III.- Conducción de Calor en Régimen Estacionario

III.- CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN ESTACIONARIO EN

FUNCIÓN DE DOS O MAS VARIABLES

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III.1.- MÉTODO ANALÍTICO

En los casos de conducción de calor estudiados se ha supuesto que la distribución de temperaturas

era función de una sola variable, (sistemas unidimensionales), en régimen estacionario. En el presen-

te capítulo vamos a estudiar la conducción térmica en función de dos o más variables independientes

en régimen estacionario, y aunque las soluciones analíticas obtenidas para estos casos tengan muy

poco valor práctico, se incluyen para hacer resaltar las técnicas matemáticas que han de utilizarse en

casos más complejos y de mayor utilidad que se abordarán en el régimen transitorio.

Cuando se tenga más interés en los resultados finales que en el desarrollo matemático de las solu-

ciones, la obtención de éstas en algunos problemas de importancia práctica se han conseguido con

ayuda de gráficas relativamente sencillas.

Conducción en régimen permanente en placas rectangulares.- Vamos a estudiar en primer

lugar la conducción en régimen permanente de una placa rectangular como la representada en la Fig

III.1.

Para calcular la distribución de temperaturas en la placa utilizaremos coordenadas cartesianas,

considerando como plano (x,y) el de la placa y como origen de coordenadas el vértice.

Supondremos que no existe conducción en la dirección z, normal a la placa; ésto se cumplirá si la

placa tiene una gran longitud en esta dirección, sólido infinito, de forma que no se produzcan efectos

de borde L >> b; L >> a, o que éstos efectos sean despreciables, o si las caras x, y están aisladas térmi-

camente.

La ecuación de conducción del calor para el régimen permanente, en coordenadas cartesianas y

dos dimensiones es

∂2T∂x2 + ∂

2T∂y2 = 0 , que es una ecuación diferencial lineal a la que se puede aplicar

el principio de superposición.

La solución de la ecuación anterior se obtiene suponiendo que la distribución de temperaturas se

puede expresar como el producto de dos funciones, cada una de las cuales depende solamente de una de

III.-47

las variables independientes; es decir, que si

X(x) es únicamente función de x Y(y) es únicamente función de y

, podemos suponer que

la temperatura viene dada por: T = X ( x ) Y ( y )

Sustituyendo este valor en la ecuación diferencial de partida y ordenando la expresión resultante,

se tiene:

Y ∂

2 X∂x2 + X ∂

2Y∂y2 = 0 ; - 1

X ∂2 X∂x 2 = 1

Y ∂2Y∂y2

Como cada miembro de esta ecuación depende sólo de una variable, los dos miembros tienen que

ser iguales a una constante λ2 por lo que se puede poner:

- 1

X ∂2 X∂x 2 = 1

Y ∂2Y∂y2 = λ2

sistema que es equivalente al de las dos ecuaciones diferenciales siguientes:

∂2 X∂x2 + λ 2 X = 0

∂2Y∂x 2 - λ2Y = 0

⇒ cuyas soluciones son:

Y = B1 Sh (λ y) + B2 Ch (λ y )X = B3 sen (λ x ) + B4 cos (λ x )

por lo que la distribución de temperaturas es:

T = {B1 Sh (λ y ) + B2 Ch (λ y )} { B3 sen (λ x ) + B4 cos (λ x )}

en la que λ y las B son constantes que hay que determinar mediante las condiciones de contorno.

Placa rectangular con una distribución de temperatura dada en una arista y nula en

las demás.- Consideremos la placa rectangular de la Fig III.2 de dimensiones respectivas a y b, se-

gún los ejes x e y.

Fig III.1 Fig III.2

Se puede suponer que la temperatura es nula en los bordes (x = 0), (x = a), (y = 0) y variable en el

borde (y = b), que se puede representar como f(x) en el campo 0 ≤ x ≤ L, de forma que se opera como si

fuese conocida. La anulación de la temperatura en los otros bordes no es esencial, pues basta conque

se mantenga constante, tal como Tc, por lo que el problema se puede reducir al expuesto anteriormen-

te mediante la superposición de una constante -Tc a toda la configuración.

Las condiciones de contorno que han de aplicarse a la ecuación general para la determinación de

las constantes son, Fig III.2, las siguientes:III.-48

Para:

x = 0 , T = 0 ; x = a, T = 0y = 0 , T = 0 ; y = b, T = f ( x )

La aplicación de las condiciones

y = 0, T = 0 ⇒ B2= 0x = 0, T = 0 ⇒ B4= 0

⇒ que la ecuación general se reduzca a:

T = B1 Sh (λ y ) B3 sen (λ x ) = B Sh (λ y ) sen (λ x )

en la que B sustituye al producto: B = B1 B3

La aplicación de la condición: x = a, T = 0 ⇒ 0 = B Sh (λ y ) sen (λ a )

Para que esta ecuación se cumpla para todos los valores de y, es necesario que: sen (λ a ) = 0 , que

se satisface para: λ = 0, πa,

2 πa

, ... y, en general, por: λn= π n

a, siendo n = 0, 1, 2,...

Para cada valor de n se obtiene un valor de λ que proporciona una solución diferente de la ecua-

ción:

T = B Sh (λ y ) sen (λ x )

por lo que la solución general será la suma de todas estas soluciones parciales, por lo que:

T =

n=0

∞

∑ Bn Sh (λn y) sen (λn x)

en la que Bn representa la constante B para cada una de las soluciones.

Para: n = 0 ⇒ λn = 0, por lo que el primer sumando de la serie se anula, obteniéndose:

T =

n=1

∞

∑ Bn Sh (λn y) sen (λn x)

La aplicación de la condición, y = b, T= f(x), conduce al cálculo de Bn

T = f(x) =

n=1

∞

∑ Bn Sh (λn b) sen (λn x), con λn= π na , n = 0, 1, 2, 3, ... ; 0 ≤ x ≤ a

En una serie infinita de funciones: sen (λ1x), sen (λ2 x), sen (λ3x ), ... , sen (λn x ), ..., éstas son orto-

gonales, cuando se cumple que:

0

a

∫ sen(λ ix) sen(λ j x) dx = 0, con: i ≠ j

y tiene un valor determinado en un instante considerado.

Por lo tanto, si la serie:

T = f(x) =

n=1

∞

∑ Bn Sh (λn b) sen (λn x) = B1 Sh (λ1b) sen (λ 1x) + ... + Bn Sh (λnb) sen (λn x)

es convergente e integrable, y la multiplicamos por sen (λnx), se obtiene:

0

a

∫ f(x) sen (λn x) dx = B1 Sh (λ1b) 0

a

∫ sen (λ1x) sen (λn x) dx + ... + Bn Sh (λn b) 0

a

∫ sen2(λn x) dx + ...

Por definición de ortogonalidad se hacen cero todas las integrales del segundo miembro, menos la

III.-49

correspondiente al coeficiente Bn por lo que:

Bn Sh (λn b) = 0

a

∫ f(x) sen (λn x) dx

0

a

∫ sen 2(λnx) dx = 2

a 0

a

∫ f(x) sen(λn x) dx

por lo que la expresión de la distribución de temperaturas toma la siguiente forma:

T = 2a

n=1

∞

∑Sh (λn y)Sh (λnb) sen(λn x)

0

a

∫ f(x) sen(λn x) dx = 2a

n=1

∞

∑Sh π n y

aSh π n b

a

sen π n xa

0

a

∫ f(x) sen π n xa dx

El calor que atraviesa una superficie se determina a partir de la ecuación de Fourier, particulari-

zando para dicha superficie e integrando a lo largo de ella.

Para el caso particular del calor transmitido a través de la superficie (x = 0), por unidad de longi-

tud, perpendicular al plano (x, y), se tiene:

Qx=0=

y=0

b

∫ k ∂T(x , y)

∂x 〉x=0 dy =

= y=0

b

∫ {- 2 ka

n=1

∞

∑Sh π n y

aSh π n b

a

cos π n xa π n

a 0

a

∫ f(x) sen π n xa dx + f(x) sen π n x

a sen π n xa }x=0 dy =

= y=0

b

∫ - 2 ka

n=1

∞

∑Sh π n y

aSh π n b

a

π na

0

a

∫ f(x) sen π n xa dx〉 dy =

= - 2 ka

n=1

∞

∑Ch π n y

a)0b

π na

Sh π n ba

π na

0

a

∫ f(x) sen π n xa dx = - 2 k

a n=1

∞

∑Ch π n b

a - 1

Sh π n ba

0

a


Placa con un borde a temperatura uniforme.- En el caso particular Fig III.3 de que el borde

(y = b) se mantenga a temperatura constante, f(x) = T0, y teniendo en cuenta que:

0

a

∫ T0 sen π n xa dx =

T0 aπ n {1 - (-1)n }

la ecuación anterior se convierte en:

TT0

= 2 n=1

∞

∑Sh π n y

aSh π n b

a

1 - (-1)n

π n sen π n xa = 4

n=1,3,..

∞

∑ Sh π n y

aSh π n b

a

sen π n x

aπ n

que permite calcular la temperatura en cualquier punto de la placa.

En la Fig III.5 se representa la forma de las isotermas de una placa rectangular calentada por un

borde.

- Si el borde caliente es la base inferior, y los demás están a T = 0, la solución se encuentra cam-

biando y por (b - y):

TT0

= 4n=1,3,

∞

∑ Sh π n (b - y)

aSh π n b

a

sen π n x

aπ n

III.-50

Fig Fig III.3 Fig III.4

Fig III.5.- Isotermas de una placa rectangular con un borde caliente

- Si el borde caliente es el correspondiente a (x = a) y los demás están a T = 0, la solución se en-

cuentra cambiando y por x ; x por y ; a por b ; b por a:

TT0

= 4n=1,3,

∞

∑ Sh π n x

bSh π n a

b

sen π n y

bπ n

- Si el borde caliente es el correspondiente a (x = 0) y los demás están a T = 0, la solución se en-

cuentra cambiando en el caso anterior, x por (a - x):

TT0

= 4n=1,3,

∞

∑ Sh π n (a - x)

bSh π n a

b

sen π n y

bπ n

Placa rectangular con distribución de temperaturas en dos bordes opuestos.- La placa rec-

tangular con distribución de temperaturas en dos bordes opuestos se puede reducir al caso anterior

mediante una simple superposición. Consideremos, por ejemplo, el caso que se presenta en la Fig

III.4, en el que la placa tiene la distribución,

T = f ( x ), para ( y = b )T = ϕ ( x ), para ( y = 0 )

.

Si se mantienen los otros bordes a T = 0, se tiene:

∂2T∂x2 + ∂

2T∂y2 = 0 ; Para:

y = b , T = f ( x ) y = 0 , T = ϕ ( x )

; x = 0 , T = 0 x = a , T = 0

Debido al carácter lineal de la ecuación diferencial se puede reducir a dos sistemas más sencillos,

definiendo u y v de modo que: T = u + v

Los símbolos u y v se emplean para designar las soluciones de los dos sistemas siguientes:

∂2u∂x2 + ∂

2u∂y2 = 0 ; Para:

y = b ; u = f ( x ) y = 0 ; u = 0

; x = a ; u = 0 x = 0 ; u = 0{

∂2v∂x2 + ∂

2v∂y2 = 0 ; Para:

y = b ; v = 0 y = 0 ; v = ϕ( x )

; x = 0 ; v = 0 x = a ; v = 0

La solución del sistema de la primera de estas ecuaciones es:

u = 2a

n=1

∞

∑Sh π n y

aSh π n b

a

sen π n xa

0

a


III.-51

Si:

f(x) = T0 ; u = 4 T0n=1,3...

∞

∑ Sh π n y

aSh π n b

a

sen π n x

aπ n

Mediante el cambio de variable (y’ = b - y) la solución anterior se aplica a la segunda ecuación, que-

dando:

v = 2a

n=1

∞

∑Sh π n (b - y)

aSh π n b

a

sen π n xa

0

a


La solución de la ecuación

∂2T∂x2 + ∂

2T∂y2 = 0 , con sus condiciones de contorno, es la suma de las an-

teriores:

T = 2a

n=1

∞

∑sen π n x

aSh π n b

a

( Sh π n y

a + Sh

π n (b - y)a

) 0

a

∫ f(x) sen π n xa

dx

Distribución de temperaturas en mas de una superficie de contorno.- Una generalización

para cuando varias superficies tengan temperaturas diferentes, como es el caso de la placa que se pro-

pone en la Fig III.6 con diferentes condiciones de contorno, la ecuación diferencial de la distribución

de temperaturas es:

∂2T∂x2 + ∂

2T∂y2 = 0 ; Para:

y = b ; T = f2 ( x ) y = 0 ; T = T2

; x = 0 ; T = T1 x = a ; T = f1( y )

que se transforma, restando a todas las caras T1, en:

∂2Φ∂x 2 + ∂

2Φ∂y 2 = 0 ; Para:

y = b ; Φ = f2 ( x ) − T1 y = 0 ; Φ = T2- T1

; x = 0 ; Φ = 0 x = a ; Φ = f1 ( y)- T1

Este sistema se puede descomponer en otros tres de la forma:

∂2Φ1∂x 2 +

∂2Φ1∂y2 = 0 ; Para:

y = b ; Φ1 = 0 y = 0 ; Φ1 = T2 - T1

; x = 0 ; Φ1= 0 x = a ; Φ1 = 0

Fig III.6.- Distribución de temperaturas en más de una superficie de contorno

III.-52

∂2Φ 2∂x2 +

∂2Φ 2∂y2 = 0 ; Para:

y = b ; Φ 2 = 0 y = 0 ; Φ 2 = 0

; x = 0 ; Φ2 = 0 x = a ; Φ 2 = f1(y) - T1

∂2Φ 3∂x2 +

∂2Φ3∂y 2 = 0 ; Para:

y = b ; Φ3 = f2(x) - T1 y = 0 ; Φ3 = 0 ;

x = 0 ; Φ 3 = 0 x = a ; Φ3 = 0

por cuanto sumando dichos sistemas de ecuaciones se recompone el sistema inicial

∂2Φ∂x 2 + ∂

2Φ∂y 2 = 0

con: Φ ( x , y ) = Φ1 ( x, y ) + Φ 2 ( x, y ) + Φ 3 ( x, y) , y la distribución de temperaturas:

T( x, y) = T1+ Φ1( x, y) + Φ 2( x, y) + Φ3 ( x , y )

como suma de soluciones que hemos analizado anteriormente.

Condición de contorno de convección.- Cuando exista convección en una o en varias caras del

sólido se efectúa un análisis similar al visto anteriormente; si a través de la cara (x = a) existe un in-

tercambio térmico con un fluido exterior a TF, se tienen las siguientes condiciones de contorno:

∂2Φ∂x 2 + ∂

2Φ∂y 2 = 0 ; Para:

y = b ; Φ = 0 y = 0 ; Φ = 0 ;

x = 0 ; Φ = 0

x = a ; - k dΦ(xy)dx

〉x=a= hC(T1- TF)

Se resuelven matemáticamente las expresiones resultantes y las constantes A1, A2, B1, B2 y λ, de

las que sólo son independientes cuatro de ellas, en función de la nueva condición de unicidad. Final-

mente se superponen las soluciones y se calcula la distribución final de las temperaturas reales.

Conducción en un cilindro circular de longitud finita.- Vamos a estudiar la conducción esta-

cionaria de un cilindro sólido de longitud finita L y radio exterior R, en dos dimensiones espaciales,

tal como el de la Fig III.8.

Si la distribución de temperaturas es función de la coordenada radial r, y de la axial z, T= T(r,z), e

independiente de la coordenada circunferencial y suponiendo existe una simetría axial para las condi-

ciones de contorno, la ecuación de conducción general en coordenadas cilíndricas, se reduce a:

1r ∂∂r ( r ∂T

∂r ) + ∂2T∂z 2 = 0 ; ∂

2T∂r 2 + 1

r ∂T∂r + ∂

2T∂z 2 = 0

Este caso es un problema de conducción bidimensional, aunque las condiciones de contorno sean

independientes de la coordenada; la distribución de temperaturas es la solución general de la ecua-

ción anterior.

Mediante un método similar buscamos una solución de la forma: T = R( r ) Z( z ) , siendo R(r) y Z(z)

función de las variables r y z respectivamente; sustituyendo en:

Fig III.7 Fig III.8

III.-53

∂2T∂r 2 + 1

r ∂T∂r + ∂

2T∂z 2 = 0

y ordenándola en r y z, se obtiene: 1R ∂

2 R∂r 2 + 1

r 1R ∂R

∂r = - 1Z ∂

2Z∂z2 , en la que el miembro de la derecha

es función de z y el de la izquierda de r.

Como los dos miembros son iguales y función de diferentes variables, ambos habrán de ser iguales

a una constante - λ2, obteniéndose así un sistema de dos ecuaciones diferenciales:

1R ∂

2 R∂r 2 + 1

r 1R ∂R

∂r = - 1Z ∂

2Z∂z2 = - λ2

∂2 R∂r 2 + 1

r ∂R∂r

+ λ2 R = 0

∂2 Z∂z 2 - λ 2Z = 0

⇒

R = B1 J0 (λ r ) + B2 Y0 ( λ r ) Z = B3 Sh (λ z ) + B4 Ch (λ z )

La primera de estas ecuaciones es la función de Bessel de orden cero, mientras que la segunda

conduce a funciones hiperbólicas; las expresiones J0(λr) y Y0(λr), son las funciones de Bessel de prime-

ra y segunda especie, respectivamente, y orden cero.

Por consiguiente, aplicando las definiciones de R y de Z de la ecuación, T = R(r) Z(z), la solución de

la ecuación en coordenadas cilíndricas se puede expresar en la forma:

T = { B1 J0 (λ r ) + B2 Y0 (λ r )} { B3 Sh (λ z ) + B4 Ch (λ z )}

Si en el cilindro de la Fig III.8 se mantienen todas las superficies a temperatura nula, excepto en

la base superior del cilindro (z = L) donde supondremos una temperatura f(r), la ecuación que propor-

ciona la distribución de temperaturas a través del cilindro se obtiene teniendo en cuenta las siguien-

tes condiciones:

Para: z = 0, T = 0

Para: z = L, T = f(r)

Para: r = R, T = 0

Para: r = 0, la temperatura debe ser finita en r = 0, por lo que Y0(0)→ -∞, para (λ r→ 0), es decir, B2 = 0

- Por la condición (z = 0, T = 0) se tiene, B4 = 0, quedando: T = B J0 (λ r ) Sh (λ z )

- La aplicación de la condición (r = R, T = 0) exige que: 0 = B J0 ( λ R) Sh (λ z )

y para que esta condición pueda ser satisfecha por todos los valores de (λ R) comprendidos entre 0 y L,

es necesario que:

J0 ( λn R) = 0

Las tablas de valores de J0(λ R) indican que J0 toma valores nulos según una sucesión de valores

de (λn R) que difieren entre sí una cantidad que tiende a 2 π conforme λn R →∞; por consiguiente, hay

un número infinito de valores de λ que satisfacen J0(λn R) = 0.

Tabla III.1.- Valores de las funciones de Bessel J0(x)= 0 y J1(x)= 0

2,4048 5,5201 8,6537 11,7915 14,9309 18,07113,8317 7,0156 10,1735 13,3237 16,4706 19,6159

J 0 (x ) = 0J 1 ( x) = 0

III.-54

La solución general es la suma de las correspondientes a cada una de las λn de la forma:

T =

n=1

∞

∑ Bn Sh (λn z) J0(λn r)

- La aplicación de la condición {z = L, T = f(r)} permite determinar los valores de Bn si la serie si-

guiente es convergente:

f(r) =

n=1

∞

∑ Bn Sh (λn L) J0(λn r) = B1 Sh (λ1L) J0(λ1r) + ... + Bn Sh (λn L) J0(λn r)

para lo cual las funciones, J0(λ1 r), J0(λ2 r),..., J0(λn r), deben formar un agrupamiento ortogonal en el

intervalo, 0 ≤ r ≤ R , con respecto a un factor ponderal r.

Los valores de B son constantes que hay que determinar; si la serie es convergente e integrable, se

puede poner:

0

R

∫ r f(r) J0 ( λn r) dr = B1 Sh ( λ1L)0

R

∫ r J0 (λ1r) J0 (λn r) dr + B2 Sh (λ2L )0

R

∫ r J0 (λ2r ) J0 (λnr ) dr + ...

... + Bn Sh (λn L)

0

R

∫ r J02 ( λn r) dr + ...

Por definición de ortogonalidad: 0

R

∫ r J0 (λ ir) J0 ( λ j r) dr = 0, con: i ≠ j , todas las integrales del se-

gundo miembro a excepción de la última, son cero, es decir:

0

R

∫ r f ( r ) J0 (λnr ) dr = Bn Sh (λn L ) 0

R

∫ r J02 ( λn r ) dr

en la que: 0

R

∫ r J02( λn r ) dr = R2

2 { J02 (λn R) + J1

2( λn R )} = R2 J1

2 ( λn R )2

Bn Sh( λn L ) = 0

R

∫ r f ( r ) J0 ( λn r ) dr

R2

2 J1

2 ( λn R )

obteniéndose la siguiente distribución de temperaturas:

T = 2

R2 n=1

∞

∑Sh( λn z) J0 ( λn r )

Sh( λn L ) J12 (λn R)

0

R

∫ r f ( r ) J0 ( λn r ) dr

En el caso particular de que la temperatura en la base superior sea constante, f(r) = T0, permane-

ciendo nula en las restantes superficies, y teniendo en cuenta que:

0

R

∫ r J0 (λnr ) dr = R λn

J1( λn R ) , resulta:

TT0

= 2 n=1

∞

∑ 1λn R

Sh( λnz ) J0 (λnr )Sh(λn L ) J1( λn R )

En el caso de que la temperatura en las demás superficies tenga un valor constante en vez de ser

nula, T0 se interpreta sencillamente como la diferencia entre la temperatura en el extremo (z = L) y

este valor constante.

El principio de superposición se puede aplicar a la resolución de otros casos, como la distribución

de temperaturas en un cilindro calentado a temperatura uniforme en los extremos, y a temperatura

III.-55

Tabla III.2.- Valores de las funciones de Bessel J0(x) y J1(x)

x0,00 1,0000 0,00000,05 0,9993 0,02490,10 0,9975 0,04990,15 0,9943 0,07470,20 0,9900 0,09950,25 0,9844 0,12400,30 0,9776 0,14830,35 0,9696 0,17230,40 0,9604 0,19600,45 0,9500 0,21930,50 0,9384 0,24220,55 0,9257 0,26470,60 0,9120 0,28670,65 0,8971 0,30810,70 0,8812 0,32900,75 0,8642 0,34920,80 0,8462 0,36880,85 0,8273 0,38770,90 0,8075 0,40590,95 0,7867 0,42331,00 0,7652 0,44001,05 0,7428 0,45591,10 0,7196 0,47091,15 0,6957 0,49501,20 0,6711 0,49821,25 0,6459 0,51061,30 0,6200 0,52201,35 0,5937 0,53241,40 0,5668 0,54191,45 0,5395 0,55041,50 0,5118 0,55791,55 0,4837 0,56441,60 0,4554 0,56991,65 0,4267 0,57431,70 0,3979 0,57771,75 0,3690 0,58011,80 0,3399 0,58151,85 0,3109 0,58181,90 0,2818 0,58111,95 0,2528 0,57942,00 0,2238 0,57672,05 0,1951 0,57302,10 0,1666 0,56822,15 0,1383 0,5626

J1(x)J0(x)

x2,20 0,1103 0,55592,25 0,0827 0,54832,30 0,0555 0,53982,35 0,0287 0,53042,40 0,0025 0,52012,45 -0,0232 0,50902,50 -0,0483 0,49702,55 -0,0729 0,48432,60 -0,0968 0,47082,65 -0,1199 0,45652,70 -0,1424 0,44162,75 -0,1641 0,42592,80 -0,1850 0,40972,85 -0,2051 0,39282,90 -0,2243 0,37542,95 -0,2426 0,35743,00 -0,2600 0,33903,05 -0,2765 0,32013,10 -0,2920 0,30093,15 -0,3066 0,28123,20 -0,3201 0,26133,25 -0,3327 0,24113,30 -0,3443 0,22063,35 -0,3548 0,20003,40 -0,3643 0,17923,45 -0,3727 0,15833,55 -0,3864 0,11643,65 -0,3960 0,07453,70 -0,3923 0,05383,75 -0,4014 0,03323,80 -0,4025 0,01283,85 -0,4026 -0,00733,90 -0,4018 -0,02723,95 -0,3999 -0,04684,00 -0,3971 -0,06604,05 -0,3933 -0,08484,10 -0,3886 -0,10324,15 -0,3830 -0,12124,20 -0,3765 -0,13864,25 -0,3692 -0,15554,30 -0,3610 -0,17194,35 -0,3520 -0,18764,40 -0,3422 -0,20274,45 -0,3370 -0,2172

J0(x) J1(x)

x4,50 -0,3205 -0,23104,55 -0,3086 -0,24414,60 -0,2961 -0,25654,65 -0,2830 -0,26814,70 -0,2693 -0,27904,75 -0,2551 -0,28914,80 -0,2404 -0,29854,85 -0,2252 -0,30704,90 -0,2097 -0,31464,95 0,1938 0,32155,00 -0,1776 -0,32755,10 -0,1443 -0,33715,20 -0,1103 -0,34325,30 -0,0758 -0,34605,40 -0,0412 -0,34535,50 -0,0068 -0,34145,60 0,0270 -0,33435,70 0,0599 -0,32415,80 0,0917 -0,31105,90 0,1220 -0,29516,00 0,1506 -0,27676,10 0,1773 -0,25596,20 0,2017 -0,23296,30 0,2238 -0,20816,40 0,2433 -0,18166,50 0,2601 -0,15386,6 0,27404 -0,124986,8 0,29310 -0,062527,0 0,30007 -0,004687,2 0,29507 0,054327,4 0,27859 0,109637,6 0,25160 0,159217,8 0,25541 0,201368,0 0,17165 0,234648,2 0,12222 0,258008,4 0,06916 0,270798,6 0,01462 0,272758,8 -0,03923 0,264079,0 -0,09033 0,245319,2 -0,13675 0,214719,4 -0,17677 0,181639,6 -0,20898 0,139529,8 -0,23227 0,0928410,0 -0,24594 0,04347

J1(x)J0(x)

Fig III.9.- Distribución axial de la temperatura en un cilindro sólido de longitud finita

III.-56

cero en la superficie lateral, que se puede encontrar sumando dos soluciones de la forma de la ecua-

ción anterior.

En la Fig III.9 se ha representado la distribución de la temperatura en el eje, r = 0, para el cilin-

dro sólido calentado a temperatura constante en una base y en las dos bases; la solución se consigue

por superposición a partir del primer caso.

DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS EN SECCIONES RECTANGULARES

a) Rectángulo infinito con distribución de temperatura inicial en, x = 0

x = 0 ; −∞ < y < +∞ ; T = f(y)x = a ; −∞ < y < +∞ ; T = 0

T(x,y) = 12 a

-∞

+∞

∫ f(y) sen π xa

dy

cos π (a - x)a + Ch π (x - y)

a

..................................................................................................................................................................................b) Rectángulo semiinfinito con distribución de temperatura inicial en, y=0

x = 0 ; 0 < y < ∞ ; T = 0x = a ; 0 < y < ∞ ; T = 0y = 0 ; 0 < x < a ; T = f (x)

T(x,y) = 2a

n =0

∞

∑ sen (λ n x) e - (λ ny)0

a

∫ f (x) sen (λ n x) dx

con λ n raíces de, λ n = π na

Para: f(x) = Φ0 ; Φ(x,y) = 4 Φ0π

n=0

∞

∑sen(λ 2 n+1 x) e- λ2 n+1 y

2n + 1 ; λ 2 n+1 = π (2 n + 1)a

..................................................................................................................................................................................c) Rectángulo semiinfinito con distribución de temperaturas en la base, con convección lateral en una cara y con aislamiento en la otra cara

x = 0 ; 0 < y < ∞ ; ∂T∂x 〉x=0 = 0

y = 0 ; 0 < x < a ; T = f (x)

x = a ; 0 < y < ∞ ; ∂T∂x

〉x=a = a1T = - hCk T

T(x,y) = 2 n=1

∞

∑(λn

2 + a12 ) e− (λ nx)

a (λn2 + a12 ) + a1

cos (λn x) 0

a

∫ f(x) cos (λ n x) dx

Para, f(x) = Φ 0 ; Φ(x,y)Φ0

= 2 n=1

∞

∑a1 e - λ ny

a(λ n2 +a1

2 ) + a1 cos (λ nx)

cos (λ na)..................................................................................................................................................................................

III.-57

con λ nraíces de: λntg (λ na) = a1 = - hC

k

d) Rectángulo finito, con distribución de temperatura en la base inferior

x = 0 ; 0 < y < b ; T = 0x = a ; 0 < y < b ; T = 0y = 0 ; 0 < x < a ; T = f(x)y = b ; 0 < x < a ; T = 0

T(x,y) = 2a

n=1

∞

∑ Sh{λ n (b - y)}Sh(λnb) sen(λ n x)

0

a

∫ f (x) sen (λ n x) dx


= 4π

n=1,3,5..

∞

∑Sh{λ n (b − y)}

Sh(λ nb) sen (λ nx)n

..................................................................................................................................................................................e) Rectángulo finito, con distribución de temperatura en la base inferior, convección en una de las caras y aisla-miento en la otra.

x = 0 ; 0 < y < b ; ∂T∂x 〉x=0 = 0

x = a ; 0 < y < b ; ∂T∂x 〉x=a = a1T = - hC

k Ty = 0 ; 0 < x < a ; T = f(x)y = b ; 0 < x < a ; T = 0

T(x,y) = 2 n=1

∞

∑(λn

2 + a12 ) cos (λn x)

a (λn2 + a12 ) + a1

Sh{λn (b - y)}Sh(λ n b)

0

a

∫ f(x) cos (λ nx) dx


= 2 a1 n =1

∞

∑Sh{λ n (b − y)}

cos (λ na) Sh(λ n b) cos (λ nx)a (λ n

2 + a12 ) + a1

..................................................................................................................................................................................f) Rectángulo finito, con distribución de temperatura en la base inferior, convección en una de las caras y en la base superior y aislamiento en la otra.

x = 0 ; 0 < y < b ; ∂T∂x 〉x=0 = 0

x = a ; 0 < y < b ; ∂T∂x 〉x=a = a1T = -

h Ck T

y = 0 ; 0 < x < a ; T = f(x)

y = b ; 0 < x < a ; ∂T∂y

〉y=b = a 1T = - h Ck T

T(x,y) = 2 n =1

∞

∑(λ n

2 + a12 ) cos (λ nx)

a (λ n2 + a1

2 ) + a1 λ n Ch{λ n (b - y)} + a1 Sh{λ n (b - y)}

λ n Ch(λ n b) + a1 Sh(λ nb) 0

a


con λ nraíces de, λ ntg (λ na) = a1 = - hCk


= 2 a1 n =1

∞

∑λ n Ch {λ n (b − y)} + a1 Sh{λ n (b − y)}cos (λ na) {λ n Ch (λ nb) + a1 Sh{λ nb)} cos (λ nx)

a (λ n2 + a1

2 ) + a1..................................................................................................................................................................................g) Rectángulo finito, con distribución de temperatura en la base inferior, convección en una de las caras y aisla-miento en la otra cara y en la base superior.

III.-58

con λ nraíces de, λ n = π na

con λ nraíces de, λntg (λna) = a1 = - hCk

x = 0 ; 0 < y < b ; ∂T∂x 〉x=0 = 0

x = a ; 0 < y < b ; ∂T∂x 〉x=a = a1T = - hC

k Ty = 0 ; 0 < x < a ; T = f(x)y = b ; 0 < x < a ; ∂T

∂y 〉y=b = 0

T(x,y) = 2 n =1

∞

∑(λ n

2 + a12 ) cos (λ nx)

a (λ n2 + a1

2 ) + a1 Ch{λ n (b - y)}

Ch(λ nb) 0

a


con λ nraíces de, λ ntg (λ na) = a1 = - hCk


= 2 a1n =1

∞

∑Ch {λ n (b − y)}

cos (λ na) Ch (λ nb) cos (λ nx)a (λ n

2 + a12 ) + a1

DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS EN PARALELEPÍPEDOS

a) Paralelepípedo con una cara a T0 y el resto a T = 0.

x = 0 ; x = a ; T = 0y = 0 ; T = 0y = b ; T = T0z = 0 ; z = c ; T = 0

T(x,y,z) = 16 T0 n=0

∞

∑m=0

∞

∑ Sh (α y)Sh (α b) Sh (ηmz)

ηm Sh (λ n x)

λ n

ηm = (2m +1) πc ; λm = (2n +1) π

a ; α2 = λ n2 + ηm

2

..................................................................................................................................................................................b) Paralelepípedo con una cara a T0 y la opuesta a T1

x = 0 ; x = a ; T = 0y = 0 ; T = T1y = b ; T = T0z = 0 ; z = c ; T = 0

ηm = (2m +1) πc ; λm = (2n +1) π

a ; α2 = λ n2 + ηm

2

..................................................................................................................................................................................c) Paralelepípedo con una cara a T0 y convección en las demás

y = 0 → T = T0 ; y = b → ∂T∂y

〉 y=b = a1

x = 0 →∂T∂x

〉 x=0 = − a1 ; x = a →∂T∂x

〉 x=a = a1

z = 0 →∂T∂z 〉 z= 0 = − a1 ; z = c →

∂T∂z 〉 z= c = a1

T(x,y,z) = 4 a12 T0

n =1

∞

∑m=1

∞

∑ a1 Sh {α(b - y)} + α Ch (b - y){a1 Sh (α b) + α Ch (α b)} cos (λ na) cos (ηmc) cos (λ n x) cos (ηmz)

{a (λ n2 + a1

2 ) + a1} {c (ηm2 + a1

2 ) + a1}

ηm = (2m + 1) π c ; λn = (2n + 1) π

a ; α2 = λn2 + ηm2

con λ n y ηmraíces de: λn tg(λn a ) = a1 ; ηmtg (ηm c) = a1

..................................................................................................................................................................................

III.-59

T(x,y,z) = 16 n=0

∞

∑m=0

∞

∑ T1 Sh {α(b − y)} + T0 Sh (α y)Sh (α b) Sh (ηm z)

ηm Sh (λ nx)

λ n

DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS EN CILINDROS

a) Cilindro semiinfinito con distribución de temperatura inicial en la base

z = 0 ; 0 < r < R ; T = f ( r)

r = R ; 0 < z < ∞ ; T = 0

T(r,z) = 2R2

n=1

∞

∑J0 (λ nr)J1

2 (λ nR) e- (λn z)0

R

∫ r f(r) J 0 (λ nr) dr ; J 0 (λ nR) = 0

Para, f(r) = Φ0 ; Φ(r,z) = 2 Φ0R

n=1

∞

∑J 0 (λ n r) e- λn z

λ n J1 (λ n R)..................................................................................................................................................................................b) Cilindro finito con distribución de temperaturas en su base

z = 0 ; 0 < r < R ; T = f (r )r = R ; 0 < z < ∞ ; T = 0z = L ; 0 < z < L ; T = 0

T(r,z) = 2R2

n=1

∞

∑J0 (λ nr) Sh{λ n (L−z)}

J 12 (λ nR) Sh(λ nL)

0

R

∫ r f(r) J 0 (λ n r) dr ; J 0 (λ n R) = 0

Para, f(r) = Φ0 ; Φ(r ,z) = 2 Φ0 n=1

∞

∑J 0 (λ nr) Sh {λ n (L - z)}

(λ nR) J1(λ nR) Sh (λ n L)..................................................................................................................................................................................c) Cilindro finito con distribución de temperaturas lateral

z = 0 ; 0 < r < R ; T = 0r = R ; 0 < z < b ; T = f (z)z = L ; 0 < z < L ; T = 0

T(r,z) = 2L

n=1

∞

∑I0 ( π n r

L ) sen ( π n zL )

I0 ( π n RL )

0

L

∫ f(z) sen ( π n zL ) dz

Para, f(r) = Φ0 ; Φ(r,z) = 4 Φ 0π

n =1

∞

∑I0 ( (2 n + 1) π r

L )

I0 ( (2 n + 1) π RL )

sen ( (2 n + 1) π z

L )2 n + 1

..................................................................................................................................................................................d) Cilindro semiinfinito con distribución de temperaturas en la base y convección lateral

z = 0 ; 0 < r < R ; T = f (r )

r = R ; 0 < z < L ; ∂T∂r

〉r=R = a1 T = − h Ck T

T(r,z) = 2R2

n=1

∞

∑λ n

2 J 0 (λ n r) (λ n

2 + a12 ) J 0

2 (λ nR) e- (λ nz) 0

R

∫ r f(r) J 0 (λ n r) dr

con λ nraíces de: a1 J0 (λ nR) = λ nJ1(λ nR) ; J 0 (λ nR)J1(λ n R) =

λ na1

= R λ nR hC

k

= R λ n

Bi

Para, f(r) = Φ0 ; Φ(r ,z) = 2 Φ0π n=1

∞

∑λ n J1 (λ n r) J1(λ nR) (λ n

2 + a12 ) J0

2 (λ nR) e- (λ n z)

III.-60

e) Cilindro finito con distribución de temperaturas en la base inferior, convección en la base superior y convec-ción lateral

z = 0 ; 0 < r < R ; T = f (r )

r = R ; 0 < z < L ; ∂T∂r

〉 r=R = a1 T = − h Ck T

z = L ; 0 < r < R ; ∂T∂z

〉z=L = a1 T = − h Ck

T

T(r,z) = 2R2

n=1

∞

∑λ n

2 J 0 (λ n r) (λ n

2 + a12 ) J 0

2 (λ nR) λ n Ch{(λ n (L - z)} + a1 Sh{(λ n (L - z)}λ n Ch(λ nL) + a1 Sh(λ n L)

0

R

∫ r f(r) J 0 (λ nr) dr


λ na1

= R λ nR hC

k

= R λ n

Bi

Para, f(r) = Φ0 ; Φ(r ,z) = 2 a1 Φ0R

n=1

∞

∑J 0 (λ n r)

(λ n2 + a1

2 ) J 0 (λ n R) λ n Ch{(λ n (L - z)} + a1 Sh{(λ n (L - z)}λ n Ch(λ n L) + a1 Sh(λ nL)

..................................................................................................................................................................................f) Cilindro finito con distribución de temperaturas en la base inferior, la base superior aislada térmicamente y convección lateral

z = 0 ; 0 < r < R ; T = f (r )

r = R ; 0 < z < L ; ∂T∂r 〉 r=R = −

hCk T

z = L ; 0 < r < R ; ∂T∂r

〉z=L = 0

T(r,z) = 2R2

n=1

∞

∑λ n

2 J 0 (λ n r) (λ n

2 + a12 ) J 0

2 (λ n R) Ch{(λ n (L - z)}Ch(λ nL)

0

R

∫ r f(r) J 0 (λ nr) dr


λ na1

= R λ nR hC

k

= R λ n

Bi

Para, f(r) = Φ0 ; Φ(r,z) = 2 a1 Φ0R

n=1

∞

∑λ n J 0 (λ n r)

(λ n2 + a1

2 ) J 0 (λ n R) Ch{(λ n (L - z)}Ch(λ nL)

DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS EN TUBOS

a) Tubo finito con distribución de temperatura inicial en la base y cero en el resto

r = Re ; 0 < z < L ; T = 0r = Ri ; 0 < z < L ; T = 0z = 0 ; R i < r < Re ; T = f( r)z = L ; R i < r < Re ; T = 0

T(r,z) = π2

2 n=1

∞

∑λ n

2 J02 (λ nRe ) C0 (λ n r)

J 02 (λ nR i ) - J 0

2 (λ nR e ) Sh{(λ n (L - z)}Sh(λ nL)

Ri

Re

∫ r f(r) C0 (λ n r) dr

C0(λn r) = J0(λn r) Y0(λn Ri) - J0(λn Ri) Y0(λn r) con λ nraíces de: J 0 (λ nR e ) Y0 (λ nRi ) - J 0 (λ nRi ) Y0 (λ nRe ) = 0..................................................................................................................................................................................b) Tubo finito con distribución de temperaturas en su base inferior, 0 en la superior, y Te y Ti en las laterales, ex-terior e interior, respectivamente.

r = Re ; 0 < z < L ; T = Ter = Ri ; 0 < z < L ; T = Tiz = 0 ; R i < r < Re ; T = f( r)z = L ; R i < r < Re ; T = 0

III.-61

T(r,z) = π2

2 n=1

∞

∑λ n

2 J02 (λ nRe ) C0 (λ n r)

J 02 (λ nR i ) - J 0

2 (λ nR e ) Sh{(λ n (L - z)}Sh(λ nL)

Ri

Re

∫ r f(r) C0 (λ n r) dr +

+ π2

2 n=1

∞

∑λ n

2 J02 (λ nRe ) C0 (λ n r)

J 02 (λ nR i ) - J 0

2 (λ nR e ) 〈 Sh(λ nz)λ n

2 Sh(λ nL) 2 Te {Ch(λ nL) - 1} J 0 (λ n Ri )π J0 (λ nRe )

- 2 Tiπ 〉

C0(λn r) = J0(λn r) Y0(λn Ri) - J0(λn Ri) Y0(λn r)

con λ nraíces de: J 0 (λ nR e ) Y0 (λ nRi ) - J 0 (λ nRi ) Y0 (λ nRe ) = 0..................................................................................................................................................................................c) Tubo finito con distribución de temperaturas en la base inferior, cero en la base superior y superficie lateral ex-terior y aislada térmicamente en la superficie lateral interior

r = Re ; 0 < z < L ; T = 0

r = Ri ; 0 < z < L ; ∂T∂r〉 r=R i

= 0

z = 0 ; R i < r < Re ; T = f( r)z = L ; R i < r < Re ; T = 0

T(r,z) = π2

2 n=1

∞

∑λ n

2 J02 (λ nRe ) C0 (λ n r)

J 02 (λ nRi ) - J 0

2 (λ nRe ) Sh{(λ n (L - z)}Sh(λ nL)

Ri

Re

∫ r f(r) N0 (λ nr) dr

C0(λn r) = J0(λn r) Y0(λn Ri) - J0(λn Ri) Y0(λn r)

N0(λn r) = J0(λn r) Y0´ (λn Ri) - J0

´ (λn Ri) Y0(λn r) con λ nraíces de: J 0 (λ nR e ) Y0

' (λ nRi ) - J 0' (λ nRi ) Y0 (λ nR e ) = 0

..................................................................................................................................................................................d) Tubo finito con temperatura cero en las bases superior, inferior y superficie lateral interior y distribución de temperaturas en la superficie lateral interior

r = Ri ; 0 < z < L ; T = 0r = Re ; 0 < z < L ; T = f( x)z = 0 ; R i < r < Re ; T = 0z = L ; R i < r < Re ; T = 0

T(r,z) = 2L

n=1

∞

∑K 0(λ nr) I0 (λ nRi ) - K 0 (λ nRi ) I0 (λ nr)

K0 (λ nRe ) I0 (λ n Ri ) - K 0 (λ n Ri ) I0 (λ nRe ) sen (λ nz) 0

L

∫ f(z) sen(λ nz) dz

con λ nraíces de: λ n = π nL

..................................................................................................................................................................................e) Tubo finito con distribución de temperatura en la base inferior, temperatura cero en la base superior, convec-ción en la superficie lateral interior y aislamiento térmico en la superficie lateral exterior.

r = Ri ; 0 < z < L ; ∂T∂r 〉 r=R e

= a 1T

r = Re ; 0 < z < L ; ∂T∂r 〉 r=R e

= 0z = 0 ; R i < r < Re ; T = f( r)z = L ; R i < r < Re ; T = 0

T(r,z) = π2

2 n=1

∞

∑λ n

2 {λ n J 0' (λ nRi ) + a1 J 0 (λ n Ri )}2 N 0 (λ n r)

{λ n J0' (λ nRi ) + a1 J 0 (λ nRi )}2 - (λ n

2 +a12 ) J0

' (λ n Re) Sh{λ n (L - z)}

Sh(λ nL) R i

Re

∫ r f(r) N 0 (λ nr) dr

N0(λn r) = J0(λn r) Y0´ (λn Ri) - J0

´ (λn Ri) Y0(λn r)

con λ nraíces de: {λ nY0' (λ nRi ) + a1 Y0 (λ n Ri )} J 0

' (λ n Re ) - {λ n J0' (λ nRi ) + a1 J0 (λ nRi )} Y0

' (λ nRe ) = 0..................................................................................................................................................................................f) Tubo finito con distribución de temperatura en la base inferior, temperatura cero en la base superior, convec-ción en la superficie lateral exterior y aislamiento térmico en la superficie lateral interior.

III.-62

r = Ri ; 0 < z < L ; ∂T∂r 〉 r=R e

= 0

r = Re ; 0 < z < L ; ∂T∂r 〉 r=R e

= a 1Tz = 0 ; R i < r < Re ; T = f( r)z = L ; R i < r < Re ; T = 0

T(r,z) = π2

2 n=1

∞

∑λ n

2 {λ n J 0' (λ nR e ) + a1 J0 (λ nR e)}2 N 0 (λ nr)

{λ n J0' (λ nRe ) + a1 J0 (λ nRe )}2- (λ n

2 + a12 ) J0

'2 (Ri ) Sh{λ n (L - z)}

Sh(λ n L) Ri

Re

∫ r f (r) N 0 (λ n r) dr

N0(λn r) = J0(λn r) Y0´ (λn Ri) - J0

´ (λn Ri) Y0(λn r)

con λ nraíces de: Y0' (λ nRi ) {λ n J 0

' (λ nRe ) + a1 J0' (λ nRe )} - J 0

' (λ nR i ) {λ n Y0' (λ nRe ) + a1 Y0 (λ nRe )} = 0

..................................................................................................................................................................................

III.2.- MÉTODO GRÁFICO

El método gráfico se basa en una serie de condicionamientos geométricos de la fórmula vectorial

de la ley de Fourier, que especifica que las isotermas y las líneas de flujo térmico constante (fronteras

adiabáticas), son siempre perpendiculares en los puntos en que se

cortan; las líneas de simetría son también fronteras adiabáticas.

Por lo tanto, se puede hacer un diagrama esquemático de las isoter-

mas y de las líneas equipotenciales del flujo térmico, y perfeccionar

el sistema hasta conseguir se satisfaga la condición de perpendicu-

laridad entre ellas. La exactitud de la distribución de temperaturas

va a depender del cuidado que se ponga en la construcción de las ci-

tadas líneas; en cada punto de intersección, las tangentes a las lí-

neas correspondientes han de ser perpendiculares; los cuadriláte-

ros curvilíneos hay que construirlos de forma que la suma de los la-

dos opuestos sean iguales, Fig III.10, es decir:

ab + cd = ac + bd

Si suponemos un cuadrado curvilíneo típico, Δx = Δy, por el que fluye una cierta cantidad de calor

qi, aplicando la ley de Fourier (por unidad de longitud) se obtiene:

qi = k Δy Ti+1 - Ti

Δx = Ti+1- Ti = ΔTtotal

M =

T1 - T2

M

Δx = Δy = k

T1 - T2

M

en donde se ha considerado que en todos los cuadrados curvilíneos se cumple que las subdivisiones de

temperatura son iguales. Entonces se puede expresar la diferencia de temperaturas entre dos isoter-

mas adyacentes, en función de la diferencia de temperaturas total a través de la superficie completa y

del número de subdivisiones de temperaturas iguales M, siendo T1 y T2 las temperaturas extremas,

T1 > T2.

Si el número de líneas de flujo térmico es N, la transferencia de calor a través de cada canal entre

dos líneas térmicas equipotenciales adyacentes, será la misma para todas ellas, siendo el calor trans-

ferido total de la forma:

Qtotal= N qi = k N

M (T1- T2) = k F (T1- T2), con: Δx = Δy

III.-63

Fig III.10- Cuadrado curvilíneo de isotermas y adiabáticas, Δx = Δy

en la que F = N

M se denomina Factor de forma de la conducción y es la relación entre el número de lí-

neas de flujo térmico y el número de líneas isotermas.

Se conocen algunas expresiones matemáticas del factor de forma F para geometrías sencillas; así,

por ejemplo, para la conducción en una pared plana:

Q = k A

L ΔT = F = A

L = k F ΔT

Para un cilindro hueco de longitud L y radios r0 y ri el factor de forma es: F = 2 π L

ln ( r0/ri )

El concepto de factor de forma F se puede ampliar a otras geometrías más complicadas, obteniendo

su valor mediante técnicas de variable compleja y teoría de residuos, considerando: Q = k F (T1 - T0 ) ,

viniendo deducidos algunos valores de F que exponemos a continuación:

FACTORES DE FORMA PARA LA CONDUCCIÓN TERMICA

1) Cilindros circulares excéntricos, de radios r0 y r1, y longitud L

F = 2 π L

Arg Ch r0

2 + r12 - e 2

2 r0 r1

2) Cilindro circular dentro de un cuadrado de lado a y longitud L

F = 2 π L

ln 0,54 ar

3) Caja paralelepipédica, con espesor de pared constante eÁrea de la superficie interna A1; Área de la superficie externa A2

F = 0,79 A1 A2

e , para: (a, b, L) < e

5

F = A1

2 + 2,16 (a + b + L) + 1,2 e , para: (a, b, L) > e5

4) Caja paralelepipédica, con bases cuadradas

F = 2 π L0,93 ln a

b - 0,0502

, para: ab

> 1,4 ; L >> a

F = 2 π L0,785 ln a

b

, para: ab

< 1,4 ; L >> a

III.-64

5) Placa rectangular delgada enterrada, de longitud L

Fz = 0= π a

ln 4 aL

; Fz >> a = 2 π a

ln 4 aL

6) Viga rectangular enterrada; longitud L >> a, b, z

F = 2,756 L {ln (1 + z

a )}-0,59 ( za )-0.078

7) Dos cilindros paralelos de longitud L en un medio infinito

F = 2 π L

Arg Ch a2 - r1

2 - r02

2 r0 r1

8) Disco horizontal delgado enterrado

Fz = 0 = 4 r1 ; Fz>>2r1= 8 r1

9) Cilindro horizontal enterrado de radio r1, y longitud L, o también esfera enterrada de radio r1

Cilindro: F = 2 π L

Arg Ch zr1

, para: z < 3 r1 ; F = 2 π L

ln 2 zr1

, para: z > 3 r1

Esfera: Fz >> r1 = 4 π r1

1 - r1

2 z

; Fz → ∞= 4 π r1

10) Semiesfera enterrada en un medio semiinfinito

F = 2 π r1

11) Cilindro horizontal de longitud L enterrado entre dos planos a T1

F = 2 π L

ln 4 zr

12) Cilindro vertical de longitud L en un sólido semiinfinito

F = 2 π L

ln 2 Lr1

13) Arista intersección de dos paredes planas de espe-sor e y anchura L, con temp. interior T1 y exterior T2

F = 0 ,54 L ; a > e

5 ; b > e5

14) Esquina intersección de tres paredes planas de espe-sor e, con temp. interior T1 y exterior T2

F = 0 ,15 e ; Dimensiones > e

5

III.-65

15) Región en forma de disco en la superficie de un sólido semiinfinito

F = 4 r

III.3.- MÉTODOS NUMÉRICOS

Los métodos numéricos se pueden aplicar a problemas de conducción en régimen estacionario y

a problemas en que aparezcan condiciones de contorno radiativas o que exista una generación de calor

interna E.

El método numérico de diferencias finitas divide al modelo sólido en una serie de nudos; haciendo

en cada uno de ellos un balance de energía, se obtiene una ecuación para el cálculo de la temperatura

de cada nudo; también se obtiene una ecuación separada para cada nudo situado en el contorno o pe-

riferia del sólido.

El resultado final de la aplicación del método es la obtención de un sistema de n ecuaciones corres-

pondientes a los n nudos del sistema, que sustituyen a las ecuaciones en derivadas parciales y a las

condiciones de contorno a aplicar.

Si el número n de nudos es pequeño, se pueden utilizar técnicas normales de resolución de ecua-

ciones; si el número de nudos aumenta, puede ser ventajoso el utilizar soluciones aproximadas por

métodos iterativos, y si el número de nudos es muy grande hay que recurrir al ordenador.

Para un problema de conducción bidimensional, la técnica de diferencias finitas se aplica como se

especifica a continuación:

a) Se divide el sólido en un cierto número de cuadrados de igual tamaño

b) Se supondrá que las características de cada cuadrado se concentran en el centro del mismo,

como la masa, temperatura, etc

c) Cada uno de los cuadrados tiene una longitud

Δx en la dirección xΔy en la dirección y

d) El nudo al que se ha asignado el subíndice 0 se puede encontrar rodeado por cuatro nudos adya-

centes, como se muestra en la Fig III.11, de forma que cada nudo esté conectado a los contiguos me-

diante una línea conductora a través de la cual se pueda conducir el calor de un cuadrado a otro.

El balance energético, en régimen estacionario, en el nudo 0, sin generación de energía térmica es:

i=1

i=4

∑ Qi → 0 = 0

Nudos interiores.- Aplicando la ecuación de Fourier al nudo interior 0 correspondiente a un cua-

drado de espesor d, Fig III.11, se obtiene el siguiente balance energético:

Q1→ 0 = k (Δy d) T1- T0

Δx = k d (T1 - T0 )

Q2→ 0 = k d (T2 - T0 )Q3→ 0 = k d (T3 - T0 )Q4→ 0 = k d (T4 - T0 )

⇒ i=1

i=4

∑ Qi→0 = 0 ⇒ T1+ T2 + T3 + T4 - 4 T0 = 0

La exactitud que se consigue al sustituir el gradiente de temperaturas dTdx

por la diferencia finita

de dos temperaturas (T1 - T0) depende del tamaño de cada cuadrado; a menores dimensiones de los

III.-66

cuadrados, mayor exactitud en el gradiente de temperatura.

A todos los nudos que se encuentren situados sobre la periferia

del sólido, hay que hacerles un balance de energía por separa-

do.

Nudos en contacto con un fluido.- Si el sólido está en con-

tacto con un fluido a TF, Fig III.12, con un coeficiente de trans-

misión de calor por convección hC, se asigna a cada nudo de

este tipo la mitad de la superficie que a cualquier otro nudo in-

terior. El nudo 0 puede intercambiar calor por conducción con

tres nudos contiguos, y transferir calor por convección al fluido.

El balance de energía en el nudo 0 es: Q1→ 0 + Q2→ 0 + Q3→ 0 + QF→ 0= 0

Sustituyendo las aproximaciones de las diferencias finitas para

la ley de Fourier correspondiente a los tres primeros términos,

y para la ley de Newton en el último, se obtiene, para un espe-

sor unidad:

k Δy

T1 - T0

Δx + k Δx2

T2 - T0

Δy + k Δx2

T3 - T0

Δy + hC Δy (TF - T0 ) = 0

que para Δx = Δy se simplifica, quedando en la forma:

T2+ T3

2 + T1+ hC Δx

k TF- (2 + hC Δxk ) T0 = 0 ⇒

T2+ T3

2 + T1+ ( Bi) TF - { 2 + ( Bi )} T0 = 0

A título de ejemplo, para la placa representada en la Fig

III.13, en la que la superficie A está en contacto con un

fluido a TF, la B está a una temperatura TB, la C es una

superficie aislada y la D está a TD se puede indicar, para

los diversos nudos que se han considerado, que las tem-

peraturas T1, T2 y T3 son conocidas e iguales a TB, así

como las temperaturas T7, T8 y T9 son también conoci-

das e iguales a TD. Sin embargo, T4, T5 y T6 son descono-

cidas y habrá que calcularlas mediante los correspon-

dientes balances de energía por unidad de espesor, en

las paredes A, B, C, y D.

QA = QF→1+ QF→4+ QF→7 = hC Δy {

TF - T1

2 + (TF - T4 ) + TF - T7

2 }

QB = Q1→4+ Q2→5+ Q3→6 + Q1→F = k Δx (

T1 - T4

2 Δy + T2 - T5

Δy + T3 - T6

2 Δy ) + hCΔy2 (T1 - TF )

QC = 0, por estar la superficie C aislada

QD= k Δx (

T9 - T6

2 Δy + T8 - T5

Δy + T7 - T4

2 Δy ) + hCΔy2 ( T7 - TF )

Como comprobación global de los resultados obtenidos para las diferentes transferencias térmicas,

III.-67

Fig III.13.- Placa metálica con sus superficies en diversas situaciones térmicas

Fig III.11.- Nudo interior conductivo

Fig III.12.- Nudo periférico

la transferencia neta de calor en el sólido tiene que ser nula.

Generación de energía en la placa.- Si en el nudo 0 de la placa, Fig III.11, existe un foco térmi-

co generador de energía E por unidad de volumen, el balance energético en el nudo citado, en un siste-

ma bidimensional con 4 nudos vecinos es:

Q1→0 + Q2→0 + Q3→0 + Q4→0 + E V = 0

y sustituyendo cada término del flujo térmico por la forma en diferencias finitas de la ley de Fourier,

se tendrá:

k Δy d

T1 - T0

Δx + k Δx d T2 - T0

Δy + k Δy d T3 - T0

Δx + k Δx d T4 - T0

Δy + E Δx Δy d = 0

y si la malla es cuadrada Δx = Δy, por lo que:

T1+ T2+ T3+ T4 - 4 T0 + E Δx2

k = 0 ⇒ T0 = T1+ T2+ T3+ T4 + E Δx2

k4

III.4.- MÉTODO DE RELAJACIÓN

Si se desea incrementar la exactitud de la solución disminuyendo el espaciado de la red, apare-

cen más nudos con temperaturas desconocidas y, por lo tanto, con ecuaciones adicionales a resolver.

El fundamento del método de relajación es el de estimar inicialmente las temperaturas de cada nudo

de forma que se satisfagan, aproximadamente, las ecuaciones de balance de energía; así, en vez de in-

tentar hacer que todas las ecuaciones de balance energético sean iguales a cero, como en el caso ante-

rior, lo que se hace es igualarlas a un término R0 llamado residuo.

A continuación se varían sistemáticamente las temperaturas hasta que se reduce el residuo a un

valor muy pequeño, indicándonos este valor la exactitud conque se han estimado las temperaturas ini-

ciales de todos y de cada uno de los nudos. Si todos los residuos se redujesen a cero, las temperaturas

obtenidas a partir de ellos serían las soluciones exactas de las ecuaciones del balance de energía.

Para su aplicación se puede descomponer en las siguientes etapas:

a) Hay que fijar de antemano unos valores de todas las temperaturas incógnitas de los nudos que,

por intuición, sean todo lo próximas a las verdaderas como se pueda presuponer. Los límites de estas

temperaturas vienen especificados por las condiciones de contorno extremas.

b) Se sustituyen las temperaturas iniciales supuestas en cada una de las ecuaciones de los residuos

y se procede al cálculo de éstos.

c) Para reducir los residuos hay que modificar la temperatura que corresponda al residuo cuyo va-

lor absoluto sea el mayor de todos, hasta que este residuo se reduzca a cero. La convergencia hacia la

solución correcta de temperaturas se favorece si la temperatura del nudo afectado se modifica en el sen-

tido de que su residuo no se reduzca exactamente a cero, sino que pase a tener un valor menor y de sig-

no opuesto que el que poseía antes de hacer el cambio de temperaturas.

d) Finalmente se repite la etapa c hasta que se consiga el grado de exactitud deseado.

Siempre que un nodo esté situado en el contorno de un sólido, la ecuación del residuo dependerá

del tipo de condición de contorno en la superficie. La ecuación del balance de energía en cada caso con-

creto, viene referida para el nudo señalado con el subíndice 0.

III.-68

ECUACIONES PARA LOS RESIDUOS EN EL CASO DE NUDOS EN LOS LIMITES. SISTEMAS BIDIMENSIONALES. REDES CUADRADAS Δx = Δy

1) Superficie plana (Frontera isotérmica)

q Δx

k + T1 + T0 = R0

2) Superficie plana (Frontera aislada)

T2 + T3

2 + T1 - 2 T0 = R0

3) Superficie plana en contacto con un fluido a TF

T2 + T3

2 + T1 - ( 2 + Bi ) T0 + Bi TF = R0

4) Esquina exterior (Ambas superficies aisladas)

T1 + T2

2 - T0 = R0

6)Esquina exterior(Ambas superficies en contacto con un fluido a TF)

T1 + T2

2 - ( 1 + Bi ) T0 + Bi TF = R0

6) Esquina interior (Ambas superficies aisladas)

T1 + T4

2 + T2 + T3 - 3 T0 = R0

7) Esquina interior (Ambas superficies en contacto con un fluido a TF)

T1 + T4

2 + T2 + T3- ( 3 + Bi ) T0 + Bi TF = R0

III.-69

8.- Nodo interior cercano a una superficie curva no isotérmica

11a + 1

b

(T1

1 + a + T2

1 + b + Ta

a (1 + a ) + Tb

b ( 1 + b ) ) - T0 = R0

III.5.- MÉTODO MATRICIAL

El método de relajación no se adapta fácilmente para su utilización mediante técnicas con ordena-

dor, porque exige la selección de la ecuación del nudo que posea el residuo de valor absoluto más gran-

de, y aunque ésto no significa un problema insoluble, existen otros métodos, como el matricial, que lo

resuelven basándose en la representación de las ecuaciones del balance de energía para cada nudo en

forma de una matriz. Si el sólido se subdivide en n nudos, el conjunto de las ecuaciones correspon-

dientes, a cada nudo, se puede expresar en la forma:

a11 T1 + a12 T2 + a13 T3 + ... + a1n Tn = b1a21 T1 + a22 T2 + a23 T3 + ... + a2n Tn = b2a31 T1 + a32 T2 + a33 T3 + ... + a3n Tn = b3........................................an1 T1 + an 2 T2 + an3 T3 + ... + ann Tn = bn

en las que los coeficientes aij y bi son constantes conocidas, y las magnitudes Ti son las temperaturas

incógnitas. Las ecuaciones anteriores se pueden escribir en la forma: A T = B, en la que A es una ma-

triz de n.n coeficientes mientras que T y B son matrices columna, compuestas cada una de ellas por n

elementos. Muchos de los elementos de la matriz A son cero, concentrándose los no nulos en las proxi-

midades de la diagonal. Los elementos de la matriz B son las constantes de los segundos miembros, es

decir, los residuos. Los elementos de la matriz T son la solución del problema.

A =

a11 a12 a13 ... a1na21 a22 a23 ... a2na31 a32 a33 ... a3n

.... .... .... ... .... an1 an 2 an 3 ... ann

T =

T1T2T3

....Tn

B =

b1b2b3

....bn

T =

Para calcular las temperaturas desconocidas, premultiplicamos por A-1, quedando:

A-1 A T = A-1 B ; T = A-1 B

viniendo dados los elementos de la matriz inversa de A por:

C = A-1 =

c11 c12 c13 ... c1nc21 c22 c23 ... c2nc31 c32 c33 ... c3n

.... .... .... ... .... cn 1 cn 2 cn 3 ... cnn

Las temperaturas incógnita de los nudos vienen dadas por:

c11 b1 + c12 b2 + c13 b3 + ... + c1n bn = T1 c21 b1 + c22 b2 + c23 b3 + ... + c2n bn = T2 c31 b1 + c32 b2 + c33 b3 + ... + c3n bn = T3 ...................................................................cn1 b1 + cn 2 b2 + cn3 b3 + ... + cnn bn = Tn

III.-70

y como se conocen los valores de todos los coeficientes bi, el problema del cálculo de las temperaturas

se reduce a la determinación de la matriz inversa de A.

III.6.- MÉTODO DE ITERACIÓN

El método de iteración está basado en la resolución explícita de cada ecuación de los nudos, para

hallar la temperatura de los mismos. A partir de la ecuación del balance de energía de un nudo inte-

rior en un cuerpo bidimensional, se tiene la siguiente ecuación, para el nudo central 0:

T1 + T2 + T3 + T4 - 4 T0 = 0 ⇒ T0 =

T1 + T2 + T3 + T4

4

Para cuando el nudo esté en el contorno, por ejemplo en contacto con un fluido, se tiene:

T0 =

T2 + T3

2 + T1 + Bi TF

2 + Bi

y así se puede escribir, para cada nudo, una ecuación para su temperatura en función de la tempera-

tura de los nudos vecinos. Las ecuaciones de partida para cada nudo son las desarrolladas para el

caso del método matricial.

Una vez despejada la temperatura correspondiente al nudo a estudiar, se suponen inicialmente

una serie de valores para todas las temperaturas de todos los nudos; seguidamente se calculan nuevos

valores para las temperaturas utilizando las ecuaciones de partida de los nudos, de forma que las

temperaturas a calcular en cada paso, se basen siempre en los resultados de los nudos más inmedia-

tos. El método se repetirá tantas veces como sea necesario, hasta que la diferencia entre los últimos

valores de las temperaturas y los anteriores, estén comprendidos dentro del grado de precisión que se

haya fijado de antemano.

III.-71

ANEXO.- FUENTES DE GENERACIÓN DE CALOR

La generación de calor en la superficie o en el interior de una sustancia es consecuencia, en general,

de una serie de transformaciones fisicoquímicas de la materia, existiendo una serie de fenómenos que

cubren un amplio campo de aplicaciones industriales, tanto en régimen estacionario como transitorio,

de la forma:

- Generación de calor por interacciones de la materia asociadas a fenómenos nucleares de fisión o

fusión, así como otros fenómenos asociados a partículas o radiaciones, generados por estas interaccio-

nes.

- Generación de calor en la materia asociada a la presencia de campos electromagnéticos.

- Generación de calor asociada a reacciones químicas.

- Generación de calor asociada a fenómenos mecánicos, como la fricción o choques.

En lo que sigue haremos una pequeña reseña para entender la naturaleza de estos focos generado-

res de calor y su distribución espacial, para poder aplicar las ecuaciones de transmisión de calor.

Generación de calor por fenómenos de fisión nuclear.- Son consecuencia del comportamiento

e interacción de los neutrones con los distintos isótopos de átomos pesados de importancia industrial,

que a nivel de reactores nucleares, son los de uranio, que existe en la naturaleza con un valor medio

de composición isotópica U234(0,0058%), U235(0,72%), U238(99,274%), y los de torio, cuyo isótopo más

abundante es el Th232 con trazas de otros isótopos.

El efecto de los choques entre los neutrones y la materia dependen de la energía de los neutrones y

de la naturaleza de la materia.

Los isótopos fisibles son aquellos átomos que se fisionan por neutrones de cualquier energía; en los

reactores nucleares son de importancia primordial los isótopos Pu239, U235, y U92.

Los isótopos fisionables son aquellos átomos que se fisionan con neutrones de energía superior a 1

MeV, siendo los más importantes el U238 y el Th232.

La energía desprendida por cada fisión es del orden de 200 MeV, que comparada con los 4 eV por

átomo de la reacción química de combustión, C + O2 = CO2, proporciona una idea de la densidad ener-

gética de la energía nuclear de fisión, frente a las reacciones químicas muy exotérmicas.

Los choques de neutrones con la materia pueden ser de muchas formas, desde los de tipo elástico

idénticos al choque de bolas de billar, hasta los de adsorción de neutrones por los núcleos, producien-

do nuevos isótopos; de entre estos últimos son importantes la formación de Pu239 y U233, por captura

de neutrones en la zona de energía de 0,1 MeV.

U92238+ n0

1 → U92239 + γ → Np93

239 + β → Pu94239 + β

Th90232+ n0

1 → Th90233 + γ → Pa91

233 + β → U92233 + β

Los isótopos que originan isótopos fisibles por captura de neutrones se denominan fértiles; los ele-

mentos U238 y Th232 son fértiles y fisionables y su comportamiento, para fisión o captura, viene deter-

minada por las secciones eficaces correspondientes a una determinada energía de los neutrones. Los

reactores nucleares comerciales de uranio, producen isótopos de Pu en mayor o menor proporción.III.-72

Tabla A.1.- Valores medios de parámetros nucleares en reactores térmicos T y rápidos R

IsótopoReactor T R T R T R T R

Parámetro T R T R T R T R- 0,11 580 1,78 740 1,91 530 2,69

ν - 2,61 2,42 22,51 2,9 2,96 22,5 2,57α - 1,44 0,172 0,24 0,365 0,231 0,093 0,108

η − 1 - 0,07 1,06 1,01 1,12 1,4 1,28 11,32

U92238

U92235

Pu94239

U92233

σ f

σt, es la sección eficaz microscópica de fisión, en barniosν, es el nº de neutrones producidos por cada neutrón absorbido en una reacción de fisión

α, es la relación de secciones eficaces microscópicas de captura/fisiónη, es el número de neutrones producidos por fisión por cada neutrón absorbido en el combustible

Los reactores regeneradores, producen isótopos fisibles por captura de neutrones, que es superior

a la de isótopos fisibles y fisionables consumidos; un reactor de este tipo produce no sólo energía, sino

también combustible fisible para alimentar otros reactores.

La energía generada en un reactor nuclear es de tipo térmico; el combustible se encuentra conteni-

do en forma de barras o de placas, en vainas construidas con materiales poco absorbentes de neutro-

nes; como éstos producen fisiones, la distribución de focos térmicos dentro del combustible es la mis-

ma que la del flujo neutrónico en las barras o en las placas.

La velocidad de generación de calor E viene dada por la velocidad de los procesos de fisión que tie-

nen lugar en cada posición del combustible, en la forma:

E = 200 Ω f Φ ( MeV

cm3seg) = 200 ( MeV

fisión ) σ f ( cm2 ) Nf ( núcleoscm3 ) Φ (

n01

cm2 seg)

en la que:

Ωf es la sección macroscópica de fisión, de la forma, Ωf = σf . Nfσf es la sección microscópica de fisiónNf es el número de núcleos fisibles/cm3

Φ es el flujo neutrónico

n01

cm 2seg en el elemento de volumen considerado

La variación del calor generado E es consecuencia de la relación existente entre la sección micros-

cópica de fusión σf y la energía de los neutrones y la modificación del flujo neutrónico, tanto en su

composición de neutrones con mayor o menor energía (por moderación en el medio), como en las cap-

turas de neutrones productivas y no productivas en los materiales del reactor.

La generación de calor por fisiones es prácticamente instantánea extendiéndose desde los 10-14 seg

para los neutrones producidos, hasta los 10-7 seg de las radiaciones γ que acompañan al proceso de fi-

sión. La distribución de energía asignada por término medio a los distintos componentes de la fisión

viene dada en la Tabla A.2.

En un reactor nuclear, la energía generada por fisiones es del orden del 90%÷98% de la energía to-

tal, dependiendo del tipo de reactor y de la disposición de los materiales estructurales, refrigerantes y

elementos combustibles; el resto de la energía se produce por los campos de radiaciones y partículas,

así como por la moderación de neutrones en el refrigerante y materiales.

En los reactores rápidos la moderación tiene que ser mínima para obtener un espectro de neutro-

nes duro que favorezca las capturas en U238 para producir Pu239.

Las partículas y radiaciones, en sus choques, producen transformaciones fisicoquímicas y despren-

dimiento de calor; las partículas afectan a las propiedades de los materiales, mientras que el calor ge-

III.-73

nerado puede alterar las dimensiones o producir tensiones térmicas excesivas, por lo que los aspectos

térmicos de un reactor nuclear no quedan circunscritos solamente a los elementos combustibles,

(presencia de focos térmicos con generación de calor), sino que se extienden al comportamiento de los

materiales bajo irradiación, que exige el conocimiento de los flujos de partículas, sus interacciones

dentro de los materiales y su absorción en función del espesor, naturaleza y geometría.

Tabla A.2.- Energía asignada a algunos componentes de fisión

Energía cinética de fragmentos de fisión 165 MeV7 MeV7 MeV

Energía cinética de los neutrones 5 MeV6 MeV

Neutrinos 10 MeVTotal 200 MeV

Radiaciones γ instantáneas

Partículas β

Radiaciones γ de productos de fisión

Tabla A.3.- Propiedades de combustibles nucleares y vainas

Material k (Kcal(hmºC) T Fusión (ºC) Plutonio

19,7 4,41 (0-100ºC)17,7 9,02 (0-100ºC)

17,14 10,9 (0,100ºC)16,02 13,9 (0-100ºC)13,3 13,6 (0-100ºC) 637

Torio

11,6 0,028 38,1 (500ºC) 1690Uranio

19,07 0,032 26,6 (500ºC)18,1 0,043 38 (500ºC)18

10,97 0,075 (100ºC) 3,75 (500ºC) 27500,11 (2300ºC) 1,48 (2000ºC)

11,08 0,075 (100ºC) 2,96 (500ºC) 27800,11 (2300ºC) 1,48 (200ºC)

10,01 0,054 (25ºC) 3,96 (500ºC) 33000,082 (2000ºC) 2,40 (1000ºC)

6,57 0,072 (100ºC) 10,19 (100ºC) 18480,085 (450ºC) 11,40 (450ºC)

8,03 0,12 (0-100ºC) 12,70 (25ºC) 140018 (500ºC)

ρ (gr/cm3 ) c p (Kcal/kgºC)

α (T < 100ºC)

β (117ºC÷ 200ºC)

δ (300ºC÷ 475ºC) γ (200ºC÷ 300ºC)

ε (475ºC÷ 637ºC)

α (T < 1380ºC)

β (1380÷1690ºC)

α (T < 626ºC)

β (662÷769ºC)

β (769÷1128ºC)

UO2

UO2 (80%) + PuO2 (20%)

ThO2

Zircaloy−2

Acero inoxidable

Las consideraciones anteriores se pueden aplicar a los problemas térmicos relacionados con el tra-

tamiento de combustibles irradiados, donde se genera calor por las especies radiactivas en transfor-

mación continua, así como a las aplicaciones de isótopos radiactivos, especialmente las relacionadas

con la generación de energía en cantidades no muy elevadas pero de larga duración

Por lo que respecta a la conductividad térmica k, del combustible y de la vaina, durante la combus-

tión en el reactor hay que tener en cuenta que en una barra combustible de pastillas de óxido de ura-

nio UO2, el material se puede resquebrajar e hinchar por efecto de los gases de fisión, además de los

efectos de los productos de fisión y su comportamiento con la vaina; el resultado es una pastilla defor-

mada con puntos de contacto sobre la vaina llena de grietas, que dependen de la fabricación del com-

bustible y de la forma de quemado en el reactor.

La importancia del comportamiento del combustible en el reactor es fundamental dado que las ba-

III.-74

rras deben permanecer tres años en funcionamiento, además de las paradas, puestas en marcha y va-

riaciones de potencia.

La variación de la conductividad térmica con la temperatura desciende de 6 a 3 Kcal/hm2ºC entre

20 y 1.400ºC respectivamente, en forma no lineal, aumentando a partir de esta temperatura; por lo

tanto, si la expresión de la conductividad térmica con la temperatura es no lineal, la ecuación diferen-

cial de la distribución de temperaturas será también no lineal y la solución tiene que determinarse

por métodos numéricos, perdiéndose las propiedades de superposición, que son la base y fundamento

de la generalidad de las ecuaciones de transmisión de calor y de otros campos análogos; sin embargo

se puede obtener una solución muy razonable considerando un valor medio de k .

Generación de calor por fenómenos eléctricos y magnéticos.- En presencia de campos eléc-

tricos y magnéticos, la materia genera calor por el paso de una corriente eléctrica a través de los cir-

cuitos que se forman entre los manantiales y sumideros de los campos citados. Desde un punto de vis-

ta térmico, es necesario conocer la distribución de los focos térmicos con objeto de resolver las ecuacio-

nes de distribución de temperatura para aplicar las condiciones de contorno en cada caso particular;

si los focos térmicos se generan por corrientes eléctricas, es necesario conocer estas últimas.

La generación de calor por fenómenos eléctricos y magnéticos es en muchos casos indeseable, como

sucede con las pérdidas en los conductores que transportan energía eléctrica o en las máquinas eléc-

tricas.

En otras muchas aplicaciones, la energía eléctrica se transforma en energía térmica, que se apro-

vecha por las ventajas que presenta frente a otros métodos de calentamiento, como: inercia térmica

mínima, limpieza, fácil control, ausencia de llamas, uniformidad, calentamiento local, utilización di-

recta de las redes de energía, procesos de calentamiento independientes, etc.

En el marco de las aplicaciones es frecuente distinguir la generación de calor por

- Calentamiento por resistencias eléctricas

- Calentamiento por fenómenos de inducción

- Calentamiento dieléctrico

- Calentamiento por arco eléctrico

a) Resistencias eléctricas.- El paso de una corriente eléctrica continua a través de conductores

metálicos y no metálicos, genera calor E en la forma:

E = R I2

con: E en W, R en Ω, e I en A.

La generación de calor es uniforme en toda la masa del conductor, siempre y cuando R e I sean

constantes; en el caso de corrientes alternas, la generación de calor es uniforme para frecuencias infe-

riores a 1000 ciclos/segundo.

En corriente trifásica: Q = 1,737 R I cos ϕ, en la que cos ϕ es el factor de potencia.

En corriente alterna, para lograr un valor máximo de cos ϕ deben evitarse las inductancias y fases

desequilibradas.

La transmisión de calor de la resistencia se puede hacer por convección, conducción y radiación.

Las limitaciones de las resistencias eléctricas diseñadas para funcionar en estado sólido son función

de la temperatura de fusión del material de la resistencia y del medio ambiente, que puede atacar la

resistencia produciendo alteraciones por corrosión, seguidas de posibles cambios dimensionales o es-

tructurales del material. III.-75

Temperatura ºC

Oxidos refractarios Oxidos refractarios

Electrolitos

Semiconductores

Carburos

Grafito

Metales

0,01

1

100

10.000

1.000.000

Fig A.1.- Resistencias específicas de algunos materiales

Tabla A.4.- Resistencias específicas de algunos materiales

Material ComposiciónºC

Kanthal A Cr(23%), Al(6,2%), Co(1,9%), Fe(68,5%) 1300 1,39Nicrome V Ni(80%), Cr(20%) 1175 1,15Nicrome Ni(60%), Cr(16%), Fe(24%) 950 1,1

Mangonic 3 Ni(97%), Mn(3%) 750 0,14Platino 1400 0,5

Platino-Rodio Pt(87%), Rh(13%) 1540 0,5Molibdeno 1600-2200 0,55

Tántalo 2000 0,6Carburo de silicio (SiC) 1400-1600 1,4

Carbón, grafito 2500-3000 9,52400 10

ρE ( W mm2

m) Tmáx

Oxido de circonio (ZrO2 )

Los focos térmicos se distribuyen uniformemente en la masa del conductor y la distribución de

temperaturas es, como sabemos, una parábola, cuyo máximo se encuentra en el eje de simetría del

conductor.

Si la resistencia es función de la temperatura T, como sucede en la mayoría de los materiales, la

generación de calor no es uniforme y las distintas partes de la resistencias se comportan de forma di-

ferente:

- Si la resistencia aumenta con la temperatura se genera más calor en el centro

- Si la resistencia disminuye con la temperatura sucede lo contrario

La distribución de la corriente tiende a oponerse a este fenómeno alcanzándose una situación de

equilibrio dinámico entre corriente, temperatura y eliminación del calor generado, siendo el fenómeno

tanto más acusado, cuanto mayor es la sección de las resistencias y mayor la variación de R con T.

En los hornos, las resistencias eléctricas se instalan acoplándose a la forma de los mismos, para

así obtener los flujos térmicos deseados, siendo la radiación el mecanismo principal de transmisión de

calor a temperaturas elevadas.

III.-76

Las lámparas de rayos infrarrojos funcionan a temperaturas de 2000ºC÷3000ºC, y dirigen el calor

radiante hacia la superficie del cuerpo receptor, mediante pantallas parabólicas; este sistema es de

uso frecuente en el calentamiento de alimentos, secado de pinturas, calentamiento de láminas de dis-

tintos materiales, etc.

Las resistencias se disponen envainadas en materiales adecuados en forma de tubos, placas o

cuerpos más complicados que se adaptan a las superficies que constituyen el material a calentar. La separación entre la resistencia y la vaina se logra por medio de aislantes eléctricos en forma de

polvo comprimido (óxido de magnesia), o tubos, como en las planchas eléctricas, calentadores de in-

mersión, paneles, cintas flexibles con tejidos de materiales de sílice, etc.

b) Calentamiento por fenómenos de inducción.- La variación de un campo magnético da ori-

gen a una fuerza electromotriz e dada por la relación:

e = - d

r Φ

dt = ∫r E * dS

en la que

dr Φ

dt es la variación del flujo magnético con el tiempo

r E * es el campo eléctrico

Si la variación del flujo magnético es alterno, y tiene lugar en el seno de un material conductor:

F = F0 sen (w t)

siendo:

w = 2 π f f la frecuencia

, originándose una corriente dada por: I =

Φ0 wR2 + ( L w )2 cos ( w τ - ϕ )

con: tg ϕ = L w

R y (L w) la resistencia inductiva

La energía transformada por efecto Joule, pone de manifiesto la generación de calor E en el con-

ductor, en función de las características del campo inductor y de las propiedades del material donde

se desarrolla la corriente, es:

E = e I cos ϕ =

Φ02 w2 R

R2 + ( L w )2

efecto que es perjudicial cuando no se desea generación de calor, como sucede en las máquinas eléctri-

cas, mientras que es fundamental en el calentamiento por inducción; el conocimiento del calor genera-

do por inducción E, en cada posición del conductor, permite aplicar las ecuaciones de transmisión de

calor y conocer la distribución de temperaturas para determinadas condiciones de contorno. Hay que tener en cuenta que en el conductor se superponen campos magnéticos, eléctricos y de

temperaturas, a los que se pueden añadir el campo de esfuerzos y deformaciones por causas externas

e internas.

La resistencia efectiva es la resistencia óhmica incrementada por efecto de la distribución de co-

rriente en los conductores.

En el caso de un conductor cilíndrico recorrido por una corriente, se forma un campo magnético

perpendicular a la dirección del campo eléctrico, con líneas que se cierran formando anillos concéntri-

cos que se extienden al exterior e interior del conductor.

En un campo alterno se producen variaciones del flujo magnético dentro del conductor dando lugar

a corrientes que se superponen a la corriente principal; el valor del flujo en el conductor viene dado III.-77

por: F =

r1

r2

∫ Bz L dr = µ µ0 L r1

r2

∫ Hz dr

y la fuerza electromotriz originada: e = - dΦdt = - µ µ0 L d

dt r1

r2

∫ Hz dr

en las que:

- Bz y Hz son la inducción e intensidad del campo

- µ es la permeabilidad relativa

- µ0 es la permeabilidad del vacío µ0 = 1,256.10-8 Wseg/cm

- L la longitud del conductor

El valor de Φ varía linealmente desde el centro si Bz es uniforme; la corriente principal y las co-

rrientes desarrolladas por la variación de Φ tienen sentido contrario cuando se está más próximo al

eje, y el mismo sentido en las proximidades de la superficie del conductor.

Este fenómeno se conoce como efecto superficie, con el resultado de una utilización deficiente del

conductor y un aumento de la resistencia; el efecto es mayor cuando aumenta la frecuencia y es apre-

ciable en conductores de pequeña sección para valores de f > 1000 ciclos/seg.

La resistencia efectiva Ref se expresa de la forma:

Ref = a R0 = a = x + 1

4 + 3 x64

x = r02 π f

µ µ0re

= ( x + 14 + 3 x

64 ) R0 = (r02 π f

µ µ0re

+ 14 +

3 r0128 π f

µ µ0re

) R0

Los conceptos expuestos son aplicables al calentamiento de la masa en presencia del campo induc-

tor y al calentamiento de los conductores de corriente del inductor.

El campo magnético es mayor en las proximidades del inductor y se superpone con los campos pro-

ducidos por elementos inductores dispuestos convenientemente, y así, en el caso de un solenoide con

espiras suficientemente próximas, si se introduce en el interior un conductor, el efecto de las corrien-

tes es uniforme en dirección axial.

En dirección radial, la distribución de corrientes generadoras de calor es exponencial y la genera-

ción de calor viene dada por una expresión de la forma:

Q = Q0 (Ch 4 π x

f µ µ0re

- cos 4 π x f µ µ0

re)

Para valores de la frecuencia f elevados, la generación de calor se admite uniforme en un espesor

e =

ρef µ µ0

, en el que se ha producido prácticamente todo el calor, viniendo e expresada en cm, si ρe

lo viene en (Ω cm2/cm), µ0 en (Ω seg/cm) y f en ciclos/seg

De la expresión del espesor e se deduce que para valores de la frecuencia y para materiales metáli-

cos a temperatura no muy alta, el calentamiento es prácticamente superficial, siendo fácil su desarro-

llo matemático con manantiales de calor puntuales, lineales o superficiales.

Los calentamientos por inducción presentan la ventaja de generar calor sin contacto físico, locali-

zado en volúmenes determinados y tiempos muy cortos.

Las frecuencias que se emplean dependen de la naturaleza de la carga y del tiempo de calenta-

miento.III.-78

1

10

100

0,1

0,01

0,001

Oxidos refractarios

Oxidos refractarios

Sales fundidas ygases ionizados

Carborundum (CSi)

Grafito (0 a 1000ºC)

Hierro (1000ºC)

Latón (800ºC)Cobre (1000ºC)Latón Cobre

Hierro (m=1000)

Fig A.2.- Valores del espesor de calentamiento en función de la frecuencia para algunos materiales más usuales

La fusión de metales se extiende desde frecuencias bajas hasta frecuencias del orden de 2.105

ciclos/seg. Cuanto menor es la frecuencia, la zona de generación en régimen transitorio es más profun-

da, añadiéndose la transmisión de calor por conducción a la zona sólida. Las frecuencias más elevadas

se utilizan para tratamientos térmicos de materiales en general, incluyendo formas simples como lá-

minas, tubos, o barras, y formas complicadas, como piezas mecanizadas, o partes de un equipo indus-

trial.

Los problemas térmicos en régimen transitorio con generación de calor y fenómenos de fusión se

complican por la presencia de una interfase sólido-líquido en movimiento.

c) Calentamiento dieléctrico.- Se produce en cuerpos no conductores y, según sus aplicaciones,

se conoce como calentamiento por onda corta, diatérmica o calentamiento electrostático.

El término calentamiento dieléctrico incluye todas las aplicaciones de generación de calor por la

polarización de la materia, en presencia de un campo eléctrico.

Cuando las placas de un condensador se someten a una corriente alterna y existe un material die-

léctrico entre las placas, se produce un desplazamiento de cargas en los elementos constituyentes del

material y por la naturaleza alterna del campo eléctrico, se originan movimientos de vaivén que pro-

ducen corrientes y generación de calor en toda la masa del dieléctrico.

- Cuando se trata de un dieléctrico perfecto, estas corrientes no se producen porque en corriente al-

terna la intensidad y la tensión están desfasadas 90º y la potencia es reactiva (ficticia)

- Si el dieléctrico no es perfecto, aparece una componente de corriente en fase con la tensión, desa-

rrollándose el calentamiento dieléctrico

Si la modificación del ángulo de fase por la presencia del dieléctrico es ϕ, el calor generado E viene

dado por la expresión:

E = V

2

Z cos ϕ , siendo:

V la caída de tensión entre los electrodos, en voltios

Z = R2 + 1(C w)2 , la impedancia del sistema

ϕ el ángulo de pérdidas dieléctricas

Para un condensador plano: C =

ε ε0 SL

III.-79

donde:

ε 0 es la constante absoluta del vacío = 0,885.10-13 F/cm), y ε es la constante relativaS es la superficie del condensador y L la distancia entre placas

Para un condensador plano, el calor generado es: E = V

2

L2 C w 1 - cos2ϕ cos ϕ ( Wcm3 )

y si cos ϕ es pequeño: E = ε ε0 E*2 2 π f cos ϕ = 5,52.10-13 ε E*2 f cos ϕ

siendo: E* = campo eléctrico = VL

, y f la frecuencia en ciclos/seg.

En la Tabla A.5 se dan los valores de ε y ϕ para distintos materiales, valores que son función de la

temperatura y, por lo tanto, de la generación de calor.

En la ecuación anterior E es función de las variables que intervienen en la misma, pero el efecto

de f sobre ε y ϕ puede ser mayor que la relación indicada.

Tabla A.5.- Propiedades de algunos dieléctricos

Material T (ºC)Arena 25 (a) 3,42 2,5 2,5

25 (b) 0,19 0,017 0,0036Caucho 25 (a) 2,4 2 2

25 (b) 10 44 30Cuero 25 (a) 30 7

25 (b) 140000 1000Cuarzo fundido 25 (a) 3,78 3,78 3,78

25 (b) 8,5 4 22,5Esteatita (400) 25 (a) 5,54 60 5,7

25 (b) 160 5,77 22Fibra de vidrio 25 (a) 14 5,9 4

25 (b) 2500 800 360Hielo -12 (a) 4,8 3,7

-12 (b) 8000 7Mármol 25 (a) 15 10 8,6

25 (b) 2000 390 120PLASTICOS

Fenol-Formaldeido 25 (a) 4,87 4,5 3,5525 (b) 300 210 390

Poliamidas 25 (a) 3 3 225 (b) 150 200 100

Acetato de celulosa 25 (a) 3 3 225 (b) 100 200 100

Resinas silicona 25 (a) 3 325 (b) 17 14

Cloruro de polivinilo 25 (a) 1 1 125 (b) 21 15 50

Fibra de poliéster 25 (a) 2 2 225 (b) 7 3 6

Vidrio corning 25 (a) 8,3 12 6,6225 (b) 760 7,08 180

Vidrio borosilicato (a) 26 14 4(b) 4,5 4,05 15

ξ ( a ) ; tg ϕ (b) 102(ciclos/seg) 103(ciclos/seg) 1010 (ciclos/seg)

El potencial que se aplica está limitado por la aparición de fenómenos de ruptura del dieléctrico,

que para los materiales más frecuentes es del orden de 20 kV; en la práctica se trabaja entre 10÷12

kV con campos eléctricos de 1.000÷2.000 kV.

La generación de calor dentro del material es función del campo eléctrico y éste puede variar se-

III.-80

gún sea la forma geométrica del condensador.

Cuando la pieza a calentar es de forma arbitraria, se puede lograr un campo eléctrico uniforme por

disposición de las placas del condensador en forma adecuada, dejando un espesor variable de aire en-

tre placas y carga.

Las ventajas del calentamiento dieléctrico en medios no conductores son análogas a las del calen-

tamiento por inducción en medios conductores, añadiéndose en el primer caso la generación de calor

en toda la masa, según la distribución del campo eléctrico, los valores de ϕ, f y la temperatura.

Las frecuencias de trabajo se encuentran entre 106÷108 ciclos/seg y las temperaturas a partir de

100ºC, para calentamiento de planchas de plástico, aglomerados, fusión de polvos y láminas de mate-

riales de bajo punto de reblandecimiento, hasta la fusión de vidrios y otros cuerpos térmicos a

1.000÷1.500ºC.

El calentamiento dieléctrico tiene aplicaciones específicas que no son posibles con otros procedi-

mientos, como el caso del secado de piezas complicadas, en las que el calentamiento uniforme expulsa

el agua del interior sin producir variaciones dimensionales anormales, que den lugar a grietas o res-

quebrajaduras.

La eliminación de tensiones térmicas, preparación de semiconductores, catalizadores, etc., son

otros ejemplos de las distintas aplicaciones que presenta el calentamiento dieléctrico.

d) Arco eléctrico.- Los arcos eléctricos se producen por descargas eléctricas mantenidas a través

de gases más o menos ionizados; en un arco eléctrico intervienen tres elementos, cátodo, ánodo y co-

lumna de gas, siendo distintas las temperaturas en cada uno de ellos.

El valor máximo corresponde a la columna de gas y es del orden de 6.000ºK en los arcos normales,

pudiendo llegar a 10.000ºK en los arcos de antorcha.

Las temperaturas del cátodo y del ánodo son del orden de 2.000ºC÷2.500ºC, siendo mayores en el

primero que en el segundo.

Las aplicaciones del arco eléctrico son numerosas y se extienden continuamente a medida que se

profundiza en el conocimiento de los fenómenos que presenta el comportamiento de los componentes

del arco.

El calor generado se utiliza para fundir metales, en arco libre, con arco sumergido, o bajo carga.

La soldadura por arco es una de las aplicaciones más frecuentes, a las cuales pueden añadirse la

fabricación de nitruros, carburos, etc., y sus compuestos, así como las reacciones químicas con molécu-

las estables que necesitan elevadas temperaturas para su descomposición.

En un arco eléctrico, la distribución de focos térmicos se complica por la superposición de campos

eléctricos, magnéticos y partículas libres con carga en movimiento; la característica común a todos los

arcos es la presencia de materia en un estado que se denomina plasma y que intuitivamente se identi-

fica con las llamas.

Un plasma es, en general, la mezcla de tres componentes, electrones, iones positivos, y átomos o

moléculas, todos ellos libres y en movimiento, independientemente de su estado sólido, líquido o gas.

Los plasmas de gases a temperaturas altas no están en equilibrio, a diferencia de las otras clases de

plasmas, Fig A.3. Los plasmas mantienen su neutralidad eléctrica a escala macroscópica, siendo la

cantidad de cargas positivas igual a la de cargas negativas.

Cualquier desviación de esta situación produce campos eléctricos elevados que tienden a restable-

cer el equilibrio. En un gas que tenga, n= 1015 (iones/cm3) de ambos signos y las cargas positivas y ne-

gativas se separan x = 1 cm, el valor del campo E es:

III.-81

E = x n e

ε0 =

e = carga del electrón 1,609.10-19 (C) ε 0 = 8,85.10-12 (F/cm)

= 1,808.104 ( eV )

A escala microscópica la neutralidad del plasma se puede alterar extendiéndose la perturbación a

una cierta distancia λD, conocida como longitud de Debye. Si las cargas se separan λD la energía po-

tencial de longitud de cada partícula vale kBT, siendo kB la constante de Boltzman, cumpliéndose:

e V = kB T ≅ n

ε0 e2 λD

2 ⇒ λD= kB T ε 0

e 2 n, con kB = 8,62.10-5 ( eV/ºK )

Para una temperatura del plasma de 104 ºK: kB T = 8,62.10-5x 104= 0,862 (eV)

Características de los arcos eléctricos.- La presión de las zonas de plasma de los arcos eléctri-

cos se extiende desde 10-2 kg/cm2 hasta 100 kg/cm2 con un grado de ionización variable del 5%÷50%,

Fig 3.A.

Los tres componentes del arco, cátodo, plasma y ánodo son específicos en cada caso particular.

El arco se obtiene acercando los electrodos hasta una posición para la cual se inicia la descarga a

través del medio y posteriormente se separan los electrodos a la distancia de funcionamiento. La caí-

da de tensión entre cátodo y ánodo no es muy elevada variando entre 20÷220 V, siendo mayor en co-

rriente alterna que en corriente continua.

Las corrientes se extienden

desde 50÷100 A para bajos voltajes hasta 106 A en electrodos fríos de cobre

En el cátodo se desprenden electrones por emisión termoiónica con una velocidad dada (Richard-

son), de la forma: velec cát = A T 2exp(- B

T ) , en la que A es una característica del material del cátodo, T

(ºK), y B = Φ e

kB T , con

Φ trabajo de extracción de los electrones del materiale la carga del electrón kB la constante de Boltzman

que se aceleran por el campo eléctrico, produciendo iones positivos en las inmediaciones del cátodo a

distancias de 10-3 cm, que

se precipitan en el cátodo elevando su temperatura producen más electrones por emisión secundaria

.

La emisión termoiónica se puede aumentar incorporando compuestos que presentan una determi-

nada energía o trabajo de extracción, como los óxidos de torio o bario.

Los cátodos presentan las mayores densidades de potencia, por la naturaleza puntual de los focos

térmicos, y pueden ser,

fríos ( hierro , cobre ) que llegan a corrientes de 106 Acalientes, ( volframio, grafito ), con corrientes de 10 4 A

.

En el plasma se tienen las temperaturas más elevadas, que pueden llegar hasta 20.000ºK , depen-

diendo de la composición, corriente y forma geométrica.

La corriente de electrones realiza tres funciones:

- Genera o mantiene el plasma

- Le calienta por efecto Joule

- Compensa la presión del plasma por la presión del campo magnético creado por las corrientes

Cuanto mayor es la distancia entre cátodo y ánodo, los plasmas son tanto mas cilíndricos debido a

que el campo eléctrico es casi uniforme y el campo magnético son líneas circulares que confinan el

plasma, mientras que a distancias menores el efecto de los campos magnéticos en las proximidades de

los electrodos tiene mayor influencia y la forma tiende a ser esférica. III.-82

Fig A.3.- Plasmas gaseosos

La temperatura del plasma es función de las pérdidas por radiación, que dependen de:

- La composición del plasma

- Su forma y volumen

- Las características del medio que recibe las radiaciones

En arcos libres en hornos, la carga recibe calor por:

- Radiación del plasma

- Irradiación de los materiales cerámicos refractarios de las paredes

Si en la carga de uno de los electrodos interviene también la conducción, la influencia de este fenó-

meno aumenta cuando se trata de arcos sumergidos, debido a que el calentamiento se produce tam-

bién por la resistencia del propio electrodo.

La naturaleza radiante del plasma viene fijada por todos los procesos que intervienen y provocan

la emisión fotónica, incluyendo la presencia de iones procedentes de los materiales del cátodo y del

ánodo.

En el ánodo, los electrones pierden su energía

cinéticade extracción

, desprendiéndose mayor cantidad de

calor que en el cátodo.

Si la superficie del ánodo es pequeña, el aumento de temperatura es grande y se originan fenóme-

nos de emisión termoiónica, que se oponen a la corriente del arco.

La refrigeración en el caso de

soldaduraaumento de superficie

minora el fenómeno.

La generación de calor se extiende a 10-3 cm de la superficie y su distribución es gaussiana con

máximo en el centro del ánodo, dependiendo de las características del plasma y sus dimensiones.

III.-83

En consecuencia, los componentes del arco, cátodo plasma y ánodo no son independientes y cada

arco eléctrico es el resultado de la serie de fenómenos que tienen lugar en sus componentes. Los focos

térmicos son más elevados en el cátodo, pudiéndose considerar uniformes, mientras que en el plasma

y ánodo tienen forma de campana de Gauss

Reacciones químicas.- Desde el punto de vista térmico, las reacciones químicas son las fuentes o

sumideros de energía más utilizados y su importancia se extiende desde reacciones muy exotérmicas

como son la combustión de carbón, petróleo y combustibles en general, hasta las reacciones que tienen

lugar en formas elementales de vida.

Este espectro de aplicaciones se extiende desde temperaturas de aproximadamente 10.000ºK, don-

de la materia se encuentra en estado de plasma, hasta las proximidades del cero absoluto.

La presencia de una reacción química implica la existencia de campos de temperatura cuya distri-

bución exige la existencia de focos o flujos térmicos, con las condiciones de contorno impuestas por un

volumen de control correspondiente a un aparato, y su aplicación industrial con materiales y condicio-

nes de funcionamiento.

La cantidad de calor que se desprende, o absorbe, en una reacción química queda determinada por

la variación de las funciones termodinámicas que intervienen en el proceso, en la forma:

− ΔGº

T = R ln K = exp (- ΔiºR T + ΔSº

R )

donde ΔGº, Δiº y ΔSº, son las variaciones de energía libre, entalpía y entropía, expresadas en unidades

congruentes con R que es la constante universal de los gases perfectos.

Los valores de ΔGº, Δiº y ΔSº se obtienen de Tablas de propiedades termodinámicas a partir de un

estado de referencia convenientemente elegido, mientras que K =

aDd aE

e

aBb aC

c es la constante de equilibrio

de la reacción b B + c C ↔ d D + e E , en la que los valores de aD, aE, aB, aC, son las actividades de los

componentes de la reacción.

En el equilibrio químico, el estado de referencia se elige a una presión determinada y las activida-

des vienen dadas a la presión parcial de los componentes. La relación de K con T se obtiene mediante lo siguiente:

(∂( ΔGº

T)

∂T)p = 1

T ( ∂ΔHº

∂T)p - ΔHº

T 2 - ( ∂ΔSº∂T

)p

Si: ( ∂ΔHº

∂T)p = T ( ∂ΔSº

∂T)p ⇒ (

∂( ΔGºT

)

∂T)p = - ΔHº

T 2 , resulta:

R ( ∂lnK

∂T )p = ΔHºT 2 ⇒ R ( ∂lnK

∂(1/T) ) = - ΔHº ⇒ ln K1K2

= 1R

T1

T2

∫ ΔHºT 2 dT

con: ΔHº= ΔHT1

o + T1

T2

∫ ∑ cp dT

El calor de reacción queda siempre determinado cuando se conocen las propiedades termodinámi-

cas de los componentes y las proporciones de los componentes en estado de equilibrio.

La Termodinámica de procesos reversibles considera solamente sistemas en equilibrio sin distin-

guir entre procesos físicos o químicos, siendo la respuesta para todos los casos la misma, energía ab-

III.-84

sorbida o desprendida y composición del equilibrio.

En el equilibrio, la velocidad de una reacción química es cero y desde el punto de vista del reactor

químico corresponde a una situación límite; de los valores de ΔGº sólo se pueden desprender resulta-

dos cualitativos acerca de las posibilidades de una reacción:

- Si, ΔGº< 0 Kcal/mol la reacción es posible

- Si, 0 < ΔGº< 10 Kcal/mol la reacción es dudosa

- Si, ΔGº > 10 Kcal/mol la reacción es desfavorable pero no imposible

El conocimiento de las velocidades de reacción se denomina cinética química y la aplicación de las

reacciones químicas al equipo más conveniente constituye el diseño de reactores químicos, donde in-

terviene también el movimiento de fluidos, transmisión de calor, y transferencia de materia.

En la velocidad ri

* = 1Ki

dnidt de una reacción química: ni es el número de moles del componente i

que aparece en la reacción, t es el tiempo y Ki depende del estado del sistema.

Para una reacción del tipo: a A + b B → c C, a: v = cte, se tiene: rA

* = dCAdt = r1 CA

a1 CBb1

en la que:

- a1 y b1 son los órdenes de la reacción con respecto a los componentes A y B; pueden ser números

enteros o fraccionarios y no coincidir con los números a y b de la ecuación estequiométrica

- r1 se conoce como constante específica de la reacción, e incluye el efecto de la temperatura y los me-

canismos que intervienen o controlan la reacción

Para un amplio intervalo de temperaturas, ri* se expresa por la ecuación de Arrhenius:

ri

* = f0 exp (- ER T )

en la que f0 se conoce como factor de frecuencias y E es la energía de activación.

Las velocidades de reacción se determinan experimentalmente en elementos diferenciales y los re-

sultados se interpretan por distintos mecanismos, dando consistencia lógica a las velocidades obteni-

das, lo que permite extrapolar a otras reacciones análogas.

Frecuentemente los mecanismos de difusión de componentes, adsorción sobre superficies y reac-

ción química actúan en serie y la analogía con la ley de Ohm indica que la velocidad controlante co-

rresponde al mecanismo que presenta mayor resistencia.

Si existen reacciones simultáneas, las resistencias están en serie-paralelo y cuando alguna de las

resistencias en paralelo es muy elevada, su efecto es despreciable.

Si en una reacción interviene la difusión a temperaturas altas, la velocidad de la reacción es eleva-

da, su resistencia es pequeña y la velocidad controlante es la difusión.

A temperaturas bajas sucede lo contrario y quien controla es la velocidad de reacción.

Con las consideraciones anteriores, el problema de conocer la distribución de focos térmicos se

complica por la presencia de campos de concentraciones, fluidos en movimiento y variación de la velo-

cidad de reacción con las concentraciones y temperaturas.

La distribución de temperaturas puede expresarse por la ecuación diferencial:

∇( k ∇T ) = ρ cp ∂T

∂t + r cp (V grad T ) + ri*ΔH ± E

III.-85

y la distribución de concentración del componente i por: ∇( D ∇Ci ) =

∂Ci∂t + V grad Ci + ri* ± Qm

en las que se incluye la cantidad de materia Qm y el calor E que se aporta o elimina del sistema.

Estas ecuaciones se pueden tratar como lineales, siempre que sus variables se puedan agrupar

convenientemente; los valores de k y D se pueden referir a sólidos o a fluidos en régimen laminar o

turbulento.

En los sólidos (V grad T) y (V grad Ci) no existen y las ecuaciones quedan reducidas a la conduc-

ción y difusión en sólidos con soluciones completamente análogas, si ri* se expresa en forma lineal.

Con fluidos se pueden encontrar valores de k y D equivalentes, situación no desconocida puesto

que se trata de un caso análogo a la transmisión de calor en sólidos anisótropos, cuya solución se ob-

tiene relacionando los parámetros de anisotropía.

El campo de velocidades es el que presenta mayores dificultades, que se simplifican introduciendo

grupos adimensionales, como método general de aproximar las ecuaciones no lineales.

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III.- Conducción de Calor en Régimen Estacionario

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