REPRESENTACION DE FUN-CIONES MEDIANTE SERIES

Una de las aplicaciones de la teora de variable compleja consiste en que estateora proporciona metodos poderosos para evaluar integrales. Algunos de estosmetodos se basan en la representacion de funciones complejas mediante series.Este es el tema del presente captulo.

1 Series de potencias

Recordemos de la seccion ?? del captulo 6 que la convergencia de una serie denumeros complejos

n=0 zn puede ser caracterizada por la convergencia de las

partes real e imaginaria. Tomando en cuenta que zn = xn + iyn con xn, yn 0 para todon N y denotemos

r = limn

an+1an

, donde r

Entoncesn=1 an converge si r < 1;

n=1 an es divergente si r > 1;

Cuando r = 1 no hay conclusion, es decir,n=1 an puede ser convergente o

divergente.

4) Criterio de Leibniz . Si a1 a2 0 y

limn an = 0 entonces

n=1

(1)n+1an = a1 a2 + a3 a4 converge.

Para aplicar estos criterios de convergencia a una serie de numeros complejos,se analizan la parte real y la parte imaginaria por separado.

Recordemos tambien que una serien=1 zn se llama absolutamente conver-

gente en C, si n=1 |zn| es convergente en

Lema 3 (de Abel) Si la serie de numeros complejos

n=0

cn zn = c0 + c1 z + + cn zn + (cn C para todan)

converge para algun z0 C, entonces la serie converge absolutamente para todoslos z C tales que |z| < |z0|.

Dem. 4 Por la hipotesis se tiene quen=0 cn z

n0 converge, por lo que |cn zn0 |