ALGORITMO DE MATRIZ DE ADMITANCIA

FORMACIÓN DE LA MATRIZ DE ADMITANCIAS

También llamada Ybarra o Ynodo, y los elementos de Yij serán: i y j la fila y la columna correspondientes de la matriz. La matriz de admitancias puede formarse de diferentes maneras, entre las cuales se encuentran las siguientes:

• 1. Aplicación de la ley de corrientes de Kirchhoff. • 2. Por inspección de la red. • 3. Por la aplicación de matrices de transformaciones

singulares.

FORMACIÓN DE LA MATRIZ DE ADMITANCIAS APLICACIÓN DE LA LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF.

La ley de corrientes establece que: “la suma algebraica de las corrientes que entran a un nodo en un nodo es igual a cero” y se expresa matemáticamente por medio de la siguiente ecuación:

Que también puede expresarse como: “la suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo nodo”. La ecuación es:

Dónde: • nce Corrientes que entran al polo. • ncs Corrientes que salen del polo.

EJEMPLO. En la figura 2.1 se presenta una red de tres nodos más el de referencia en la cual se han etiquetado todos los puntos nodales. Encontrar la matriz de admitancias aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff.

SOLUCION: • Transformando las fuentes de voltaje en serie con sus impedancias a fuentes de

corriente en paralelo con sus respectivas impedancias, y se analizando cada nodo por separado, se tiene para el nodo uno la representación mostrada en la Figura 2.2.

Aplicando la ley de corrientes al nodo dos, como se muestra en la figura 2.3:

Para el nodo tres, después de transformar la fuente de voltaje en serie con la impedancia de j0.8, a una fuente de corriente en paralelo con la misma impedancia, se tiene la representación en la figura 2.4:

En las ecuaciones anteriores las variables a determinar son voltajes en los nodos 1, 2 y 3, por lo que se pueden relacionar matricialmente de la forma siguiente:

En forma compacta se acostumbra a escribir la ecuación anterior en forma:

Dónde: • Y Matriz de admitancias. • V Vector de voltajes nodales. • I vector de corrientes aplicadas a cada nodo.

Así, para el sistema de tres nodos de la figura 2.1 la ecuación se puede expresar en forma general :

Los elementos Yij de la matriz de admitancias de la ecuación, son conocidos como:

• Admitancias propias cuando i = j , esto es: Y11, Y22 y Y33

• Admitancias mutuas cuando i ≠ j , esto es; Y12, Y13 , Y21 , Y23, Y31 y Y32

Sustituyendo valores en la matriz se tiene:

Algoritmo de la Matriz Y aplicando la Ley de Corriente de Kirchoff

Aplicar ley de Corriente de

Kirchoff

Determinación de la Matriz Y aplicando la Ley de Corriente de

Kirchoff

FIN

Introducir el numero de Nodos y cantidad de

Impedancias del Sistema

Aplicar Ley de Ohm para cada corriente entre

nodos

Llevar el sistema de ecuaciones a una matriz[Y][V]=[I]

FORMACIÓN DE LA MATRIZ DE ADMITANCIAS POR INSPECCIÓN DE LA RED

Los sistemas eléctricos reales normalmente están formados por un considerable número de nodos, por lo que no es cómodo establecer para cada uno la ley de corrientes de Kirchhoff y encontrar una relación semejante a las ecuaciones , , , en su lugar se acostumbra a tener la información de la red como se muestra en la tabla 2.1.

La forma sistemática y rápida para encontrar la matriz de admitancias por inspección a partir de los datos de la tabla 2.1 es:

Para los elementos de la diagonal principal, la admitancia propia es igual a:

Dónde: • Ei Número de elementos conectados al nodo . • Zk Impedancia conectada al nodo . • Yii Admitancia propia del nodo .

En palabras, “la admitancia propia de cada nodo de matriz [Y], es igual a la suma de los inversos de las impedancias de los elementos conectados a ese nodo”

Las admitancias colocadas fuera de la diagonal principal de la matriz de admitancias se obtienen a partir de la relación siguiente.

Dónde: • P Índice del nodo de inicio. • Q Nodo final. • Yij admitancia mutua entre el nodo i y el nodo j .

Nota: los nodos P y Q deben de ser diferentes al nodo de referencia.

• EJEMPLO. Analizar la tabla 2.1 sin considerar el nodo de referencia (0) y usando el método de

inspección de la red, encontrar la matriz de admitancias. SOLUCION: El nodo uno está formado por los elementos 1, 2 y 3 de tal manera que:

De igual manera para el nodo dos, la admitancia Y22 esta formada por los elementos 2, 4 y 5, y es igual a:

Finalmente para el nodo tres, su admitancia está formada por los elementos 3, 5 y 6, que es igual a:

Los elementos de la matriz de admitancias se obtienen de la observación de las columnas P y Q sin considerar el elemento cuando Q=0.

Para los elementos dos y cuatro en que P=1 y Q=2 se tiene:

Para los elementos tres y siete se tiene P=1 y Q=3, por lo tanto:

Para los elementos seis y ocho se tiene P=2 y Q=3, por lo tanto:

El signo negativo en las admitancias es debido a que la corriente entre el nodo i y el nodo j , queda determinada por la diferencia de voltaje del nodo i y del nodo j, de donde aparece el término –Vj ⁄ Zij. La matriz de admitancias pertenece a la red bilateral lineal en donde se cumple que Y12=Y21, Y13=Y31, Y32=Y23. La matriz de admitancias así formada es igual a la establecida en la ecuación

ALGORITMO DE LA MATRIZ DE ADMITANCIAS POR INSPECCIÓN DE LA RED

Datos primarios • Ei Número de elementos conectados al

nodo . • Zk Impedancia conectada al nodo . • Yii Admitancia propia del nodo .

Datos secundarios• P Índice del nodo de inicio. • Q Nodo final. • Yij admitancia mutua entre el nodo y

el nodo

Identificación del # de

nodos del sistema

[Zk], [Yii], [Yij]

FIN

FORMACIÓN DE LA MATRIZ DE ADMITANCIAS POR LA APLICACIÓN DE MATRICES DE TRANSFORMACIONES SINGULARES

Este método es una alternativa. Esta matriz tiene la particularidad de no tener inversa, de donde proviene el nombre del método. Para formar esta matriz de transformación, únicamente se hace uso de la interconexión de la red asignando una referencia al nodo de envió y al nodo de recepción, mismos que son designado de manera convencional por quien utiliza el método.

ALGORITMO DE LA MATRIZ DE ADMITANCIAS POR LA APLICACIÓN DE MATRICES DE TRANSFORMACIONES SINGULARES

Determinar la Matriz Admitancia por la aplicación de matrices

singulares

Numerar los nodos y las Impedancias del

sistema

Tabla de Incidencia de Elemento-Nodo

Eliminar de La Tabla de Incidencia la columna del Nodo de Referencia=

[A]

[A]T

Construir la matriz[Yprim]

[A]T.[Yprim].[A]=[Y]

FIN