TALLER 8 – FRACCIONES PARCIALES

METODO DE COMPLETAR CUADRADO

Se va a ilustrar el método mediante algunos ejemplos.

EJEMPLO

Soución

EJEMPLO

Solución

Completando cuadrado en el denominador, se tiene

La integral equivalente es

Se hace la sustitución

para obtener

EJERCICIO 1.

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USO DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

EJEMPLO

Solución

Desarrollando el cuadrado

Se aplica la identidad

EJEMPLO

Solución

Entonces

como cos(2x) es positivo en el intervalo 0 x /4, se tiene

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EJERCICIO 2

DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES

Primer caso: FACTORES LINEALES DISTINTOS

El denominador se puede factorizar con dos factores lineales diferentes

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El objetivo es hallar los valores de A y B. Aplicando denominador común se tiene

Igualando numeradores

La ecuación se cumple para todo valor de x, en particular

Entonces, la descomposición en fracciones parciales de la función racional es:

SEGUNDO CASO: Factores lineales repetidos

Se factoriza el denominador

De acuerdo a la regla 3, la descomposición en fracciones parciales tiene la forma

Se aplica común denominador y se iguala los numeradores

Esta ecuación se cumple para todo valor de x. Haciendo x = -1 se tiene

Haciendo x = 0,

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Finalmente, se hace A = 6, C = 9 y x = 1 para obtener

Entonces la descomposición en fracciones parciales es

TERCER CASO: Factores lineales y cuadráticos irreducibles distintos

La factorización completa del denominador es

A cada factor se le asocia una fracción simple teniendo en cuenta que los factores cuadráticos irreducibles tienen numerador especial, tal como se muestra

Se saca común denominador y se igualan los numeradores para obtener

La ecuación es válida para todo valor de x. Haciendo x = 1 se tiene:

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RESUMEN DEL MÉTODO APLICADO

CUARTO CASO: Factores cuadráticos repetidos

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EJERCICIO 3

SUSTITUCIONES TRIGONOMETRICAS

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EJEMPLO

Solución

Entonces

Para -/2 < < /2 se tiene que sec() > 0, entonces

EJEMPLO

Solución

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EJEMPLO

Solución

Para 0 < < /2

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EJERCICIO 4

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