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UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Aritmética y Algebra
Lic. VICTOR YAPUCHURA PLATERO
TACNA - PERU
CEPU 2011
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ii Aritmética y Algebr Centro Pre Universitario de la UNJBG
DERECHOS RESERVADOS – COPYRIGHT Centro Pre Universitariode la Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann – Tacna
Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, grabada en sistema dealmacenamiento o trasmitida en forma alguna, ni por cualquier procedi-miento, ya sea electrónico, mecánico, reprográfico, magnético o cual-quier otro sin autorización previa y por escrito del Centro Pre Universita-rio
Exclusivo para enseñanza en los claustro de la U.N.J.B.G.
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Indice iii
INDICEPäg.
ITEORÍA DE CONJUNTOS1. Conjunto 12. Relación de pertenencia 13. Determinación de conjuntos 14. Clases de conjuntos 15. Relaciones entre conjuntos 26. Representación grafica de conjuntos 37. Operaciones entre conjuntos 4
Problemas resueltos (conjuntos) 6Problemas propuestos 13
IISISTEMA DE NUMERACIÓN1. Base de un sistema de numeración 152. Sistema decimal: 153. Principales sistemas de numeración 154. Escritura de un número de cualquier sistema de numeración 165. Escritura literal de los números 166. Número capicúa 167. Descomposición polinómica de un número 168. Descomposición en bloques 179. Conversión de números a diferentes bases 1710. Conversión de sistemas en los números menores que la unidad 1911. Casos especiales de conversión. 19Problemas resueltos (sistemas de numeración) 20Problemas propuestos 25CUATRO OPERACIONES 261. Suma o adición 262. Resta o Sustracción 263. Multiplicación 284. División: 28
Problemas resueltos (cuatro operaciones) 29Problemas propuestos 34
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IIIPROPIEDAD DE LOS NÚMEROSI. DIVISIBILIDAD: 36
1) Divisibilidad de Números: 362) Notación y representación de los múltiplos de un número: 363) Operaciones y Propiedades: 374) Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton y Restos Potenciales 375) Criterios de divisibilidad 40
II. NÚMEROS PRIMOS 431. Conceptos Básicos 432. Teorema Fundamental de la Aritmética 453. Estudio de los Divisores de un número entero (N) 45
III. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 461. Máximo Común Divisor (MCD) 462. Mínimo Común Múltiplo (MCM) 483. Propiedades de MCD y MCM 494. Casos especiales 49
Problemas resueltos (propiedad de los números) 50Problemas propuestos 56
IVNÚMEROS FRACCIONARIOS1. Clasificación 58
A. Por comparación de sus términos 58B. Por su denominador: 59
2. MCD y MCM de Números Fraccionarios 613. Número Decimal 61
Problemas resueltos (números fraccionarios) 63Problemas propuestos 70
VRAZONES Y PROPORCIONESI. RAZONES 72II. PROPORCIONES 72
Proporción Aritmética 72Proporción Geométrica 73
Promedio: 74Propiedades 75Problemas resueltos (razones – proporciones y promedios) 76Problemas propuestos 85
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Indice v
VIREGLA DE TRES1. Regla de 3 simple: 872. Regla de 3 Compuesta 88PORCENTAJES 89Aplicación: 90
Problemas resueltos (regla de tres y porcentajes) 91Problemas propuestos 97
VIITEORÍA DE EXPONENTES, ECUACIONES EXPONENCIALES YVALOR NUMÉRICOTeoría de exponentes 99Leyes de exponentes 99Ecuaciones exponenciales 101
Problemas resueltos 101Problemas propuestos 108
VIIIPOLINOMIO: GRADO, POLINOMIOS ESPECIALES, OPERACIONES,PRODUCTOS NOTABLES.2. Grado de expresiones algebraicas 1103. Polinomios especiales 1114. Operaciones con expresiones algebraicas 112Productos notables 112
a) Binomio al cuadrado: 112b) Producto de una suma por su diferencia 112c) Binomio al cubo 113d) Trinomio al cuadrado 113e) Producto de un binomio por un trinomio queda una suma 113
o diferencia de cubos. 113f) Producto de dos binomios que tienen un término común 113g) Identidades de Legendre 113h) Identidades de Lagandre 113
Problemas resueltos 113Problemas propuestos 120
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IXDIVISIÓN, TEOREMA DEL RESTO, COCIENTES NOTABLESI. División algebraica 122Definición 122Casos de la División: 122Método de Ruffini 124Teorema del resto 124Cocientes notables 124Determinación de un termino cualquiera de un C.N. 125
Problemas resueltos 126Problemas propuestos 132
XFACTORIZACIÓN: DIVERSOS MÉTODOSFactorización 134Métodos de factorización 1341.- factor común 1342. Método de identidades 1353. Método del aspa 136
a) Aspa simple 136b) Aspa doble 137
4. Método de divisores binomios 1385. Método de artificio de calculo 139
a) Reducción a diferencia de cuadrados 139b) Método de sumas y restas 140c) Cambio de variable: 140
Problemas resueltos 141Problemas propuestos 145
XIMÁXIMO COMÚN DIVISOR – MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, FRACCIONES,SIMPLIFICACIÓNI. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios 147II. Fracciones algebraicas 147III Simplificación de fracciones 148
Operaciones con fracciones algebraicas 148* suma y resta: 148* multiplicación y división : 148
Problemas resueltos 149
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Indice viiProblemas propuestos 156
XIIRADICACIÓN, VERDADERO VALOR, ECUACIONES E INECUACIONESI. Radicación de expresiones algebraicas 158
Leyes de signos 158Raíz de un monomio 158Raíz cuadrada de un polinomio 159Radicales dobles 160Racionalización 161
II. Verdadero valor de fracciones algebraicas 164III. Ecuaciones 166
Clasificación de las ecuaciones 166Ecuaciones de primer grado 167Ecuaciones de segundo grado 167Discusión de las raíces de la ecuación de segundo grado 168Propiedades de las raíces 168Formación de una ecuación de segundo grado.- 168
IV. Desigualdades e inecuaciones 168Método de los puntos críticos para resolver inecuaciones: 168
Problemas resueltos 171Problemas propuestos 178
XIIIVALOR ABSOLUTO, RELACIONES Y FUNCIONESValor absoluto 180Relaciones 1821. Pares ordenados, producto cartesiano 1822. Relación 1823. Dominio y rango de relaciones 1834. Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano 183Funciones 1831. Funciones: 1832. Dominio y rango de una función 1843. Gráfica de funciones 185Composición de funciones 187
Problemas resueltos 187Problemas propuestos 189BIBLIOGRAFÍA 191
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PRESENTACIÓNEl Centro Pre-Universitario de la Universidad Nacional Jorge Basadre Groh-
mann que inició sus actividades el 04 de enero de 1988 gracias al empuje desus autoridades y un grupo de docentes
Joven estudiante pensando en tu preparación para el ingreso a la Universi-dad es que se ha preparado este texto, que nos ha demandado bastante es-fuerzo humano y material, y que es posible que contenga errores, pero cree-mos que es así como se avanza, y en el camino se irán corrigiendo. Ahora teplanteamos el reto de que sepas responder ante este esfuerzo
Ing. Salomón Ortiz QuintanillaJefe del Centro Pre-Universitario de la UNJBG
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ITEORIA DE CONJUNTOS
1. CONJUNTO
Agrupación de elementos que tienen características similares. Para simbolizarconjuntos se emplean letras mayúsculas: A, B, C, ...... los elementos del con-junto se simbolizan con letras minúsculas: a, b, c, ...... por ejemplo:
upecA ,,,2. RELACION DE PERTENENCIA
Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de ella.
Ejm: Si edcbaA ,,,,
Ag Af Ac Aa
3. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
a) Extensión: Un conjunto está por extensión cuando se observa todo y ca-da uno de sus elementos.
Ejm: Si 4,3,2,1A
b) Comprensión: Un conjunto está determinado por comprensión cuandosus elementos se caracterizan mediante una propiedad común.
Ejm: Si 4, xxxA
4. CLASES DE CONJUNTOS
b) Conjunto Unitario: Conjunto que tiene un solo elemento.
AU
g f
a bd ce
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Ejm:
5
6x4,
A
xxA
c) Conjunto Vacío: Conjunto que no tiene elementos.
Ejm:
A
xxA 5x4,
d) Conjunto Finito: Es aquel cuyo elementos es limitado; es decir se pue-de contar desde el primero hasta el ùtlimo.
Ejm: 501,.....,5,4,3A
501x3,xxA
e) Conjunto Infinitivo: Cuyo número de elemento en ilimitado
....9,8,7,65xNx
A
f) Conjunto Universal: Es aquel conjunto que contiene todos los demásconjuntos, simbolizados por la letra U.
5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
a) Inclusión: Se dice que A esta incluido en el conjunto B BA ,cuando todo elemento de A, pertenece a B.
Ejm: Sea 6,43,
6,5,4,3,2,1
B
A
Luego AB pero BA
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Teoría de Conjuntos 3
b) Conjuntos Iguales: Dos conjuntos son iguales si tiene los mismos ele-mentos.
Ejm: Sea c,b,3,
3,c,b,
aB
aA
C = 4,3,2,1
Luego BA pero CA
c) Conjuntos Disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienenningún elemento en común.
Ejm: 8,76,5,
4,3,2,1
B
AA y B son disjuntos
d) Conjunto Potencia: Conjunto formado por todos los sub conjuntos quees posible formar con un conjunto dado. Simbolizado por P(A); que espotencia del conjunto A.
Ejm: Si: A = 4,3,2 Hallar la potencia del conjunto A.
Entonces
AdelsSubconjuto
,4,3,2,4,3,4,2,3,2,4,3,2)A(P
Por lo tanto del conjunto obtenido se puede decir:Que el conjunto P(A) tiene: 23 = 8 subconjuntos
=>
Donde:n(A): número de elementos A
6. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTOS
Diagramas de Venn – Euler: Consiste en graficar mediante círculos, elipses,rectángulos u otras figuras geométricas de área plana, cada uno de los conjun-
número de subconjuntos de A=2n(A)
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tos dados.
A BU
ab dc
c
e
7. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
a) Unión B)(A : Conjunto que tiene como elementos a aquellos quepertenecen al conjunto A y/o a B.
B x AxxBA
Propiedad:
BAB*
BAA*
ABBA*
b) Intersección ( BA ): Conjunto que tiene como elementos aquellosque pertenecen al conjunto A y B. (elementos comunes a ambos).
B xA xxBA
Propiedad:
B)A(B)(A*
BB)(A*
AB)(A*
ABBA*
c) Diferencia (A – B): Conjuntos cuyos elementos pertenecen a A perono al conjunto B.
B xA xxBA
A BU
A BU
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Teoría de Conjuntos 5
Propiedad:
AB)A(B)(A*BB)(A*AB)(A*
ABB*A
d) Diferencia Simétrica (AB): Conjunto que tiene como elementos aaquellos que pertenecen al conjunto ( BA ) pero no al conjunto( BA ).
BA xBA xxBA
Propiedad:
A A*BAB AdisjuntossonB A ySi*
)BA(B)(A*ABB A*
e) Complemento de un conjunto (A’), (Ac): Conjunto cuyos elementos per-tenecen al universo pero no al conjunto A.
A x UA' xx
Propiedad:
U'*
A)'(A'*
A'A*
UA'A*
Observación:
'')'(*
'')'(*
BABA
BABA
A BU
A BU
U A
A’
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6 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Nota: El cardinal de un conjunto es número de elementos que tiene unconjunto
* B)n(An(B)n(A)B)n(A *
)()()()()()()()( CBAnCBnCAnBAnCnBnAnCBAn
PROBLEMAS RESUELTOS (CONJUNTOS)
1. Si: A={ 1, {2}, 3} señale la expresión falsa:A) {2} A B) {{2}} A C) 3 A D) {1,3} A E) {1, {2}} A
Sol.
Elementos1
{2}3
En total tenemos 3 elementos en A. Debemos tener presente que si a un ele-mento le colocamos signos de colección (llaves) se ha formado un conjunto.
Entonces: {2} A es verdadero {{2}} A es verdadero 3 A es verdadero {1,3} A es falso por que {1, 3} no es un elemento de A. {1, {2}} A es verdadero
Rpta.: ( D )
2. Sea 331 2 mZmmxM . Determinar el cardinal deP(M).A) 16 B) 18 C) 20 D) 32 E) 24
Solución: Si m = -3 x = (-3+1)2 = 4 Si m = -2 x = (-2+1)2 = 1 Si m = -1 x = (-1+1)2 = 0 Si m = 0 x = (0+1)2 = 1 Si m = 1 x = (1+1)2 = 4 Si m = 2 x = (2+1)2 = 9
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Teoría de Conjuntos 7
Por tanto : M = { 0, 1, 4, 9}
1622
4
MnMPn
Rpta.: A
3. De un grupo de 72 personas se sabe que 25 de ellas leen revistas; 7 revis-tas y periódicos; 8 revistas y libros; 15 solamente libros, 2 revistas, periódi-co y libros; y el número de personas que sólo leen libros y periódicos, es latercera parte de las personas que sólo leen periódicos ¿Cuántas personasleen periódicos?
A) 24 B) 27 C) 31 D) 35 E) 3972
5
2
3x12
6 x
15Libros
Revistas (25) Periódicos
De la fig:12 + 5 + 2 + 6 + 3x + x + 15 = 72
25 + 4x + 15 =724x = 72 – 40
4x = 32x = 8
leen periódicos:7 + 4x = 7 + 4 x 8= 7 + 32 = 39
Rpta.: (E)
4. Si :
0145
2xxZxA
¿Cuántos elementos tiene P(A)?A) 0 B) 4 C) 2 D) 1 E) 3
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Sol.:x2 + 5X – 14 = 0
( x + 7 ) ( x – 2 ) = 0x = -7 x = 2
A = {-7 , 2}
422
)( APnRpta.: (B)
5. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos:
01
11
1
06
2
2
xxRxA
x
xRxB
xxRxA
Son unitarios?A) A y B B) A y C C) B y C D) Sólo A E) Sólo BSol.:
*
023
06
062
xx
xx
xx
23 xx
4x R*
11
111
1
11
1
11
1
2
2
xxx
xx
xx
x
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Teoría de Conjuntos 9
2x R
*
Rx
x
xx
2
311.2
1.1.411
012
CRpta. : A
6. Si: Zy,Zxyx20yxyxA 222 ,,
Hallar el número de elementos del conjunto A.A) 5 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4Sol.:*
245
045
020
20
20
22
22
24
222
222
yyy
yy
yy
yy
y xyx
no
Si : y = 2 x = 4y = -2 x = 4
A = { (4,2) (4, -2)}
n(A) = 2Rpta. : ( C )
7. ¿Qué expresión representa la parte sombreada de la figura?
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A B
C
A) (AB) - C B) C(AB)’C) (AB) - C D) ABCE) (AB) C’
Sol.:
A
8
B
C
14 7
3 62
5
U
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A = {1, 2, 3, 4, 5}B = {3, 4, 5, 6, 7}C = {2, 3, 6}
Parte sombreada = {2, 6}
* (AB) – C = ???AB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}C = {2, 3, 6}(AB) – C = {1, 4, 5, 7} No
* (AB)= {3, 4, 5}(AB)’ = {1, 2, 6, 7, 8}C (AB)’ = {2, 6} Si
Los demás no son.Rpta. B
8. Si: AB y AD=
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Teoría de Conjuntos 11
Simplificar: DABBDA ''
A) AB B) A C) B D) E) D BSol.:Gráficamente:
U
A
BD
Entonces: DABBDA ''
BB
ABBA
'
Rpta. ( C )
9. Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:* Si : n(A) = 2 y n(B) = 3 , entonces el número máximo de elementos
de C = P(A) P(B) es 12.* Si 1n1-Z,n1nA 2 entonces el n(A) es 3* Si AB = , entonces A = B =
A) VFF B) FFF C) FVF D) VVF E) VVVSol.:* Como: n (A) = 2 n[P(A)] = 22 = 4
n(B) = 3 n[P(B)] = 23 = 8
Para que P(A) P(B) sea máximo deberían ser disjuntos, pero en estecaso comparten el conjunto vacío.
Falso11184
1PmPnn BAC
)()()(
* Determinación de A:
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12 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
,- A,,
nZnnA
01010
111011
111
222
2
,,
;
n(A) = 2 Falso
* AB = cuando A y B son conjuntos disjuntos. Por tanto nonecesariamente A = B =
FalsoEn conclusión es: FFFRpta.: B
10. Para a, b Z ; F y G son conjuntos tales que G . F G es un conjuntounitario:F = {a2 + 2b , b2 + 1} yFG = {a + 4b , b + 1 – 3a}Hallar FBA) B){0} C) {10} D) {1} E) {-1}
Sol.:
Si FG es unitario, entonces F también es unitario, así:a2 + 2b = b2 + 1a = b - 2b + 1a = ( b - 1 )
2 2
2 2
a = b-1 ......... 1
a = -b + 1 ......... 2Además, de FG:a + 4 b = b + 1 – 3a 4a + 3 b = 1 …………….
de
27
134333
75
72
ba
a
baba
No cumple las condiciones dadas a, b Z.
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Teoría de Conjuntos 13
de y :
1023
1314
GFab
bb
Rpta.: ( C )
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. De 50 alumnos de CEPU 15 no hablan en clase, 14 son los que ríen,24 parecieran ciegos por que no miran a la pizarra; de éstos últimos 5no hablan y 4 se ríen. ¿Cuántos de los que no ríen hablan y siguencon la mirada la clase en la pizarra?A) 6 B) 10 C) 8 D) 7 E) 5
2. 200 personas los sábados practican fútbol, frontón, atletismo, nata-ción o alguna otra actividad no deportiva. Los que practican tres delos deportes es el triple de los que practican los cuatro deportes; losque practican únicamente dos de los deportes es el doble de los quepractican solo tres. 30 practican solo un deporte y 50 se dedican aotras actividades como ir al mercado, cocinar, etc. ¿Cuántas personaspractican los cuatro deportes?.A) 12 B) 10 C) 8 D) 15 E) 17
3. Sean los conjuntos 4;3;2;1A y 3;2B entonces se dice que Ay B son:
A) Iguales B) Comparables C) Equivalentes D) Disjuntos E) N.A.
4. El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos se obtuvo que60% gustan manzana, 50% gustan fresa, 40% gustan piña, 30% gus-tan manzana y fresa, 20% gustan fresa y piña, 15% gustan manzanay piña, 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas en-cuestadas no gustan de los jugos de frutas antes mencionadas?.A) 10% B) 15% C) 8% D) 12% E) N.A.
5. En una aula de 120 alumnos, 30 eran hombres que no les gustaba la
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14 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
matemática, 50 eran mujeres que si les gustaba; si el número de hom-bres que gustaban de la matemática es la tercera parte de las mujeresque no gustaban de la matemática, ¿A cuántos les gustaban la ma-temática?A) 30 B) 50 C) 55 D) 60 E) N.A.
6. Si: 4;3;2;1A . El enunciado verdadero es:
A) )(4 AP B) A2 C) A3;2 D) A3 E) A2;1
7. Si X, Y y Z son conjuntos tales que ZYX . Simplificar: )()()()( XYZYXZYZX A) X B) Z C) Y D) U E)
8. De un grupo de 100 estudiantes 49 no llevan el curso de Álgebra y53 no siguen el curso de Aritmética; si 27 alumnos, no siguenAritmética ni Álgebra, cuántos alumnos llevan exactamente uno detales cursos.
A) 24 B) 30 C) 36 D) 48 E) 26
9. A y B conjuntos tal que: 17)( BAn ; 256)( BAPn ;
4)( ABPn ; Hallar: BAPn (A) 2 B) 4 C) 28 D) 64 E) 32
10. Dado los siguientes conjuntos iguales: 1;1
2;4
27;8
2;1
yzD
yC
xB
xxA
Calcular E = x + y + z.A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
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- 15 -
IISISTEMA DE NUMERACIÓN
Es un conjunto de reglas y principios para representar cualquier cantidad, conel fin de buena lectura y escritura de los números.
1. BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓNSe llama así al número fijo de unidades de un orden que se toman paraformar una unidad del orden superior.
Ejem. )(nabcd SistemadelBase:n
2. SISTEMA DECIMAL:Cuando la base del sistema es diez
Ejm: 3524
3. PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION
BASE SISTEMA CIFRAS DISPONIBLES23456789
101112...
BinariosTernarioCuaternarioQuinarioSenarioEptalOctalNonarioDecimalUndecimalDuodecimal...
0, 10, 1, 20, 1, 2, 30, 1, 2, 3, 40, 1, 2, 3, 4, 50, 1, 2, 3, 4, 5, 60, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 70, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 90, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α, β...
α =10β=12 =12
.
.
.
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16 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
4. ESCRITURA DE UN NUMERO DE CUALQUIER SISTEMA DE NUMERA-CION
Base 10: 345, 32 etcBase 2 : 10(2), 1101(2) etcBase 6 : 321(6), 4251(6) etcBase 12: 97(12), 59 (12) etc
5. ESCRITURA LITERAL DE LOS NÚMEROS
:ab número de 2 cifras (10, 11, .........., 99) :abc número de 3 cifras (100, 101, 102 ...., 999) :aa número de 2 cifras iguales (11, 22, 33, .....99) :27ab número de 4 que comienzan en 27.
6. NÚMERO CAPICÚA:Número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales. Se leenigual por ambos lados” .
Ejem. 44, 121, 363, 4554, 31213, etc
7. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO:Es expresarlo como la suma de los valores relativos de cada una de sus ci-fras de dicho número.
Sea: cifrasm
xyz.......abcdN (n)
Descomponiendo en forma polinómica es:
znynxncnbnaNmmm
............2321
Ejm:* 3123(4) = 3 x 43 + 1 x 42 + 2 x 4 + 3
* cnbnaabc n ..)(2
* babaab 1010.
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Sistema de Numeración 17
8. DESCOMPOSICIÓN EN BLOQUES:Se llamará “bloque” a un grupo de cifras.Ejm.
Descompongamos abcd en bloques
cdababcd 2
10. Descompongamos abab en bloques
cdababab 2
10
9. CONVERSIÓN DE NÚMEROS A DIFERENTES BASESa) CASO 1: De un sistema de base “n” al sistema de base 10 (sistema de-
cimal)Ejm: Convertir 321, al sistema decimal
Por descomposición polinómica321(5) = 3x52 + 2x5+1 = 75+10+1 = 86321(5) = 86
Por Ruffini
5
3 2 1
15 85
3 17 86
321(5) = 86
b) CASO 2: Del sistema Decimal a un sistema de base “n”Ejm:
Convertir 329 al sistema quinario Por divisiones sucesivas
32’9655
55
51515
1310
302925
4 03
2
)(52304329
CEPU 2011
-II
18 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
c) CASO 3: De un sistema de base “n” a otro de base “m” donde.10 mn
- El primer paso, es transformar la base “n” a base 10.- El segundo paso, es transformar el número obtenido a base “m”
Ejm: Convertir 341 (5) a base 3
- 341 (5) = 3x52 + 4 x 5 + 1 = 75+20+1=96 341(5) = 96-
96=10120(3)
9696 32
30 10 9 3
3
33
330
21 1
0
341(5) = 10120 (3)
Reglas Prácticas Todas las cifras son menores que la base: cifra < Base
Ejm: )(823 ba 8b8 a Si un número se expresa en dos sistemas distintos:
341(5) = 10120(3)
Vemos que:A número Mayor Base Mayor
A número Menor Base Menor
Es decir: 203(n) = 104 (m) => n < m
Base n Base m
Base 10
CEPU 2011
-II
Sistema de Numeración 19
10. CONVERSIÓN DE SISTEMAS EN LOS NÚMEROS MENORES QUELA UNIDAD
CASO 1: De base “n” a base 10
43210
ndncnbnaabcd n ...., )(
Ejm: Convertir: 0,32(n) a base 10
0,32(4) = 3 x 4-1+2 x 4-2
8
7
16
14
16
2124
2
4
32
875,032,0 )4(
CASO 2: De base 10 a base n
Convertir: 0,390625 a base 4
Se multiplica sólo la parte decimal
0.390625 x 4 = 1,56250,5625 x 4 = 2,250,25 x 4 = 1,00
(4)0,1210,390625
11. CASOS ESPECIALES DE CONVERSIÓN.
a) De base n a base nk
Dado el número en base n se le separa en grupos de K cifras a par-tir de la derecha
CEPU 2011
-II
20 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Ejm: Expresar 10011101(2) a base 8
Vemos que 8 = 23 ; se separa en grupos de 3 cifras
Base 2: )(2532
10101110
Base 8: 235(8)
b) De base nk a base nDado el número en base nk de cada cifra se obtiene k cifras al con-vertirse a base n.
Ejm: Convertir: 325 (8) a base 2
101
5
010
2
011
3
325 (8) = 011010101 (2)
PROBLEMAS RESUELTOS (SISTEMAS DE NUMERACIÓN)
1. ¿Cómo se representa )(234 n en base (n-1)?
A) 297 B) 279 C) 269 D) 299 E) 287
Sol.:
1° Transformamos )(234 n a base decimal.
4.3.22342
)( nnn
2° El número 4322
nn transformamos a base n-1
CEPU 2011
-II
Sistema de Numeración 21
2n + 3n + 4 n - 1
- 2n + 2n 2n + 5 n-1
5n + 4 -2n + 2 2
- 5n + 5 7
9
2
2
)(234 n = )1(279 n Rpta. : B
2. Si : 850)( nabab ; hallar : (a + b) . n
A) 25 B) 30 C) 45 D) 35 E) 15
Sol.: 850)( nabab
850)1()(
850)(
850
2
2
23
nban
babbann
banbnan
( + ) ( +1) = 17 50an b n2 x
n a b= 7 = 2 = 3
(a + b) x n = ( 2 + 3) x 7 = 5 x 7 = 35
Rpta.: ( D )
3. Si un número se convierte a dos sistemas de numeración de bases impa-res consecutivas se escribe 102 y 201. determinar dicho número en base10 y dar como respuesta la suma de sus cifras.
A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 7
CEPU 2011
-II
22 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Sol.:
0)3(01224
12882144
1)12(22)12(
201102
22
22)12()12(
nnnn
nnnn
nn
nn
3n
entonces: 51249102102 )7()12( n
615 cifras Rpta. D
4. La suma de dos cifras que forman un número es igual a 9. Si al númeroresultante de invertir el orden de las cifras se le suma 9, resulta el númeroprimitivo; ¿cuál es el cuadrado de dicho número?
A) 2025 B) 2601 C) 2704 D) 2809 E) 2916
Sol.: Sea el número ab
Entonces: problemadeldatos9
9
abba
ba
11
99910910
baabab
baababpba
Por tanto: a = 5 b = 4
Finalmente: 29165422 ab Rpta. E
5. ¿En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con 3cifras?
CEPU 2011
-II
Sistema de Numeración 23
A) 10 B) 15 C) 30 D) 25 E) 20
Sol.: Por dato, tenemos:
)(1234 nabc
Entonces:
3534,,.......13,12,11,nn10,.....35nn12341234n
n1234n
nabcn
1000abc100
32
32
3n
2
nnn
.....,
)(
)()()(
número de términos = 251
1035
Rpta : D
6. Si: )()()( 888 cba2abc . Hallar a + b + cA) 18 B) 16 C) 14 D) 12 E) 10
Sol.:
)()()(
)()()(
)()(
)()()(
888
888
88
888
abccbaabccbaabcabc
cba2abc
cba2abc
Por propiedad:b = 7a + c = 7 a + b + c = 14 Rpta. C
7. ¿Cómo se escribe en base 6 el menor de los siguientes números:
;6b5y7a3;545 (a)(8))(b
A) 252 (6) B) 545 (6) C) 209 (6) D) 134 (6) E) 425 (6)
CEPU 2011
-II
24 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Sol.: Analizando tenemos:
b8ab5
;6b5y7a3;545 (a)(8))(
ab
Obtenemos: 5 < b < a < 8b= 6 a = 7
Luego:
* menornúmero20956.46.55452
)6(
* 50738.78.7372
)8( a
* 34157.67.6562
)7( b
209 = 545 (6) Rpta. B
8. Un número es igual a 6 veces la suma de sus dos cifras. Hallar la diferen-cia de sus cifras.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5Sol.:
Por dato :baba
baab6610
)(6
4 = 5a b
a = 5b = 4 a – b = 1 Rpta. A
9. Una persona nació en el año ab19 y en el año 1985, tiene (a + b) años.¿En qué año tendrá ab años?A) 1995 B) 1999 C) 2002 D) 2020 E) 2000Sol.: Por dato:
47
211851019001985
191985
191985
ba
bababa
baab
baab
CEPU 2011
-II
Sistema de Numeración 25
200228197419 abab Rpta. C
10. Si 400803 (m) = 300034342 (n) y m + n = 14 . Hallar (m - n)A) 6 B) 4 C) 5 D) 8 E) 9
Sol.:Analizando:
8 < m 4 < n además n < m
Entonces: 4 < n < m m > 8 m = 9
n = 5
m – n = 4 Rpta. B
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Se sabe que: )8()( 162 bba c . Calcular: a + b + c.A) 12 B) 15 C) 14 D) 16 E) 13
2. El numeral de dos cifras es “n” veces la suma de sus cifras, si elnumeral que se obtiene al intercambiar los dígitos resulta de mul-tiplicar la suma de sus cifras multiplicado por:A) 11+n B) 11-n C) 7+n D) 7-n E) 2n
3. Convertir el número decimal 798 al sistema de base 28. Dar comorespuesta la suma en base 10 de sus cifras.A) 2 B) 5 C) 6 D) 7 E)15
4. Determine cuantos números de tres cifras existen en base 8 enlos cuales una cifra se repite exactamente dos vecesA) 220 B) 130 C) 147 D) 215 E) 420
5. La base del sistema de numeración en que )4)(2( ccc se escribe
CEPU 2011
-II
26 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
con tres cifras iguales es:A)8 B)4 C)5 D) 7 E) 11
6. Si )9()( 1cmaba c Calcular el valor de b sabiendo que m>5.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
7. Si ;0000 nnmmnn calcular nm expresado en base 5.A)21 B) 22 C)34 D) 44 E)32
8. Hallar “a + b + c”. Si:)()9( 722 caba
A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20
9. Si se cumple que: TAMET .Calcular TEAMEA) 64526 B) 62565 C) 46526 D) 46256 E) N.A.
10. ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con losdígitos 1, 2, 3, 4, 5 de manera que no aparezcan el 3 en las dece-nas?A) 72 B) 60 C) 24 D) 36 E) 48
CUATRO OPERACIONES
1. Suma o adición: Operación que tiene por finalidad reunir varias cantida-des en una sola.
Sumandos
naaaaS ......321
2. Resta o Sustracción: Operación inversa a la suma.
Suma Total
CEPU 2011
-II
Sistema de Numeración 27
Propiedad:
M+S+D=2M Si: mnpcbaabc
Se cumple que:
n = 9m + p = 9
Complemento Aritmético de un número natural: Es lo que le falta a éste serigual a la unidad del orden inmediato superior de su mayor orden.
Ejm.C.A. (45) = 100 – 45 = 55C.A. (950) = 1000 – 950 = 50C.A. ( abc ) = 1000 – abc
En general:
C.A. xyz......abc10)xyz.........abc( m
cifrasm
Otro método: para hallar el C.A a partir del mayor orden de un número, serestan las cifras de nueve y la última cifras significativa de 10. Si hay ceros alfinal, éstos permanecen en el complemento.
Ejm: C.A. 694782830521
109
)(
C.A. 3686109
)(
C.A. ( abcd ) = ))()()(( dcba 10999
M – S = D
Minuendo SustraendoDiferencia
CEPU 2011
-II
28 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
3. Multiplicación: Operación donde:Dada dos cantidades multiplicando y multiplicador se halla una tercerallamada producto.
4. División:
D: Dividendod: divisorc: cocienter: residuo
También
Clases de División:b) División exacta: Cuando el residuo es cero
Ejm.
c) División Inexacta: Por defecto:
Donde 0 < r < d
D__
r
d
D = dc + r
D__0
d
c
D = dc
880
4
2
8 = 4 x 2
D__r
d
c
D = dc+r
a x b = P
Multiplicando MultiplicadorProducto
CEPU 2011
-II
Sistema de Numeración 29
Ejm.
Por exceso:
Donde 0 < re < dEjm.
Propiedad:
1° : r + re = d2° : rmax = d – 13° : rmin = 1
PROBLEMAS RESUELTOS (CUATRO OPERACIONES)
1. La diferencia entre dos números naturales es “x”. Si se resta 5 al minuendoy se suma 3 al sustraendo ¿Cuál ser la diferencia?
a) x + 5 b) x – 5 c) x + 8 d) x + 2 e) x – 8
Sol.
M – S = D M – 5 – (S + 3) = DifM – S = X M – 5 – S – 3) = Dif
M – S – 8 = Dif
X – 8 = Dif .
Rpta. ( e )
3836
2
6
6
38 = 6x6+2
D__re
d
c+1
D = d(c+1) – re
3842
- 4
6
6+1
38 = 6(6+1) – 4
CEPU 2011
-II
30 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
2. Si la suma de 2 números es 56 y su cociente es 5 con residuo 2. ¿Cuál esla suma de sus cifras del producto de dichos números?
a) 6 b) 9 c) 11 d) 12 e) 16
Sol. Sean los números a y b
Por dato:
a + b = 56 ...... (1)
además: c = 5 y residuo = 2
D = dc + rA = 5b + 2 ........... (2)
De (1) y (2):
a + b = 565b + 2 + b = 566b = 54
b = 9 a = 47
47 x 9 = 423
9324cifrasRpta. ( b )
3. Hallar las 3 últimas cifras de las suma:
S = 7 + 77 + 777 + 7777 + .......... + 777 ...... 7777(40 sumandos)
a) 610 b) 801 c) 106 d) 601 e) 810
Sol.
Tenemos la suma:
CEPU 2011
-II
Sistema de Numeración 31
016..........
sumandos40
77777...7................................
7777777777
En las unidades: 7 . 40 = 280, colocamos cero y llevamos 28En las decenas: 7 . 39 + 28 = 301, colocamos 1 y llevamos 30En las centenas: 7 . 38 + 30 = 296, colocamos 6 y llevamos 29.
Rpta. (a)
4. Al dividir un número de 3 cifras entre otro de dos cifras se obtiene 11 decociente y 25 de residuo. Se les toma el complemento aritmético y se lesvuelve a dividir, esta vez se obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Hallar lasuma de las cifras del dividendo y del divisor.
a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29Sol: Sean abc y de los números
*
abc de
25 1125de.11abc ... (1)
*
abc de
19
1000 - 1000 -7
19)de100(7abc-1000 ..... (2)
Reemplazando ec. (1) y (2):1000 - 11 de - 25 = 700 - 7 de + 19
4 de = 256
de = 64
Entonces: 729abc
2892746cifras Rpta. (d)
CEPU 2011
-II
32 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
5. Hallar la suma de las cifras del producto:
cifras4099....999438P
a) 360 b) 270 c) 180 d) 90 e) 450
Sol.
Dando forma a P:P = 438 x ( 1........001000
cifras40 )
P = 438 43800...0000cifras40
Entonces:43800 ... 0000 –
438
cifras3799562...99437
Portando:
26527x9734cifras= 360
Rpta. (a)
6. Halle a+b+c+m+n , si9
nmmmm2abc
a) 20 b) 22 c) 24 d) 25 e) 23
Sol.
9nmmmm2abc
mmmm = 9. 2abc
Es decir:mmmmn
9x2cba
a+b+c+m+n =5+4+3+8+4 = 24 Rpta (c)
* 2x9 =18 dejamos 8 y llevamos 18m
* 9xc+1=??? Debe terminar en 83c
* 9xb+2=??? Debe terminar en 84b
* 9xa+3=??? Debe terminar en 85a n = 4
CEPU 2011
-II
Sistema de Numeración 33
7. Hallar la suma en base 10 de: 23(n) + 35(n)+....+155(n), si los sumandosestán en progresión aritmética.a) 608 b) 1216 c) 2432 d) 4864 e) 1824Sol.
Por def. de P.A.:
30(n) – 23(n) = 35(n) – 30(n)3n – 2n – 3 = 3n + 5 – 3n
n = 8
Entonces convirtiendo a base 10: S = 19+24+29+34+ .... +109
1216S
19.210919S
195
14109términosde#
Rpta. (b)
8. Aumentando en 9 los 2 factores de un producto, el resultado aumenta en549. Hallar uno de los factores si la diferencia de ellas es 18.a) 36 b) 16 c) 34 d) 17 e) 28Sol.
Sea: P = a x b
Por dado: (a+9)(b+9) = P+549ab + 9a + 9b + 81 = ab + 5499a + 9b = 468a+b = 52
Entonces:
70a218b-a52ba
a = 35 b = 17 Rpta. (d)
9. Si la diferencia de dos números es 14560 y el duplo del mayor es 60000.
CEPU 2011
-II
34 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
¿En cuánto excede el número 76543 al menor de los dos números?a) en 61103 b) en 61983 c) en 31103 d) en 62103 e) en 60103Sol.
Sean a y b los números ( a > b )2a = 60000 a = 30000además 30000 – b = 14560 b = 15440Nos piden: 76543 – 15440 = 61103 Rpta. (a)
10. Si mnp4baab4 y 4wbaab , entonces 2ª + 3b es:a) 17 ó 22 b) 20 ó 32 c) 18 ó 52 d) 32 ó 20 e) 19 ó 21Sol. De: 4wbaab se obtiene
10a + b – 10 b – a = 10 w + 49a – 9b = 10w + 49(a – b) = 10w + 4Tanteando: a – b = 6 w = 5
cumple)(no39cumple)(si28cumple)(si17
5 w6b-a
Además mnp4baab4 n = 9 m + p = 9Reemplazando:
2a+3b=2(7)+3(1)=14+3=172a+3b=2(8)+3(2)=16+6=22
Rpta. (a)
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Si al producto de dos números le incrementamos su cociente, re-sulta 18. Hallar la suma de dichos números.A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14
2. Hallar a+b+c+m+n Si:
cbamnabc 1 , dondeca
b
b
ca
A) 27 B) 29 C) 31 D) 30 E) 28
CEPU 2011
-II
Sistema de Numeración 35
3. Hallar un número de 2 cifras que sea igual a 8 veces la suma desus cifras.A) 9 B) 10 C) 72 D) 27 E) 13
4. Calcular la suma de las cifras del producto:)99...999)(77...777(
1010
cifrascifras
A) 90 B) 70 C) 80 D) 20 E) 772
5. Una botella vacía pesa 425 gramos y llena de agua pesa 1175gramos. ¿Cuántas botellas semejantes serán necesarias para vaciaren ellas el contenido de un barril de 225 litros.A) 220 B) 250 C) 280 D) 300 E) N.A.
6. El cociente del producto de tres números consecutivos, entre susuma es 16. El número intermedio es:A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
7. Si )()(1234.. nn abcdAC y 40032 )6( n
Hallar dcba A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11
8. La suma de los tres términos de una resta es 4698. Si el minuen-do es triple del sustraendo. Hallar el complemento aritmético dela diferencia.A) 8434 B) 7651 C) 217 D) 5802 E) 7634
9. El número de 3 cifras que restando de su C.A. da como resultado286, es:A) 300 B) 367 C) 357 D) 643 E) 721
10. Si TRESSIETECA )( . Calcular )( SIESCA A) 73 B) 75 C) 77 D) 12 E) 16
CEPU 2011
-II
- 36 -
IIIPROPIEDAD DE LOS NÚMEROS
I. DIVISIBILIDAD: Parte de teoría de números que estudia las condi-ciones que debe reunir un numeral para ser divisible entre otro.
1) Divisibilidad de Números:Un número entero es divisible entre otro entero positivo, cuando al di-vidir el primero entre el segundo el cociente es otro entero y el residuocero.
- Cero (0) siempre es múltiplo de todo entero positivo- Un número entero negativo puede ser múltiplo de un número
entero positivo.
2) Notación y representación de los múltiplos de un número: Si A es múltiplo de B lo representamos:
A = k B donde k = { ....., -2,-1, 0, 1, 2, ....}
A =oB (notación Leibniz)
Si un número entero no es divisible entre cierto módulo (divisor), sepuede representar como un múltiplo del módulo mas cierto residuopor defecto:Ejm.
Se dice que un número B (módulo) es divisor o divide a A cuandoestá contenido un número entero y exacto de veces.Ejm: Los divisores de 6 son:
61
236
A__r
B
c
A = B.c + r
A =oB + r
CEPU 2011
-II
Propiedad de los Números 37
3) Operaciones y Propiedades:
aaaooo
* Si : 5a =o7 => a =
o7
aaaooo
* Si : 21a =o
35
aaaooo
3 a =o5 => a =
o5
00aka
aaoko
entero
aao
babaooo
.
Ejm: 2623142o
6
4) Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton y Restos Potenciales
a) Sabemos por álgebra que:
2o22
o2
oo222 babababaabab2aba
3o33
o3
ooo32233 babababaaabab3ba3aba
- En general: ko
k raba Si K Z+ ó k0k0
rara
si k Z+
-
imparesK
paresKo
oo
k
kk
rn
rnrn
Ejm:
* Todo número es múltiplo de la base en la cualestá escrito más la última cifra.
dncnbnaabcd 23n ...)(
dnnnooo
dnabcdo
n )(
CEPU 2011
-II
38 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
96o96o
317317
123o123o
5656
128o128o
5656
1616o128o
OBSERVACIÓN
cbancnbnanoooo
Ejm: Calcular el residuo de dividir 7129635 Sol:
5r57277
272177
27177
27177
9277
337
37
37129
oo
ooo
o0o
o2110o
211o
22113o
635o
635o635
))((
b) Restos PotencialesSe llama restos potenciales a todos a todos residuos que dejan las po-tencias sucesivas enteras y positivas de un número N (diferente de ce-
CEPU 2011
-II
Propiedad de los Números 39
ro) al ser divididos entre otro “m” (módulo).
Potencias Sucesivasde N
Resultados en
funciónom
Residuos
N0 om +1 1
N1 om + r1
r1
N2 om + r2
r2 Restos Potenciales
N3 om + r3
r3
N4 om + r4
r4
Ejm: Calcular la restos potenciales de 5 respecto al módulo 9.Sol.:
5r5919595
1r1929595
gaussiano
2r2949595
4r4979795
8r8935979595
7r797185
5r59505
1r19105
7
ooo7
6
ooo6
5
ooo5
4
ooo4
3
oooo3
2
o2
1
o1
0
o0
g = 6 Donde g: gaussiano
CEPU 2011
-II
40 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
CONCLUSIÓN:
residuor
ExponenteE
2r;56
4r;46
8r;36
7r;26
5r;16
1r;6
95
o
o
o
o
o
o
o
E
E
E
E
E
E
rE
Ejm.: Si : r 95o
226
46226o
E 4r
5) CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Conjunto de reglas que aplicadas a las cifras de un numeral nos permiteanticipar entre que cantidades es divisible dicho numeral.
a) Divisibilidad por 2: Cuando termina en cero 0 cifra par.Ejm.:
86,4,2,0,d2o
abcd 3528
b) Divisibilidad por 5: Cuando termina en cero cinco.Ejm.:
50,d5o
abcd 325
c) Divisibilidad por 4: Cuando sus 2 últimas cifras son ceros o forman unnúmero múltiplo de 4.Ejm.:
96.......,16,12,08,04,00,de4o
abcde 32432
CEPU 2011
-II
Propiedad de los Números 41
d) Divisibilidad por 25: Cuando sus 2 últimas cifras son ceros o formanun número múltiplo de 25.Ejm.:
7550,25,00,de52o
abcde 87975
e) Divisibilidad por 2n ó 5n: Es divisible por 2n ó 5n si sus “n” últimas ci-fras son ceros o forman un número que sea divisible por 2n ó 5n res-pectivamente.
Ejm.:
Si: n = 3 2o3abcdef
oo
8defsi8 abcdef
o
8230523
Nota: Un número es divisible por 8 si sus 3 últimos cifras son ceros oforman un número que sea divisible por 8.
f) Divisibilidad por 3: Cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.Ejm.: * Si:
3fedcba3oo
abcdef*
365433333456oo
o
321
g) Divisibilidad por 9: Cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 9.Ejm.: Si:
9fedcba9oo
abcdef
965493939456oo
o
927
CEPU 2011
-II
42 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
h) Divisibilidad por 11: Cuando la diferencia entre la suma de sus cifras
impar menos la suma de sus cifras de orden par deberá ser cero oo
11.Ejm.:
Si: 11fdbgeca11abcdefgoo
097531524688365472951
i) Divisibilidad por 7: Cuando la suma algebraica del producto de sus ci-fras (de derecha a izquierda) por 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2, -1 ..........
respectivamente, deberá ser 0 óo
7 .Ejm.:
Si:
132-
1321
7o
gfedcba
o
73232 gfed)cba - (
Si :o
7760493636
132-
132132
636394067
27 – 38 + 32 = 21 =o
7
j) Divisibilidad por 13: Cuando la suma algebraica del producto de suscifras (de derecha a izquierda) por 1, -3, -4, -1, 3, 4, 1, .......... respec-tivamente, deberá ser múltiplo de 13.Ejm.:
Si:
13413413
13o
hgfedcba
CEPU 2011
-II
Propiedad de los Números 43
o
133)43()43( abcdefg h -
Si :
1341
134655o
o
1339-43-4)52081(4 -
II. NUMEROS PRIMOS
1. Conceptos Básicos
a) Número Primo o Primo Absoluto:
Son números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos divi-sores la unidad y el mismo.
Ejm. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ..... etc
2
3
1
12
3
Es decir Divisores
Divisores
b) Números Compuestos:
Son números que admiten mas de dos divisores.Ejm. 4, 6, 8, 9, 10, 12 ...... etc
Es decir
CEPU 2011
-II
44 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
4 4 84Divisores Divisores Divisores1 1 12 2 2
4 3 46 8
Nota: La cantidad de divisores de un número compuesto N es:
1primoscompuestoN
cdcdcd
c) Números Primos entre si (PESI):
Es cuando un conjunto de dos o más números admiten como único di-visor común la unidad.Ejm.
4 y 9 (divisor común 1) 8, 12 y 15 (divisor común 1) 27, 45, 36, 1 (divisor común 1)
Nota: Todo número primo mayor que 3 siempre es de la forma
160
; lo contrario no siempre se cumple. Números primos más famosos, descubiertos por personalida-
des (universidades) notables.- Lucas en 1877 publicó: 2127 – 1, que tiene 39 cifras.- “Algo probablemente cierto, pero aún no demostrable”.
Todo número par, es la suma de los números primos.Algo aparentemente cierto.
122 n
es primo. FERMAT.- Fórmula de cálculo de los números primos. n2 –n+41
valido únicamente para n y 40n
Regla para determinar si un número es primo o no:
Se extrae la raíz cuadrada aproximadamente del numeral dado y apli-cando la multiplicidad por cada uno de los números primos menores oiguales a dicha aproximación.
Ejm.
¿ 139 es primo ?
CEPU 2011
-II
Propiedad de los Números 45
........,11139
Entonces:
139 =0
2 + 1
139 =0
3 + 1
139 =0
5 + 4
139 =0
7 + 6
139 =0
11 + 7
Por lo tanto 139 es primo, por que ninguna división es exacta.
2. Teorema Fundamental de la Aritmética
“Todo entero positivo mayor que uno, se puede descomponer como el pro-ducto de factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes,esta descomposición es única”.Llamado también “Descomposición canónica”
CBAN .. Donde : A, B, C, ......: Factores primos ,, , ..... : Exponentes
Ejm: Descomponer en sus factores primos el número 360
15
154590
180360
533222
=> 360 = 23 . 32 . 5
3. Estudio de los Divisores de un número entero (N)
a) Cantidad de divisores de un número:Es igual al producto de los exponentes de sus factores primos previa-
CEPU 2011
-II
46 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
mente aumentados en la unidad.
).........)()(()( 111cd N
Obs: cd(n) = cdcompuesto + cdprimos+1
b) Suma de divisores de un Número:Esta dado pro:
.......1
1
1
1
1
1 111
)(
C
C
B
B
A
Asd
N
c) Producto de los divisores de un número compuestoEsta dado por:
)(
)(
Ncd
NNPd
d) Suma de las inversas de los Divisores de un númeroEsta dado por:
N
SdSId N
N
)(
)(
Hallar Cd(N), Sd(N) , Pd(N) y SId(N) de 12
12 = 22 . 3
cd(N) = ( 2 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 6
Sd(N) = 282
8.
1
7
13
13.
12
12 23
Pd(N) = 17281212 36
SId(N) =3
7
12
28
III. MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO
1. Máximo Común Divisor (MCD): Se llama MCD de un conjunto de doso más números enteros positivos, al entero que cumple dos condicio-
CEPU 2011
-II
Propiedad de los Números 47
nes:- Es un divisor común de todos- Es el mayor posible
Ejm:
NUMEROS Divisores12 1, 2, 3, 4, 6, 1218 1, 2, 3, 6, 9, 18
Entonces: MCD (12,18) = 6
Determinación del MCD
i) Por descomposición canónica: MCD es igual al producto de los facto-res primos comunes elevados a los menores exponentes posibles.
Ejm:A = 22. 32 . 5B = 23. 34 . 52
MCD (A, B) = 22. 32 . 5
ii) Por descomposición simultánea: MCD es el producto de los factorescomunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se buscasólo los factores comunes”.
Ejm.
3-296
1816
32
MCD (12,18) = 2 x 3 = 6
iii) Algoritmo de Euclides o divisores sucesivas: Procedimiento sistemáticoque se aplica repetidamente hasta obtener residuo cero; entonces elMCD será el último divisor.
Ejm. MCD (18,12) = ???
1 218 12 66 0
MCD
=> MCD(18, 12) = 6
CEPU 2011
-II
48 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Ejm2: Hallar MCD de 984 y 264
iv)
MCD (984, 264) = 24
2. Mínimo Común Múltiplo (MCM)Se halla MCM de un conjunto de dos o más números enteros positivosal entero que cumple dos condiciones:
- Es un múltiplo de todos- Es el menor posible.
Ejm:
NUMEROS Divisores12 12, 24, 36, 48, 60, 72 ....18 18, 36, 54, 72,
Entonces: MCD (12,18) = 36
Determinación de MCM
i) Por descomposición canónica: MCM es igual al producto de los fac-tores primos comunes y no comunes elevados a las mayores expo-nentes posibles.
Ejm:A = 22. 35 . 5B = 23. 34 . 52
MCD (A, B) = 23 . 35 . 5 2
ii) Por descomposición simultánea: MCM es el producto de factorescomunes multiplicados por los respectivos PESI.Ejm. Hallar el MCM de 18, 24 y 30
3 1 2 1 2984 264 192 72 48 24
192 72 48 24 0MCD
CEPU 2011
-II
Propiedad de los Números 49
1-1-15-1-15-4-15-4-315-12-930-24-18
54332
MCM = 2 x 3 x 3 x 4 x 5MCM (18, 24, 30) = 360
3. Propiedades de MCD y MCM
Si A y B son PESI, entonces: MCD(A, B) = 1 Si A y B son PESI, entonces: MCM(A, B) = A . B El producto de dos enteros positivos siempre es igual al producto de su
MCD y MCM. Es decir
MCD(A,B) . MCM(A,B) = A.B
Sea: A = k Donde: , son PESIB = k
Entonces:MCD(A,B) = kMCM(A,B) = k
Si un conjunto de enteros positivos se reeplazan dos o más de ellospor su MCD o su MCM; entonces el MCD o el MCM del conjunto dedichos enteros no es alterado.
Es decir:MCD(A, B, C) = MCD (MCD(A, B) y MCD (B, C)MCD(A, B, C, D) = MCD [MCD(A, B) y MCD (C, D)]
4. Casos especiales
MCD(a y a+b) = MCD (a y b) Si a y b son primos entre si, entonces el MCD de a+b y a-b es 1 ó 2. MCD(a, b) = MCD(a b, m) donde m = MCM(a, b)
MCD(a, b, a+b) =2d
b)ab(a donde d = MCD(a, b)
CEPU 2011
-II
50 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
PROBLEMAS RESUELTOS (PROPIEDAD DE LOS NUMEROS)
1. Si:
13)2b(bb0aa , Hallar: a+b.
a) 7 b) 8 c) 9 d) 17 e) 18
Solución
134134
13)2(bbb0aa
-
0
132bb3b40a3a4
02b6a7 b62a7
4 5Entonces:
5
4
b
a9ba Rpta. c
2. Hallar a + b Si:
56a58ab4
a) 6 b) 7 c) 9 d) 8 e) 10
Solución8
56584 aab
7
Un número es8 cuando las tres últimas cifras es
8 .
858 a
8a580
CEPU 2011
-II
Propiedad de los Números 51
8a48
84a 4a
Además es7 cuando:
7a58ab4
2 3 1 2 3 1- +
7a2410ba38
7226 ba7b826 718 b4b
8 ba Rpta. d
3. Hallar el resto al dividir 71050 entre .a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5Solución
71050 5010 = 5050 3737
= 25252 27737
= 227277 2425 .
= 2177227 883 ..
= 2772177
).(
= 27
Por tanto el resto es 2. Rpta. b
CEPU 2011
-II
52 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
4. Hallar “n”, Si nN 1626 tiene 40 divisores.a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1Solución
n1626N
n43223N ...nnN 43.2.2.3
141 3.2 nnN
por cantidad de divisores(n+1+1)(4n+1+1) = 40
(n+2)(4n+2) = 402(n+2)(2n+1) = 40
(n+2)(2n+1) = 20(n+2)(2n+1) = 4x5
2 n Rpta. a
5. Hallar la diferencia de dos números enteros sabiendo que su MCD es 48y que su suma es 288.a) 96 b) 192 c) 240 d) 288 e) 144Solución
Sean A y B los números:
.
.
kB
kA
PESIsonsi ,:
Entonces: MCD(A,B) = 48
k = 48
288BA
6
288)(48
288)k(
288kk
5 1
CEPU 2011
-II
Propiedad de los Números 53
A = k = (48)(5) = 240B = k = (48)(1) = 48
A - B = 240 – 48 = 192 Rpta. b
6. Si )7(1019 ...2 bra Hallar “r”
a) 2 b) 6 c) 4 d) 2 e) 8
Solución
)7(1019 ...2 bra Todo número es múltiplo de la base en la cual
está escrito más la última cifra.
r721019
rx 72 23393
r72.2 23393
r74.17 339
r74).17(
r747
r = 4 Rpta. c
7. Si 37
aab , 57
b
ab ; Hallar el residuo de dividir 7abab
a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8Solución
37
aab
10
1037
aab
5521002773737
a
ab
CEPU 2011
-II
54 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
= 235 2.27277
= 4774).17(7
= 47
470
a
ab ..........
57
bab .............
Multiplicando y :
5747.
0
baabab
2070
baab
67
abab
r = 6 Rpta. c
8. El número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Sise cuentan de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobran 6.¿Cuántas páginas tiene el libro?a) 524 b) 512 c) 534 d) 547 e) 564
Solución
Sea el número de páginas: abc y 600500 abc
67
45
23
abc
CEPU 2011
-II
Propiedad de los Números 55
677
455
233
abc
17
15
13
abc
1)7;5;3(
MCMabc
1105
abc1105 tabc t = 5, porque 600500 abc
1)5(105 abc
524abcRpta. a
9. Hallar dos números enteros sabiendo que su producto es igual a 12 ve-ces su MCM y que su suma es igual a 6 veces su MCD. Indicar el menorde dichos números.a) 10 b) 14 c) 20 d) 12 e) 16
Solución
Sean los números:
.
.
kB
kA
PESIsonsi ,:
AB = 12 MCM(A;B)k.k = 12 k
k = 12
A + B = 6 MCD(A;B)
CEPU 2011
-II
56 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
k + k = 6k + = 6
5 1 = 5 y = 1
A = (12)(5) = 60B = (12)(1) = 12
El menor es 12 Rpta. d
10. Hallar “k” sabiendo que: kN )30.(15 tiene 191 divisores que no sonprimos. A) 10 B) 14 C) 20 D) 12 E) 16Solución
kN )30.(15kN )5.3.2.(5.3kkkN 2.3.5.5.3
11 5.3.2 kkkNSabemos que: 1)( primoscompuestoN CdCdCd
1)( compuestoprimosN CdCdCd(k+1) (k+2) (k+2) =3 + 291
294)2)(1( 2 kk22 7.6)2)(1( kk
k=5Rpta: b
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Siº
13abc ,º
9ab yº
7ac . Hallar cba .A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
2. Hallar dos números enteros sabiendo que su máximo común divisores 18, y que uno tiene 10 divisores y el otro 15 divisores. Indicar el
CEPU 2011
-II
Propiedad de los Números 57
menor.A) 120 B) 144 C) 132 D) 162 E) 148
3. Si el número )...432)(432)(432(N (n factores), tiene 130 divi-sores.Hallar “n”.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
4. ¿Cuántos divisores tendrá el número 22 )18)(18()12)(12(N ?A) 50 B) 60 C) 90 D) 100 E) 120
5. Hallar el valor de “n” para que el número de divisores de nN 30 ,sea el doble del número de divisores de nxM 1815 .A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
6. La cifra de las unidades del número 13401 , es:A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7. De los 504 primeros números naturales cuántos no son múltiplos de3 ni de 7.A) 480 B) 408 C) 264 D) 288 E) 272
8. La suma de los cuadrados de dos números es 676 y uno de los núme-ros es 12 veces el MCD de ellos. Hallar la diferencia de los números.A) 12 B) 14 C) 18 D) 22 E) 24
9. Si la edad que tiene pedro es múltiplo de 2 mas 1, múltiplo de 7 mas6 y múltiplo de 10 menos uno, entonces dicha edad es:A) 52 B) 69 C) 72 D) 36 E) N.A.
10. Si A y B son números que admiten los mismos divisores primos,sabiendo que A tiene 35 divisores y B tiene 39 divisores. ¿Cuántosdivisores tendrá el MCD de A5 y B5 ?
A) 330 B) 310 C) 300 D) 341 E) 319
CEPU 2011
-II
- 58 -
IVNUMEROS FRACCIONARIOS
Se denomina fracción (llamada también, número fraccionario quebrado onúmero quebrado), a una o varias partes de la unidad dividida en cualquiernúmero de partes iguales.Los términos de una fracción son: numerador y denominador:
f= aabb
NumeradorDenominador
1. Clasificación: Se puede clasificar en:
A. Por comparación de sus términos:
a) Fracciones propias:Son aquellas cuyo valor es menor que uno o también aquella en laque el numerador es menor que el denominador es decir:
1b
a
Ejm. etc13
7,
7
2,
5
3
b) Fracciones Impropias:Son aquellas cuyo valor es mayor que uno, o también, aquella enla que el numerador es mayor que el denominador es decir:
1b
a
Ejm. etc6
13,
5
9,
3
4
c) Fracciones iguales a la unidad:Son aquellas cuyo valor es igual a la unidad, o también, aquella en
CEPU 2011
-II
Números Fraccionarios 59
la que el numerador y el denominador son iguales, es decir: 1b
a
Ejm. etc7
7,
8
8,
5
5
B. Por su denominador:
a) Fracciones ordinarias o comunes:Son aquellas cuyo denominador es diferente a una potencia de 10.
Es decir n,10b:si;b
a n
Ejm. etc,5
7,
3
14,
17
5
b) Fracciones Decimales:Son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10.
Es decir n,10b:si;b
a n
Ejm. etc,1000
63,
100
12,
10
7
c) Por la comparación de los denominadores:a) Fracciones Homogéneas:
Son aquellas cuyos denominadores son iguales; es decir:
fdb:sif
e,
d
c,
b
a
Ejm. etc6
13,
6
1,
6
7,
6
5
b) Fracciones Heterogéneas:Son aquellas cuyos denominadores son diferentes: Es de-cir:
CEPU 2011
-II
60 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
fdb:sif
e,
d
c,
b
a
Ejm. etc5
2,
7
4,
3
5
d) Por la Relación de los Divisores de sus Términos:a) Fracciones Reductibles:
Son aquellas fracciones donde numerador y denominadorse pueden simplificar .
Es decirb
a
kb
ka si 1k
Ejm : *3
2
12
8 *
3
2
39
26
b) Fracciones Irreductibles:Son aquellas fracciones donde los términos son PESI.
Es decir: :b
asi a, b no tienen divisor común.
Ejm. etc53
16,
31
15,
7
3
NOTA: Se llama fracción equivalente, cuando una fracción es
equivalente a otra cuando tiene el mismo valor pero sustérminos son diferentes:Ejm.
*15
9
5
3
*5
1
20
4
Se llama Número Mixto, a aquel que tiene parte entera yparte fraccionaria.
CEPU 2011
-II
Números Fraccionarios 61
Ejm: tc5
37,
8
36,
5
43 e
2. MCD y MCM de Números Fraccionarios:
1° El MCD de varias fracciones irreductibles es igual al MCD delos numeradores entre el MCM de los denominadores.
2° El MCM de varias fracciones irreductibles es igual al MCM de lo numera-dores entre el MCD de los denominadores.
3. Número Decimal:Representación lineal de una fracción. Consta de dos partes: parte entera y
parte decimal.
Ejm.14,325
Parteentera
Comadecimal
Partedecimal
Clasificación de los Números Decimalesa) Números Decimales Exactos: Cuando tiene un número limitado de ci-
fras.Ejm: 0,2 ; 0,325 etc
b) Números Decimales Inexactos: Cuando tiene un número ilimitado de ci-fras.
Ejm: 0, 33 ........ ; 0, 3222 . . ... etc
Los Números Decimales Inexactos pueden ser:
i) Periódico Puro: Cuando el periodo empieza inmediatamente des-pués de la coma decimal.Ejm:
0,3333 ....... = 0,3
0,878787.... = 0,87
ii) Periodo Mixto: Cuando el periodo empieza de una cifra (o grupo)cifra(s) después de la coma decimal.
CEPU 2011
-II
62 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Ejm: 0,3424242 .... = 0,342
0,345333 ....... = 0,3453
Conversión de Decimales a Fracción
a) Números Decimales Exactos:La fracción será igual al número formado por las cifras decimales divididaentre la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales.
Si abc,0 1000
abcabc0,
Ejm.
*100
3232,0
*1000
452452,0
b) Números Decimales Inexactos:i) Periódico Puro: La fracción está dado por el número formado por
las cifras del periodo dividido entre tantos nueves como cifras ten-ga el periodo.
Si: 0,abc 0,abc999abc
Ejm:
0,32 =99
32
0,4 =9
4
ii) Periódico Mixto: La fracción esta dada por el número formado portodas las cifras de la parte decimal menos la parte no periódica en-tre tantos nueves como cifras tenga el periodo seguida de tantosceros como cifras tenga la parte no periódicas.
Si: 0,abc 0,abc990
aabc
Ejm:
CEPU 2011
-II
Números Fraccionarios 63
0,342 =990
339
990
3342
0,385 =900
437
900
48485
PROBLEMAS RESUELTOS (NUMEROS FRACCIONARIOS)
1. Si a dos términos de una fracción ordinaria reducida a su más simpleexpresión se le suma el cuádruple del denominador y al resultado se leresta la fracción, resulta la misma fracción. ¿Cuál es la fracción original?
A) 34 B) 5
3 C) 21 D) 9
4 E) 32
Solución:
Sea la fracción:b
a
Por dato:b
a
b
a
bb
ba
4
4
b
a
b
ba 2
5
4
a + 4b = 104b =9a
a = 4b = 9
9
4
b
a
Rpta: D
2. Los 53 de un barril más 6 litros, son de petróleo; y los 3
2 menos 15litros, son de agua.¿Cuántos litros son de agua?
A) 215 B) 152 C) 315 D) 153 E) 6
CEPU 2011
-II
64 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
SoluciónPetróleoB 65
3 Donde: B es el contenido total del barril.
aguaB 1532
Entonces:Petróleo + agua = B
B15B326B
53
B93B2
5B3
Multiplicando la Ec. anterior por 15:
9B + 10B - 135 = 15B4B = 135
4
135B
152
45Agua
154
13532Agua
15B32Agua
2
15Agua
Rpta. A
3. Si la fracción generatrizab1 genera el número decimal ba )1(0,0 .
Hallar el valor de “a+b”.A) 10 B) 9 C) 11 D) 12 E) 8
Solución:
baab
)1(0,01
CEPU 2011
-II
Números Fraccionarios 65
999
)1(1 ba
ab
999)1(. baab
2737)1(. baab
a = 3 b = 7
a + b = 10 Rpta. A
4. Hallar S, Si: ......7
2
7
1
7
2
7
1
7
2
7
165432S
A) 215 B) 152 C) 315 D) 153 E) 6
Solución:
......7
2
7
1
7
2
7
1
7
2
7
165432S
S
S ......7
2
7
1
7
2
7
127
7
14322
SS 949
1
SS 949
48
9S
16
3S
Rpta. B
5. Si se cumple:
5207
8;
14
5;
7
13
kkk
MCM Calcular k + 1
A) 6 B) 4 C) 8 D) 7 E) 9
CEPU 2011
-II
66 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Solución:
5207
8;
14
5;
7
13
kkk
MCM
520)7;14;7(
)8;5;13(
MCD
kkkMCM
5207
.8.5.13
k
5207
520
k
k = 7 k + 1 = 8
Rpta. C
6. ¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada al agregar a sus dostérminos, su denominador?A) 41 B) 132 C) 51 D) 135 E) 92Solución:
Sea la fracción:b
a
b
a
bb
ba3
b
a
b
ba 3
2
aba 6ab 5
5
1
b
a
Rpta. C
7. A y B pueden hacer una obra en 3 días; B y C en 4 días; A y C en 5 días.¿En cuántos días pude hacerlo A trabajando sólo?
A) 1735 B) 17100 C) 17143 D) 17120 E) ..AN
CEPU 2011
-II
Números Fraccionarios 67
Solución:
Analizando sobre lo que hacen en 1 día:
A + B =3
1……
B + C =4
1…….
A + C =5
1…….
Sumando miembro a miembro las Ec. , y :
2A + 2B + 2C =60
47
120
47
4/1
CBA
120
47
4
1A
4
1
120
47A
120
17A
Para “A”:
1 día ---------------120
17de la obra
x --------------- 1
120
171
x
17
120x
Rpta . D
8. Hallar la suma de las cifras diferentes de la parte decimal del número:
CEPU 2011
-II
68 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
271413
7777
N
A) 5 B) 6 C) 4 D) 8 E) 9
Solución
271413
7777
N
33333
7777N
333333
37777
N Multiplicando por 3 al numerador y denominador
99999
23331N
23331,0N
diferentescifras = 2 + 3 + 1 = 6.Rpta. B
9. Si 1,01
TA
y ARITMET
A,0
Hallar el valor de: M + E + R + I
A) 24 B) 12 C) 140 D) 18 E) 22
Solución
9
11
TA A + T = 9
Analizando: ARITMET
A,0
Vemos que A < T y además es equivalente a periódico puro.Podemos comprobar que los únicos valores que puede tomar A y B
es:
CEPU 2011
-II
Números Fraccionarios 69
A = 2 y B = 7
Entonces: 285714,07
2
R = 8I = 5
M = 1E = 4
M + E + R + I = 1 + 4 + 8 +5 = 18.Rpta. D
10. Las fraccionesbb
aa;
).(.
).(.
abAC
baACson equivalentes, además la fracción
propiaa
bes irreductible.
Hallar: a – b
A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 3
Solución
).(.
).(.
abAC
baAC
bb
aa
ab
ba
bb
aa
100
100
)100.()100.( babbabaa Entonces tenemos que : a + b = 10
Comoa
bes irreductible y b<a obtenemos que:
a = 7b = 3
a – b = 7 – 3 = 4. Rpta. C
CEPU 2011
-II
70 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Tres hermanos hacen una colecta para reunir fondos. El primerocolectó 5/24; el segundo 3/10 y el tercero 1/5. ¿Qué fracción aúnles falta?.A) 24/7 B) 1/24 C) 5/7 D) 7/24 E) N.A.
2. Simplificar:34,023,0
3,02,0
E ; el resultado es:
A) 15/43 B) 20/34 C) 25/34 D) 30/34 E) N.A.
3. ¿Qué fracción se le debe disminuir al numerador y al denomina-dor de la fracción 11/37 para que sea equivalente a 2/7 ?A) 2/5 B) 3/5 C) 5/2 D) 5/3 E) 1/5
4. Hallar ...72
71
72
71
72
71
65432 S
Se obtiene:A) 3/8 B) 3/16 C) 1/16 D) 3/32 E) 1/32
5. Dadas las fracciones ordinarias irreductibles:43/5a ; 31/4b ; 17/2c ; 73/10d
A) a,c,d,b B) a,c,b,d C) d,b,c,a D) c,a,b,d E) a,b,d,c
6. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 45/153 existen tal que sean de
la formaba
ab?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7. ¿Cuántas fracciones existen que sean menores que 11/12 y mayo-res que 4/5 cuyos denominadores sean 120 y además dichas frac-ciones sean irreductibles?A) 5 B) 8 C) 11 D) 13 E) 15
CEPU 2011
-II
Números Fraccionarios 71
8. Si:período
ba2857148,0
75 Hallar a + b
A) 4 B) 5 C) 8 D) 12 E) 13
9. Calcular el valor de X en:(0,6969...)X + (0,43838...)X = 1,13636...A) 4/13 B) 6/13 C) 9/13 D) 7 E) 1
10. Una fracción de denominador 11 genera un decimal con un perio-do de dos cifras que difieren 5 unidades. Hallar la suma de lostérminos de dicha fracción si es la mayor posible.A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 2
CEPU 2011
-II
- 72 -
VRAZONES Y PROPORCIONES
I. RAZONES:
Es el resultado de comparar dos cantidades por medio de una diferencia opor medio de un cociente.
1. Razón Aritmética: Es la razón por diferencia
Antecedente – consecuente = Razón Aritmética s
Ejm. 12 – 4 = 8
2. Razón Geométrica: Es la razón por cociente
GeométricaRazónuenteseccon
eAntecedent
Ejm. 34
12
II. PROPORCIONES: Es la comparación de dos razones iguales ya seanaritméticas o geométricas.1. Proporción Aritmética: Es la igualdad de dos razones aritméticas dadas.
Sabiendo que: a – b = r y c – d = r
Entonces: a – b = c – d
Donde:
a y d: extremosb y c: mediosa y c: antecedentesb y d: consecuentes
CEPU 2011
-II
Razones y Proporciones 73
Clases de proporción Aritmética
i) Proporción Aritmética Continua: Los términos medios son igua-les.
Ejm. 8 – 6 = 6 – 4 Donde:6: Media aritmética de 8 y 44: Tercera diferencial de 8 y 4
ii) Proporción Aritmética Discreta: Los cuatro términos son diferen-tes.
Ejm: Donde:
12 – 8 = 6 – 2 2: cuarta diferencial.
2. Proporción Geométrica: Es la igualdad de dos razones geométricas
dadas sabiendo que: kba y k
dc
Entonces:dc
ba Donde:
a y d: extremosb y c: mediosa y c: antecedentesb y d: consecuentes
Clases de proporción Geométrica
i) Proporción Geométrica Continua: Cuando los términos medios soniguales.
Ejm.93
31 Donde:
alproporcionTercera:9 y1alproporcionMedia:3
ii) Proporción Geométrica Discreta: Cuando los términos son diferen-tes:
Ejm.520
312
Donde: alproporcionCuarta:5
CEPU 2011
-II
74 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Propiedades de Proporción Geométrica
Si:dc
ba es una proporción Geométrica;
Entonces:
*d
dcb
ba
*cd
cab
a
*dbdb
caca
*dc
ba
dbca
Serie de Razones Geométricas Iguales:
Se llama así al conjunto de más de 2 razones que tiene el mismo valor.Sean:
kba
.......ba
ba
ba
ba
n
n
4
4
3
3
2
2
1
1
Donde:a1, a2, a3, ....an : antecedentesb1, b2, b3, ....bn : consecuentes
k : constante de proporcionalidadSe cumple que:
* kb.......bbba.......aaa
n321
n321
* n
n321
n321 kb.........b.b.ba........a.a.a
PROMEDIO:
Es un valor representativo de otras varias cantidades que tiene la carac-terística ser mayor que el menor de ellos pero menor que el mayor.
CEPU 2011
-II
Razones y Proporciones 75
CLASES
MEDIA ARITMÉTICA (Ma).- Es aquel promedio que proviene dela suma de “n” cantidades divididas entre “n”.
n
aaaaMa n
...321
Para 2 números a y b:2
baMa
MEDIA GEOMÉTRICA (Mg).- Es aquel promedio que provienende la raíz enésima del producto de “n” cantidades.
nnaaaaMg ..... 321
Para 2 números a y b: abMg
MEDIA ARMONICA (Mh).- Es la inversa de la media aritméticade las inversas de las “n” cantidades dadas.
naaaa
nMh
1...
111
321
Para 2 números a y b:ba
abMh
2
PROPIEDADES
Sean varios Sean varios números; se calcula la Ma, Mg y Mh dedichos números; siempre:
Ma > Mg > Mh
CEPU 2011
-II
76 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Sean 2 números, y hallando su Ma y Mh siempre:A x B = Ma x Mh
Se cumple:
Mg = MhMa.
La diferencia entre la media aritmética y la media geométrica de 2números A y B está dado por:
)(4
)( 2
MgMa
BAMgMa
PROBLEMAS RESUELTOS (RAZONES – PROPORCIONES Y PROMEDIOS)
1. Dos números son entre sí como 11 es 13. Si al menor se le suma 143,entonces el otro deberá duplicarse para que el valor de la razón no se al-tere. Hallar el mayor de los números.
A) 143 B) 169 C) 134 D) 196 E) 186
SoluciónSean los números a y b.
13
11
b
a
kb
ka
13
11
Por dato del problema:
13
11
2
143
b
a
13
11
13.2
14311
k
k
112
)13(11
k
k
kk 213 13k
CEPU 2011
-II
Razones y Proporciones 77
Entonces: El mayor es: b = 13kb = 13.(13)b = 169
Rpta. B2. La razón geométrica entre dos números cuya suma es 65, se invierte si
se añade 17 al menor y se quita 17 al mayor. ¿Cuál es el menor de di-chos números?A) 24 B) 25 C) 28 D) 29 E) 31
SoluciónSean los números a y b: donde b es mayor que a.
a + b = 65por dato:
a
b
b
a
17
17
por propiedad:a
ab
b
ba
17
1717
a
ba
b
ba
17
ab 1717 ab
Además:a + b = 65
a + a + 17 = 652a = 48
a = 24b = 41
menor número es 24
3. Cuál es la diferencia entre los extremos de una proposición continúa, sila suma de sus cuatro términos es 36 y la razón entre la suma y diferen-cia de los dos primeros términos es 3?A) 9 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16Solución
Sea la proporción:d
b
b
a a – d = ???
CEPU 2011
-II
78 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Datos: 362 dba y 3
ba
ba
3
ba
ba
a = 2b
d
b
b
a
d
db
b
ba
b
ba
db
dba
2
b
bb
db
236
336
db
12 db
d
b
b
a
d
db
b
ba
b
ba
db
dbba
b
bb
db
da
2
b
bb
db
da
2
112
da
12 daRpta. C
CEPU 2011
-II
Razones y Proporciones 79
4. Si:2
1
S
O
O
N
D
U, 15 SN y 14OD .
Hallar: ONU
A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13
Solución
Multiplicando 2° y 3° razón:2
2
1
.
.
SO
ON
4
1
S
N
4
41
S
SN
4
515
S
12S3N
Sabemos que:
2
1
O
N
D
U
2
1
OD
NU
2
1
14
3
U 4U
Además:
2
1
S
O
CEPU 2011
-II
80 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
2
1
12
O 6O
13634 ONU Rpta. E
5. Si: 2kf
e
d
c
b
a
2
2
k
Rbde (R>0)
Hallar acf
A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13Solución
2kf
e
d
c
b
a , 2.kfe
Por dato:2
2
k
Rbde
2
22..
k
Rkfbd
4
2
.k
Rfbd
Entonces:422 ... kbdffdkbkacf
= Rkk
R
22
2
Rpta. E
6. Tres números están en relación de 4, 5 y 8 respectivamente. Hallar elnúmero menor, sabiendo que la suma de los 3 es 850.A) 20 B) 300 C) 200 D) 500 E) 600Solución
kcba
854
CEPU 2011
-II
Razones y Proporciones 81
kc
kb
ka
8
5
4
Por dato:850 cba850854 kkk85017 k50k
El menor es: 200)50(44 kaRpta. C
7. La media geométrica de dos números es 26 ; sabiendo que su mediaarmónica y su promedio aritmético son dos enteros consecutivos, se pi-de encontrar los números.
A) 10 y 12 B) 11 y 13 C) 12 y 6 D) 11 y 12 E) 10 y 11
Solución
Sean los números a y b:
Por dato:
1
26
xM
xM
M
a
h
g
Donde:
aritméticamediaM
armónicamediaM
geométricamediaM
a
h
g
:
:
:
Entonces: 26gM
26ab
2226ab
72ab Propiedad: abMM ah .
98)1.(
72)1.(
xx
xx
8x
CEPU 2011
-II
82 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
2
baM a
21
bax
29
ba
18 ba
Resumiendo: 1872 baab
6
12
b
aó
12
6
b
a
Rpta. C
8. Tres números enteros a, b y c; tienen una media aritmética de 5 y unamedia geométrica de .1203 Además, se sabe que el producto bc = 30.La media armónica de estos números es:
A) 73320 B) 75350 C) 74360 D) 35075 E)
36073
Solución:
5aM
15
53
cba
cba
3 120gM
33 120abc120abc
30bc Entoces: 120abc
12030. a4a
CEPU 2011
-II
Razones y Proporciones 83
reemplazando b + c = 11 Resumiendo: 3011 bccb
5
6
c
bó
6
5
c
b
Finalmente:
cba
hM111
3
abacbc
abcM h
3
242030
)120(3
hM
74
360hM Rpta. C
9. La Media aritmética de un número y su raíz cúbica excede a su mediageométrica en 936. Hallar la suma de las cifras del número.A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19Solución:Sea N = a3 el número buscado. Su raíz cúbica de a3 es : aDel enunciado:
936 MgMa
936.2
33
aaaa
9362
23
aaa
9362
2 23
aaa
18722 23 aaa1872)12( 2 aaa
22 1213)1( xaa 13a
CEPU 2011
-II
84 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
N = a3
N = 133 = 2197
Finalmente: 197912cifrasRpta. E
10. Sabiendo quea
a
a
a
b
a
a
a
1
y que la suma de los términos de esta propor-ción es 144. Calcular el valor de la media proporcional.A) 16 B) 27 C) 32 D) 9 E) 25
Solución:
???aa
*a
a
a
a
b
a
a
a
1
a
a
a
a
b
a
a
aa
.
aa aba .
a
ab
aa
* Por dato del problema:1441 aaaa baaa
1442. a
aaaa
aaa
1441
2
aaa a
144122
a
aaa a
CEPU 2011
-II
Razones y Proporciones 85
144)1(
.2
a
aa a
222 4.3)1.( aa aa
==> a = 3
2733 aaRpta. B
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Dos números son proporcionales a 2 y 5. Si se aumenta 175 a unaellos y 115 al otro se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el me-nor?A)90 B)75 C)60 D)40 E)45
2. Lo que cobra y lo gasta diariamente Juan suman S/.90, si lo quecobra y lo que gasta esta en la relación de 3 a 2.¿Cuánto debe ga-nar Juan para que sea el doble de lo que gasta?A)18 B)36 C)64 D)72 E)74
3. La suma , la diferencia y el producto de dos números están en lamisma relación que los números 4, 2 y 15. ¿Cuál es el mayor delos números?A)15 B)10 C)16 D)4 E)14
4. ¿Cuál es la diferencia entre los extremos de una proporción con-tinua si la suma sus cuatro términos e 36 y la razón entre la sumay la diferencia de los primeros términos es 3?A)9 B)10 C)12 D) 14 E) 16
5. Si: b+c=a+54 ydcba
11753
Hallar el valor el valor de “d”A)60 B) 48 C)45 D)66 E)70
CEPU 2011
-II
86 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
6. En un aula de CEPU del canal 04 antes del receso el número dehombres es al número de mujeres como 9 es a 5. Si después delreceso, hay 8 varones y 4 mujeres menos con lo cual la razón dehombres a mujeres es 7/4. Hallar cuantas mujeres habían antesdel receso.A)15 B)16 C)18 D)19 E)20
7. La edad promedio de 3 personas es 56 años. Si ninguno tiene másde 59 años. ¿cuál es la edad mínima que podría tener una de ellas?A)51 B)50 C)53 D)52 E)54
8. La media aritmética de 10 números diferentes es 45 y la mediaaritmética de otros 15 números es 60. Hallar la media aritméticade los 25 números.A)27 B)50 C)60 D)54 E)N.A.
9. Hallar la media geométrica de 2 números sabiendo que la cuartaparte de su producto, por su media aritmética, por su media ge-ométrica y por su media armónica se obtiene 256.A)6 B)4 C)8 D)12 E)6,5
10. Si para 2 números enteros diferentes entre sí y de la unidad secumple:Ma3 x Mh3 = 4096¿Cuál es el valor de la Ma?A)6 B)7 C)8 D)5 E)10
CEPU 2011
-II
- 87 -
VIREGLA DE TRES
La Regla de tres puede ser: simple o compuesta.
1. Regla de 3 simple:
Intervienen tres cantidades conocidas (datos) y una desconocida (Incógni-ta). Puede ser:
- Directa- Indirecta
a) Regla de 3 simple Directa:
Es el desarrollo de comparar 2 magnitudes que son: directamente pro-porcionales.
Método 1: Aplicando la definición de magnitud directamente propor-cional.
ABCx
xC
BA
Método 2: Una vez planteado el problema la multiplicación será en“aspa”.
A ----- BC ----- x
Ax = BCA
BC x
b) Regla de 3 Simple Inversa
Es el resultado de comparar 2 magnitudes, que son: Inversamente pro-porcionales.
Método 1: Aplicando la definición de magnitud inversamente propor-cional.
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-II
88 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
CABx.xC.BA
Método 2: Una vez planteado el problema la multiplicación será ensentido paralelo.
A ----- BC ----- x
AB = C xC
AB x
Método Práctico:
Si las cantidades proporcionales van de más a màs o de menos a me-nos, la regla es Directa; si van de más a menos o de menos a más laRegla es Inversa.
Si es R3SD; se multiplican los datos en aspa y se dividen entre otro da-to. Si es R3SI; se multiplican los datos del supuesto y se dividen entreel otro dato del problema.
x =
x =
BC
AB
A
C
Directa:
Inversa:
A BC X
2. Regla de 3 Compuesta
Es cuando al dar una serie de “n” valores correspondientes a “n” magnitu-des y una segunda serie de “n-1” valores correspondientes a las magnitu-des mencionadas. La finalidad de la regla 3 compuesta es determinar elvalor desconocido de la segunda serie de valores.
Método 1: “Ley de los signos”
Se colocan los datos de manera que los valores pertenecientes a unamisma magnitud estén en una misma columna.
Se compara la magnitud donde se encuentra la incógnita y las demásmagnitudes con el siguiente resultado.Si son directamente proporcionales arriba (-) y abajo (+)Si son inversamente proporcionales arriba (+) y abajo (-)
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-II
Regla de Tres 89
El valor de la incógnita está dado por un quebrado donde el numeradores el producto de los términos que tiene (+) y el denominador es elproducto de los términos que tienen (-).
Método 2: “De las Rayas””
Las magnitudes se pueden clasificar en 3 partes:
1º. Causa o Acción: Realizadores de la obra o acción y condiciones quetiene para realizarla.Ejm. Obreros, máquinas, animales, habilidad, esfuerzo, rendimiento, etc
2º. Circunstancia: Condiciones en el tiempo para realizar la obra.Ejm. días, horas diarias, raciones diarias, etc.
3º. Efecto: La obra en sí lo realizado y los inconvenientes o condiciones quepone el medio para la realización del trabajo.Ejm. Las medias de la obra, dificultades, resistencia del medio, etc.
Acción
Serie 1:
Serie 2:
Hombres*
* * *
* **
* * *
* *
*
*
Circunstancia Efecto
Finalmente, se igualan los productos de los valores que se encuentran enuna misma raya.
PORCENTAJES
Llamado también “tanto por ciento”, se dice así, a una determinada cantidadcon relación a 100 unidades.
NOTACIÓN: 5% =100
5
5 % indica que cada 100 unidades se consideran 5. Una cantidad total representada el 100% Una cantidad aumentada en el 10% representa el 110% Una cantidad disminuida en 10% representa 90%
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-II
90 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Ejm.* ¿Cuál es el 5% de 600?
5% . 600 = 30600.100
5
* ¿Qué porcentaje de 2000 representa 50?x % . 2000 = 50
502000.100
x
x =2050
x = 2.5
Aplicación:
a) Descuentos sucesivos: Cuando una cantidad se le aplica más de undescuento.
%100
100D100D100D100
d1n
321 ........
Donde: D1, D2, D3 ...... : descuento sucesivon : número total de descuento.du : descuento único
b) Aumentos Sucesivos: Cuando una cantidad se le aplica más de unaumento.
%100
100A100A100A100
a1n
321 ........
Donde: A1, A2, A3 ...... : aumentos sucesivon : número total de descuento.a : descuento único
Problemas de Porcentaje Relativos a las Ventas
Pv = Pc + G sDonde:
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-II
Regla de Tres 91
PV : precio de ventaPC: precio de costo
G: ganancia
Pv = Pc - P sDonde:
Pv : precio de ventaPc: precio de costo
P: pérdida
Pc +Gastos + Ganancias = Pv s
Ganancia bruta – gastos = Ganancia Neta d
P. fijado - Descuentos = Pv s
PROBLEMAS RESUELTOS (REGLA DE TRES Y PORCENTAJES)
1. Seis caballos tienen ración para 15 días. Si se aumenta 3 caballos más¿para cuántos días alcanzará la ración anterior?a) 8 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
Sol.
6 Caballos ----------- 15 días R3SI9 caballos ----------- x
x = 109156
.
x = 10
Rpta. (b)
2. La rapidez de Juan es igual a 3 veces la rapidez de Carlos y a su vez éstees 4 veces la rapidez de Luis. SI Juan hace un trabajo en 90 minutos; ¿Enque tiempo lo harán Luis y Carlos juntos?a) 5h b) 3,6 h c) 3 h d) 4 h e) 2,5 h
Sol.
Del enunciado:
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-II
92 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Luis : rapidez 1Carlos: rapidez 4Juan: rapidez 12
Rapidez Tiempo12 -------------- 90 min R3SI
5 -------------- x
x = min590.12
x =min60h1.min
590.12
x = 3,6 h
3. Para ejecutar una obra se cuenta con dos cuadrillas, la primera tiene 50hombres y puede concluir la obra en 30 días; la segunda cuenta con 70hombres y la puede terminar en 50 días; si se toma 3/4 de la primera y los5/6 de la segunda. ¿En cuántos días se terminará la obra?
a) 50/3 d b) 20 d c) 21 d d) 22,5 d e) 24 d
Sol.
* Primera cuadrilla
50 h -------------- 30 días R3SI
h)50(43 --------- x
x =50.
43
30.50
x = 40 días
=> En 1 días43 de la ladrillera hará:
401 de la obra.
4. Para aumentar el área de un círculo en 125%, su radio se debe multiplicarpor:a) 1/2 b) 2 c) 3/2 d) 3 e) 5/2
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-II
Regla de Tres 93
Sol.
Sea : x el número que se debe multiplicar al radio.Sabemos que: A = r2
Entonces por dato el problema:
A + 125%A = (x.r)2
225% A = .x2.r2
1015x
100225x
x.AA.100225
x.r.A.100225
2
22
=> x =23 Rpta. (c)
* Segunda cuadrilla
70 h -------------- 60 días R3SI
h)70(6
5--------- x
x =70.
6
505.70
x = 60 días
=> En 1 días6
5de la ladrillera hará:
60
1de la obra.
Luego: En 1 día ambas partes harán:
24
1
120
5
120
23
60
1
40
1
de la obra
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-II
94 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Finalmente:
1 día ----------24
1de la obra
x ----------- 1 obra
24
11
x =====> x = 24 días
Rpta. E
5. Ocho agricultores trabajando 10 h/d durante 5 días pueden arar un terrenocuadrado de 400m de lado; ¿Cuántos agricultores de doble rendimientoserán necesarios para que en 6 días de 8 h/d aren otro terreno de 480m delado?a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 9
Sol.
22 480.5.10..8400.6.8.2. rrx
2
2
400.6.8.2
480.5.10..8
r
rx
x = 6 obreros
Rpta. A
6. Trabajando 10 horas diarias durante 15 días, 5 hornos consumen 50 tone-ladas de carbón ¿Cuántas toneladas serían necesarias para mantener tra-bajando 9 horas diarias durante 85 días, 3 hornos más?a) 400 b) 408 c) 412 d) 420 e) 428
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-II
Regla de Tres 95
Sol.
Luego:50.9.85.8.10.15.5 x
10.15.5
50.9.85.8x
x = 408 ToneladasRpta. B
7. En una empresa, el 40% del personal masculino y el 30% de femenino,asisten a al colegio nocturno. Si el 20% del personal es femenino. ¿Qué %del personal asiste al colegio nocturno?A) 42% B) 30% C) 38% D) 36% E) 34%
Sol
Supongamos que el total de alumnos sea 100.
El 20% es personal femenino: 20El 80% es personal masculino: 80
Asisten al colegio nocturnoFemenino: 30%(20) = 6Masculino: 40%(80) = 32
Total 38 personas
y 38 de 100 es el 38%
Rpta. C
8. 351 es el 27% de:A) 1340 B) 1250 C) 1300 D) 1200 E) 2700
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-II
96 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Sol.
351 = 27%(X)
X.100
27351
X27
)100(351
X = 1300Rpta. C
9. Una cantidad disminuida en su 13% es 957. ¿Cuál es dicha cantidad?A) 1150 B) 1200 C) 1000 D) 1050 E) 1100
Sol.
Sea la cantidad: X
X - 13%X = 957100%X - 13%X = 957
87%X = 957
957.100
87X
1100X
Rpta. E
10. En una industria se han fabricado 1000 productos; el 60% de ellos han sidofabricados por la máquina A y el resto por la máquina B. Si se sabe que el5% de lo fabricado por A son defectuosos y el 4% por B. ¿Cuántos defec-tuosos hay en los 1000 productos?A) 50 B) 90 C) 45 D) 46 E) 40
Sol
Total : 1000
* Fueron fabricados por A: 60%(1000) = 60/100(1000) = 600
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-II
Regla de Tres 97
de los cuales son defectuosos: 5%(600) = 5/100(600) = 30
* Fueron fabricados por B: 400de los cuales son defectuosos: 4%(400) = 4/100(400) = 16
Entonces, en total hay: 30 + 16 = 46 defectuosos
Rpta. D
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. En 12 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes de una obra. Se retiran6 obreros. ¿Cuántos días demoran los obreros restantes para terminarla obra?A)36 B)12 C)48 D)24 E)15
2. 80 obreros trabajando 8 horas diarias construyen 2480m de una obraen 15 días. ¿Cuántos días se requieren para que 120 obreros traba-jando 10 horas diarias hagan 960m2 de la misma obra.A)22 B)30 C)18 D)16 E)20
3. Un barco tiene víveres para 22 días si lleva 39 tripulantes, diga paracuántos días pueden durar los víveres si viajan 33 tripulantes.A)85d B)77d C)170 d D) 172d E)N.A.
4. Un grupo de obreros habrán hecho en 36 días el 75% de una obra, enese momento se aumentaron 15 obreros más y se terminó la obra 5días antes de la previsto. El grupo de obreros está constituidos por:A)18 B)19 C)20 D)21 E)22
5. 15 obreros han hecho la mitad de un trabajo en veinte días . En esemomento abandonan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tardarán enterminar el trabajo los obreros que quedan?A)24 B)26 C)28 D)30 E)32
6. Si la longitud y el ancho de un rectángulo se duplicará. En que por-
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-II
98 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
centaje aumenta su área?A)100% B)200% C)400% D)300% E)50%
7. Un futbolista patea 17 penales y acierta todos. ¿Cuántos penales másdeberá patear y fallar todos, para que su eficiencia sea del 85%?A)4 B)3 C)2 D)5 E)6
8. Vicente tenía s/.240.00 luego va al mercado y gasta el 50% de lo quegastó. ¿Qué porcentaje del total gastó?A)33,3...% B)40,05% C)35,33% D)50% E)20%
9. Al precio de un objeto se le hacen 3 descuentos sucesivos del 5%,10% y 20%. ¿Cuál es el descuento único que equivale a estos 3 des-cuentos sucesivos?A)37% B)41% C)32,5% D)20,8% E)31,60%
10. El 30% del 20% de los 2/5 de un número equivale al 24% del 0,01%de 1000, hallar todos, para que su eficiencia sea del 85%.A)700 B)0,2 C)1 D)120 E)10
CEPU 2011
-II
- 99 -
VIITEORÍA DE EXPONENTES, ECUACIONESEXPONENCIALES Y VALOR NUMÉRICO
TEORÍA DE EXPONENTES
La teoría de exponentes tiene por finalidad estudiar todas las clases de expo-nentes que existen entre ellos, mediante leyes.
LEYES DE EXPONENTES
1. Producto de Bases Iguales
nmnm aaa .
2. Cocientes de Bases iguales
nmn
m
aa
a
3. Potencia de un Producto
nnn baab .
4. Potencia de cociente
n
nn
b
a
b
a
5. Potencia negativa de un cociente
nn
a
b
b
a
CEPU 2011
-II
100 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario UNJBG6. Exponente cero
10 a donde a 0
7. Exponente negativo
nn
aa
1
8. Potencia de potencia
nmnm aa .
OBS:
mnrssrnm aa
9. Raíz de una potencia
n
mn m aa
10. Raíz de un producto
nnn baab .
11. Raíz de un cociente
n
n
n
b
a
b
a
12. Potencia de radical
n mpp
n m aa
CEPU 2011
-II
Teoría de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico 101
13. Radical de radical
mnm n aa
OBS:
mnrsm n r s aa
14. Introducción de un factor a un radical
n mnnn mnnm bababa ..
ECUACIONES EXPONENCIALESSon ecuaciones, cuyas incógnitas aparecen como exponentes de una potencia,pudiendo también encontrarse como base de la potencia. Para obtener la solu-ción se debe tener cuenta:
Por igualdad de bases:
yx aa yx Si x 0, x 1
Igualdad en el exponente:
xx ba ba Si x 0
Nota: no se tomará en cuente aquellas soluciones (raíces) que se ob-tengan fuera del conjunto de los números reales.
Igualdad Base y Exponente
xa xa => xa Si a 0, a 1
PROBLEMAS:
1. REDUCIR:
aa a
a
R2
1
44
2
A) 2 B) -2 C) 1 D) –1 E) 0
CEPU 2011
-II
102 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario UNJBG
Sol:
aa
a
a
R2
2
22
1
2.2
2
aa a
a
R2 2
1
2
2
a
a
a
a
R2
2
1
2
2
222
2.2 a aa
a
R Rpta ( a )
Nota: También se puede darle un valor adecuado a “a” para luego simpli-ficar por Ejemplo:
Si: a = 1
22
4
8
4
24
4
44
233
13
2
x
R
2. RESOLVER:
15,0
)04,0(55
)2,0(
xx
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Sol:Transformando
155
1
10
22,0
22
55
1
25
1
100
404,0
CEPU 2011
-II
Teoría de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico 103
=>2
1
5.01
5.5
)5( x
= 12 )5( x
225,1
5.0
55
5
xx
5,15,05 x = 225 x
– x – 1 = – 2x + 2
x = 3 Rpta. ( c )
3. Simplificar:
)2(2
)2(223
4
n
nn
R
A) 2n B) 2n+1 C) 3n-1 D) 7/8 E) N.A.
Sol:
3
4
2.2.2
2.22.2n
nn
R
3
4
2.2.2
)22(2n
n
R
16
216 R
16
14R
8
7R Rpta. ( d )
CEPU 2011
-II
104 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario UNJBG
4. Resolver: 22
1xx
x
Sol:
2
21
xx
x
2.2
1
4
1
xx
x
4
2.
4
1
xx
x
4
2.
4
1
xx
x
2
1.
4
1
xx
x
2
1.
2
1
4
1
4
1
xx
x
.4
1
4
1
4
1
xx
x
=>4
1x Rpta ( c )
5. Calcular a qué exponente se debe
elevar 18 para obtener: 254
A) 2/3 B) 3/4 C) 1/2 D) 4/3 E) 2/5
Sol:
Sea el exponente: x
18x = 254
22.32.3 22 x
2
1
2
332 2.32.3
xx
4
3
2
32 2.32.3 xx
4
3x
6. Hallar el valor de:
2 2 6252 1 2
2 22 8
n nn
A) 25 B) 125 C) 625 D) 5 E) 1
CEPU 2011
-II
Teoría de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico 105Sol:
222.2
2222 1
22.2.2
82.2.2
8 625625
nn
nnn
=
4.2
822.2
2
)625(
nnn
= 4.2.32
28
625n
n
= 4.28
28
625n
n
= 5625)625( 44
1
Rpta ( d )
7. Calcular el valor numérico de:
2
11
11
ba
ba
ab
ab
ba
baE para ab = 2 y ba = 0,5
A) 16 B) 14 C) 8 D) 12 E) 10
Sol:
2
..
..
ba
ba
aabb
aabb
ba
baE sabemos que 0,5 =2-1
2
)()(
)()(
ba
ba
aabb
aabb
ba
baE
21 1
)()(
)()(
ba
ba
aabb
aabb
ba
baE
CEPU 2011
-II
106 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario UNJBG2
212
2
112
1
)2()2(
)2()2(1-
1
E
2
22
1
2
12
22
22
E
2
41
2
2
14
E
2
4
1242
124
E
2
2
4
E
2
16E
E = 8 Rpta. ( c )
8. Simplificar:
........546
434322 xxxE n factores.
Sabiendo que: xnnnn )3)(2)(1( 316
A) 16 B) 32 C) 64 D) 256 E) 4096
CEPU 2011
-II
Teoría de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico 107Sol:Sabemos que:
1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + ........ + n(n+1) (n+2) =4
)3)(2)(1( nnnn
Además por dato del problema
)3)(2)(1(
3
16 nnnnx
............ 5.4.64.3.43.2.2 xxxE
...........6.4.54.3.43.2.2 xE
....5.4.34.3.23.2.12 xE
4
)3)(2)(1(.2
nnnn
xE
2
)3)(2)(1(
nnnn
xE
Reemplazando el valor de x:
2
)3)(2)(1(
)3)(2)(1(
3
16
nnnn
nnnnE
2
3
16E
316E
34E
64E Rpta ( c )
CEPU 2011
-II
108 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario UNJBG9. Calcular el valor de “n” en laecuación:
4242 33.3
1 1
n
n
A) 2 B) 4 C) –1/2 D) 6 E) 3Sol.:
4242 33.3
1 1
n
n
4
4221 33.3
1
n
n
4
4221 33
1
n
n
4
4221 1
n
n
422
2.44 n
n
422.24 nn
4422.2 nn
82 n
322 n
3nRpta. E
10. Indicar el valor no entero que tomax, de manera que se cumpla la igual-dad:
1
3
2
8
)2(
8
4 x
x
x
x
A) 1/3 B) –1/2 C) 5/4 D) 2/3 E) 5/3Sol.
Reduciendo ambos miembros tene-mos:
13
3)2(2
3
2
2
2
2
2 x
xx
x
13
3)2(2
3
2
2
2
2
2 x
xx
x
1 3342 32 22 x xx x
1
33
42
32
22
x
x
x
x
1
33
42
32
x
x
x
x
Resolviendo:
4
5x v 3x
Por dato del problema x
Entonces4
5x
Rpta.: CPROBLEMAS PROPUESTOS1. Hallar el valor de “x” en: 14 48 xx es:
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
2. Simplificar:
75
53
33
33
nn
nn
A) 27 B) 3 C) -9 D) 9 E) -8
CEPU 2011
-II
Teoría de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico 1093. Resolver:
2/31 2 xxA) 1 B) 1/2 C) –1/2 D) -1 E) 3/2
4. Hallar 4 2a , si:
2
1
16
4a x
xxx
x
aA) 4 B) 2 C) 3 D) 6 E) 8
5. Resolver: 15,0
)04,0(55
)2,0(
xx
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 56. Efectuar
642
642
222
222
nnn
nnn
M
A) 512 B) 256 C) 260 D) 181 E) N.A.7. Resolver
24822222 4321 xxxxx
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
8. Hallar: 5x + 10, si:42 84 39
xx
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
9. Hallar el valor de 46nmM ;
Si 422
nnn ;
33mmmmm
=27.A) 40 B) 41 C) 38 D) 3 E) 36
10. Calcular “n” si:Si: 33
)12(
21 32...2.2.2
factoresn
nnn
A) 201 B) 121 C) 34 D) 64 E) 83
CEPU 2011
-II
- 110 -
VIIIPOLINOMIO: GRADO, POLINOMIOS
ESPECIALES, OPERACIONES, PRO-DUCTOS NOTABLES.
1. GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Monomio: Es la mínima expresión algebraica que tiene un solo término: Polinomio: Es la expresión algebraica que tiene 2 ó más términos alge-
braicos. Recibe el nombre de binario cuando tiene 2 términos, trinomiocuando tiene 3 términos.
a) Grado de un monomio:
Grado absoluto (G.A.): Está dado por la suma de los exponentes detodas sus variables.
Grado Relativo (G.R.): Está dado por el exponente de la variable refe-rida a dicho monomio.
Ejm:M (x,y,z) = 3x5y7z3
GA = 5 + 7 + 3 = 15
GR(x) = 5GR(y) = 7GR(z) = 3
b) Grado de un Polinomio:
Grado absoluto (G.A): Está dado por el término que tiene mayor gra-do absoluto.
Grado Relativo (G.R.): Está dado por el término de mayor exponentede la variable referida en dicho polinomio.
CEPU 2011
-II
Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 111Ejm:
P(x,y,z) = 4x3y5z2 – 3x5y2z4 + 2x2y7 + 2x5
P(x,y,z) = 4x3y5z2 – 3x5y2z4 + 2x2y7 + 2x5
grado=10 grado=11 grado= 9 grado=5
G.A. = 11
GR(x) = 5GR(y) = 7GR(z) = 4
Nota: El valor numérico de un polinomio es el valor que toma dicho polino-mio, cuando se reemplaza en él valores asignados a sus variables.
Ejm: sea P(x) = x2 + 2x – 1Hallar P(2)
P(2) = 22 + 2.2 – 1 = 7
2. POLINOMIOS ESPECIALES
c) Polinomios Ordenados: Son los que presentan un “orden” ascenden-te o descendente en los exponentes de una de las variables que setoma como base.
Ejm: P(x) = 8x5 – 2x3 + x – 3 P(x,y) = 5x7y2 – 3x2y10 + 7x9y12
d) Polinomios completos: Son los que tienen todos los exponentes(desde el mayor hasta el exponente cero o término independiente) dela variable que se toma como base.
Ejm: P(x) = x4 – 2x2 + x + 10 +x3
P(x,y) = 4x3 – 5x2y + 7xy2 + 8y3
e) Polinomios Homogéneos: Son aquellos cuyos grados de sus térmi-nos son iguales:Ejm:
P(x,y) = x2 + 2xy + y2
P(x,y,z) = 6x3 + 5xy2 – 1/5 xyz
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-II
112 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGf) Polinomios Idénticos: Son aquellos que se caracterizan por que sus
términos semejantes tienen iguales coeficientes.
Ejm: ax2 + bx + cx mx2 + nx + p
a = m b = n c = p
g) Polinomios Idénticamente Nulos: Son aquellos que se caracterizanpor que todos sus coeficiente son idénticos a cero. Ejm:
P(x) = ax2 + bx2 +cx + d
a = 0 b = 0 c = 0 d = 0
3. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
h) Suma y Resta: Para sumar o restar expresiones algebraicas sesuma o se resta términos semejantes.
Nota: Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte li-teral afectada por los mismos exponentes.
i) Multiplicación de expresiones algebraicas: Multiplicar expresio-nes algebraicas significa obtener una expresión denominada PRO-DUCTO, conociendo otras dos llamadas multiplicando y multiplicador.
Propiedades de la Multiplicación:i) El grado del producto es igual a la suma de los grados de los facto-res.ii) El término independiente del producto es igual al producto de lostérminos independientes de los factores.
PRODUCTOS NOTABLESSon productos, cuyos resultados se deben conocer sin necesidad de efectuaroperaciones, por esto se el reconoce fácilmente.
i) Binomio al cuadrado:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
j) Producto de una suma por su diferencia(a + b) (a – b) = a2 – b2
CEPU 2011
-II
Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 113k) Binomio al cubo
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
l) Trinomio al cuadrado
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
m) Producto de un binomio por un trinomio queda una suma o dife-rencia de cubos.
(a + b)(a2 – ab + b2 ) = a3 + b3
(a – b)(a2 + ab + b2 ) = a3 – b3
n) Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 +(a+b)x +ab
o) Identidades de Legendre
(a + b)2 + (a – b)2 = 2 (a2 + b2)
(a + b)2 – ( a – b)2 = 4ab
p) Identidades de Lagandre
(ax + by)2 + (bx – by)2 = (x2 + y2)(a2+b2)
(ax + by + cz)2 + (bx – ay)2 + (cx – az)2 + (cy – bz)2 = (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2)
PROBLEMAS RESUELTOS
1. El grado del polinomio homogéneo.P(x, y) = m.x2m . yn+2 – mx2n . y 4m es:
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 10
Sol: 2
42
1
22 ....),(
Grado
mn
Grado
nm yxmyxmyxP
CEPU 2011
-II
114 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGGrado 1 = Grado 2
2m + n + 2 = 2n + 4m2 = n + 2m
grado = 2m + n + 2grado = 2 + 2 = 4 Rpta ( a )
2. Si 15 xy;2
111
yx. Hallar
33
11
yxE
a) 1/4 b) 1/40 c) 1/10 d) 1/20 e) 1/80
Sol:
xyyxyxE
yxyyxxyxE
yyxxyxE
yxE
31111
1.
1.3
11.
1.2
111
11.
1111
11
2
22
22
33
|
60
1215.
2
1
15
3
4
1
2
1E
40
1
60
3.
2
1
E // Rpta ( b )
3. ¿Cuál es el valor que asumeyx
y
xy
yx
xy
yxR
3
2222
Si:yxyx
411
a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) N.A.
CEPU 2011
-II
Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 115Sol:De la condición:
yxyx
411
0)(
02
42
4
4
22
22
2
yx
yxyx
xyyxyx
xyyx
yxxy
yx
y x
yx
y
x
yx
xy
yxR
3
2
2
222
4222
1
2
32
4
2
2
322
2
y
y
y
y
y
yR Rpta. ( d )
4. Si: 3444 nn aa , entonces nn aa es:a) –2 b) 5 c) – 4 d) 2 e) 3.
Sol:34..2..2 224224 nnnnnn aaaaaa
6
36
342
22
222
222
nn
nn
nn
aa
aa
aa
6.2.2 22 nnnnnn aaaaaa
622
nn aa
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-II
116 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
42 nn aa 2 nn aa Rpta ( d )
5. El grado del Polinomio es:
P(x) = :n términos.............111 852 xxxa) 220 b) 520 c) 610 d) 1220 e) 1610Sol:
Grado = 2 + 5 + 8 + ............ 20 términos y de razón 3
Para hallar la suma:
59
)3)(19(2
)1(1
n
n
n
a
a
rnaa
2
1 naaS n
)10)(61(2
20.592
S
S
S = 610
grado = 610 Rpta ( c )
6. Si P(x+3) = 6x – 25830)8)(( xxFP Hallar el valor de
)4(FE A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9Solución* P(x+3) = 6x – 2
P(x-3+3) = 6(x-3) – 2P(x) = 6x – 20Reemplazando x por F(x) + 8, tenemos:P(F(x) + 8) = 6(F(x) + 8) – 20P(F(x) + 8) = 6F(x) + 48 – 20P(F(x) + 8) = 6F(x) + 28 ………. (1)
CEPU 2011
-II
Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 117
* Por dato del problema:P(F(x)+8) = 30x + 58 ………… (2)
Igualando (1) y (2):6F(x) + 28 = 30x + 58
6F(x) = 30x + 30F(x) = 5x + 5
Entonces: F(4) = 5(4) + 5 = 25
Finalmente:
25
)4(
E
FE
5ERpta. C
7. Si el monomio 5 346 2..9.3 mm xxxx es 8, el valor de “m” es:A) 2 B) 6 C) 9 D) 12 E) 16Solución
5 346 2..9.3 mm xxxx
30155
46G.A.
mm
Por dato del problema:
830155
46
mm
multiplicando por 30 la ecuación anterior:240224180 mm
363 m12m
Rpta. D
8. Sabiendo que 79
9
a
x
x
a, el valor de la expresión 4
9
49 a
x
x
a es:
A) 3 B) 4 C) 5 D) 5 E) 2
CEPU 2011
-II
118 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGSoluciónSupongamos que:
4
9
49 a
x
x
aE Hallaremos E.
2
4
9
49
2
a
x
x
aE
2
4
9
4
9
49
2
49
2 ..2
a
x
a
x
x
a
x
aE
a
x
x
aE
9
92 2
a
x
x
aE
9
92 2
2
9
9
22 2
a
x
x
aE
2
99
9
2
9
22 ..22
a
x
a
x
x
a
x
aE
a
x
x
aE
9
9
22 22
229
9
22 a
x
x
aE
27222 E
922 E
232 E
5ERpta. C
9. Si3 3 3 ...4.24.244 xM a , su grado es:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.
CEPU 2011
-II
Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 119SoluciónEl grado de M es: 3 3 3 ...4.24.24
Supongamos que:3 3 3 ...4.24.24 E Hallaremos E.
33 3 ...4.24.24
E
E
3 .24 EE EE 243
Dando valores a E, obtenemos que:E = 2
Rpta. B
10. Si el polinomio ordenado, decreciente y completo:...32)( 2312 cba xxxxP posee 2c términos; hallar “a+b+c”.
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16.Solución
Como posee 2c términos, Entonces es de grado 2c-1.
...32)(
32
2
22
3
12
12
c
c
c
b
c
a xxxxP
Del tercer término obtenemos:232 cc
5c
Del segundo término obtenemos:223 cb
5b
Del segundo término obtenemos:1212 ca
4a
Por lo tanto: 14 cba
Rpta: C
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-II
120 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGPROBLEMAS PROPUESTOS
1. Hallar m/n si el polinomio:)72(3);( 1612 nmnm yxyxyxP es homogéneo.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 0 E) N.A.
2. Sabiendo que xb
a
bax
baxP
, Calcular:
)3/5()3()2(
P
PP
A) 1/4 B) 2 C) 3 D) 5/4 E) 3/4
3. Si 31
2
aa el valor de 3
3 1a
a es:
A) 1 B) 6 C) 0 D) -1 E) 2
4. Si 22 abba yxuyx son tres términos consecutivos de un poli-nomio P(x;y) completo, homogéneo de grado 8 y ordenado crecien-temente respecto a “x”, hallar el Grado relativo a la variables “y”de “u”.A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E) 7
5. La expresión: xabxabxba baba )(.).( 462 ; reducida a unmonomio es:A) x B) 2x3 C) ax4 D) -3x2 E) 5x
6. Sea
nn
nn
yxyxyxyx
yxyxyxyxM
11...
111111
))...()()((
3322
3322
. La suma de
los grados relativos de M es:
A)2
)1( nnB) )1( nn C) )1( nn D)
2)1( nn
E) N.A.
CEPU 2011
-II
Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 121
7. Hallar el valor de “n”:
n
a
b
ba
ba
3 2/1 36
2/1 4/1 3361
.
A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E) 7
8. Siendo: 72
3
3
2
a
m
m
a, calcular 4
2
3
3
24
a
m
m
a
A)3 B)4 C)5 D)1 E) 4 7
9. La suma de los coeficientes del polinomio homogéneo:ab bab baa y
a
byx
b
aybxaxyxP
213312);(
, es:
A) 4 B) 5 C) 7 D) 9 E) N.A.
10. Efectuar el producto:
244
311
11 x
xx
x
x
x; Si x = 2, se tiene:
A) 0 B) 3-16x C) 3 D) 3+16x E) N.A.
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-II
- 122 -
IXDIVISIÓN, TEOREMA DEL
RESTO, COCIENTES NOTABLESI. DIVISION ALGEBRAICA
Definición: La división Algebraica es una operación que consiste en obtenerun cociente “q(x)” a partir de dos expresiones algebraicas llamadas dividendo“D(x)” y divisor “d(x)”. Quedará un resto o residuo “r(x)” cuando se trate deuna división inexacta.
)()().()( xrxqxdxD División inexacta
)().()( xqxdxD División exacta
Casos de la División:1) Cuando se trata de dos monomios:
Se dividen los signos mediante la regla de los signos. Luego los coefi-cientes y finalmente se dividen las letras aplicando teoría de exponen-tes.
Ejm: Dividir:263
82
1085
2
16
32
zyxE
zyx
zyxE
2) Cuando se trata de dos Polinomios:Se puede utilizar cualquiera de los métodos siguientes:
a) Método Normalb) Método de los coeficientes separados.c) Método de Hornerd) Método de Ruffini.
Ejm: Dividir12
67942
23
xx
xxx
a) Método NormalOrdenando previamente tenemos
CEPU 2011
-II
División, teorema del resto, cocientes notables 123
4x- 4x
- xx
- 9x+8x
+ 3x- 2x
x - 5
4x - 1x+ 7x - 6
- 4x - 6+ 1
- 2x + 13
3
22
2
2
2
q(x) = 4x – 1
R(x) = x – 5
b) Métodos de coeficientes separadosSólo se trabaja con los coeficientes y sus correspondientes signos. 4 -9 7 - 6 1 - 2 1- 4 8 - 4 4 -1
-1 3 -6 1 - 2 1
1 -5
q(x) = 4x – 1
R(x) = x – 5
c) Método de Horner:
Tenemos que dividir
signosucambiase
2
23
12
6794
xx
xxx
1 4 - 9 7 - 6 2 8 - 4-1 - 2 1
4 -1 1 - 5
cociente residuo
-1
q(x) = 4x – 1R(x) = x – 5
CEPU 2011
-II
124 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGMETODO DE RUFFINI
Se utiliza para dividir polinomios cuando el divisor es un binomio cuando eldivisor es un binomio de primer grado.
Ejm: Dividir:2
932 23
x
xxx
Procedimiento
x + 2 = 0x = – 2
1 - 2 3 9-2 - 2 8 - 22 1 - 4 11 - 13
cociente
Resto
q(x) = x2 – 4x + 11
Resto = - 13
TEOREMA DEL RESTOEste teorema tiene por finalidad determinar el resto en una división, sin efectuarla división.“El resto de dividir un polinomio racional y entero en “x” entre un binomio de laforma “ bax ” es igual al valor numérico que adquiere dicho polinomio cuandose reemplaza en él, por
ab ”.
Ejm:
Hallar el resto en:8
8)7()5( 32
yyx
y + 8 = 0y = -8
Resto = (-8 + 5)2 + (-8 + 7)3 + 8R = (-3)2 + (-1)3 + 8R = 9 – 1 + 8R = 16
COCIENTES NOTABLESSe denominan cocientes notables a ciertos casos particulares de divisionesexactas.
CEPU 2011
-II
División, teorema del resto, cocientes notables 125De tal forma que sin efectuar la división, se puede escribir su desarrollo.
Forma General:axax mm
donde Zm
CASO 1:ax
ax mm
es cociente notable cuando “m” es impar
CASO 2:ax
ax mm
es cociente notable cuando “m” es par
CASO 3:ax
ax mm
no es cociente notable
CASO 4:ax
ax mm
es cociente notable para cualquier valor de “m”
Desarrollo de C.N. :ax
ax
55
= x4 – x3a + x2a2 – xa3 + a4
DETERMINACIÓN DE UN TERMINO CUALQUIERA DE UN C.N.
Forma General :
ax
ax mm
= xm-1 + xm-2a + xm-3a2 + … + am-1
t(k) = (signo) xm-k . ak-1
Regla para el signo: Cuando el divisor es de la forma (x-a) el signo de cualquier término es posi-
tivo. Cuando el divisor es de la forma (x+a) el signo de términos que ocupan un
lugar par son negativos y los que ocupan lugar impar son positivos.
CEPU 2011
-II
126 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
ejemplo:Hallar el t(40) en el desarrollo del C.N. :
23
100150
ax
ax
solución:
23
502503 )()(
ax
ax
t(40) = -(x3)50-40 . (a2)40-1
t(40) = -x30 . a78
PROBLEMAS:
1. El resto de la división:
1
163).2().1( 21
x
nxnxnnx nnn
a) 17 b) 13 c) 15 d) 21 e) 19
SoluciónPor teorema del resto tenemos que: x = 1
1631).2(1).1(1. 21 nnnnR nnn
16321 nnnnR13R Rpta. B
2. Hallar el residuo de:
1
32
450100
x
xxx
a) 4 b) 20 c) 71 d) 110 e) N.A.
CEPU 2011
-II
División, teorema del resto, cocientes notables 127
Solución
1
32
450100
x
xxx=
1
32
22252502
x
xxxtomamos x2 = y
=1
322550
y
yyy
Por teorema del resto y = 1
R = 150 + 125 – 12 +3R = 1 + 1 – 1 + 3R = 4 Rpta. A
3. El resto de la división :
ax
axax
2
)( 777
a) 128a7 b) –127a7 c) 127a7 d) –126a7 e)126a7
SoluciónPor teorema del resto:
==> 777 )2(2 aaaaR
777 128 aaaR 77 127aaR
77 127aaR 7126aR Rpta. E
4. Para que la expresión:
mn
mn
yx
yx
33
sea cociente notable y su se-
gundo término en su desarrollo sea x2y2. Hallar nm.a) 1 b) 4 c) 9 d) 16 e) N.A.
CEPU 2011
-II
128 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGSoluciónSabemos que: 1
)( .. kkmk BAsignot |
1223
)2(
mn yxt
mn yxt .)2( mn yxyx .. 22
Entonces n = 2 , m = 2.422 mn Rpta. B
5. Determinar el valor de “m” para que el cocientemm
mm
yx
x
32
516
sea
cociente notable.a) 3 b) –3 c) 2 d) – 4 e) 4Solución
Por propiedadm
m
m
m 5
32
16
m
m
m
m
5
32
16
532
16
m
m
)32(516 mm151016 mm
m416 4m Rpta. E
6. Hallar el resto de dividir)1)(2(
7)1()2( 20002001
xx
xx
a) 3 b) 2x-1 c) 3x+2 d) 2x-4 e) 2x+4Solución
Sabemos que: D(x) = d(x).q(x) + R(x)Como el divisor es de segundo grado entonces, el residuo tiene la
CEPU 2011
-II
División, teorema del resto, cocientes notables 129forma de:R(x) = ax + bReemplazando:
baxxqxxxx )().1)(2(7)1()2( 20002001
Si x = 2 : ba 2.07)1(0 2000
ba 27182 ba ........ (*)
Si x = 1 : ba 1.070)1( 2001
ba 716 ba .........(**)
Resolviendo (*) y (**):82 ba
6 baa = 2 b = 4
Por lo tanto: R(x) = 2x +4 Rpta. E
7. Hallar el resto en:
54
7)2(3)2(5)2(4)2(2
3246382
xx
xxxx
a) x+2 b) 2x+1 c) 2x-1 d) x+1 e) x-1Solución
=54
7)2(3)2(5)2(4)2(2
3246382
xx
xxxx
=144
7)2(3)2(5)2(4)2(2
3246382
xx
xxxx
=
1)2(
7)2.()2(3)2(5)2.()2(4)2(2
2122312412
x
xxxxxx
Hacemos que (x + 2)2 = y
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-II
130 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
=1
7)2.(35)2.(4 123141
y
xyyxyy
Por el teorema del resto: y = -1
7)2).(1(3)1(5)2.()1(4)1(Re 123141 xxsto7)2(35)2(41Re xxsto
7635841Re xxsto1Re xsto Rpta. E
8. Hallar “m” para el polinomio x3 + x2 - 3mx + 5 al dividirlo entre x–1 dé como resto el doble de dividirlo entre x – 2.a) 27 b) 21 c) 18 d) 9 e) 3Solución
Aplicando teorema del resto a:
1
5323
x
mxxx x =1: 53111 mR
mR 371
2
5323
x
mxxx x =2: 56482 mR
mR 6172 Por dato del problema: R1 = 2R2
7 – 3m = 2(17 – 6m)7 – 3m = 34 – 12m
9m = 27m = 3 Rpta. E
9. Hallar el resto de dividir )6)(5)(4)(3)(2)(1( xxxxxx
entre 1172 xxA) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
CEPU 2011
-II
División, teorema del resto, cocientes notables 131Solución
117)6)(5)(4)(3)(2)(1(
2
xx
xxxxxx
Multiplicando lo indicado tenemos:
117)127)(107)(67(
2
222
xx
xxxxxx
Hacemos que xx 72 = y
=11
)12)(10)(6(
y
yyy
Por el teorema del resto: y = -11)1211)(1011)(611(Re sto
)1)(1)(5(Re sto5Re sto Rpta. E
10. Calcular el valor numérico del término central del cociente nota-ble originado al dividir:
44
100100
)()()()(
yxyx
yxyx
para x = 3, y = 22 .
A) 1 B) 2 C) 100 D) 200 E) 10000Solución
44
100100
)()()()(
yxyx
yxyx
=
44
254254
)()()()(
yxyx
yxyx
El término central ocupa el 132
125
término, entonces k = 13.
Aplicando la Ec.:
CEPU 2011
-II
132 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG1
)( .. kkmk BAsignot |
113413254)13( )(.)(
yxyxt
124124)13( )(.)( yxyxt
4848)13( ).()( yxyxt
48)13( )).(( yxyxt
4822)13( yxt
Reemplazando los valores de “x” e “y” 4822
)13( )22()3( t
4889
4811
Rpta. A
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Si: P(x)= (x+2)30 +3x – 192, hallar el resto de1)3)(x(x
)(
xP
A) 3x – 91 B) 3x + 19 C) x + 2 D) 3x – 191 E) N.A.
2. Calcular A+B si la división12
2522
234
xx
BAxxxxes exacta.
A)146 B)164 C)116 D)46 E)16
3. Hallar el término 21 en el siguiente cociente notable:20
2
11
2
x
xx.
A) x+1 B) x C) x2+1 D) x2-1 E) x-1
4. Señalar "m" para que 222
732
mm
mm
ba
basea un cociente notable. De m2 +
m+1.
CEPU 2011
-II
División, teorema del resto, cocientes notables 133A)4 B)12 C)7 D)21 E)No es C.N.
5. ¿Cuál es la suma de los coeficientes del polinomio Q (x) si se sabe que esde tercer grado, su coeficiente principal es 1, es divisible por (x-2)(x+1) ycarece de término cuadrático?A) 4 B) –5 C) 7 D) –4 E) 9
6. Calcular el 7mo. Término del cociente: 25
3075
yx
yx
A) 1540 yx B) 1240 yx C) 2040 yx D) 3040 yx E) 1218 yx
7. Dado el cociente notablecb
a
yx
yx
12
, el término de lugar “k” de su
desarrollo tiene grado absoluto 11 y además se cumple que a + c = 20y a3 + c3 = 5840. Calcular k.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
8. Cuando el polinomio DCxBxAxx 23415 se divide entre35 2 xx , se obtiene un cociente cuyos coeficientes decrecen de
uno en uno a partir del primer término y un residuo de 2x-9. HallarA+B-C+2DA) 7 B) -6 C) 12 D) -7 E) 0
9. El resto de dividir)1)(3(1923)2( 2
xx
xx n
, es:
A) 3x-91 B) 3x+19 C) x+2 D) 3x-191 E) x+9
10. Hallar el resto en:1
)1(2
122
xx
xx nn
A) 0 B) 1 C) 3 D) 5 E) N.A.
CEPU 2011
-II
- 134 -
XFACTORIZACIÓN: DIVERSOS
MÉTODOSFACTORIZACIÓN
Factorización, es el proceso de transformación de un polinomio en una multipli-cación indicada de factores primos racionales y enteros: es decir, factorizarsignifica convertir una suma algebraica en producto de factores.
METODOS DE FACTORIZACIÓN
1.- FACTOR COMÚN: El factor común puede ser de tres tipos: factor común monomio factor común polinomio factor común por agrupación
a) Factor Común Monomio: Cuando el factor común a todos los térmi-nos del polinomio es un monomio.
ejemplo: Factorizar:
15a2b + 10a4b2 – 20a4b4
el factor común es: 5a2b 15a2b + 10a4b2 – 20a4b4 = 5a2b (3 + 2a2b – 4a2b3)
b) Factor Común Polinomio: Cuando el factor común que aparece es unpolinomio.ejemplo: Factorizar:
5a (xy – z) – 3b (xy – z) + 4 (xy – z)el factor común es: xy – z
5a (xy – z) – 3b (xy – z) + 4 (xy – z) = (xy – z) (5a – 3b + 4)
c) Factor Común por agrupación: Se busca agrupar términos de modo
CEPU 2011
-II
División, teorema del resto, cocientes notables 135que vuelva a aparecer un factor común en todo el polinomio.
ejemplo: Factorizar:xy – zy + xw – zw
agrupamos de la forma siguiente:
xy - zy + xw - zw
y(x – z) + w(x – z)(x – z) (y + w)
2. METODO DE IDENTIDADES
a) Diferencia de Cuadrados: Es una diferencia de cuadrados perfectos.
a2n – b2n = (an + bn) (an – bn)
Ejemplo: Factorizar: x6 – y8
x6 – y8 = (x3)2 – (y4)2
= (x3 + y4) (x3 – y4)
b) Trinomio Cuadrado Perfecto: Tiene la siguiente forma:
a2m + 2ambn + b2n = (am + bn)2 a2m – 2ambn + b2n = (am – bn)2 s
ejemplo: Factorizar: x8 + 6x4y2 + 9y4
x8 + 6x4y2 + 9y4 = (x4)2 + 2 . x4 . 3y2 + (3y2)2
= (x4 + 3y2)2
c) Suma o diferencia de cubos: Tiene dos cubos perfectos:
a3m + b3n = (am + bn) (a2m – ambn + b2n)
a3m – b3n = (am – bn) (a2m + ambn + b2n)
CEPU 2011
-II
136 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
8x - 2x - 32
2x 1
4x -3
4x
- 6x
- 2x
ejemplo: Factorizar: x9 + 8
x9 + 8 = (x3)3 + 23 = (x3 + 2) [(x3)2 – x3 . 2 + 22]
= (x3 + 2) (x6 – 2x3 + 4)
3. METODO DEL ASPA
c) Aspa Simple: Se utiliza para factorizar trinomios de la forma:
ax2n bxn c x2n bxn c
PROCEDIMIENTO: Descomponemos los extremos en dos expresiones que multiplica-
das los vuelve a reproducir. Luego multiplicar en aspa y sumamos estos productos. Este último
debe coincidir con el término central. Finalmente escribiremos los factores del polinomio dado.
ejemplo: Factorizar: P(x) = 8x2 – 2x - 3
)34()12()( xxxP
d) Aspa Doble: Se aplica para factorizar polinomios de la forma:
ax2n bxnyn cy2n dxn eyn f
Es decir, que se aplica generalmente a polinomios de 6 términos con 2o 3 variables. Para efectuar las pruebas del aspa hay que acomodarlos términos del polinomio de un modo conveniente; si falta algúntérmino se completa con coeficiente cero. También el método de aspa
CEPU 2011
-II
División, teorema del resto, cocientes notables 137doble se aplica para algunos polinomios de 4to. grado.Ejemplo: Factorizar: E = 6x2 + 7xy – 3y2 + 11x – 11y – 10
6x + 7xy - 3y + 11x - 11y - 102 2
3x - y -2
2x 3y 5
III III
Verificando los términos
I IIIII 9xy- 2xy
+7xy
: - 5y- 6y
-11y
: 15x- 4x
11x
:
Luego la expresión factorizada es:
E = (3x – y – 2) (2x + 3y + 5)
Aspa Doble Especial: Se usa para factorizar polinomios de 4to. grado de laforma general:
ax4 bx3 cx2 dx e
PROCEDIMIENTO:
Se descompone los términos extremos (primero y quinto) en sus facto-res primos con signos adecuados.
Efectuar el producto de los factores en aspa y se reduce. De esta ma-nera se obtiene un término de 2do. grado.
A este resultado se le debe sumar algebraicamente otro término de2do. grado para que sea igual al tercer término.
Con este otro término de 2do. grado colocado como tercer términodel polinomio, se descompone en sus factores en forma conveniente.ejemplo: Factorizar: E = x4 – 10x3 + 19x2 – 18x + 9
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-II
138 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGsolución:
x - 10x + 19x - 18x + 94
x 9
x 1
3 2
2
2
9x
x
10x
2
2
2
Se observa que falta: 19x2 – 10x2 = 9x2
Se descompone 9x2 en factores en forma conveniente y se verifica el 2do. y4to. término.
X X
- X 1X
- 9 92
2
I II
Verificando los términos:
- XX X
X
X X- 9 - 9
- 9
- 10 - 18
3I II
La expresión factorizada es:
E = (x2 – 9x + 9)(x2 – x + 1)
4. MÉTODO DE DIVISORES BINOMIOSPermite la factorización de un polinomio de cualquier grado que acepte fac-tores de primer grado de forma:
x B ; A x BEs decir, Dado un P(x), si P(a) = 0 entonces P(x) es divisible por (x – a)
Procedimiento:- Se determina por lo menos un cero del polinomio- De acuerdo con el cero se halla el divisor, que es un divisor binomio o
factor.- El otro factor se determina dividiendo el polinomio entre el divisor ob-
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-II
División, teorema del resto, cocientes notables 139tenido mediante la regla de RUFFINI.
Ejm:Factorización: P(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6Sol: Se determina los posibles ceros del Polinomio para valores de: x =
1, 2, 3, 6 Para x = – 1
P(-1) = (-1)3 + 6(-1)2 + 11(-1) + 6 = – 1 + 6-11 + 6 = 0 ¡ se anula ¡
Luego (x + 1) es el factor del polinomio Dividiendo P(x) entre el factor obtenido por regla de RUFFINI:
1 6 11 6-1 -1 -5 -6 1 5 6
Luego el polinomio factorizado es: ( x – 1)(x2 +5x + 6)
Finalmente (x – 1)(x + 3)(x + 2)
5. METODO DE ARTIFICIO DE CALCULOa) Reducción a diferencia de cuadrados
Consiste en transformar una expresión (trinomio en general), a una di-ferencia de cuadrados sumando y restando una misma expresión de talmanera que se complete el trinomio cuadrado perfecto.Ejm: Factorización E = 49x4 + 5x2y4 + y8
Solución:Se observa que los extremos son cuadrados perfectosEntonces:E = 49x4 + 5x2y4 + y8
E = (7x2)2 + (y4)2 + 5x2y4
E = (7x2)2 + 2.7 x2. y4 + ( y4)2 – 14x2y2 + 5 x2y4
E = (7x2)2 + 2.7 x2. y4 + ( y4)2 + 5 x2y4
E = ( 7x2 +y4)2 – 9x2y4
E = ( 7x2 +y4)2 – (3xy2)2
E = ( 7x2 +y4 + 3xy2 ) ( 7x2 + y4 – 3xy2 )
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-II
140 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGb) Método de Sumas y Restas
Consiste en sumar y restar una Misma cantidad de tal manera que seforme una suma o diferencia de cubos y se presenta el factor:
x2 + x + 1 ó x2 – x + 1
algunas veces también se completa el PolinomioEjm: Factorizar : E = x5 + x – 1
Solución:Sumando y restando x2
]1)1()[1(
)1()1)(1(
)1()1(
)1(
1
22
222
232
225
225
xxxxE
xxxxxxE
xxxxE
xxxxE
xxxxE
)1)(1( 232 xxxxE
c) Cambio de Variable:
Consiste en cambiar una variable por otra, de tal manera que se obten-ga una forma de factorización mas simple.
Ejm:Factorizar:
38)242)(32(
38)6)(4)(3)(1(22
xxxxE
xxxxE
haciendo: x2 – 2x = a
)52)(222(
)5)(22(
11027
387227
38)24)(3(
22
2
2
xxxxE
aaE
aaE
aaE
aaE
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-II
División, teorema del resto, cocientes notables 141PROBLEMAS:
1. Factorizar: 1)1)(2()1)(2)(3( xxxxxx
a) 2)3)(1( xx b) )3)(2( xx c) )1()2( 2 xx d) )3()1( 2 xx
e) 22 )3()1( xx
Solución
(x+3)(x+2)(x+1) + (x+2)(x+1) + (x+1)(x+1)[(x+3)(x+2) + x+2 + 1](x+1)[x2+5x+6+x+3](x+1)[x2+6x+9](x+1)(x+3)2 Rpta. A
2. Factorizar: x3 + y3 – 3xy +1a) (x+y+1)(x+y)2 b) (x+y+1)(x+y+1)2 c) (x+y+1)(x2-xy+y2-x-y+1)d) (x+y+1)(x2+y2-x-y+1) e) (x+y+1)(x2+y2-xy-x-y)
Solución1333 xyyx
133333 223223 xyxyyxyxyyxxxyxyyxyx 3331)( 223 xyxyyxyx 3331)( 223
)1(31)( 3 yxxyyx
)1(31)()()1( 2 yxxyyxyxyx
xyyxyxyxyx 312)1( 22 )1)(1( 22 yxyxyxyx Rpta. C
3. Uno de los términos independientes de los factores simples de:6104 245 xxxxE es:
a) –2 b) 4 c) 3 d) 6 e) –3
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-II
142 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGSolución
Por método de RUFFINI tenemos:1 4 0 -10 -1 6
1 1 5 5 -5 -6
1 5 5 -5 -6 /1 1 6 11 6
1 6 11 6 /-1 -1 -5 -6
1 5 6 /-2 -2 -6
1 3 /
Entonces E = (x-1)2(x+1)(x+2)(x+3)El términos independientes buscado es 3. Rpta. C
4. Factorizar: E = x2-y2+y(x-y)+x(x+y)+xya) (2x+y)(2y-x) b) (2x-y)(2y+x) c) (2x+y)(2y+x) d)(2x+y)(x+y) e) N.A.Solución
xyyxxyxyyxE )()(22
xyxyxyxyyxE 2222
xyyxE 322 22 xyxyyxE 422 22
)2(2)2( xyyyxxE )2)(2( yxyxE Rpta. B
5. Calcular el término independiente de uno de los factores de:504)4)(6)(7)(5( xxxx
A) 9 B) 18 C) 6 D) 2 E) 12
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-II
División, teorema del resto, cocientes notables 143Solución
504)4)(6)(7)(5( xxxx =
Multiplicando lo indicado tenemos:504)42)(20( 22 xxxx
Hacemos que xx 2 = y504)42)(20( yy
504840622 yy
336622 yy)6)(56( yy
Reemplazando el valor de y)6)(56( 22 xxxx
)2)(3)(7)(8( xxxxRpta. D.
6. Un factor de: )464(12 432232 yxyyxyxx A) 221 yxy B) 122 yx C) 221 yxy D) 2221 yxy E) 122 2 yxySolución
)464(12 432232 yxyyxyxx =
= )464(12 43223442 yxyyxyxxxx )464(12 43223424 yxyyxyxxxx
422 )()1( yxx
2222 )()1( yxx 2222 )()1(.)()1( yxxyxx 222222 21.21 yxyxxyxyxx 222 21221 yxyxyxy
Rpta. A7. El factor de grado uno respecto a “x” en
3222 )()();;( yyxzyzxxzyxH es:A) x-y B) x+y-z C) y+z D) x-y+z E) x+z
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-II
144 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGSolución
3222 )()();;( yyxzyzxxzyxH 3223);;( yzyzxxyzxzyxH
2233);;( zyzxxyzyxzyxH
)())(();;( 2222 yxxyzyxyxyxzyxH ))(();;( 22 zyxyxyxzyxH Rpta. D
8. Un factor de P(a;b) = 2a2 – 3b2 + 5ab – 3a + 5b – 2, es:A) 2a +3b – 1 B) 3a – 2b +1 C) a – b – 1 D) 2a + b –2 E) a + 3b – 2
Solución2a2 – 3b2 + 5ab – 3a + 5b – 22a2 + 5ab –3b2–3a+5b–2
Comprobando:
aaa
bbb
ababab
34
523
56
Por lo tanto los factores son: (2a – b + 1)(a + 3b – 2)Rpta. E
9. Al factorizar el polinomio 44 814);( yxyxP , y evaluar uno de
sus factores para x = y = 2 , se tiene:A) 8 B) –8 C) 22 D) –2 E) 34Solución
44 814);( yxyxP 224224 3681364);( yxyyxxyxP
22222 36)92();( yxyxyxP 2222 )6()92();( xyyxyxP
xyyxxyyxyxP 692.692);( 2222
CEPU 2011
-II
División, teorema del resto, cocientes notables 145
evaluando los factores para x = y = 2
* )2)(2(6)2(9)2(2692 2222 xyyx= 1012184
* )2)(2(6)2(9)2(2692 2222 xyyx= 3412184
Rpta. E
10. Hallar la suma de los términos independientes de los factores de:1014744 22 bababa
A) 5 B) 7 C) 9 D) 10 E) 13Solución
1014744 22 bababa = 1014744 22 bababa
= 10272 2 babaHaciendo a+2b=x= 1072 xx= )2)(5( xxReemplazando el valor de x= 2252 baba
Por tanto los términos independientes de los factores son 5 y 2; lasuma es 7.
Rpta. B
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Factorizar: 656128 23 xxxA) 3)52( x B) 3)132( x C) )1344)(52( 2 xxx D) 3)52( x
E) )1344)(52( 2 xxx
2. La suma de los términos independientes de los factores de:P = (x+1)(x+4)(x-3)(x-6) + 38 es:A) 27 B) –27 C) 22 D) –22 E) N.A.
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146 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
3. Si: 3333 )()()()( cabacabaR . Hallar la suma de loscoeficientes de uno de los factores.A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) N.A.
4. Al factorizar la expresión pqqxpyxyzzxyE )()( 23 ; uno delos factores es:A) zyx 22 B) qzxy 2 C) qzxy 2 D) pyzx 2 E) xyz - q
5. Factorizar 3333)();:( zyxzyxzyxP , e indique el númerode factores lineales primos.A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
6. Factorizar 1234)( 246 nnnnnF , e indicar el producto de loscoeficientes de uno de los factores.A) 8 B) 7 C) 3 D) 6 E) 9
7. Si )32(3)4)(1()( 22 yyyyT , entonces la suma de los facto-res es:A) 2y2-4 B)2y-4 C) y2+2y+5 D) y-5 E) N.A.
8. Uno de los factores de P(x) = x2 + x – 1 es:A) x2-x+1 B) x2+x+1 C) x2-x-1 D) x3-x2-1 E) x3+x2+1
9. En el polinomio 4222 24)(14)();( yyxxyyxxyxP , señaleuno de los factores primos.A) x+4y B)x+3y C) x+2y D) x-y E) N.A.
10. Al factorizar E(x) = 8x3-12x2+6x-65, la suma de los coeficientes deuno de los factores es:A) –1 B) –2 C) –3 D) 20 E) N.A.
CEPU 2011
-II
- 147 -
XIMÁXIMO COMÚN DIVISOR – MÍNIMO
COMÚN MÚLTIPLO, FRACCIONES,SIMPLIFICACIÓN
I. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINO-MIOS
Máximo común divisor: Para determinar el MCD se factorizan las expre-siones y se forma el producto de factores comunes con su MENOR EXPO-NENTE.
Mínimo Común Divisor : Para determinar el MCM se factorizan las expre-siones y se forma el producto de factores comunes y no comunes con suMAYOR EXPONENTE.Ejm : Hallar el MCD y MCM de Ay B
1)(y5)(x8)(x
5)(x8)(x1)-(x93
357
B
A
Sol :
1)(y5)(x8)(x1)-(xB)(A,
5)(x8)(xB)(A,957
33
MCM
MCD
II. FRACCIONES ALGEBRAICAS
Es la división indicada de dos polinomios llamados numerador y denomina-dor donde este último es a lo menos de primer grado.Por ejemplo
6
7*
y-
32*
5
52
-x
x
x -x
CEPU 2011
-II
148 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGIII. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES: Para simplificar una fracción se fac-
toriza el numerador y el denominador y se elimina los factores comunesque aceptan.
Ejm : Simplificar :
a
x -E
xa
x -E
ax
x -xE
22
3)-(22)-(x)3(
6a-2652
Operaciones con Fracciones algebraicas :* Suma y Resta:
Tener presente los siguiente:- Simplificar las fracciones si es necesario.- Se halla el MCM determinando el mínimo común denominador de
los denominadores.- Se divide el mínimo común denominador entre cada denominador y
se multiplica por el numerador respectivo.- Finalmente simplificar la fracción obtenida.
* Multiplicación y División : Para multiplicar fracciones se recomienda factorizar numeradores y
denominadores y luego multiplicar estos entre si. Para dividir una fracción entre otra se invierte la fracción que actúa co-
mo divisor y se procede como en el caso de la multiplicación.Ejemplo 1. :
Efectuar12x-
3
1-
222
xx
Solución :
2
2
2
2
1)-(1)(15
1)-(1)(332-2
1)-(1)(1)(31)-(2
1)-(3
1)-(1)(2
xx
x
xx
xx
xx
xx
xxx
Ejemplo 2.Efectuar :
2xy-
y2xyx*
xy-
2-2
22
2
2
xx
yxy
Solución :
2
2
2
xy)(x
2y)-(y)(y)(x)2-(
2y)-(y)(x
*y)(
)2-(
y
xxxx
yxy
xxxx
yxy
CEPU 2011
-II
Máximo común divisor – mínimo común múltiplo, fracciones, simplificación 149
PROBLEMAS:
1. Hallar el Máximo Común Divisor de:234 6xxxA y xxxxB 12167 234
a) x2(x+1) b) x(x+2) c) x(x+2)2 d) x+2 e) x2
Solución)2)(3()6(6 222234 xxxxxxxxxA
223234 )2)(3()12167(12167 xxxxxxxxxxxB
MCD(A,B) = x(x+2)Rpta.B
2. Calcularnmc
mkaE
b
b
, siendo )4(3 11 mn yxA ;
)8(2 11 mn yxB . Además el MCM de A y B es 4ycxa y el MCD
de A y B es .5 bykxa) 43/35 b) 44/17 c) 43/36 d) 35/43 e) 16/15
Solución
1111 12)4(3 mnmn yxyxA1111 16)8(2 mnmn yxyxB
MCD(A,B) = 114 mn yx por dato del problema
MCD(A,B) = .5 bykx
Entonces : 114 mn yx = bykx5
k = 4n – 1 = 5 ==> n = 6m – 1 = b
MCM(A,B) = 1148 mn yx por dato del problema
MCM(A,B) = 4ycxa
Entonces : 1148 mn yx = 4ycxa
c = 48
CEPU 2011
-II
150 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGn + 1 = a ==> 6 + 1 = a ==> a = 7
m + 1 = 4 ==> m = 3reemplazando en la Ec. : m – 1 = b
3 – 1 = b ==> b = 2
Por tanto:nmc
mkaE
b
b
6348
3472
2
E
45
48E
15
16E Rpta. E
3. Simplificar:22
2
)()1(
1
xbbx
bM
a)x1
1b)
21
1
xc)
21
1
xd)
x1
1e)
1
1
xSolución
)1)(1(
1 2
xbbxxbbx
bM
)1)(1(
1 2
xbbxxbbx
bM
4. Simplificar a su mínima expresión:
2
222
xxy
yxy
xy
yxE
a) x2 b) x – 2y c) x d)xy
yxy 22e)
y
x
Solución
)(
)(22
xyx
yxy
xy
yxE
CEPU 2011
-II
Máximo común divisor – mínimo común múltiplo, fracciones, simplificación 151
)(
)(22
xyx
xyy
xy
yxE
x
y
xy
yxE
22
xy
yyxE
222
xy
xE
2
y
xE Rpta. E
5. Si la expresiónqnx
qmxE
2
, es igual a 1; hallar el valor de
mq
nF
2
, sabiendo que “x” toma un solo valor.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8Solución
Por dato del problema: 12
qnx
qmx
qnxqmx 2
022 qnxmx
La Ec. anterior tiene la forma de Ecuación de segundo grado, y tambiénpor dato del problema, “x” debe tomar un solo valor, entonces:Para que “x” tenga una solución debe cumplir: 042 acb
Reemplazando tenemos:02..4)( 2 qmn
mqn 82
Finalmente:mq
nF
2
CEPU 2011
-II
152 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
mq
mqF
8
8F Rpta. E
6. Descomponer en fracciones parciales:
cz
C
bz
B
az
A
zzz
zz
652
261523
2
. La suma “A + B + C”
es igual a:a) 5 b) 2 c) 1 d) –2 e) –1Solución
cz
C
bz
B
az
A
zzz
zz
)2)(3)(1(
26152
231)2)(3)(1(
26152
z
C
z
B
z
A
zzz
zz
)2)(3)(1(
)3)(1()2)(1()2)(3(
)2)(3)(1(
26152
zzz
zzCzzBzzA
zzz
zz
)3)(1()2)(1()2)(3(26152 zzCzzBzzAzzDando valores a “z” en la Ec. anterior tenemos:Si z = 1 : -1 + 15 – 26 = A(-2)(3)
-12 = -6AA = 2
Si z = 3: -9 + 45 – 26 = B(2)(5)10 = 10B
B = 1Si z = -2: - 4 – 30 – 26 = C(-3)(-5)
- 60 = 15CC = -4
Entonces: A + B + C = 2 +1 – 4= -1 Rpta. E
7. Sean P(x) = Ax2 + 2x – B; Q(x) = Ax2 – 4x + B. Si: (x-1) es el
CEPU 2011
-II
Máximo común divisor – mínimo común múltiplo, fracciones, simplificación 153MCD de P y Q, hallar el cociente B/A.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5Solución
Sean: 1),(4)(
2)(2
2
xQPMCD
BxAxxQ
BxAxxP
Entonces P y Q son divisibles por x-1Entonces x – 1 = 0
x = 1* En P(x)A(1)2 + 2(1) – B = 0A – B = -2 ……. (1)* En Q(x)A(1)2 - 4(1) + B = 0A + B = 4 …….. (2)
Resolviendo Ec. (1) y (2):A – B = -2A + B = 42A = 2
A = 1B = 3
Por lo tanto 31
3
A
B
3A
B
Rpta C
8. Efectuar y simplificar:2233
2
yxyx
x
yx
xy
. El numerador es:
A) x(y-x) B) x(x+y) C) x-y D) x+y E) xy(x-y)Solución.
2233
2
yxyx
x
yx
xy
=
2222 ))((
2
yxyx
x
yxyxyx
xy
CEPU 2011
-II
154 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
=))((
)(222 yxyxyx
yxxxy
=))((
222
2
yxyxyx
xyxxy
=))(( 22
2
yxyxyx
xxy
=))((
)(22 yxyxyx
xyx
El numerador es: x(y-x)Rpta. A
9. Hallar M + N para que se tenga:35152
62
y
N
y
M
yy
y
A) 11/8 B) 3/8 C) 7/4 D) 1 E) –3/8Solución.
35152
62
y
N
y
M
yy
y
)3)(5(
)5()3(
152
62
yy
yNyM
yy
y
)3)(5(
53
)3)(5(
6
yy
NNyMMy
yy
y
Simplificando denominadores tenemos:NNyMMyy 536
NMyNMy 53)(6 Entonces:
M + N = 1-3M +5N = -6
653
333
NM
NM
8N = -3
8
3N
CEPU 2011
-II
Máximo común divisor – mínimo común múltiplo, fracciones, simplificación 155
8
11M
Por lo tanto: 18
8
8
3
8
11 NM
1 NM
Rpta. D
10. Reducir la expresión:
yx
y
yx
yx
yxyx
xy
K
2
21
8
8
24
82
33
33
22
A) 28 B) –8 C) 12 D) –6 E) 2Solución
yx
y
yx
yx
yxyx
xy
K
2
21
8
8
24
82
33
33
22
yx
yyx
yx
yx
yxyx
xyyxyx
K
2
22
8
8
24
8248
33
33
22
22
yx
yx
yx
yx
yxyx
yxyx
K
2
2
)2(
)2(
24
248
33
33
22
22
yx
yx
yyxxyx
yyxxyx
yxyx
yxyx
K
2
2
).2)2)((2(
).2)2)((2(
24
)24(2
22
22
22
22
CEPU 2011
-II
156 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
yx
yx
yxyxyx
yxyxyx
yxyx
yxyx
K
2
2
)24)(2(
)24)(2(
24
)24(2
22
22
22
22
)2)(24)(2)(24(
)2)(24)(2)(24(22222
2222
yxyxyxyxyxyx
yxyxyxyxyxyxK
Simplificando la Ec. Anterior tenemos:
2KRpta. E
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. El MCD de ;)( 22yxy 322 32 yxyyx ; 43 ayyax ; 32 yyx ;es:A)x(x+y) B)x(x-y) C)y(x+y) D)y(x-y) E)N.A.
2. Efectúe y simplifique:
abb
aba
abb
ababa 2
2
2
222 )( . El denomi-
nador es:A) 22 ba B) 22 ba C) 22 ab D)a+b E)a(a-b)
3. Simplifique .1212
11
nn
nn
xyyx
xyyxE
A) nn yx B) nn yx C) 1 nn yx D) 1
nn yx E)
2 1 nn yx
4. Reducir la expresión:
x
E
33
33
33
CEPU 2011
-II
Máximo común divisor – mínimo común múltiplo, fracciones, simplificación 157
A)32
)2(2
x
xB)
32)2(3
x
xC)
322
x
xD)
32
x
xE)
322
x
x
5. Sabiendo que A(n+p)=m; C(m+n)=p; B(p+m)=n; reducir a su
mínima expresión:12
ABC
BCACABJ
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
6. Calcular: TW Si:
...1
11
ba
baT y
...1
11
ab
abW
A) a B) b C) a/b C) 2a E)2b
7. Calcular el MCD de 673 aaM y 32 24 aaNA) 3(a+1) B) (a+1)(a+3) C) (a+1)(a+2) D) a+1
E) a2+1
8. Hallar el MCM de: A(x;y;z) = 3x2 y3z; B(x;y;z) = 4x3 y3 z2; C(x)= 6x4
A) zyx 3312 B) 23412 zyx C) 23472 zyx D) 22436 zyx E) N.A.
9. ;4)1( 626 xxAB 222 4)1(),(),(
xxBAMCD
BAMCM . Uno de los
factores del MCD(A,B) es:A) x+1 B) x-1 C) x2-x-1 D) x2+x+1 E) x2+x-1
10. Simplificar la expresión:xx
xxxxE
1648163
3
234
.
A) x+2 B) x-3 C) x+4 D) x-5 E) x2-3
CEPU 2011
-II
- 158 -
XIIRADICACIÓN, VERDADERO VALOR,
ECUACIONES E INECUACIONES
I. RADICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Radicación es la operación que consiste en hallar una cantidad algebraica “r”,llamada raíz, que al ser elevada a un cierto índice reproduce una cantidad dad“A”, llamada radicando.En general :
nrAr n A
Leyes de Signos :
real) valor tienenoraizesta(imaginaria*
r*
r*
r*
par
par
impar
impar
A
A
A
A
Raíz de un monomio : Para extraer la raíz de un monomio; se extrae la raízdel signo, luego la raíz del coeficiente y finalmente se dividen los exponentesde las letras entre el índice de la raíz.
Ejm 1. : Hallar 4 82016 zy16x
Signo radical
raízradicandoíndice
CEPU 2011
-II
Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 159
2544 82016 zy2xzy16 x
Ejm 2. : Hallar 3 31812 zy27x
zy3x-zy27 643 31812 x
Raíz Cuadrada de un polinomioProcedimiento :- Se ordena y se completa- Se agrupa de 2 en 2 los términos, empezando por la derecha.- Se halla la raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda (que puede ser
un solo termino) que será el primer termino de la raíz cuadrada del polino-mio.
- Se multiplica esta raíz por sí misma cambiando de signo el resultado y sellama polinomio dado, eliminándose la primera columna.
- Se bajan dos términos que forman el siguiente grupo, se duplica la raízhallada y se divide el primer termino de los bajados entre el duplo del pri-mer termino de la raíz.
- El cociente es el segundo termino de la raíz. Este segundo termino de laraíz con su propio signo se escribe al lado del duplo del primer termino dela raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho segun-do término con signo cambiado sumándose el producto a los dos términosque se habían bajado.
- Se continua hasta obtener un resto cuyo grado sea una unidad menor queel grado de la raíz o un polinomio idénticamente nulo.
Ejm : Extraer la raíz cuadrada del polinomio : 420-2910- 234 xxxxSolución :
(2)2)10x-(2x
10x-2x)5x-x(2
(-5x)5x)-x2(
2x)x(2
25x- x
___
4-20x4x-
420x-4x0
25-10-
2910-0
x-
420-2910-
2
22
2
22
2
2
2
23
23
4
234
xx
xx
xxxx
CEPU 2011
-II
160 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
25x- x420x-29x10x-x 2234
Radicales Dobles:
Son aquellos en cuyo interior aparecen otros radicales ligados entre si por lasoperaciones de suma o resta.
Forma general : BA
Transformación de radicales dobles en radicales simples :
Caso1 : Radicales de la forma BAEste caso se podrá transformar en radicales simples solo si :
cierto,esestosiexacta,raízesCDondeCB-2 A
Entonces :
2
CA
2
CAB
2
CA
2
CAB
A
A
Ejm : Descomponer en radicales simples : 32 Solución : A = 2 ; B = 3
Entonces :
Por tanto :1
3-43-2
B-2
2
C
C
AC
2
1
2
332
2
12
2
1232
CEPU 2011
-II
Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 161
Caso 2 : Radicales de la forma : baab2b a
Ejm. 1. : Descomponer en radicales simples : 21210
Solución : 21210 tiene la forma de segundo caso entonces buscamosdos números que sumados sea 10 y multiplicados 21. dichos números quecumplen son 7 y 3. entonces :
3721210
Ejm. 2. : Descomponer en radicales simples : 12011Solución :
12011 = 30 x411
= 6X556
30211
= 56
Ejm. 3. : Descomponer en radicales simples : 21624 Solución :
21624 = 21624
= 22.(8)24
= 64.2224
= 16x8816
128224
= 816 = 4 + 24x
= 4 + 22
RACIONALIZACION
Llamamos así al proceso de transformar un denominador irracional y otro equi-valente que sea racional.Se llama irracional cuando está presente una raíz. Se presentan los siguientescasos
CEPU 2011
-II
162 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
1er Caso .- cuando el denominador irracional es un monomio de la forma:
n ka
A
Procedimiento:Multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción por una expresión
de la forma: n kna que recibe el nombre de FACTOR RACIONALIZANTE
Es decir:
n kn
n kn
knkn a
a
a
A
a
A
.
=n kkn
a kn
a
aA
=a
aA
a
aAknn
n n
n kn
Ejem : Racionalizar3 3
3
33
3 3
3
3 23
3
3 2
3 2
39
3
93
3
93
3.3
93
3
3.
3
3
2do Caso.- Cuando el denominador presenta radicales de índice dos, se ra-cionaliza multiplicando y dividiendo por su conjugada del denominador. De laforma:
ba
A
Ejm. : Racionalizar :27
3
27
3
22 27
273
2727
273
CEPU 2011
-II
Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 163
5
273
27
273
3er caso : Cuando el denominador irracional es un binomio o trinomio cuyosradicales son de tercer orden.
33 ba o 3 233 2 baba Nota.- Recordemos que
3322 babababa
3322 babababa Ejm.:
Racionalizar:33 25
7
E
3 2333 233 2
3 23323
33 22.5525
)22.55(7
25
7
E
=
3 33 3
3 233 2
25
22.557
=
7
)41025(7
25
410257
333333
333 41025
4to Caso: Cuando el denominador es un binomio cuyos radicales tienen índi-ces iguales pero mayores que 3, de forma: nn ba
Ejem. Racionalizar
55 310
14
E
CEPU 2011
-II
164 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
4535525255354555
45355252553545
33.10310310.10310
33.103.103.101014
E
5555
45355252553545
310
33.103.103.101014
E
7
33.103.103.10101445355252553545
E
Simplificando:
)81270900300010000(2 552555 E
II. VERDADERO VALOR DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Supongamos que tenemos que hallar el valor numérico de una expresión; paraesto reemplazamos el valor dado de “x” en la expresión, luego de efectuaroperaciones obtenemos 0/0 que es un resultado no definido o indeterminado.Para evitar esta situación tenemos que eliminar al causante de tal indetermina-ción.Ejm 1: Hallar el verdadero valor de la fracción:
,25
1522
2
x
xxE para x = 5
Solución:Sustituyendo x = 5 en la fracción
0
0
255
155.252
2
E , es indeterminado
factorizando el numerador y denominador tenemos
25
1522
2
x
xxE
55
35
xx
xxE
CEPU 2011
-II
Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 165
5
3
x
xE
Reemplazando nuevamente tenemos:
10
8
55
35
E
5
4E
Ejm. 2: Hallar el verdadero valor de la fracción:
2
122
x
xxE , para x = 4
Solución: sustituyendo x = 4 en la fracción tenemos0
0E
2
122
x
xxE
2.2
2.34
xx
xxxE
4
2342
x
xxxE
4
234
x
xxxE
23 xxE
Reemplazando seremos:E = ( 4 + 3 ) ( 2 + 2)E = ( 7 ) ( 4 ) = 28
CEPU 2011
-II
166 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
III. ECUACIONES
Es una igualdad de dos expresionesalgebraicas que queda satisfechasolo para algunos valores asignadosa sus letras.
CLASIFICACION DE LAS ECUACIONESA. Según que sus incógnitas estén
afectadas o no de radicales lasecuaciones pueden ser:
1. Ecuaciones Racionales.-cuando sus incógnitas no estánafectadas de radicales.
2
1
5
1
xx
2. Ecuaciones Irracionales.-Cuando al menos una de susincógnitas está afectada de ra-dical
3 xx
B. Según el número de Raíces osoluciones, las ecuaciones pue-den ser:
1. Ecuaciones Compatibles.-Cuando tienen solución. a suvez pueden ser:
- Compatibles Determinadas:Cuando el número de raíces eslimitado
Ejm:25
3xx
10x
- Compatibles Indeterminadas:cuando el número de raíces eslimitado:
Ejm.: 54254)12( xxxx
33 xx
2. Ecuaciones Incompatibles oabsurdas.- cuando no tiene so-lución
Ejm.:
610)3(35)13( xxxxx
65
C. Según el tipo de coeficientes:
1. Ecuaciones numéricas:Cuando los coeficientes sonnúmeros
Ejm: 0652 xx
2. Ecuaciones Literales.- cuan-do al menos uno de sus coefi-cientes es letra
Ejm.: dcxbax , dondex es la incógnita
D. Según el grado:1. Primer grado 915 x2. Segundo grado
0652 xx3. Tercer grado: 083 x
CEPU 2011
-II
Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 167ECUACIONES DE PRIMERGRADOFormula General
Siendo a y b coeficientes, x es laincógnita. La solución es
Ejm: Resolver: 482 xxSolución:
x
x
xxx
xx
xx
8816
8168
8168
84
84
22
222
2
Reemplazando x = 3 en la ecuaciónanterior llegamos 2 = 4
La ecuación es incompatible.
ECUACIONES DE SEGUNDOGRADOEstas ecuaciones se llaman tambiénecuaciones cuadráticas de la formasiguiente:
Resolución de una ecuación desegundo grado con una incógnita:
Se resuelve mediante dos formas:
a) Resolución por factorizaciónEjm: Resolver 0452 xx
04
014
x
xx
4x 1x
b) Resolución por fórmula GeneralSea la ecuación:
02 cbxax
Entonces
FormulaGeneral
Ejm.: Resolver 0452 xx
Identificando: a=1; b= -5: c=4
2
352
16255
1.2
4.1.4255
2
42
x
x
x
a
acbbx
4,1., SC
0 bax
a
bx
3x
02 cbxax
01x
a
acbbx
2
42
12
2
2
35
42
8
2
35
x
x
CEPU 2011
-II
168 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGDiscusión de las raíces de la Ecuación de Segundo grado
La naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática, dependen del valordel Discriminante ().Donde =b2 – 4acAnalicemos los 3 casos:
a) sí 0 , las dos raíces son reales y desigualesb) si ,0 las dos raíces son iguales y realesc) si ,0 las dos raíces son complejas y conjugadas
Propiedades de las Raíces.- Dada la Ec. 02 cbxax sus raíces son:
a
acbbx
2
42
1
a
acbbx
2
42
2
Entonces:
a)a
bxx
21
b)a
cxx 21.
Formación de una Ecuación de segundo grado.-
Sea 1x y 2x raices de ecuaciónEntonces la ecuación se formará así:
021212 xxxxxx
IV. DESIGUALDADES E INECUACIONES
Una DESIGUALDAD, es aquella relación que se establece entre dos númerosreales y que nos indica que tienen diferente valor.
Si: bababa /, ó ba
Nota: el conjunto de solución de una inecuación generalmente se presenta pormedio de Intervalos.
CEPU 2011
-II
Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 1691. Clases de Intervalos:
Intervalo abierto: bxa . ba, ó ba, ó ba,
Intervalo cerrado: bxa ba,
Intervalos mixtos: bxa ba, ó ba, ó ba,bxa ba, ó ba, ó ba,
2. Inecuaciones de 1er grado: Son aquellas que pueden reducirse a laforma
0 bax ó 0 bax
3. Inecuaciones de 2do grado: Son aquellas que pueden reducirse a laforma
02 cbxax ó 02 cbxax
4. Inecuaciones de grado Superior: Son aquellas cuyo grado es mayoro igual que tres.
OBSERVACIÓN: para resolver inecuaciones de 2do grado y grado superior serecomienda usar el método de puntos críticos.
METODO DE LOS PUNTOS CRITICOS PARA RESOLVER INECUACIONES:
Se usa para resolver inecuaciones que involucran Productos y Cociente, y queluego de reducirla por factorización se obtiene una de las formas:
* 021 naxaxax puede ser 0,0,0 donde ia son diferentesentre si
0
.......
.......
21
21
m
n
bxbxbx
axaxaxtambién 0,0,0 donde ia y ib
son todos diferentes entre si
Nota: En lugar de ax puede ser acx pero 0c
CEPU 2011
-II
170 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGPROCEDIMIENTO:1. Se hallan todos los valores críticos (raíces) de cada uno de los facto-
res, ordenando en forma creciente sobre la recta real.2. Se coloca entre estos VALORES CRITICOS los signos (+) y (-) en for-
ma alternada de derecha a izquierda.3. La solución de la inecuación estará dada por: Zonas Positivas: Si el sentido de la última desigualdad es ó Zonas Negativas: Si el sentido de la última desigualdad es ó
4. Los valores críticos será parte de la solución cuando la desigualdad es
ó de lo contrario no serán parte de la solución
OBSERVACIÓN: En lo posible debe tratarse que el coeficiente(principal) sea
positivo y la inecuación debe estar reducida de modo que el segundomiembro figure el cero
Si la expresión (trinomio) no es factorizable, se resolverá comouna ecuación de segundo grado (Fórmula General); donde las raíces re-presentan “Puntos Críticos”
Si las raíces son imaginarios, el trinomio se reemplaza por launidad
En el cociente 0
b
alos valores críticos provenientes del
denominador no forman parte de la solución (son abiertos) Sea Zn
0002 abba n 000.2 abba n
000.2 abba n 000.2 abba n
0012 abba n 00.12 abba n
0012 abba n 0012 abba n
Ejemplo 1:
Resolver: 07
402223
xx
xxx
Solución:
7
542
07
402223
xx
xxx
xx
xxx
CEPU 2011
-II
Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 171Valores críticos 2, 4, -5, 0, -7
+ + +-7 -5 0 2 4
Como la inecuación es “ ” se toma los “negativos” 4,20,57, x
Ejm. 2
Resolver: 65
x
x
Solución:
0
5
65
05
305
05
305
05
306
05
56
065
x
xx
xx
xx
xxx
xxx
x
Valores críticos : 6 y 5
+ +5 6
Tomamos los negativos:
PROBLEMAS RESUELTOS:
1. Transformar a radicales simples:3 3610
6,5.. xSC
CEPU 2011
-II
172 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
a) 13 b) 23 c) 15 d) 13 e) 15 Solución
yx 33 108103610
A = 10 B = 108 Sabemos que A = 4x3-3.x.C , y = x2-C
3 2 BAC 3 108100 C
C = -2 CxxA ..34 3
10 = 4x3 - 3x(-2)4x3 + 6x –10 = 02x3 + 3x –5 = 0por tanteo x = 1
y = x2 - Cy = 12 – (-2)y = 3
Por lo tanto:
3136103
= 1 + 3 Rpta. D
2. Racionalizar:224
2333
3
a) 123 b) )14(3 c) 143 d) )12(3 e) 123 Solución
222
23323
3
Hacemos x3 2 ==> 2 = x3
Reemplazando tenemos:
CEPU 2011
-II
Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 173
)1)(1)(42)(2(
)1)(42(3
)1)(2(
3
2
322
22
2
xxxxxx
xxxxx
xx
x
xx
x
)1)(2(
)444222(3333
223234
xx
xxxxxxxxx
)1)(8(
)423(333
234
xx
xxxxx
)1)(8(
)423(333
2345
xx
xxxxx
)1)(8(
)423..(333
23323
xx
xxxxxxx
)12)(82(
)422.322(3 22
xxxx
)3)(6(
)66(3
x
18
)1(18
x
)1( x
)12(3 Rpta. D
3. La solución de la Inecuación:01892 xx es:
a) (3,6] b) (3,6) c) [3,6] d) [3,6) e) (2,6)
Solución01892 xx
(x-6)(x-3)<0puntos críticos: 3 y 6
+ - +
3 6
Como la inecuación es < se toma los negativos.C.S. = (3,6) Rpta. B
CEPU 2011
-II
174 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
4. En 21
xx ; el valor de x correcto es:
a) x>0 b) x<0 c) x = 0 d) x>2 e) x>2Solución
21
xx
021
x
x
0212
x
xx
10)1( 2
xx
x
01
x0x Rpta. B
5. Obtenga el conjunto solución de la siguiente inecuación:
53
1
3
52
xxpara ;5x
a) [1/3;3] b) [-5;7] c) <-5;0] d) [-5;7> e) [0;7]
SoluciónMultiplicando por 3:2x – 5 < 1 – x + 15
3x < 21x < 7
Entonces: 7;5x Rpta B.
6. Determinar el valor de “m” para que la ecuación02 22 mmxx tenga raíces iguales.
a) R b) Z c) 0 d) 1 e) 2
SoluciónCuando tiene raíces iguales se cumple que en una ecuación de la for-
CEPU 2011
-II
Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 175ma: ax2+bx+c=0.Se cumple: b2 – 4ac = 0
b2 = 4ac(2m)2 = 4.1.m2
4m2 = 4m2
m puede tomar cualquier número real.Rpta. A
7. Efectuar:625
6
1228
34
1829
23
E
A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 E) N.A.Solución
625
6
1228
34
1829
23
E
232326263636
625
6
1228
34
1829
23
xxxx
E
23
6
26
34
36
23
E
)23)(23(
)23(6
)26)(26(
)26(34
)36)(36(
)36(23
E
23
)23(6
26
)26(34
36
)36(23
E
1
)23(6
4
)26(34
3
)36(23
E
)23(6)26(3)36(2 E
1218618612 E0E
Rpta. D
CEPU 2011
-II
176 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
8. Calcular el verdadero valor de 2422
x
xE , cuando x = 0.
A) 0 B) 2 C) 1 D) 4 E) 6Solución
2422
x
xE
24
22
2222
xx
xxE
24
22
2222
xx
xE
2422
22
xx
xE
2422
xx
xE
2422
1
xE
22
24
xE
Reemplazando el valor de x
22
24
E
22
24E
2ERpta. B
9. La diferencia de las raíces de la Ecuación 016,232 xx , es:A) 3 B) 0 C) 0,6 D) 1,5 E) 2,16
CEPU 2011
-II
Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 177Solución.
016,232 xx
0100
21632 xx
0100
21632 xx
025
5432 xx
multiplicando la Ec. Anterior por 25.0547525 2 xx0)65)(95( xx
5
9x
5
6x
Por tanto: 6,05
3
5
6
5
9
Rpta. 0,6
10. Hallary
xen
10
20
yxyx
yxyx
A) 4/5 B) 5/4 C) 3/4 D) 4/3 E) 125
Solución
10
20
yxyx
yxyx
302 yx
15 yx
225 yx ......... (1)Tenemos:
CEPU 2011
-II
178 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
10
20
yxyx
yxyx
Multiplicando por –1 a la segunda Ecuación:
10
20
yxyx
yxyx
102 yx
5 yx
25 yx .......... (2)De la Ec. (1) y (2):
25
225
yx
yx
2502 x125x100y
Por lo tanto:4
5
100
125
y
x
4
5
y
x
Rpta. B
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Determinar el valor de “x” en: 4253 42 xx
A) x<3 B) x<4 C) 1<x<2 D) x>4 E) x>3
2. Al Reducir: 627292547 ; se obtiene ba ; a>b.
Hallar a+b.A) 12 B) 14 C) 9 D) 11 E) 15
3. Si “a” y “b” son las raíces de la ecuación siguiente:
CEPU 2011
-II
Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 179
7)4()3()4()3(
22
33
xx
xx; Hallar el valor de 2a+3b.
A) –8 B) –6 C) –5 D) –4 E) –3
4. Al racionalizara
abba , se obtiene:
A) bab 4 B) bab C) ab D) ab E) bb 4
5. El conjunto de solución de:1
2011
11
2
x
x
x
x
x
x, es:
A) 5 B) 4 C) 0 D) 4 E) 5
6. Resolver: 0235 2 xx . El intervalo solución es:A)<-7;5] B)[-7;5> C)<-7;5> D)[-7;-5] E)N.A.
7. Resolver: 3112
x
x. El intervalo de solución es:
A)[-2;-1> B)<-2;-1> C) <-2;-1] D) [-2;-1] E)N.A.
8. Hallar el verdadero valor dex
xxH
33 11 , cuando x=0.
A) 0 B) C) D) 2/3 E) 3/2
9. Hallar el verdadero valor de4
83
x
xpara x = 64, es:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
10. Resolver: 62
2
xx
x
A) 2,x B) ,3x C) ,32,xD) 3,x E) ,2x
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-II
- 180 -
XIIIVALOR ABSOLUTO, RELACIONES Y
FUNCIONESVALOR ABSOLUTO:
1. VALOR ABSOLUTO.- Se llama Valor Absoluto de un número real xa un número no negativo, definido por:
0,
0,
xsix
xsixx
2. TEOREMAS:
Para todo x, y tenemos:
a) 00 xx
b) xx
c) yxxy
d) 22xx
e) 22 xx
f) xx 2
3. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
bx bxóbxyb 0
Lo anterior establece que el universo dentro del cuál se resolveráestá determinado por la condición b>0, y se resolverá primero.Ejemplo:Resolver: 425 xx
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-II
Valor absoluto, relaciones y funciones 181SoluciónEl universo está determinado:
2x – 4 > 02x > 4
x > 2===> ,2[x
425425 xxóxx
139 xóx
319 xóx
=> 31,9 Observamos que Universo9 y Universo 3
1
Por lo tanto el conjunto de solución es:C.S. = {9}
4. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Sean : Rax , , entonces:
)()0( axayaax
axóaxax
TEOREMAS:
Dados a y b en los reales, se cumple:- 0))(( bababa
- 0))(( bababa
Ejemplo:Resolver: 5x
Solución:Como 5 > 0 entonces:
- 5 < x < 5
C.S. = 5,5x
CEPU 2011
-II
182 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGRELACIONES
1. Pares ordenados, Producto Cartesiano: Los pares ordenados son dos elementos a y b, se denomina primera
componente y segunda componente respectivamente. Se denota por (a,b).
El producto cartesiano A x B; se define:
A x B = { (a,b) / aA y bA }
Donde A y B son dos conjuntosEjm:
Sean A = { 1,2, 4 } B = { a, b }
Entonces:A x B = { (1,a) (1,b) (2,a) (2,b) (4,a) (4,b)}
Nota: si los conjuntos A y B son finitos y tienen m y n elementos res-pectivamente, entonces el producto cartesiano tiene m x n elementos.
2. Relación:
Sean A y B dos conjuntos. Un conjunto R de pares ordenados se llama unaRELACION de A en B, cuando R es subconjuntos de A x B.
R es una relación de A en B RA x B 2
Nota: Una relación de A y B es llamada también RELACION BINARIA.Ejm: Sean A = { 2, 3, 5 } B = {1, 2 }
A x B = { (2,1) (2,2) (3,1) (3,2) (5,1) (5,2)}
Los siguientes conjuntos de pares ordenados son algunos relaciones de A en B.R1 = { (5,2)}R2 = { (3,1) (3,2) (5,1) (5,2) }R3 = { (2,1) (3,1) (3,2) (5,1) } etc.
Ejm: Sea A = { 1, 2, 3, 4 }
Dadas las relaciones:R1 = { (x,y) A x A / x < y }R2 = { (x,y) A x A / x +y = 5 }
CEPU 2011
-II
Valor absoluto, relaciones y funciones 183
Hallar R1 R2
Sol:
A x A = { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) }
R1 = { (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4) }R2 = { (1,4) (2,3) (3,2) (4,1)}
Por tanto: Hallar R1 R2 { (1,4)(2,3) }
3. Dominio y rango de Relaciones
Sea R una relación de A en B; es decir RA x B: Se llama DOMINIO de la relación R al conjunto de todas las primeras
componentes de los pares ordenados de R. Se llama RANGO de la relación R al conjunto de todas las segundas
componentes de los pares ordenados de R.
Ejm. Sea R= {(1,1) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1)}
Entonces:Dom (R) = { 1, 2, 3, 4 }Rang (R) = { 1, 2, 3 }
4. Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano
La distancia entre dos puntos R = (x1, y1) y T = (x2, y2) denotado por d =d(R,T) es:
2122
12 yyxxd
FUNCIONES
1. Funciones:Una función f de A en B es un conjunto de pares ordenados (x: y) en el cualdos pares ordenados distintos no tienen la misma primera componente.Se distingue lo siguiente:
CEPU 2011
-II
184 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG- Conjunto de partida- Conjunto de llegada- Regla de correspondencia.
Ejm: Dados :
A = { 1, 3, 5 }B = { 3, 7, 1 }
Hallar y graficar la función f = A B definida por y = 2x +1
Solución:
si x = 1 y = 3si x = 3 y = 7si x = 5 y = 11
f = {(1,3) (3,7) (5,11)}
gráficamente
13
A
fB
5
3
711
2. Dominio y rango de una función
Dominio Dom(f): Es el conjunto de primeros componentes de los paresordenados de dicha función, Dom(f) = { xA, y B / y = f(x) }A
Rango Rang(f): Es el conjunto de segundos componentes de los paresordenados de dicha función. Rang(f) = { yB / x Dom fA } B
Ejm: Sea f = {(1,3) (3,7) (5,11)}
Dom(f) = {1, 3, 5} Rang(f) = {3, 7, 11}
CEPU 2011
-II
Valor absoluto, relaciones y funciones 185
3. Gráfica de funciones Si f es una función (de valor) real de una variable real se llama la
GRAFICA de f al conjunto de pares ordenados de f cuando es consi-derado como un conjunto de puntos del plano.
Ejm:
Trazar la gráfica de la siguiente función:
f = { (x, y) x / y = x2 + 1 }
y hallar el Dominio y Rango de f.
Sol:
x ....... -2 -1 0 1 2 .......y ....... 5 2 1 2 5 .......
1
1- 1
2
2- 2
3
4
5
y
x
Dom (f) = { ........ –2, -1, 0, 1, 2, ........ } = Z
Rang(f) = { 1, 2, 5, 10 }
Ejm 2: Trazar la gráfica de la siguiente función
f = { (x, y) R x R / y = x2 + 1 }
CEPU 2011
-II
186 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGHallar el dominio y rango de f
Sol:
Dom(f) = RRang(f) = [1, + >
x -2 -1 0 1 2y 5 2 1 2 5
1
1- 1
2
2- 2
3
4
5
y
x
La PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE FUNCIONES REALES de una variablereal; es una función real si y solo si toda recta vertical corta a la gráfica de f a lomás en un punto.
Ejm:y y
x x
no es función no es función
a) b)
y y
x x
si es función si es función
c) d)
Nota:Al trazar rectas verticales; si estas cortan a la gráfica en dos puntos o más,tal gráfica no es función.
CEPU 2011
-II
Valor absoluto, relaciones y funciones 187
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
La función compuesta fog es aquella función tal qe: Dom(fog) = {(xDom g / g(x) Dom f} (fog)(x) = f(g(x)) su regla de correspondencia
PROBLEMAS RESUELTOS:
1. Si f(x) = x2 + 2x + c; f(2) = 0, Entonces el valor de c es:a) 4 b) –4 c) 8 d) –8 e) 7Solución
f(2) = 22 + 2.2 + c = 04 + 4 + c = 0
c = -8 Rpta. D
2. Si [g(x)]2 + 2[g(x)] + 2 = x2 – 8x + 17. Determine g(x).a) x-5 b) x+17 c) x d) x-8 e) x2
Solución
[g(x)]2 + 2[g(x)] + 1 + 1 = x2 – 8x + 17[g(x) + 1]2 + 1 = x2 – 8x + 17[g(x) + 1]2 = x2 – 8x + 16[g(x) + 1]2 = [x – 4]2
g(x) + 1 = x – 4g(x) = x – 5 Rpta. A
3. Hallar f(0) Si f(2x-1) = xa) –1 b) 0 c) ½ d) 2 e) 1Solución:
f(2x-1) = xTomamos 2x-1 = y
2x = y + 1
2
1
yx
CEPU 2011
-II
188 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGEntonces:
2
1)(
yyf
2
10)0(
f
2
1)0( f Rpta. C
4. Si la relación R = {(1,2a); (2,7); (5,1); (1,3a-5); (7,9)} es una fun-ción, la suma de los elementos del rango de dicha función es:
a) 22 b) 15 c) 27 d) 16 e) 10
Solución
Mediante unicidad(1,2a) = (1,3a-5)2a = 3a –5 ==> a = 5
Sustituyendo el valor de a.R = {(1,10); (2,7); (5,1); (7,9)}
Rango = {10, 7, 1, 9}
91710Elemento = 27 Rpta. C
5. Sea la función .6)( 2 xxxf Hallar ).()( fRangfDom
a) <0;5/2> b) [0;5/2] c) [0;5/2> d) [-2;0> e) [-2;0]
Solución
Observamos que se debe cumplir:
-x2 + x + 6 > 0x2 - x - 6 < 0
(x – 3)(x + 2) < 0
CEPU 2011
-II
Valor absoluto, relaciones y funciones 189
Puntos críticos: 3 y –2
+ - +
-2 3
Entonces: Dom(f) = [-2;3]
Para hallar el rango:Tabulando y graficando tenemos.
Rang(f) = [0,5/2]
Por tanto:)()( fRangfDom = [-2;3] [0,5/2]
= [0,5/2]
Rpta. B
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Si1212
)(
x
xxf y
122
)(
x
xxg . Hallar:
)1().2(1)1()2(
gf
gfE
A) –7/3 B) 3/7 C) –21 D) 21 E) –3
2. Dado2
1)(
xxf y 1)( 2 xxxg , hallar fog(3).
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
3. Resolver xx 1836
A) 2,3 B) 3,3 C) 7,2 D) 3 E) 2,1
CEPU 2011
-II
190 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
4. Dada la función 2)( xxf , hallar )()( fRanfDom .
A) [0,+> B) [-2,+> C) [2,+> D) <0,+> E) N.A.
5. Sabiendo que xxxxG 273)3( 23 , calcular G(-7).A) –370 B) –170 C) 170 D) 370 E) 2170
6. La gráfica de 12)( xxF pasa por los puntos:A) (3,1); (0,3); (4,5) B) (10,-1); (2,1); (1,2) C) (-1,2);(2,-1);(2,10)D) (-4,2); (0,1) E) N.A.
7. Hallar el dominio y el rango de
xx
xxxf
1,
1,23)(
2
A) (2,3) y (-,2) B) (1, ) y (-3, ) C) (-,) y (-,) D) R y R+
E) N.A.
8. Si 8,6,4,2A y sea R una relación en A, definida por R = {(x,y)/y es un múltiplo de x, x≠y}. Hallar la suma de los elementos deRang(R).A) 18 B) 26 C) 6 D) 12 E) N.A.
9. Resolver 8215 xx
A) –3<x<1 B) –3<x<1 C) –4<x<2 D) –3<x<1 E)N.A.
10. Resolver 41
13
x
x
A) –5 ó 3/7 B) 5 C) –3/7 D) 5 ó 3/7 E) N.A.
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BIBLIOGRAFÍA
TEORÍA ELEMENTAL DE LOS NÚMEROS William Le VequeARITMÉTICA (Curso Superior) Rey PastorPROBLEMAS DE ARITMÉTICA García ArduraTEORÍA DE LOS NÚMEROS Ruiz Arango, IsidroARITMÉTICA Farfán Alarcón, Oscar RaúlÁLGEBRA Goñi Galarza, JuanÁLGEBRA (Tomo I) Quijano Hiyo, JorgeÁLGEBRA (Tomo II) Quijano Hiyo, JorgeMATEMÁTICA BÁSICA Venero B. ArmandoÁLGEBRA Lehman, Charles
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