Post on 01-Jan-2016
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PRIMERA PARTEFunciones
SEGUNDA PARTEIntegra les
TERCERA PARTEEcuac iones d i ferenc ia les
CUARTA PARTEMétodo para reso lver una ecuac ión d i ferenc ia l
Análisis Matemático III
Parte I Funciones
FUNCIONES
Definición
La función denota una regla que asigna a cada elemento de x del conjunto A, exactamente un elemento, denotados por f(x) del conjunto B.
BAf :f Función
A y B Conjuntos
x
a
f(x)
f(a)BA
FUNCIONES
Considerando que los conjuntos A y B son conjuntos de números reales:
Dominio es el conjunto A de la función, denotado por D(f).
Rango es el conjunto de todos los valores posibles f(x) conforme varía en todo el dominio A.
El número f(x) es el valor de f en x.
RBA
FUNCIONES
y=f(x)
Rango
Dominio
x
y
AxxffR :)()(
FUNCIONES
Ejemplo
Encuentre el dominio y rango de cada función:1. f(x)=2x-12. g(x)=x2
FUNCIONES
Solución1. La ecuación de la gráfica es y=2x-1, la cual es la
ecuación de una recta con pendiente y ordenada en el origen de -1. La expresión esta definida por todos los números reales, de manera que D(f)=R y su rango es también R(f)=R.
-1-1
1
1/2 1
FUNCIONES
Solución2. La ecuación de la gráfica g(x)=x2, la cual
representa una parábola. La función g esta definida para cualquier número real, así D(g)=R y su rango es positivo.
1
2
3
4
1 2-1-2
I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Funciones Potencia
Funciones donde la base es una variable y la potencia es una constante, tiene la siguiente forma:
Ejemplos:
xa
xf )( Ra
1
2
xxh
xxg
xxf
)(
)(
)(
I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Función Exponencial
Función donde la base es una constante y la potencia es una variable, es la función exponencial de base a, tiene la siguiente forma:
Ejemplos:
ax
xf )(R
x
a 0
x
x
xg
xf23)(
2)(
x
xh
21
)(
I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Propiedades de la Función Exponencial
Siendo:
1. 4.
2. 5.
3. 6.
10 a
yxyx aaa
yxy
x
aaa
xxx baab
yxyx aa
x
xx
ba
ba
0, ba Ryx,
I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
En cálculo se decide trabajar como base el número irracional e que tiene un valor aproximado de 2.718281828.
DefiniciónLa función exponencial para cualquier x є R se define como:
Cuenta con las mismas propiedades que cualquier función exponencial de base a.
718281828.211
0
x
x
xxLime
I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Gráfica de la Función Exponencial “base e”
2
3
4
0.5
1 1.5
-1.5
-1 -0.5
1
I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Función LogarítmicaPara a>0 y a1 y x>0 denotamos la función logaritmo de base a por logax, y se define como:
Si x>0 entonces logax es el exponente al que debe elevarse la base a para dar x.
xabx ba log
I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Las funciones exponenciales y logarítmicas son funciones inversas una de otra, como se puede ver en los siguientes ejemplos:
Forma Logarítmica
Forma Exponencial
log28=3 23=8
loga1=0 a0=1
log10 0.1=-1 10-1=0.1
log10 1000=3 103=1000
I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Propiedades de la Función Logarítmica
Siendo: a, b 1 y x, y >0 se tienen las siguientes características:
1. 2.
3. 4. 5. 6.
7.
01log a1log aa
yxxy aaa logloglog yxyx
aaa logloglog
xnx an
a loglog ax
xb
ba log
loglog
ab
ba log
1log
I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Logaritmo Natural
Es la función para un x>0 se define como la función logaritmo cuya base es el número e y se denota por:
Esta función goza de las mismas características que la función logarítmica de base a, dados x, y > 0.
xx elogln
I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Función de Logaritmo Natural
-2
-1
-4
0.5
1 1.5
-3
2
I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Propiedades como Funciones Inversas
1. Si a > 0 y a 1 se tiene:
2. Si a = e se tiene:
xaxa log
Rx
xa xa log
0x
xex lnRx
xe x ln
0x
I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Ejemplo:
Desarrolla las siguientes expresiones:
910
log5 23ln x5
log2
xy 3
2
1
2ln
xx
x
I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Solución:
1. Aplicando la propiedad 4 de logaritmos:
9log10log910
log 555
ylogxlogyx
log aaa
I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Solución:
2. Aplicando la propiedad 5 de logaritmo natural:
23ln21
23ln xx
xnlogxlog an
a
I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Solución:
3. Aplicando la propiedad 3 y 4 de logaritmos:
5logloglog5
log 2222 yxxy
ylogxlogxylog aaa ylogxlogyx
log aaa
I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Solución:
4. Aplicando la propiedad 3, 4 y 5 de logaritmo natural:
1ln31
ln3ln21ln3ln1
2ln 32
3
2
xxxxxx
xx
x
ylogxlogxylog aaa
ylogxlogyx
log aaa
xnlogxlog an
a
I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Ejercicios de Tarea:
1. Desarrolla la siguiente expresión:
2. Despejar x de las siguientes expresión:
a) b) c)
3
3
2 1ln
x
x
1log3log 1010 xx 4ln xe 3ln xe
I.2 DIFERENCIACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Funciones de Base Arbitraria
Para a>0 y a1 y u=u(x) una función diferencial en x donde xєR entonces la derivada de ax es:
y para la derivada de au es:
xx aaadxd
ln
dxdu
aaadxd uu ln
I.2 DIFERENCIACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Ejemplo:
1. Derivar las siguientes funciones:(a)y=2x (b) y=2senx
Solución:
(a) (b) xx
dxd
y 22ln2' senx
dxd
y 2'
senxxy 22lncos'
senxdxd
y senx22ln'
I.2 DIFERENCIACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Funciones de Base e
Para a>0 y a1 y u=u(x) una función diferencial en x donde xєR entonces la derivada de ex es:
y para la derivada de eu es:
xx eedxd
dxdu
eedxd uu
I.2 DIFERENCIACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Ejercicios para Realizar en Clase:
1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones: a) y=e3x+1
b) y=(ex+1)2
c) y=e3x
d) y=etan3x
I.2 DIFERENCIACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Ejercicios de Tarea:
1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones: a) y=a5x-1
b) y=x2ex
c) y=e5x
I.3 DIFERENCIACIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Derivación con Base e
Si a>0, a1 y u=u(x), es una función diferenciable de x, donde x>0, entonces la derivada de lnx es:
y la derivada de lnu es:
xx
dxd 1
ln
dxdu
uu
dxd 1
ln
I.3 DIFERENCIACIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Ejemplo:
1. Derivar las siguientes funciones:(a) (b)
Solución:
(a) (b) 1ln' 3 xdxd
y
2
1ln'
x
xdxd
y
1ln 3 xy2
1ln
x
xy
11
1' 3
3
x
dxd
xy
13
'3
2
xx
y
2
1
2
11
'x
xdxd
x
xy
2125
'
xxx
y
I.3 DIFERENCIACIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Ejercicios para Resolver en Clase:
1.Derivar las siguientes funciones: a)
b)
c)
coslnf
xaxa
xg
ln
xxxf ln
I.3 DIFERENCIACIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Ejercicios de Tarea:
1.Derivar las siguientes funciones: a)
b)
4ln 2 xxf
xxf ln
I.3.1 DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA
El cálculo de derivadas de funciones complicadas que comprenden productos, cocientes o potencias se puede simplificar tomando logaritmos.
Método de la Derivación Logarítmica:1. Tome logaritmos naturales en ambos miembros de una ecuación y=f(x) y aplique la propiedad de los logaritmos para simplificar.2. Derive con respecto a x.3. Resuelva la ecuación resultante para y’.
I.3.1 DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA
Ejemplo:1. Derivar las siguiente ecuación:
Solución:
524
3
23
1
x
xxy
23ln51ln21
ln43
ln 2 xxxy
2315
1431
2
xxx
xdxdy
y
23x
151x
x4x3
23x
1xx25
243
2315
143
2 xxx
xy
dxdy
5
243
23
1lnln
x
xxy
I.3.1 DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA
Ejercicios para Resolver en Clases:
1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de las siguientes funciones:
a) b) 324 1873 xxy senxxy
I.3.1 DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA
Ejercicios de Tarea:
1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de las siguientes funciones:
a) b) 8
34
3
51
x
xxy xxy
CAPÍTULO II Integrales
II.1 INTEGRAL INDEFINIDA
DefiniciónUna función F se dice que es una primitiva o antiderivada de f en un intervalo I si F’(x)=f(x) para todo x є I.
EjemploSe necesita encontrar una función F que su derivada sea f(x)=4x3, por los conocimientos en diferenciación se diría que:
Por lo tanto F es una primitiva de f.
4)( xxF 34 4xxdxd
II.1 INTEGRAL INDEFINIDA
Familia de Primitivas:Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una primitiva de f en I si y solo si G es de la forma:
EjemploSabemos que la función F(x)=x4 es una primitiva de f(x)=4x3 así que las siguientes funciones:
G1(x)=x4+5 G2(x)=x4-123
también son primitivas de f(x).
CxFxG R
C
Ix
CxxG 4 Es la familia de primitivas de f(x)
II.1 INTEGRAL INDEFINIDA
Para denotar la primitiva de una función f se usa la notación:
DefiniciónEl proceso de calcular las primitivas de una función f se denomina integración, así que tenemos:
lo que significa que:
dxxf
CxFdxxf
xfxFCxFdxd
'
RC
II.1 INTEGRAL INDEFINIDA
Partes de la Integración:
CxFdxxf
Variable de Integración
Integrando
Símbolo de la
Integración
Constante de
Integración
II.1 INTEGRAL INDEFINIDA
Reglas de la Integración:
1.
2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
Cxdxx
ln1
dxxgdxxfdxxgxf
11
1
nCnx
dxxn
n
dxxfkdxxkf
Cedxe xx Ca
adxa
xx
ln
Cxsenxdx cos Csenxxdxcos
II.1 INTEGRAL INDEFINIDA
Reglas de la Integración:
9. 10.
11. 12.
13. 14.
Cxxdx tansec2 Cxxdx cotcsc2
Cxxdxx sectansec Cxxdxx csccotcsc
Cxdxx
12
tan1
1
Cxsendxx
1
2 1
1
II.1 INTEGRAL INDEFINIDA
Ejemplo:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1. 2.
3. 4.
5.
dxx3
1 dxx
senxdx2 dxx 2
dxxxx 24 53
II.1 INTEGRAL INDEFINIDA
Solución:
C2x1
dxx1
23C
xdxx
2
23
Cx32
dxx 3 CxCx
dxx 232
3
2/1
32
23
C2cosx2senxdx Cxdxsenx cos22
1.
2.
3.
II.1 INTEGRAL INDEFINIDA
Solución:
C2x2x
dx2x2
dxdxx 2
xdxdxxdxx 24 53dxx5x3x 24
Cx21
x35
x53 235
C
xxx23
55
3235
4.
5.
II.1 INTEGRAL INDEFINIDA
Ejercicios para resolver en Clase:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1.
2.
3.
dxxx 24 sec210
dxxx 63
dx
xxx
13
622
3
II.1 INTEGRAL INDEFINIDA
Ejercicios de Tarea:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1.
2.
3.
dxxx 122/3
dxxsenx cos32
dxx
xx 12
II.2 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Identidades Fundamentales:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
senxx
1csc
xx
cos1
sec
xsenx
xcos
tan xsenxx coscot
xx
tan1
cot 1cos22 xxsen
xx 22 sec1tan xx 22 csc1cot
II.2 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Con las identidades mencionadas anteriormente se extienden las fórmulas básicas de integración:
15. 16.
17. 18.
Cxxdx coslntan Csenxxdx lncot
Cxxxdx tanseclnsec Cxxxdx cotcsclncsc
II.2 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Ejemplo:
Calcular la siguiente integral
Solución:
dyy 1tan2
Ctany ydydyy 22 sec1tan
II.2 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Ejercicios para Resolver en Clases:
1. Resolver las siguientes integrales
a) b)
c)
dxxsenx cos32
dxxxcotcsc1
dxsenxx2sec
II.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Entre ambas ramas existe una relación descubierta independientemente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, que se denomina Teorema Fundamental del Cálculo, el cual afirma que la diferenciación e integración son operaciones mutuamente inversas.
Ramas del Cálculo
Cálculo Diferencial
Cálculo Integral
Teorema Fundamental de Cálculo
Si f(x) es una función continua en [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b] entonces:
Para aplicarlo se va a utilizar la siguiente notación:
b
a
aFbFdxxf )()(
II.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
b
a
ba aFbFxFdxxf )()(
Propiedades de la Integral Definida
Sea f(x) una función integrable en [a, b], entonces:
1. Si k es cualquier constante entonces:
2. Si g(x) es una función integrable en [a, b], entonces:
dxxfkdxxkfb
a
b
a
II.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
dxxgdxxfdxxgxfb
a
b
a
b
a
Propiedades de la Integral Definida
3. Sea c є [a, b], es decir, a<c<b. Entonces f es integrable en [a, b], si solo si f es integrable en [a, c] y en [c, b]:
4. La integral definida sobre un punto es cero, esto es:
dxxfdxxfdxxfb
c
c
a
b
a
II.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
0 dxxfa
a
Propiedades de la Integral Definida
5. La integral definida de a a b de f es igual a menos la integral definida de b a a de f, es decir:
dxxfdxxfa
b
b
a
II.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Ejemplo
Resuelva las siguientes integrales:
1.
2.
dxx 1
2
2 3
II.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
dxx4
1
3
Solución:1. Geométricamente la integración de la función (1)
en el intervalos [1, 2] es el área de la región sombreada:
II.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
1
2
1
2
2 3dxdxxdx3x1
2
2
121
2
3
33
xx
6338
31
32
Solución:2. Geométricamente la integración de la función (2)
en el intervalos [1, 4] es el área de la región sombreada:
II.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
14
4
1
2/34
1
21
2/333
xdxx /dxx3
4
1
2/32/3 1242
Ejercicios para Resolver en Clase
Resolver las siguientes integrales:
1.
2.
3.
dxx1
0
2
II.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
dxx
0
1
2
dxxx
1
0 3
Ejercicios de Tarea
Resolver las siguientes integrales:
1.
2.
3.
dxx
2
12
13
II.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
dxx
1
1
3 2
dxx
x4
1
2
Método de SustituciónSea g una función cuyo rango es un intervalo I, y sea f una función continua en I. Si g es diferenciable en su dominio y F es una primitiva de f en I, entonces:
Si hacemos el cambio de variable u=g(x) entonces du=g’(x)dx y:
Este método es comparable a la regla de la cadena en la diferenciación.
II.4 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
CxgFdxxgxgf '
CuFduuf
Ejemplo:
1. Resolver la integral:
Solución:
II.4 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
dxxx 13 32
duuduudxxx 2/132 13
dxxdu
xu2
3
3
1
CuCu
2/32/3
32
23
C1x32 33 cx
2/33 132
Ejercicios para Resolver en Clases
1. Resuelva las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
II.4 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
dxxx 42 12
dxxx 22 1
dxxx 5cos5
Existen dos métodos para evaluar una integral definida por sustitución.
Uno de ellos es evaluar primero la integral indefinida y en seguida aplicar el TFC, por ejemplo:
II.4.1 SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS
4
0
2/34
0
4
0 2/312
21
21221
12
xdxxdxx
326
12731
131
931
1231 2/32/3
4
0
2/3x
El otro método suele ser el mas adecuado, en este se cambian los límites de integración cuando se cambie la variable, como se explica a continuación:
Si g’ es continua sobre el intervalo [a, b] y f lo es sobre el rango de u=g(x) entonces
II.4.1 SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS
duufdxxgxgfbg
ag
b
a
)(
)(
'
Ejemplo
SoluciónTomando la sustitución u=2x+1 tenemos que
Hallamos los nuevos límites de integración:
II.4.1 SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS
dxx 4
0
12
dxdu 2 dudx21
110200 ux
914244 ux
II.4.1 SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS
Por lo tanto:
duu 9
1
dx12x4
0
912/39
1
2/3
9
1
2/39
1
2/1
31
32
21
322
121
uuu
duu
326
2/32/3 1931
II.4.1 SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS
Ejemplo:Evaluar la siguiente integral dxxx
1
0
32 1
xdxdu
xu
2
12
xdxdu
21 11000 2 ux
21111 2 ux
duuduu 2
1
32
1
3
21
21
815
44 1281 214
2
1
4
81
421
uu
Ejercicios para Resolver en Clase
Evaluar las siguientes integrales:
1.
2.
3.
II.4.1 SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS
dxx
x
5
1 12
dxxxe
1
ln
dxx 7
3
3
Ejercicios de Tarea
Calcular las siguientes integrales
1.
2.
3.
II.4 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
dxx
xx
732
dxxx
1
1
32 1
dxxx 292
Sea f y g funciones diferenciables en un intervalo I, entonces:
Se puede utilizar otra notación, que es más fácil de recordar, la cual se muestra a continuación:
II.5 INTEGRACIÓN POR PARTES
dxxfxgxgxfdxxgxf ''
)(
)(
xgv
xfu
dxxgdv
dxxfdu
)('
)('
vduuvudv
Ejemplo
Solución
De manera que:
II.5 INTEGRACIÓN POR PARTES
dxxsenxxudxdu
senxdvxv cos
dxxxxdxxxxdxxsenx coscoscoscos
Csenxxcosx
II.5 INTEGRACIÓN POR PARTES
SoluciónNotamos que si hubiéramos elegido u=senx y dv=xdx, entonces du=cosx y v=x2/2 por lo que:
es una integral mas difícil de calcular.
dxxsenx
dxxxsenxx
dxxsenx cos21
22
2
dxcosxx2
Ejemplo
Solución
De manera que:
La integral obtenida es mas sencilla que la inicial pero aun no es obvia, por lo cual hay que volver a aplicar la integración por partes.
II.5 INTEGRACIÓN POR PARTES
dxex x 2
2xuxdxdu 2
dxedv xxev
dxxeexdxex xxx 222
II.5 INTEGRACIÓN POR PARTES
dxxexxu dxdu dxedv x xev
Cexedxexedxxe xxxxx 2
Sustituyendo el resultado de la segunda ecuación tenemos que: Cexeexdxxeexdxex xxxxxx 22 222
1xxx2 C2e2xeex CC 21
Ejercicios para Resolver en Clase
Resuelva las siguientes integrales:
1.
2.
3.
4.
II.5 INTEGRACIÓN POR PARTES
dxxln
dxsenxexdxxx ln2
dxx 3sec
II.5 INTEGRACIÓN POR PARTES
Fórmula de Integración por Partes para Integrales Definidas
b
a
b
a
ba vduuvudv
II.5 INTEGRACIÓN POR PARTES
Ejemplo
De donde:
Por lo tanto:
dxxex1
0
dxdu
xu
x
x
ev
dxedv
101
0
1
0
1
0
1
0
xxxxx exedxexedxxe 1 10 ee
Ejercicios de Tarea
Resuelva las siguientes integrales:
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4.
II.5 INTEGRACIÓN POR PARTES
dxxe x 2
dxxx cos
dxxsen 1
dxsen cos
dxxx2
0
2cos
dxx4
1
ln
dxxx 1
0
1tan