CÁLCULO 1

APLICACIONES DE LA DERIVADA - COSTOS MARGINALES

Erick Vásquez Llanos viterick@gmail.com

CASO 01 Un comerciante de calzado tiene una producción mensual de x (docenas de calzado) y el costo total se describe por medio de la función

El costo cuando se produce 100 docenas de calzados es de S/. 252 000. Determine si es conveniente producir 1 docena más por mes.

CASO 02El costo de un lote de espárragos en un mes depende de la cantidad x (toneladas) producida de acuerdo con la función

Así tenemos que el costo por producir 300 toneladas de espárragos es de S/. 90 602 nuevos soles.Determinar si es conveniente producir una tonelada más.

LOGROS DE LA SESIÓN

Al terminar la sesión de aprendizaje deberás ser capaz de:

1. Explica el costo marginal de modelos matemáticos relacionados a los negocios internacionales.

2. Resolver problemas relacionados con costos marginales aplicando la teoría de derivación de funciones reales de un variable real.

• Derivación de funciones reales.

• Propiedades de derivación

• Regla de la cadena

Recordar

1. Introducción

2. Definición de Costo marginal.

3. Ejemplos de costos marginales

Temario

¡INTERROGANTE!El costo de producto x unidades de cierto artículo es C = C(x) = ,

luego el costo de producir 50 unidades será: S/. 2 499 y el costo

promedio es:

CP(x) = 2499/50 = S/. 49, 98, ahora nos preguntamos

¿Cuesta lo mismo producir 50 unidades que 52 unidades?, o de manera

general:

¿Cuánto cuesta producir cada unidad de x mas allá de 50 unidades?

12 x

Veamos la tabla siguiente:

Observamos que el costo promedio en un intervalo del tipo 50, 50 + x para los incrementos 0,5; 0,4: … 0;1 son mayores que costo promedio respecto a 50. luego no es conveniente; pero ¿será práctico siempre proceder de esta manera?. Veamos la definición siguiente:

Costo marginal

Dada una función de costo general C(x) que represente el costo de producir una cantidad x de cierto articulo, el costo marginal se define del modo siguiente:

Ejemplo 1:La función costo total es Q(x) = Halle el costo marginal, después de producir 300

unidades

222 xx

Solución:

Como 602 < Q’(603)Por lo tanto, no es conveniente producir la siguiente unidad.

Tenemos Q’(x) = 2x+2, luegoQ’(300) = 602Además Q(301) – Q(300) = 603

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Ejemplos 2:

En cierta fábrica, el costo total de fabricación de x artículos diariamente es deSegún la experiencia, se ha determinado que durante las primeras t horas del trabajo de producción diario se fabrican aproximadamente artículos.

Halle el costo marginal después de una hora.

20020 2 xxxC ,)(

tt 2

SoluciónLa tasa de cambio del costo con respecto al tiempo es dt/dC , aplicando la regla de la cadena tenemos

Como x representa el número de artículos producidos y la producción durante las primeras t horas, sustituimos t por x

Así que después de una hora el costo total estará creciendo a una tasa de 4222.8 unidades monetarias por hora

¿Podrías ahora resolver el caso 01?

EVALUACIÓN

1. La función costo total por producir un artículo es

Determinar el costo marginal por producir la siguiente unidad

2. El costo total de la producción de q unidades de cierto producto se

describe por medio de la función c =100.000 + 1.500q + 0.2q2

donde C es el costo total expresado en dólares. Determine cuántas

unidades q deberían fabricarse a fin de minimizar el costo promedio

por unidad.

xexQ 0525 ,)(

Gracias

Erick Vásquez Llanos