Post on 09-Oct-2020
Control Predictivo basado en Modelos (MPC)
Prof. Cesar de Prada Dpto. Ingenieria de Sistemas y Automática
Universidad de Valladolid, España
e-mail: prada@autom.uva.esweb:http//www.isa.cie.uva.es
Tendencias en la industria Exigencias crecientes de optimización de costos, mejor
calidad, productividad, seguridad, respeto al medio ambiente,funcionamiento de las plantas en un amplio rango decondiciones de operación,..
Requiere una mejora de los sistemas de control para cumplirespecificaciones.
Necesidad de racionalizar las decisiones de nivel superior consignificado económico y de integrar todas las decisiones adiversos niveles.
El lazo de control
ProcesoControladoruw y
SP CV
v
MV
DV
El regulador PID
regulador basado en señal, no incorporaconocimiento explícito del proceso
3 parámetros de sintonia Kp, Ti, Td diversas modificaciones
e t w t y t
u t K e tT
e d T dedtp
id
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
= −
= + +
∫
1τ τ
Regulación automática convencional
Reactor
FT
FC
TT
TempConcentración.
Refrigerante
Producto
TC
FT
FC
AT
AC
Materia prima
Problemas de control
En la industria de procesos, los reguladores PID solucionanbien la mayoría de los problemas de control monovariable(caudal, presión,...)
Sin embargo pueden no tener un buen comportamiento enlazos de dinámica difícil (retardos, fase no mínima, etc.)
La calidad del control influye en el rendimiento económico En sistemas más complejos con interacción entre variables,
(control de una unidad de proceso,...) la interacción entrelazos puede empeorar seriamente el control.
Control y optimización
•La reducción de varianza permite mover la referenciay respetar los límites de la variable.
•La mejora del control permite la optimización.
ConsignaSP
Consigna SP
Límite superior
HogarSecadero
aire
Gas
pulpa
Pulpa seca
gases
MC MT
w
Un mejor control permite la optimización del punto de trabajo
límite
W1 W2
Humedad de pulpa seca
SP
Control y Optimizacion
minimizar varianza permite mover la consigna mas cerca de los límites de operación óptimos– necesidad de un mejor control– operar cerca de las restricciones
limite
W1 W2
Reactor: Interacción
Refrigerante
Productos
u1u2
Materia prima
wTwc
La interacción entre los lazos puedeimpedir un funcionamientoadecuado
Reactor
FT
FC
TT
TC
FT
FC
AT
AC
Interacción
MPC
El control multivariable tiene en cuenta la interacción entre lasvariables y trata de controlar la unidad de proceso como un todo
Refrigerante
Productos
u1u2
Materia prima
wT wc
Reactor
FT
FC
TT
FT
FC
AT
Procesos multivariables (MIMO)
En procesos multivariablesla interacción crea problemas de control. Además cuando hay restricciones en las variables, perturbaciones, etc. las llamadas estructuras decontrol no siempre dan buenos resultados y son difíciles de mantener.En consecuencia, a menudo launidad se regula manualmentepor un operario.
Control Multivariable
El control multivariable, y en particular el MPC, tiene encuenta la interacción entre lasvariables, sus restricciones,las perturbaciones, etc. ypermite realizar un controleficiente de forma automática,abriendo las puertas a la optimización de su punto de operación.
LC
LT
FT FC
Vapor
PT PC
LT LC
DFC FT
Alimentación F
V
B
R
TT
TT
Refrigerante
FT
MPC
wTC wTF
Puede coexistir con lazos de control convencional. Sueleactuar en cascada. Se suele formular a nivelde unidad de proceso
Pirámide de control
Instrumentación
Regulación convencional
MPC
Optimización local
PID, DCS,..
Válvulas, Transmisores
Control Predictivo
El control avanzado opera sobre el control convencional, aplicado al funcionamiento de una unidad de proceso y añadenuevas fucionalidades teniendoen cuenta la interacción entre las variables, las restricciones y la optimización continua de suoperación.
JERARQUIA DE CONTROL
Para poder abordar problemasde un nivel, los niveles inferioreshan de funcionar correctamente
En particular, la optimización económica exige que el nivelde control funcione adecuadamente
nivel 0Instrumentación
de Campo
Nivel 1Control Convencional
PID, DCS
Nivel 2Control Avanzado
Nivel 3Optimización
Interes económico
estrategia de control basada en el uso explícito de un modelo del proceso para predecir el comportamiento futuro de la variable controlada sobre un horizonte temporal
es factible por los cambios tecnológicos en computadores, técnicas de modelado, métodos numéricos,...
Diversos algoritmos: DMC, GPC, …..
ProcesoOptimizador uw yv
Predictory(t+j)
Control Predictivo MPC
u(t)u(t+k|t)
y(t+k|t)^
t t+1 t+2 ...
tiempo
pasado futuro
tiempo
Señal de referencia
Predicción de la salida:CV
MV
SP
Control Predictivo
Modelou y
MPC, Optimización
ProcesoOptimizador uw yv
Predictory(t+j)
[ ] [ ]∑ ∑=
−
=++∆β++−+=
2N
1Nj
1Nu
0j
22
),..1t(u),t(u)jt(u)jt(w)jt(yJmin
y(t+j) están relacionados con u(t), u(t+1)… a través de las ecuaciones de predicción calculadas con el modelo del proceso
Control predictivo
MPCPID
Características del MPC
Maneja problemas de control multivariable con distinto numero de CV y MV
Compensa perturbaciones medibles
Permite trabajar con procesos de dinámica compleja: retardos, respuesta inversa, ....
Permite trabajar con restricciones en las variables manipuladas o controladas
Fácil de entender
Abre las puertas a la optimización económica del proceso
Diseño de controladores
Sin Modelo
Sintoníadel
controlador
Con Modelo Especificarcontrol
Modelado
Identificación
Análisisdel proceso
...pero necesita un modelo dinámico
Principales elementos
Modelo interno usado para efectuarpredicciones del comportamiento futuro
Señal de Referencia Estructuración de la ley de control Cálculo de las señales de control que
proporcionan un mejor escenario futuro Estrategia de horizonte movil
Implementación: Horizonte movil
u(t)u(t+j)
y(t+j|t)^
t t+1 t+2 ...
tiempo
pasado futuro
time
Set point
Predicción de la salidaCV
MV
SP
En el instante t, u(t) se aplica al proceso, pero….
…en el siguiente period de muestreo en t +1, todo el proceso se repiteincorporando la nueva información disponible
Política de horizontemovilRolling horizon
Modelos discretos
ProcesoOrdenador A/D
D/Ay(kT)
u(kT)
modelos discretos la salida en t = kT depende de las entradas y salidas
en instantes de tiempo (k-j)T anteriores
Modelos Lineales
la salida actual depende linealmente de las entradas ysalidas en instantes de tiempo anteriores
las variables u e y son perturbaciones sobreun punto de operación en que se ha obtenido el modelo
y t Y Yu t U U
( )( )
= −= −
0
0
y(t) = -a1 y(t-1) - … - an y(t-n) + b1 u(t-1) +…..+bm u(t-m)
t = kT tiempo discretoT periodo de muestreo
Modelo respuesta salto
y t g u t jj
j
( ) ( )= −=
∞
∑1
∆
•No requiere conocer la estructura del modelo•Puede describir dinámicas no usuales•Predicción simple y poco sensible a errores
•Limitado a sistemas estables•Contiene muchos parámetros
Matriz Dinámica
t
y yy t
t
t
y
t
y
t
y
u1
u2
y1 y2 y3
respuesta salto entre cada par entrada/salida
DMC Dynamic Matrix Control
Modelo: respuesta salto + perturbación
)t(n)it(ug)t(y1i
i +−∆= ∑∞
=
Predicciones: )jt(n)ijt(ug)ijt(ug)jt(y1ji
i
j
1ii ++−+∆+−+∆=+ ∑∑
∞
+==
n t j n t y t g u t ip ii
( ) ( ) ( ) ( )+ = = − −=
∞
∑ ∆1
Modelo de perturbación:
∑
∑∑∞
=
∞
+==
−∆−+
+−+∆+−+∆=+
1iip
1jii
j
1ii
)it(ug)t(y
)ijt(ug)ijt(ug)jt(yPredicciones:
gi
)1t(z)t(z)t(z −−=∆
DMC, Dynamic Matrix Control
∑∑∑∞
=
∞
+==
−∆−+−+∆+−+∆=+1i
ip1ji
i
j
1ii )it(ug)t(y)ijt(ug)ijt(ug)jt(y
∑
∑∑
∞
=+
++
∞
=
∞
+=
−∆−+=
−−∆−−∆−+−∆+−∆+=
=−∆−−+∆+=
1iiijpj
212j1jp
1ii
1jiipj
)it(u)gg()t(yp
....)2t(ug)1t(ug...)2t(ug)1t(ug)t(y
)it(ug)ijt(ug)t(yp
In asymptotically stable systems:
∑=
+ −∆−+=N
1iiijpj )it(u)gg()t(yp Free response of the system
at time t
gi
gj+i – gi ≅ 0 , i > N, j = N1,… N2
DMC, Dynamic Matrix Control
( ) ( ) ( )y t j G q u t j pj j+ = + +−1 ∆
G q g q g qj jj( ) ......− − −= + +1
11
p respuesta libre
∑=
+ −∆−+=N
1iiijpj )it(u)gg()t(yp
p
u(t-1)
j
j
1ii p)ijt(ug)jt(y +−+∆=+ ∑
=
Predicciones: Respuesta forzada + libre
DMC, elección óptima de u
w
y(t+j)
N2
Horizonte de Predicción
ttime
u(t-1) u(t)
NuHorizonte de Control
ttime
N1
∆u(t+j) = 0 j ≥ NuNu control horizon
Min : [ ] [ ]J ( ) ( ) ( )= + − + + +∑∑=
−
=y t j w t j u t j
j
Nu
j N
N 2 2
0
1
1
2β∆
Estructura del control:
( ) ( ) ( )y t j G q u t j pj j+ = + +−1 ∆
DMC
G =
+
− +
g gg g g
g g
N
N
N N Nu
1 1
1 1 2 1
2 2 1
0 00 0
0
... ...
... ...... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
Puede formularse en forma matricial:
[ ]∆ ∆ ∆ ∆u( )' ( ), ( ),..., ( )t u t u t u t Nu= + + −1 1
min∆u(t), ∆u(t+1),..
[ ]2N11N1N0 p)2Nt(w,...,p)11Nt(w,p)1Nt(w' −+−++−+= +e
[ ] [ ]J ( ) ( ) ( )= + − + + +∑∑=
−
=y t j w t j u t j
j
Nu
j N
N 2 2
0
1
1
2β∆
( ) ( ) ( )y t j G q u t j pj j+ = + +−1 ∆
[ ] 000 ')t('2)t(')t('J eeuGeuIGGu +∆−∆β+∆=
DMC
[ ] 000 ')t('2)t(')t('J eeuGeuIGGu +∆−∆β+∆=
[ ] 0eGuGG
0u
0 =′−∆β+′
=∆∂∂
2I2
J
[ ] 01 '')t( eGIGGu −β+=∆
Si no hay restricciones:
[ ] )('')t( j1 pwGIGGu −β+=∆ −
Acción Integral
Compensación de retardos
Sintonía: Horizontes, β
Sistemas estables en lazo abierto
DMC offset
( ) ( ) ( )y t j G q u t j pj j+ = + +−1 ∆
p
pss
N
1iiijpj
yy
yp)it(u)gg()t(yp
=⇒
=⇒−∆−+= ∑=
+
En estado estacionario:
DMC predicciones:
y como
sspy =
Las predicciones del estado estacionario son no sesgadas y, si la optimización lleva las predicciones del modelo a w, entonces la salida del proceso yp será igual a la referencia w, proporcionando error estacionario nulo
wy(t+j)
N1 N2horizonte depredicción
ttiempo
u(t-1)u(t)
Nuhorizontede control
ttiempo
horizonte de coincidencia
[ ] [ ]∑ ∑=
−
=+∆
+∆β++−+=2N
1Nj
1Nu
0j
22
)jt(u)jt(u)jt(w)jt(yJmin
Parámetros DMC
β Factor de peso
Movesupressionfactor
∆u control moves
Mínimo Nu
u
y
y
y
u
u
Nu = 1
Nu = 2
Nu = 3
Nu ≥ númerode integradores
Perturbaciones medibles
y t g u t i d v t i n tii
ii
( ) ( ) ( ) ( )= − + − +=
∞
=
∞
∑ ∑∆ ∆1 1
+u
v
n
variable manipulada
perturbación medible
perturbaciónes no medibles
y
variable controlada
Modelo DMC:
Predicciones (DMC) con perturbaciones conocidas
)jt(n)ijt(vd)ijt(vd
)ijt(ug)ijt(ug)jt(y
1jii
j
1ii
1jii
j
1ii
++−+∆+−+∆+
+−+∆+−+∆=+
∑∑
∑∑∞
+==
∞
+==
∑∑∞
=
∞
=
−∆−−∆−==+1i
i1i
ip )it(vd)it(ug)t(y)t(n)jt(n
∑∑∑∑
∑∑∞
=
∞
=
∞
+==
∞
+==
−∆−−∆−+−+∆+−+∆+
+−+∆+−+∆=+
1ii
1iip
1jii
j
1ii
1jii
j
1ii
)it(vd)it(ug)t(y)ijt(vd)ijt(vd
)ijt(ug)ijt(ug)jt(y
Predicción:
Hipótesis:
Separar términos que dependen del futuro y del pasado
DMC: Respuesta libre
∑∑∑
∑∑∑
∑∑
=
∞
=+
∞
=+
=
∞
=
∞
+=
∞
=
∞
+=
−+∆+−∆−+−∆−+=
−+∆+−∆−−+∆+
+−∆−−+∆+=
j
1ii
1iiij
1iiijpj
j
1ii
1ii
1jii
1ii
1jiipj
)ijt(vd)it(v)dd()it(u)gg()t(yp
es esto
)ijt(vd)it(vd)ijt(vd
)it(ug)ijt(ug)t(yp
∑∑∑==
+=
+ −+∆++−∆−+−∆−+=j
1ii
N
1iiij
N
1iiijpj )ijt(vd)it(v)dd()it(u)gg()t(yp
2N,....,1Nj ,Ni 0dd 0gg iijiij =>≅−≅− ++En procesos estables:
se necesita una hipótesis sobre la evolución futura de v, usualmente v(t+j) = v(t) + horizonte móvil
Corrección feedforward automatica
( ) ( ) ( )y t j G q u t j pj j+ = + +−1 ∆
y(t+j)
u(t+j)t
)jt(yp fj +=
Respuesta forzada:
Respuesta libre:
)jt(u)q(G 1j +∆−
Formalmente la misma expresión.El efecto de la perturbación esta incluido en la respuesta libre
Restricciones
Las restricciones en los valores que pueden tomar las variables aparecen de forma natural en la formulación de los problemas de control:– Limitaciones físicas de las variables– Límites de seguridad– Requisitos de calidad, etc.
Restricciones
Mm L)jt(yL ≤+≤
Lmax
Lmin
v∆u
Mm D)jt(uD ≤+∆≤
Mm U)jt(uU ≤+≤Rango de las señalesde control
Velocidad de cambiode u:
Rango de lasvariables controladas:
Deben ser añadidas a la formulación del problema de optimización
DMC con restricciones
L y t j g u t k j p t j L
j N
m kk
j
M≤ + = − + + + ≤
==
∑ ( ) ( ) ( )
, . . . . ,
∆1
1 2
D u t j D
U u t u t j U
j Nu
m M
m Mi
j
≤ + ≤
≤ − + + ≤
==∑
∆
∆
( )
( ) ( )
, . . . ,
1
00
[ ] [ ]∑ ∑=
−
=
+∆β++−+=∆
2N
1Nj
1Nu
0j
22 )jt(u)jt(w)jt(yu
Jmin
u
Programación cuadrática QP
QP
∆u(t)
∆u(t+1)0x
bAx
xQ
≥≤
⋅⋅+⋅ '
x 21 min xxc
Software numéricoeficiente
Ha de resolverse un problema QP en línea cadaperiodo de muestreo
Posiblesproblemas de factibilidad
Región factible
Formulación Multivariable
Se necesita un modeloque relacione lasvariables controladascon las manipuladas y perturbaciones medibles
y ty t
y t
M MM M
M M
u tu t
u t
n tn t
n tn
m
m
n n nm m n
1
2
11 12 1
21 22 2
1 2
1
2
1
2
( )( )
....( )
...
( )( )
...( )
( )( )
...( )
=
+
M ... M ...
M ...
Reactor
FT
FC
FC
TT AT
MPC
Comp.
RefrigeranteProducto
u1u2
Alimentación
Temp TT
SP Temp SP Comp.
FT
DMC Multivariable
y t g u t i g u t i g v t i n t
y t g u t i g u t i g v t i n t
y t g u t i g u t i g v t i n
ii
ii
ii
ii
ii
ii
ii
ii
ii
1 11 11
12 21
131
1
2 21 11
22 21
231
2
3 31 11
32 21
331
3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) (
= − + − + − +
= − + − + − +
= − + − + − +
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆ t)
u1
u2
y1
y2
y3
v
modelo interno
Modelointerno
t
y yy t
t
t
y
t
y
t
y
y1
y2
u1 u2 v
Matriz dinámica
DMC Multivariable
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
y t j g u t i j g u t i j p t j
y t j g u t i j g u t i j p t j
y t j g u t i j g u t i j p t j
ii
j
ii
j
ii
j
ii
j
ii
j
ii
j
1 11 11
12 21
1
2 21 11
22 21
2
3 31 11
32 21
3
+ = − +∑ + − +∑ + +
+ = − +∑ + − +∑ + +
+ = − +∑ + − +∑ + +
= =
= =
= =
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
Predicciones:
Min funcionde costo:
γ Equal concern errors , factores de peso (y normalización)
Con restricciones lineales: problema QP
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]∑∑∑
∑∑−
=
−
==
==
+∆β++∆β++−+γ+
++−+γ++−+γ=∆
1Nu
0j
222
1Nu
0j
211
2N
1Nj
2333
2N
1Nj
2222
2N
1Nj
2111
21
)jt(u)jt(u)jt(w)jt(y
)jt(w)jt(y)jt(w)jt(yu
Jmin
MPC Multivariable
( ) ( )∑ ∑ ∑∑= =
−
==+∆+∆
+∆β++−+γ=N
1k
2N
1Nj
1Nu
0j
2kk
M
1K
2kkk)jt(u)jt(u
k
k
k
kk
)jt(u)jt(w)jt(yminJmin
con:
Dmk< ∆uk(t+j)< DMk
Umk< uk(t+j)< UMk
Lmk< yk(t+j)< LMk
)jt(p)ijt(ug)jt(y k
j
1isiks
n
1sk ++−+∆=+ ∑∑
==
Resuelto como un problema de Programación cuadrática cada periodo de muestreo
Optimización Económica
Reactor
FT
FC
FC
TT AT
MPC
Comp.
RefrigeranteProducto
u1u2
Alimentación
Temp TT
w Temp w Comp.¿Cual es el mejor punto de trabajo?
¿Como ajustar las referencias wTemp, wComp a ese punto?
FT
Reactor
FT
FC
FC
TT AT
MPC
Comp.
RefrigeranteProducto
u1u2
Alimentación
Temp TT
w Temp w Comp.
FT
Optimización Económica
Función de costo economica:
(Producto*concentración*precio-
– materia prima*precio –
-Flujo refrigerante*precio)*
tiempo
Max Beneficio
Con las restricciones y el mismomodelo que el MPC
Optimizador Económico (RTO)
Optimización de consignas
MBPC
w
y
SP
DCS Proceso
Optimizacióneconómica
LP La mayor parte de los sistemas incorporan una capa deOptimización en linea del punto de trabajo con criterios económicos
Tendencia: Combinar las dos capas en un solo MPC donde el criterio es directamente económico
OptimoEconómico
Optimización con restricciones
Apertura válvula
Temperatura
Velocidad Turbina
∆ P en columnaPresión
Composición
Región deOperación
Preferida porel Operador
Región deOperacióndel Controlador
Reguladores predictivoscomerciales
DMC Plus (Aspec Tech.)Process Perfecter (Pavillion Tech.)3dMPC (ABB)Profit RMPC (Honeywell)Delta V Predict (Emerson)Pavillion8 (Rockwell)SMOC (Yokogawa)…
Aceptación industrial
HITO
HITO módulos funcionales
Gestión de restricciones
ControladorPredictivo
Optimizadoreconómico
Interface conel operador
Interface conel proceso Proceso
Reconfiguraciónde estructura
Configuración
MPC en espacio de estados
[ ] [ ]∑ ∑=
−
=
+∆β++−+=+∆
2N
1Nj
1Nu
0j
22 )jt(u)jt(w)jt(y)jt(u
Jmin
)t(Cx)t(y)t(Bu)t(Ax)1t(x
=+=+
21Mm N,....,NjL)jt(yL =≤+≤
1N,....,0jD)jt(uD uMm −=≤+∆≤
1N,..,0jU)kt(u)1t(uUU)jt(uU uM
j
0kmMm −=≤+∆+−≤⇒≤+≤ ∑
=
uNj0)jt(u ≥=+∆
Para calcular J es necesario calcular las predicciones de la salida y(t+j)
Process model
Función de coste
Cálculo de las predicciones
)t(Cx)t(y)t(Bu)t(Ax)1t(x
=+=+
∑
∑
=
−
=
−
−++=+
−++=+
+++++=+++=+
+++=+++=+
+=+
j
1k
kjj
j
1k
kjj
23
2
)1kt(BuCA)t(xCA)jt(y
)1kt(BuA)t(xA)jt(x
....)2t(Bu)1t(ABu)t(BuA)t(xA)2t(Bu)2t(Ax)3t(x
)1t(Bu)t(ABu)t(xA)1t(Bu)1t(Ax)2t(x)t(Bu)t(Ax)1t(x
Pero el estado x(t) puede no ser medible
Estimador (u observador) de estados
)t(Cx)t(y)t(Bu)t(Ax)1t(x
=+=+ Como el estado x(t) puede no ser medible, se
necesita un estimador de estados
)t(xC)t(y))]1t(Bu)1t(xA(C)t(y[L)1t(Bu)1t(xA)t(x p
=
−+−−+−+−=
yp representa la salida medida del proceso
∑=
− −++=+j
1k
kjj )1kt(BuCA)t(xCA)jt(y
Las predicciones de la salida se calculan reemplazando el estado en t por su estimación :
In steady state: Bu)A....AI(CxCABuCAxCA)jt(y 1jjj
1k
kjj −
=
− ++++=+=+ ∑
)(ˆ tx
Diseño del observador de estado (en forma de filtro)
))]1t(Bu)1t(xA(C)t(y[L)1t(Ae)t(e)t(x)t(x)t(e
])1tt(xC)t(y[L)1tt(x)t(x)1t(Bu)1t(xA)1tt(x
−+−−+−=−=
−−+−=
−+−=−
)t(Cx)t(y)1t(Bu)1t(Ax)t(x
=−+−=
Model output is given by: )1t(CBu)1t(CAx)t(Cx)t(y −+−==
)1t(e)LCAA()t(e)1t(LCAe)1t(Ae)]1t(xCA)1t(CAx[L)1t(Ae)t(e
−+=−+−=−−−+−=
L puede escogerse de modo que los autovalores de (A+ LCA) sean estables y proporcione la adecuada velocidad de convergencia a cero del error de estimación
Predictor
Corrector
Estimar los estados x(t) con información hasta (t-1) mas y(t)
Error de estimación
Evolución temporal del error de estimación
Error estacionario del MPC
Esta formulación (MPC + Observador) no garantiza que, en estado estacionario, la salida del proceso yp sea igual a la referencia w (aún con w factible)
)]BuxA(Cy[LBuxAx p +−++=
El motivo es que el observador en estado estacionario verifica:
Pero esto no implica que)BuxA(Cy
BuxAx
p +=+=
p1jj yBu)A....AI(CxCA)jt(y ≠++++=+ −
Por ello, las predicciones de la salida serán en general diferentes del valor real de la salida del proceso.
Y el controlador llevará al proceso a un objetivo erróneo, por lo que aparecerá un error estacionario. Para eliminarlo, se requiere incorporar un término de perturbaciones en el modelo u otras técnicas.
El modelo no es perfecto!