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FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
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Presentación Axiomática de los Reales
Axiomas de Cuerpo: Se postula la existencia de un conjunto denotado por , cuyos
elementos se llaman números reales, que está provisto de dos operaciones, una adición y
una multiplicación que satisfacen:
A1) ( ) ( )a b c a b c+ + = + + , , ,a b c∀ ∈
A2) a b b a+ = + , ,a b∀ ∈
A3) Existe 0∈ tal que 0 ,a a+ = a∀ ∈
A4) Para cada elemento a∈ existe un elemento b∈ tal que 0a b+ =
M1) ( ) ( )a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ , , ,a b c∀ ∈
M2) a b b a⋅ = ⋅ , ,a b∀ ∈
M3) Existe 1∈ , 1 0≠ , tal que 1 ,a a⋅ = a∀ ∈
M4) Para cada elemento a∈ , no nulo, existe un elemento c∈ , tal que
1a c⋅ =
D) ( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅ , , ,a b c∀ ∈
Definición: ( )a b a b− = + − , ,a b∀ ∈
1a a bb
−= ⋅ , , , 0a b b∀ ∈ ≠
Consecuencias de los axiomas de cuerpo de
1.- Unicidad del 0 y del 1
2.- Unicidad de los opuestos e inversos.
3.- a c b c a b+ = + ⇔ =
4.- 0,c a c b c a b≠ ⋅ = ⋅ ⇔ =
5.- ( )1 a a− ⋅ = −
6.- ( )a a− − =
7.- ( ) ( ) ( )a b a b a b− ⋅ = ⋅ − = − ⋅ ; ( ) ( )a b a b− ⋅ − = ⋅
8.- Si 0,a ≠ la ecuación a x b c⋅ + = tiene solución única en .
9.- ( ) ( ) ( )a b a b a b− + = − + − = − −
10:- ( )a b a b− + = − − , ( )a b a b− − = − +
11.- 0 0 0a b a b⋅ = ⇔ = ∨ =
12.- Si 0a ≠ , entonces ( ) 11a a−− =
13.- Si , 0,a b ≠ entonces ( ) 1 1 1a b a b− − −⋅ = ⋅
14.- Si , 0b d ≠ , a c a d b cb d= ⇔ ⋅ = ⋅
15.- Si , 0b c ≠ , a a cb b c
⋅=⋅
16.- Si 0,c ≠ a b a bc c c
±± =
17.- Si , 0,b d ≠ a c a cb d b d
⋅⋅ =⋅
18.- Si , , 0,b c d ≠ a c a db d b c÷ = ⋅
19.- Si , 0b d ≠ , a c a d b cb d b d
⋅ ± ⋅± =⋅
Axiomas de Orden
Postulamos la existencia de un subconjunto IP de , cuyos elementos llamaremos números positivos, que verifica: O1) , , ,a b a b IP a b IP∀ ∈ ∈ ⇒ + ∈ O2) , , ,a b IR a b IP a b IP∀ ∈ ∈ ⇒ ⋅ ∈ O3) Dado a∈ , se verifica una y sólo una de las alternativas:
, 0,a IP a a IP∈ = − ∈
Definición.- Dados ,a b∈ , a b b a IP< ⇔ − ∈
a b a b a b≤ ⇔ < ∨ =
a b b a> ⇔ <
a b b a≥ ⇔ ≤
Consecuencias de los axiomas de orden:
1.- a∀ ∈ , 0a a IP> ⇔ ∈
2.- a∀ ∈ 0 0a a< ⇔ − >
3.- Para cada 0,a ≠ 2 0a > . En particular, 1 0> .
4.- Para , ,a b c∈ , a b
a cb c<
⇒ <<
5.- Para , ,a b c∈ , a b a c b c< ⇔ + < +
6.- Para , , , ,a b c d ∈ a b
a c b dc d
<⇒ + < +
<
7.- Para , , , 0,a b c c∈ > a b a c b c< ⇔ ⋅ < ⋅
8.- Para , , , 0,a b c c∈ < a b a c b c< ⇔ ⋅ > ⋅
9.- 10 0a a−> ⇔ > ; 10 0a a−< ⇔ <
10.- ( )( )
0 00
0 0a b
a ba b
> ∧ >⋅ > ⇔ ∨
< ∧ <
11.- ( )( )
0 00
0 0a b
a ba b
> ∧ <⋅ < ⇔ ∨
< ∧ >
12.- Para , 0a b > , 1 1a b a b− −< ⇔ >
Definición de Intervalos.-
Si ,a b∈ , ,a b< se definen los intervalos:
{ }, :a b x IR a x b = ∈ < <
{ }, :a b x IR a x b = ∈ ≤ ≤
{ }, :a b x IR a x b = ∈ ≤ <
{ }, :a b x IR a x b = ∈ < ≤
{ }, :a x IR x a +∞ = ∈ >
{ }, :a x IR x a +∞ = ∈ ≥
{ }, :a x IR x a −∞ = ∈ <
{ }, :a x IR x a −∞ = ∈ ≤
Consideramos la correspondencia entre el conjunto de los números reales y los puntos de
una recta, mediante la elección de un sistema coordenado en la recta.-
Valor Absoluto.-
Definición Geométrica.- Si a es un elemento de , su valor absoluto, a , se define
como la distancia del punto de coordenada a al origen del sistema.
Definición.- Si a∈ , definimos:
, si 0, si 0
a aa
a a
≥=
− <
Propiedades del Valor Absoluto.-
1.- 0 ,a a≥ ∀ ∈
2.- , 0 0a IR a a∀ ∈ = ⇔ =
3.- ,a IR a a∀ ∈ − =
4.- , ,a b∀ ∈ a b a b⋅ = ⋅
5.- , ,a b∀ ∈ 0,b ≠ aa
b b=
6.- , ,a b∀ ∈ a b a b± ≤ +
7.- , ,a b∀ ∈ a b a b− ≤ ±
8.- , ,a b∀ ∈ a b a b a b= ⇔ = ∨ = −
9.- Si 0c > , entonces :x∀ ∈ x c x c x c= ⇔ = ∨ = −
x c c x c< ⇔ − < <
x c x c x c> ⇔ > ∨ < −
Los Números Naturales.- Definición.- Un subconjunto S ⊆ se dice inductivo si verifica las siguientes
condiciones:
i) 1 S∈
ii) ,x∀ ∈ 1x S x S∈ ⇒ + ∈ .
Por axioma, se postula la existencia de un menor subconjunto inductivo de , que se
llama conjunto de los números naturales, .
De la definición de resulta el:
Principio de Inducción Matemática: Si S ⊆ es un subconjunto inductivo de , es
decir, si: i) 1 S∈
ii) ,x∀ ∈ 1x S x S∈ ⇒ + ∈ ,
entonces S = .
Consecuencias:
1.- 1 es el menor elemento de
2.- Dado n∈ , no existe un natural k tal que 1n k n< < + .
3.- Todo subconjunto no vacío, S de , tiene un menor elemento. (Principio del
Buen Orden de ).
Conjunto de los números enteros: { } { }0 :n n= ∪ ∪ − ∈
Conjunto de los números racionales: { }: , , 0p q qpq
= ∈ ≠
Potencias de exponente entero.- Sea a∈ .
Se define: 1a a=
Y si para n ∈ , na ∈ está definido, se define: 1n na a a+ = ⋅ .
Si 0a ≠ , se define: 0 1a =
( )1 1nnna a
a− −= = , para cada n∈ .
Propiedades.- Si ,a b∈ (no nulos si es necesario) y si ,p q∈ , se tiene:
1.- p q p qa a a +⋅ = 2.- p
p qq
aa
a−=
3.- ( )qp p qa a= 4.- ( ) p p pa b a b⋅ = ⋅
5.- p p
p
a ab b
=
6.- p pa b
b a
−
=
7.- p q
q p
a bb a
−
− =
8.- Si ,a b ∈ son positivos y n ∈ , se tiene
n na b a b< ⇔ <
n na b a b− −< ⇔ >
9.- Si 1a > y si ,m n ∈ , se tiene: m n> ⇒ m na a>
Si 0 1a< < y si ,m n ∈ , se tiene: m n> ⇒ m na a<
Indicación: Para 1a > se prueba que 1, na n> ∀ ∈ .
Conjuntos acotados. Supremo e ínfimo.-
Sea S ⊆ .
Definición.- Diremos que un número real b es una cota superior de S , si
,b x x S≥ ∀ ∈ .
Observaciones: Si b∈ es una cota superior de S entonces cualquier número real
mayor que b también es cota superior de S.
Si existen cotas superiores para un conjunto S decimos que S tiene cotas superiores o
que S es acotado superiormente.
Definición.- La menor de todas las cotas superiores de un conjunto S (si existe) se llama
supremo de S: sup( S ).
Definición.- Un número real c es cota inferior de S si
,c x x S≤ ∀ ∈
Si c∈ es una cota inferior para un subconjunto S de , entonces todo número menor
que c también es cota inferior de S.
Si existen cotas inferiores para un conjunto S decimos que S tiene cotas inferiores o que
S es acotado inferiormente.
La mayor de todas las cotas inferiores de S, si existe, se llama ínfimo de S: ( )ínf S .
Definición.- Si S es acotado superior e inferiormente decimos que es acotado.
Observaciones.-
Si S ⊆ tiene un mayor elemento, es decir si existe u S∈ , tal que ,u x x S≥ ∀ ∈ ,
entonces este mayor elemento es el supremo de S.
Si S ⊆ tiene un menor elemento, es decir si existe v S∈ , tal que ,v x x S≤ ∀ ∈ ,
entonces este menor elemento es el ínfimo de S.
Recíprocamente, si el supremo de un conjunto S pertenece al conjunto, entonces él es el
mayor elemento de S.
Análogamente si el ínfimo de S pertenece a S, él es el menor elemento de S.
El ínfimo o el supremo de un conjunto S, si existen, pueden no pertenecer al conjunto.
El conjunto vacío no tiene supremo ni ínfimo, pero es acotado.
Axioma del Supremo.-
Todo subconjunto acotado superiormente y no vacío, tiene supremo.
Consecuencias.-
1.- Todo subconjunto acotado inferiormente y no vacío tiene ínfimo.
Basta mostrar que ( ) ( )supínf S S= − − .
2.- El conjunto IN de los naturales no es acotado superiormente.
Esta propiedad es la Propiedad Arquimedeana de
Es equivalente a afirmar que:
Dado 0ε > existe n∈ tal que 1n
ε<
3.- Existencia de elementos en que no son racionales, es decir, existencia de
números irracionales.
4.- Existencia de raíces n-ésimas de números reales.
5.- Definición de potencias de exponentes racionales y bases positivas.
6.- Definición de potencias de exponentes reales (irracionales) y bases positivas.
7.- Densidad de los racionales y de los irracionales en .
8.- Identificación de los reales con los puntos de una recta. Completitud de .
El conjunto provisto de las operaciones algebraicas y el orden que verifican todos los
axiomas presentados en este capítulo, se dice que es un campo o cuerpo conmutativo,
ordenado, arquimedeano y completo, y por su identificación con los puntos de una recta
graduada, nos referimos a diciendo que es la recta real, y a los números reales como
puntos de la recta real.
Propiedades de las raíces.-
Sean ,a b reales positivos y ,m n∈ . Se tienen las siguientes propiedades:
1) n n na b a b⋅ = 2) n
nn
a ab b=
3) m n mna a= 4) mn m nm na a a +⋅ =
5) m
mn n mn
a aa
−= 6) .mn n mm na b a b=
7) n na b a b< ⇒ < 8) ( ) y 1 m nm n a a a> > ⇒ <
9) ( ) y 1 m nm n a a a> < ⇒ >
Definición.- Si r∈ es un racional, lo escribimos prq
= con , p q∈ ∈ , primos
entre sí y para 0a > definimos:
( )1 p
pqr qa a a
= =
Propiedades de las potencias de exponente racional.- Para , , , 0r s a b∈ > , se tiene:
1) r s r sa a a +⋅ = 2.- r
r ss
aa
a−=
3.- ( )sr r sa a= 4.- ( )r r ra b a b⋅ = ⋅
5.- r r
r
a ab b
=
6) ( )0 r rr a b a b> ∧ < ⇒ < , ( )0 r rr a b a b< ∧ < ⇒ >
7) ( )1 y r sa r s a a> > ⇒ >
8) ( )1 y r r sa s a a< > ⇒ < .
Observación.- Con ayuda del axioma del supremo es posible extender la noción de
potencias de base positiva y exponentes racionales a exponentes irracionales y estas
potencias tienen todas las propiedades mencionadas para las de exponente racional.