x +6) y (4x + 8) es:
a) 4x + 8 b) 7x + 14 c) x +2 d) x – 2 e) 12(x+2)
9) El MCM de (u2 +3u –28) y (u2 + 6u – 7) es:
a) (u – 4)(u +7)2(u – 1)
b) (u – 4)(u +7)(u – 1) c) (u +1)(u +14)(u – 1) d) (u + 4)(u – 7)
2(u + 1)
e) (u + 4)(u – 7)(u + 1)
55
10) En la adiciónn2m
n
n4m2
m3
la suma es:
a) n2m
mn3
b) n4m2
m2n3
c) n4m2
n2m3
d) n4m2
nm3
e) n2m
nm3
11) La diferencia entre 3x3
1x
y
2x2
1
es
a) 6x6
6x2
b) 3-1
c) x
)1x(3
d) )1x(6
1x2
e) x
12) x2
6x
x
3x
= ?
a) 3
b) 1,5
c) x2
)1x(3
d) x2
12x3
e) x+3
56
13) u3
3u2
u2
2u3
=?
a) u – 5
b) 6
)5u(5
c) 6
5
d) u5
3u5
e) u5
u53
14) y4
3y
y6
2y
=?
a) 24
11
b) 5y + 13
c) y10
13y5
d) 12
13y5
e) y12
13y5
15) ?qp
q2
qp
q
qp
p22
2
a) 22
2
qp
)qp(
b) qp
qp
c) qp
qp
d) 1 e) 0
57
16) c
1
b
1
a
1 =?
a) 1
b) abc
1
c) abc
cba
d) cba
abc
e) abc
bcacab
17) x3
3x
x2
2x
x
1x
= ?
a) x6
18x11
b) x2
2x
c) x
3x2
d) 3x
2x3
e) 3x
3x2
18) 1x
1
1x
1
=?
a) 1x
22
b) 1x
2
c) x
2
d) 1
e) 0
58
19) Si x = ab
1 e y =
aba
a2
entonces el valor de x+y es:
a) )ba(ab
abba
b) ab
ba
c) 2 d) 1 e) 0
20) Si a = x
1x entonces a
2 =?
a) 2
24
x
1x2x
b) 2
4
x
1x
c) x4 + 2x
2 + 1
d) x
1x2x2
e) x2 + x
-2
21) 2u
3u
1u
u
=?
a) )2u)(1u(
3u4u2
b) )2u)(1u(
3u4u2 2
c) )2u)(1u(
3u4u2 2
d) 1u2
3u2
e) 2u
3u22
2
59
22) Si p = y
1x , q =
x
1y entonces
q
p=?
a) xy b) x+y c) x-y
d) y
x
e) x
y
23) El valor de x
-1 + x
-2 es:
a) x+1 b) x
2 +1
c) 2x
1x
d) 2
2
x
1x
e) x
xx2
60
GUÍA: ECUACIONES FRACCIONARIAS
I) Determinar, el o los valores, que no pueden tomar las incógnitas en cada una de las siguientes ecuaciones:
1) 3x
2
x1
1x2
2) 2u
1
2u
1
3) 5y
1
3y
4
2y
3
4) w
1
1w3
5w
1w2
5w2
II) Resolver las siguientes ecuaciones
1) 1x2
3
10
7
x
5
x3
2
2) 2x
11
x5
3
x2
1
3)
011u6
2u
1u3
3u2
1u2
5u
4) 2x2
5x
1x
4x7
5) 3
1
6x3
13
2x
x4
6) 20x10
1x54
2x
3x
10x5
5x3
7) y
5
1y
3
yy
32
8) 1x
5
1x
3
1x
62
9) 16y
2
4y
3
4y
12
10) 25y
8
5y
1
5y
12
11) 9x
11
x3
3
3x
52
12) 2uu
1
2uu
2
4u
82
13) 8x2
3
2x
4
4x2
32
14) 3w4w
1
3w
2
1w
72
15) 014x9x
1
2x
1
7x
12
16) 22
1y
2
1y
3
y
5
y
3
III) Despejar la variable indicada en cada una de las siguientes expresiones: 1) a en v2 = 2ad
2) w en t
wP
3) t en t
dv
4) R en R
vmF
2
5) d en 2d
kmnf
6) a en F= ma + n
7) v en d = vt + 2
at 2
8) m en mkrL
9) Q2 en E = 21
2
Q
10) t en P = a it
11) A en M = Log A
12) x en y = 21 x
61
IV) Analizar las siguientes situaciones y responder las preguntas 2) ¿Qué ocurre con el valor de P en la fórmula P = 2a + 2b si los valores de a y b
se duplican? ¿Y si se triplican? ¿Y si cada uno aumenta n veces? 3) ¿Qué ocurre con el valor de A en la fórmula A = ab si los valores de a y b se
duplican? ¿Y si se triplican? ¿Y si cada uno aumenta n veces?
4) ¿Qué sucede con el valor de P en la relación t
wP si:
a) w se duplica b) w aumenta el triple c) w se reduce a la mitad d) w aumenta n veces e) t se duplica f) t se triplica g) t aumenta n veces h) t disminuye a la mitad i) t se divide por n
5) ¿Cómo varía el valor de F en la expresión F = ma si
a) m aumenta al doble y a de reduce a la mitad b) m aumenta a cinco veces su valor y lo hace a 7 veces el suyo c) ambos disminuyen a la mitad d) a disminuye a su cuarta parte y m aumenta al doble e) ambos aumente a cuatro veces su valor f) ambos aumentan a n veces su valor g) ambos se reducen a la enésima parte de su valor
V) Resolver las siguientes ecuaciones literales
1) x -b = a
2) m = x -n
3) ax -2a2 = bx - 2b
2
4) (x -b)2 -(x -a)
2 = (a +b)
2
5) (x+m)(m+x) =(n +x)(x-n)
6) 8z = 3(4a +2b) -3(2a +b)
7) (u -a)2 - (u -b)
2 = b
2 -a
2
8) a2 -(a +b)u +ab =0
9) x(a -b) = a(x -ab -b2)
10) x
a
x
b 1
62
GUÍA ALTERNATIVAS: ECUACIONES
1) El valor que no puede tomar la variable u en la expresión 4u
3u2
es:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
2) El valor que hace indeterminada la ecuación 2xx
1 es
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
3) El valor de y en la ecuación 2
1y2
3
2y
es:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
4) El valor de x en la ecuación 5
13x45
2
1x6
es.
a) 2
b) 2
1
c) 3
1
d) 2
1
e) 3
1
5) El valor de v en la ecuación 2
v
3
2v
5
3v
es:
a) 30 b) -2 c) 38 d) 2 e) 20
63
6) El valor de a en la igualdad 6
2a
3
2
4
3a
es:
a) 21
b) 5
21
c) 5
13
d) 13 e) -21
7) Si x cumple con la ecuación 21
2x
3
1x2
7
2x
entonces x
-1 es:
a) 16 b) -16
c) 16
1
d) 16
1
e) 15
16
8) Si u satisface la ecuación 10
2u3
3
1u
5
4u2
entonces, el valor de
2
u es:
a) 2 b) -2 c) 4 d) 8 e) -8
10) La solución de la ecuación 2xx
1
2x
1
1x
12
es:
a) x =-2 b) x= 2 c) x =-1 d) x = 1 e) x = 0
11) El valor de u en la igualdad 10u3u
9
5u
5
2u
12
es:
a) 1,5 b) -1,5
c) 3
2
64
d) 3
2
e) 4
12) El valor de y en la ecuación 7y
5
)7y)(3y2(
3y
3y2
1
es:
a) 2 b) -2 c) 0,5 d) -0,5 e) 1,1
13) Con respecto a la expresión 9x
1
2x
3
1x
22
se afirma que:
I) Se convierte en indeterminada cuando x = 2 II) Se convierte en indeterminada cuando x = -1 III) Se convierte en indeterminada cuando x = -3
De las afirmaciones son verdaderas
a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) I y III e) II y III
14) Al despejar t en la expresión t
vd se obtiene:
a) v
dt
b) d
vt
c) t=vd d) t = v+d e) t = v-d
15) El valor de v en la expresión 2mv
2
1E es:
a) m2
Ev
b) m
E2v
c) mE2v
d)
2
m
E2v
e) m
E2v
65
16) Si se despeja h en la expresión A = 2r2 + 2rh se obtiene
a) r2r2Ah 2
b) rAh
c) r2
r2Ah
2
d) rAh
e) r
Ah
17) Al despejar v en la expresión 2
gtvtd
2
se obtiene
a) 2
gtdv
b) t2
gtd2v
2
c) 2
gtdtv
2
d) 2
gtdtv
2
e) t2
gtd2v
2
18) El valor de x en la ecuación ax+1 = bx + 2 es
a) 3 b) 1-ab
c) ab
1
d) ba
1
e) ba
1
19) El valor de u en la ecuación a
2u – a = b
2u – b es:
a) a + b b) a – b
c) ba
1
d) ba
1
e) ba
1
66
UNIDAD SISTEMA DE ECUACIONES
I). Resolver los siguientes sistemas: II) Resolver los siguientes sistemas por el método gráfico III). Resolver los siguientes sistemas por igualación IV). Resolver los siguientes sistemas por sustitución: V). Resolver los siguientes sistemas por reducción
VI). Resolver los siguientes sistemas por el método que más le acomode:
x=5 x+y=8
x + y =9 y=2x – 5
4x – 3y =11 3x + 2y =1
3x + 4y =6 x – y =9
3x + y = 10 2x + 3y = 10
3x + 5y = 2 9x = 10y + 1
4x – 3y = -5 2x + 5y = -9
3x + y = -3 5x – 6y = -5
x – 2y = 10 3x + 4y = 10
4x – y = -5 3y = 2x + 10
4x – 9y =33 3x + 12y =6
6x + 2y = 2 x – 3y = 1
2x – 3y = 2 6x + 6y = 1
3x – 10y = – 56 4x + 7y = 27
x + 5y + 21 = 0 –2x + 3y – 3 = 0
2x + 5y + 19 = 0 5x + 2y -5 = 0
x + 2y = 1 3x + 5y = 0
3x – y = 12 x + 4y = 5
x – y = 9 y=10
y = 4x – 5 5y= 2x – 3
2x – y = 1 x + y = -10
x+ 3y = 2 x – 2y =-8
2x = y – 5 y= x – 2
67
VII). Determinar el tipo de cada uno de los siguientes sistemas:
VIII). Resuelve los siguientes problemas utilizando sistemas de ecuaciones: 1) La suma de dos números es 6 y su diferencia 4, ¿cuáles son los números? 2) Tengo $ 4.050 en monedas de $50 y $100, en total tengo 46 monedas, ¿cuántas monedas tengo? 3) Pedro compró 3 lápices y 2 cuadernos por $ 1300, Andrea compró 2 lápices y 4 cuadernos del mismo tipo por $ 2.500, ¿cuánto valen los lápices y los cuadernos? 4) Tengo 18 aves entre patos y gallinas, la diferencia entre el doble de los patos y el triple de las gallinas es 1, ¿cuántos patos y gallinas tengo? 5) En un corral hay conejos y gallinas, se cuentan 36 orejas y 110 patas, ¿cuántos animales hay? 6) Un padre reparte $ 15.000 entre sus dos hijos, al mayor le da $ 2.00 más que al menor, cuánto recibe cada hijo? 7) El perímetro de un rectángulo es 30 cm.; el doble del largo tiene 6 cm. más que el ancho, ¿cuánto miden sus lados? 8) La suma de dos números es 45. Si al primero se le suman 5 y al segundo se le restan 5 se obtienen dos números tal que el primero es el doble del segundo, ¿cuáles son los números? 9) Calcular la medida de los ángulos del triángulo: IX) Resolver por el método de doble reducción
3x – 4y = 15 9x + 12y = 12
6x + 8y = 12 3x + 4y = 6
9x + 6y = 3 3x + 2y = 1
2x + 4y = 15
y= 2
x + 6
2x + y = 6 4x + 2y= 2
x + y= 5 x + y = 7
x + 3y – 10
x + y
x
x + 3y – z = 3 2x – y + 4z = 14
5 – 5y + z = 15
x + 3y = 9 2x – z = 8
y + 4z = – 6
3x – 2y – 3z = 12 x + y + = 3
– 2x – y– 2z = –3
x + y – z = 2 x – y + z = 3 x + y + z = 0
68
GUÍA ALTERNATIVAS: SISTEMAS DE ECUACIONES
1) La solución del sistema de ecuaciones es:
a) (3,-1) b) (3,1) c) (1,-3) d) (-2,1) e) (-3,1)
2) El sistema de ecuaciones tiene por solución el punto:
a) (1,1) b) (3,5) c) (-5,-11) d) (5/2,4) e) El sistema no tiene solución
3) La suma de los valores de x e y en el sistema es:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 19 e) Otro valor
4) El producto de los valores de x e y en el sistema es:
a) 2 b) 5 c) 10 d) -10 e) -2,5
5) El valor de la expresión 2x – y que se obtiene al resolver el sistema es:
a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) Otro valor
6) El sistema de ecuaciones tiene:
a) Una solución b) Dos soluciones c) Infinitas soluciones d) Ninguna solución e) Ninguna de las anteriores
2x + 5y = 1 x – y = 4
y = 2x –1 x = y + 6
3x – y = 7 2x+ 3y = 12
7x – 4y = -34 4x + 3y = 7
-4x + 3y = -30 3x + 5y = 8
12x + 6y = 50 10x + 5y = 60
69
7) El valor de la expresión xy que se obtiene al resolver el sistema es:
a) 15/28 b) -15/28 c) 3/4 d) 5/7 e) Otro Valor
8) Si x + y = 11 y x – y = 9 entonces el valor de x
2 – y
2 es:
a) 1 b) 10 c) 18 d) 64 e) Otro valor
9) En un establo hay pollos y conejos; en total hay 18 orejas y 66 patas; Si C es la cantidad de conejos y P la cantidad de pollos el sistema de ecuaciones que permite contestar ¿Cuántos animales de cada tipo hay? Es: a) b) c) d) e) 10) La suma de dos números da como resultado 18 y su cuociente 2; entonces el producto de los números es:
a) 72 b) 36 c) 18 d) 6 e) No se puede determinar
11) Pedro Compró dos cuadernos y 3 lápices; Anita compro 7 cuadernos y 5 de lápices del mismo tipo; Pedro gastó $ 1.650 y Anita $ 4.950 ¿Cuánto Gastará Gastón si compra 1 cuaderno y dos lápices?
a) $ 700 b) $ 800 c) $ 1.450 d) $ 1.500 e) Otra cantidad
12) La suma de dos números es 20 y la diferencia de sus cuadrados es 40; entonces la diferencia de estos números es:
a) 0 b) 2 c) 9 d) 11 e) Otra cantidad
4x + 7y = -2 12x – 14y = 19
C + P = 18 2C+ P = 66
2C + P = 18 2C – P = 66
2C = 18 4C+ 2P = 66
2C + P = 18 4C+ 2P = 66
2C – P = 18 2C+ P = 66
70
13) El triple de un número más el doble de otro es 16 y el cuociente entre ellos es 2 entonces el producto de los números es:
a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32
14) Una promoción permite comprar una polera en $ a y la segunda con un 50% de descuento. Pedro Compró un pantalón en $b y 4 poleras gastando $ 20.000. Andrés dice que si compra 6 poleras se ahorra $ 6.000. Con respecto a la situación se afirma que
I) El valor de un pantalón y una polera es $ 12.000 II) 2a + b = 16.000 III) El costo de dos pantalones y 6 poleras es (2b + 6a)
De las afirmaciones son verdaderas
a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) II y III e) I, II y III