Post on 02-Feb-2016
Criel MerinoCriel Merino
Permutaciones Permutaciones alternantes y alternantes y
gráficas completasgráficas completas
El polinomio de Tutte
Para Para G=G=((V,EV,E), una grafica, definimos la ), una grafica, definimos la función rango de un subconjunto de arista función rango de un subconjunto de arista comocomo
.),(||)r( EAAVA
Para H=(Para H=(V,AV,A), ), (A) es el número de (A) es el número de componentes conexas de H. componentes conexas de H.
r(A)=tamaño de un bosque generador r(A)=tamaño de un bosque generador máximo.máximo.
El polinomio de Tutte
)r(||)r()r( )1()1()(T AA
EA
AEG yxyx,
El polinomio de 2 variables
es conocido como el polinomio de Tuttees conocido como el polinomio de Tutte.
Nota: r(E)-r(A)=k(A)-k(G)Nota: r(E)-r(A)=k(A)-k(G)
bbGG(q,j)= número de q-coloraciones de G con j (q,j)= número de q-coloraciones de G con j
aristas monocromáticas. aristas monocromáticas. b(b()=conjunto de aristas monocromáticas)=conjunto de aristas monocromáticasen la coloración en la coloración ..
BBGG((q,q,) = ) = qq55 + (2 + (2qq22 – 2 – 2q)q)33 + +
(4(4qq22 – 4 – 4q)q)22 + (5 + (5qq33 – 14 – 14qq22+ 9+ 9q)q) + +
((qq44 – 5 – 5qq33 + 8 + 8qq22 – 4 – 4q)q)
.),(),(][:
)|(| j
jG
qV
bG jqbqB
F. G. aristas monocromáticasF. G. aristas monocromáticas
F. G. aristas monocromáticas
.
)1()1,(
)(||)(
][:
||][: )(
||][:
)|(|
EA
AA
EAbA
qV
AqV bA
AqV
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q
qB
TG y BG
)1,1(
)1,(
)()(
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qTq
qqB
GGEr
EA
ArErArAGEr
EA
AAG
TG y BG
).),1)(1(()1()1(
1)(T || yyxB
xyyx, GVG
).),1)(1(()(T)1()1( || yyxByx,xy GGV
TTnn(x,y)(x,y)
TTnn(x,y)(x,y)
qk
k
k
n
n
n kt
nt
qB
!!),(1
0
2
1
TTnn(x,y)(x,y)
!!4!3!2
!!4!31
!!3!21
24
63
32
24
63
3
23
32
ktttt
t
kttt
t
kttt
t
kk
kk
kk
1
2!t
λ
4!t
λ
2
46
Teorema (Tutte 67)Teorema (Tutte 67)
TTnn(x,y)(x,y)
)1)(1(
0
2
1
!
!),()1()1(1
yx
n
n
n
n
n
nn
nt
y
nt
yxTyx
TTnn(x,-1)(x,-1)
1
1!
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0
2
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x
nt
nt
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xn
n
n
n
n
nn
TTnn(1,-1)(1,-1)
!)1(log)2(
1
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0
2
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2
11
nt
x
nt
nt
T
n
n
n
xn
n
n
xn
n
nn
Teorema (Mallows and Riordan ‘68)
0
2
!)1()(
n
nn
nt
tF
TTnn(1,-1)(1,-1)
F(t) es la F.G.E. de la sucesión 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,…F(t) es la F.G.E. de la sucesión 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,…
)sen()cos()( tttF
)sen()cos(ln)2(!)2(
)1,1(1
ttnt
Tn
n
n
Teorema. Para nTeorema. Para n0,0, TTn+2n+2(1,-1)=T(1,-1)=Tnn(2,-1).(2,-1).
TTn+2n+2(1,-1)=T(1,-1)=Tnn(2,-1).(2,-1).
TTn+2n+2(1,-1)=T(1,-1)=Tnn(2,-1).(2,-1).
)sen()cos(ln)2(!)2(
)1,1(1
ttnt
Tn
n
n
20
2)sen()cos(
1!)2(
)1,1(ttn
tT
n
n
n
Derivando dos vecesDerivando dos veces
Usando la formula de Tutte con x=2 y y=-1Usando la formula de Tutte con x=2 y y=-1
2
)2(
0
2
1
)sen()cos(
1
!)1(
!)2(
)1,2(1
tt
nt
nt
Tn
n
n
n
n
n
TTn+2n+2(1,-1)=T(1,-1)=Tnn(2,-1).(2,-1).
Como TComo T00(2,-1)=1, basta igualar coeficientes.(2,-1)=1, basta igualar coeficientes.
1 02 !
)2()1,1(
!)2(
)1,2(1n n
n
n
n
n nt
Tnt
T
TTn+2n+2(1,-1)=T(1,-1)=Tnn(2,-1).(2,-1).
TTn,mn,m(x,y)(x,y)
TTn,mn,m(x,y)(x,y)
qlk
lk
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mn
n
mn lu
kt
mu
nt
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0,)0,0(),(,
TTn,mn,m(x,y)(x,y)
)1)(1(
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)0,0(),(,
!!
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m
mn
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TTn,mn,m(1,-1)(1,-1)
!!)1(log)2(
1
1!!
)1(
lim!)2(
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11,
,
lu
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x
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T
lk
lk
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xlk
lk
kl
xmn
mn
mn
!!)1(),(
0, lu
kt
utFl
lk
kkl
TTnn(1,-1)(1,-1)
1, 1, 1, 1, 1, 1,…1, 1, 1, 1, 1, 1,…
)senh()cosh(),( utututF
F(t,u) es la F.G.E. de la sucesiónF(t,u) es la F.G.E. de la sucesión
1, 1, 1, 1, 1, 1,…1, 1, 1, 1, 1, 1,…1,-1, 1,-1,1,-1,…1,-1, 1,-1,1,-1,…
Teorema. Para n,m Teorema. Para n,m 0 0 TTn+1,m+1n+1,m+1(1,-1)=T(1,-1)=Tn,mn,m(2,-1).(2,-1).
TTn+1,m+1n+1,m+1(1,-1)=T(1,-1)=Tn,mn,m(2,-1).(2,-1).
TTn+1,m+1n+1,m+1(1,-1)=T(1,-1)=Tn,mn,m(2,-1).(2,-1).
)senh()cosh(ln)2(
!)2(
!)2(
)1,1()0,0(),(
,
utut
mu
nt
Tm
mn
n
mn
TTn+1,m+1n+1,m+1(1,-1)=T(1,-1)=Tn,mn,m(2,-1).(2,-1).
Diferenciando en t y luego en uDiferenciando en t y luego en u
2
0,1,1
))senh()(cosh(1
!)2(
!)2(
)1,1(
utut
mu
nt
Tm
mn
n
mn
Usando la formula de Tutte con x=2 y y=-1Usando la formula de Tutte con x=2 y y=-1
TTn+1,m+1n+1,m+1(1,-1)=T(1,-1)=Tn,mn,m(2,-1).(2,-1).
2
2
0,
)0,0(),(,
))senh()(cosh(1
!!)1(
!)2(
!)2(
)1,2(1
utut
lu
kt
mu
nt
T
lk
lk
kl
m
mn
n
mn
TTn+1,m+1n+1,m+1(1,-1)=T(1,-1)=Tn,mn,m(2,-1).(2,-1).
!)2(
!)2(
)1,1(
!)2(
!)2(
)1,2(1
0,1,1
)0,0(),(,
mu
nt
T
mu
nt
T
m
mn
n
mn
m
mn
n
mn
Basta igualar coeficientes.Basta igualar coeficientes.
Otros ejemplos.Otros ejemplos.
mn KK mnK ,
nK
Gráficas “Threshold”Gráficas “Threshold”
TTGG(1,y)(1,y)
)r(||
)(
)r()r( )1()1()(T AA
GEA
AEG yxyx,
conexo
)r(||)1()1(TEA
AAG yy,
x=1, sólo quedan términos con r(A)=r(E), o sea |x=1, sólo quedan términos con r(A)=r(E), o sea |V|-V|-(A)= |V|-(A)= |V|-(E), o sea, H=(V,A) es conexo.(E), o sea, H=(V,A) es conexo.
TTnn(1,y)(1,y)
2),1(3 yyT
1),1(2 yT
1),1(1 yT
663),1( 234 yyyyT
.243630
20104),1(2
34565
yy
yyyyyT
1)1,1(3 T
1)1,1(2 T
1)1,1(1 T
2)1,1(4 T
5),1(5 yT
TTnn(1,y)(1,y)
).,1(),1()1(1
2),1( 1
1
1
yTyTyk
nyT knk
kn
kn
TTnn(1,y)(1,y)
11
kknn
BB AA
H=({1,..,n},D)H=({1,..,n},D)
|D|-r(D)= |A|-r(A)+|B|-r(B)+|C|-1|D|-r(D)= |A|-r(A)+|B|-r(B)+|C|-1
CC
TTnn(1,y)(1,y)
),1( yTk
1
2
k
n),1( yT kn
1
1
n
k)1( 1 ky
Variando A, B y CVariando A, B y C
k
j
jyj
k
1
1)1( 1
111
y
y k
1
)1(1
y
yj
kk
j
j
AA
CCBB
Una permutación Una permutación SSnn es alternate (o updown) si es alternate (o updown) si
(1)<(1)<(2)>(2)>(3)<…. .Denotamos por Alt(3)<…. .Denotamos por Altnn a las a las
permutaciones alternates en Spermutaciones alternates en Snn. Definimos a. Definimos a00=1 y =1 y
aann=|Alt=|Altnn|, o sea, a|, o sea, a11=1,a=1,a22=1, a=1, a33=2,a=2,a44=5.=5.
Permutaciones alternantesPermutaciones alternantes
Ejemplo n = 4:Ejemplo n = 4:
(1324)(1324) (1423)(1423) (2314)(2314) (2413)(2413) (3412)(3412)
44332211
Permutaciones alternantesPermutaciones alternantesLema 1:Lema 1:
(1)<(1)<(2)>… >(2)>… >(j-1) <(j-1) <nn> > (j+1)< (j+1)< (j+2)>…< (j+2)>…< (n)(n)
aaj-1j-1 aan-jn-j
impar 0
par 1
1|})(:Alt{| 1
j
jaaj
nnj jnj
n
Permutaciones alternantesPermutaciones alternantesProposición :Proposición :
Lema 1 sumando sobre j impar.Lema 1 sumando sobre j impar.
122121
12 12
2
ini
n
in aa
i
na
Permutaciones alternantesPermutaciones alternantesTeorema ( Goulden, Jackson ‘83)
.)1,1(1 nn aT
impar si 1
par si 0)1()1()1(1 12
k
kk
).,1(),1()1(1
2),1( 1
1
1
yTyTyk
nyT knk
kn
kn
Permutaciones alternantesPermutaciones alternantesTeorema ( Goulden, Jackson ‘83)
.)1,1(1 nn aT
12
122121
22221
22
12
2
)1,1()1,1( 12
2)1,1(
n
knk
n
k
knk
n
kn
a
aak
n
TTk
nT
Permutaciones alternantesPermutaciones alternantes
CorolarioCorolario Para nPara n0,0,
.)1,2( 1 nn aT
.)1,1(1 nn aT
Permutaciones alternantesPermutaciones alternantes
Teorema ( André 1879)Teorema ( André 1879)
).sec()tan(!0
uunu
an
n
n
Basta derivar la F.G.E. de TBasta derivar la F.G.E. de Tnn(1,-1) y hacer el (1,-1) y hacer el
cambio de variables -2cambio de variables -2t=ut=u
FINFIN
Permutaciones alternantesPermutaciones alternantesLema1:Lema1:
par 0
impar 1
1|}1)(:Alt{| 1
j
jaaj
nj jnj
n
(1)<(1)<(2)>… <(2)>… <(j-1) > (j-1) > 11< < (j+1)> (j+1)> (j+2)<…> (j+2)<…> (n)(n)
aaj-1j-1 aan-jn-j
n-n-(j+1)<n- (j+1)<n- (j+2)>…<n-(j+2)>…<n-(n)(n)’’(1)<(1)<’(2)>… <’(2)>… <’(n-j)’(n-j)
Permutaciones alternantesPermutaciones alternantesProposición:Proposición:
ini
n
in aa
i
na 222
012
2
2
122121
12 12
2
ini
n
in aa
i
na
Lema 1 sumando Lema 1 sumando sobre j imparsobre j impar
Lema 2 sumando Lema 2 sumando sobre j parsobre j par
Polinomio de inversiónPolinomio de inversión
11
22 55
4433
Para un árbol A de KPara un árbol A de Kn n con raíz en r, una con raíz en r, una inversióninversión
es un par de vértices (i,j) tal que i > j y además i es un par de vértices (i,j) tal que i > j y además i esta en la única trayectoria de r a j en A. Sea esta en la única trayectoria de r a j en A. Sea inv(A) el número de inversiones de A.inv(A) el número de inversiones de A.
Inv(A)= 3Inv(A)= 3
Polinomio de inversiónPolinomio de inversiónEl polinomio de inversiones esEl polinomio de inversiones es
,)( )inv(
nFA
An yyJ
la suma es sobre todos los árboles generadores Fla suma es sobre todos los árboles generadores Fnn
de Kde Kn n con raíz en 1.con raíz en 1.
Polinomio de inversiónPolinomio de inversión
.243630
20104)(2
34565
yy
yyyyyJ
2)(3 yyJ
1)(2 yJ
1)(1 yJ
663)( 234 yyyyJ
Polinomio de inversiónPolinomio de inversiónSea GSea Gn n el conjunto de árboles generadores deel conjunto de árboles generadores de KKnn
con raíz en r, 1con raíz en r, 1rrn. n.
.)( )inv(
nGA
An yyJ
Polinomio de inversiónPolinomio de inversiónProposición.Proposición.
).()1()( 1 yJxxyJ nn
n
}en raízcon { kGAF nkn
Prueba.Prueba.
. ,1)inv())(inv( knk FAAA
: 1 kn
knk FFconstruirconstruir biyección tal quebiyección tal que
SeaSea
Polinomio de inversiónPolinomio de inversión
22
55
4433
1122 55
4433
11
Polinomio de inversiónPolinomio de inversión
).()()1(1
2)( 1
1
1
yJyJyk
nyJ knk
kn
kn
Proposición.Proposición.
Polinomio de inversiónPolinomio de inversión
nn
11
)()1( 1 yJy kk
1
2
k
n)(yJ kn
1
1
n
k
)(yJ k
kk
AA
CCBB
Inv (A)=inv( B) + inv (C)Inv (A)=inv( B) + inv (C)
Proposición. Proposición. TTnn(1,y)=J(1,y)=Jnn(y).(y).
Satisfacen la misma recurrencia y tienen la misma Satisfacen la misma recurrencia y tienen la misma condiciones inicialescondiciones iniciales
Polinomio de inversiónPolinomio de inversión
Permutaciones alternantesPermutaciones alternantes
Teorema ( André 1879) ).sec()tan(!0
ttnt
an
n
n
0
2
2 !2)(
i
i
i ix
axg
0
12
12 !12)(
i
i
i ix
axf
(x)xffxfxf tan)( 0)0( ,)(1)(' 2
)sec()( 1)0( ,)()(' 2 xxggxgxf
Permutaciones alternantesPermutaciones alternantesProposición:Proposición:
ini
n
in aa
i
na 222
012
2
2
ini
n
in aa
i
na 2212
1
02
12
12
122121
12 12
2
ini
n
in aa
i
na Lema 2 sumando Lema 2 sumando
sobre j parsobre j par
Lema 1 sumando Lema 1 sumando sobre j parsobre j par