Post on 11-Jan-2016
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ALGUNAS EXPRESIONES EN COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS
Consideremos un sistema de coordenadas cilındricas (r, θ, z), donde r es la coordenada radial, θ la angular y z la axial.Consideremos tambien un sistema de coordenadas esfericas (r, θ, ϕ), donde r es la coordenada radial, θ la polar y ϕ laazimutal. En esta nota se proporcionan algunas expresiones relevantes, utilizando estos dos sistemas de coordenadas.
1. Lıneas de corriente
En coordenadas cilındricas, las ecuaciones de una lınea de corriente son
dvrvr
= rdθ
vθ=
dz
vz, (1)
mientras que en coordenadas esfericas esdvrvr
= rdθ
vθ= r senθ
dϕ
vϕ. (2)
2. Derivada sustancial
La derivada sustancial en coordenadas cilındricas es
d
dt=
∂
∂t+ vr
∂
∂r+
vθr
∂
∂θ+ vz
∂
∂z, (3)
mientras que en coordenadas esfericas es
d
dt=
∂
∂t+ vr
∂
∂r+
vθr
∂
∂θ+
vϕr senθ
∂
∂ϕ. (4)
3. Aceleracion de una partıcula fluida
En coordenadas cilındricas, la aceleracion de una partıcula fluida es
a =
(dvrdt
− v2θr
)ur +
(dvθdt
+vrvθr
)uθ +
dvzdt
uz, (5)
donde la derivada sustancial viene dada por la relacion (3). En coordenadas esfericas, la aceleracion es
a =
(dvrdt
−v2θ + v2ϕ
r
)ur +
(dvθdt
+vrvθr
−v2ϕ cotθ
r
)uθ +
(dvϕdt
+vrvϕr
+vθvϕ cotθ
r
)uϕ, (6)
donde la derivada sustancial viene dada por la relacion (4).
4. Divergencia
En coordenadas cilındricas, la divergencia es
∇ · v =1
r
∂(rvr)
∂r+
1
r
∂vθ∂θ
+∂vz∂z
, (7)
mientras que en coordenadas esfericas es
∇ · v =1
r2∂(r2vr)
∂r+
1
r sen θ
∂
∂θ(vθ sen θ) +
1
r sen θ
∂vϕ∂ϕ
. (8)
5. Operador Laplaciano
En coordenadas cilındricas, el operador laplaciano es
∇2 =1
r
∂
∂r
(r∂
∂r
)+
1
r2∂2
∂θ2+
∂2
∂z2, (9)
mientras que en coordenadas esfericas es
∇2 =1
r2∂
∂r
(r2
∂
∂r
)+
1
r2 sen θ
∂
∂θ
(sen θ
∂
∂θ
)+
1
r2 sen2 θ
∂2
∂ϕ2. (10)