Bioestadística

Sesión13:Modelosdeprobabilidad

Distribuciónnormal.EjerciciosJoséAurelioPinaRomero

Ja.pina@ua.esBioestadística– GradoEnfermeríaUA-DepartamentodeEnfermería

¿Quévamosaver?•  RepasodistribuciónNormal•  Ejerciciossobreladistribuciónnormalestándar

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Funcióndedensidad(V.Continuas)

•  Definición•  Esunafunciónnonegativadeintegral1.•  Piénsalocomolageneralizacióndelhistogramaconfrecuenciasrelativasparavariablescontinuas.

•  ¿Paraquélovoyausar?•  Nuncalovasausardirectamente.•  Susvaloresnorepresentanprobabilidades.

DistribuciónnormalodeGauss

• Aparecedemaneranatural:•  Erroresdemedida.•  Distanciadefrenado.•  Altura,peso,propensiónalcrimen…

• Estácaracterizadapordosparámetros:Lamedia,μ,yladesviacióntípica,σ.

•  Sufuncióndedensidades:

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Funcióndedensidad(V.Continuas)

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Probabilidades

TIPIFICAR

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Probabilidades

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Probabilidades

P(X≥x1)= 1 – P(X≤x1)

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Probabilidades

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ProbabilidadesP x1 ≤ X ≤ x 2( ) = P X ≤ x 2( )−P X ≤ x1( ) =

= P Z ≤x 2 −µσ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟−P Z ≤

x1 −µσ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

P(x1≤X≤x2)= P(X≤x2)-P(X≤x1)

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Probabilidades

DistribuciónnormalodeGaussMedia:Varianza:

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E X( ) = µ

V (X ) =σ 2

TablaN(0,1)Z es normal tipificada. Calcular P[Z<1,85]

Solución: 0,968 = 96,8%

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TablaN(0,1)Z es normal tipificada. Calcular P[Z<-0,54]

Solución: 1-0,705 = 0,295

Calculadoras(CasioClasswizfx-570SPSXII)

Calculadoras(CasioClasswizfx-570SPSXII)Calcular P[Z<-0,54]

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TablaN(0,1) Z es normal tipificada. Calcular P[-0,54<Z<1,85]

Solución: 0,968-0,295= 0,673

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Ejemplo:CálculoconprobabilidadesnormalesElcolesterolenlapoblacióntienedistribuciónnormal,conmedia200ydesviación10.

•  ¿Quéporcentajedeindivíduostienecolesterolinferiora210?•  ¿Quéporcentajedeindivíduostienecolesterolsuperiora210?•  ¿Quéporcentajedeindivíduostienecolesterolentre180y210?

•  Todaslasdistribucionesnormalessonsimilaressalvotraslaciónycambiodeescala:Tipifiquemos.

z = x −µσ

=210− 200

10=1

P [Z <1,00] = (ver tabla) = 0,841

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Ejemplo:Cálculoconprobabilidadesnormales•  ¿Quéporcentajedeindivíduostienecolesterolinferiora80?•  ¿Quéporcentajedeindivíduostienecolesterolsuperiora80?

• Quévalordelcolesterolsóloessuperadoporel10%delosindividuos.• Quévalordelcolesterolessuperadoporel90%delosindividuos.

8,21228,1102001020028,1

=×+=

−=

x

x

Elvalordelcolesterolquesólosuperael10%delosindividuoseselpercentil90.Calculemoselpercentil90delaN(0,1)ydeshacemoslatipificación.

σ

µ−=x

z

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Calculadoras(CasioClasswizfx-570SPSXII)

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Ejemplo2:Ej3.6Sielniveldeglucosadelosindividuosconcálculosbiliaressigueunadistribuciónnormalconmedia115mg/100mlydesviacióntípica20mg/100mli.¿Cualeslaproporcióndeindividuosquetienensuniveldeglucosaporencimade140mg/100ml?

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Ejemplo2:Ej3.6ii)Sienlapoblacióngenerallapoblaciónelniveldeglucosasedistribuyenormalconmedia95ydesviacióntípica19mg.¿Cualeslaproporcióndesujetosdelapoblacióngeneralporencimade140?

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Ejemplo2:Ej3.6Calculelospercentiles5,10,25,50,75,90y95paralapoblacióngeneralyladeenfermosconcálculosbiliares

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Ejemplo2:Ej3.7El índice de masa corporal(IMC) calculadocomopeso/talla2deunapoblaciónsigueunadistribución normal con media 25.2 ydesviación típica de 2.8. Se consideradelgados a aquellos que su IMC está pordebajode20yobesosaaquellosquesuIMCestáporencimade30i)Calculelaproporcióndedelgados

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Ejemplo2:Ej3.7ii)Calculelaproporciónobesosiii) Calcule los percentiles 5 y 95 de dichadistribución