Post on 15-Jan-2016
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TRABAJO DE CÁLCULO (INTEGRALES)
1.- calcular ∫ (√x+3 )dx
Solución
M=∫ (√x+3 )dx
M=∫ (x12+3)dx
M=∫ x12 dx+3∫dx
M=23x32+3 x+C
2.−calcular∫ sinhx
(1+cos hx )3dx
Solución
K=∫ sinhx
(1+cos hx )3dx
Si se hace u=1+coshx, entonces du=sinhx dx, por consiguiente
K=∫ du
u3
K=∫u−3du=−u−2
2+C
K= −12 (1+coshx )2
+C
3.−calcular∫ e√x .3e√ x
dx√x
Solución
I=∫ e√x .3e√ x
dx√ x
Si consideramos h=e√x, se tiene dh=e√x
2√ xdx, luego
I=∫ h .3h
√x2√ xe√x dh
I=2∫ 3hdh
I= 3h
ln 3+C
I=2.3e√ x
ln 3+C
4.−calcular∫ 11+sin x
dx
Solución
J=∫ 11+sin x
dx
J=∫ 11+sin x ( 1−sin x1−sin x )dx
J=∫ 1−sin xcos2 x
dx
J=∫ sec2 x dx−∫ sec x . tan x dx
J=tan x−sec x
5.−calcular∫√ ln (x+√ x2+1 )x2+1
Solución
T=∫√ ln ( x+√x2+1 )x2+1
hacemosu=ln(x+√ x2+1)→du=1
x+√x2+1 (1+x
√ x2+1 )dx
dx=√x2+1du
T=∫ √u√x2+1 √ x2+1du
T=∫√udu→T=2u
32
3=23
( ln (x+√ x2+1 ))32+C
6.−calcular∫ sin (8 x )9+sin4 (4 x )
dx
Solución
I=∫ 2sin (4 x )cos(4 x)9+(sin2 (4 x ) )2
dx
seau=sin2(4 x )→du=2sin(4 x)cos(4 x )4dx
I=14∫ du32+u2
= 1413tan−1( u3 )= 1
12tan−1( sin2(4 x )3 )+C
7.−calcular∫ 1+ tan xsin(2x )
dx
Solución
Por identidades trigonométricas tenemos:
L=∫ 1sin(2 x)
dx+∫ tan x2sin xcos x
dx=∫csc(2x )dx+ 12∫ sec2 x dx
L=12ln|csc (2x )−cot (2 x)|+ 1
2tan x+C
8.−calcular∫ (7+x−3 x2 )e−x dx
Solución
Integrando por partes
u=7+x−3 x2du=(1−6x )dx
dv=e−x dx v=−e−x , luego se tiene
F=−(7+ x−3 x2 )e− x+∫ (1−6 x )dx
F=−(7+ x−3 x2 )e− x−3x2+x+C
9.−calcular K=∫ x ln( x−1x+1 )dxpor partes
u=ln( x−1x+1 )du= x+1x−1
.x+1−(x−1)
( x+1 )2dx= 2
x2−1dx
dv=xdx v= x2
2
K= x2
2ln( x−1x+1 )−∫ x2
x2−1dx=¿ x
2
2ln( x−1x+1 )−∫(1+ 1x2 )dx ¿
K= x2
2ln( x−1x+1 )−x−1
2ln ( x−1x+1 )
K= x2−12
ln( x−1x+1 )−x+C
15.CalculeL=∫ tan3(x )dx
Solución:
L=∫ tan3(x )dx
L=∫ sen3 (x )cos3 ( x )
dx=−¿∫ (1−cos2 ( x ) )cos3 ( x )
d (cos ( x ) )=−{−12 cos−2 ( x )−ln (cos (x ))}¿∴L=1
2sec2 ( x )+ ln (cos ( x ) )+c
16.Calcule L=∫ sen (x)sen (2x )sen (3 x)dx
Solución:
L=2∫ sen(x )sen(x )cos (x )(4 sen ( x )−3 sen3(x ))dx
L=2∫ [4 sen3 ( x )−3 sen5 ( x ) ]d (sen ( x ))
∴L=2 sen3 ( x )−12sen6 ( x )+c
17.CalculeL=∫√4+x2dx
Solución:
hacemos x=2 tan y→dx=2 sec2 ydy
→L=2∫ sec2 y secydx=¿2∫ sec3 ydy ¿
u=secy du=secy tany dydv=sec2 ydy v=tany
L=secy tany−∫ sec3 y+∫ secy
L=12secy tany+ 1
2ln|secy+tany|
∴L=12x √4+ x2+ 1
2ln|√4+x2+x|
18.Calcule L=∫ x4
(4−x2)72
dx
Solución:
L=∫ x4
(4−x2)72
dx
hacemos x=2 seny→dx=2cosy dy
L=∫ 24 sen4 y27 cos7 y
2cosydy=¿2−2∫ sen4 ycos6 y
dy=14∫ tan4 y sec2 ydy¿
hacemos z=tany dz=sec 2 ydy
L=14∫ z5dz=¿ 1
24z6+c ¿
∴L= 124
x6+c
19.Calcule L=∫ 1
(x2−1)(x2−2)12
dx
Solución:
hacemos x=√2 sect dx=√2 sect tant dt
L=∫ √2 sect tant dt(2 sec2 t−1 )√2 tant
L=∫ √2 sect tant dt(2 sec2 t−1 )√2 tant
=∫ dt1+sen2t
=arctan ( sent )+c
∴L=arctan (√ x2−2x
)+c
20.Calcule L=∫ 1
(9−x2)3dx
Solución:
hacemos x=3 senz dx=3cosz dz
L=∫ cosz dz
(9cos2 z)3=3−6∫sec 5 z dz
hacemosu=sec3 z du=3 sec3 z tanz dz
dv=sec2 zdz v=tanz
L=tanz sec3 z−3∫ sec3 z tan2 z dz
L=tanz sec3 z−3∫ sec3 z(sec2 z−1)dz
L=tanz sec3 z−3∫ sec5 zdz+3∫sec 3 z dz
4 L=tanz sec 3 z+32
[secz tanz+ ln|secz+tanz|]
L=14tanz sec3 z+ 3
8[ secz tanz+ln|secz+tanz|]
L=14tanz sec3 z+ 3
8[ secz tanz+ln|secz+tanz|]
∴L= 136
x(9−x2)2
+ 1216
x(9−x2)
+ 34ln|(3+ x)29−x2 |+c
21.Calcule L=∫ x2
1−x6dx
Solución:
hacemosu=x3du=3 x2dx
L=13∫ du
1−u2dx=1
6ln( u+1u−1 )
∴L=16ln( x3+1x3−1 )+c
22.Calcule L=∫ 2 x
x4+x2+1dx
Solución:
L=∫ 2 x
(x2+ 12)2
+ 34
dx
hacemosu=x2+ 12du=2 xdx
L=∫ du
u2+34
= 2
√3arctan ( 2u
√3)
∴L= 2√3
arctan( 2 x2+1√3 )+c
24.Calcule L=∫ dx
x2√x2+1
Solución:
x=tanz dx=sec2 zdz
L=∫ sec2 z dztan 2 z secz
=∫ cosz dzsen2 z
= −1senz
+c
∴L=√ x2+1x
+c
25.Calcule L=∫ 2 x3dx
(x2+1 )4
Solución:
u=x2+1du=2x dx
L=∫ u+1u4
du=∫ u
u4du+∫ 1
u4du=−1
2u2− 1
3u3
∴L= −1
2 (x2+1 )2− 1
3 (x2+1 )3+c
25.Calcule el área entre las curvas : y=x3+3x2+2 , y=x3+6 x2−25
Solución:
Encontrado sus puntos de intersección:
x3+3x2+2=x3+6 x2−25
x2−9=0 x=±3
Graficando:
Entonces:
L=∫−3
3
[ x3+3x2+2−(x3+6 x2−25 ) ]dx=∫−3
3
(−3x2+27)dx
L=2 [−x3+27 x ]30=108u2
∴L=108u2
23.−calcular I=∫ x2
x6−10 x3+9dx
Solución
hacemosu=x3−9du=3x2dx
I=13∫
duu (u+8 )
, como1
u (u+8 )=Au
+Bu+8
=
18u
+
−18u+8
, entoces
I=13 [∫ 1
8udu+∫
−18u+8
du]= 124ln| u
u+8|= 124ln|x3−9x3−1|+C
10.- Calcular I=∫eax senbx .dx
Solución
Aplicando integración por partes:
u=eax→ du=aeaxdx
dv=sen (bx ). dx→ v=−cos (bx)
b
∫udv=uv−∫ vdu
I=−1beaxcos (bx )+ a
b∫eaxcos (bx )dx
Aplicando de nuevo integración por partes.
u=eax→ du=aeaxdx
dv=cos (bx) . dx→ v=sen (bx)
b
I=−1beaxcos (bx )+ a
b( 1beax sen(bx )−a
b∫ eax sen (bx )dx )
I=−bb2
eax cos (bx )+ ab2eax sen (bx )−a2
b2I
I+ a2
b2I= eax
b2(asen (bx )−bcos (bx ))
I ( a2+b2
b2)= eax
b2(asen (bx )−bcos (bx ))
I= eax
a2+b2(asen (bx )−bcos (bx ))
11.- Calcular I=∫ x4−arctan (x )¿¿ ¿
Solución
I=∫ x4
¿¿ ¿
I=∫ (x¿¿4+2 x2+1)−2 x2−1¿¿ ¿¿
I=∫dx−∫ 2 x2+1¿¿ ¿¿
I=x−2∫ dx
1+x2+∫ 1
¿¿ ¿¿
I=∫ xarctan(x )¿¿ ¿
Escogemosu=arctan ( x )→du= 1¿¿
dv= xdx¿¿
Luego
I=x−2arctanx+∫ 1¿¿ ¿
I=x−2arctanx+ arctanx2 (1+x2 )
+ 12∫
1¿¿ ¿
CalculandoB=∫ 1¿¿ ¿
B=∫ 1+x2−x2
¿¿ ¿
Haciendou=x→du=dx
dv= x
1+x2dx→v=1
2∫2x
1+x2dx→v= −1
21+x2
B=arctanxdx+ x
2(1+x2)−12∫
dx
1+x2=¿arctanx+ x
2 (1+x2 )−12arctanx+C ¿
B=arctanxdx+ x
2(1+x2)+C
Remplazando BenI tenemos :
I=x−2arctanx+ arctanx2 (1+x2 )
+ 14arctanx+ x
4 (1+x2 )+C
I=x−74arctanx+ arctanx
2 (1+x2)+ 14arctanx+ x
4 (1+ x2 )+C
12.- Calcular N=∫ 9dx
√9 x2−12x+13
N=3∫ 9dx
√(3 x−2)2+32
N=3 ln (3 x−2+√ (3x−2 )2+32 )+9
13.- Calcular M=∫cos5 x dx
Solución
M=∫(1−sen2 x¿)cosxdx ¿
u=senx
M=∫(1−sen2 x¿)d (senx)¿
M=∫(1−u2)2du
M=∫ (u4−2u2+1 )du
M=u5
5−2 u
3
3+u+c
M= sen5
5−23sen3+senx+c
14) calcularM=∫cos 2xsen7 xdx
Solución:
Por la transformación trigonométrica:
cosAxsenBX=12
[cos (A−B)x+cos (A+B) x ]
I=12∫(cos5x+cos 9 x)dx= 1
10sen5 x
118
sen9 x+c
15.- Calcular M=∫ tan5 x √cos3 x dx
Solución
M=∫ sen5 x . (cosx )−72 (cosx)
12dx
M=∫ sen5 x senx (cosx )−72 dx
L=−∫ (1−cos2 x )2 senx(( cosx )¿¿−72d (cosx))¿
Si L=cox
L=−∫ (1+l 4−2 l2 )l−72 dl
L=−∫ (l−72 +l
12−2l
−32 )dl
L=25l−52 −23l−32 −4 l
−12 +c
L=25sec
52 (x)−2
3cos
−32 ( x)−4 sec
12+c
45) calcular I=∫0
+∞
senx dx
Solución I= limx→+∞
∫0
+∞
sexdx=[ limx→+∞−cosx ] t0
limx→+∞
[cost−1 ]=∞
I=∫0
+∞
senx dx , esdivergente
46) calcular I=∫0
+∞arctanx1+x2
dx
I=limt →∞
∫0
tarctanx1+x2
dx , seau=artanx→du= dx1+x2
I= limt→+∞
∫0
t
udu= limt →+∞
u2
2limt→+∞
[arctan2 x ] t0=12limt →+∞
[arctan2t−0 ]
I=12 ( π2 )
2
= π2
8
47) calcular I=∫−∞
+∞dx
ex+e−x
Solución I=∫−∞
0dx
ex+e−x+∫0
+∞dx
ex+e−x= limx→−∞
∫t
0dx
ex+e−x+ limk→+∞
∫0
kdx
ex+e−x
I= limt→−∞
∫t
0exdx
(ex)2+1+ limk→+∞
∫0
kdx
(ex )2+1
I= limt→−∞
[ arc tan ex ] 0t+ limk→+∞
[arc tan ex ]k0
I= limt→−∞
[ arc tan (1 )−arc tan e t ]+ limk→+∞
[arc tan ek−arc tan (1)]
I=π4−0+ π
2− π4=π2
48) hallar el área y=x2+2 x−3 , x=−2 , x=0 , y=0
Solución:
Para graficar consideramos:
y=x2+2 x−3=(x−1)(x+3)
Por lo tanto el área de la región que limita será:
A ( x )=−∫−2
0
( x2+2 x−3 )dx=−[ x33 +x2−3 x] 0−2A ( x )=−[ 83−4−6]=223 u2
49) calcular el que genera la intersección de las parábolas:
y=3 x−x2 , y=x2−x
Solución.
previamente calculemos los puntos de intersección entre las curvas, para la cual intersecamos ambas ecuaciones.3 x−x2=x2−x→ x ( x−2 )=0
→x=0 , x=2
por lo tanto los puntos de intersección es:
x=(0 ,0 ) i(2,2)
→A (x )=∫0
2
(3 x−x2)−(x2−x )dx=∫0
2
(4 x−2x2 )dx ¿¿=[2x2−2x33 ]20
A ( x )=8−163
=83u2