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SIMON BOLIVAR

Análisis de series de tiempo

Quinta clase

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Modelos ARMA

• Son combinaciones de lo anterior; para un proceso estacionario con media cero

0

0

)()(

q

p

tt wBxB

)1( 1

11111

p

qtqtttptt wwwxxx

distinta de cero

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Identificación de modelos

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Predicción (Conceptos Básicos)

• Se busca pronosticar los valores de la serie {xt} (ojo, puede ser multivariada) para los tiempos T+1, ..., T+H conociendo la historia del proceso hasta el tiempo T.

• H es el horizonte de predicción

es el pronóstico.

• Teorema: La esperanza condicional de xT+h dado el pasado es un estimador insesgado de xT+h , y no hay otro predictor que condicional en el pasado tenga variancia mas pequeña. Esta variancia es el MSFE (mean-square forecast error)

• Obsérvese que el MSFE es UN criterio para escoger un pronóstico, no es el único!.

)hasta nInformació(~ Tfx hhT

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Predicción

• Estamos usando filtros lineales, asi que parace natural buscar la predicción basada en combinaciones lineales

• Caso AR es facil: ARMA no tanto!

1;

),,|(

predicción deia la variancMinimizar

00

1

xxx

xxxExn

kkk

nmn

nmnn

mn

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Error de predicción

m

jjwmnmn

nmn

mjjmnjmn

xxEP

wx

0

222)~(

~

En R se puede usar la función genérica “predict” para hacer las prediccionesy los errores de predicción

Predicción a largo plazo: va a la media ! con error constante

Ver ejemplo del GNP en R

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ARIMA y SARIMA

• Series integradas: – Se llaman asi por qué son las derivadas las que se comportan como

serie estacionaria

– No trabajar con la serie original sino con la serie de los incrementos de algún orden:

– Ejemplo con la serie de glacial

• SARIMA– Season = (estación)

ts

qts

P wBxB )()(

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Análisis espectral

Time

c

0 100 200 300 400 500

-20

12

Time

c +

w

0 100 200 300 400 500

-40

24

Time

c +

5 *

w

0 100 200 300 400 500

-10

010

• Las series presentan ‘regularidades’ que pueden interpretarse como solapamiento de ‘ondas’ periodicas.

• La idea del análisis espectral es transformar la serie al dominio de la frecuencia

• Ciclo: Un período completo de una onda sinusoidal

• Ciclos por observación es la convención que usa el libro

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Análisis espectral

)2sin()2cos( 21 tUtUx kkkkt

• Suponiendo las variables independientes)2sin()2cos(

)2cos(

21 tUtU

tAxt

Ui ~ N(0,) A2 ~ 2

medida en ciclos por unidad de tiempo o en ciclos por punto temporal en el caso discreto.

o Para series medidas en tiempos discretosse requiere de al menos dos puntos para obtener un ciclo, por lo que la frecuencia

másalta será 0.5 ciclos por punto.

)2cos()( 2 hh kk

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Superposición de sinusoidales con diferente frecuencias. ... agréguese ruido ...

freq=6/100, amp^2=13

Time

x1

0 20 40 60 80 100

-15

-55

15

freq=10/100, amp^2=41

Time

x2

0 20 40 60 80 100

-15

-55

15

freq=40/100, amp^2=85

Time

x3

0 20 40 60 80 100

-15

-55

15

sum

Time

x

0 20 40 60 80 100

-15

-55

15

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Periodograma

)/(ˆ)/(ˆ)/(

Energia""

)/2sin(2

)/(ˆ

)/2cos(2

)/(ˆ

donde

)/2sin()/(ˆ)/2cos()/(ˆ

22

21

12

11

2

2/

01

njnjnjP

ntjxn

nj

ntjxn

nj

ntjnjntjnjx

n

tt

n

tt

n

jt

Regresión de x sobre todas las sinusoidales con ciclos por punto, menores que 0.5

El periodograma puede ser visto como una medida de la correlación de los datos con sinusoidales oscilando a frecuencias j/n.

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Señal vs Señal y ruido

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

020

4060

80

frequency

perio

dogr

am

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2040

6080

frequency

perio

dogr

am

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Densidad espectral

)2sin()2cos(

)2cos(

21 tUtU

tAxt

0

02

0

20

2/1

2/1

2

22

02

2

0

)(

)(

)(2

)2cos()(

0

U

U

hi

hiU

U

F

dFe

e

hh

Para cualquier proceso estacionariose tiene una representación de lafunción de autocovariancia

2/1

2/1

2 )()( dFeh hi

F Función de distribución espectral

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Densidad espectral

hi

hi

ehf

dfeh

f

h

2

2/1

2/1

2

)()(

:aún Más

)()(

funciónuna existe

sumable nteabsolutame es )( general

términode seriela Si

f se le llama densidad espectral ; Ojo: Ver variancia del proceso como la integral de la densidad espectral sobre todas las frecuencias

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Ejemplos

• Ruido blanco– Potencia uniforme sobre todas las frecuencias

• Promedio móvil de ruido

• ARMA

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Estimación del periodograma

• Periodograma y la transformada de Fourier discreta

22

:

2

1

22/1

)()(2

con

)()()(

/;)(

ónDistribuci

j

nj

j

jj

j

n

t

titj

fI

fdI

njexnd j

En R esta implementada la función spec.pgram

El periodograma crudo noes un estimador consistente

Usualmente se suaviza (se promedia sobre valores adyacentes) y en ese caso ladistribucion asintótica eschi-cuadrado con más gradosde libertad...(menos incertidumbre)