Cap1 y 2 Fisica General

FISICA GENERAL

12-10-2015

FISICA GENERAL

NIVEL 1ER NIVEL

AREA CIENCIAS BASICAS

NºHORAS SEMANA 04

NOMBRE DOCENTE MIGUEL PEREZ

PROGRAMA DE ESTUDIO

MAGNITUDES Y UNIDADES FISICAS

VECTORES

CINEMATICA

LEYES DE NEWTON

1. MAGNITUDES Y UNIDADES FISICAS

-Sistemas de unidades -Sistemas absolutos y gravitacionales -Conversión de unidades -Ecuaciones dimensionales -Errores en las mediciones (directas e indirectas) -Ejercicios de aplicación

ANALISIS DIMENSIONAL

Y TEORÍA DE ERRORES

2. VECTORES -Magnitudes escalares y vectoriales -Suma y resta de vectores en el plano -Reglas del paralelogramo y polígono -Componentes rectangulares -Producto de un escalar por un vector -Vectores unitarios -Producto escalar y vectorial -Vectores en el espacio -Suma y resta de vectores -Producto escalar y vectorial -Ejercicios de aplicación

ALGEBRA VECTORIAL

3. CINEMATICA

-Sistemas de referencia -M.R.U y M.R.U.V -Caída libre de los cuerpos -Movimiento circular uniforme -M.C.U.V -Movimiento parabólico -Ejercicios de aplicación

Movimiento de un punto y su trayectoria:

Desplazamiento Velocidad y aceleración

4. LEYES DE NEWTON

-Sistemas de referencia -M.R.U y M.R.U.V -Caída libre de los cuerpos -Movimiento circular uniforme -M.C.U.V -Movimiento parabólico -Ejercicios de aplicación

Fuerza, peso y masa

Leyes de Newton Momento de las

fuerzas Condiciones de

equilibrio

SISTEMA DE EVALUACIÓN ACTIVIDAD PARCIAL 1 PARCIAL 2 PARCIAL 3 EVAL.

FINAL EVAL.

RECUPERACIÓN

EXAMENES 6 6 6 12 20

TAREAS INDIVIDUALES

(DEBERES Y LECCIONES)

TRABAJO EN EQUIPO

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

PORTAFOLIOS 1

TOTAL 8 PTS 10 PTS 10 PTS 12 PTS 20 PTS

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

1 GIANCOLLI , Douglas. Física principios y Aplicaciones, 4ta Ed. México , Prentice Hall, 1994

2 TIPLER, Paul. Física Tomo 1, 6ta Ed. México: Harla, 2005

3 BUECHE, F. Física General, 10ma Ed. México: Mc Graw-HillInteramericana 2010

COMPLEMENTARIA

1 Textos básicos: ESPOCH, EPN, ESPOL, etc

LECTURAS RECOMENDADAS

1 INEN, Sistema Internacional de Unidades, 9na impresión.

WEBGRAFIA

1 https://www.youtube.com/watch?v=ZmWqGttbVdU

2 http://escuelas.fi.uba.ar/iis/Ecuaciones%20de%20Dimension%20Web.pdf

Tutorias: Jueves : 14h00 a 15h00

FISICA

VS PERFIL PROFESIONAL

¿Para qué aprender FISICA ?

OBJETIVOS Formular:

Conceptos, Definiciones Leyes

resolver PROBLEMAS

Habilidades Destrezas Actitudes

formar INGENIERO

Fomentar:

CAPITULO 1. MAGNITUDES Y UNIDADES

FISICAS

1.1 OBJETIVO

EXPERIMENTOS

MEDICIONES

1.2 MAGNITUD FISICA

Es todo lo que se puede medir en física y que se usa para expresa las leyes que rigen un fenómeno físico. EJM: ??? Medir: comparar dos magnitudes de la misma especie.

1.2 MAGNITUD FISICA

1.3 UNIDAD DE MAGNITUD FISICA Unidad de magnitud física: cantidad fija de 1 magnitud tomada arbitrariamente q sirve de referencia /comparación para medir. -Se expresada mediante un valor numérico y unidad utilizada. Magnitudes físicas fundamentales: base de un sistema de unidades. EJM: M, KG, Segundo, etc.

1.3 UNIDAD DE MAGNITUD FISICA

Magnitudes físicas derivadas: se derivan de las magnitudes fundamentales y también como consecuencia de los descubrimientos científicos logrados por el hombre (unidades complementarias) EJM:

UNIDADES COMPLEMENTARIAS: no están ligadas con prototipos o constantes físicas ni representan experiencias físicas. Son adimensionales y se usan en las expresiones de las unidades derivadas para evitar confundir 2 unidades diferentes que tengan las mismas dimensiones EJEM: rad/s y Nºoscilaciones/s

1.3 UNIDAD DE MAGNITUD FISICA

1.4 SISTEMAS DE UNIDADES

Def.- Conjunto de unidades para todas las magnitudes físicas, establecidas arbitrariamente.

Según la elección de las unidades fundamentales, se tienen 2 sistemas de unidades principales :

•Sistemas de unidades Absolutos: basados en L-M-T •Sistemas unidades técnico o gravitacional: basado en L-F-T

Los sistemas de unidades más empleados son: -S.I.: Sistema internacional de unidades -Sistema CGS -Sistema técnico métrico -Sistema técnico inglés

1.5 SISTEMA INTERNACIONAL S.I.

Basado en el sistema MKS racionalizado, ha sido adoptado por muchos países (único recomendado). Se lo aplica en todas las ramas : ciencia, técnica, economía y enseñanza.

-Sistema absoluto que consta de 7 unidades fundamentales:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htm

15-10-2015

UNIDAD S.I DE LONGITUD: METRO (m).- Longitud del camino atravesado por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de 1 / 299.792.458 segundos, basada en que la velocidad de la luz en el vacio es exactamente 299.792.458 metros / segundo.

UNIDAD S.I DE MASA: KILOGRAMO (Kg).-

UNIDAD S.I DE TIEMPO: SEGUNDO (s).-

UNIDAD S.I DE TEMPERATURA: KELVIN (K).- Es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua

UNIDAD S.I DE INTENSIDAD DE CORRIENTE: AMPERIO (A).-

UNIDAD S.I DE INTENSIDAD LUMINOSA: CANDELA (Cd).-

UNIDAD S.I DE CANTIDAD DE SUSTANCIA: MOL (mol).-

UNIDADES COMPLEMENTARIAS: son adimensionales y no representan experiencias físicas, en el S.I contiene dos unidades geométricas: el radián (ángulo plano) y el estereorradián (ángulo sólido)

El radián: es el ángulo plano, que teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercepta sobre la circunferencia de éste círculo , un arco de longitud igual al radio

EJEM: Angulo que subtiende una curva C

El estereorradián: : es el ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centro de una esfera, delimita sobre la superficie esférica correspondiente un área igual al radio de la esfera elevado al cuadrado

EJEM: Angulo sólido que subtiende la superficie C

Unidades derivadas: se obtiene multiplicando y dividiendo las unidades fundamentales y las complementarias

Magnitudes físicas derivadas

1.5 SISTEMA INTERNACIONAL S.I

1.6 SISTEMA CGS

Es un sistema absoluto. Sus unidades fundamentales son:

El sistema cegesimal se extendió a las mediciones eléctricas y magnéticas dividiéndose en 2 sistemas independientes, uno aplicado a las interacciones electrostáticas (CGSE : cegesimal electrostático) y otro aplicado a las interacciones electromagnéticas (CGSM: cegesimal electromagnetico)

1.7 SISTEMA DE UNIDADES TÉCNICO MÉTRICO (STM)

Es un sistema gravitacional. Sus unidades fundamentales son:

El kilopondio, se lo conoce más como Kgf y se define en éste sistema como la fuerza gravitacional ejercida sobre 1 Kg de masa patrón y que comunica a éste una aceleración igual a 9.80665m/s2) ; ADEMÁS : 1 N = kg m/s2

1.8 SISTEMA TÉCNICO INGLÉS (STI) Es un sistema gravitacional. Sus unidades fundamentales son:

La lbf es la fuerza gravitatoria que comunica a una libra masa, una aceleración de 32.16 pies/s2

1.9 COMPARATIVA ENTRE SISTEMAS

UNIDAD S.I. C.G.S. TECNICO INGLES

MASA kilogramo gramo U.T.M. 1U.T.M=9.8 kg

libra masa

LONGITUD metro centímetro metro pie

TIEMPO segundo segundo segundo segundo

VELOCIDAD metro/segundo centímetro/segundo m/s pie/segundo

FUERZA newton dina 105 din=1N

kgf 1kgf=9.8N

libra fuerza (lbf)

ENERGIA julio Ergio 107 erg=1 J

Kilográmetro 1kgm=9.8 J

libra.pie

1.10 CONVERSIÓN DE UNIDADES

Si 1 milla = 1,609 km, hallar V en m/s.

Ejercicios -Comprobar que 1 slug=14.59 kg (slug= unidad derivada de la masa en el STI).

-Un motor desarrolla 1 potencia de 0.047 (slug*m*pie)/(h. s2). Encuentre su equivalencia en KW.

19-10-2015

1.11 Dimensión de una magnitud física

*Muestra la relación entre la unidad de una magnitud física (unidad derivada) y las magnitudes fundamentales dentro del sistema dado. *Representación: monomio en forma de producto de los símbolos de las unidades fundamentales con exponentes enteros, fraccionarios (+ ó -) , se denomina ECUACION DIMENSIONAL . *Ec. Dimensional independiente sistema unidades utilizado.

*Para simbolizar dimensiones de magnitudes fundamentales, se usa designación literal entre corchetes o barras:

Longitud [l] L

Masa [m] M

Fuerza [f] F

Tiempo [t] T

*Proceso de búsqueda de la dimensión de una magnitud física se denomina ANÁLISIS DIMENSIONAL.

*Magnitud física puede ser a-dimensional si en su expresión todas las magnitudes fundamentales tiene exponente nulo.

REGLAS BÁSICAS: 1. Suma o resta de la misma dimensión (unidad), nos da la

misma dimensión. EJM: L+L+L-L = L LT-1 + LT-1 = LT-1

LT-2 -LT-2 =LT-2 2. Cualquier número o constante se reemplaza por número 1 EJM: 2T + 5T = T 3.1416M+72.6M=M ósea un número o constante numérica no tiene unidades.

REGLAS BÁSICAS: 3. La dimensión de una magnitud física derivada se puede

escribir en forma lineal y con exponentes negativos. EJM: 4. La dimensión de una magnitud física derivada se

representa entre corchetes. EJM:

velocidad: [v]= LT-1

Trabajo: [w]= ML2T-2

REGLAS BÁSICAS: 5. La dimensión de un ángulo o una función trigonométrica

se reemplaza con la unidad. EJM: [50º] = 1 [6.28 rad]=1 [sen60º]=1

22-10-2015

1.12 MEDICIONES DIRECTAS E INDIRECTAS

INTRODUCCIÓN EXPERIMENTOS

MEDICIONES DE

MAGNITUDES FÍSICAS

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

MEDICIONES DIRECTAS

La medida o medición directa, se obtiene con un instrumento de medida que compara la variable a medir con un patrón. Se pueden realizar solamente para algunas magnitudes físicas Ejm: mediciones de longitud, masa, tiempo, fuerza, velocidad, temperatura, etc

ERRORES DE LAS MEDICIONES DIRECTAS

Existen desviaciones en las mediciones de un valor considerado verdadero, debido a que los aparatos y la percepción no son perfectos. Exactitud: la mínima división de la unidad de medida hasta la cual, con seguridad, se puede corregir el resultado de la medición. Error: cantidad en la cual se diferencia una aproximación del valor verdadero al efectuar varias mediciones de una misma magnitud.

Media aritmética ( x ) Suma de todos los valores de las mediciones (ai) dividida para el número de mediciones realizadas.

Es el valor más cercano al verdadero valor de la magnitud (según la teoría de errores).

Error Absoluto de una medición (Dai )

Diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser + o -, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale + o -).Tiene mismas unidades que la medida.

Dai = I a - ai I

Valor Medio del Error Absoluto Suma de los errores absolutos de cada medición dividido para el número de mediciones

Notación de una medición

Ejm: L=(12.4±0.3)cm Significa que el valor verdadero de L está entre 12,1 y 12,7 cm. “Mientras menor es el valor medio del error absoluto, más nos acercamos al valor verdadero”.

Error relativo

Relación entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Puede ser + o - (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. No tiene unidades.

Valor Medio del Error Relativo

Relación entre el valor medio del error absoluto y la media aritmética de las mediciones expresado en %: Caracteriza la calidad o precisión de las mediciones

Ejem: Los resultados de las mediciones del largo y diámetro de un alambre conductor son: l=10,0 ±0,1 mm d=2,5 ± 0,1 mm ¿Cuál medición se acerca más a la verdadera?

Error relativo de “l” Error relativo de “d” (0,1/10,0)*100 =1% (0,1/2,5)*100%=4% Medición más exacta: longitud l

EJERCICIO 1

Escriba el número PI con tres y cuatro decimales y determinar los errores absoluto y relativo

EJERCICIO 1 Para el error relativo:

EJERCICIO 2

Citar ejemplos que muestren por qué la exactitud de una medición puede ser estimada basándose en el error relativo y no en el error absoluto.

EJERCICIO 3

Para las medidas de tiempo de un recorrido efectuadas por diferentes alumnos:

3,01 s 3,11 s 3,20 s 3,15 s Halle el valor que se considera exacto y los errores absoluto y relativo de cada medida SOLUCIÓN Valor que se considera exacto:

EJERCICIO 3

Errores absoluto y relativo de cada medida:

EJERCICIO 4

Obtener el error absoluto y relativo al considerar: a) 3,5 m como longitud de un terreno que mide

realmente 3,59 m. b) 60 m como la distancia entre dos postes que

están situados a 59,91 m SOLUCIÓN a) Ea = |3,59 - 3,5| = 0,09 m E r = | 3 , 59 - 3 , 5 | 3 , 59 = 0 , 025 = 2 , 5 % b) Ea = |59,91 - 60| = 0,09 m E r = | 59 , 91 - 60 | 59 , 91 = 0 , 0015 = 0 , 15 %

EJERCICIO 5: CRUCIGRAMA

26-10-2015

Mediciones indirectas

Mediciones indirectas Aquella en la que una magnitud buscada se estima midiendo una o más magnitudes diferentes, y se calcula la magnitud buscada mediante cálculo (fórmula) a partir de la magnitud o magnitudes directamente medidas (variables). Ejm: -La medición de la temperatura del agua mediante un termopar (dilataciónV). -La medición de la deformación elástica usando una galga extensiométrica.

Errores en las Mediciones indirectas

En éste caso, los errores absolutos y relativo de la magnitud medida indirectamente se obtienen como función de los errores absolutos de las magnitudes directamente medidas (propagación de error)

Calcule el error relativo

Ejemplo: Se ha medido directamente el valor del diámetro de una esfera con una precisión de 1cm: D=(1501)cm. Calcular el área (A) y el volumen (V) de la esfera.

A= 70685.8±942.5

V= 1767145.9±35342.9

2015-10-29

Ejercicios sobre mediciones directas e indirectas

Use una mantisa de 4 cifras decimales para calcular

las raíces de: Explique sus resultados.

Resultado exacto redondeado a dicha precisión

Se efectúan 2 mediciones : t=69 s con un cronómetro que aprecia hasta 1/10 s y L=75cm con una regla milimetrada. Determinar: a) El error relativo y porcentual de t

b) El error relativo y porcentual de L

c) ¿Cuál de las 2 mediciones está mejor realizada?

Ert=t/t= (1/10 s)/69s =1.45x10-3 E%t=100Ert=0.145

ErL=L/L= (0.1/75) =1.33x10-3 E%L=100ErL = 0.133

La magnitud L está mejor medida, ErL < Ert

Ejercicios sobre análisis dimensional

Determine la fórmula dimensional de “x”

¿Qué valor tiene (x-y), si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta? L= longitud K=constante g=gravedad

t=tiempo V=velocidad α=aceleración angular

Ejercicios sobre transformación de unidades

Una grúa levanta 2000 kg a 15 m del suelo en 10 s, expresar la potencia empleada en: a) cv. b) W. c) HP.

Ejercicios sobre transformación de unidades

La expresión de potencia se indica como: (1slug.plg.cm)/(h.s2 )

que cuesta 1 dólar. Calcule el valor de cada hp y cv =714975741.1dolar/cv

2015/11/12

UNIDAD III VECTORES

Introducción

Las magnitudes físicas deben ser medidas a través de instrumentos y relaciones matemáticas. Pero, algunas magnitudes presentan características diferentes y su tratamiento matemático también lo es. Por ello, las magnitudes físicas se dividen en 2 grandes grupos:

Magnitudes escalares Magnitudes vectotoriales

Introducción

Magnitud escalar: es aquella que queda completamente determinada con un número y sus correspondientes unidades EJEM: Longitud presión Masa temperatura Tiempo trabajo Àrea calor Volumen energía Densidad Las operaciones siguen las reglas del álgebra:

2 litros +1 litro = 3 litros

Introducción

Magnitud vectorial: es aquella que se determina con un número y sus correspondientes unidades pero además requieren que se especifique su dirección y sentido. EJEM: Fuerza velocidad aceleración campo eléctrico Desplazamiento cantidad de movimiento Impulso movimiento cinético

Introducción

Sistemas de coordenadas cartesianas: Está constituido por tres ejes (dos si trabajamos en dos dimensiones) perpendiculares entre sí que se cortan en un punto llamado origen. Componentes cartesianas del vector, son las proyecciones sobre c/u ejes, relacionadas con el ángulo entre el vector y el eje x y su módulo:

Introducción

Definición de vector: Se llama vector a todo segmento orientado. El primero de los puntos que lo determinan se llama origen y el segundo extremo del vector. La recta que contiene al vector determina la dirección del mismo y la orientación sobre la recta, definida por el origen y el extremo del vector, determina su sentido.

Introducción

Módulo de un vector: Se denomina módulo de un vector a la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de un vector es siempre un número positivo. Será representado mediante la letra sin negrita o como vector entre barras: mód v = v = |v|.

Introducción

Vectores iguales: Dos vectores son iguales (llamados equipolentes por algunos autores) cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección y sentido.

Introducción

Vectores referidos al origen de coordenadas

Introducción

Vectores referidos al origen de coordenadas

Suma de vectores en el plano

Regla del polígono Para sumar dos vectores a y b se procede de la siguiente manera: a partir del extremo de a se lleva el vector b; el vector cuyo origen es el origen de a y cuyo extremo es el extremo de b, es el vector suma a + b.

Suma de vectores en el plano Regla del paralelogramo

Al mismo resultado se llega tomando a y b con el mismo origen y definiendo la suma como la diagonal del paralelogramo construido sobre a y b, que pasa por el origen, tal como se muestra en la figura.

Dado que la suma de dos vectores a y b es otro vector c, las componentes del vector resultante se obtienen mediante la suma de las componentes correspondientes:

De esta definición se deduce que la adición de vectores es conmutativa: a + b = b + a.

EJERCICIO 1: Hallar módulo y dirección de la resultante de dos velocidades: V = 7 km/h en la dirección 31º NE, y W = 11 km/h en la dirección 55º SE. Solución: Expresamos por i la velocidad de 1 km/h en la dirección E, y por j la velocidad de 1 km/h en la dirección N. Entonces dibujamos las velocidades V y W, tal como se aprecia en el gráfico adjunto:

16/11/2015 Multiplicación de un escalar por un vector.

Vectores unitarios. Ejemplos

Resta de vectores en el plano

El vector opuesto al vector v(v1, v2, v3) se representa por –v; tiene el mismo módulo y dirección que v pero sentido contrario. Sus componentes son -v1, -v2, -v3. Es inmediato entonces que la diferencia u – v de dos vectores es igual a la suma del vector u y del vector –v, opuesto a v. Por lo tanto las componentes del vector diferencia u – v son las diferencias de las componentes, o sea:

u1 - v1 u2 - v2 u3-v 3

El módulo de la diferencia de dos vectores no siempre es el mismo que la diferencia de los módulos de estos dos vectores:

Ia-bI ≠ IaI-IbI

Ejemplo:

Suma de varios vectores en el plano

Geométricamente, para sumar algebraicamente varios vectores basta llevarlos sucesivamente de manera que el origen de cada uno coincida con el extremo del precedente. Analíticamente, el vector suma es el que tiene por componentes las sumas de las componentes respectivas: v = a + b + c + d i = 1, 2, 3 i i i i i La adición de vectores cumple las propiedades conmutativa y asociativa en forma similar a la adición ordinaria entre números reales.

Ejercicio

Halle la suma y la resta de los siguientes vectores:

Multiplicación de un vector por un escalar Da como resultado un nuevo vector b = n a. El módulo de este nuevo vector b es n veces el módulo del vector a.

IbI = n IaI

El sentido del vector b, coincide con el sentido del vector a si n>0 (n=+), o es contrario al sentido del vector a si n<0 (n=-). De aquí se desprende que la multiplicación de un vector a y –a son iguales en módulo pero de sentidos opuestos.

Multiplicación de un vector por un escalar

Vectores unitarios en el plano

Se lo denota frecuentemente con un acento circunflejo sobre su nombre, como (se lee “v vector" o "vector v"). La tendencia actual es representar el vector en la dirección del vector en la forma uv.

Al vector unitario, se lo llama también vector normalizado o versor.

Vectores unitarios en el plano

Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad. De la multiplicación de un vector por un escalar se desprende la representación:

v= v.uv Donde:v = módulo uv = unitario de v (módulo 1 y sentido igual a v) El vector unitario uv a su vez puede ser representado mediante la normalización del vector.

Normalización de un Vector

Normalizar un vector consiste en obtener otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado. Para normalizar un vector se divide éste por su módulo.

Normalización de un Vector

Ejemplo: si v es un vector de componentes (3,4), hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido

Ejercicios

Halle el versor del vector u=(5,4). Módulo: Normalización: uu = Comprobación: IuuI=

Ejercicios

Las coordenadas del vector m son (3,4).¿Cuáles son las coordenadas de un vector unitario con la misma dirección y sentido que m?

Coordenadas cartesianas de un vector respecto a la base canónica

Ejemplo: Dado un vector con origen a=(3,1) y extremo b=(7,-6). Expresar el vector en su forma canónica y a través de sus unitarios i,j.

Ejemplo: El vector de la figura tiene 3 cm de longitud y forma un ángulo de 140º. Expresar el vector a través de los vectores i, j

a = axi+ayj a= -a.cos(40).i +a.Sen(40).j a= -2.3i+1.9j

Ejemplo: Dados los vectores a,b,c encontrar: a+b-c, expresándolos por medio de los vectores unitarios i,j.

2015-11-19 Proyección de un vector sobre una recta. Representación con vectores unitarios. Ejemplos.

Cosenos Directores

En la figura, se puede ver que el vector forma unos ángulos con el sentido positivo de los ejes coordenados, α y β que se denominan ángulos directores.

Los cosenos de éstos ángulos son los cosenos directores del vector. La relación que tienen éstos con las componentes del vector se pueden expresar como:

Elevando al cuadrado y sumando las ecuaciones anteriores tenemos:

Producto Escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores se escribe A· B. Se define como: A·B= AB cos θ, donde θ es el ángulo entre A y B. por lo tanto, se trata de un escalar. Con esta definición,es fácil ver que si dos vectores son perpendiculares,su producto escalar es nulo,pues el Coseno de un ángulo recto es nulo.

Interpretación geométrica del producto escalar de dos vectores

Interpretación geométrica del producto escalar

En la figura se puede ver que el producto escalar corresponde al producto del módulo de uno de los vectores por la proyección del otro en la dirección del primer vector.

Propiedades del producto escalar

Expresión del producto escalar utilizando sus componentes

Utilizando la expresión en componentes de los vectores en coordenadas cartesianas es sencillo calcular el producto escalar. Utilizando la expresión de A y B en vectores unitarios:

Como los vectores unitarios son perpendiculares entre sí, resulta que podemos expresar el producto escalar como:

Producto escalar

Para hallar un vector perpendicular a A(Ax,Ay), basta cambiar el orden y el signo de una de las componentes.

A(Ax,y). B(-Ay,Ax)=-AxAy+AyAx=0

Módulo de un vector

Al multiplicar escalarmente un vector por sí mismo, se obtiene el cuadrado de su módulo o longitud: o dicho de otra forma, el módulo de un vector es la raíz positiva de su producto escalar:

Angulo de dos vectores

Angulo de dos vectores Ejercicio:

Determinar el ángulo de los vectores de R2, u=(2,1) y v=(0,1)

Ejercicios:

a) Dados los vectores u=(2,-3) y v=(6,-1), hallar: 1. Los módulos de u y v. 2. El producto escalar de u y v. 3. El coseno del ángulo que forman 4. Hallar m para que el vector w(m,2) sea

ortogonal a u.

b)Hallar los vectores w perpendiculares a u(u1,u2) y con el mismo módulo.

Ejercicios:

Dados los vectores u(-4,6) y v(5,m) . Hallar m para que: a)Sean dependientes b)Sean perpendiculares

Ejercicios:

Suponiendo que respecto de la base ortonormal (u,v) del plano, los vectores a y b tienen como expresiones:

Ejercicios:

23/11/2015

PRODUCTO VECTORIAL

El producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Debido a ésta capacidad, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos dos vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas matemáticos, físicos o de ingeniería.

PRODUCTO VECTORIAL

Existen magnitudes físicas que se definen con ayuda del producto vectorial, como: -El momento de una fuerza -El momento cinético. -Fuerza sobre una carga móvil en un campo magnético. -Flujo de energía electromagnética.

PRODUCTO VECTORIAL

Sean 2 vectores a y b en el espacio vectorial R3. El producto vectorial puede definirse como : =vector unitario a y b con dirección según regla mano derecha.

Propiedades del Producto Vectorial

1) Anticonmutatividad: a x b =-(b x a) 2) Cancelación por ortogonalidad: a.(a x b) = 0 3) El producto vectorial de dos vectores paralelos es igual a cero:

a x b = 0 con a≠0 y b≠0 ⥤ a ∥ b. 4) Distributiva: (a+b)x c = a x c+b x c 5) a x (b x c) = b(a.c)-c(a.b), regla de la expulsión 6) a x (b x c) + c x (a x b) + b x (c x a) =0 , Identidad de Jacobi 7) Ia x b I = IaI IbI sinθ, relación del producto vectorial con el área del paralelogramo .

8) I a x b I=(IaI2 . IbI2) – (a.b)2 )1/2 ,Módulo de a x b sin hacer el producto vectorial. 9) Vector unitario normal al plano que contienen a los vectores a y b. 10) Producto mixto: (a,b,c)=c.(a x b)

PRODUCTO VECTORIAL

El ángulo θ entre ambos vectores será siempre menor que 180 º, ya que si se sobrepasa esto, al aplicar la regla de la mano derecha el vector resultante a x b cambiaría de sentido .

PRODUCTO VECTORIAL

El módulo del vector a x b =a.b.senθ , representa el área de un paralelogramo cuyos lados son los módulos de los vectores a y

b.senθ

PRODUCTO VECTORIAL

Cuando el ángulo θ =90º los vectores a, b y c son mutuamente perpendiculares, y sus direcciones y sentidos corresponden a los de un sistema de coordenadas derecho tridimensional:

EXPRESIÓN MATRICIAL DEL PRODUCTO VECTORIAL

El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

PRODUCTO VECTORIAL

EJEMPLO:

PRODUCTO VECTORIAL EJEMPLO:

PRODUCTO VECTORIAL

Ejercicio: Dado los vectores: Hallar: a) u x v; u x w; v x u ; v x w b) (u x v).w; (v x w).u; c) Ángulo entre u,v; ángulo entre v,w.

usando el producto escalar y el producto vectorial

PRODUCTO VECTORIAL a)

PRODUCTO VECTORIAL

c)Producto escalar Producto vectorial I u x v I = IuI.IvI.sinα

Ángulo (u,v)=53.3º Ángulo (u,v)=53.3º

Ángulo (v,w)=106.43º Ángulo (v,w)=73.57º 180-73.57=106.43º

PRODUCTO VECTORIAL Ejercicio: Dados los vectores a y b , determine el área del paralelogramo que forman y el ángulo que los separa Módulo de a x b: numéricamente es el área paralelogramo (en u2)

PRODUCTO VECTORIAL Ejercicio: Ángulo entre los dos vectores: Necesitamos determinar los módulos de los vectores: Reemplazamos y despejamos el ángulo: α= 33.69º

Momento de una fuerza

PRODUCTO VECTORIAL

2015-11-26

VECTORES EN EL ESPACIO

Estos planos coordenados dividen al espacio en 8 regiones llamadas octantes. El octante en el que las tres coordenadas de un punto son positivas se denomina primer octante. No hay acuerdo para denominar a los otros 7 octantes.

Segundo Octante:

Tercer Octante:

Cuarto Octante:

Quinto Octante:

Sexto Octante:

Séptimo Octante:

Octavo Octante:

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL ESPACIO

Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen

COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL ESPACIO

Ejemplo: Determinar las componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).

MÓDULO DE UN VECTOR EN EL ESPACIO El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

MÓDULO DE UN VECTOR EN EL ESPACIO

Cálculo del módulo conociendo sus componentes Ejemplo: Dados los vectores u=(3,1,-1) y v=(2,3,4), hallar los módulos de u y v·

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos. Ejem: Hallar la distancia entre los puntos A(1,2,3) y B(-1,2,0)

D(A,B)

VECTORES UNITARIOS EN EL ESPACIO

Así como en el plano existen vectores unitario i y j, en el espacio tenemos tres vectores unitarios a lo largo de los ejes x,y,z, cuyos módulos son iguales a la unidad, y se simbolizan con i,j,k como se ve en la figura.

DIRECCIÓN DE UN VECTOR RESULTANTE EN EL ESPACIO EN TERMINO DE SUS UNITARIOS

CALCULO DEL UNITARIO Y SUS ANGULOS DIRECTORES

Determinar los cosenos directores del vector (1, 2, −3).

FORMAS DE EXPRESAR UN VECTOR

EJERCICIO: Las componentes de un vector a son (3,4,2) a lo largo de los ejes x,y,z respectivamente. a) Representar al vector a por medio de los unitario i,j,k. b) Encontrar su módulo, dirección y sentido a)

a = 3i+4j+2k IaI

EJERCICIO: b)Módulo IaI Dirección: Comprobación:

SUMA DE VECTORES EN EL ESPACIO

Dados = (2, 1, 3), = (1, −1, 0), = (1, 2, 3), hallar el vector = 2u + 3v − w

Dados = (2, 4, 5), = (3, 1, 2),hallar el módulo del vector U-V

2015/11/30

Suma y resta de vectores en el espacio. Ejemplos.

PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES EN EL ESPACIO

Ejemplo1: Determinar si el triángulo de vértices A(1,-2,3); B(-1,1,1);C(1,4,-1) es isósceles o equilátero.

Es isósceles pero no equilátero

Ejemplo2: Si las coordenadas de un nuevo origen en el sistema antiguo son (2,-4,-6) y las coordenadas de P en el nuevo sistema son (-1,2,-4)’ . ¿Cuáles son las coordenadas de P en el sistema antiguo?

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES EN EL ESPACIO

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

EJEMPLO: Hallar el producto escalar de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son:(1, 1/2, 3) y (4, −4, 1). (1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5

Hallar el ángulo que forman los vectores U=(1, 2, −3) y V= (−2, 4, 1).

Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0: Ejemplo:

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

PRODUCTO VECTORIAL EN EL ESPACIO

Ejemplo3: Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son: -

Solución:

El producto mixto de tres vectores es igual al determinante que tiene por filas las coordenadas de dichos vectores respecto a una base ortonormal. Se representa por: Y se resuelve con el determinante que tiene por filas las coordenadas de los vectores respecto a una base ortonormal.

PRODUCTO MIXTO DE VECTORES EN EL ESPACIO

•El valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son tres vectores que concurren en un mismo vértice.

•El volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor absoluto. (Tetraedro: 4 caras, 6 aristas 4 vértices)

Ejemplo:

Ejemplo: Obtener el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7). Dibujar.

2015/12/03

Ejercicio:1 Para que valor de “a” los vectores (2,-1,1) ; (1,2,-3); (3,a,5) están en un mismo plano?

Ejercicio2: un cohete tiene 2 motores de retropropulsión. El primer motor impulsa al cohete en la dirección N-O con un ángulo de elevación de 60º y con una rapidez de 200 unidades; el segundo motor lo impulsa en la dirección S60ºE; con un ángulo de elevación de 45º y una rapidez de 160 unidades. Determinar : a)La velocidad del cohete en términos de los unitarios normalizados La dirección de la velocidad resultante del cohete.

Ejercicio3: La posición de P respecto a Q está dada por S60ºE; 80km. Otra ciudad R se halla localizada respecto a P en la posición N10ºO;120Km.¿Cuál es la posición de Q respecto a R?

Ejercicio 4: Desde la base de un edificio (A) se ubica la terraza de un edificio (B) a una distancia de 120m en dirección N-O, con un ángulo de elevación de 30º; de esta terraza (B), se ubica la terraza de otro edificio(C) a una distancia de 100 m en la dirección -0.5i-0.24j+nk. Si los 3 edificios están construidos sobre el mismo plano horizontal, determinar: a) El número de pisos de cada edificio, si se conoce que cada

piso tiene una altura de 3m, y que el edificio (A) es 6m más bajo que el edificio (C).

b) La mínima distancia que deberá recorrer una persona si desea ir de (A) a (B), luego a (C) y regresar a (A).

Ejercicio 5: En un aeropuerto se presenta la siguiente situación. Un avión (B) se halla parqueado en la posición N30ºE ; distancia a 200m respecto a la base de una torre de control de 15 m de altura. En ese instante otro avión (A) se encuentra con la dirección S-O , a una altura de 400 m de la pista y distancia 2.000 m respecto a la base de las torre anterior. Determinar : a)La posición del avión B respecto al A. b)La distancia entre los dos aviones.

Ejercicio 6: Dos cubos de 12 y 20cm de lado están colocados como indica la figura. Encuentre: a) AJ y NB,

Ejercicio 6: Dos cubos de 12 y 20cm de lado están colocados como indica la figura. Encuentre: a) AJ y NB, b) el ángulo formado por los vectores JM y GF,

=144.74º

Ejercicio 6: Dos cubos de 12 y 20cm de lado están colocados como indica la figura. Encuentre: a) AJ y NB, b) el ángulo formado por los vectores JM y GF, c) la proyección de HK sobre GF.

Producto punto =proyección de un vector sobre otro

Vector=(Módulo del vector).(Unitario del vector)

Ejercicio 7: : Calcule el valor de a para el cual los siguientes puntos están alineados: A(2, a, 0), B(6, 5, 2), C(8, 7, 3)

Física Buho: autor Miguel Tasiguano, ejercicios página 27 a la 32. Ejercicios del: 2 al 25 . Total 24 ejercicios.

Cap1 y 2 Fisica General

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