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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Fundada en 1551
FACULTAD DE CIENCIAS FSICAS
E.A.P. DE FSICA
APLICACIN DE LAS FUNCIONES DE GREEN EN PROBLEMAS DE LA FSICA - MATEMTICA
MONOGRAFA
Para optar el Ttulo Profesional de:
LICENCIADO EN FSICA
AUTOR
ABEL ROLANDO JULCA QUISPE
LIMA PER 2005
AGRADECIMIENTOS
Esta monografa tcnica elemento para optar el titulo
profesional de Fsica de la Universidad Nacional
Mayor de San Marcos (Facultad de Ciencias Fsicas)
ha sido posible gracias a la asesora del Profesor
MsC. Rgulo ngel Sabrera Alvarado.
Agradecimiento especial debo expresar a mi familia
en especial a mi seora madre y a mis hermanos
Vilma y Ruben por su apoyo y comprensin para
hacer posible la culminacin de mi carrera.
Tambin, debo expresar mi agradecimiento a los
profesores, compaeros y amigos de la Facultad por
su apoyo solidario y franca amistad.
DEDICATORIA
A mi familia, madre y hermanos por el ejemplo de vida
INDICE
RESUMEN
I. INTRODUCCIN
II. FUNDAMENTO TERICO
2.1 Introduccin
2.2 Nociones bsicas
2.3 Ecuaciones mediante operadores
2.4 Definicin
2.5 Propiedades
2.6 Significado Fsico
III. APLICACIONES EN FSICA-MATEMATICA
3.1 Electrosttica
3.1.1 Ecuacin de Poisson
3.1.2 Problema de Laplace
3.2 Mecnica
Ejemplo N 01
Ejemplo N 02
Ejemplo N 03
CONCLUSIONES
BIBLIOGRAFA
Aplicacin de las Funciones de Green en Problemas de la Fsica Matemtica. Julca Quispe, Abel Rolando.
Derechos reservados conforme a Ley
Elaboracin y diseo en formato PDF por la Oficina General del Sistema de Bibliotecas y Biblioteca Central de la UNMSM
RESUMEN
En la presente monografa se exponen sucintamente la teora de las Funciones de
Green y algunas aplicaciones en la fsica - matemtica, especficamente en problemas
de Mecnica y Electromagnetismo; Por ejemplo en electromagnetismo se le ha aplicado
para hallar potenciales asociados a situaciones gobernadas por la ecuacin de Laplace
bajo condiciones de contorno, en Mecnica para hallar el movimiento del oscilador
armnico forzado, entre otros.
Desde su aparicin en 1825, la funcin de Green se ha convertido en una herramienta
alternativa para abordar problemas con ecuaciones diferenciales no homogneas bajo
ciertas condiciones de contorno; esta tcnica ha demostrado ser til en diversas reas de
la fsica clsica. Asimismo, gracias a los trabajos de George Green su creador - , es
que fue posible transformar los problemas con valores en la frontera en forma de
ecuaciones diferenciales a ecuaciones integrales utilizando funciones kernels de
integracin conocidas ahora como funciones de Green.
La importancia del mtodo de las funciones de Green radica en su simplicidad para
aplicarse en sistemas fsicos gobernados por ecuaciones diferenciales pero esto requiere
a la par una fuerte dosis de habilidad matemtica.
La utilidad de este mtodo ya hemos dicho se concentra en el campo de las ciencias
como fsica, matemtica, etc., pero tambin en ingeniera, rea en donde las funciones
de Green se conocen mas bien con el nombre de funcin Respuesta impulso
correspondiente a una entrada del tipo delta; Una vez hallada la respuesta impulso de un
sistema, la respuesta del sistema a cualquier entrada puede obtenerse a travs de la
convolucin de la respuesta impulso del sistema con la funcin entrada en el dominio
del tiempo [1].
Aplicacin de las Funciones de Green en Problemas de la Fsica Matemtica. Julca Quispe, Abel Rolando.
Derechos reservados conforme a Ley
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El tema de las funciones de Green y sus aplicaciones en el campo de la ciencia y
tecnologa es un tema permanente de investigacin, pero esto requiere gran capacidad
matemtica y slidos conocimientos de los fundamentos fsicos del problema que se
desee abordar.
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I. INTRODUCCIN
Las funciones de Green, se han constituido desde su aparicin en 1825 en una
poderosa herramienta de la fsica matemtica para resolver los problemas de la
electrosttica en principio, hasta abordar complejos temas de la materia condensada en
la actualidad.
Estas funciones deben su nombre a los trabajos del matemtico ingles George Green a
inicios del siglo XIX, fue el quien transformo los problemas con valores en la frontera
en forma de ecuaciones diferenciales a ecuaciones integrales ut ilizando funciones
kernels de integracin conocidas ahora como funciones de Green [2]. Posteriormente y
gracias a los trabajos del fsico britnico Paul Dirac por medio de su conocida funcin
delta, los adelantos en esta tcnica han beneficiado no solo a la fsica y matemtica sino
a la ciencia e ingeniera en general.
El concepto de funcin de Green es importante para resolver sistemas fsicos de la
naturaleza que pueden ser expresados mediante ecuaciones matemticas de tipo lineal.
As por ejemplo, en electromagnetismo, una funcin Green representa la respuesta de
campo debida a una fuente de carga puntual ubicada a distancia; en elastodinmica
viene a representar el campo desplazamiento debida a una fuerza impulsiva puntual y en
teora de seales en ingeniera elctrica representa la respuesta de un sistema lineal ante
una entrada impulsiva tipo delta, conocindose mas bien como la respuesta impulso del
sistema.
En la actualidad, las funciones de Green se han convertido elemento de investigacin
para descifrar nuevas propiedades de los materiales estudindolos a nivel cuntico.
Por su versatilidad, sencillez y gran rango de aplicaciones desde sistemas tan grandes
como la Tierra hasta las molculas el tema de las funciones de Green ser motivo de
permanente aplicacin en la fsica y ciencia en general.
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II. FUNDAMENTO TEORICO 2.1. Introduccin
Las funciones de Green, deben su nombre gracias a los trabajos en Electrosttica
del matemtico ingles George Green a inicios del siglo XIX. Green transform las
ecuaciones diferenciales del electromagnetismo en ecuaciones integrales a travs de
funciones kernels de integracin denominadas funciones Green. As la funcin potencial
de Coulomb, es la funcin Green de la ecuacin de Poisson.
Histricamente el mtodo de las funciones de Green se deriva de una
generalizacin del teorema de la divergencia.
=V S
adxAVdxA )()(
siendo S superficie externa del volumen V.
Haciendo )()()( xxxA yf = en la expresin anterior, se llega a la expresin original
derivada por Green:
[ ] adnn
VdSV
-
=- fyyffyyf 22
siendo, n la normal exterior a la superficie S
A primera impresin esta expresin no parece ser de mucha utilidad, pero si se elige y
tal que )( 02 xx-= dy x0: punto al interior de V y considerando a la funcin f
tal que satisface la ecuacin de Poisson,
(0
2 )()(e
rf xx
-= )
Tenemos que:
adn
xn
xVdxxxS x
xx
x
Vx
-
+-=
fy
yfry
ef )()()()(
1)(
0
0
00
0
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Esta ecuacin permite calcular el potencial en x0, conociendo en V y /n en la
frontera; esto ultimo no siempre es posible presentndose los siguientes casos:
o Si se conoce pero no /n en la frontera (Condiciones de contorno de
Dirichlet), entonces se elige de modo que = 0 sobre la frontera
+-=S x
x
Vx adn
xVdxxx 00
)()()(1
)(0
0
yfry
ef
o Si se conoce /n pero no sobre la frontera (condiciones de conto rno de
Neumann) se elige de modo que /n = 0 sobre la frontera
--=
S xx
Vx adn
xVdxxxf
yrye
f )()()(1
)(00
00
2.2. Nociones bsicas
Desde su introduccin en 1828, las funciones de Green se han constituido en una
importante herramienta matemtica para la solucin de problemas con valores en la
frontera, representando ser adems un elemento clave en el desarrollo de mtodos de
ecuaciones integrales con condiciones de contorno.
Una funcin Green es un kernel de integracin que puede emplearse para resolver una
ecuacin diferencial in homognea lineal ordinaria o parcial sujeto a ciertas
condiciones de contorno.
Primeramente se hace una breve descripcin de trminos elementales con que se
trabajar.
Ecuacin diferencial: Las ecuaciones diferenciales son modelos matemticos que
representan sistemas fsicos de la naturaleza.
Ecuacin diferencial lineal: En especial las ecuaciones diferenciales lineales (ordinarias
o parciales) representan sistemas reales asociados a problemas prcticos no solo de la
fsica sino de la ciencia e ingeniera en general.
Una ecuacin diferencial de segundo orden (en general de orden n) se dice que es
lineal si en la ecuacin: u +p(x)u+q(x)u = f(x)
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es lineal la funcin desconocida u as como sus derivadas u, u
las funciones p, q , f son conocidas funciones de variable x
Si f(x) = 0 para todo x del intervalo dominio, la ecuacin se llama homognea
Si f(x) 0 la ecuacin se llama no homognea
f(x) se denomina tambin entrada
u(x) se denomina respuesta a la entrada incluida las condiciones iniciales o salida
Entrada Salida
Figura 1. Diagrama de entrada y salida sobre un sistema
Por ejemplo, si f(x) representa una fuerza mecnica o elctrica, entonces y(x) viene a
resultar un desplazamiento o una corriente respectivamente.
La solucin general viene dada por: u = uh + up
Donde:
uh : es la solucin de la correspondiente ecuacin homognea llamada tambin
solucin transitoria
up : es una solucin particular de la ecuacin no homognea llamada tambin
solucin permanente
Ecuacin diferencial lineal ordinaria: Ecuacin que contiene una o mas derivadas de una
funcin desconocida supongamos u(x), x: variable independiente
Ecuacin diferencial lineal parcial:
Ecuacin que involucra a una funcin desconocida de dos o mas variables u(x,y), as
como de sus derivadas parciales
Sistema
f(x) u(x)
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(x) =
2.3. Ecuaciones mediante operadores.
Considrese una ecuacin diferencial lineal expresada en la forma general
L(x)u(x) = f(x)
donde L(x) es un operador diferencial auto-adjunto, u(x) es una funcin desconocida,
f(x) es una funcin conocida llamado tambin el termino no-homogneo.
Operacionalmente, la solucin a la ecuacin (1) es:
u(x)=L(x)-1 f(x) (2)
donde L-1 representa el inverso del operador diferencial L. Puesto que L es un operador
diferencial, es razonable esperar que su inversa tenga la forma de un operador integral,
as como las propiedades usuales,
LL-1 = L-1L = I (3)
donde I es el operador identidad. Mas especficamente, definiremos el operador inverso
como:
xdxfxxGfL = - )();(1
donde el kernel G(x;x') es la Funcin Green asociada al operador diferencial L[3].
Ntese que G(x;x') es una funcin bidimensional que depende tanto de x como x'. Para
completar la idea del operador inverso L-1, se introduce la funcin delta de Dirac como
el operador identidad I. Recordar las propiedades de la funcin impulso unitario o delta
de Dirac (x) a continuacin:
0, x 0
, x = 0
(5)
(1)
(4)
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)0()()(
1)(
fdxxxf
dxx
=
=
-
-
d
d
Figura 2. Funcin impulso unitario o funcin delta
La funcin de Green G(x;x') luego entonces satisface
L(x)G(x;x) = (x-x) (6)
La solucin a la ecuacin (1) puede despus expresarse en trminos de la funcin de
Green como a continuacin
-
= xdxfxxGxu )();()( (7)
2.4 Definicin Una funcin de Green viene a ser el kernel de integracin asociado al operador
diferencial L en ecuaciones no homogneas con determinadas condiciones de contorno.
Dado L(x)u(x) = f(x), L: operador diferencial auto-adjunto y lineal, entonces
-
= xdxfxxGxu )();()(
en donde G satisface: L(x)G(x;x) = (x-x)
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(8)
La ventaja de esta formulacin del problema, radica en que la funcin Green es
independiente de f(x), esto es, solo depende de la forma de la ecuacin diferencial y de
sus condiciones iniciales o de frontera[4].
Fcilmente se prueba que la ecuacin (7) representa la solucin a la ecuacin (1),
realizando la siguiente sustitucin como sigue:
-
= xdxfxxGLxLu )();()(
)(
)()(
)();(
xf
xdxfxx
xdxfxxLG
=
-=
=
-
-
d
Ntese que se han empleado las propiedades de linealidad en operadores diferenciales y
sus inversos correspondientes en adicin a las ecuaciones (4), (5), y (6) para obtener
esta simple demostracin.
2.5 Propiedades
1. Las funciones de Green satisfacen la ecuacin diferencial homognea -
asociada
al problema inhomogeneo inicial en todo el dominio excepto en x = x
L(x)G(x;x)=0
2. La funcin de Green es continua en x = x
Lim G(x;x)= Lim G(x;x) xx- xx+
3. La derivada de la funcin de Green es discontinua en x = x
G(x;x+) G(x;x-) = - 1
4. La funcin de Green satisface las condiciones de contorno del problema
5. La funcin de Green es simtrica en los dos argumentos G(x;x)= G(x;x)
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2.6 Significado fsico
Las funciones Green pueden admitir interpretaciones fsicas para una variedad
de operadores diferenciales que se encuentra en la fsica matemtica.
De la fsica bsica, se sabe que la funcin de Green expresa el potencial en un
punto x debida a una carga puntual ubicada en x' la fuente puntual [5] . As la
funcin Green depende exclusivamente de la distancia entre la fuente origen y
punto de calculo. Otras interpretaciones fsicas de la funcin de Green pueden
tambin admitirse. En elastoestatica, la funcin Green viene a representar el
desplazamiento en el slido debida a la aplicacin de una fuerza unitaria en otro
punto origen [6]. En termodinmica, la funcin Green representa la temperatura
en un punto de observacin debida a una fuente unitaria de calor aplicada en el
punto de ubicacin de la fuente. En general, viene a representar la respuesta de
un sistema lineal ante una entrada impulsiva tipo delta, conocida tambin en
Ingeniera como la respuesta impulso del sistema.
Entrada Salida
Figura 3. Representacin general de una
Funcin de Green G(x;x) de
un sistema
Sistema
(x) G(x;x)
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(r1)
(r1,r2)
X
Y
Z
III. APLICACIONES EN FSICA-MATEMTICA 3.1 Electrosttica
Una manera de resolver los problemas de contorno en electrosttica es a travs de las
funciones de Green, denominndosele funcin de la fuente.
3.1.1 Ecuacin de Poisson
En presencia de las cargas del potencial electroesttico satisface la ecuacin no
homognea de Poisson
mientras que la funcin , que puede designarse como la funcin de Green, debe
satisfacer la ecuacin de Poisson con una fuente de punto en el punto definido por r2:
Siendo as, fsicamente es el potencial en r1 correspondiente a la fuente unitaria(0) en r2.
Figura 4. Funcin de Green como fuente de punto unitario
r2
r1
r12 = r1-r2
0
2
ery -=
)( 212 rr --= dj
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Mediante el teorema de Green
-=- oyjjytyjjy dd )()( 222 Suponiendo que el integrando disminuye con mayor rapidez que r-2, se puede simplificar el problema al considerar un volumen tan grande que la integral de superficie desaparece, dejando as
22
22 tyjtjy dd =
-=-- 20
2212212
)(),()()( t
erj
tdy drrr
drrr
= 22210
1 )(),(1
)( trje
y drrrr
De otro lado:
)()41
(2 rr
dp
-=
En consecuencia, la funcin (funcin de Green) esta definida por
2121 4
1),(
rrrr
-=
pj
Luego, la solucin de nuestra ecuacin diferencial (Ecuacin de Poisson) es
-= 2212
01
)(4
1)( t
rpe
y drr
rr
En resumen, la funcin de Green, proporciona el efecto de una fuente de punto unitario
en r2 que produce el potencial en r1.
3.1.2 El problema de Laplace
Para toda funcin u, continua conjuntamente con sus derivadas primeras en un volumen
T, delimitada por una superficie S suficientemente suave y que tenga derivadas
segundas dentro de T, se halla que[7]:
-
-
=
T
GdudnG
unu
GMu ts 20 )(
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Con: vR
MMGMM
+=0
41
),( 0 p
representa el potencial en el punto M debida a una carga puntual ubicada en M0 dentro
de una superficie conductora , conectada a tierra. 1/4R es el potencial de la carga
puntual en el espacio libre, en tanto v indica el potencial del campo de las cargas
inducidas en la superficie conductora [7].
As, la solucin para el problema contorno del tipo Dirichlet con 2 u = 0, es:
-=
-= ss dnG
fdnG
uMu )( 0 )(
= uf
Como aplicacin se trata el problema de Laplace para una regin de semiespacio no
acotado, es decir, hallar la funcin de la fuente para el semiespacio z > 0.
Ubiquemos en M0(x0,y0,z0) una carga unitaria, que crea en el espacio no acotado un
campo, cuyo potencial se determina por la funcin MMR 0
141p
Donde: 202
02
0 )()()(0 zzyyxxR MM -+-+-=
Se desprende fcilmente que el campo inducido v es el campo de una carga unitaria
negativa, ubicada en el punto M1(x0,y0,-z0), que es la imagen especular del punto M0 en
el plano z = 0 (Figura 5)
La funcin G, igual a 10
0 41
41
),(RR
MMGpp
-=
donde:
20
20
2000 )()()( zzyyxxMMR -+-+-==
20
20
2011 )()()( zzyyxxMMR ++-+-==
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Se anula para z = 0 y tiene la singularidad en el punto M0
Calculemos 00 ==
-=
zz zG
nG
. Es evidente que
++
--=
31
030
0
41
Rzz
Rzz
zG
p
Haciendo z = 0, se halla que:
30
000 2 R
zzG
nG
zz p-=
-=
==
Luego, la solucin al problema de Laplace con condicin de Dirichlet se da por la
formula:
PPM
dPfR
zMu s
p =
0 0
)(21
)( 30
0
donde 0 es el plano z = 0, 0)( == zuPf , o bien
-
- +-+-= dxdyyxf
zyyxx
zzyxu ),(
)()(21
),,(2
320
20
20
0000 p
Donde:
23
20
20
20
00
)()(21
);(zyyxx
zMMG
+-+-=
p
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3.2 Mecnica
Si abordamos el problema de las vibraciones forzadas en una cuerda con extremos fijos.
)(22
2
xfkdxd -=+ yy 0 x a
(0)= (a)=0
Aplicando separacin de variables, osea, asumiendo una solucin de la forma
= A(x)senkx + B(x)coskx
Se halla que:
=a
dyyxGyfx0
);()()(y
donde:
ksenkaxasenkysenk
yxG)(
);(-= 0 y x
ksenkayasenkxsenk
yxG)(
);(-= x y a
De otro lado, una solucin segn las propiedades de las funciones de Green, ser una
funcin tal que,
Por la propiedad 1, G(x;y) = Asenky + Bcosky 0 y x
Figura 5. Potencial en semiespacio (z>0) va funcin fuente
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G(x;y) = Csenky + Dcosky x y a
Por la propiedad 4, G(x;0) = B = 0
G(x;a) = Csenka + Dcoska = 0
Por propiedad 2, Asenkx = Csenkx + Dcoskx
Por propiedad 3, kCcoskx kDsenkx kAcoskx = 1
Resolviendo este conjunto de ecuaciones, se tiene que
ksenkaxasenk
A)( -=
B = 0
senkakasenkx
kC
cos1-=
senkasenkxsenka
kD
1=
Luego entonces, ksenka
xasenkysenkyxG
)();(
-= 0 y x
ksenkayasenkxsenk
yxG)(
);(-= x y a
encontrndose resultados idnticos, que era lo que se deseaba demostrar.
Ejemplo N 01. Supongamos que deseamos resolver la ecuacin diferencial ordinaria,
mdv
dtR v f= - + (t)
que podra representar el movimiento de una partcula de masa " "m en un medio que
presenta resistencia (coeficiente R) bajo la influencia de una fuerza externa f(t), siendo
v(t) la velocidad de la partcula.
Figura 6. Movimiento de masa bajo resistencia
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Primero consideremos el caso particular, que ocurre cuando la partcula est en
reposo en el tiempo t = t y entonces se pone en movimiento bajo la accin de una fuerza
sbita. Esto implica que la fuerza externa f(t) existe solamente durante un pequeo
intervalo de tiempo, digamos de t a t + Dt . Despus del tiempo t + Dt el movimiento
de la partcula es gobernada por la ecuacin homognea.
mdv
dtR v= - (t > t + Dt),
la cual, evidentemente, tiene la solucin
v A e R m t(t) ( / )= - (t > t + Dt).
No estamos muy interesados que sucede entre t y t + Dt, pero estamos
ciertamente interesados en el valor de A. En otras palabras, deseamos conocer el efecto
de la fuerza sbita sobre la partcula. Esto puede ser obtenida multiplicando la ecuacin
diferencial por dt e in-tegrando entre t y t + Dt :
m v v R v dt f dt[ ( ) ( )] (t) (t)t tt
t
t
t+ - = - +
++ Dt DtDt .
Si la fuerza sbita tiene un impulso I, entonces
f dt I(t)t
t + =Dt Asumiendo Dt ser muy pequeo, se podra esperar que la velocidad v(t) presente un
compor-tamiento esencialmente como el mostrado en la Fig.7 as que v(t) durante la
aplicacin de la fuerza sbita podra no haber sido excesivamente grande. Si esto es as
podramos obviar el trmino R v dt(t)t
t + Dt . Ahora usemos
v v A e A eR m R m( ) , ( ) ( / )( ) ( / )t t t t= + = @- + -0 Dt Dt
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Fig.7 Fig.8 Entonces m A e IR m- =( / )t , la que proporcionara la solucin idealizada
vm e R m t
(t)(t )
(I / ) (t )( / )( )=
- -0 t
tt
Ilustrada en la Fig.8. El significado fsico de nuestra aproximacin es que hemos
asumido que el impulso I de la fuerza sbita ha impartido a la partcula un momento
lineal p = mv = I tal que la velocidad inmediatamente despus de la aplicacin de la
fuerza sbita fue I/m, y en-tonces la partcula fue detenindose bajo la accin de la
resistencia del medio. Hemos obviado la prdida de momento durante la aplicacin de
la fuerza sbita, contenida en la integral R v dt(t)t
t + Dt , lo cual es muy razonable si Dt es pequea.
Ahora supongamos que la partcula experimenta la aplicacin de dos fuerza
sbitas, de impulsos I1 y I2 en los tiempos t1 y t2 respectivamente. Evidentemente,
superponiendo las so-luciones correspondientes a cada una de las fuerzas, obtenemos el
resultado
vI
me t
I
me
I
me
R m t
R m t R m t
(t)
(t )
( )
(t )
( / )( )
( / )( ) ( / )( )
=
- - t t tt
t 00
asumiendo v(t) = 0 y f(t) = 0 despus de t0.
El razonamiento anterior, por supuesto, no prueba que est frmula sea vlida. Sin
embargo podramos tomarlo como un punto de partida, y una vez que ella ha sido
escrita podemos veri-ficar que es realmente una solucin de la ecuacin diferencial.
mdv
dtR v f
(t)(t) (t )= - + > t0
sujeto a la condicin v(t) = 0 para t = t0
dv
dt
R
m
f d
me
f
mR m t
t(t) ( ) (t),( / )( )= - +- - t t t
t0
o
dv
dt
R
mv
f
m
(t)(t)
(t)= - +
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lo cual significa que v(t) satisface la ecuacin diferencial. La condicin v(t0) = 0 es
asimismo evidente.
Nota. La forma apropiada de escribir la solucin obtenida es :
v
me f d
o
tR m t
oo
(t)
(t ),
( ) (t ),( / )( )=
- -
0
1
t
t t tt
t
o alternativamente,
v G f d todo t),t
(t) (t , ) ( ) (para=- t t t
donde
G
me R m t
(t , )
(t ),
(t ).( / )( )t
t
tt=
- -
0
1
La funcin G(t; ) representa f sicamente la respuesta (en este caso la velocidad) al
tiempo t a un impulso unitario aplicado en el tiempo y se le denomina comnmente
funcin influencia o funcin Green.
Ejemplo N 02. Ahora consideremos la ecuacin diferencial de segundo orden
d x
dt
dx
dtx
f
mo
2
222+ + =l w
(t),
que representara el movimiento de una oscilador armnico amortiguado bajo la accin
de una fuerza externa f(t). Nuevamente asumamos que f(t) = 0, excepto para un impulso
I aplicado instantneamente al oscilador en el tiempo t mientras estaba en reposo.
El movimiento para t > t es dada por la solucin de la ecuacin homognea
x C e t C e sen tt t(t) c os= +- -1 2
l lw w
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donde w w l= -o2 2 (asumiendo un amortiguamiento pequeo). Como resultado de la
apli-cacin de la fuerza sbita en t = t, esperamos que x(t) es an cero inmediatamente
despus del tiempo t = t, pero la velocidad v(t) = dx/dt es dada por v(t + 0) = I/m. Estas
condiciones de-terminan las constantes C1 y C2 que nos conducen a
xI
me sent(t)
.(t ) (t ).( )= - >- -
ww t tl t
Evidentemente, hemos evaluado la funcin de Green. Para hallar la solucin en el caso
general, reemplazamos I por f(t)dt e integrando sobre t :
-= --t t
o
dftsenem
txt
tl tttww
)()(1
)( ,
y podemos ahora comprobar que esta expresin en realidad es la solucin del problema.
Nota : La funcin de Green
G e sent(t , ) (t )( )tw
w tl t= -- -1
representa la solucin (para t > t) para el caso de un impulso aplicado dentro de un
intervalo de tiempo infinitamente corto cercano a t. Evidentemente, la fuerza en
realidad para esto debe ser infinita.
m
Figura 9. Oscilador armnico amortiguado forzado
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Por lo mismo puede ser representada por una funcin convencional f(t), tal como
f(t) = d(t - t)
y tratar el problema desde el punto de vista de la teora de distribuciones. En ste
sentido, la funcin de Green G(t, t) deber satisfacer la ecuacin diferencial
d G
dt
dG
dtG
mo
2
222
1(t , ) (t , )(t , ) (t )
tl
tw t d t+ + = - ,
donde G(t, t) es tambin considerada como una distribucin.
Ejemplo N 03 Consideremos una cuerda tensa sometida a una carga distribuida
externa dada por F(x) (fuerza por unidad de longitud). El desplazamiento " "u de la
cuerda es una funcin solamente de " "x y satisface la ecuacin diferencial
Td u
dxF
2
2
(x )(x )= o
d u
dx
F
Tf
2
2= =
(x )(x )
Las condiciones de contorno son, las usuales, u(0) = u(L) = 0.
Solucionemos el problema para una fuerza concentrada F0 en el punto x = x.
Evidente-mente, esto implica
)()( xd -= xTF
xf
y busquemos la solucin de la ecuacin en la forma
)();( xdx -= x
dxxGd
,
que llamaremos la funcin de Green para nuestro problema. .Por supuesto, requerimos que
0);();0( == xx LGG , Note que G(x;x) satisface la ecuacin diferencial homognea para todo x excepto x = x.
Por lo tanto ella deber tener la forma
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)0();( xx += xparaBAxxG , y la condicin de contorno en x = 0 implica B = 0, mientras A queda indeterminado.
Similarmente,
)('');( += xparaBxAxG xx , Ahora notemos que dG/dx no requiere ser continua en x = x. Como en realidad
esperbamos la cuerda tiene el comportamiento de la cuerda mostrada en la Fig.10; ella
presenta un salto de discontinuidad en la pendiente. Para hallar la magnitud de este
salto, integremos la ecuacin diferencial (la ecuacin diferencial para G)
y la condicin de contorno en x = L implica que
B A L' '= -
mientras que A queda indeterminado. Dado que G(x;x) fsicamente representa una
posible, aunque algunas veces idealizada, forma de la cuerda, por ello debe ser continua
en x = x, lo cual implica
A A Lx x= -' ( ) ,
determinar A en trminos de A.
d G
dx
2
2= -d x(x )
entre x - e y x + e y entonces tomar e 0.
Esto nos conduce a
1);0();0( =--+ xxxxdxdG
dxdG
Fig.10 Ahora obtenemos xG xx /);0( + de
)()()(
);( xx
xx >--
= xLxL
AxG
lo cual nos conduce a
F0
L
xx
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LA
dxdG
-=+
xxxx );0(
Similarmente, de G(x ; x) = Ax (x < x), obtenemos
AdxdG =- );0( xx
Entonces, de Ax/(x - L) - A = 1, obtenemos A = (x - L) / L. Nuestro resultado es entonces
--
-
-=
)()(
)0()(
);(Lx
LxL
xL
Lx
xGxx
xx
x
Ntese que la funcin de Green es simtrica en la variable x y x :
En concordancia con el principio general, ahora esperamos que la solucin de una
ecuacin diferencial no homognea d2u/dx2 = F(x) / T, ms las condiciones de contorno,
seran dadas por:
=L
dT
FxGxu
)();()( xxx
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CONCLUSIONES
o Las funciones de Green representan un mtodo alternativo para la solucin
de problemas con condiciones de contorno y ecuaciones diferenciales no
homogneas.
o La utilidad de una solucin en una funcin de Green se debe a que esta
funcin es independiente del termino no homogneo en la ecuacin
diferencial.
o Las soluciones para diferentes trminos no homogneos f(x) se obtiene por
medio de una sola integracin.
o Este mtodo conduce a soluciones expresadas como integrales definidas, no
requirindose por tanto, la determinacin de constantes arbitrarias.
o Una funcin de Green es simtrica, es decir G(x;x) = G(x;x) Fsicamente
representa la respuesta en el punto x a un impulso unitario en el punto x o
bien la respuesta en el punto x a un impulso unitario en el punto x.
o Una solucin en trminos de una integral de una funcin de Green puede
interpretarse como el resultado de sobreponer las respuestas al conjunto de
impulsos con f(x) dando la magnitud del impulso en el punto x.
o Este mtodo aunque elegante es complejo en su realizacin, no siendo
siempre posible hallar explicitas expresiones para las funciones Green debidas
a su definicin misma en trminos del delta de Dirac y las condiciones de
contorno que debe satisfacer.
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BIBLIOGRAFIA
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Cambridge, Great Britain, 1982.
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[5] Jackson, J.D. Electrodinmica Clsica, Ed. Limusa, Mxico 1982.
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