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BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16
(PI) Nombre:
1. Reduce a una sola raız, efectuando el mcm de los ındices:5
√
4x2y3√
x3y3
√
3yx2=
2. Siendo p(x) = 6x3 − 2x2 + 4x − 7, q(x) = x2 + 2x − 1, s(x) = x − 2 hallap(x) : q(x) y 3p(x) − 4s(x).
3. Resuelve:
a)x + 7
x + 3+
x2 − 3x + 6
x2 + 2x − 3= 1 b)
xy = 6
1
x+
1
y= 1 − 1
xy
4. Resolver las inecuaciones:
a) x2 − 4x − 5 > 0, b) − 2x − 1 − 3x
2> 4 +
x − 1
3.
5. Representa las siguientes funciones e indica su dominio, su imagen, sumonotonıa (intervalos de crecimiento y de decrecimiento) y sus maximosy mınimos:
a) f(x) = x2 − x b) f(x) =3
2− xc) f(x) =
−1 si x 6 −3
−x2 + 8 si − 3 < x 6 4
−2x + 6 si x > 4
6. Si cosA = 14, y el angulo A pertenece al cuarto cuadrante, calcula el seno
y la tangente.7. Dados los puntos A = (−1, 2), B = (3, 5) y C = (2,−2). calcular:
a) Distancia del punto A al punto C .b) Punto medio del segmento de extremos A y B.c) Recta que pasa por los puntos A y B.d) Recta perpendicular a la del apartado c) y que pasa por el punto C .
1
2 1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16
(PI) Nombre:
1. (1p) Expresa en forma de intervalo los numeros que cumplen |x− 4| > 2.
2. (2p) Efectua y simplifica:
a)3√
3 −√
2− 2√
3 +√
2=
b)√
125 +√
54 +√
45 −√
108 =3. (1p) Halla el valor de x usando las propiedades de los logaritmos:
lnx = ln 12 + ln 25 − 2 ln 6.
4. (1p) Escribe como potencia y simplifica:
(
3
√
5√
a12 · 3
√
1
a2
)
:(
a3√
a−2)
=
5. (1p) Halla el valor de x: log7 3x = 0,5.
6. (2p) Sabiendo que log k = 0,36, halla, usando propiedades:
a) log3
√
1
k=
b) (log k)1/2
7. (2p) Calcula la base en los siguientes logaritmos:
a) logx
1
4= 2
b) logx 0,04 = −2
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BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16 3
(PI) Nombre:
1. (1p) Expresa en forma de intervalo los numeros que cumplen |x − 4| > 2.
(4 − 2, 4 + 2) = (2, 6). Solucion: (−∞, 2] ∪ [6,∞).2. (2p) Efectua y simplifica:
a)3√
3 −√
2− 2√
3 +√
2=
3(√
3 +√
2)
3 − 2− 2(
√3 −
√2)
3 − 2= 3
√3 + 3
√2 −
2√
3 + 2√
2 =√
3 + 5√
2 .
b)√
125+√
54+√
45−√
108 = 5√
5+3√
6+3√
5−6√
3 = 8√
5 + 3√
6 − 3√
3 .3. (1p) Halla el valor de x usando las propiedades de los logaritmos:
lnx = ln 12 + ln 25 − 2 ln 6 = ln 12·2536
= ln 253⇒ x =
25
3.
4. (1p) Escribe como potencia y simplifica:
(
3
√
5√
a12 · 3
√
1
a2
)
:(
a3√
a−2)
=
a12
15 · a−2
3
a1− 2
3
=a
4
5 · a−2
3
a1
3
= a4
5−1 = a−
1
5 =15√
a.
5. (1p) Halla el valor de x: log7 3x = 0,5.
3x = 70,5 =√
7 ⇒ x =
√7
3.
6. (2p) Sabiendo que log k = 0,36, halla, usando propiedades:
a) log3
√
1
k=
log 1k
3=
log 1 − log k
3=
0 − 0,36
3= −0,12 .
b) (log k)1/2 = 0,361/2 = 0,6 .
7. (2p) Calcula la base en los siguientes logaritmos:
a) logx
1
4= 2 ⇒ x2 = 1/4 ⇒ x = 1/2 .
b) logx 0,04 = −2 ⇒ x−2 = 0,04 =4
100=
1
25= 5−2 ⇒ x = 5 .
4 1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16
1. Aclaracion a la suma de terminos de una progresion
geometrica
La formula de la suma Sn de los n primeros terminos de una progresiongeometrica a1, a2, . . . , an es
(1) Sn =an · r − a1
r − 1.
Si hay n+1 terminos en lugar de n, la formula es practicamente la misma:
(2) Sn+1 =an+1 · r − a1
r − 1.
En ambos casos, podemos leer la formula ası: “Para hallar la suma determinos consecutivos de una progresion geometrica, se multiplica el ultimopor la razon, se resta el primero y se divide por la razon menos uno.”En la suma 1 + 2 + · · · + 2n hay n + 1 terminos. El primero es a1 = 1 y elultimo es an+1 = 2n. Entonces, usando la formula (2),
Sn+1 =an+1 · r − a1
r − 1=
2n · 2 − 1
2 − 1= 2n+1 − 1.
Otro ejemplo: Hallar a suma
Sn = 1 +1
2+
1
4+
1
8+ · · · + 1
2n−1.
Aplicando la formula (1) tenemos
Sn =an · r − a1
r − 1=
12n−1 · 1
2− 1
12− 1
=1
2n−1 · 12− 1
−12
=1 − 1
2n−1 · 12
12
= 2 − 1
2n−1.
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BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16 5
2. Lımite de una sucesion
Consideremos la sucesion {an} cuyos primeros terminos son
2,1, 2,01, 2,001, . . .
Parece claro que sus terminos se van aproximando al numero 2. Vamos a decirque el lımite de esta sucesion es 2.
Consideremos otro ejemplo, la sucesion de termino general an = 3nn+1
. Susprimeros terminos son
a1 =3
2= 1,5,
a2 =6
3= 2,
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
a99 =297
100= 2,97
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·Parece que sus terminos se van aproximando a 3. Para asegurarnos de que 3 esel lımite de la sucesion vamos a comprobar que la distancia entre an y 3 es tanpequena como queramos a partir de un cierto n en adelante.
Primero calculamos esa distancia, como una diferencia en valor absoluto.
|an − 3| =
∣
∣
∣
∣
3n
n + 1− 3
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
3n − 3n − 3
n + 1
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
3
n + 1
∣
∣
∣
∣
=3
n + 1
Queremos que esa distancia sea muy pequena. Si, por ejemplo, queremos que seamenor que una milesima, bastara que sea
3
n + 1< 0,001 ⇒ n + 1
3> 1000 ⇒ n + 1 > 3000 ⇒ n > 2999 ,
es decir, siempre que sea n > 3000 sera an distante de 3 menos que una milesima.Si en lugar de 0,001 consideramos cualquier cantidad pequena ε > 0, los calculos
serıan parecidos:
3
n + 1< ε ⇒ n + 1
3>
1
ε⇒ n + 1 >
1
ε⇒ n >
3
ε− 1 .
En general, diremos que el lımite de una sucesion an es un numero L si para
cualquier cantidad pequena ε > 0 existe un determinado termino de la sucesion a
partir del cual todos distan de L menos que ε.El parrafo anterior, con sımbolos matematicos se escribirıa ası:
lımn→∞
an = L ⇔ ∀ε > 0 ∃N ∈ N : n > N ⇒ |an − L| < ε.
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BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16
Nombre:
1. (1p) Simplifica:3√
40a + 33√
135a − 93√
5a =
2. (1p) Racionaliza y simplifica:1
2(√
3 −√
5)=
3. (1p) Sabiendo que ln k = 0, 45, calcula el valor de
a) ln3√
kb) ln k
e
4. (1p) Expresa usando intervalos el conjunto de numeros x que cumplen lacondicion |x − 2| > 3
5. (3.5p) Calcula los siguentes lımites:
a) lımn→∞
(
3n2 − 3n + 1
3n + 1
)
=
b) lımn→∞
(
2n2
1 + n− 4n + 3
2
)
=
c) lımn→∞
(
2n − 1
2n
)3n
=
d) lımn→∞
(√4n2 + 6n −
√4n2 − 6n
)
=
6. (0,5p) Halla el termino general de la sucesion 40, 36, 32, 28, . . . .
7. (1p) Calcula la suma de los infinitos terminos de la sucesion 4, 2, 1, 0,5, 0,25, . . . .
8. (1p) Calcula la suma de los multiplos de 3 que hay entre 33 y 333, ambosinclusive.
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BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16 7
3. Recapitulacion
1. Efectuar: (2 ±√
3)2 = 4 + 3 ± 4√
3.2. Racionalizar:
1
2 +√
3=
2 −√
3(
2 +√
3) (
2 −√
3) =
2 −√
3
4 − 3= 2 −
√3.
3. Resolver la ecuacion (2 +√
3)x + (2 −√
3)x = 14.Usamos el cambio t = (2+
√3)x. Entonces (2−
√3)x = ((2+
√3)−1)x =
((2 +√
3)x)−1 = t−1 = 1t.
Por tanto, debemos resolver la ecuacion
t +1
t= 14 ⇒ t2 + 1 = 14t ⇒ t2 − 14t + 1 = 0.
Aplicando la formula de la ecuacion de segundo grado tenemos
t =14 ±
√196 − 4
2=
14 ±√
192
2=
14 ± 8√
3
2= 7 ± 4
√3.
Entonces, por un lado tenemos que (2+√
3)x = 7+4√
3 ⇒ x = 2 y por otro(2 +
√3)x = 7 − 4
√3 ⇒ (2 +
√3)x = (2 −
√3)2 = (2 +
√3)−2 ⇒ x = −2.
4. Se considera la sucesion an = (2 +√
3)n + (2 −√
3)n.a) Hallar a1, a2 y a3.b) Comprobar que a3 = 4a2 − a1.c) Comprobar que siempre es an = 4an−1 − an−2.
(a) Por un lado es a1 = (2 +√
3) + (2 −√
3) = 4 y vimos antes quea2 = 14. Ademas:
a3 =(2 +√
3)3 + (2 −√
3)3 = (2 +√
3)(2 +√
3)2 + (2 −√
3)(2 −√
3)2
=(2 +√
3)(7 + 4√
3) + (2 −√
3)(7 − 4√
3)
=(14 + 8√
3 + 7√
3 + 12) + (14 − 8√
3 − 7√
3 + 12) = 52.
(b) Es obvio que 52 = 4 · 14 − 4. Por tanto, se cumple a3 = 4a2 − a1.(c) Llamando α = 2 +
√3 y β = 2 −
√3,
4an−1 − an−2 =4(αn−1 + βn−1) − (αn−2 + βn−2)
=(4αn−1 − αn−2) + (4βn−1 − βn−2)
=αn−2(4α − 1) + βn−2(4β − 1)
=αn−2(7 + 4√
3) + βn−2(7 − 4√
3)
=αn−2 · α2 + βn−2 · β2 = αn + βn = an.
5. Las soluciones de x2 = 4x − 1 son 2 +√
3 y 2 −√
3.
8 1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16
(1ev) Nombre:
1. (4,5p) Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 22x+1 − 2 · 2x = −3
8.
b) log2(x + 1) + log2(x − 1) = 3 + log2(x/3).c)
√x + 5 − 2
√x = −1.
2. (1,5p) Al sumar los n primeros terminos de la sucesion 9, 13, 17, 21, . . .obtenemos 2139. ¿Cuantos terminos se han sumado?
3. (1,5p) Aplicar el metodo de Gauss para resolver el sistema
x + y + 2z = 2
x− 2y − z = −4
3x + y − 2z = 8
.
4. (1,5p) Halla los siguientes lımites de forma razonada:
a) lımn→∞
300n − 1
3n2 + 1=
b) lımn→∞
(
2n2
3n + 1− 2n
3
)
5. (1p) Sabiendo que ln k = 0,9, halla
a) ln k3√
k =b) ln((ek)3) =
1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16 9
(1ev) Nombre:
1. (1,5p) Halla el termino general de las sucesiones:a) 2, 6, 12, 20, . . .
b) 4,−1,−6,−11, . . .
c) 5,−5, 5 − 5, 5,−5, . . .
2. (1,5p) Halla la suma de tods los multiplos de 6 con 3 cifras.
3. (4,5p) Resuelve las siguientes ecuaciones:a)
√1 − x +
√x + 7 = 4.
b) 2 log 4 + 2 log(x− 3) = log x
c) x2 =5
x2 − 6.
4. (1,5p) Aplica el metodo de Gauss:
x + y + 2z = 3
x − y − 3z = 2
3x − 2y + z = 14
.
5. (1p) Calcula el lımite: lımn→∞
(√4n2 + 6n −
√4n2 − 6n
)
=
10 1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16
(r1ev) Nombre:
1. (1p) Efectua y simplifica:
√7 −
√5√
7 +√
5−
√7 +
√5√
7 −√
5=
2. (2p) Calcula de forma razonada los siguientes lımites:
a) lımn→∞
(
3n
3n + 2
)3n
b) lımn→∞
(
3n2
3n + 2− 2n2
2n + 3
)
3. (4,5p) Resuelve las siguientes ecuaciones:a)
√x − 1 +
√x + 2 = 3.
b) 2 log2(x + 2) − 2 log2(2x) = 2.
c) 4x + 16x = 6.
4. (1,5p) Aplica el metodo de Gauss:
x + 2y + z = 12
x + y + 2z = 13
2x − y − z = −3
.
5. (1p) Calcula la siguiente suma: 7 + 14 + 21 + · · · + 777:
1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16 11
(2r1ev) Nombre:
1. (1,5p) Resuelve la ecuacion:√
2x + 1 −√
x − 3 = 2.
2. (1,5p) Resuelve la ecuacion: 2x + 2x+2 + 2x+4 = 212.
3. (1,5p) Resuelve la ecuacion:1
x − 2+
x2
x2 − 4=
14
x + 2.
4. (1,5p) Halla el termino general de las siguientes sucesiones:a) 5,−10, 20,−40, 80 . . .b) 19, 16, 13, 10, 7 . . .c) 4, 9, 16, 25, 36 . . .
5. (1p) Simplifica:3
√
1
3+
3
√
8
3=
6. (2p) Resuelve las siguientes inecuaciones:a) (2x − 5)(x + 2) 6 0
b)3
2− x 6
1
2(x + 1)
7. (1p) Halla la suma de todos los terminos de la sucesion: 6, 3, 32, 3
4, . . .
12 1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16
La ecuacion senx = sen y . Si sabemos que senx = sen y no podemos decir
que y = x. Tambien puede ser y = 180◦ − x, ya que sen(180◦ − x) = sen x.Por ejemplo, si sen x = sen 30◦, puede ser x = 30◦ o x = 150◦. En realidad
tambien podrıa ser x = 30◦, 30◦ + 360◦, 30◦ +2 · 360◦, . . . , que podrıamos expresarx = 30◦ + 360◦k y tambien x = 150◦, 150◦ + 360◦, 150◦ + 2 · 360◦, . . . que expre-sarıamos x = 150◦ + 360◦k. Como normalmente damos las soluciones entre 0◦ y360◦ damos las soluciones x = 30◦ y x = 150◦.
La ecuacion senx = sen 2x .Segun hemos visto antes puede ser 2x = x + 360k o 2x = 180 − x + 360k.En el primer caso tenemos x = 360k. Dando a k los valores k = 0 y k = 1
obtenemos x = 0◦ y x = 360◦.En el segundo caso tenemos 3x = 180 + 360k ⇒ x = 60 + 120k. Dando a k los
valores k = 0, k = 1 y k = 2 obtenemos x = 60◦, x = 180◦, x = 300◦.En el primer caso hemos dado a k dos valores, y en el segundo caso hemos dado
a k tres valores, en ambos casos los necesarios para obtener todos los angulos entre0◦ y 360◦.
Otra forma: aplicando la formula del angulo doble.
sen x = sen 2x = 2 sen x cos x
⇒2 sen x cos x− senx = 0
⇒ sen x(2 cos x− 1) = 0 ⇒
senx = 0 ⇒ x = 0◦, 180◦, 360◦.
cosx =1
2⇒ x = 60◦, 300◦.
1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16 13
(c2ev) Nombre:
1. (2p) Resolver el triangulo ABC conocidos los datos a = 15, b = 25, A =33◦.
2. (2p) Demuestra la identidad: cos α cos(α − β) + senα sen(α − β) = cos β.
3. (2p) Resuelve la ecuacion trigonometrica: senx +√
3 cos x = 2.
4. (2p) Resuelve la ecuacion trigonometrica: 1 − cos2 x = 2 sen x.
5. (2p) Desde cierto punto vemos dos arboles que distan 7.5m y 12m denosotros. Sabiendo que el angulo que forman las visuales a los dos arboleses de 80◦, halla la distancia que separa a los dos arboles.
14 1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16
1. (2p) Resolver el triangulo ABC conocidos los datos a = 15, b = 25, A =33◦. Usando el teorema de los senos,
a
senA=
b
sen B⇒ senB =
b senA
a=
25 sen 33
15= 0,91.
Entonces B = 65◦11′38′′ o B = 114◦48′22′′
Si B = 65◦11′38′′, C = 81◦48′22′′.
a
senA=
c
senC⇒ c =
a sen C
sen A=
15 sen 81◦48′22′′
sen 33= 27,26.
Si B = 114◦48′22′′, C = 32◦11′38′′.
a
senA=
c
senC⇒ c =
a sen C
sen A=
15 sen 32◦11′38′′
sen 33= 14,67.
2. (2p) Demuestra la identidad: cos α cos(α − β) + senα sen(α − β) = cos β.(1) Desarrollando,
cos α(cos α cos β + sin α sinβ) + sinα(sinα cos β − sinβ cosα)
= cos2 α cos β + sinα cos α sinβ + sin2 α cos β − sinα cos α sinβ
=(cos2 α + sin2 α) cos β
=cos β.
(2) Usando la formula del coseno de una diferencia,
cosα cos(α − β) + sinα sin(α − β)
= cos(α − (α − β)) = cos β.
3. (2p) Resuelve la ecuacion trigonometrica: senx +√
3 cos x = 2.√
3 cos x = 2 − sen x ⇒ 3 cos2 x = 4 − 4 sin x + sin2 x
⇒ 3 − 3 sin2 x = 4 − 4 sin x + sin2 x
⇒ 4 sin2 x − 4 sin x + 1 = 0 ⇒ sinx =1
2⇒ x = 30◦, 150◦.
4. (2p) Resuelve la ecuacion trigonometrica: 1 − cos2 x = 2 sen x.Sustituyendo, sin2 x = 2 sin x ⇒ sinx = 0 o sinx = 2, que es imposible.
Por tanto, x = 0, 180◦, 360◦.5. (2p) Desde cierto punto vemos dos arboles que distan 7.5m y 12m de
nosotros. Sabiendo que el angulo que forman las visuales a los dos arboleses de 80◦, halla la distancia que separa a los dos arboles.
Usando el teorema del coseno,
c2 = a2 + b2 − 2ab cosC = 168.993 ⇒ c = 13m.
1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16 15
Se consideran puntos A = (2, 5), B = (0, 0) y C = (6, 0). Hallar:
1. Mediana mA que pasa por A y el punto medio de BC .
El punto medio de BC es M = (3, 0). Hallando el vector ~u =−−→AM = (1,−5),
la ecuacion de mA sera de la forma 5x + y + K = 0, y sustituyendo x = 2, y = 5,obtenemos K = −15, por lo que tenemos mA : 5x + y − 15 = 0.
2. Mediana mB que pasa por B y el punto medio de CA.
El punto medio de CA es M = (4, 52). Hallando el vector ~u =
−−→BN = (4, 5
2) ∼
(8, 5), la ecuacion de mB sera de la forma 5x − 8y + K = 0, y sustituyendox = 0, y = 0, obtenemos K = 0, por lo que tenemos mB : 5x − 8y = 0.
3. Altura hA que pasa por A y es perpendicular a BC .
Es una recta vertical que pasa por el punto A = (2, 5), por tanto, resulta hA :x = 2.
4. Altura hB que pasa por B y es perpendicular a CA.
El vector v =−−→BN = (4,−5) es perpendicular hB, por tanto su ecuacion sera de
la forma 4x − 5y + K = 0. Como pasa por el punto B = (0, 0), tenemos K = 0 yhB : 4x − 5y = 0.
5. Mediatriz lA que es perpendicular a BC en su punto medio.
Es una recta vertical que pasa por el punto M = (3, 0), por tanto, lA : x = 3.
6. Mediatriz lB que es perpendicular a CA en su punto medio.
Podemos usar que es una paralela a la altura hB : 4x − 5y = 0, por tanto suecuacion sera 4x− 5y + K = 0, y pasando por el punto medio N = (4, 5
2), que nos
da K = −72. Por tanto, lB : 4x − 5y − 7
2= 0 o lB : 8x − 10y − 7 = 0.
7. Hallar el baricentro G de ABC , interseccion de las medianas.
Resolvemos el sistema:{
5x + y = 15
5x − 8y = 0⇒ 9y = 15 ⇒
{
y = 5/3
x = 8/3⇒ G =
(
8
3,5
3
)
.
8. Hallar el ortocentro H de ABC , interseccion de las alturas.
Resolvemos el sistema:{
x = 2
4x − 5y = 0⇒ H =
(
2,8
5
)
.
9. Hallar el circuncentro O de ABC , interseccion de las mediatrices.
Resolvemos el sistema:{
x = 3
8x − 10y = 7⇒ O =
(
3,17
10
)
.
10. Comprobar que G = 13(A + B + C).
A + B + C
3=
(2, 5) + (0, 0) + (6, 0)
3=
(8, 5)
3=
(
8
3,5
3
)
= G.
11. Comprobar que−−→HG = 2 · −→GO.
Por ser
−−→HG =
(
8
3− 2,
5
3− 8
5
)
=
(
2
3,
1
15
)
,−→GO =
(
3 − 8
3,17
10− 5
3
)
=
(
1
3,
1
30
)
,
se cumple que−−→HG = 2 · −→GO.
16 1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16
Observaciones
La formula G = 13(A + B + C) indica que G es el centro de masas del
sistema formado por A, B y C .
La formula−−→HG = 2 · −→GO indica que H, G y O estan alineados. Dicha
formula se cumple en cualquier triangulo, indicando no solo que estos trespuntos estan alineados, sino que siempre estan alineados manteniendo estaproporcion. A la recta que pasa por H, G y O se le llama recta de Eulerdel triangulo ABC .
1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16 17
Consideramos las rectas los puntos A = (0, 0), B = (2, 1), C = (1, 3) y las rectas
r1 : 2x − 3y + 5 = 0, r2 : 3x − y − 7 = 0, r3 :x − 2
3=
y − 1
−1. Hallar:
1. El punto medio del segmento AB.
2. La ecuacion general de la recta que pasa por A y B.
3. Un punto y un vector de cada una de las rectas r1, r2, r3.
4. La pendiente de cada una de las rectas r1, r2, r3.
5. Un vector perpendicular a r1.
6. La ecuacion implıcita de la recta paralela a r1 que pasa por B.
7. Unas ecuaciones parametricas de la recta perpendicular a r2 que pasa porC .
8. El producto escalar de los vectores−→AB y
−→AC.
9. El angulo formado por las rectas AB y AC .
10. La distancia del punto A a la recta r1.
11. El punto de interseccion de las rectas r1 y r2.
12. El punto simetrico de A respecto de B.
13. El punto simetrico de A respecto de la recta r1.
14. La ecuacion de la circunferencia con centro A que pasa por B.
15. Los dos puntos que trisecan el segmento AB.
18 1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16
Consideramos los puntos A = (0, 0), B = (2, 1), C = (1, 3). Hallar:
16. La distancia del punto A a la recta BC .
17. La distancia entre los puntos B y C .
18. El area del triangulo ABC .
19. Las ecuaciones de las alturas hb y hb.
20. (Usando el apartado anterior) Las ecuaciones de las mediatrices lb y lc.
21. El baricentro del triangulo ABC .
22. El ortocentro del triangulo ABC .
23. (Usando los dos apartados anteriores) El circuncentro del triangulo ABC .
24. El angulo A del triangulo ABC .
25. El angulo formado por las rectas hb y hc.
Otros ejercicios:
26. Unas ecuaciones parametricas, otras continuas y la ecuacion implıcita dela recta y = 2x.
27. Halla el angulo formado por las rectas y = 3x e y = 4x.
28. Halla los valores de m para que la recta y = mx forme un angulo 60◦ conla recta y = 2x.
29. Las ecuaciones explıcitas de las rectas paralelas a y = 2x que distan 3unidades de ella.
30. Las ecuaciones implıcitas de las bisectrices del angulo formado por lasrectas y = 0 y 3x − 4y = 0.
1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16 19
Consideramos las rectas los puntos A = (0, 0), B = (2, 1), C = (1, 3) y las rectas
r1 : 2x − 3y + 5 = 0, r2 : 3x − y − 7 = 0, r3 :x − 2
3=
y − 1
−1. Hallar:
1. El punto medio del segmento AB.Sol : M = 1
2(A + B) = (1, 1
2).
2. La ecuacion general de la recta que pasa por A y B.
Sol :−→AB = (2, 1) ⇒ x− 2y + K = 0 ⇒ x − 2y = 0.
3. Un punto y un vector de cada una de las rectas r1, r2, r3.Sol : ~u = (3, 2), ~v = (1, 3) y ~w = (3,−1) son vectores de r1, r2, r3.P = (2, 3), Q = (0,−7) y R = (2, 1) son puntos de las rectas r1, r2, r3.
4. La pendiente de cada una de las rectas r1, r2, r3.Sol : m1 = 2/3, m2 = 3 y m3 = −1/3 son las pendientes de las rectasr1, r2, r3.
5. Un vector perpendicular a r1.Sol : (2,−3) es perpendicular a r1.
6. La ecuacion implıcita de la recta paralela a r1 que pasa por B.Sol : 2x − 3y + K = 0 ⇒ K = −1 ⇒ 2x − 3y − 1 = 0.
7. Unas ecuaciones parametricas de la recta perpendicular a r2 que pasa porC .Sol :
{
x = 1 + 3t
y = 3 − t.
8. El producto escalar de los vectores−→AB y
−→AC.
Sol :−→AB = (2, 1) y
−→AC = (1, 3) ⇒ −→
AB · −→AC = 2 + 3 = 5.9. El angulo formado por las rectas AB y AC .
cos(AB, AC) =∣
∣
∣cos(
−→AB,
−→AC)
∣
∣
∣=
5√5√
10=
5
5√
2=
1√2⇒ (AB, AC) = 45.
10. La distancia del punto A a la recta r1.
d(A, r1) = d ((0, 0), 2x − 3y + 5 = 0) =5√13
.
11. El punto de interseccion de las rectas r1 y r2.Sol : Resolviendo el sistema se obtiene x = 26/7, y = 29/7.
12. El punto simetrico de A respecto de B.Sol : A = 2B − A = (4, 2).
13. El punto simetrico de A respecto de la recta r1.Sol : Se halla la interseccion de r1 y su perpendicular por A, la recta 3x +2y = 0 y se obtiene el punto Q = (−10
13, 15
13). El simetrico es A′ = 2Q−A =
(−2013
, 3013
).14. La ecuacion de la circunferencia con centro A que pasa por B.
Sol : x2 + y2 − 5 = 0.15. Los dos puntos que trisecan el segmento AB.
Sol : M = (23, 1
3) y N = (4
3, 2
3).
16. La distancia del punto A a la recta BC .Sol :
d(A, BC) = d ((0, 0), 2x + y − 5 = 0) =5√5
=√
5.
17. La distancia entre los puntos B y C .
Sol :−−→BC = (1, 2) ⇒ d(B, C) =
√5.
18. El area del triangulo ABC .Sol : Usando los dos apartados anteriores, el area es 5
2.
20 1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16
19. Las ecuaciones de las alturas hb y hb.Sol : x + 3y − 5 = 0 y 2x + y − 5 = 0.
20. (Usando el apartado anterior) Las ecuaciones de las mediatrices lb y lc.Sol : Son paralelas a las alturas: x + 3y − 5 = 0 y 2x + y − 3
2= 0.
21. El baricentro del triangulo ABC .Sol : G = (1, 4
3).
22. El ortocentro del triangulo ABC .Sol : H = (2, 1).
23. (Usando los dos apartados anteriores) El circuncentro del triangulo ABC .Sol : O = (1
2, 3
2).
24. El angulo A del triangulo ABC .Sol : Lo mismo que en el problema 9.
25. El angulo formado por las rectas hb y hc.Sol : Coincide con el angulo del problema anterior, ya que cada altura esperpendicular al lado correspondiente.
26. Unas ecuaciones parametricas, otras continuas y la ecuacion implıcita dela recta y = 2x.Sol : Las ecuaciones son en ese orden:
{
x = t
y = 2t,
x − 0
1=
y − 0
2, 2x − y = 0
27. Halla el angulo formado por las rectas y = 3x e y = 4x.Sol :
tan(r, s) =
∣
∣
∣
∣
3 − 4
1 + 3 · 4
∣
∣
∣
∣
=1
13⇒ (r, s) = 4◦23′55,33′′.
28. Halla los valores de m para que la recta y = mx forme un angulo 60◦ conla recta y = 2x.Sol :∣
∣
∣
∣
m − 2
1 + 2m
∣
∣
∣
∣
=√
3 ⇒ m2 − 4m + 4
4m2 + 4m + 1= 3
⇒ m2 − 4m + 4 = 12m2 + 12m + 3
⇒ 11m2 + 16m − 1 = 0.
⇒ m =−16 ±
√256 + 44
22=
−16 ±√
300
22=
−8 ±√
75
11=
−8 ± 5√
3
11.
29. Las ecuaciones explıcitas de las rectas paralelas a y = 2x que distan 3unidades de ella.Sol : y = 2x ± 3
√5.
30. Las ecuaciones implıcitas de las bisectrices del angulo formado por lasrectas y = 0 y 3x − 4y = 0.Sol : Un punto que este en cualquiera de estas bisectrices debe cumplir:
|y| =|3x − 4y|
5⇒ 3x − 4y = ±5y ⇒
{
3x − 4y = 5y ⇒ 3x = 9y
3x − 4y = −5y ⇒ 3x = −y.
Entonces las bisectrices son 3x + y = 0 y x − 3y = 0.
1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16 21
Nombre:
1. (1.5p) Resuelve la ecuacion trigonometrica: sen 2x cos x = 6 sen3 x.
2. (1.5p) Demuestra la identidad cos(α + β) · cos(α − β) = cos2 α − sen2 β.
3. (1.5p) Resuelve el triangulo ABC con A = 35◦, B = 65◦ y a = 2 cm.
4. (1.5p) Dada la recta r : 2x − 3y + 5 = 0, halla las coordenadas del puntosimetrico P ′ de P = (3, 0) respecto de r.
5. (1.5p) Halla la ecuacion general de la recta que pasa por el punto A =(3,−5) y por el punto de interseccion de las rectas 3x − y − 2 = 0 yx + y − 2 = 0.
6. (1p) Calcula la distancia del punto A = (1, 5) a la recta r : 2x− y− 5 = 0.
7. (1p) Halla unas ecuaciones parametricas de la recta r : 3x − 4y − 5 = 0.
8. (0.5p) Halla el angulo formado por las rectas y = 2x + 3 e y = 3x + 2.
22 1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16
El mundo de las funciones
(a). Es una recta que pasa por (0, 2), por tanto y = 2 + mx. Para que tambienpase por (−2, 0), es m = 1, por tanto y = x + 2.
(b). Lo mismo y = 3 −mx. Para que pase por (1, 0), y = 3 − 3x.(c). Es una parabola con ramas hacia abajo y = 4−ax2. Para que y = 0 cuando
x = 2, a = 1, por tanto y = 4 − x2.(d). Una parabola que corta a y = 0 en x = −3 y x = 0. Cualquiera de la forma
y = ax(x + 3).(e). Una cubica que corta a y = 0 en x = −1, x = 0 y x = 1. Cualquiera de la
forma y = ax(x− 1)(x + 1) con a > 0.(f). Una cubica que corta a y = 0 en x = 0, x = 1 y x = 2. Cualquiera de
la forma y = ax(x − 1)(x − 2) con a < 0 para que la y comience y acabedecreciente.
(g). Una cuartica que corta en 0, 1 y 2 al eje x, siendo x = 1 una raız doble.Cualquiera de la forma y = ax(x− 1)2(x − 2) con a > 0.
(h). Una cubica que comienza decreciendo, corta al eje x en x = 0 y tiene unaraiz doble en x = 1. Cualquiera de la forma y = ax(x − 1)2 con a < 0.
(i). Una parabola que corta en x = 1 (doble). Serıa dela forma y = −a(x−1)2.Para que sea y = −2 cuando x = 0 tiene que ser y = −2(x − 1)2.
(j). Aquı tenemos una hiperbola de la forma y = kx. Para que y = 2 cuandox = 1, debe ser y = 2/x.
(k). Es una traslacion de la anterior con vector (2, 1): y = 1 + 2/(x − 2).(l). Puede ser de la forma y = k/x2 con k > 0. Como para x = 2 queremos
y = 2, debe ser k = 8. Por tanto, y = 8/x2.(m). y = |x|.(n). y = −|x| − 2.(n). y = |2x/3|.
1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16 23
(2r) Nombre:
1. (1.5p) Resuelve la ecuacion trigonometrica: cos 2x + 3 sen x = 2.
2. (1.5p) Demuestra la identidad√
2 cos(π
4− α
)
= sen(α) + cos α.
3. (1.5p) Resuelve el triangulo ABC con A = 35◦, b = 3 cm y a = 2 cm.
4. (1.5p) Halla la ecuacion continua y la ecuacion implıcita de la recta quepasa por los puntos A = (2,−1) y B = (2,−3).
5. (1p) Halla la ecuacion general de la recta que pasa por el punto A = (3,−5)y es perpendicular a la recta 3x − y − 2 = 0.
6. (1p) Calcula el punto simetrico del punto A = (1,−5) respecto del puntoB = (2,−3).
7. (1p) Halla la ecuacion implıcita de la recta
{
x = 2 − 3t
y = 3 + t.
8. (1p) Halla el angulo formado por las rectas x + y− 5 = 0 y x− 3y− 2 = 0.
24 1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16
1. Representa y = 8/x usando una tabla y usa el resultado para representary = 8
x− 2 e y = 8
x−2.
2. Representa las funciones y = ln(x + 1) e y = ln |x| sin el uso de tablas.
3. Calcula y representa lımx→u
f(x) siendo f(x) = (x2 − 5x + 6)/(x2 − 4) y
u = −∞,−2, 0, 2, +∞.
4. Calcula y representa las asıntotas que pueda tener la funcion f(x) = x4
x3−8.
5. Halla la funcion compuesta de f y g, siendo f(x) =√
x + 1 y g(x) =(x2 − 1)2.
6. Estudia la continuidad de la funcion definida por la formula:
f(x) =
x2
x + 1si x < 0
2x si x > 0.
7. Halla la funcion recıproca de la funcion f(x) = 3x−1x−2
.
8. Calcula, usando la definicion, la derivada de f(x) = x2 + x.
9. Halla la ecuacion de la recta tangente a la curva y = x2 − 2x en el puntox = 2. Dibuja la curva y su tangente.
10. Halla la derivada de las funciones f(x) = ex+2 y f(x) = ex
x.
11. Halla la derivada de las funciones f(x) = (x−2)2
x3 y f(x) = x2 lnx.
12. Suponiendo demostrado que (ex)′ = ex, demostrar que (lnx)′ = 1/x.
1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16 25
Nombre:
1. (1p) Representa la funcion y = 1 − ln(x + 1) sin el uso de tablas.
2. (1.5p) Calcula y representa las asıntotas: f(x) =x2 − 3x + 4
x − 1.
3. (1.5p) Estudia la continuidad de la funcion definida por la formula:
f(x) =
x2
x + 1si x < 0
2x si x > 0.
4. (1p) Calcula el lımite lımx→−∞
(
x2 + 1
x − 1− x2 − 3
x + 3
)
5. (1.5p) Calcula, usando la definicion, la derivada de f(x) = x3.
6. (1p) Halla la ecuacion de la recta tangente a la curva y = x2 + 2x en elpunto x = −2. Dibuja la curva y su tangente.
7. (2.5p) Halla la derivada f(x) en los siguientes casos:a) f(x) = ln(3x2 + 3x)
b) f(x) =x + 5
x − 5c) f(x) =
√5x +
√5 − x
d) f(x) = sen(3x) + cos(3x)e) f(x) = xe3x
26 1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16
(1a3a) Nombre:
1. (1.5p) Resolver la ecuacion 22x − 4x+1 = 12.
2. (1.5p) Resolver la ecuacion log2 (x + 1) − log2 (x − 1) = log2 (3x − 7).
3. (1.5p) Resolver la ecuacion√
x − 1 +√
x + 2 = 3.
4. (1.5p) Estudiar la continuidad de la funcion
f(x) =
x2
x + 1si x 6 0
2x si x > 0.
5. (1.5p) Halla y representa las asıntotas de la funcion f(x) =x2
x + 2.
6. (1p) Halla la derivada de f(x) = x2 · sen2 x.
7. (1.5p) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la funcion
f(x) =x2 − 5x
x + 4.
1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16 27
(3a) Nombre:
1. (2p) Estudiar la continuidad de la funcion
f(x) =
x2
x + 1si x 6 0
2x si x > 0.
2. (2p) Halla y representa las asıntotas de la funcion f(x) =x2
x + 2.
3. (3p) Halla la derivada de f en los siguientes casos:a) f(x) = x2 · sen2 x.b) f(x) =
√1 + lnx.
c) f(x) = ex · tanx.
4. (2p) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la funcion
f(x) =x2 − 5x
x + 4.
5. (1p) Halla la funcion recıproca de f(x) =x
x − 1.
28 1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16
(2a3a) Nombre:
1. (1,5p) Resolver el triangulo ABC conociendo B = 35◦, b = 7 cm y c = 8cm.
2. (1,5p) Dos observadores separados 250 m ven un globo estatico entre ellosbajo angulos de 72◦ y 85◦. ¿A que altura se encuentra el globo?
3. (1,5p) Dados los puntos A = (0, 0), B = (2, 1) y C = (1, 3), hallar el puntosimetrico de A respecto de la recta BC .
4. (1,5p) Estudiar la continuidad de la funcion
f(x) =
x2
x + 1si x 6 0
2x si x > 0.
5. (1,5p) Halla y representa las asıntotas de la funcion f(x) =x2
x + 2.
6. (1p) Halla la derivada de f(x) = x2 · sen2 x.
7. (1,5p) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la funcion
f(x) =x2 − 5x
x + 4.
1◦
BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16 29
(Todo) Nombre:
1. (1p) Resolver la ecuacion 22x − 4x+1 = 12.
2. (1p) Resolver la ecuacion log2 (x + 1) − log2 (x − 1) = log2 (3x − 7).
3. (1p) Resolver el triangulo ABC conociendo B = 35◦, b = 7 cm y c = 8 cm.
4. (1p) Demostrar la identidad tan2 α − sen2 α = tan2 α · sen2 α.
5. (1p) Dos observadores separados 250 m ven un globo estatico entre ellosbajo angulos de 72◦ y 85◦. ¿A que altura se encuentra el globo?
6. (1p) Dados los puntos A = (0, 0), B = (2, 1) y C = (1, 3), hallar el puntosimetrico de A respecto de la recta BC .
7. (1p) Estudiar la continuidad de la funcion
f(x) =
x2
x + 1si x 6 0
2x si x > 0.
8. (1p) Halla y representa las asıntotas de la funcion f(x) =x2
x + 2.
9. (1p) Halla la derivada de f(x) = x2 · sen2 x.
10. (1p) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la funcion
f(x) =x2 − 5x
x + 4.
(3 ev) Nombre: __________________________________________________________
1. (1p) Estudia la continuidad de la función2 si 1
( ) .14 2 si 1
x xf x x
x x
− ≤= + − >
2. (1p) Halla la función recíproca de ln( 1).y x= −
3. (1p) Halla los valores de a y b sabiendo que la función la ecuación de la recta tangente a la función 3( )f x x ax b= + + tiene un mínimo relativo en el punto de coordenadas (2,1).
4. (1,5p) Halla y representa las asíntotas de la función 2
2 .2 1xy
x x=
− +
5. (1,5p) Estudia el crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos (absolutos y
relativos) de la función 2
.4
xyx
=+
6. (3p) Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a. 3
1
2xxy e − =
b. arctany x=
c. 3 2cosy x=
7. (1p) Halla el valor de x para que las tangentes a las curvas 23 2 5y x x= − + e 2 6y x x= + sean paralelas y escribe las ecuaciones de esas tangentes.