Contenido

• VARIOGRAMA EXPERIMENTAL

• VARIOGRAMA TEÓRICO

• Propiedades básicas

• Definición

• Estudio de modelos de variograma

• Cálculo a partir de los datos

• Características básicas

• Definición

• Ajuste de modelos de variograma

Variograma Teórico-Definición

Es una herramienta que permite analizar el comportamiento espacial de una propiedad o variable sobre una zona dada

Detectar direcciones de anisotropía

Ejemplo:

Zonas de influencia y su extensión (correlación espacial)

Variabilidad con la distancia

15

37

98

24

6 12

34

56

78

9

A B

MEDIA = 5

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4

Distancia

Var

iog

ram

a

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4

Distancia

Var

iog

ram

a

VARIANZA=50/9

HISTOGRAMAS IGUALES

Variograma Teórico-Definición

Continuidad espacial

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0 2 4 6 8 10

Distancia

Var

iog

ram

a

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25

Ubicación

Va

ria

ble

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1 2 3 4 5 6 7

Distancia

Vari

ogra

ma

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Ubicación

Var

iabl

eVariograma Teórico-Definición

Continuidad espacial

0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

1 3 5 7 9

11 13 15 17 19

Distancia

Var

iogr

ama

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

1 3 5 7 9

11 13 15 17 19 21 23 25

Ubicación

Var

iabl

eVariograma Teórico-Definición

Continuidad espacial

Variograma Teórico-Definición

Curva de proporción vertical

Unidad 2 Unidad-5

Unidad 1 Unidad-4

Variograma Teórico-Definición

Curva de proporción vertical

2)]()([21

hxZxZE

)]()([21

)( hxZxZVarh

nn RhRx ,

)(xZ es estacionaria o intrínsecaSi

Variograma Teórico-Definición

• depende del módulo y de la dirección del vector h

Variograma Teórico-Características

2)]()([21

hxZxZEh

• Valor promedio de la diferencia al cuadrado de los valores de la propiedad en dos puntos separados por

una distancia |h|

• es independiente de la localización x

hxZ

1hx

h

1h

1hxZ

hx

2

21

)]()([ hxZxZEh

xZx

Detección de características

que varían según la dirección y la

distancia

Variograma Teórico-Características

Distancia

Vario

gram

a

Distancia

Variogra

ma

Variograma Teórico-Características

Variograma Experimental-definición

2

21

)]()([ hxZxZEh Variograma Teórico

Variograma Experimental

hxx

ji

ji

xzxzhN

h 2* ))()((2

1)(

ZZZZ

basetope

base

Variograma Experimental-definición

Coordenadas estratigraficas

La correlación espacial se debe calcular dentro de la misma unidad estratigráfica

hxx

ji

ji

xzxzhN

h 2* ))()((2

1)(

• Se escoge una dirección

• Se escoge una distancia o lag h

• Se calcula para valores de h,2h, 3h,...,nh

*

• Se grafica versus los valores

h,2h, 3h,...,nh

*

0

1

2

3

4

5

6

Distancia

vario

gram

a ex

perim

enta

lVariogramaexperimental

Variograma Experimental-obtención

)(2* ))()((

21

)(hN

1iii hxzxz

hNh

265

254

243

232

221

*

5*21

xzxzxzxzxzxzxzxzxzxzh

264

253

242

231

*

4*21

2 xzxzxzxzxzxzxzxzh

263

252

241

*

3*21

3 xzxzxzxzxzxzh

1x 2x 3x 4x 5x 6x

h

Datos Igualmente espaciados:

Variograma Experimental-obtención

h

Datos Igualmente espaciados:

)(

2* ))()((2

1)(

hN

1iii hxzxz

hNh

,2,1,0,,0 kkh

,2,1,0,0, kkh

,2,1,0,,, jkjhkh

Variograma Experimental-obtención

Datos Irregularmente espaciados:

• Puede ocurrir que no existan valores de la variable a la distancia h

• Puede ocurrir que no existan valores de la variable en la dirección

Variograma Experimental-obtención

Variograma Experimental-distancia

• Clases de distancia:

Para cada lag h se define una tolerancia y se utilizan

únicamente los puntos que se encuentran a una distancia mayor o

igual a y menor que

h

hh hh

3xz

h

2h

3h

1xz 2xz

4xz

5xz

Variograma Experimental-distancia

• Clases de distancia:

hEl valor de se escoge como el 50% del valor del

lag h. De esta forma:

• Las clases de distancia no se superponen

• No hay valores de la variable fuera de una clase de distancia

Variograma Experimental-distancia

0 1 2 3 4 5 6

1.20 2.4 2.8 4.9

1.20 2.4 2.8 4.9

5.0h1h

1h1h

1.20 2.4 2.8 4.9

1.0h1h

Variograma Experimental-distancia

hh 5.0

hh 5.0

hh 5.0

• Clases de dirección :

Para cada dirección se define una tolerancia

y se utilizan únicamente los puntos que se

encuentran entre las direcciones y

Variograma Experimental-dirección

puntos descartados

puntos aceptados

Variograma Experimental-dirección

puntos aceptados

puntos descartados

b

b = ancho de banda

Variograma Experimental-dirección

Variograma Experimental-distancia & dirección

clase de distancia h

h2h

3h

clase de distancia 2h

clase de distancia 3h

z(x)

Variograma Experimental-obtención

Variograma Experimental-obtención

h: Distancia promedio entre los pozos

A partir del variogram cloud

A partir del variograma omnidireccional

Se escoge como la dirección de anisotropía de la variable. Se puede obtener a partir de:

Información geológica, petrofísica, etc

Mapa de variograma

:

n: Cuando se calcula el variograma sobre un dominio D se escoge n de forma tal que:

n*h < | D | / 2Valor del lag h

Número n de lags

Valor de y

1.20 2.4 2.8 4.9

Lag h muy grande

Lag h pequeño, n muy grande

Variograma Experimental-lag

1.20 2.4 2.8 4.9

Lag h adecuado, valor de n ?

Variograma Experimental-lag

Variograma Omnidireccional

Variograma Omnidireccional:

Es aquel que no depende de la dirección

Se obtiene al escoger la tolerancia angular

de forma tal que las direcciones y sean opuestas y perpendiculares a la dirección

Se puede pensar como el promedio del variograma experimental en todas las direcciones posibles

Variograma direccional

Variograma omnidireccional

Variograma Omnidireccional

Variogram Cloud

hxx

ji

ji

xzxzhN

h 2* ))()((2

1)(

Variogram Cloud:

hxx

ji

ji

xzxz

hN 2

))()((12

Al graficar el valor de

los pares versus la

distancia se obtiene el

variogram cloud

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7

Distancia

Variogram Cloud

Variogram Cloud:

Permite detectar valores atípicos o cambios bruscos

Permite escoger un valor inicial del lag

Permite observar la dispersión

alrededor del valor de* 0

50

100

150

200

250

300

0 1 2 3 4 5 6 7

Distancia

Variogram Cloud

Mapa de Variograma

Mapa de Variograma :

Es una herramienta que

permite determinar las

direcciones de anisotropía

de la variable en estudio

0

0

Mapa de Variograma

Definir una malla (2n+1)*(2n+1)

h

Definir el valor del lag h

Asignar a cada bloque el valor

de *

Mapa de Variograma

Variograma Experimental-tolerancia angular

Tolerancia angular

CARACTERÍSTICAS

BÁSICAS

Variograma-Características Básicas

1) RANGO Y SILL

2) COMPORTAMIENTO A PEQUEÑAS DISTANCIAS

3) COMPORTAMIENTO A GRANDES DISTANCIAS

4) ANISOTROPÍAS

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42

Distancia

Var

iogr

ama

Rango:

Distancia a la cual el variograma se estabiliza

Sill :

Valor constante que toma el variograma en distancias mayores al rango

Variograma-Rango & Sill

)]()([)]()([21 22 hxZxZEhxZxZEh

Si para una distancia dada d las variables Z(x) y Z(x+h) son no correlacionas entonces el variograma es constante

2

Rango:

Distancia a partir de la cual

no hay correlación

Sill:

Varianza de la función aleatoria Z

Variograma-Rango & Sill

Variograma-Rango & Sill

COMPORTAMIENTO A PEQUEÑAS DISTANCIAS

Comportamiento

1) DISCONTINUO

2) LINEAL

3) CUADRÁTICO

Permite estudiar cuán rápido puede variar la variable en estudio a pequeñas distancias. Básicamente el variograma presenta las 4 formas siguientes:

4) HÍBRIDOS

Comportamiento discontinuo

)]()([21

hxZxZvarh

00

Puede ocurrir que para

distancias cercanas a cero el

valor del variograma no se

aproxima a cero

Efecto pepita o nugget effect

Comportamiento discontinuo

Interpretación del nugget effect

1) Variable muy irregular a distancias cortas

2)]()([21

hxZxZEh

0h

Z(x) y Z(x+h) difieren mucho

no se aproxima a cero

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0

1,5 3

4,5 6

7,5 9

10,5 12

13,5 15

16,5 18

Distancia

Var

iogr

ama Valores

observados

Valoresreales

Interpretación del nugget effect

2) Errores de medición en las variables

xxZxZobs

2 hh ZZobs

2

Comportamiento discontinuo

Interpretación del nugget effect

Comportamiento discontinuo

3) presencia de estructuras o ausencia de valores en distancias inferiores a las que se tomaron las muestras

Comportamiento Lineal

Comportamiento lineal

Indica que para distancias pequeñas, el variograma tiene un comportamiento lineal.

Representa variables continuas pero no diferenciables. Así, la propiedad puede cambiar rápidamente de un punto a otro. 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

Distancia

Var

iog

ram

a

Comportamiento lineal

La variabilidad de la propiedad dependerá de la pendiente de la recta en el origen

A mayor pendiente, mayor variabilidad

A menor pendiente, menor variabilidad

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Distancia

Va

rio

gra

ma

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Distancia

Va

rio

gra

ma

Comportamiento Lineal

Comportamiento Cuadrático

Comportamiento Cuadrático

Indica que para distancias pequeñas, el variograma tiene un comportamiento cuadrático.

Representa variables sumamente continuas e infinitamente diferenciables. Así, la propiedad NO puede cambiar rápidamente de un punto a otro. 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37

Distancia

Va

rio

gra

ma

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5 12 13,5 15 16,5 18

Distancia

Var

iogr

ama

Comportamiento Híbrido:

Variación más suave a distancias cortas

Variación más fuerte a distancias grandes

Indica presencia de estructuras actuando a diferentes escalas

Comportamiento Híbrido

Comportamiento-grandes distancias

NO TODOS LOS VARIOGRAMAS

POSEEN UN RANGO Y UN SILL

FINITO

Distancia

Vario

gram

aINDICA LA PRESENCIA DE

UNA DERIVA O DRIFT

VARIABLE NO ESTACIONARIA

Comportamiento a grandes distancias :

xmxZE

Drift

22

21

21

xmhxmxZhxZEh

Variograma Teórico

Estimación del variograma

Sesgo

Comportamiento-grandes distancias

D1=E-O

D2=N-S

Comportamiento-grandes distancias

Anisotropías

Anisotropías :

Generalmente cuando el variograma experimental es calculado en distintas direcciones presenta distintos comportamientos con la variación de la distancia.

Anisotropía Geométrica

Anisotropía Zonal

Anisotropía Híbrida

Anisotropía Geométrica

Anisotropía Geométrica :

Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta el mismo sill pero rangos distintos

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0,0 0,9 2,0 3,0 4,1 5,1 6,2 7,2 8,3 9,3 10,4 11,4

Distancia

Var

iogr

ama

N-S

E-OMayor continuidad espacial en la dirección de mayor rango

Menor continuidad espacial en la dirección de menor rango

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0,0 0,9 2,0 3,0 4,1 5,1 6,2 7,2 8,3 9,3 10,4 11,4

Distancia

Va

rio

gra

ma

N-S

E-O

Anisotropía Geométrica

Anisotropía Geométrica

Anisotropía Zonal :

Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta el mismo rango pero diferente sill

Presencia de diferentes estructuras

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,94 1,99 3,04 4,09 5,14 6,19 7,24 8,29 9,34 10,4 11,4

Distancia

Var

iogr

ama

Anisotropía Zonal

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,94 1,99 3,04 4,09 5,14 6,19 7,24 8,29 9,34 10,4 11,4

Distancia

Var

iogr

ama

Anisotropía Zonal

Anisotropía Híbrida :

Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta rangos diferentes y distintos sill.

Presencia de diferentes estructuras

Característico de variogramas horizontales y verticales

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 0,6 1,2 1,8 2,4 3 3,6 4,2 4,8 5,4 6 6,6 7,2

Distancia

Var

iogr

ama

Anisotropía Híbrida

COMENTARIOS

COVARIANZA VS VARIOGRAMA

• El variograma se puede utilizar para modelar fenómenos no estacionarios y la covarianza no, por el desconocimiento de la media.

• Cuando la media es constante pero desconocida no se necesita para el cálculo del variograma, pero si para el de la covarianza.

• Si la función tiene varianza infinita (no estacionaria) la covarianza no está definida en 0, sin embargo el variograma si y es idénticamente nulo

Comentarios

CORRELACIÓN VS VARIOGRAMA

• La correlación estadística usual es calculada a distancia cero (dos observaciones en el mismo punto del espacio) y puede no ser representativa

• El variograma toma en cuenta el espaciamiento y por lo tanto permite ”correlacionar espacialmente”

Fuente información 1

Fuente información 2

LIMITACIONES DEL VARIOGRAMA

• Es un estadístico de 2 puntos

Comentarios

• Utilizar técnicas multipuntos y reconocimiento de patrones

LIMITACIONES DEL VARIOGRAMA

Comentarios

• Es extremadamente sensible a valores extremos

7

10

1112251412

13

21198

7

10

1112131412

13

101198

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6

Distancia

Var

iogr

ama

0

2

4

6

8

1 2 3 4 5 6

Distancia

Vario

gram

a

DEL VARIOGRAMA

EXPERIMENTAL AL

MODELO DE VARIOGRAMA

*

Ajustar

POR QUE HAY QUE CONSTRUIR MODELOS DE VARIOGRAMA ?

0

1

2

3

4

5

6

Distancia

vario

gram

a ex

perim

enta

l

Variogramaexperimental

0

1

2

3

4

5

6

Distancia

Variogramaexperimental

Modelo devariograma

El variograma experimental no se puede evaluar en distancias o direcciones intermedias

Una interpolación entre los puntos del variograma experimental no garantiza la existencia y unicidad de la solución del sistema de kriging

La interpolación no satisface las condiciones que todo variograma debe satisfacer

El variograma experimental no satisface las condiciones que todo variograma debe satisfacer

*

Variograma Teórico-propiedades

LOS VARIOGRAMAS TIENEN PROPIEDADES ESPECIALES, CUALQUIER FUNCIÓN QUE

DEPENDA DE LA DISTANCIA Y LA DIRECCIÓN NO NECESARIAMENTE ES UN

VARIOGRAMA

1) 00

2) hh

El variograma calculado en la dirección de h es igual al variograma

calculado en la dirección de -h

h-h

3) Todo variograma es una funcion definida positiva condicional

Para cualquier n, cualesquiera nxxxx ,,,, 321 puntos en el espacio y cualesquiera

n ,,,, 321 valores tales que

n

ii

1

0 se tiene que

01 1

n

i

n

jjiji xx

Esta propiedad permite calcular en forma consistente la varianza de combinaciones lineales de funciones aleatorias

Zvar

Variograma Teórico-propiedades

4) Relación con la función de covarianza

Para funciones aleatorias estacionarias se tiene que hCCh 0

Distancia

Vario

gram

a Variograma

Covarianza

Variograma Teórico-propiedades

02

h

hlimh

4) Si es el variograma de una funcion aleatoria estacionaria o intrínseca entonces

En particular para h suficientemente grande existe una constante c tal que 2hch

Criterio para el comportamiento del variograma a grandes distancias

Criterio para detectar un comportamiento no estacionario

Variograma Teórico-propiedades

4) Combinacion lineal de variogramas

hhhh N ,,,, 321 Si son modelos de variograma y N,,,, 321

son valores positivos entonces

hhn

ii i

1

Permite modelar/ajustar las estructuras imbricadas (nested structures)

Permite modelar la anisotropía zonal

Variograma Teórico-propiedades

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.4 11.7 13 14.3 15.6 16.9

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.4 11.7 13 14.3 15.6 16.9

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.4 11.7 13 14.3 15.6 16.9

+ =

Variograma Teórico-propiedades

Modelar la anisotropía zonal

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,94 1,99 3,04 4,09 5,14 6,19 7,24 8,29 9,34 10,4 11,4

Distancia

Var

iogr

ama h 211 ,hh 32 h

Variograma Teórico-propiedades

MODELOS DE

VARIOGRAMA

Modelos de Variograma

Modelos de variograma isotrópicos más comunes:

Modelo Efecto Pepita Puro

Modelo Esférico

Modelo Exponencial

Modelo Gaussiano

Modelo Cúbico

Modelo Seno Cardinal

Modelo Potencia

Modelo Efecto Pepita Puro

S

Distancia

Var

iog

ram

a

0

00

hsis

hsih

Este modelo representa a

un fenómeno

completamente aleatorio, en

el cual no hay correlación

espacial

No importa cuán cerca se encuentren los valores de las variables, siempre serán no correlacionados

Modelo Esférico

ahsis

ahsia

h

a

hs

h

3

3

21

23

Comportamiento lineal en el origen

DistanciaV

ari

og

ram

aas /5.1Pendiente igual a

Es uno de los modelos de variograma más utilizados

Rango s y sill a

Representa fenómenos continuos pero no diferenciables

Modelo Exponencial

a

hsh exp1

DistanciaVa

riogr

ama

Sill s que alcanza asintóticamente

Rango aparente igual a a

Rango experimental igual a 3a

as /3Pendiente igual a

Representa fenómenos continuos pero no diferenciables

Comportamiento lineal en el origen

Modelo Gaussiano

a

hsh

2

2

exp1

Distancia

Vario

gram

a

Sill s que alcanza asintóticamente

Rango aparente igual a a

Rango experimental igual a a3

Comportamiento cuadrático en el origen

Representa fenómenos continuos infinitamente diferenciables (sumamente continuos)

Modelo Cúbico

ahsis

ahsia

h

a

h

a

h

a

hs

h

7

7

5

5

3

3

2

2

75.05.375.87

Rango a y sill s

Comportamiento cuadrático en el origen

Representa fenómenos bastante continuos

Distancia

Var

iogr

ama

Modelo Seno Cardinal

ah

/ahsh

/

seno1

Distancia

Var

iogr

ama

Sill s que alcanza asintóticamente

Rango aparente igual a a

Rango experimental igual a 3a

Comportamiento cuadrático en el origen

Se utiliza para representar fenómenos continuos con periodicidades

Modelo Potencia

phsh

Distancia

Var

iogr

ama s=2.5, p=0.4

s=0.4, p=1.8

s=1.15, p=1

s se denomina factor de escala

20 p

El comportamiento en el origen

depende del valor de p

Representa fenómenos no estacionarios

DE MODELOS ISOTRÓPICOS

A MODELOS ANISOTRÓPICOS

Modelo Anisotrópicos

h1 Variograma isotrópico de sill 1 y rango 1

2

2

2

2

1y

y

x

x

R

h

Rh

sh Variograma anisotrópico de sill s con rango xR

en la dirección del eje X y rango yR en la dirección

del eje Y

xR

yR

X

Y Los ejes de anisotropía coinciden con los ejes de coordenadas

X

Y

Modelo Anisotrópicos

Los ejes de anisotropía NO coinciden con los ejes de coordenadas

xR

yR

X’

Y’

1) Transformar los puntos del sistema de coordenadas XY al sistema de coordenadas X’Y’

Rhh ' R= matriz de rotación

T

2) Proceder como antes para ajustar la longitud de los ejes de anisotropía

'Th = matriz para transformar las distancias

3) Evaluar el variograma isotrópico en el resultado.

TRhsh 1

Es un variograma anisotrópico en la dirección

con eje mayor igual a xR y eje menor igual a yR

VARIOGRAMA CRUZADOcomportamiento espacial en conjunto

ZY

Variograma Cruzado

Si Z, Y son funciones aleatorias estacionarias o intrínsecas, el variograma cruzado de ellas se define como :

))]()(())()([(21

)( hxYxYhxZxZEhZY

))()(())()((2

1)(*

jihxx

jiZY xyxyxzxzhN

hji

Para su estimación se utiliza el variograma cruzado experimental

Variograma Cruzado-propiedades

1) 00 ZY

2) hh ZYZY

3) hh YZZY El variograma cruzado es una función simétrica

4) Relación con la función de covarianza cruzada

hChCCh YZZYZYZY 21

0)(

YZZY mhxYmxZEhC

4) Desigualdad de Hölder

Variograma Cruzado-propiedades

hhh YZZY 2

El modelo de variograma cruzado no puede ser escogido independientemente de cada uno de los variogramas individuales

Consecuencias:

El producto de cada uno de los sill de los variogramas individuales es mayor que el cuadrado del sill del variograma cruzado

YZZY SSS 2

hwhwhwh

hvhvhvh

huhuhuh

mmYZ

mmY

mmZ

2211

2211

2211

Variograma Cruzado-propiedades

4) Modelo lineal de coregionalización

0ju 0jv 02 jjj wvu

mjj ,,1, modelos de variogramas

Permite modelar en forma consistente el variograma cruzado y los variogramas

individuales

VARIOGRAMA DE

FUNCIONES INDICADORAS

F

Modelando el comportamiento

espacial de Facies

Funciones Indicadoras

La función indicadora de la facies F se define como

nosi

Fxsi

xF

0

1

1

Si se considera la facies F como un conjunto aleatorio entonces su función indicadora es una función aleatoria que puede ser estacionaria o no.

En lo sucesivo asumiremos que la función indicadora de F es estacionaria

211

21

xhxEh FFF

Funciones Indicadoras

Propiedades

1) 1,0)(1 pFxPxE F

ppxF 11var

2) 5.0hF

El sill de variogramas de funciones indicadoras no puede ser mayor a 0.5

3) Relación con la función de covarianza

hCCh FFF

0

pxphxEhC FFF 11

25.0110 ppxC FF var

2121 hhhh FFF

Funciones Indicadoras

4) Desigualdad Triangular

En particular hh FF 22

Consecuencia :

Un variograma con comportamiento en el origen de la forma 1php

no puede ser el variograma de una función indicadora

)( FhxyFxPhF

Funciones Indicadoras

5) Rango y Anisotropías

Distancia

Vario

gram

aR1R2