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APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
CAPITULO 3
3.1 FUNCIONES SINGULARES .................................................................................. 2
3.1.1. Función Escalón Unitario ................................................................................................ 2
3.1.2. Función Rampa Unitaria ................................................................................................. 5
3.1.3. Función Impulso Unitario ................................................................................................ 6
3.2. CONDICIONES INICIALES .................................................................................. 8
3.2.1. Condiciones iniciales en un Capacitor ....................................................................... 8
3.2.2. Condiciones iniciales en un Inductor........................................................................... 9
3.3 RESPUESTA LIBRE ................................................................................................ 11
3.3.1. Circuito RC ..................................................................................................................... 11
3.3.2. Circuito RL ...................................................................................................................... 12
3.4. COMPORTAMIENTO DE ELEMENTOS EN CORRIENTE CONTINUA .................... 13
3.4.1. Capacitor ....................................................................................................................... 13
3.4.2. Inductor .......................................................................................................................... 14
3.5. RESPUESTA DE FUNCIONES SINGULARES ......................................................... 14
3.5.1. Respuesta escalón de un circuito. ............................................................................. 15
3.6. RESPUESTA COMPLETA DE UNA RED ................................................................ 18
3.7. CIRCUITOS RL Y RC ........................................................................................... 21
3.7.1 Circuito RL sin fuente: ..................................................................................................... 21
3.7.2. Circuito RC sin Fuente..................................................................................................... 25
3.7.3 Accionamiento de Circuitos RL .................................................................................... 29
3.7.4. Accionamiento de Circuito RC ..................................................................................... 31
3.8 CIRCUITOS RLC .................................................................................................... 32
3.8.1 Circuito RLC en Paralelo................................................................................................. 32
3.8.1.1 Circuito RLC en Paralelo Sobreamortiguado............................................................. 34
3.8.1.2 Amortiguamiento Crítico ............................................................................................. 35
3.8.1.3 Circuito RLC en Paralelo Subamortiguado ............................................................... 37
3.8.2 Circuito RLC en Serie ...................................................................................................... 40
3.9. CONCLUSIONES ................................................................................................ 42
3.10. RECOMENDACIONES ...................................................................................... 42
3.11. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................... 42
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APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
CAPITULO 3
Respuesta Libre y Completa
ResumenEl objeto de este documento es estudiar los conceptos de la respuesta
libre y completa de los circuitos eléctricos, estudiaremos las funciones singulares,
determinaremos las condiciones iniciales, analizaremos las respuestas de los circuitos
tanto como la respuesta libre, respuesta de funciones singulares, respuesta completa
de una red, y por último veremos el comportamiento de circuitos RC y RL.
INTRODUCCIÓN
Una vez consideramos individualmente los tres elementos pasivos (Resistores,
Capacitores, Inductores) y un elemento activo (Fuente), se está preparando para
considerar circuitos que contienen diversas combinaciones de dos o tres elementos
pasivos. En este tema se analizara dos tipos de circuitos simples: un circuito que
comprende un resistor y un inductor se llama circuito RL y un circuito que comprende
un resistor y un capacitor se llama circuito RC. Como se verá, tan simple como son,
estos circuitos tienen aplicaciones como en la electrónica las comunicaciones y
sistemas de control.
Utilizaremos las ecuaciones diferenciales que son el resultado del análisis de circuitos
tanto RC y RL que son de primer orden.
Además que hay dos tipos de circuitos de primer orden (RC y RL), hay dos maneras
de excitarlos. La primera es mediante las condiciones iniciales de los elementos
almacenamiento de los circuitos y se los conoce como circuitos sin fuente. La
segunda forma de excitar circuitos de primer orden es mediante fuentes
independientes.
Puede haber una combinación de todos los tres elementos pasivos y se llama
circuitos RLC y su manera de excitar es parecida a los RC o RL, pero análisis da como
resultado ecuaciones de segundo orden que iremos resolviendo el transcurso del
informe.
3.1 FUNCIONES SINGULARES
Las funciones singulares son aproximaciones de formas de onda de la acción de
un interruptor. La dificultad matemática de la idealización de estas funciones entra en
la idea de que la interrupción ocurre en el tiempo cero. Así se el interruptor se cierra
en el tiempo cero será conveniente comparar este instante en dos partes; 0-, el
instante justo antes que se cierre el interruptor; y 0+ en el instante justo después de que
se cierra el interruptor. Existen tres funciones singulares más ampliamente utilizadas en
el análisis de circuitos: función escalón unitario, función impulso unitario y la función
rampa unitaria.
3.1.1. Función Escalón Unitario
La función escalón unitario ( )es 0 para los valores negativos de t y 1 para los
valores positivos de t. La función escalón unitario está definida por t=0, donde cambia
abruptamente de 0 a 1 ahí es indeterminada. No tiene dimensión, comparado con las
funciones matemáticas seno y coseno. Utilizamos la función escalón unitario para
representar un cambio brusco en la corriente o la tensión, similar a los cambios que
ocurren en circuitos de sistemas de control. Su grafica se aprecia en la siguiente Fig.1
( )
Ecuacion.1
3
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1
tu
-1 (
t)
Figura 1: Función Escalón Unitario
Puede resultar conveniente y trabajar a veces, con funciones escalón desplazados
del tiempo t=0 en este caso tendremos como se ve en la Fig.2.
( )
Ecuacion.2
t
u-1 (
t)
a
Figura 2: Función escalón desplazada
Mediante el uso del cambio de la amplitud y del desplazamiento de esta función se
puede construir otras formas de ondas pulsatorias.
Ejemplo.3.1.1 El pulso rectangular de la Fig.3a.
g(t
)
t1 2
4
Figura 3(a)
4
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g(t)
t1
-4
2
Figura 3(b)
El pulso rectangular se puede obtener mediante la suma de dos funciones
escalón según se visualiza en la Fig. 3b, donde la función se escribe como:
( ) ( ) ( ) ( )
También se puede ver el comportamiento de esta función simulando en pspiece
como veremos en la Fig. 4.
10Vdc 1K
Figura 4 (a): Circuito Simulado
Figura 4(b): Grafica de la simulación
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3.1.2. Función Rampa Unitaria
Si integramos la función escalón unitario obtenemos la función rampa unitaria, esta
función es cero para todos los valores negativos de t y tiene una pendiente unitaria
para los valores positivos de t como se ve en la fig. 5
( ) ∫ ( )
Ecuacion.3
( )
Ecuacion.4
t
u-1 (
t)
Figura 5: Función Rampa Unitaria
Puede resultar conveniente y trabajar a veces, con funciones rampa desplazados
del tiempo t=0 en este caso tendremos como se ve en la Fig. 6.
( )
Ecuacion.5
t
u-1 (
t)
a Figura 6: Funcion Rampa Trasladada t=a
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3.1.3. Función Impulso Unitario
Es la derivada de la función escalón unitario.
( )
( ( ))Ecuacion.6
Donde: δ (t) es cero en todas partes excepto en t=0, donde esta indefinida.
t
uo
(t)
t
uo
(t)
Δ
1
Figura 7(a): Función Rampa Unitaria Figura 7(b): Función Rampa
Derivando la función escalón es:
( )
Ecuacion.7
Podemos sacar la ecuación de la recta de la Fig. 3b. y obtenemos:
(x) Ecuacion.8
Ecuacion.9
Si Δ =0, y=∞ y el área del rectángulo de la Fig.4 siempre va a ser 1.
t
uo
(t)
Δ
1
Figura 8: Demostracion de la Funcion Impulso
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Un impulso unitario que ocurre en t= a como se ve en la Fig.9 se describe por:
( ) Ecuacion.10
t
uo
(t)
a
Figura 9: Funcion Impulso
Un impulso de valor A para t = a se describe por:
( ) Ecuacion.11
También se puede analizar esta función simulando en pSpiece como se ve en
la Fig.10 a y Fig.10b.
Impulso
V=9v
C
1uF
R
1K
Figura 10 (a)
Figura 10(b)
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3.2. CONDICIONES INICIALES
Las condiciones iniciales de un circuito nos ayudan a encontrar la solución de las
ecuaciones diferenciales que se dan al resolver los distintos circuitos transitorios, esto
conlleva a dar un análisis profundo del circuito dado en un tiempo t=0s, en
consecuencia encontraremos dichas condiciones iniciales, para esto existen dos
posibilidades de obtenerlas, mediante:
A través de la ecuación diferencial que describe la red.
A través del conocimiento del comportamiento físico de los elementos R, L y C.
Ahora si utilizamos cualquiera de los dos medios debemos analizar las
condiciones iniciales que se pueden dar en los distintos elementos y analizar con dos
distintos tipos de vista una antes y otro después del tiempo en t=0 que tomaría los
valores de y respectivamente.
3.2.1. Condiciones iniciales en un Capacitor
En un circuito con capacitor la relación voltamperímetrica en t=0 es
( )
∫ ( ) (
)
Ecuacion.12
Observamos si la corriente del circuito dado tiene o no impulsos para poder definir
las condiciones iniciales respectivas, para ello tenemos dos posibilidades:
Si la corriente del circuito tiene impulsos el voltaje antes de 0 no sería igual al voltaje
después de 0.
( ) ( )
Por otro lado si la corriente del circuito no tieneimpulsos el voltaje antes de 0 es igual
al voltaje después de 0.
( ) ( )
Ahora cuando no existe carga inicial en el capacitor ( ) concluimos que su
circuito equivalente para t=0 es un cortocircuito. Si analizamos el comportamiento del
capacitor con el principio de conservación de carga, que si existe un cambio brusco
de voltaje en el capacitor implica un cambio instantáneo de la carga, por lo tanto su
corriente sería infinita, pero como no existe corriente infinita el voltaje no puede cambiar instantáneamente, por lo que en t=0 al capacitor podemos cambiar por una
fuente de voltaje si existe una carga inicial o por un cortocircuito si no existe la carga
inicial.
Ejemplo.3.1.2. Considerar la red RC el interruptor se cierra en t=0 y asumimos que no
existe carga inicial en el capacitor. Hallar las condiciones iniciales ( ) para la
ecuación diferencial del circuito.
DC
C
S
i(t)
R RDC io(t)
Figura 11(a): Red RC para ( ) Figura 11(b): Red equivalente para ( )
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En la figura 11a tenemos que la ( ) , en cambio en la figura 11bla corriente nos
queda ( )
Ecuacion.13
Por lo tanto la condición final o solución permanente se obtiene de nuestros
conocimientos sobre circuitos de corriente continua.
( ) ( ) Ecuacion.14
En la figura 12a y 12b podemos observar la variación del voltaje y la corriente
respectivamente del circuito. La única diferencia es la escala de la una con la otra.
Figura 12(a): Variación del Voltaje antes y después de t=0.
Figura 12(b): Variación de la Corriente antes y después de t=0.
3.2.2. Condiciones iniciales en un Inductor
En un circuito con capacitor la relación voltamperímetrica en t=0 es:
( )
∫ ( ) (
)
Observamos siel voltaje del circuito dado tiene o no impulsos para poder definir las
condiciones iniciales respectivas, para ello tenemos dos posibilidades:
Si el voltaje del circuito tiene impulsos la corriente antes de 0 no sería igual a la
corriente después de 0
( ) ( )
Por otro lado si el voltaje del circuito no tieneimpulsos la corriente antes de 0 es igual
a la corriente después de 0
( ) ( )
Ahora cuando no existe corriente inicial en el inductor ( ) concluimos que su
circuito corresponde a un circuito abierto al tiempo , deduciendo del hecho que
la corriente a través del inductor no puede cambiar instantáneamente por los flujos
concatenados.
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APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
Ejemplo.3.2.1. En el siguiente circuito el interruptor cierra al tiempo t=0. Hallar las
condiciones iniciales.
DC
S
L
R
DC i(0+) L
R
Figura 13(a): Red RL para ( ) Figura 13(b): Red equivalente para ( )
En la figura 13b tenemos que la
( )
Por lo tanto la condición final o solución permanente se obtiene de nuestros
conocimientos sobre circuitos de corriente continua y nos quedaría
( ) ( )
En la figura 14a y 14b podemos observar la variación del voltaje y la corriente
respectivamente del circuito. La única diferencia es la escala de la una con la otra.
Figura 14(a): Variación del Voltaje antes y después de t=0.
Figura 14(b): Variación de la Corriente antes y después de t=0.
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3.3 RESPUESTA LIBRE
Respuesta libre es el comportamiento natural o transitorio de un circuito, es la
respuesta de la red excitada por la energía inicial almacenada en sus elementos,
debido a que sus corrientes y voltajes decrecen a 0 después de un cierto tiempo.
3.3.1. Circuito RC
S
CR i(t) Eo
Figura 15: Respuesta Libre Circuito RC
Para observar la respuesta libre de este circuito suponemos que el capacitor ha sido
cargado anteriormente a un voltaje .
( )
Ahora la ecuación diferencial que describe el comportamiento de este circuito es:
∫ ( )
Ecuacion.15
Si derivamos la variable i (corriente) de la ecuación anterior con respecto al tiempo
nos queda de la siguiente forma
Ecuacion.16
Ahora si separamos las variables i(t) y (t) tenemos
∫
∫
Para obtener una respuesta más simple sacamos el exponencial de cada parte de
la ecuación y nos debe quedar:
( )
Ecuacion.17
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A la ecuación que llegamos tiene la forma decreciente de la siguiente figura.
Figura 16: Grafica Respuesta Libre Circuito RC
Para graficar pusimos una corriente inicial de 10 con una resistencia de con un
capacitor de 2F.
El valor de la corriente inicial de la corriente se calcula para t=0. En este instante el
voltaje sobre el capacitor es y aparece a través de la resistencia con un valor
inicial.
Quedando
( )
Entonces el voltaje de la resistencia será:
( )
Ecuacion.18
3.3.2. Circuito RL
S
LR Io
Figura 17: Respuesta Libre Circuito RL
La ecuación diferencial del circuito dado es:
Ecuacion.19
Ahora si separamos las variables tenemos
0
2
4
6
8
10
12
0 10 20 30 40 50
Series1
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∫
∫
Para obtener una respuesta más simple sacamos el exponencial de cada parte de
la ecuación y nos debe quedar
( )
Ecuacion.20
A la ecuación que llegamos es aparente a la anterior, pero con la diferencia de la
constante que multiplica al tiempo (t). Por lo tanto la gráfica de esta ecuación va a
tener la misma forma que la anterior, pero no los mismos datos.
3.4. COMPORTAMIENTO DE ELEMENTOS EN CORRIENTE CONTINUA
El comportamiento de los diferentes componentes en corriente continua varía con
respecto a la corriente alterna ya que en casos específicos como el capacitor y el
inductor se les pueden tomar como cortocircuito o circuito abierto dependiendo el
estado en el que se encuentra el circuito para esto vamos a observar los casos del
capacitor y del inductor.
3.4.1. Capacitor
En un circuito de corriente continua con capacitor se les puede considerar como
circuito abierto ya que al estar cagados completamente el voltaje se vuelve
constante por lo que la corriente se hace cero, entonces no se les toma en cuenta
para el análisis del circuito.
Ejemplo.3.4.1. En el siguiente ejemplo vamos a observar cómo se debe tomar al
capacitor en un circuito con corriente continua.
C2R1
DC
C1
R2
R3
Figura 18: Circuito con Capacitor en Corriente Continua
Entonces después de un cierto tiempo los capacitores están cargados
completamente se les puede tomar como circuitos abiertos, entonces el circuito nos
quedará de la siguiente forma.
R1
DC
R2
Figura 19: Circuito en Corriente Continua
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En consecuencia como el capacitor 1 (C1) estaba en serie con la resistencia 3 (R3)
desaparece esa rama y no se toma en cuenta el capacitor 2 (C2) ya que estaba en
paralelo con la resistencia 2 (2), por lo tanto nos quedan en seria las resistencias 1 y 2
(R1) y (R2).
3.4.2. Inductor
En un circuito de corriente continua con inductor al contrario de los capacitores al
inductor se le toma como cortocircuito ya que cuando el inductor se carga
completamente la corriente se hace una constante y el voltaje se hace cero,
entonces el inductor se le puede tomar como un alambre que conecta los elementos
que están a su lado.
Ejemplo.3.4.2. En el siguiente ejemplo vamos a observar cómo se debe tomar al
inductor en un circuito con corriente continua.
DC
L1
R1 R3
R2
Figura 20: Circuito con Inductor en Corriente Continua
Entonces después de un cierto tiempo los inductores están cargados
completamente se les puede tomar como cortocircuitos, entonces el circuito nos
quedará de la siguiente forma.
DC R1
R2
Figura 21: Circuito en Corriente Continua
En consecuencia como el inductor 1 (L1) estaba en serie con la resistencia 2 (R2) se
elimina el inductor y solo nos queda la resistencia ya que el inductor se cortocircuito,
en cambio la resistencia 3 (R3) desaparece ya que el inductor 2 (L2) está en paralelo
con esta y como se cortocircuita va a quedar una línea conectada directamente a la
resistencia 1 (R1), en consecuencia la corriente va a pasar por está en vez de pasar
por la resistencia 3 (R3), porque hay menos resistencia.
3.5. RESPUESTA DE FUNCIONES SINGULARES
Con las ideas y reglas establecidas en los numerales anteriores, podemos empezar
a definir una serie de funciones muy sencillas (por eso se llaman singulares), que
nosservirán para representar todas las otras funciones físicamente realizables. Como
fue posible observar, en las funciones singulares el valor es cero desde hasta un
dado; esta característica nos permite simular cambios en las condiciones de los
circuitos, cambios ocurridos precisamente en ese dado.
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APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
3.5.1. Respuesta escalón de un circuito.
En la Fig.1 se muestra un circuito elemental con un interruptor que se cierra en . Sabemos que si el interruptor está abierto, i = 0, y que cuando se cierra . ¿Pero
sí cambia la corriente instantáneamente de 0 a ? No, la naturaleza no permite esos
cambios bruscos; lo seguro es que el circuito contiene algunas pequeñas
inductanciasque retardan el cambio de la corriente y hacen suave la transición de su
valor entre 0y . Pero como esta transición es tan rápida, la podemosasumir
instantáneamente en este caso y representarla por la función escalón unitario (Fig. 2).
El circuito puede representarse,entonces, como se muestra en la Fig. 3, en la cual seha
reemplazado la fuente y el interruptor por una fuente devoltaje escalón.
E R
S
Figura 22: Circuito con cierre de interruptor.
i
tt0
i= E/R
Figura 23: Función Escalón que representa el fenómeno.
Es muy importante tener una imagen “física”ó “práctica” de las cosas que se
presenta en los circuitoseléctricos, por lo tanto, obsérvese como se logra en la
prácticauna fuente de voltaje escalón, utilizando una fuente devoltaje constante (una
batería, por ejemplo) y un interruptor.
U(t-t0) R
S
Figura 24: Circuito equivalente con la función escalón.
En el caso de que se tenga una fuente de corriente y no una de tensión, el
respectivo interruptor se colocaría en paralelo con dicha fuente y no en serie como en
el caso descrito anteriormente.
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APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
Ejemplo.3.5.1. Encontrar la respuesta al impulso del circuito de la Fig. 4.
U-1(t)
i(t)
Figura 25.
El capacitor al no tener energía almacenada se comporta como un circuito abierto al
aplicar el escalón. La corriente i(t)completa del circuito tendrá un respuesta natural
debida al inductor y otra forzada debida a la fuente.
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
Como ( ) , y reemplazando en ( ), tenemos:
( )
Por lo tanto la corriente completa:
( ) ( )
( )
( ) ( )
(
)
Ejemplo.3.5.2. Encontrar ( ), del circuito de la Fig. 26.
50 V
50 µ-1(t) 2Ω
6Ω 3H
i(t)
Figura 26: circuito RL.
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Para , solo la fuente de 50V entra en funcionamiento. Si el circuito ha
estado alimentado permanentemente por dicha fuente el inductor de 3H se comporta
como un corto circuito hasta que entre en funcionamiento la segunda fuente escalón.
Con este análisis podemos hallar la corriente por el inductor y por ende por la
resistencia de 2Ω. Por lo tanto:
( ) ( )
Una vez que entra en funcionamiento la segunda fuente, el voltaje toma la forma de
la Fig. 26. Por lo tanto, para , tendremos una respuesta natural debido a que el
inductor quedó cargado anteriormente, y una respuesta forzada debida a la suma de
las dos fuentes de 50V.
V
t
50
100
0
Figura 27: respuesta escalón del circuito.
La corriente forzada se da por:
( )
La corriente natural está dada por:
( )
Donde
, de la Fig. 7.
3/2Ω 3H
Figura 28: circuito equivalente sin fuentes.
Por lo tanto la respuesta completa del circuito se encuentra sumando ambas
respuestas:
( )
( )
Por lo tanto:
( )
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3.6. RESPUESTA COMPLETA DE UNA RED
La respuesta completa de una red está compuesta por dos partes: una forzada y
otra natural. La respuesta forzada es aquella que presenta el circuito debida a la
presencia de fuentes y que va a ser permanente. La respuesta natural es aquella que
presenta el circuito debido a elementos capacitivos o inductivos; y que va a ser
temporal o transitoria.
La respuesta naturalpor ser dependiente de elementos transitorios como
capacitores e inductores, tendrá la forma de una exponencial.
Donde es la constante de tiempo dependiendo si el circuito es RC o RL.
La respuesta forzada es la que dominará el circuito una vez que el efecto de los
elementos transitorios desaparezca, es decir, cuando . Para este tipo de
respuesta el circuito dependerá únicamente de las fuentes, recordando el
comportamiento de los capacitores e inductores para un estado permanente: el
capacitor se comporta como un circuito abierto y el inductor como un corto circuito.
Para hallar la respuesta total del circuito solo es necesario sumar la respuesta
natural y la respuesta forzada. Para ello podemos utilizar la siguiente fórmula:
( ) ( ) [ ( ) ( )] Ecuación.21
Donde ( ) es la tensión inicial en , y ( ) es el valor final o estado
permanente del circuito. Por lo tanto, para obtener la respuesta de escalón de un
circuito RC se requieren tres datos:
- La tensión inicial del capacitor ( ) - La tensión final del capacitor ( ).
- La constante de tiempo.
Es importante recordar que si el interruptor cambia de posición en , en vez de
, hay un retraso en la respuesta, de modo que la Ec.1 se convierte en:
( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) Ecuación. 22
La Ec.1 y Ec.2 solo se aplica a respuestas de escalón; es decir, cuando la excitación
de entrada es constante. A continuación se mostrará el siguiente ejemplo para
esclarecer los conceptos.
Ejemplo.3.6.1.El interruptor de la Fig.8 ha estado mucho tiempo en la posición A. En
, se mueve a B. Determinar ( )del capacitor para y calcule su valor en
y .
24 V 30V
A B
t=03kΩ
5kΩ
4kΩ
0.5mF
Figura 29: circuito RC con fuentes.
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APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
Para , el interruptor está en la posición A. El capacitor actúa como un circuito
abierto en cd, pero es igual a la tensión a lo largo del resistor de . Por lo tanto, la
tensión del capacitor justo antes de se obtiene por una división de tensión como
sigue:
( )
( )
Con base en el hecho de que la tensión del capacitor no puede cambiar
instantáneamente de valor, se tiene:
( ) ( ) ( )
Para , el interruptor está en la posición B. La resistencia de equivalente conectada
al capacitor es de , y la constante de tiempo es:
.
Dado que el capacitor actúa como un circuito abierto en cd en estado estable,
( ) V. Por consiguiente,
( ) ( ) [ ( ) ( )]
( ) [ ]
V
En ,
( ) V
En
( ) V
Cuando se hable de circuitos RL, la respuesta completa estará dada en función de
la corriente que esta atravesando al inductor L. Esta respuesta esta dada por la
siguiente expresión que se asemeja a la Ec.1 anteriormente mencionada:
( ) ( ) [ ( ) ( )] Ecuación.23
Donde ( ) e ( ) son los valores inicial y final de ; y . Así, para hallar la
respuesta escalón de un circuito de un circuito RL se requieren tres datos:
- La corriente inicial de inductor.
- La corriente final del inductor.
- La constante de tiempo .
Para la resolución de circuitos RL se procederá de manera similar como cuando
teníamos circuitos RC pero considerando el comportamiento de los inductores. A
continuación se realizará un ejemplo ilustrativo de cómo resolver este tipo de
problemas.
Ejemplo.3.6.2.Halle ( ) en el circuito de la Fig.30 para . Suponga que el interruptor
ha estado cerrado por mucho tiempo.
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APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
10V
2Ω 3Ω
1/3 H
i
t=0
Figura 30: circuito RL con interruptor.
Cuando , el resistor de está en cortocircuito y el inductor actúa como un
cortocircuito. La corriente que circula por el inductor en es:
( )
Como la corriente del inductor no puede cambiar drásticamente,
( ) ( ) ( )
Cuando , el interruptor está abierto. Los resistores de 2 y están en serie, por
tanto,
( )
La resistencia equivalente por las terminales del inductor es:
En cuanto a la constante de tiempo,
Al aplicar la Ec.23 tenemos,
( ) ( ) [ ( ) ( )]
( ) [ ]
( ) , .
Como comprobación de la respuesta podemos aplicar la LTK para , en la
FIg.30; lo que nos daría:
[ ] [
( )( ) ]
Esto confirma el resultado.
21
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3.7. CIRCUITOS RL Y RC
3.7.1 Circuito RL sin fuente:
Los circuitos RL son aquellos que contienen una resistencia y un inductor, sea en
serie o paralelo.
Considerando el circuito RL en serie que se muestra en la figura 31, se designa la
corriente variable en el tiempo como )(ti en 0t como 0I .
R L+
VR
-
+
VL
-
i(t)
Figura 31: Circuito RL en Serie
De acuerdo con la Ley de Voltajes de Kirchhoff:
0.
0
L
LR
VRi
VV
Reemplazando el voltaje en el inductor nos da la siguiente ecuación
diferencial:
0. dt
diLRi
En razón de que la corriente es 0I en 0t e )(ti en el tiempo t , se igualarían
las dos integrales definidas que se obtienen al integrar cada miembro entre los
límites correspondientes:
)(
)ln())(ln(
ln
)ln(
0
)(
0
)(
0
0
0
0
tie
ItitL
R
itL
R
i
didt
L
R
ItL
R
ti
I
t
ti
I
t
Resolviendo la ecuación diferencial la corriente t nos resulta:
t
L
R
eIti
0)( Ecuación.24
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APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
Ejemplo3.7.1. Si el inductor de la figura 32 tiene una corriente AiL 2 en 0t
encontrar )(tiL para toda 0t en nst 200 con 200R y mHL 50 .
200 Ω 50mH
Figura 32: Circuito RL simple en el que la energía se almacena en el inductor en 0t
De la ecuación.1 la corriente que circula por el inductor es de la forma:
tL
R
L eIti
0)(
Reemplazando valores:
mAnsi
Aensi
L
mHL
65,898)200(
2)200(610x200
50
200
Ejemplo 3.7.2. En el circuito de la figura 33 calcular la tensión marcada como V en
mst 200 .
40 Ω
10 Ω
5H
24V
t=0iL
+
V
-
(a)
40 Ω
10 Ω
5H24ViL
+
V
-
t<0
(b)
40 Ω
10 Ω
5H iL
+
V
-
t>0
(c)
Figura 33: (a) Circuito RL simple con un interruptor disparado en t=0.
(b) El circuito como se encuentra antes de t =0.
(c) El circuito después de que es activado y se ha quitado la fuente de 24V.
23
APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
El Vv 24
debido a que se encuentra un inductor.
Puesto que el inductor actúa como un cortocircuito ante una corriente directa:
Ai
vi
Riv
L
L
4,20
10
240
.
Por lo tanto en el circuito de la figura 33c:
VV
AV
Ai
eIi
eIti
L
R
tL
R
96
404,2
4,2)0(
)0(
)(
0.
0
0
Con referencia en el circuito de la figura 33c, aplicando LVK:
010. dt
diLiV L
Resolviendo la ecuación diferencial:
)(.
)ln()ln(10
5
40.
4
5
..4
5
.4
5
0.10.40
10
0
0
tVeV
VVt
V
dVdt
H
V
dVdt
L
R
dt
dv
R
LV
dt
dv
R
LVV
t
El voltaje en la resistencia t nos resulta:
VetV t1096)(
24
APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
Ejemplo 3.7.2 Simulado en PSpice.
(a)
(b)
(c)
Figura 34: (a) Circuito a simular en PSpice.
(b)Voltaje en la resistencia de 10Ω.
(c) Corriente en el inductor
405H
1
2V-
0
U1
01
2
10
V1
24
V+
25
APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
3.7.2. Circuito RC sin Fuente
Estudiaremos el circuito de la figura 35, es decir, un condensador de valor C
conectado a una resistencia de valor R.
R C
+
V
-
i
Figura 35: Circuito RC sin fuente
La corriente total que sale del nodo de la parte superior del esquema de
circuito debe ser cero, por lo que se escribe:
R
Vti
dt
dvCti
R
C
)(
)(
0R
v
dt
dvC Ecuación.25
Dividiendo para C la ecuación 25 no queda:
)ln(
0
0
0
)(
0
0
)(
)ln()(ln
)ln()(ln
1
VRC
t
ttv
V
eetv
VRC
ttv
RC
tVtv
dtRC
dv
RC
t
eVtv
0)( Ecuación. 26
Ejemplo 3.7.3. Encontrar la tensión marcada v en nst 200 del circuito de la figura
36.a.
2 Ω+
V
-
4 Ω
9V
t=010uF
(a)
26
APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
2 Ω
4 Ω
9V 10uF
t<0
+
V
-
(b)
2 Ω
4 Ω
10uF
+
V
-
t>0
(c)
Figura 36: (a) Circuito RC simple con un interruptor disparado en t=0.
(b) El circuito como se encuentra antes de t =0.
(c) El circuito después de que es activado y se ha quitado la fuente de 9V.
Se supone que cualquier transitorio en ese circuito desapareció hace mucho
tiempo y quedó en un circuito CC puro.
Vv 9)0( Ecuación. 27
La tensión en el capacitor debe ser igual en ambos circuitos en 0t y
aplicando la Ecuación 24: y reemplazando la Ecuación. 27:
mVv
Vev
eVtv RC
t
1,321)10x200(
9)10x200(
)(
6
10x10.6
10x200
6
0
6
6
Ejemplo 3.7.4. Determinar i y v en el circuito de la figura para 0t .
+
V
-
100V 150 Ω
50 Ω
75 Ω
i
t=0
10H
(a)
27
APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
+
V
-
100V 75 Ω50 Ω150 Ω
i
t<0
(b)
t>0
+
V
-
150 Ω
50 Ω
75 Ω
10Hi
(c)
Figura 37: (a) Circuito RC simple con un interruptor disparado en t=0.
(b) El circuito como se encuentra antes de t =0.
(c) El circuito después de que es activado y se ha quitado la fuente de 100V.
Por medio del circuito 37.b hallamos la corriente:
Ai
i
2)0(
50
100)0(
100Re
75150
75.15050Re
q
q
Analizando el circuito 37.c hallamos el voltaje que pasa por el inductor y la
resistencia de 50 Ω:
t
t
tL
R
eti
eti
eIti
10
10
100
0
2)(
2)(
)(
tt
tt
eetV
eetV
dt
diLiRtV
1010
1010
200100)(
)10)(10(2)50(2)(
)(
El voltaje en la rama del inductor t es:
tetV 10100)(
Ejemplo 3.7.5. Determinar en la figura 38.a 1i e 2i 0t .
DC
120 Ω
60 Ω
90 Ω
50 Ω
2 mH 3 mH18 V
t=0
1 mH
i1
iL
(a)
28
APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
120 Ω
60 Ω
90 Ω
50 Ω
2 mH 3 mH1 mH
i1
iL
(b)
Figura 38: (a) Circuito con resistencias e inductores múltiples.
(b) Después de t =0, el circuito se simplifica a una resistencia equivalente de 110Ω en serie con
Leq=2,2mH.
Después de t=0 cuando la fuente de tensión se desconecta como se muestra en la
figura 38b , secalcula con facilidad una resistencia e inductancia equivalente:
mH2,2132
3x2
eqL
11050
18090
1206090eqR
Antes de la apertura del interruptor en 0t :
mAiL 36050
18
En razón de que 00 LL ii entonces:
0360
036050000 tmAe
tmAi
tL
Mediante un divisor de corriente hallamos 01i :
mAii L 240
180
1
90
190
1
001
Por consiguiente:
0240
024050000 tmAe
tmAi
tL
29
APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
3.7.3 Accionamiento de Circuitos RL
Un circuito compuesto por una batería cuya tensión es V0 en serie con un
interruptor, una resistencia R y un inductor L, se puede sustituir la batería y el interruptor por una función forzada de escalón de tensión Vou(t), siendo los dos circuitos idénticos.
Vo
R t=0
L
i (t)
(a)
V0u(t)
R
L
i (t)
(b)
Figura 39: (a) Circuito dado.
(b) Circuito equivalent6e que posee la misma res puesta i(t) para cualquier tiempo.
Al aplicar la LKV en el circuito de la figura 39b, se tiene:
KtiRVR
L
dtiRV
Ldi
dtiRV
Ldi
iRVdt
diL
tuVdt
diLiR
i t
.ln
.
.
.
.
0
0 00
0
0
0
Para evaluar K, debe referirse a una condición inicial. Antes 0t , i(t) es cero, y
por ello 00 i . Puesto que no se puede cambiar la corriente en un inductor
por una cantidad finita en el tiempo cero sin que se asocie una tensión infinita,
se debe tener 00
Li . Dejando 0i en 0t , se obtiene:
30
APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
L
Rt
L
Rt
L
Rt
eR
V
R
Vi
eR
Vi
eV
iRV
tViRVR
L
VR
LtiRV
R
L
VR
LK
it
00
0
0
0
00
00
0
1
.
ln.ln
ln.ln
ln
00
Ecuación. 28
Respuesta Forzada Respuesta Natural
R
V0 L
Rt
eR
V 0
Ejemplo 3.7.6. Determinar para todos los valores de tiempo en el circuito de la figura
40.
50u(t)V
50V
2Ω
6Ω 3H
i(t)
Figura 40: Circuito dado.
Hallamos la constante de tiempo:
sR
L
eq
25,1
3
Y si se recuerda que:
nf iii
La respuesta natural es:
Akei t
n
2/
0t
El inductor actúa como un cortocircuito, de modo que:
Ai f 502
100
Por lo tanto:
AKei t5,050 0t
31
APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
Para K se debe establecer el valor inicial de la corriente es igual a 25 y no
puede cambiar en forma instantánea; en consecuencia:
K 5025 o
25K Por consiguiente,
Aei t5,02550 0t
Se completa la solución al establecer también
Ai 25 0t
O escribiendo una expresión simple válida para cualquier t,
Atuei t5,012525
3.7.4. Accionamiento de Circuito RC
La respuesta completa de cualquier circuito RC también se obtiene como la
suma de las respuestas natural y forzada.
Esta etapa será mostrada mediante el siguiente ejemplo:
Ejemplo 3.7.7. Determinar la expresión de )(tv en el circuito de la figura que sea válida
en 0t .
22uF
10Ω
4,7Ω)(5 2000 tue t
+
V
-
Figura 41: Circuito RC simple controlado por una función forzada.
La respuesta completa es de la forma:
nf vvtv )(
Hallamos la resistencia equivalente:
7,14107,4eqR
La constante de tiempo es:
usCReq 4,323 1310092,31 sx
Mediante la LVK para t>0 se tiene que:
tvtie t 7,145,23 2000
32
APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
Con un poco de simplificación:
dttvedv
tvdt
dve
tvdt
dvxe
tvdt
dvCe
t
t
t
t
14,309245.72665
14,309245,72665
41023,35,23
7,145,23
2000
2000
2000
2000
La siguiente ecuación permite hallar la respuesta completa:
PtPtPt AedtQeetv )(
Donde
310x092,31
P y VAedteetQ ttt 14,309214,3092200045,72665)(
Por lo tanto:
VAedteeetv tttt 14,309214,309220003092 45,72665)( Ecuación.29
La única fuente está controlada por una función escalón con un valor de cero
para 0t , por lo que se sabe que 0)0( v . Puesto que v es una tensión del
capacitor, )0()0( vv , y por lo que se encuentra de manera muy sencilla la
condición inicial 0)0( v .Sustituyendo esta expresión en la ecuación 29 se
encuentra que VA 55.66 , por lo que:
,55.66)( 30922000 Veetv tt 0t
3.8 CIRCUITOS RLC
3.8.1 Circuito RLC en Paralelo
Para este análisis se supone que, inicialmente, se podría almacenar la energía
en el inductor y en el capacitor, es decir, se presentarían valores iniciales distintos de
cero tanto en la corriente del inductor como en la tensión del capacitor.
R L C
v
i
Figura 42: Circuito RLC en paralelo sin fuente.
33
APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
La siguiente ecuación representa la figura42:
01
dt
dvCvdt
LR
V
Ecuación.30
Cuando ambos lados de la ecuación 30 se diferencian una vez con respecto al
tiempo, el resultado consiste en una ecuación diferencial, lineal homogénea
de segundo orden.
01
01
2
2
2
2
L
V
dt
dv
Rdt
vdC
dt
vdC
L
V
dt
dv
R
Resolviendo la ecuación diferencial:
011
0
2
2
Ls
RCsAe
L
Ae
R
AseeAsC
st
ststst
0stAe No es solución porque se supone que hay condiciones iniciales.
LCRCRCs
C
LC
RRs
Ls
RCs
1
2
1
2
1
2
14
11
011
2
2,1
2
2,1
2
Respuesta Natural: tsts
eAeA 21
21v
Frecuencia Resonante:
LC
10
Ecuación. 31
Frecuencia de Neper
RC2
1 Ecuación. 32
1s , 2s son cantidades denominadas frecuencias complejas.
2
0
2
2
2
0
2
1
s
s
34
APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
3.8.1.1 Circuito RLC en Paralelo Sobreamortiguado
Cuando la Frecuencia de Neper es mayor a la frecuencia resonante.
0
Ejemplo 3.7.8. Para el circuito de la figura 43 determinar las constantes arbitrarias 1A y
2A , según las condiciones iniciales.
6Ω 7H 1/42 F
v
iiR iC
Figura 43: Circuito RLC en paralelo sobreamortiguado.
Dados los valores de R=6Ω, L=7H y C=1/42 F y reemplazando valores en las
ecuaciones 31 y 32 se encuentra:
1
5,3
1
s
6
6
2
0
s
Y de inmediato se escribiría la forma general de la respuesta natural:
6
2
1
1)( eAeAtv
Para determinar los valores de A1 y A2 consideramos que:
0)0( v
Y por lo tanto:
210 AA Ecuación. 33
Se toma la derivada de v(t) con respecto al tiempo de la ecuación, se
determina el valor inicial de la derivada mediante el uso de la condición inicial restante v(0)=0 y se igualan los resultados.
tt eAeAdt
dv 6
21 6
Y al evaluar la deriva da en t=0:
21
0
6AAdt
dv
t
La LCK debe cumplirse en cualquier instante de tiempo, de modo que:
0)0()0()0( RC iii
Al sustituir nuestra expresión para la corriente del capacitor y al dividir entre C se
obtiene:
sVC
i
C
ii
C
i
dt
dv RC
t
/420)0()0()0()0(
0
35
APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
Puesto que la tensión inicial cero en la resistencia requiere de una corriente
inicial cero a través de ella. En consecuencia se obtiene la siguiente ecuación:
21 6420 AA Ecuación. 34
Y la solución simultánea de las ecuaciones 10 y 11 proporciona do amplitudes A1=84 y A2= -84. Por lo tanto la respuesta natural del circuito es:
Veetv tt )(84)( 6 Ecuación. 35
Gráfica de la respuesta subreamortiguada:
Hallamos el tiempo máximo al derivar Ecuación. 35 e igualando a cero:
stm
ee
Veedt
dv
tmtm
tt
358.0
60
)6(84
6
6
Su gráfica del voltaje con respecto al tiempo de la ecuación 35 es:
Figura 44: Respuesta sobreamortiguada.
3.8.1.2 Amortiguamiento Crítico
El amortiguamiento crítico es obtiene cuando:
CríticoientoAmortiguam
CRL
CRLC
2
22
0
4
4
36
APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
Ejemplo 3.7.8. Del ejemplo 3.8.1 se elegirá R y se aumentará su valor hasta que se
obtenga el amortiguamiento crítico, y luego, se dejará a 0 inalterada.
8.57Ω 7H 1/42 F
v
iiR iC
+
V
-
Figura 45: Circuito RLC con amortiguamiento crítico.
Con HLR 7,2
67 y
42
1C :
Se tiene que:
1
21
1
0
6
6
sss
s
Y con condiciones iniciales 0)0( v y Ai 10)0( .
La respuesta críticamente amortiguada debido a las condiciones iniciales es:
tt eAeAtv 6
2
6
1)(
Por las LCK:
CLR iii
Resolviendo la ecuación diferencial:
02
011
01
2
2
2
2
2
vsdt
dvs
dt
vd
vLdt
dv
Rdt
vdC
dt
dvCdtv
LR
V
Para hallar el valor de A1 y A2 reemplazamos las condiciones iniciales:
0
)0(0)0(
)()(
2
2
21
A
AV
AtAetv st
37
APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
Entonces para hallar A1:
420
10
)0(10
)0(
1
1
A
AC
dt
dvC
R
v
Reemplazando valores en la ecuación:
Vetv t6420)( Ecuación. 36
Gráfica de la respuesta críticamente amortiguada:
Hallamos el tiempo máximo al aplicar Hopital debido a que la Ecuación. 36 es Una
forma indeterminada:
stm
e
t
e
ttv
ttttt
408,0
045,2
lim420lim420)(lim45.245.2
Su gráfica del voltaje con respecto al tiempo de la ecuación 36 es:
Figura 45: Respuesta críticamente amortiguado.
3.8.1.3 Circuito RLC en Paralelo Subamortiguado
Para obtener este tipo de circuito se incrementara R una vez más para obtener
lo que se denominará una respuesta subamortiguada.
Se comienza de la forma exponencial:
))( 21
21 teAeAtvtsts
38
APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
Donde
2
0
2
2,1 s
Y en ese caso, sea
22
0
22
0
2
0
2 1 j
Donde 1j
Se considera ahora el nuevo radical, que es real para el caso subamortiguado,
pero se denominará d la frecuencia resonante natural:
22
0 d
La respuesta se escribiría ahora como:
tsenBtBetv
tsenAAjtAAetv
j
eeAAj
eeAAetv
eAeAetv
dd
t
dd
t
tjtjtjtjt
tjtjt
dddd
dd
21
2121
2121
21
cos)(
cos)(
22)(
)()(
Ecuación.37
Ejemplo 3.7.10. Ahora con los valores de HLR 7,6 y FC42
1 :
10.5Ω 7H 1/42 F
v
iiR iC
+
V
-
Figura 47: Circuito RLC subamortiguado.
122
1 sRC
1
0 61 sLC
sradd /222
0
La ecuación respuesta sería:
tsenBtBetv t 22cos)( 21
2
Para el cálculo de las constantes se aplican las condiciones iniciales 0)0( v e
10)0( i :
tsenBetv t 2)( 2
2
39
APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
La derivada es:
tseneBteBdt
dv tt 222cos2 2
2
2
2
Y en t=0 se convierte en
420)0(
2 2
0
C
iB
dt
dv C
t
Donde iC se define en la figura 43. Por lo tanto:
tsenetv t 22210)( 2
Gráfica de la respuesta subamortiguada:
Hallamos el tiempo máximo y mínimo al derivar Ecuación. 37 e igualando a cero:
st
st
Vtsenedt
dv
mx
t
66.2
435.0
22210
min
2
Su gráfica del voltaje con respecto al tiempo de la ecuación 37 es:
Figura 46: Respuesta subamortiguado.
40
APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
3.8.2 Circuito RLC en Serie
Se determinará la respuesta natural de un modelo de circuito compuesto por una
resistencia ideal, un inductor ideal y un capacitor ideal conectados en serie.
0)(1
0
'
0
tvidtC
Ridt
diL C
t
t
El circuito RLC e serie es dual del circuito RLC en paralelo, así que este simple hecho
resulta suficiente para hacer que su análisis sea un asunto trivial.
La ecuación integro diferencial fundamental es:
0)(11
0
'
0
tivdtL
vRdt
dvC L
t
t
Y debe compararse con la ecuación análoga del circuito RLC en paralelo:
Las respectivas ecuaciones de segundo orden que se obtienen diferenciando estas
dos ecuaciones con respecto al tiempo también son duales:
011
011
2
2
2
2
vLdt
dv
Rdt
idC
iCdt
di
Rdt
idL
El análisis completo del circuito RLC en paralelo se aplica de manera directa al circuito
RLC en serie; las condiciones iniciales sobre la tensión en el capacitor y la corriente en
el inductor son equivalentes a las condiciones iniciales en la corriente en el inductor y
la tensión en el capacitor; la respuesta de tensión consiste en una respuesta de
corriente.
La respuesta sobre amortiguada es: tsts
eAeAti 21
21)(
Donde:
LCL
R
L
Rs
1
22
2
2,1
2
0
2
2,1 s
Y por ello:
L
R
2
LC
10
La forma de la respuesta críticamente amortiguada es:
)()( 21 AtAeti t
Y la respuesta subamortiguada se escribiría como:
)coscos()( 21 tBtBeti dd
t
41
APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
Ejemplo 3.7.11 Dado el circuito RLC de la figura 47, en el que KRHL 2,1 y
uFC 401 mAi 2)0( , y VvC 2)0( encontrar 0),( tti .
R
C
L
i
+ vC -
+
vL
-
Figura 47: Circuito RLC sin fuente con energía almacenada en el inductor y capacitor en t=0
Se obtiene sradLCsLR /02520110002 0
1 y
sradd /00020 lo cual indica una respuesta subamortiguada.
La respuesta sin el valor de las constantes sería:
)0002000020cos()( 21
10000 tsenBtBeti t
Puesto que se sabe que mAi 2)0( , se sustituirán este valor en )(ti obteniendo
así:
AB 002,01
Por lo cual
AtsenBteti t )0002000020cos002,0()( 2
1000
La condición inicial restante a la derivada; en consecuencia,
sA
L
Riv
L
vB
dt
di
tsenBt
AtBtsenedt
di
C
L
t
t
/2)002,0(20002
)0()0(
)0(22000
20000100020000cos
)00020cos000200002040(
2
0
2
2
1000
Por lo que
02 B
La respuesta es:
mAteti t 20000cos2)( 1000
42
APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.
3.9. CONCLUSIONES
Cada día se muestran muchos avances a nivel de la tecnología, productos que quizá
sabemos utilizar pero no muy bien cómo funcionan. Los que estudiamos esta rama de
la ciencia estamos involucrados cada vez más en buscar soluciones a problemas de
nivel tecnológico para el progreso y desarrollo de la humanidad.
Es por esto que la compresión de este capítulo es fundamental para poder hallar
soluciones posteriores.
Los circuitos transitorios se muestran de diferentes maneras, por lo que hay que tener
en cuenta muchos parámetros y condiciones. Su solución puede ser hallada mediante
varios métodos pero lo importante es entender cómo se comportan cada elemento
en el circuito, antes, durante y después de un cierto tiempo.
En este capítulo se han desarrollado detalladamente varios ejemplos para su mejor
comprensión.
3.10. RECOMENDACIONES
El presente trabajo ha sido realizado de una manera muy cuidosa para evitar errores,
sobre todo en los ejemplos. Una manera de entender cómo funciona los diferentes
circuitos transitorios, se encuentra en las demostraciones de los mismos.
Las recomendaciones en el caso de la solución de circuitos hay que tener en cuenta
que:
- La respuesta de un circuito con fuentes que se activan desactivan en forma
repentina de un circuito en el que hay capacitores e inductores siempre estará
compuesta por dos partes: una respuesta natural y una forzada.
- Los circuitos con dos dispositivos de almacenamiento de energía que no
pueden combinarse mediante técnicas de combinación serie paralelo se
describen mediante una ecuación diferencial de segundo orden.
- Los circuitos transitorios suelen ser difíciles de entender por lo que se recomienda
analizar, separar los circuitos antes y después de t=0 y hallar la solución.
Este trabajo tiene como objetivo enseñar al lector los circuitos transitorios, pero esta no
es la única fuente, es por ello que se recomienda tener en cuenta otros libros de
circuitos ya que solo la práctica le llevará a mejorar su desempeño en este capítulo.
3.11. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] W.H. Hayt. JRy J.E. Kemmerly, Análisis de Circuitos en Ingeniería, Ediciones
delCastillo; capítulos 8 y 9.
[2] J.A. Edminister, M. Nahvi, Circuitos Eléctricos (Problemas resueltos) McGraw
Hill, Madrid 1997. Capítulo 7.