Energía Potencialy Conservación de la Energía

Capítulo 08

Contenido

• Fuerzas conservativas y no conservativas• Fuerzas conservativas y energía potencial• Conservación de la energía mecánica• Fuerzas no conservativas• Fuerza y energía potencial• Diagramas de energía y equilibrio• Principio de conservación de la energía

( ) 0cW F =Po lo tanto, sobre una trayectoria cerrada:

Fuerzas ConservativasUna fuerza es conservativa si el trabajo, realizado sobre una partícula que se mueve entre dos puntos cualesquiera, es independiente de la trayectoria.

( ) ( ) ( ) ΔcW F U b U a U⎡ ⎤= − − = −⎣ ⎦

Si Fc es una fuerza conservativa, entonces, existe una magnitud física escalar U , tal que el trabajorealizado por esta fuerza, al mover un cuerpo desde un punto a del espacio a otro punto b, está dado por:

Si Fc es una fuerza conservativa, entonces, existe una magnitud física escalar U , tal que el trabajorealizado por esta fuerza, al mover un cuerpo desde un punto a del espacio a otro punto b, está dado por:

La magnitud física escalar U es lo que se conoce como la energía potencial asociada al campo de fuerza en cuestión

Finalmente, el trabajo de una fuerza conservativa es completamente recuperable

El trabajo hecho por una fuerza conservativa sólo depende del valor de la energía potencial en los puntos extremos de la trayectoria

Fuerzas Conservativas

Si el trabajo realizado por una fuerza F, al mover un cuerpo desde un punto a a un punto b, depende de la trayectoriaelegida, entonces, la fuerza F es no conservativa.

En tal caso no existe una función escalar U tal que el trabajo realizado por la fuerza F pueda ser escrito como esta función evaluada en los extremos.

Para las Fuerzas No Conservativas:

No existe U tal que: ( ) ( )( )W F U a U b= −

Fuerzas No Conservativas

Además, el trabajo realizado por una fuerza no conservativa no es recuperable.

Ejemplos de Fuerzas Conservativas y no Conservativas

Fuerzas Conservativas: - Fuerza ejercida por un resorte ideal- Gravedad- Electrostática- Magnética

Fuerzas no Conservativas: - Fuerza de Fricción- Fuerzas de Amortiguamiento

dependientes de la velocidad

Trabajo realizado por la gravedad en un circuito cerrado

0ABCDAW =

La fuerza de gravedad es conservativa

Energía Potencial Gravitatoria

La Energía Potencial Gravitacionalestá asociada a la fuerza peso y se define como:

( )gU U y mgy= =

De esta definición se deduce que Ug: es una M. F. Escalar; que su unidad es 1 joule = 1 J y que depende de la posición vertical y, con respecto a un nivel de referencia arbitrario.

Energía Potencial Gravitatoria

El trabajo hecho por la fuerza peso sobre un cuerpo de masa m, que se desplaza desde yi hasta yf , es igual a:

( ) ( )( ) Δ g g g f g iW F U U y U y⎡ ⎤= − = − −⎣ ⎦

( )g i fW F mgy mgy= −

La fuerza elástica ejercida por un resorte es conservativa

2k

1( )2

U U x kx= =

Energía Potencial Elástica

Al estar un resorte estirado o comprimidouna distancia x, con respecto a su largo natural, la energía se almacena como energía potencial elástica.

La energía potencial elásticase define como:

l0

x

Energía Potencial Elástica

x

U

2k

12

U = kx

De esta definición se deduce que Uk: es una M. F. Escalar; que su unidad es 1 joule = 1 J y que depende de la deformación x, con respecto al largo natural del resorte.

¡ Depende solamente de su deformación inicial y final !

Energía Potencial Elástica

El trabajo hecho por la fuerza elásticasobre un resorte de constante k, que se desplaza desde xi hasta xf , es igual a:

( ) ( )( ) Δ k k k f k iW F U U x U x⎡ ⎤= − = − −⎣ ⎦

2 21 1( ) 2 2k i fW F k x k x= −

Fuerzas No Conservativas

La fuerza de roce es una fuerza no conservativa, ya que disipa energía en forma de calor, por efecto de la fricción entre el objeto y la superficie sobre la cual se mueve.

De esta manera es evidente que habrá mayor disipación si movemos el objeto por la trayectoria circunferencial, que por la trayectoria recta, al ir desde A hasta B.

A B

Trabajo realizado por el Roce

La fricción es una fuerza noconservativa

0ABCDAW ≠

Fuerzas Conservativas y Energía Potencial

( ) ( )( ) Δc c i fW F F dx U U x U x= = − = −∫( ) Δc i fW F U U U= − = −

Teníamos que para fuerzas conservativas el trabajo lo podíamos escribir como:

Llamamos a la función U la energía potencial asociada a la fuerza conservativa del sistema.

( )f c iU x F dx+U= −∫

Conservación de la Energía Mecánica

Por el teorema del trabajo y la energía visto en el capítulo anterior, se tiene que:

( )R f iW F K K= −

Pero, por otro lado, si la fuerza que realiza el trabajo es conservativa, el trabajo lo podemos escribir como:

( ) Δc i fW F U U U= − = −

Igualando ambas expresiones para el trabajo se tiene:

.i i f fK + U K + U cte= =

¡ Hay “algo” que se conserva !

Si definimos: ( )( )E K v + U x≡

Donde: E = Energía Mecánica del sistema

f f fE K + U= i i iE K + U=

De la expresión de la diapositiva anterior se tiene:

¡Si sólo realizan trabajo las fuerzas conservativas, entonces, la energía mecánica se conserva en todo instante!

.i fE E cte= =

Conservación de la Energía Mecánica

Si más de una fuerza conservativa actúa sobre un cuerpo, entonces, una energía potencial se asocia a cada fuerza y el principio de conservación de la energía mecánica se generaliza a:

i i f fK + U K + U=∑ ∑

Principio de conservación: caso gravitacional

1 12 2

2 2i i f fmv + mgy mv + mgy=

Principio de conservación: caso fuerza elástica

2 2 2 21 1 1 12 2 2 2i i f fmv + kx mv + kx=

Conservación de la Energía Mecánica

EjemploUn bloque, inicialmente en reposo, se desliza sobre una superficie inclinada sin roce.Parte de un altura h, respecto del suelo y alcanza una rapidez v cuando llega a él.Para que el bloque alcance una rapidez final 2v en el suelo, ¿cuántas veces más alto debe ser soltado el bloque?

A. 1h

B. 2h

C. 3h

D. 4h

E. 5h

F. 6h

P

θ

Datos:

v1i = 0 m/s h1i = h

μ = 0

v1f = v h1f = 0 m

v2i = 0 m/s h2i = ? v2f = 2v h2f = 0 m

θh1i

h2i

2fv

x

y

0

m

m

m

1fvm

N

Del DCL se deduce que la única fuerza que realiza trabajo, en los dos casos, es el peso, que es una fuerza conservativa.

Luego: E1i = E1f

K1i + U1i = K1f + U1f

22

1i 1f1 vm gh m v h 2 2g

= → =

y por definición de E:

y por definición de K y Ug:

Análogamente:2

22i 2f 2i

1 4 vm gh m v h 2 2g

= → =

Luego: h2i = 4 h

EjemploUn bloque, inicialmente en reposo, se desliza sobre una superficie inclinada sin roce.Parte de un altura h, respecto del suelo y alcanza una rapidez v cuando llega a él.Para que el bloque alcance una rapidez final 2v en el suelo, ¿cuántas veces más alto debe ser soltado el bloque?

A. 1h

B. 2h

C. 3h

D. 4h

E. 5h

F. 6h

En sistemas físicos reales, en general, se presentan fuerzas no conservativas, como la fricción. Dichas fuerzas cambian la energía mecánica del sistema

Esa diferencia corresponde al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas.

Δ Δ 0E K + U= Δ ≠

( ) ΔncW F E=

Si hay fuerzas no conservativas:

Fuerzas No Conservativas

Relación entre Fuerzas Conservativasy Energía Potencial

Antes, teníamos que la relación entre el trabajo y la energía potencial se podía escribir, en forma integral, de la siguiente manera:

x

xF dx U= − Δ∫En forma diferencial esta relación se puede escribir:

( ) ( ) dU xF xdx

= −

¡ Una fuerza es conservativa si es igual a menos la derivada de la energía potencial U !

Fuerza del resorte:

Si la energía potencial está dada por: 212

U kx=

212

dU dF kx kxdx dx

⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Que corresponde a la fuerza restauradora en el resorte.

Fuerza gravitacional:

Si la energía potencial está dada por: U mgy=

( )dU dF mgy mgdy dy

= − = − = −

Que corresponde a la fuerza peso.

Diagramas de energía

Las posiciones de equilibrio estable corresponden a aquellos puntos para los cuales Uk(x) tiene un valor mínimo.

maxxminx 0x =

El gráfico de la energía potencial para un resorte es:

2k

12

U kx=E

x

maxxminx

U

0

iv

iv−

v

0x =

x

maxx

Un esquiador, que parte del reposo, se desliza bajando por la nieve (sin roce), como muestra la figura. ¿Cuál es la rapidez del esquiador en la meta?

Partida

Meta

H=40 m

L=250 m 28,0 m/s

Ejemplo:

Como sólo hace trabajo el peso y es una fuerza conservativa, entonces:

21 22 f fmgH mv v gH= ⇒ =

E = cte. Ki + Ui = Kf + Uf⇒

y

0

Principio de Conservación de la Energía

La energía total de un sistema aislado esconstante.

Luego, la energía no puede crearse, ni destruirse.

La energía, sólo, puede transformarse de una forma en otra y/o puede traspasarse de un

cuerpo a otro.

La energía total del Universo es constante.

Transfiriendo energTransfiriendo energííaa

Realizando trabajoRealizando trabajoAplicando una Aplicando una fuerza se produce fuerza se produce un cambio en el un cambio en el estado de estado de movimiento de un movimiento de un cuerpocuerpo

CalorCalorEl proceso de El proceso de transferencia de transferencia de calor se realiza por calor se realiza por medio de medio de colisiones entre colisiones entre molmolééculasculas

Transfiriendo energTransfiriendo energííaa

Ondas mecOndas mecáánicasnicasUna perturbaciUna perturbacióón n se propaga a travse propaga a travéés s de un de un mediomedio..EjemplosEjemplos: sonido, : sonido, ondas en el agua, ondas en el agua, sismossismos..

Transfiriendo energTransfiriendo energííaa

EnergEnergíía ela elééctrica ctrica Transferida por la Transferida por la corriente corriente elelééctricactricaSe Se transformatransforma en en energenergííaa calcalóóricarica

Transfiriendo energTransfiriendo energííaa

RadiaciRadiacióón n electromagnelectromagnééticatica

Cualquier tipo de onda Cualquier tipo de onda electromagnelectromagnééticatica

Luz, microondas, ondas Luz, microondas, ondas de radio, etc.de radio, etc.

Transfiriendo energTransfiriendo energííaa