Post on 02-Nov-2018
Doctorado en Economía, yMaestría en T. y P. Económica AvanzadaFACES, UCV
Microeconomía I
Prof. Angel García Banchscontact@angelgarciabanchs.com
Clase/Semana 4
Problema del consumidor
Formalmente:
1) Plantear el Lagrange y encontrar los puntos óptimos
2) Determinar si corresponde a un máximo (Hessiano restringido)
0 0x
0x
]xpxp[- xx
21
22112
21
1
=∂∂
=∂∂
=∂∂
−+=
λ
λαα
LLLmL
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
=
0x
)x,x(x
)x,x(x
)x,x(xx
),x,x(xx
),x,x(x
)x,x(xx
),x,x(xx
),x,x(
2
*2
*1
1
*2
*1
2
*2
*1
22
**2
*1
2
12
**2
*1
21
*2
*1
21
**2
*1
2
11
**2
*1
2
gg
gLL
gLL
H R
λλ
λλ
Problema del consumidor
Formalmente:
Hallar el determinante (regla de Laplace - Pierre-Simon Laplace – e.g. 3 fila )
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
= −−−
−−−
0pppxx)1(xxpxxxx)1(
21
222
21
12212
211
121
112
211
1212
221
111αααα
αααα
αααααααα
RH
222
1122
122
11121
122
11121
22
211116
212
211
121
12
221
1112
5
222
21
122
112
211
1211
4
xx)1(xxxxxx)1(
0)1(
pxxpxx)1(
p)1(pxx)1(pxx
p)1(
−−−
−−−
−−
−
−
−−
−−
×−+
−×−+
−×−=
αααα
αααα
αα
αα
αα
αα
αααααααα
αααα
αααα
RH
Problema del consumidor
Formalmente:
queremos que sea positivo para que sea un máximo, y determinar si lo es requiere substituir el valor de p1 y p2 por sus respectivas ecuaciones en términos de λ, o su valor númerico en caso de ser conocido
0)1( 2 >− RH
Problema del consumidor
La ecuación de Slutsky (Eugen Slutsky)
Los cambios en la demanda producto de cambios en precios dependen de dos efectos: el efecto substitución (por el cambio en precios relativos) y el efecto ingreso (por el cambio en poder de compra del consumidor)
LI: cómo cambia la demanda compensada del bien 1 cuando cambia p2LD: este cambio es igual al cambio de la demanda manteniendo mconstante más el cambio en la demanda cuando m varía por el cambio de m necesario para mantener u constante cuando cambia p2.
444 3444 214434421
48476484764847648476
ingresoefectoónsubstituciefecto
de gastofunciónnaMarshalliaHicksiananaMarshallia
mmmum
ummmum
1*2
1*1
2
21*1
2
1*1
2
211*1
2
21*1
2
1*1
)p,(x)p,(xp
)p,p,(xp
)p,(x
p)p,p,()p,(x
p)p,p,(x
p)p,(x
∂∂
−∂
∂=
∂∂
∂∂
∂∂
−∂
∂=
∂∂
Problema del consumidor
La ecuación de Slutsky (Eugen Slutsky)
En general:
44 844 7648476484764847648476
constante utilidadmantener para ingreso en cambio
***
pp
)p,p,()p,(xpp
)p,p,(xp
p)p,(x
jj
de gastofunción
ji
naMarshallia
iij
j
Hicksiana
jiij
j
naMarshallia
ii ummmum
Δ∂
∂∂
∂−Δ
∂∂
=Δ∂
∂
Problema del consumidor
La ecuación de Slutsky (Eugen Slutsky)
Y, ¿qué pasa si p1 y p2 cambian simultáneamente?
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ΔΔ
×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂∂
∂×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ΔΔ
×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ΔΔ
×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
2
1
2
21
1
21
2*2
1*1
2
1
2
21*2
2
21*1
1
21*2
1
21*1
2
1
2
*2
1
*2
2
*1
1
*1
pp
p
)p,p,(p
)p,p,( )p,(x
)p,(x
pp
p)p,p,(x
p)p,p,(x
p)p,p,(x
p)p,p,(x
pp
p)p,(x
p)p,(x
p)p,(x
p)p,(x
umum
mmmm
uu
uu
mm
mm
ii
ii
Problema del consumidor
La ecuación de Slutsky (Eugen Slutsky)
Y, ¿qué pasa si p1 y p2 cambian simultáneamente?
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ΔΔ
××
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ΔΔ
×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ΔΔ
2
12
*21
*1
2*2
1*1
2
1
2
21*2
2
21*1
1
21*2
1
21*1
*2
*1
pp
)p,(x)p,(x )p,(x
)p,(x
pp
p)p,p,(x
p)p,p,(x
p)p,p,(x
p)p,p,(x
)p,(x)p,(x
mm
mmmm
uu
uu
mm
i
i
Problema del consumidor
La ecuación de Slutsky (Eugen Slutsky)
Y, ¿qué pasa si p1 y p2 cambian simultáneamente?
ingresom
mm
mmm
ónsubstituciuu
uu
mm
i
i
pp
)p,(x)p,(x
)p,(x)p,(x
pp
p)p,p,(x
p)p,p,(x
p)p,p,(x
p)p,p,(x
)p,(x)p,(x
2
1
1*2
2*2
1*1
1*1
2
1
2
21*2
2
21*1
1
21*2
1
21*1
*2
*1
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ΔΔ
×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
−
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ΔΔ
×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ΔΔ
El Bienestar del consumidor
El superávit del consumidor
Superávit Consumidor
Superávit Productor
Cantidades de equilibrio q*
Precio o curva de demanda
Precio o curva de oferta
Precio de equilibrio p*
Cantidades
Precio
SC: ½ [ pmax - p*] q*SP: ½ [ p*- pmin ] q*
Precio max consumidor
pd(qd=0)
Precio min productor po(qo=0)
El Bienestar del consumidor
El superávit del consumidor
Superávit Consumidor
Superávit Productor
Cantidades de equilibrio
Precio o curva de demanda
Precio o curva de oferta
Precio de equilibrio
Cantidades
Precio
*p
p
o
*p
p
d
qp - dp )p(q
qp - dp )p(qmin
*
max
*
∗
∗
∫
∫=
=
SP
SC
El Bienestar del consumidor
Variación equivalente y Variación compensatoria
¿Cómo comparar dos estados distintos de la naturaleza? Es decir, ¿cómo determinar que he estado es superior ?
El problema es el mismo: las utilidades indirectas de distintos individuos no son comparables. Requerimos entonces una expresión objetivaen términos de dinero que substituya a la expresión subjetiva en términos de utiles : la función de gasto del consumidor
0)p,()p,( 00f
p=−′′ mvmv
iniciales e finales gasto y precio de niveles losa
alcanzados utilidad de niveles los son )p,( , )p,( donde 00mvmv ′′
)p,( ó )p,( 00mm ′′
El Bienestar del consumidor
Variación equivalente y Variación compensatoria
)p),p,(()p),p,(( b00
b mvmmvm −′′
consumidor del gasto el valora se cual al base precio el p y iniciales, e finales gasto y precio de niveles losa
alcanzados utilidad de niveles los son )p,( , )p,( donde
b
00mvmv ′′
000000
0b
)p),p,(()p),p,(()p),p,((
pp :eequivalent Variación
mmvmmvmmvmVE −′′=−′′=
=
)p),p,(()p),p,(()p),p,((
pp :riacompensato Variación0000
b
′−′=′−′′′=
′=
mvmmmvmmvmVC
El Bienestar del consumidor
Variación equivalente y Variación compensatoria
La VE es la cantidad de Bs F a precios iniciales que debería entregársele al consumidor para que éste pueda costear el nuevo nivel de utilidad asociado al nuevo nivel de precios y gasto. Es la cantidad de dinero que el consumidor aceptaría a cambio de un aumento en los precios. ¿ Qué implica VE<0? ¿El nuevo estado de la naturaleza deja mejor o peor al consumidor?
000000
0b
)p),p,(()p),p,(()p),p,((
pp :eequivalent Variación
mmvmmvmmvmVE −′′=−′′=
=
El Bienestar del consumidor
Variación equivalente y Variación compensatoria
La VC es el negativo de la cantidad de Bs F a precios finales que debería entregársele al consumidor para que éste pueda costear el nivel de utilidad asociado al nivel de precios y gasto inicial. Es la mínima cantidad de dinero (valorada a precios finales) que el consumidor aceptaría del planificador a cambio del aumento en precio. La compensación ocurre después del cambio en precios; por ello, ¿Qué implica VC<0? ¿El nuevo estado de la naturaleza deja mejor o peor al consumidor?
])p),p,(([
)p),p,(()p),p,(()p),p,((
pp :riacompensato Variación
00
0000b
mmvm
mvmmmvmmvmVC
′−′−=
′−′=′−′′′=
′=
ppb ′=
El Bienestar del consumidor
Variación equivalente, a raíz de una caída de p1
U ′)p,(x 0 ′m
)p,(x 00m 0U
)p,(x 00 VEm +
2x
1x
VE
El Bienestar del consumidor
Variación equivalente, a raíz de una alza de p1
U ′)p,(x 0 ′m
)p,(x 00m
0U)p,(x 00 VEm −
2x
1x
VE
El Bienestar del consumidor
Variación compensatoria, a raíz de una caída de p1
U ′)p,(x 0 ′m
)p,(x 00m 0U)p,(x 0 ′−VCm
2x
1x
VC
El Bienestar del consumidor
Variación compensatoria, a raíz de una alza de p1
U ′)p,(x 0 ′m
)p,(x 00m0U
)p,(x 0 ′+VCm
2x
1x
VC
El Bienestar del consumidor
Variación equivalente y Variación compensatoria
002
01
021
02
01
02
01
002
01
021
022
01b
)p,p),p,p,((
)p,p),p,p,(()p,p),p,p,((
)pp,p(p :eequivalent Variación
mmvm
mvmmvmVE
−′′=
−′′=
==
0p y 0p con ,p y p precios con x y x bienes dos de caso el osConsiderem
21
2121
≠Δ≠Δ
])p,p),p,p,(([ )p,p),p,p,((
)p,p),p,p,(()p,p),p,p,((
)pp,p(p :riacompensato Variación
021
02
01
0021
02
01
0
021
02
01
0021
021
0221b
mmvmmvmm
mvmmvmVC
′−′−=′−′=
′−′′′=
=′=
El Bienestar del consumidor
Variación equivalente y Variación compensatoria
p y de valor el osubstituid una vez ,dp x
)pp,p(p :eequivalent Variación
21
p
p
*1
022
01b
01
1
vvVE ′==
==
∫ ′
0p y 0p con ,p y p precios con x y x bienes dos de caso el osConsiderem
21
2121
≠Δ≠Δ
p y de valor el osubstituid una vez ,dp x
)pp,p(p :riacompensato Variación
20
1
p
p
*1
0221b
01
1
vvVC ==
=′=
∫ ′
El bienestar del consumidor
ambos?a base en Y¿cuando?x no y x qué¿Por inicial) la y 4,p endo(substituy la y final) la y
4,p endo(substituy la x dehicksiana demanda la a base en Hallar 7)la y la 5)a base en Hallar 6)
sabemos ya cuales los de 2 casos, 4 los en gasto del valor el Hallar 5)final situaciónla enindirecta utilidadla Calcular 4)inicial situaciónla enindirecta utilidadla Calcular 3)
gasto de función Hallar 2)indirecta utilidad Hallar 1)
}4,200,3{}p,p,{ y }4,400,3{}p,p,{ con
xx)x,u(x :Ejemplo
21
2
21
202
00
1/21/421
11
21
uVCu
VEVCVE
mm
=
=
=′′′=
=
Problema del consumidor
El problema de la maximización de la utilidad sujeto a la restricción presupuestaria tiene como dual (i.e. como equivalente) la minimización del gasto en bolívares fuertes necesario para alcanzar un nivel de utilidad dado:
Ejemplo:
¿Por qué lo anterior es posible? ¿Qué permite la dualidad?¿Qué conduce a que la selección de las x sea igual en ambos casos?Y, ¿cuál es la implicación para la distribución del ingreso y lasinteracciones sociales?
mpxs.a.
xux
≤≥
)(max0 ≈
uxvs.a.
pxx
=≥
)(
min0
xx)( 22
11
αα=xu
ms.a. ≤+ 2211
22
11
}x,x{
xpxp
xxmax21
αα
≈us.a. =
+
22
11
2211}x,x{
xx
xpxp min21
αα
Problema del consumidor
Resultado:
Marshalliana Hicksianao compensatoria¿por qué?
ms.a. ≤+ 2211
22
11
}x,x{
xpxp
xxmax21
αα
21
2
22
*2
21
1
11
*1
p)p,(x
p)p,(x
ααα
ααα
+=
+=
mm
mm
≈us.a. =
+
22
11
2211}x,x{
xx
xpxp min21
αα
≈
21
2
21
2
1
1
2
2
11
2
2
121
*2
1
1
2
2
1
21*1
ppp
p)p,p,(x
pp
)p,p,(x
αα
α
αα
α
ααα
α
αα
+
+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
uu
uu
Problema del consumidor
Resultado:
ms.a. ≤+ 2211
22
11
}x,x{
xpxp
xxmax21
αα
12
1
22
21
2
22
*2
21
1
11
*1
xpp
px
p)p,(x
p)p,(x
−=
+=
+=
m
mm
mm
ααα
ααα
{
CMBM
xu
xu
ObjTES
SubTMS
=
=
∂∂∂
∂
−
−
2
1
2
*1
*
pp
x)(
x)(
321
2pm
1pm
Problema del consumidor
Resultado:
La función de demanda del bien l depende únicamente del l-avo precio, además de ser homogéneo de grado 0 en m y p, y lineal en m. Por ello, su elasticidad ingreso es 1.
Función de utilidad indirecta:
¿A qué debería ser igual?
...,lmmme
l
llml
21para ,1x
)p,(x*
*
,x* ==∂
∂=
)21(22
11
22
11
21
2
21
2
2
1
21
1
121
*2
*1
)21(pp
pp)p,p,()x,x(
αααααααα
αα
αααα
ααα
ααα
+−−−+ +=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
==
m
mmmvu
?)p,p,()x,x( 21*2
*1 =
∂∂
=∂
∂m
mvm
u
Problema del consumidor
Resultado:
Invertir la función de utilidad indirecta, ¿a qué conduce?
¿Función de qué y compensatoria de qué?
Verificarlo substituyendo en la función de gasto a minimizar
21
21
1
212
2
211
1
21
2
21
2
2
1
21
1
121
*2
*1
)(p)(p
)p,p,(
pp)p,p,()x,x(
αααα
αα
ααα
ααα
ααα
ααα
+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
==
uum
mmmvu
)p,p,(x y )p,p,(x 21*221
*1 uu
Problema del consumidor
)p,(naMarshallia
* mx
mpxs.a.
xux
≤≥
)(max0
uxvs.a.
pxx
=≥
)(
min0
Dualidad
Resolver
)()p,(indirecta utilidad
*xumv = *)p,(gasto de función
pxum =
Inversión
Resolver
Substituir Substituir
)p,(Hicksiana
* ux
Problema del consumidor
Inversión
Substitución
*)p,(gasto de función
pxum =)()p,(indirecta utilidad
*xumv =
Identidad de Roy Diferenciación
)p,(
)(na Marshallia*
*
mx
x
i
i
)p,(
)(Hicksiana *
*
ux
x
i
i
Problema del consumidor
Diferenciación de la función de gasto con respecto al precio
Cuánto debe aumentar el gasto para mantener fijo el nivel de utilidad cuando cambia el precio del bien i depende de la demanda del bien i
21
2
1
1
2
2
1
21*1
1
21
pp
)p,p,(xp
)p,p,(
gasto de función
αα
α
αα
+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==
∂∂ uuum
Problema del consumidor
Identidad de Roy (Rene Roy)
)p,(x)p,p),p,p,((
p)p,p),p,p,((
p)p,p,(
0p
)p,p),p,p,((p
)p,p,()p,p),p,p,((
0p
)p,p),p,p,((
)p general en o( pa respecto con lados ambos ndodiferenciay
)p,p),p,p,(()p,p,(
)p,p,( conindirecta utilidad de funciónla oEscribiend
*1
2121
1
2121
1
21
1
2121
1
212121
1
2121
1
212121
21
m
mumv
umvum
umvumm
umv
umv
uumvmv
um
i
=
∂∂
∂∂
−=∂
∂
=∂
∂+
∂∂
∂∂
=∂
∂
==