Análisis de ESTRUCTURAS

Estructuras conformadas por varios elementosAdemás de cumplir las condiciones de equilibrio, en forma global en la estructura, sedeben satisfacer las condiciones de equilibrio para cada uno de los elementos que lacomponen. Adicionalmente hay que tener presente la tercera ley de Newton (Las fuerzasde acción y reacción entre cuerpos en contacto tienen la misma magnitud, la misma líneade acción y sentidos opuestos.

Estática

CERCHASEstructuras para soportar cargas queestán conformadas por barrastotalmente restringidas y que soloestán sometidas a dos fuerzas.

Estática

Análisis de ESTRUCTURASEstructuras conformadas por varios elementos

Además de cumplir las condiciones de equilibrio, en forma global en la estructura, sedeben satisfacer las condiciones de equilibrio para cada uno de los elementos que lacomponen. Adicionalmente hay que tener presente la tercera ley de Newton (Las fuerzasde acción y reacción entre cuerpos en contacto tienen la misma magnitud, la misma líneade acción y sentidos opuestos.

MARCOS Y MÁQUINASEstructuras que transmiten cargas conelementos sometidos a más de dosfuerzas y que pueden estartotalmente restringidas en sumovimiento (Marcos) o contenerelementos en movimiento (máquinas).

Estática

Procedimiento para analizar marcos/máquinas

1. Dibujar un diagrama de cuerpo libre de el marco/máquina

completo/a

2. Desensamblar el marco/máquina y dibujar un diagrama de cuerpo

libre de cada uno de los elementos

3. Considerar primero los elementos sujetos a dos fuerzas.

4. Después se consideran los elementos sujetos a fuerzas múltiples

5. Se escriben las ecuaciones de equilibrio para cada uno de los cuerpos

6. Por último, se debe verificar la solución.

Los elementos de la cercha solo están sometidos a dos fuerzas.

Estática

Análisis de CERCHAS

Determinar las reacciones en los apoyos y las fuerzas en todas las barras.

Tracción Compresión

Algunos elementos en las estructuras (marcos ó máquinas) estánsometidos a más de dos fuerzas.

Estática

Análisis de MARCOS y MÁQUINAS

Algunos elementos en las estructuras (marcos ó máquinas) estánsometidos a más de dos fuerzas.

Estática

La siguiente estructura tiene un cable atado en el extremo G y una caja con una masa de 75 kg suspendida en el otro extremo, está soportada en un cojinete en D y un apoyo de rodillo en A. Sabiendo que a=145.0 cm, b=100.0 cm, R=50.0 cm y que la gravedad es de 9.81 m/s2. (despreciar el peso de los elementos de la estructura y de la polea). Determinar:

1. La magnitud de la reacción en F. 2. La fuerza en el elemento CE. 3. La magnitud de la reacción en B. 4. La reacción en A. 5. La reacción en D.

Estática

Ejemplo 1 resuelto

Estática

Ejemplo 1 resuelto

Estática

Ejemplo 1 resuelto

Estática

Ejemplo 1 resuelto

Estática

Ejemplo 1 resuelto

RBx RFx

Estática

Ejemplo 1 resuelto

𝐹𝑦 = 0, 𝑅𝐹𝑦 −𝑚𝑔 = 0

𝑅𝐹𝑦 = 𝑚𝑔

𝑅𝐹 = 𝑚𝑔 2 + 𝑚𝑔 2

𝑅𝐹 = 2 ∗ 735,75 𝑁 = 1040 𝑁

1. La magnitud de la reacción en F. 2. La fuerza en el elemento CE. 3. La magnitud de la reacción en B. 4. La reacción en A. 5. La reacción en D.

m = 75 kg, a = 145.0 cm, b = 100.0 cm,R = 50.0 cm, g = 9.81 m/s2 , mg = 75 kg (736 N)

1040 Nmg

𝐹𝑥 = 0, 𝑅𝐹𝑥 − 𝑇 = 0

𝑅𝐹𝑥 = 𝑚𝑔

Equilibrio en la polea

𝑀𝐹 = 0, 𝑅 ∗ 𝑇 − 𝑅 ∗ 𝑚𝑔 = 0

𝑇 = 𝑚𝑔

mgRF RFy

Estática

Ejemplo 1 resuelto1. La magnitud de la reacción en F. (1040 N)

2. La fuerza en el elemento CE. 3. La magnitud de la reacción en B. 4. La reacción en A. 5. La reacción en D.

m = 75 kg, a = 145.0 cm, b = 100.0 cm,R = 50.0 cm, g = 9.81 m/s2 , mg = 736 N

735,75 N

σ𝐹𝑦 = 0

𝑅𝐷𝑦 −𝑚𝑔 = 0 → 𝑅𝐷𝑦 = 735,75 𝑁

σ𝐹𝑥 = 0𝑅𝐷𝑥 − 𝑅𝐴𝑥 = 0 → 𝑅𝐷𝑥 = 422,8 𝑁

Equilibrio de la estructuraσ𝑀𝐷 = 0

4,35 𝑚 𝑅𝐴𝑥 − 2,5 𝑚 735,75 𝑁 = 0𝑅𝐴𝑥 = 422,8 𝑁

𝑅𝐷 = 422,8 2 + 735,75 2 = 848,6 𝑁

1040 Nmg

Estática

Ejemplo 1 resuelto1. La magnitud de la reacción en F. (1040 N)

2. La fuerza en el elemento CE. 3. La magnitud de la reacción en B. 4. La reacción en A. (422,8 𝑁)5. La reacción en D. (848,6 N)

σ𝐹𝑦 = 0

𝑅𝐵𝑦 + sin𝛼 𝑅𝐸𝐶 − 735,75 𝑁 = 0

→ 𝑅𝐵𝑦 = −735,75 𝑁

σ𝐹𝑥 = 0𝑅𝐵𝑥 + cos𝛼 𝑅𝐸𝐶 − 735,75 𝑁 = 0

→ 𝑅𝐵𝑥 = −279,8 𝑁

Equilibrio del elemento BEFσ𝑀𝐵 = 0

1,0 𝑚 sin 𝛼 𝑅𝐸𝐶 − 2,0 𝑚 735,75 𝑁 = 0𝑅𝐸𝐶 = 1788 𝑁

735,75 N

422,8 N

735,75 N

sin 𝛼 = 145

176,1=0,823

cos𝛼 = 100

176,1=0,568

𝑅𝐵 = 279,8 2 + 735,75 2 = 787,2 𝑁

RECRBy

735,75 N

Estática

Ejemplo 1 resuelto1. La magnitud de la reacción en F. (1040 N) 2. La fuerza en el elemento CE. (1788 𝑁)3. La magnitud de la reacción en B. (787,2 𝑁)

4. La reacción en A. (422,8 𝑁)

5. La reacción en D. (848,6 N)

La estructura articulada (Marco) esta sostenida mediante una articulación de pasador en A y una articulación de pasador en E, en el pasador B se coloca una polea sin fricción por la cual pasa una cable que une los puntos BD ejerciendo una fuerza de tensión P de magnitud 465.0 lb. Para que la estructura este en equilibrio. El radio de la polea mide 1’. Determinar:

1. La magnitud de la reacción en el pasador A. 2. La magnitud de la reacción en el pasador B. 3. La magnitud de la reacción en el pasador C. 4. La magnitud de la reacción en el pasador E.

Estática

Ejemplo 1

La estructura articulada (Marco) esta sostenida mediante una articulación de pasador en A y una articulación de pasador en E, en el pasador B se coloca una polea sin fricción por la cual pasa una cable que une los puntos BD ejerciendo una fuerza de tensión P de magnitud 465.0 lb. Para que la estructura este en equilibrio. El radio de la polea mide 1’. Determinar:

1. La magnitud de la reacción en el pasador A. 302.2 Lb 2. La magnitud de la reacción en el pasador B. 657.6 Lb 3. La magnitud de la reacción en el pasador C. 395.2 Lb 4. La magnitud de la reacción en el pasador E. 219.3 Lb

Estática

Ejemplo 1

465 lb

σ𝑀𝐴 = 0 -> REx = 186 lb

La estructura articulada (Marco) esta sostenida mediante una articulación de pasador en A y una articulación de pasador en E, en el pasador B se coloca una polea sin fricción por la cual pasa una cable que une los puntos BD ejerciendo una fuerza de tensión P de magnitud 465.0 lb. Para que la estructura este en equilibrio. Determinar:

1. La magnitud de la reacción en el pasador A. 302.2 Lb 2. La magnitud de la reacción en el pasador B. 657.6 Lb 3. La magnitud de la reacción en el pasador C. 395.2 Lb 4. La magnitud de la reacción en el pasador E. 219.3 Lb

Estática

Ejemplo 1

σ𝑀𝐶 = 0 REy = 116,25 lb

σ𝐹𝑥 = 0 RCx = -186 lb

σ𝐹𝑦 = 0 RCy = 348,8 lb

465 lb

186 lb

La estructura articulada (marco) esta sostenida mediante una articulación de pasador A y una articulación de pasador B, en el pasador E se amarra un cable que pasa por una polea sin fricción D ejerciendo una fuerza de tensión P de magnitud 855.0 N en el punto F se aplica una fuerza P de magnitud 855.0 N. Para que la estructura este en equilibrio, determinar:

Estática

Ejemplo 2

La magnitud de la reacción en:1. el pasador A. 2. el pasador B. 3. el pasador C. 4. el pasador D.

La estructura articulada (marco) esta sostenida mediante una articulación de pasador A y una articulación de pasador B, en el pasador E se amarra un cable que pasa por una polea sin fricción D ejerciendo una fuerza de tensión P de magnitud 855.0 N en el punto F se aplica una fuerza P de magnitud 855.0 N. Para que la estructura este en equilibrio, determinar:

Estática

Ejemplo 2

La magnitud de la reacción en:1. el pasador A. 2688.0 N 2. el pasador B. 2875.97N 3. el pasador C. 2875.97 N 4. el pasador D. 1209.0 N

La estructura mostrada tiene un pasador en E y un pasador en A. El pasador, unido al elemento BD, pasa por una ranura suave en D. Un peso cuelga del cable FG que pasa por dos poleas sin fricción. El punto A y F están alineados. Si m = 93.8 Kg, a = 0.9 m, b = 0.3 m, tetha = 35.5 grados y la gravedad es igual a 9.81 m/s2. Para que el sistema se encuentre en equilibrio, determinar:

1. La magnitud de la reacción en E. 2. La magnitud de la reacción en B. 3. La magnitud de la reacción en A. 4. La magnitud de la reacción en D.

Estática

Ejemplo 3

La estructura mostrada tiene un pasador en E y un pasador en A. El pasador, unido al elemento BD, pasa por una ranura suave en D. Un peso cuelga del cable FG que pasa por dos poleas sin fricción. El punto A y F están alineados. Si m = 93.8 Kg, a = 0.9 m, b = 0.3 m, tetha = 35.5 grados y la gravedad es igual a 9.81 m/s2. Para que el sistema se encuentre en equilibrio, determinar:

1. La magnitud de la reacción en E. 667.9 N 2. La magnitud de la reacción en B. 2002.0 N 3. La magnitud de la reacción en A. 1540.0 N 4. 4. La magnitud de la reacción en D. 1184.0 N

Estática

Ejemplo 3

La estructura articulada (marco) esta sostenida mediante una articulación de pasador A y una articulación de rodillo F, en el punto C se una fuerza P de magnitud 2500.0 N. Para que la estructura este en equilibrio. Determinar:

La magnitud de la reacción en:1. el pasador E. 2. el pasador B. 3. el pasador D. 4. el pasador A.

Estática

Ejemplo 4

La estructura articulada (marco) esta sostenida mediante una articulación de pasador A y una articulación de rodillo F, en el punto C se una fuerza P de magnitud 2500.0 N. Para que la estructura este en equilibrio. Determinar:

La magnitud de la reacción en:1. el pasador E. 3645.0 N2. el pasador B. 3153.0 N3. el pasador D. 5929.0 N4. el pasador A. 3397.0 N

Estática

Ejemplo 4

La estructura articulada (Marco) esta sostenida mediante una articulación de pasador A y una articulación de pasador B, en el pasador D se coloca una polea sin fricción por la cual pasa un cable que une los puntos CDF ejerciendo una fuerza de tensión P1 de magnitud 235.0 Lb, en el punto H del elemento doblado BEC se aplica una fuerza P2 de magnitud 335.0 Lb. Para que la estructura este en equilibrio. Determinar:

1. La magnitud de la reacción en el pasador A. 2. La magnitud de la reacción en el pasador B. 3. La magnitud de la reacción en el pasador D. 4. La magnitud de la reacción en el pasador E.

Estática

Ejemplo 5

La estructura articulada (Marco) esta sostenida mediante una articulación de pasador A y una articulación de pasador B, en el pasador D se coloca una polea sin fricción por la cual pasa un cable que une los puntos CDF ejerciendo una fuerza de tensión P1 de magnitud 235.0 Lb, en el punto H del elemento doblado BEC se aplica una fuerza P2 de magnitud 335.0 Lb. Para que la estructura este en equilibrio. Determinar:

1. La magnitud de la reacción en el pasador A. 846.9 Lb 2. La magnitud de la reacción en el pasador B. 1084.0 Lb3. La magnitud de la reacción en el pasador D. 332.3 Lb 4. La magnitud de la reacción en el pasador E. 1130.0 Lb

Estática

Ejemplo 5

Una pala sostenida mediante un pasador en E y la barra CA, recoge cierta cantidad de piedras cuyo peso esta en G y es W. Si W = 2375.2 lb, a = 2.4 ft y tetha = 133.5 grados. Para que el sistema se encuentre en equilibrio, determinar:

1. La fuerza del eslabón AC. 2. La magnitud de la reacción en E. 3. La fuerza del elemento AB. 4. La fuerza del elemento AD.

Estática

Ejemplo 6 (máquina)

Una pala sostenida mediante un pasador en E y la barra CA, recoge cierta cantidad de piedras cuyo peso esta en G y es W. Si W = 2375.2 lb, a = 2.4 ft y tetha = 133.5 grados. Para que el sistema se encuentre en equilibrio, determinar:

1. La fuerza del eslabón AC. 3575.0 lb2. La magnitud de la reacción en E. 5544.0 lb 3. La fuerza del elemento AB. 4034.0 lb 4. La fuerza del elemento AD. 5552.0 lb

Estática

Ejemplo 6

Los cilindros hidráulicos EA y GD son paralelos y controlan la posición de la barra ABC, sabiendo que al aplicar la fuerza P = 90.0 N en C el sistema queda en equilibrio y las medidas a=1.0 m, b=0.6 m, c=1.5 m, d=2.5 m y el ángulo Theta = 37.0 grados. Determinar:

La magnitud de1. la fuerza del cilindro EA. 2. la reacción en B. 3. la fuerza del cilindro DG. 4. la reacción en F.

Estática

Ejemplo 7 (máquinas)

Los cilindros hidráulicos EA y GD son paralelos y controlan la posición de la barra ABC, sabiendo que al aplicar la fuerza P = 90.0 N en C el sistema queda en equilibrio y las medidas a=1.0 m, b=0.6 m, c=1.5 m, d=2.5 m y el ángulo Theta = 37.0 grados. Determinar:

La magnitud de1. la fuerza del cilindro EA. 84.82 N2. la reacción en B. 166.1 N 3. la fuerza del cilindro DG. 241.9 N 4. la reacción en F. 402.8 N

Estática

Ejemplo 7 (máquinas)

El peso de 5460.0 N esta soportado por una polea sin fricción en F de radio = 0.45 m, el marco o entramado se sostiene mediante un apoyo fijo en A y un rodillo en E. Las medida de a y b son respectivamente 1.2 m y 2.29 m. Determinar:

La magnitud de1. la reacción del apoyo fijo en A. 2. la fuerza en el pasador B. 3. la fuerza en el pasador C. 4. la fuerza en el pasador D.

Estática

Ejemplo 8 (marco)

El peso de 5460.0 N esta soportado por una polea sin fricción en F de radio = 0.45 m, el marco o entramado se sostiene mediante un apoyo fijo en A y un rodillo en E. Las medida de a y b son respectivamente 1.2 m y 2.29 m. Determinar:

La magnitud de1. la reacción del apoyo fijo en A. 3266.0 N2. la fuerza en el pasador B. 3929.0 N3. la fuerza en el pasador C. 2876.0 N 4. la fuerza en el pasador D. 3793.0 N

Estática

Ejemplo 8 (marco)

Una prensa para madera compuesta por una barra doblada en L (BCF) y una barra de presión (BA) está en equilibrio mientras se le ejerce una fuerza en el punto F de magnitud P = 1120, para presionar el bloque en E. Si a = 9 in, b = 13 in, c = 15,06 in, d = 7 in y θ = 35°. Determinar:

1. La fuerza del elemento CD. 2. La magnitud de la reacción en el apoyo de pasador B.3. La fuerza de sujeción en el bloque. 4. La magnitud de la reacción en A.

Estática

Ejemplo 9 (Máquina)

Una prensa para madera compuesta por una barra doblada en L (BCF) y una barra de presión (BA) está en equilibrio mientras se le ejerce una fuerza en el punto F de magnitud P = 1120, para presionar el bloque en E. Si a = 9 in, b = 13 in, c = 15,06 in, d = 7 in y θ = 35°. Determinar:

1. La fuerza del elemento CD. 1351,8 lb2. La magnitud de la reacción en el apoyo de pasador B. 775,5 lb3. La fuerza de sujeción en el bloque. 316,44 lb4. La magnitud de la reacción en A. 1052,6 lb

Estática

Ejemplo 9 (Máquina)

Cuatro vigas de madera, cada una de las cuales tiene una longitud de 2a, se clavan entre sí en sus puntos medios para formar el sistema de soporte que se muestra en la figura. Si se supone que en las conexiones sólo se ejercen fuerzas verticales, determine las reacciones verticales en A, D, E y H.

Estática

Ejemplo 10 (resuelto)

Tomado de Mecánica vectorial para ingenieros. Estática. Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston. Edicion: 11. pág 293

Estática

Diagrama de cuerpo libre del soporte

Ecuaciones de equilibrio

𝐹𝑧 = 0

𝑀𝑥 = 0

𝑀𝑦 = 0

Estática

Elaborar el diagrama de cuerpo libre de cada una de las vigas

Estática

𝐹 = 0

𝑀 = 0

𝐹 = 0

𝑀 = 0

𝐹 = 0

𝑀 = 0

𝐹 = 0

𝑀 = 0

Estática

𝐸 + 𝐹 + 𝐺 = 𝑃−𝐸. 𝑎 + 𝐺. 𝑎 = 0

𝐴 + 𝐵 − 𝐹 = 0𝐴. 𝑎 + 𝐹. 𝑎 = 0

𝐷 + 𝐶 − 𝐵 = 0𝐷. 𝑎 + 𝐵. 𝑎 = 0

𝐻 − 𝐺 − 𝐶 = 0−𝐻. 𝑎 − 𝐶. 𝑎 = 0

Estática

𝐸 + 𝐹 + 𝐺 = 𝑃

𝐴 + 𝐵 − 𝐹 = 0𝐷 + 𝐶 − 𝐵 = 0

𝐻 − 𝐺 − 𝐶 = 0

𝐺 = 𝐸𝐹 = −𝐴𝐵 = −𝐷𝐶 = −𝐻

Estática

𝐸 − 𝐴 + 𝐸 = 𝑃

𝐺 = 𝐸𝐹 = −𝐴𝐵 = −𝐷𝐶 = −𝐻

𝐴 + 𝐵 − 𝐹 = 0𝐷 + 𝐶 − 𝐵 = 0

𝐻 − 𝐺 − 𝐶 = 0

Estática

𝐸 − 𝐴 + 𝐸 = 𝑃

𝐴 − 𝐷 + 𝐴 = 0

𝐺 = 𝐸𝐹 = −𝐴𝐵 = −𝐷𝐶 = −𝐻

𝐷 + 𝐶 − 𝐵 = 0

𝐻 − 𝐺 − 𝐶 = 0

Estática

𝐸 − 𝐴 + 𝐸 = 𝑃

𝐴 − 𝐷 + 𝐴 = 0𝐷 − 𝐻 + 𝐷 = 0

𝐺 = 𝐸𝐹 = −𝐴𝐵 = −𝐷𝐶 = −𝐻

𝐻 − 𝐺 − 𝐶 = 0

Estática

𝐸 − 𝐴 + 𝐸 = 𝑃

𝐴 − 𝐷 + 𝐴 = 0𝐷 − 𝐻 + 𝐷 = 0

𝐻 − 𝐸 + 𝐻 = 0

𝐺 = 𝐸𝐹 = −𝐴𝐵 = −𝐷𝐶 = −𝐻

Estática

2𝐸 − 𝐴 = 𝑃

𝐴 − 𝐷 + 𝐴 = 0𝐷 − 𝐻 + 𝐷 = 0

𝐻 − 𝐸 + 𝐻 = 0

Estática

2𝐸 − 𝐴 = 𝑃

𝐷 = 2𝐴

𝐷 − 𝐻 + 𝐷 = 0

𝐻 − 𝐸 + 𝐻 = 0

Estática

2𝐸 − 𝐴 = 𝑃

𝐷 = 2𝐴𝐻 = 2𝐷

𝐻 − 𝐸 + 𝐻 = 0

Estática

2𝐸 − 𝐴 = 𝑃

𝐷 = 2𝐴𝐻 = 2𝐷

𝐸 = 2𝐻

B𝐻 = 4𝐴

4H = 𝑃 + 𝐴

16A = 𝑃 + 𝐴

15A = 𝑃

15𝑃

Estática

2𝐸 − 𝐴 = 𝑃

𝐻 = 2𝐷

B 𝐻 =4

15𝑃

4H = 𝑃 + 𝐴

16A = 𝑃 + 𝐴

15A = 𝑃

15𝑃

𝐷 = 2𝐴

𝐸 = 2𝐻

Estática

2𝐸 − 𝐴 = 𝑃

𝐷 =2

15𝑃

𝐻 = 2𝐷

B 𝐻 =4

15𝑃

4H = 𝑃 + 𝐴

16A = 𝑃 + 𝐴

15A = 𝑃

15𝑃

𝐸 = 2𝐻

Estática

2𝐸 − 𝐴 = 𝑃

𝐷 =2

15𝑃

𝐻 = 2𝐷

𝐸 =8

15𝑃

B 𝐻 =4

15𝑃

4H = 𝑃 + 𝐴

16A = 𝑃 + 𝐴

15A = 𝑃

15𝑃

Estática

𝐷 =2

15𝑃

𝐸 =8

15𝑃

𝐻 =4

15𝑃

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