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Clase 10 STR determinísticos.doc 1
1. STR Determinístico 1. STR DETERMINÍSTICO 1
1.1. PLANTEO DEL PROBLEMA 2
1.2. PARTICULARIZACIONES DEL MÉTODO 8
1.2.1. Cancelación de Polos y Ceros 8
1.2.2. Separación del Control de Perturbaciones y Seguimiento de Referencia 11
1.1.1. Mejor Rechazo a Perturbaciones 14
1.3. PROCEDIMIENTO DE DISEÑO 28
1.3.1. Cálculo de la Ley de Control 31
1.4. PARAMETRIZACIÓN DE YOULA-KUCERA 40
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1.1. Planteo del Problema Proceso
( ) ( )( )k k kA q y B q u v= + [1.1]
grado de B menor que grado de A. A es mónico. Es un sistema continuo, muestreado, con bloqueador de orden cero, actuador, filtro
antialiasing. Las perturbaciones son impulsos espaciados que se pueden estudiar como pertur-
baciones en el valor inicial. Se desea que la salida siga una trayectoria de diseño y tenga acción integral. Ley de control lineal
( ) ( ) ( )k k kR q u T q r S q y= − [1.2]
R es mónico. ur
( )S z
( )( )
B zA z( )
1R z( )T z
y
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tiene una realimentación y un control en adelanto
( ) ( )( )
( ) ( )( )
ff
fb
T zH z R z
S zH z R z
=
= [1.3]
grado de S menor que grado de R. Para el cálculo se reemplaza el controlador en el modelo de la planta
( ) k k kAR BS y BTr BRv+ = + [1.4]
el denominador es
( ) ( ) ( ) ( ) ( )lc mA A q R q B q S q A q= + = [1.5]
resultando una ecuación Diofantina Siempre tiene solución si A y B no tienen raíces comunes. El denominador en lazo cerrado se puede factorear
( ) ( )lc c oA A q A q= [1.6]
con
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( ) ( )( ) ( )
det
detc
o
A z zI L
A z zI KC
= −Φ + Γ
= −Φ + [1.7]
es la separación del control y el observador Cálculo de T
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )c clc c o
B z T z B z T zY z R z R z
A z A z A z= = [1.8]
los ceros se mantienen excepto que se cancelen con lcA
Se elige T para cancelar el observador
( ) ( )o oT z t A z= [1.9]
donde ot se elige para tener ganancia unitaria es decir
( ) ( )( ) ( )o
cc
t B zY z R z
A z= [1.10]
( )( )11
co
At
B= [1.11]
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Ejemplo 1.1. Doble Integrador
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1
12
A z z
TB z z
= −
= + [1.12]
ecuación diofantina
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2 2 1 12 lc
Tz z R z z S z A z− + + + = [1.13]
se busca el control más simple. El más simple de todos es ( ) 1R z = y ( ) 0S z s= que es un control proporcional.
en este caso resulta
( ) ( )2
2 02 1 12 lc
s Tz z z A z− + + + = [1.14]
no tiene solución general para un polinomio ( )lcA z de segundo orden
Con uno de primer orden ( ) 1R z z r= + y ( ) 0 1S z s z s= +
( ) ( ) ( )( ) ( )2
21 0 12 1 1
2 lcTz z z r z s z s A z− + + + + + = [1.15]
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( ) ( )2 2 2
3 21 0 1 0 1 1 12 1 2
2 2 2 lcT T Tz r s z r s s z r s A z
+ + − + − + + + + =
[1.16]
es posible encontrar los coeficientes para cualquier polinomio ( )lcA z de tercer orden. Se elige
( ) 3 21 2 3lcA z z p z p z p= + + + [1.17]
resulta
1 2 31
1 2 30 2
1 2 31 2
34
5 32
3 32
p p pr
p p psT
p p psT
+ + −=
+ + −=
+ − −=
[1.18]
Se elige la raíz real como raíz del observador Generalmente resultan controladores de orden elevado. Se puede obtener un regulador con un integrador en forma explícita haciendo
( ) ( )( )( )
1
20 1 2
1R z z r z
S z s z s z s
= + −
= + + [1.19]
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Para que el regulador sea causal los grados de S y T tienen que ser menores o iguales al de R . Normalmente se considera
( ) ( ) ( )grado R grado T grado S= = [1.20]
Normalmente resulta
( ) ( ) ( ) ( ) 1ogrado R grado T grado S grado A n= = = = − [1.21]
y
( )cgrado A n= [1.22]
Si se quiere acción integral se aumenta en uno el grado del regulador
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1.2. Particularizaciones del Método 1.2.1. Cancelación de Polos y Ceros Se pueden cancelar polos y ceros suficientemente alejados del uno. Sean los polinomios
A A AB B B
+ −
+ −
=
= [1.23]
donde A+ y B+son los factores a cancelar, son mónicos y estables. el controlador resultante será
R B RS A ST A T
+
+
+
=
=
=
[1.24]
el polinomio característico en lazo cerrado será
( )lc lcA AR BS A B A R B S A B A+ + − − + += + = + = [1.25]
los polinomios A+ y B+son factores del polinomio en lazo cerrado Haciendo la factorización
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lc c oA A A= [1.26]
se toma
c c
o o
A B A
A A A
+
+
=
= [1.27]
cancelando se obtiene
lc c oA A R B S A A− −= + = [1.28]
El mínimo regulador causal se obtiene encontrando la única solución para el poli-nomio que cumple ( ) ( )grado S grado A−<
La ley de control se escribe B Ru A Tr A Sy+ + += − [1.29]
o sea
A T Su r yB R R
+
+
= −
[1.30]
se cancelan los polos y ceros de la planta y se los ubica en otra parte como si no existieran.
La relación referencia-salida es
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0 0 0
0c lc c c
y BT t B B A t Br A A A A
+ − −
= = = [1.31]
se deben cancelar solo los modos estables. Se define una zona en donde sí se pueden cancelar ceros.
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1.2.2. Separación del Control de Perturbaciones y Seguimiento de Referencia Se intentará hacer algo similar a variables de estado Sea la respuesta deseada
mm m
m
By H r rA
= = [1.32]
para tener un seguimiento perfecto, B− tiene que ser factor de mB ya que no se pueden cancelar esos ceros.
Por lo tanto
m mB B B−= [1.33]
Introduciendo
0
m
m
m c
R A B R
S A A S
T B A A A
+
+
+
=
=
=
[1.34]
La ley de control resulta
0m c
m
A B A A Su r yB A R R
+
+
= −
[1.35]
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Además se cumple la ecuación
0 cA A A R B S− −= + [1.36]
y
( )0 mm c m m m m
m m m m m m
B A R B SB A A B A B B S B A B SA R A R A A R A B A R
− − − − −
−
+= = + = + [1.37]
con lo que la ley de control se rescribe
( )mm
m
B A A Su r y yA B B R
+
+= + − [1.38]
tiene dos componentes, una en adelanto con función de transferencia
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
m mff
m m
B z A z B z A zH z
A z B z A z B z+= = [1.39]
y una realimentación proporcional al error entre la salida del modelo y la salida real, con función de transferencia
( ) ( ) ( )( ) ( )fb
A z S zH z
B z R z
+
+= [1.40]
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ur
1−
( )( )
B zA z
( )( )
S zR z
y
( )( )
A zB z
( )( )
m
m
B zA z
my
ffu
fbu
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1.1.1. Mejor Rechazo a Perturbaciones Ahora hay dos perturbaciones: v a la entrada e ruido de medición (salida) Se diseña un regulador quedando como la figura
ur( )( )
B zA z
( )( )
( )( )
T z S zu r y
R z R z= −
y
v
x
e
El sistema queda
( )Ax B u vy x e= +
= + [1.41]
resolviendo
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BT BR BSx r v eAR BS AR BS AR BS
BT BR ARy r v eAR BS AR BS AR BS
AT BS ASu r v eAR BS AR BS AR BS
= + −+ + +
= + ++ + +
= + −+ + +
[1.42]
Si v es un escalón, B o R deben tener una raíz en 1. Si v es periódica, de período nT, B o R debe haber n raíces en 1 tal que
( )1 0nk n k kv v q v+ − = − = [1.43]
Si v es una senoide de frecuencia 0ω , B o R debe tener una dinámica tal que haga
( )0 1 22cos 0k k ky T y yω − −− + = [1.44]
El ruido de medición tiene, generalmente, alta frecuencia La frecuencia de Nyquist es la máxima frecuencia de interés y corresponde a 1z = − .
Una forma de eliminar esta frecuencia es hacer que S tenga un término 1z + R es para perturbaciones a la entrada S es para perturbaciones a la salida.
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Ejemplo 1.2. Motor con Cancelación de Ceros el motor es
( ) ( )( )( )1
K z bH z
z z a−
=− −
[1.45]
con
( )
1
11
1
T
T
T
T
K e Ta e
T eb
e T
−
−
−
−
= − +
=
−= −
− +
[1.46]
el cero es real negativo el modelo a seguir es
( ) ( )( )
( )1 22
1 2
1mm
m
B q q p pH q
A q q p q p+ +
= =+ +
[1.47]
no tiene el cero de lazo abierto. Se debe cancelar la función de transferencia en lazo abierto tiene un cero en b . Se factoriza B como
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B z bB K
+
−
= −
= [1.48]
1AA A
+
−
=
= [1.49]
por lo tanto
1 21mm
B p pBK K
+ += = [1.50]
ufcr
B BA A
+ −
+ −
SR
yTS +
−
cr
Se hace
0
m
m
m c
R A B R
S A A S
T B A A A
+
+
+
=
=
=
[1.51]
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ufcrB BA A
+ −
+ −
A SB R
+
+
y0m c
m
B A AA S +
−
cr
La función de transferencia en lazo cerrado resulta
1c
S By T TBR A
S Br S RA SBR A
= =++
[1.52]
( )0m o c m c
c m m m
y TB B A A A B B B B A Ar RA SB A B RA A A A SB B A RA SB
+ + − −
+ + − + + − − −= = =
+ + + [1.53]
La ley de control resulta
0
0
c
m c mc
m m
m cc
m
Ru Tr Sy
B A A A A A Su r yA B R A B R
B A A A A Su r yA B R B R
+ +
+ +
+ +
+ +
= −
= −
= −
[1.54]
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Además se cumple la ecuación
o cA A A R B S− −= + [1.55]
el observador se puede elegir como
( ) 1oA z = [1.56]
Los grados deR y S deben satisfacer
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
0 0
1 1mgrad R grad A grad A grad A
grad S grad A
= + − =
= − = [1.57]
Se eligeR de orden cero y S de orden uno. 2
1 2c c cA z a z a= + + [1.58]
o cA A A R B S− −= + [1.59]
( )( ) ( ) 20 0 1 1 21 c cz z a r K s z s z a z a− − + + = + + [1.60]
de donde,
1 2
0 0 11
1 c ca a a ar s s
K K+ + −
= = = [1.61]
Además
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( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 20 0
21 20 1 2
1
1
m
m c m c c c
z p pT z A z B z t z
Kp pT B A A A B A z a z aK
+
+ += = =
+ += = = + +
[1.62]
Si la referencia es constante se puede hacer
( )1 20 1 2
1 1 c cp pT t a aK
+ += = + + [1.63]
La ley de control es
m c m cc c
m m
m m c c m
S B A B A Su r y r yB R A S B RA B R
B RA u B A r SA y
+ + +
+
= − = −
= −
[1.64]
( )( ) ( )
( )
2 21 21 2 1 2
2 1 21 2
1
1
c c c
c c
p pq b q p q p u q a q a rK
a a a aq p q p q y
K K
+ +− + + = + +
+ + − − + + +
[1.65]
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( ) ( ) ( )( ) ( )
3 2 21 21 2 1 2 1 2
3 20 0 1 1 0 2 1 1 1 2
1c c c
p pq p b q p bp q bp u q a q a rK
s q s p s q s p s p q s p y
+ + + − + − − = + + −
− + + + + +
[1.66]
( ) ( )
( )( ) ( )
1 1 2 1 2 2 3
1 21 1 2 2 3
0 0 1 1 1 0 2 1 1 2 1 2 3
1k k k k
c c c c ck k k
k k k k
u p b u p bp u bp up p r a r a rK
s y s p s y s p s p y s p y
− − −
− − −
− − −
= − − − − +
+ ++ + + −
− − + − + −
[1.67]
0 200 400 600 800 1000-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 200 400 600 800 1000-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 200 400 600 800 1000-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Las dos primeras figuras corresponden a igual modelo pero diferente comportamien-
to en lazo cerrado. En la tercera se varía el modelo. La oscilación en el control es por la cancelación del cero real negativo. Decrece aumentando el período de muestreo.
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Ejemplo 1.3. Motor sin Cancelación de Ceros el cero aparece en lazo cerrado
( ) 1 22
1 2
11mp p z bH z
b z p z p+ + −
=− + +
[1.68]
( )1B
B K z b
+
−
=
= − [1.69]
por lo tanto
( )1 21
1mp pB
K b+ +
=−
[1.70]
el observador debe cumplir
( ) ( ) ( ) ( )0 2 1 1mgrad A grad A grad A grad B+≥ − − − = [1.71]
el observador se puede elegir como
( )oA z z= [1.72]
Los grados deR y S deben satisfacer
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( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
0 1
1 1mgrad R grad A grad A grad A
grad S grad A
= + − =
= − = [1.73]
Se eligeR de orden cero y S de orden uno. ( )( )( ) ( )( ) 3 2
1 0 1 1 21z z a z r K z b s z s z p z p z− − + + − + = + + [1.74]
Se calcula la igualdad para z b= , 1z = y z a= obteniendo tres ecuaciones
( )( )( )
( )( )( )( )
21 2
1
0 1 1 2
3 20 1 1 2
1
1 1
b b p b pr b
b b a
K b s s p p
K a b s a s a p a p a
+ += − +
− −
− + = + +
− + = + +
[1.75]
de donde se determinan los parámetros Además
( ) ( ) ( ) ( )1 2
0 01
1mp pT z A z B z z t z
K b+ +
= = =−
[1.76]
La ley de control es 0 0 1 1 1 1k k k k ku t r s y s y ru− −= − − − [1.77]
Clase 10 STR determinísticos.doc 24
0 500 1000 1500-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 500 1000 1500-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Clase 10 STR determinísticos.doc 25
- Caso Adaptativo
0 500 1000 1500-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 50 100 150-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Clase 10 STR determinísticos.doc 26
- Ganancia Estática BT BRy r v
AR BS AR BS= +
+ + [1.78]
Se aplica un escalón de 1r = y 0,2v = −
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 11 0,2
1 1 1 1 1 1 1 1B T B R
yA R B S A R B S
= −+ +
[1.79]
Si no se adapta 0,5656y∞ =
Clase 10 STR determinísticos.doc 27
Ganancia estática: Primera figura: si no se adapta. Segunda figura: adaptando
0 50 100 1500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 50 100 1500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Clase 10 STR determinísticos.doc 28
1.3. Procedimiento de Diseño
- Datos: Se necesita:
( )A z , ( )B z sin factores comunes
polinomio característico en lazo cerrado deseado ( )lcA z
términos deseados en el regulador, ( )dR z y ( )dS z
función de transferencia deseada ( )( )
m
m
B zA z
- Condición de Exceso de Polos ( ) ( ) ( ) ( )m mgrad A grad B grad A grad B− ≥ − [1.80]
- Condición de Seguimiento del Modelo El factor B− no debe ser cancelado por lo que se debe cumplir
mB B B−= [1.81]
- Condición de Grados de Polinomios se debe cumplir
Clase 10 STR determinísticos.doc 29
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1lc m d dgrad A grad A grad A grad R grad S= + + + − [1.82]
- Paso 1 Factorizar A y B como
A A AB B B
+ −
+ −
=
= [1.83]
donde A+ y B+ son los factores a cancelar.
- Paso 2 Resolver la ecuación
d d lcA R R B S S A− −+ = [1.84]
para calcular R y S
- Paso 3 la ley de control es
Ru Tr Sy= − [1.85]
donde
Clase 10 STR determinísticos.doc 30
m d
m d
m lc
m m
R A B R R
S A A S S
T B A A
B B B
+
+
+
−
=
=
=
=
[1.86]
la característica en lazo cerrado es lc m lcA A B A A+ += [1.87]
La condición de grado surge de [1.84] ya que el mínimo regulador se obtiene con
( ) ( ) ( ) 1dgrad S grad A grad R−= + − [1.88]
por lo que, de [1.86]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )1
1m d d
m d d
grad S grad A grad A grad A grad R grad S
grad A grad A grad R grad S
− += + + + + −
= + + + − [1.89]
como ( ) ( )grad S grad R= , resulta [1.82]
Clase 10 STR determinísticos.doc 31
1.3.1. Cálculo de la Ley de Control Otra forma de calcular la ecuación diofantina es considerar que se tiene una solu-
ción a la ecuación
0 0 0
lcAR BS A+ = [1.90]
y la solución de mínimo grado, iR y iS ,
0i iAR BS+ = [1.91]
Se definen los polinomios R y S de modo que
0
0
i
i
R XR YRS XS YS= +
= + [1.92]
con X polinomio estable y mónico entonces, reemplazando 0R y 0S
0
lcAR BS XA+ = [1.93]
Si se elige 0lcA y X tal que
0
lclcA XA= [1.94]
se cumple que los polinomios
Clase 10 STR determinísticos.doc 32
0
0
i
i
R XR YRS XS YS= +
= + [1.95]
satisfacen d d lcA R R B S S A− −+ = [1.96]
Además se debe cumplir que ( ) ( ) ( )d dgrad X grad R grad S= + [1.97]
y el grado de Y ( ) ( ) ( ) 1d dgrad Y grad R grad S= + − [1.98]
Para calcular Y se supone que dR divide a R y dS divide a S.
Los coeficientes de Y se calculan
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
0 00 0
ii i i i d i
ii i i i d i
X z R z Y z R z para R zX z S z Y z S z para S z
− = =− = =
[1.99]
Clase 10 STR determinísticos.doc 33
Ejemplo 1.4. Acción Integral Agregar acción integral implica ( )1 0R =
Se supone que se ha calculado el controlador con 0R y 0S y se desea agregar una acción integral.
La mínima solución a la ecuación [1.91] es
i
i
R BS A
= −
= [1.100]
Se introduce un nuevo polo en lazo cerrado en 1x− por lo que X resulta
1X z x= + [1.101]
el polinomio Y es un escalar 0Y y= [1.102]
la ecuación [1.99] es de la forma (para que R tenga una raíz en 1) ( ) ( ) ( ) ( )0
1 01 1 1 1 0R x R y B= + − = [1.103]
de donde se despeja 0y
( ) ( )( )
0
0 111 1
Ry x B= + [1.104]
Clase 10 STR determinísticos.doc 34
el nuevo controlador es
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
010
1
010
1
1 11
1 11
x R B zR z z x R z
B
x R A zS z z x S z
B
+= + −
+= + −
[1.105]
Clase 10 STR determinísticos.doc 35
Ejemplo 1.5. Control del Motor con Acción Integral Planta discretizada
( ) 0 12
1 2
b q bG qq a q a
+=
+ + [1.106]
El regulador calculado anteriormente era ( ) 1R q q r= + [1.107]
( ) 0 1S q qs s= + [1.108]
( ) 0T q qt= [1.109]
2
1 11 2
0 01 11
0 0 1 12
0 0
1
b bp pb bb br
b b b b ab b
+ +
= − +
− −
[1.110]
( )1 2
11
00
1
1
p pk
bbb
+ +=
−
3 22 1 2 2 2
21
0 20
a p a p akbb ab
+ +=
−
[1.111]
Clase 10 STR determinísticos.doc 36
2 1
02 1
k ksa−
=−
1 1 0s k s= − 1 2
01
00
1t1
p pbbb
+ +=
−
[1.112]
La ley de control era 0 0 1 1 1 1k k k k ku t r s y s y ru− −= − − − [1.113]
Nuevo diseño:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
010
1
1 11i
x R B qR q q x R q
B+
= + − [1.114]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
010
1
1 11i
x R A qS q q x S q
B+
= + − [1.115]
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1 1
1 1 0 10 1
1 1i
x rR q q x q r b q b
b b+ +
= + + − ++
[1.116]
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1 1 2
1 0 1 1 20 1
1 1i
x rS q q x qs s q a q a
b b+ +
= + + − + ++
[1.117]
( ) 21 2i i iR q q qr r= + + [1.118]
Clase 10 STR determinísticos.doc 37
( ) ( )( )( )
( )( )( )
1 1 1 121 1 0 1 1 1
0 1 0 1
1 1 1 1i
x r x rR q q q r x b r x b
b b b b + + + +
= + + − + − + +
[1.119]
( ) 20 1 2i i i iS q q s qs s= + + [1.120]
( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
1 1 1 1 1 120 1 0 1 1 1 1 2
0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1i
x r x r x rS q q s q x s s a x s a
b b b b b b + + + + + +
= − + + − + − + + +
[1.121]
Nueva ley de control: 0 0 1 1 2 2 1 1 2 2k k i k i k i k i k i ku t r s y s y s y r u r u− − − −= − − − − − [1.122]
Clase 10 STR determinísticos.doc 38
x1=.8 y x1=.9
0 500 1000 1500 2000 2500-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 500 1000 1500 2000 2500-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Clase 10 STR determinísticos.doc 39
- Caso Adaptativo x1=.8, ff=1
0 500 1000 1500 2000 2500-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 50 100 150 200 250-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150 200 2500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x1=.9, ff=1
0 500 1000 1500 2000 2500-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 50 100 150 200 250-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150 200 2500
0.5
1
1.5
Clase 10 STR determinísticos.doc 40
1.4. Parametrización de Youla-Kucera
Teorema 1. Teorema de Youla-Kucera
Sea un sistema ( )( )
B zA z y ( )
( )0
0S z
R z un regulador estable, entonces, todo regu-
lador estable puede describirse como:
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
0
0
S z S z Q z A zR z R z Q z B z
+=
− [1.123]
con ( )Q z estable
- Demostración Primero se debe demostrar que el regulador [1.123] es estable, para lo que se intro-
duce ( ) ( )( )
Y zQ z
X z= , con lo que se puede escribir,
0
0
S XS YAR XR YB
+=
− [1.124]
en lazo cerrado queda
Clase 10 STR determinísticos.doc 41
( ) ( ) ( )0 0 0 0AR BS A XR YB B XS YA X AR BS+ = − + + = + [1.125]
dado que X y 0 0AR BS+ son estables, el sistema lo será. Para probar de que todos los polinomios son estables, se considera un regulador
S R que estabiliza el sistema, dando una función característica AR BS C+ = [1.126]
de donde, la ecuación [1.123] queda
0 0SR QSB RS QRA− = + [1.127]
por lo tanto
0 0 0 0SR RS SR RSQAR BS C
− −= =
+ [1.128]
que es estable ya que C lo es. -------------------fig 57---------------