Post on 03-Apr-2018
7/28/2019 Algebra_-_mtodo_simplex
1/10
El mtodo del simplex. Ejercicios resueltos y comentados
1.- Resolver utilizando el mtodo del simplex el programa siguiente
Max
sujeto a
x x x
x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
9
2 3 9
3 2 2 15
0
+ +
+ + + +
, ,
.
Solucin:
Paso 1: En primer lugar, transformamos este programa de forma cannica a forma estndar mediante la
introduccin de dos variables de holgura
Max
sujeto a
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
h h
h
h
h h
1 2 3 1 2
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 1 2
9 0 0
2 3 9
3 2 2 15
0
+ + + +
+ + + =
+ + + =, , , ,
Expresamos ahora los componentes del problema en forma matricial
C X
x
x
x
x
x
A Bh
h
=
=
=
=
1
9
1
0
0
1 2 3 1 0
3 2 2 0 1
9
15
1
2
3
1
2
; ; ;
y comprobamos que rg rgA A B= =( , ) 2 . Esto significa que el sistema AX B= es compatible.
Adems obtenemos una base cannica en la matrizA utilizando las dos ltimas columnas lo que implica que
no son necesarias variables artificiales para este problema.
Paso 2: Determinamos una primera solucin factible bsica utilizando la matriz bsica cannica Ab =
1 0
0 1,
y tenemos X A Bb01 1 0
0 1
9
15
9
15= =
=
Esta solucin bsica es factible no degenerada y permite considerar las variables de holgura como bsicas y
sus costes asociadas como bsicos
Xx
xb
h
h=
1
2
C00
0=
.
Las variables deholgura se
incorporan a lafuncin objetivo con
costos (coeficientes)
nulos.Este es el
cuerpo de lasrestriccionesRestricciones de no
negatividad para las
variables
7/28/2019 Algebra_-_mtodo_simplex
2/10
Paso 3: Como se trata de un problema de maximizacin utilizaremos el siguiente esquema para la primera
tabla del simplex
XT
CT
z cj j C A CT T0 C BT
0
Calculamos en primer lugar los valores C A CT T0 y C BT
0 y luego sustituimos en esta primera tabla
C A CT T
0 = ( , ) ( , , , , ) ( , , , , )0 01 2 3 1 0
3 2 2 0 119 1 0 0 1 9 1 0 0
=
C BT
0 0 09
150=
=( , )
x x x x xh h1 2 3 1 2
1 9 1 0 0
x
x
h
h1
2
0
0
1 2 3 1 0
3 2 2 0 1
9
15
z cj j -1 -9 -1 0 0 0
Paso 4: Para evitar confusiones prescindimos de los valores de la segunda columna y a continuacin
localizaremos el nmero ms negativo de la ltima fila (excluyendo la ltima columna). La columna del
cuerpo de la tabla que est situada inmediatamente encima ser la columna de trabajo.
x x x x xh h1 2 3 1 2
1 9 1 0 0
x
x
h
h1
2
[ ]
[ ]
1 2 3 1 0
3 2 2 0 1
9
15
z cj j -1 -9 -1 0 0 0
X Cb b A BEste es el cuerpo de
la tablaAqu se
disponen las
variables bsicasy sus costes
asociados
Este es el nmero
ms negativo de la
ltima fila (sin contarel elemento de la
ltima columna)
Esta es la columna
de trabajo
7/28/2019 Algebra_-_mtodo_simplex
3/10
Ahora dividiremos cada nmero de la ltima columna del cuerpo de la tabla por el correspondiente en la
columna de trabajo
x x x x xh h1 2 3 1 2
1 9 1 0 0
x
x
h
h1
2
[ ]
[ ]
1 2 3 1 0
3 2 2 0 1
9
15
z cj j -1 -9 -1 0 0 0
y obtenemos los valores 9/2 = 4,5 y 15/2= 7,5. Entre tales valores se escoge el que d un resultado menor
y el elemento de la columna de trabajo que proporciona este valor mnimo se distingue como elemento
pivote.
x x x x xh h1 2 3 1 2
1 9 1 0 0
x
x
h
h1
2
1 2 3 1 0
3 2 2 0 1
*
9
15
z cj j -1 -9 -1 0 0 0
Paso 5: Prescindimosde los valores numricos de la ltima fila de la tabla y utilizando operaciones
elementales defilas reducimos a ceros todos los elementos de la columna de trabajo distintos del pivote y a
ste lo hacemos igual a la unidad
x x x x xh h1 2 3 1 2
1 9 1 0 0
x
x
h
h1
2
1 2 1 3 2 1 2 0
3 2 2 0 1
/ / /*
9 2
15
/
z cj j
x x x x xh h1 2 3 1 2
1 9 1 0 0
x
x
h
h1
2
1 2 1 3 2 1 2 0
2 0 1 1 1
/ / /*
9 2
6
/
z cj j
A la segunda fila leaadimos el
resultado demultiplicar (-2) por
la primera
Este es el elemento
pivote
Hemos multiplicado
por todos loselementos de la
primera fila del
cuerpo de la tabla
7/28/2019 Algebra_-_mtodo_simplex
4/10
Paso 6: La variable bsica situada en la fila del pivote pasa a ser no bsica y la variable no bsica situada en
la columna del pivote pasa a ser bsica. Aadimos ahora sus costes asociados. (Sealemos que no es
conveniente retocar las variables de la primera fila de la tabla).
x x x x xh h1 2 3 1 2
1 9 1 00
x
xh2
2
9
0
1 2 1 3 2 1 2 0
2 0 1 1 1
/ / /*
9 2
6
/
z cj j
Paso 7: Reiteramos los pasos 3 y 4 y volvemos a efectar los clculos z cj j , teniendo en cuenta que ahora
es
A =
1 2 1 3 2 1 2 0
2 0 1 1 1
/ / /*; B =
9 2
6
/; C0
9
0=
y resulta
C A CT0 9 01 2 1 3 2 1 2 0
2 0 1 1 11 91 0 0 7 2 0 25 2 9 2 0 =
=( , )
/ / /( , , , , ) ( / , , / , / , )
*
C BT
0 9 09 2
681 2=
=( , )
// .
Reiteracin del paso 3x x x x xh h1 2 3 1 2
1 9 1 0 0
x
xh2
2
9
0
1 2 1 3 2 1 2 0
2 0 1 1 1
/ / /*
9 2
6
/
z cj j 7/2 0 25/2 9/2
0
81/2
Reiteracin del paso 4: No es posible debido a que no hay valores negativos en la ltima fila (sin contar laltima columna). En consecuencia, el algoritmo se detiene. En el caso de que hubiera aparecido un
nmero negativo en esta ltima fila, deberemos reiterar los pasos 5, 6 y 7.
Una vez que el algoritmo se ha detenido, identificamos las variables bsicas presentes, que en este caso,
son x xh2 2, y les asociamos los valores de la ltima columna del cuerpo de la tabla
7/28/2019 Algebra_-_mtodo_simplex
5/10
x x x x xh h1 2 3 1 2
1 9 1 0 0
x
xh2
2
9
0
1 2 1 3 2 1 2 0
2 0 1 1 1
/ / /*
9 2
6
/
z cj j 7/2 0 25/2 9/2
0
81/2
x
xh2
2
9 2
6
=
/
y el resto de las variables se hace cero
x
x
xh
1
3
1
0
0
0
=
quedando como vector solucin
x
x
xx
x
h
h
1
2
3
1
2
0
9 2
00
6
=
/
y como valor mximo de la funcin objetivo tenemos el indicado en la ltima fila y ltima columna: 81/2.
2.- Resolver utilizando el mtodo del simplex el programa siguiente
Min
sujeto a
z x x
x x
x x
x x
= +
+ + =
80 60
0 20 0 32 0 25
1
0
1 2
1 2
1 2
1 2
, , ,
,
.
Solucin:
Paso 1: Transformamos este programa de forma mixta a forma estndar mediante la introduccin de una
variable de holgura
Min
sujeto a
z x x x
x x x
x x
x x x
= + +
+ + =+ =
80 60 0
0 20 0 32 0 25
1
0
1 2 3
1 2 3
1 2
1 2 3
, , ,
, ,
.
Como no podemos obtener una base cannica para la determinacin de la primera solucin factible bsica,debemos introducir una variable artificial en la ltima restriccin. Esta variable artificial se incorpora a la
funcin objetivo con un coeficienteMmuy grande con el fin de que el algoritmo quede penalizado por los
valores de esta variable
Min
sujeto a
z x x x Mx
x x x
x x x
x x x x
= + + +
+ + =+ + =
80 60 0
0 20 0 32 0 25
1
0
1 2 3 4
1 2 3
1 2 4
1 2 3 4
, , ,
, , ,
.
7/28/2019 Algebra_-_mtodo_simplex
6/10
Expresamos el programa en forma matricial
C
M
X
x
x
x
x
A B=
=
=
=
80
60
0
0 20 0 32 1 0
1 1 0 1
0 25
1
1
2
3
4
; ;, ,
;,
y ahora podemos comprobar que rg rgA A B= =( , ) 2 .
Paso 2: Determinamos una primera solucin factible bsica utilizando la matriz bsica cannica Ab =
1 0
0 1,
y tenemos X A Bb01 1 0
0 1
0 25
1
0 25
1= =
=
, ,. Esta solucin bsica es factible y no degenerada, pudiendo
escribir
Xx
xb =
3
4
CM
0
0=
.
Paso 3: Como se trata de un problema de minimizacin utilizaremos el siguiente esquema para la primera
tabla del simplex
XT
CT
c zj j C C AT T 0 C BT
0
Vamos a efectar los clculos y sustituir en esta primera tabla
( , , , ) ( , ), ,
( , , , ); ( . ),
80 60 0 00 20 0 32 1 0
1 1 0 180 60 0 0 0
0 25
1M M M M M M
=
=
x x x x1 2 3 4
80 60 0 M
c zj j 80-M 60-M 0 0 -M
Paso 4: Para evitar errores de redondeo vamos a desglosar la ltima linea de la primera tabla en dos lineas.
La primera contiene a los trminos que no contienenMy la segunda a los trminos que lo contienen.
x x x x1 2 3 4
80 60 0 M
X Cb b A B
x
x M
3
4
0
0 20 0 32 1 0
1 1 0 1
, ,
0 25
1
,
7/28/2019 Algebra_-_mtodo_simplex
7/10
80 60 0 0
-1 -1 0 0
0
-1
Paso 5: Se aplica ahora el algoritmo del simplex a la ltima fila de la tabla anterior, considerando que el
cuerpo de la tabla se amplia con la penltima fila. As buscamos, en primer lugar, el elemento ms
negativo de esta ltima fila (sin incluir la ltima columna).
x x x x1 2 3 4
80 60 0 M
x
x
3
4
0 20 0 32 1 0
1 1 0 1
, ,
80 60 0 0
0 25
1
,
0
-1 -1 0 0 - 1
De esta forma, la columna de trabajo es la primera del cuerpo de la tabla
x x x x1 2 3 4
80 60 0 M
x
x
3
4
[ ][ ]
0 20 0 32 1 0
1 1 0 1
, ,
80 60 0 0
0 25
1
,
0
-1 -1 0 0 - 1
x
x M
3
4
0
0 20 0 32 1 0
1 1 0 1
, ,
0 25
1
,
Hay dos elementos
ms negativos, y
elegimos este por
comodidad
7/28/2019 Algebra_-_mtodo_simplex
8/10
Dividimos cada elemento de la ltima columna del cuerpo de la tabla por el correspondiente en la columna
de trabajo.
x x x x1 2 3 4
80 60 0 M
x
x3
4 [ ]
[ ]0 20 0 32 1 0
1 1 0 1, ,
80 60 0 0
0 25
1
,
0
- 1 -1 0 0 - 1
y obtenemos 0,25 /0,20 = 1,25 , 1/1 = 1. Esto nos indica que el elemento pivote es el segundo de la primera
columna del cuerpo de la tabla
x x x x1 2 3 4
80 60 0 M
x
x
3
4
0 20 0 32 1 0
1 1 0 1
, ,*
80 60 0 0
0 25
1
,
0
- 1 -1 0 0 - 1
A continuacin hacemos ceros con operaciones elementales de filas en el cuerpo de la tabla
y en la ltima fila.
x x x x1 2 3 4
80 60 0 M
x
x
3
4
0 012 1 0 20
1 1 0 1
, ,
0 -20 0 -80
0 05
1
,
-80
0 0 0 1 0
Cambiamos las variables bsicas y no bsicas. As x1 pasa a ser bsica y x4 deja de ser bsica.
Observacin importante: Siempre que una variable artificial deja de ser bsica, se elimina de la
primera lnea de la tabla junto con toda la columna por debajo de ella.
Como la variable x4 es artificial y ha dejado de ser bsica, podemos eliminar toda la columna por debajo de
ella.
Observacin importante: La ltima fila de la tabla puede eliminarse si nos da todo ceros.
7/28/2019 Algebra_-_mtodo_simplex
9/10
Como esto ocurre en nuestra tabla podemos suprimir la ltima fila.
x x x1 2 3
80 60 0
x
x
3
1
0 0 12 1
1 1 0
,
0 -20 0
0 05
1
,
-80
Calculamos de nuevo C C AT T 0 y C BT
0 , con los valores
A =
0 0 12 1
1 1 0
,; B =
0 05
1
,; C0
0
80=
,
( , , ) ( , ),
( , , )80 60 0 0 800 0 12 1
1 1 00 20 0
= ;
= ( , )
,0 80
0 05
180
resultando la tabla
x x x1 2 3
80 60 0
x
x
3
1
0 0 12 1
1 1 0
,
0 -20 0
0 05
1
,
-80
c zj j 0 -20 0 -80
El nmero ms negativo en la ltima fila (excluyendo el correspondiente a la ltima columna) es -20, luego
la columna de x2 es la columna de trabajo.
x x x1 2 3
80 60 0
x
x
3
1
[ ]
[ ]
0 0 12 1
1 1 0
,
0 -20 0
0 05
1
,
-80
0 -20 0 -80
Las razones entre los elementos de ltima columna y los correspondientes de la columna de trabajo son
0,05/0,12= 0,417 y 1/1 =1. De esta manera, el elemento pivote es el 0,12.
Esta es la columna
de trabajo
correspondiente al
nmero ms negativo
7/28/2019 Algebra_-_mtodo_simplex
10/10
x x x1 2 3
80 60 0
x
x
3
1
0 0 12 1
1 1 0
, *
0 -20 0
0 05
1
,
-80
Convertimos el pivote en 1 y hacemos ceros de forma adecuada
x x x1 2 3
80 60 0
x
x
3
1
0 1 8 333
1 1 0
,
0 -20 0
0 416
1
,
-80
x x x1 2 3
80 60 0
x
x
3
1
0 1 8 333
1 0 8 333
,
,
0 0 166,7
0 416
0 584
,
,
-71,68
Entra como variable bsica x2 y sale como no bsica x3 quedando.
x x x1 2 3
80 60 0
x
x
2
1
0 1 8 333
1 0 8 333
,
,
0 0 166,7
0 416
0 584
,
,
-71,68
Como en la ltima fila no aparecen elementos negativos se termina la aplicacin del algoritmo y la solucin
es z= 7168, ya que se cambia el signo del valor obtenido en la ltima fila y columna. Este valor se alcanza
para x x1 20 584 0 416= =, , , .