FLEXIÓN

Introducción• Flexión pura: Cuando únicamente actúan momentos

flectores.• Flexión simple: Cuando además de los momentos

flectores se adicionan fuerzas cortantes.

Fuerzas cortantes y momentos flectores, diagramas y relaciones

Convenciones de signos

Fuerzas cortantes y momentos flectores, diagramas y relaciones

Fuerzas cortantes y momentos flectores, diagramas y relaciones

• Diagramas

Consideremos el cuerpo de la figura

Al trasladar las fuerzas externasa la distancia x, se tiene:

Por lo tanto, para que exista equilibrio,internamente se tiene:

Fuerzas cortantes y momentos flectores, diagramas y relaciones

Teniendo en cuenta la convención de signos

Fuerzas cortantes y momentos flectores, diagramas y relaciones

• Relaciones: las fuerzas cortantes y los momentos flectores no son independientes sino que están relacionadas entre si.

ConsideremosEstableciendo el equilibrio

Despreciando la derivada de 2° orden

Haciendo los diagramas

Ejemplo

• b) análisis por tramos

Fuerza cortante0<x<L

Momento flector0<x<L

Ejemplo 2

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 3

Flexión Pura

Flexión Pura

Flexión Pura

• Como las líneas permanecen perpendiculares no existen deformaciones angulares

Flexión Pura• Con respecto a las deformaciones normales

El alargamiento es

Entonces la deformación es:

Flexión Pura

• Por semejanza de triángulosEntoncesydn

Flexión Pura• Deformaciones transversales. muestra la forma que tiene una sección inicialmente

rectangular al ser sometida a flexión. La tensión uniaxial σx es causante de la deformación longitudinal 𝜀𝑥 y de las deformaciones transversales 𝜀𝑦 y 𝜀𝑧, que de acuerdo a la definición de la relación de Poisson son iguales a:

Ry

zy

xzy

Flexión Pura

• Utilizando la primera ecuación del equilibrio interno

Flexión Pura

• Cuando solo actúa un momento flector• Utilizando el equilibrio de momentos

Se define momento de inercia de flexióndel eje z

Finalmente el esfuerzo es: Siendo máximo

Flexión Pura: distribución de esfuerzos

Momento flector solo en el eje z Momento flector solo en el eje y

Momentos de inercia principales y centro de gravedad

• El los momentos de inercia de una sección rectangular es:

3

3

3

31121121

hbJ

bhI

hbI

z

y

Todo eje de simetría corresponde a un dirección principal de inercia.

Momentos de inercia principales y centro de gravedad

• Secciones compuestasPara el centro de área

Con Ai como el área de cada cuerpo, yi la posición del centro de cada figura tomada desde una referencia común para todo el cuerpo.

Cuerpo 1 Cuerpo 2 Cuerpo 3

Momentos de inercia principales y centro de gravedad

• Secciones compuestas– Teorema de Steiner

I es la inercia individual, A el área individual, d la distancia que se mueve el eje individual al eje del centro total (línea neutra)

Ejemplo

• Para la barra mostrada en la figura, determine el momento máximo sin que se sobrepase el límite elástico del material, σ0=2800 / m𝑘𝑔 𝑐 2 . Dimensiones de la sección en cm.

Ejemplo

• Solución: – Para conocer la ubicación del eje neutro es

necesario determinar el centro de gravedad de la sección, ya que en éste pasa por ese punto.

Ejemplo

• Como el esfuerzo máximo se produce en las fibras más alejadas medidas desde el eje neutro, y no debe sobrepasar el valor σ0

Flexión Compuesta • Cuando la dirección del momento flector solicitante representado vectorialmente, no

coincide con la dirección de uno de los ejes principales de inercia, se presenta lo que se conoce como flexión compuesta

Flexión Compuesta • Si las direcciones , son ejes principales de inercia, entonces la fórmula de 𝑦 𝑧

flexión no es aplicable directamente a , pero sí por separado a las 𝑀𝑠componentes , . Así, por ejemplo, para determinar el esfuerzo de 𝑀𝑦 𝑀𝑧flexión en un punto P cualquiera de la sección de coordenadas , , 𝑦 𝑧superponemos las tensiones calculadas en forma independiente para y 𝑀𝑦

. 𝑀𝑧

Flexión Compuesta • Para las componentes , , al considerar su acción en 𝑀𝑦 𝑀𝑧

forma separada, los ejes neutros son las direcciones , 𝑦 𝑧respectivamente, sin embargo el eje neutro para la situación compuesta, en general no coincide con la dirección de .𝑀𝑠

• La ecuación de la recta que tiene la dirección de es 𝑀𝑠• La ecuación del eje neutro, por definición se obtiene con la

condición σx=0.

Finalmente, el ángulo que el eje neutro 𝜃forma con la dirección , queda definido 𝑦como:

Remplazando tenemos

y

z

z

y

MM

II

tan

• Las pendientes de las dos rectas difieren por la relación / . 𝐼𝑦 𝐼𝑧• Sólo cuando / =1, las direcciones del momento y el eje neutro 𝐼𝑦 𝐼𝑧

coinciden como es el caso de sección circular, cuadrada y otras. • Para determinar en este caso de flexión compuesta, el esfuerzo

máximo, es necesario conocer el punto más alejado del eje neutro.

•La determinación de este punto dependerá de la forma de la sección, pero se puede determinar gráficamente trazando una paralela al eje neutro hasta hacerla coincidir con el punto más alejado del contorno.

•En la figura en el punto de coordenadas 1, 1 actúa el esfuerzo 𝑦 𝑧máximo dado por:

Ejemplo 1Una barra de sección rectangular está solicitada en sus extremos por un momento de flexión como se indica en la figura

Determine la distribución de esfuerzos en una sección transversal cualquiera. Dimensión =6 . 𝑏 𝑐𝑚

Ejemplo 1

Para la geometría dada se tiene:

La posición de eje neutro

Ejemplo 1En este caso particular se puede apreciar que la superposición de las flexiones producidas en forma independiente por las componentes , , hace que el punto con un 𝑀𝑦 𝑀𝑧mayor esfuerzo de tracción sea el punto Q.El esfuerzo máximo de tracción en el punto Q, que es igual al esfuerzo de compresión en el punto R.

Ejemplo 2

Una viga de sección circular esta sometida a un esfuerzo de flexión Ms

Calcular el esfuerzo máximo.

Ejemplo 2• En este caso por ser = , la dirección del eje neutro coincide con la 𝐼𝑦 𝐼𝑧

dirección del momento , luego: 𝑀𝑠Como en el eje neutro, en este caso, es también un eje principal de inercia, no es necesario tratar el problema como flexión compuesta, sino como una flexión simple alrededor del eje neutro.