Algebra 4to...Ecuaciones e inecuaciones de 2º Grado

I.E. Jorge Basadre Grohman - Huaraz

Tercer Trimestre 4to. de Secundaria 1

11 1n pm n.m.pn m.na b c a .b .c

4018 36

I.E. JORGE BASADRE GROHMAN

Capítulo 1

Forma General:

2ax bx c 0

a,b y c: Coeficientes. (a,b,c R) ax

2 : Términos Cuadráticos

bx : Termino lineal c : Termino Independiente Resolución de la Ecuación de Segundo Grado I. Por Factorización. Consiste en Factorizar el 1

Termino de la ecuación, empleando aspa simple o complementando cuadrados enseguida se iguala a cero cada uno de los factores obtenidos.

Ejemplo: Resolver: 2x

2-5x-3 = 0

2 -5x -3 = 0

(2x+1)(x-3) = 0

II. Por Formula. Las raíces de la ecuación ax2+bx+c = 0 se

obtiene mediante formula:

2b b 4ac

Las raíces x1 y x2 de la ecuación son:

2b b 4acx2

O expresando de otro modo, la solución es:

2 2b b 4ac b b 4ac;

Ejemplo: Resolver: x

2+x+3 = 0

Solución: a = 1 ; b = 1 ; c = 3 Remplazando en la formula:

21 (1) 4(1)(3) 1 11ix

2(1) 2

1 11i 1 11ix ; x1 2

2b b 4acx1

Propiedad de las Raíces

1. Suma de Raíces. Se obtiene dividiendo el coeficiente del termino lineal con el signo cambiando, entre el coeficiente del termino cuadrático.

x x1 2a

2. Producto de Raíces. Se determina dividiendo el

término independiente entre el coeficiente del término cuadrático.

x .x1 2a

3. Diferencia de Raíces. Se calcula con la siguiente

fórmula.

Donde: = b2-4ac

| x x |1 2a

Naturaleza de las Raíces Para conocer la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática se analiza el valor que toma la siguiente relación:

= b2-4ac (discriminante)

Se presentan los siguientes casos:

1. >0 ; se obtiene 2 raíces reales y diferentes.

2. =0 ; se obtiene 2 raíces reales e iguales.

3. <0 ; se obtiene 2 raíces complejas conjugadas.

Observaciones:

0 ; Raíces Reales

Propiedades Adicionales

Raíces Simétricas

x x 01 2

Rices Reciprocas

x .x 11 2

Teorema: Si las ecuaciones:

2a x b x c 01 1 1

2a x b c c 02 2 2

Son equivalentes:

a b c1 1 1

a b c2 2 2

Formación de la Ecuación de Segundo Grado Existen 2 procedimientos para formar una ecuación:

1. Se forma un producto de 2do

. grado a partir de las raíces de los binomios cuyo primer término es la incógnita. Siendo los segundos las raíces con signos cambiados; finalmente se iguala a cero dicho producto.

2. Consiste en calcular la suma “S” y el producto “P” de

las raíces; luego se remplaza estos dos valores en la siguiente fórmula:

2x Sx P 0

CEP Santa María de la Providencia

Tercer Periodo 5to. de Secundaria 9

PROBLEMAS NIVEL I

01.- Resolver: 2x 9x 20 0 . Indicar una solución:

a) 4 b) 1 c) 2 d) 3 e) 7

02.- Resolver: 2 2x 6x 9 n

hallar un valor de “x” a) n+1 b) n-1 c) n-3 d) n-2 e) 3-n 03.- Hallar “m” si las raíces de la ecuación:

2x (m 7)x 25 0 ; m 0 , son iguales.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 04.- Hallar “n”, si la ecuación presenta raíz doble:

29x (n 2)x 1 0 ; n 0

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 10 05.- Hallar “n” , si la suma de raíces de la ecuación es 12.

2(n 1)x 3(n 5)x 10 0

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 10 06.- Hallar “m” , si la suma de raíces de la ecuación es 3.

2(m 2)x (2m 5)x 4m 1 0

a) 10 b) 9 c) 11 d) 12 e) 16 07.- Hallar “m”, si el producto de raíces es 20.

2(m 2)x (m 7)x 2(9m 1) 0

a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

08.- Hallar “m”, si la ecuación tiene por raiz a 2; “m” es impar;

2 25x 10x m 5m 6 0

a) 1 b) 21 c) 3 d) 5 e) 7 09.- Hallar “n”, si la ecuación tiene por raíz a 2; n<0

2 2(n 2)x (2n 3)x n 27 0

a) -3 b) -2 c) -1 d) -5 e) -10 10.- Formar la ecuación de 2do grado sabiendo que sus raíces

son: x1 = 7 2 ; x2 = 7 2

2 -14x + 49 = 0

b) b) x2 -14x + 45 = 0

c) x2 -14x + 47 = 0

d) x2 +14x-47 = 0

e) x2 -14x -47 = 0

NIVEL II

01.- Una raíz de la ecuación: 2abx (3a 2b)x 6 0

a) -2/b b) -2/a c) 3/b d) 4/b e) 6/b 02.- Si una raíz de la ecuación : ax

2+b+c = 0

es el cuádruple de la otra. Calcular: E = 2b

a) 5/2 b) -5/2 c) 5/4 d) 25/4 e) 36/25 03.- Hallar “m”, si el trinomio: F(x) = 9x

2+2mx+m es cuadrado

perfecto; m > 0 a) 1 b) 2 c) 3 d) 9 e) 10

04.- Hallar “m”, si las raíces de la ecuación son recíprocas.

2(m 3)x (m 2)x 3m 15 0

a) 1 b) 2 c) 6 d) 7 e) 8 05.- Para que valor de “n”, las raíces de la ecuación:

2x 3x n 1

5x 2 n 1

son simétricas. a) 5 b) 4 d) 3 d) 2 e) 1 06.- Si: x1 y x2 son las raíces de la ecuación: x

2 - 3x + 1 = 0

Calcular el valor de:

2 21 1 2 2T x (x 1) x (x 1)

a) 17 b) 19 c) 21 d) 23 e) 45 07.- Para que valor de “n” las raíces de la ecuación:

24x nx 5 0

Verifican: 3x1 + x2 = - 8 x1 + 3x2 = -4 a) -12 b) 6 c) -6 d) 18 e) 12 08.- Calcular: E = (5 - x1)(7+ x1)(5-x2)(7+ x2) Sabiendo que: x1 y x2 son las raíces de la ecuación: x

2 – x + 1 = 0

a) 1120 b) 1197 c) 1161 d) 2214 e) 1125 09.- Determinar el valor de “m” de tal manera que la ecuación

cuadrática en: 2 2 4x 2(m 4m)x m 0 tenga sus dos raíces

con un mismo valor diferente de cero. a) 1 b) 4 c) -2 d) -4 e) 2

10.- Para que valor de “n”, el discriminante de la ecuación: x

2 – 8x + n = 0 es igual a 20.

a) 44 b) 11 c) 33 d) 22 e) 17 NIVEL III 01.- Indicar una raíz de la ecuación cuadrática:

x x 4n 1 0

a) 6 b) 6 c) 3 d) 3 e) NA

02.- Determinar el menor valor de “m”, de tal manera que la ecuación: ax

2 – (m+1)x + 1 – m = 0

de raíces: x1 y x2

verifique: 1 2

1 1 3m 17

x x m 4

a) 7 b) 3,5 c) 3 d) 1,5 e) 4 03.- Dada la ecuación: x

2 – x + 2 = 0

de raíces x1 y x2 , calcular:

2 21 2

1 x 1 x

a) 2 b) -2 c) 1 d) -1 e) -4 04.- Encontrar la mayor solución de la ecuación:

2 3 3x ( 4 2 2)x 1 0

a) 3 2 b) 3 2 1 c) 3 34 2 1

d) 3 2 1 e) 3 34 2 1

05.- Para que valor de “n”, el mínimo valor del trinomio: P(x) = x

2 – 2x + n es 4

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

06.- Formar la ecuación de 2do grado cuyas raíces sean 3 veces las inversas al cuadrado de las raíces de: x

2 + x + 12 = 0

a) 48x2+23x+1 = 0

b) 48x2-23x+3 = 0

c) 48x2+23x+3 = 0

d) x2+23x+31 = 0

e) 16x2-23x-3 = 0

07.- Indicar la mayor solución de la ecuación:

4 3 5x 4 3 1 5x 3 1 3 2x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 3 e) 5

08.- Si las ecuaciones:

(2m+1)x

2 – (3m-1)x + 2 = 0

(n+2)x2 – (2n+1)x – 1 = 0

son equivalentes, calcular “m”. a) -9 b) 6,5 c) 9 d) -6,5 e) 14 09.- Para valor de “m”, las raíces de la ecuación:

x(x 1) (m 1) x

(x 1)(m 1) m

son iguales. a) 1/6 b) 1/5 c) ¼ d) 1/3 e) 1/2

10.- Para que valor de “” la diferencia de las raíces de la ecuación:

4x2 – 10(+1)x + 14 + 5 = 0

será mínima. a) 11/50 b) 12/49 c) -12/49 d) -13/48 e) 3/25

PROBLEMAS ADICIONALES 01.- Resolver: (x+3)

3 – x

3 – 9x

2 = 54

a) 0 b) -1 c) 1 d) 2 e) -2 02.- Hallar el valor de “x” en:

x a x b x c

ab ac bc

a b c b)

a b c c)

b c a e)

03.- Luego de resolver:

x 1 2 x

3x 1 2 x

indicar el valor de:

a) 4 b) 3,5 c) 3 d) 2,5 e) 2 04.- Hallar “x”:

a a b b

1 1 1b x a x

a) a+b b) a-b c) a d) b e) ab 05.- Hallar “x” en:

x 1 1 x

2x a b x a b

a) a-b b) (a-b)

2 c) a+b d) (a+b)

2 e) ab

06.- Hallar “x” en:

3 3 3a x a x 5a

2/4 b) 4a

2/5 c) a

2/4 d) a

2/5 e) a

07.- Resolver: 22x 9 2x 3 . Hallar “x”

a) -3 b) -2 c) -4 d) -5 e) incompatible 08.- Calcular “m” en la ecuación: 3x

2 – 7x + m = 0

si una raíz es 6 veces la otra. a) 3 b) -1 c) -2 d) 4 e) 2 09.- Dada la ecuación: 2x

2 – 12x + p = -2

Calcular “p”, para que la diferencia de sus raíces sea 2. a) -7 b) -1 c) -14 d) 14 e) 1 10.- Si: x1 y x2

son raíces de la ecuación: 5x

2 + 4x – 2 = 0 ,

calcular: E = 1 2

a) -3,6 b) 4,8 c) 7,5 d) 4,5 e) 5,4 11.- Si una raíz de la ecuación: x

2 + (m+6)x + 6m = 0

es 3, calcular “m”. a) 1 b) 3 c) 0 d) -3 e) 2 12.- Hallar “a”, para que la ecuación: (a+2)x

2 – 1 = (2a+2)x – a

tenga raíz de multiplicidad dos. a) 4 b) 6 c) 1 d) -1 e) NA 13.- Hallar: (x

2+ ax + a

2) si:

x a x a 4x a

2ax a x a

2/16 b) 61a

2/16 c) 25a

2/16 d) 9a

2/16 e) a

14.- Calcular: (x1 – x2 )

2 si: x1 y x2

son raíces de:

x2 + 7x + 5 = 0

a) 19 b) 29 c) 16 d) 25 e) 4

15.- Calcular el producto de los valores de “n” para que la siguiente ecuación: (n+6)x

2 + (n+3)x = 2 – n

tenga una raíz doble. a) -5 b) 3 c) -3 d) -16 e) NA 16.- Si las raíces de la ecuación: x

2 + px + q = 0 son: “p” y “q”

indicar una de tales raíces. a) 4 b) -2 c) 3 d) -3 e) 2 17.- La ecuación: ax

2 + bx + c = 0 tiene por conjunto solución a:

n+1 n 2

;n n 1

luego un valor de: E =

(a b c)

a) n b) 1 c) n+1 d) n+2 e) 2

18.- Si la ecuación: 2 2

2p p1 q x p(1 q)x q(q 1) 0

tiene una raíz de multiplicidad dos, calcular: 2p

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 18

19.- Si las raíces de la ecuación: 2 2ax b(b 2 a)x b 0

Están en la relación: p/q calcule:

2p q b

Eq p a

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 18 20.- Si: “a” , “b” y “c” son nulos y diferentes entre si, que se puede afirmar acerca de las raíces de:

0x a x b x c

a) son complejas conjugadas b) son reales c) son reales e iguales d) son reales y diferentes

Capítulo 2

Relación de Orden

a < b b – a > 0 Axioma de Tricotomía

a Є R se cumple una y solamente una de las siguientes relaciones: a > 0 a < 0 a = 0 Teoremas Básicos de la Desigualdad

01. a < b a+c < b+c , a,b,c Є R

02. a < b c > 0 ac < bc ; a,b Є R

03. a < b c < 0 ac > bc ; a,b Є R

04. ab > 0 { (a>0 b>0) (a<0 b<0)} signos iguales

05. ab < 0 { (a>0 b<0) (a<0 b>0)} signos iguales

06. a Є R – {0}: a y a-1

presentan el mismo signo.

a < 0 1

07. a < b a2n-1

< b2n-1

, n Є N

08. 0 < a < b a2n

, n Є N

09. a < b < 0 a2n

, n Є N

10. Si: a < x < b ab < 0 entonces 0 x2 < Max(a

11. Si: a < b c < d entonces a+c < b+d

12. Si: 0 < a < b 0 < c < d entonces ac < bd

13. Si: 0 < a < b entonces: a b

14. Si: 0 < a < b entonces: a ab b

INECUACIONES DE 2DO GRADO Forma: ax

2 + bx + c = 0

Resolución por el Método de los puntos críticos 1. Se factoriza el polinomio mediante una aspa simple. 2. Se hallan los puntos críticos, igualando cada factor a cero y

se ubican en la recta numérica o eje lineal de coordenadas. 3. De derecha a izquierda se ubican los signos (+) y menos (–)

en forma alternada en cada intervalo.

4. Luego, si P(x) 0 se tomarán los intervalos (+) y si P(x)0 se tomarán los intervalos negativos.

Ejemplo:

Resolver: x2 – x – 6 0

Respuesta: x [ –2 ; 3 ]

PROBLEMAS BLOQUE I 01.- Resolver: x

2 – x – 6 = 0 . Dar un intervalo solución

a) ;2] 3;

b) ;2] [3;

c) [2;3]

02.- Resolver: 3x

2 – 11x + 6 < 0 . Su intervalo solución será:

a) <2/3;3> b) <-∞;2/3> U<3;+∞>

c) [2/3;3] d) Ф e) 3;+ ∞> 03.- Resolver: x

2 9 . Dar su intervalo solución.

a) [-3;3] b) <-∞;-3] U [3;+∞> c) R d) Ф e) <-3;3> 04.- Resolver: x

2 > 3 . Dar un intervalo de su solución.

a) <-3;3> b) <-3;+ ∞> c) <3;+∞> d) R e) Ф 05.- Resolver: x

2 – 4x + 1 < 0 . Dar un intervalo solución

a) [0;2+ 3 > b) [2- 3 ;0> c) R

d) Hay 2 respuestas e) Ф

06.- Resolver: x2 – 2x – 1 0 . Dar un intervalo solución

a) [1+ 2 ;+∞> b) [1- 2 ;1+ 2 ]

c) <-∞;1- 2 > d) R e) Ф

07.- Resolver: 3x2 – 2x – 5 < 0 . Dar un intervalo solución

a) <-∞;-1> b) <5/3 ;+∞> c) <-1;5/3 > d) Ф e) R 08.- Resolver: x

2 – 6x +25 < 11

a) <3;+∞> b) <-5;+∞> c) Ф d) R e) R+

09.- Resolver: (x-3)2 0

a) R b) [3;+ ∞> c) <-∞;3] d) 3 e) Ф 10.- Resolver: x

2 – 8x + 8 > 4 – 4x

a) [2;+ ∞> b) <-∞;2> c) <2;+ ∞> d) R – {2} e) Ф BLOQUE II 01.- Hallar los valores de “m”, para que la ecuación cuadrática: (m+3)x

2 – 2mx + 4 = 0

tenga soluciones reales.

a) <-∞;-2>U<6;+∞> b) <-2;6> c) <-6;2>

d) <-∞;-6>U<2;+∞> e) Ф 02.- Halle el mayor valor de “k”, si:

x2 – 12x + 40 k

satisface: x R a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

03.- Resolver: (x-2)2 16

a) <-∞;-2]U[6;+∞> b) <-2;6> c) [-2;6] d) R e) Ф

04.- Si el intervalo solución de: 2 25(x 1) 3(x 1) 12x 8

es <-∞;a>U<b; +∞> . Hallar a – b a) -5 b) 12 c) 8 d) -2 e) NA

05.- Sea la inecuación cuadrática: x2 – mx + p 0

cuya solución es: x [2;4] , indique: (pm)/2 a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 3 06.- Resolver el sistema: x

2 – 11x + 24 < 0

x2 – 9x + 20 > 0

dar como respuesta el número de valores enteros que verifican. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

07.- Resolver: x2 + ab (a+b)x a < b < 0

a) x a b) x b c) b x a d) a x b e) x a+b 08.- Resolver:

x(x 5) (x 4)(x 1)x 6 x 6

a) Ф b) R c) 6 d) x R – {6}

e) <-3; +∞>

09.- Hallar el número “M”, con la propiedad que x R

1 + 6x – x2 M

a) 8 b) 11 c) 9 d) 12 e) 10

10.- Sea la inecuación cuadrática: ax2 + (a+3)x + 4 0

si su conjunto solución es unitario, indique el menor valor de “a”. a) 9 b) -1 c) 1 d) -9 e) 0

BLOQUE III 01.- Sea el sistema de ecuaciones:

x2 – 8x – 9 0

x a si su conjunto solución es unitario, indique el valor de “a”. a) 8 b) 8,5 c) 9 d) -1 e) 7 02.- El conjunto solución de: ax

2 + bx + c < 0 ; a>0 es:

5 . Hallar “a.b.c”. {a,b,c} Z

a) -210 b) -180 c) -120 d) 180 e) 210 03.- Al resolver el sistema:

x2 + x + 1 x + 50 < x

2 – 3x + 50

su solución es: [a;b>U<c;d] indique: M = ac – b – d a) -28 b) -35 c) 0 d) 19 e) 21 04.- La inecuación cuadrática: x

2 + ax + b > 0

{a,b} Z , tiene como conjuto solución: R – [1- 5 ;1+ 5 ]

Hallar a2 – b

a) 4 b) 64 c) 68 d) 60 e) 65 05.- Hallar “a”, para que el sistema: 2x

2 + 3x – 9 < 0

2x2 – 3x – 5 < 0

x > a Tenga solución única en Z. a) -0,3 b) 0,2 c) 1,2 d) -1,3 e) 2

06.- Resolver: ax + bx2 a + bx ; b < a < 0

a) <1;a/b>

b) <-∞;1>U<a/b;+∞> c) <1;b/a>

d) <-∞;1>U<b/a;+∞>

e) <-∞;-a/b>U<1;+∞> 07.- Resolver: x

2 + 18 < 9x

x2 > 2x

a) <3;6> b) <2;4> c) <-1;4> d) <6:9> e) R 08.- Sean los conjuntos:

A = { x R / x2 – x – 2 0}

B = { x R / x2 – 4x – 5 0}

Hallar A B

a) [2;5]U{-1} b) [-1;2]U[5; +∞> c) <-∞;-1]U[2;5] d) [2;5] e) NA

09.- Del problema anterior, hallar A B

a) <-∞; +∞> b) <-∞;5] c) <-∞;-1]

d) <-∞;2] e) NA

10.- Del problema 8, hallar: (A’ B’) a) {-1} b) <2;5> c) <-1;5> d) Ф e) NA

Sistemas de Inecuaciones

01.- Resolver el sistema: 2x – 3 > x – 2 3x–7 < x – 1 a) 1<x<3 b) 1<x<2 c) –1<x<2 d) –1<x<3 e) NA 02.- Resolver el sistema: 2x + 3(x+1) < x +1 2(x+3) > x + 2 a) –2<x<1 b) –4<x<2 c) –4<x<1 d) –2<x<5 e) NA 03.- Resolver el sistema:

a) x>10 b) x>2 c) x<3 d) x<15 e) NA 04.- Resolver el sistema:

(x-1)2 – (x+3)

x – 3(x-1) 3

a) –2x0 b) –3x0 c) 1x0 d) –1x0 e) NA

05.- Resolver: 5(x-2) – x > 2 1 – 3(-1) < -2

a) x <3;> b) x <-3;> c) x <11;>

d) x <2;> e) x <1;>

06.- Resolver: 7x+3 5(x-4) + 1

4x+1 43 – 3(7+x) a) [-11;3] b) [1;3] c) [3;11] d) [2;5] e) NA 07.- Resolver:

a) <1/3;7] b) <1/3;2] c) <1/4;9] d) <0;5] e) <1/3;9] 08.- Resolver:

a) <-2;2] b) <1;2] c) <1;4] d) <-2;-1> e) <1/3;2>] 09.-Resolver:

a) [2/11;2] b) <1/3;2] c) <1/4;9] d) <0;5] e) <1/3;9]

10.- Resolver:

a) <-;0> b) <-;1> c) <-;2> d) <-;3> e) NA 11.- Dado el sistema:

¿Cuántos valores enteros cumplen?

a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7

Capítulo 3

Son aquellas que presentan la siguiente forma general:

a0xn + a1x

n-1 + a2x

n-2 + ........ + an > 0 ; ( < ; ; )

n Z+ n3 ; a0 ; a1 ; a2 ; a3 ……. ; an

Procedimiento:

a) Se factoriza el polinomio teniendo en cuenta que todos los factores primos tengan coeficiente principal positivo.

b) Se hallan a continuación los puntos críticos, igualando cada factor a cero y estos se ubican en la recta numérica, guardando su relación de orden.

c) Se forma así intervalos, los cuales de derecha a izquierda, poseen un signo comenzando con el signo más y alternando con el signo menos.

d) Si el P(x) 0 , se toman los intervalos positivos; si el P(x) 0 , se toman los intervalos negativos, obteniendo así el intervalo solución.

Ejemplo: Resolver: x3 – 6x

2 + 11x – 6 0

Respuesta: x <–;1]U[2;3]

Nota: a veces se encuentran trinomios y = ax2 + bx + c que no

son factorizables entonces se calcula su discriminante. Si: < 0 y

a>0, entonces el trinomio es (+) xR, por ellos se descarta de la inecuación o simplemente pasa a dividir, esto no altera el sentido de la desigualdad.

1. Si encontramos factores de la forma (ax+b)2n

; nZ+ estos

pasan a dividir o se descartan pero su punto crítico queda pendiente de si es solución o no.

2. Si encontramos factores de la forma: (ax+b)2n+1

quedará en la inecuación sólo (ax+b) Ejemplo:

(x2 –2x+4) (x+3)

2 (x–7)

3 (x+1) (x-2) 0

Solución

El trinomio (x2–2x+4) tiene = –12 negativo, coeficiente

principal positivo por lo tanto es (+) x R se descarta o pasa a dividir sin alterar el sentido.

El factor (x+3)2

se descarta pero su punto crítico x=–3 cumple con la desigualdad al final debe estar contenido en la solución.

El factor (x–7)3 es reemplazado por (x–7)

Luego tendremos (x–7)(x+1)(x–2) 0 P.C. = { –1 ; 2 ; 7 } Ubicando en la recta:

Luego P(x) 0 se toman los (+) más el punto crítico x=–3

x [–1;2] U [7;+> U {–3}

PROBLEMAS BLOQUE I

01.- Resolver: 3 2x 5x 6x 0

a) [0;2]U[3;+∞> b) <-∞;0]U[2;3] c) [2; +∞>

d) <-2;3] e) [0; +∞> 02.- Resolver: x

3 < 9x

a) <-∞;-3>U<0;3>

b) <-3;0>U<3; +∞>

c) <-∞;9> d) <-3;3>

e) <-∞;-3>U<3; +∞>

03.- Resolver: (x2 – x – 2)(x – 4) 0

a) [-1;4] b) [2;4]

c) [4; +∞>

d) <-∞;-1]U[2;4]

e) [-1;2]U[4; +∞>

04.- Resolver: 2x(x 1) 0

a) <0; +∞>-{1}

b) x є R – {1} c) {1}

d) <-∞;0> e) <-1;1>

05.- Resolver: 2 5(x 1)(x 3) (x 7) (x 2) 0

a) [-1;2]U[7; +∞>U {-3} b) [1;2]U[7; +∞> - {-3} c) R d) Ф e) NA

06.- Resolver: 5 4 3 2(x 4) (x 1) (x 2) (x 5) 0

indique la suma de los valores enteros que la verifican. a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -7

07.- Resolver: 4 3 2x 2x 9x 2x 8 0

Dar un intervalo de su solución.

a) <-∞;4> b) <-∞;-1>U<2; +∞> c) <-2; +∞> d) <-1;1> e) <-4;-1> 08.- Resolver:

a) [-3; +∞> b) <-∞;-2]U<3; +∞> c) <-3;2]

d) [2; +∞> e) x є R 09.- Resolver:

(x 4)(x 2)

0(x 1)(x 3)

a) [-4;1>U[2;3> b) <-∞;-4U[-1;2> c) R d) [-4;4] e) Ф 10.- Resolver:

x 5x 60

x 12x 35

a) <-∞;3> U <5; +∞>

b) <-∞;2> U <5; +∞>

c) <-∞;5> U <7; +∞>

d) <-∞;2> U <3; +∞>

e) <-∞;2> U <3;5>U<7; +∞>

BLOQUE II 01.- Resolver:

4 3 2x 4x 3x 14x 8 0

Dar un intervalo de solución.

a) <-∞;2] b) [-4; +∞> c) {1} d) <-∞;1] e) [1;4]

02.- Resolver: 5 4 3 2x 5x 2x 14x 3x 9 0

a) <-∞;1> - {1} b) <-∞;-1>U {1} c) <-1;1

d) <1; +∞> e) <3; +∞>

03.- Resolver: 2 2(x 1)(x 2)(x 3) 0

a) R b) Ф c) <1;2> d) <3; +∞>

e) <-∞;1U {3}

04.- Resolver: 2 2(x 2 x )(x 2x 8) 0

Dar un intervalo solución

a) <1; +∞> b) <-∞;4> c) <-4;1> d) <-∞;1> e) NA

05.- Resolver: 3 3 2(x 1)(x x 2x 2)(x 2) 0

Dar un intervalo de solución.

a) <-∞;2> b) <-∞;1> c) <2; +∞> d) <1; +∞> e) NA 06.- Resolver:

3x 2 4

x 1 x 2

Dar un intervalo de la solución a) <1;2> b) <2;4> c) <-1;2> d) <-2;1> e) NA

07.- Hallar una inecuación entera de coeficientes racionales de grado mínimo cuya solución es:

<-∞;-2> U <-2;2> U <3;+∞> a) (x-3)(x-2)(x+2)

b) (x+3)(x+2)3 > 0

c) (x-3)(x-2)2(x+2) < 0

d) (x-3)2(x-2)(x+2) > 0

e) (x+3)(x+2)2(x-2) 0

08.- Resolver: x 5 3

a) [5; +∞> b) <-∞;14] c) [5;14> d) Ф e) R

a) [5; +∞> b) <14; +∞> c) <14 +∞> R) R e) Ф

a) R b) [5; +∞> c) <14; +∞> d) R – {5} e) Ф BLOQUE III

01.- Resolver: 2 2 2(x x) 14(x x) 24 0

a) [-3;-1] U [4; +∞> b) [-3;-1] U [2;4]

c) <-∞;-3] U [4; +∞>

d) [-1;2] U [4; +∞>

e) x є Ф

02.- Resolver: 4 2x 8x 9 0

a) <8;9> b) <-∞;8> U <9; +∞> c) <-3;3> d) <-∞;3> e) R

03.- Resolver: 3x 3x 2 0

a) [2; +∞> b) [-2; +∞> - {1} c) [-2; +∞>

d) [2; +∞> U {1} e) [2; +∞> U {-1}

04.- Resolver: 3 2x 18x 77x 60 0

a) <1;5> U <12; +∞> d) <1;4> U <10; +∞>

b) <-1;5> U <12; +∞> e) <0;5> U <10; +∞>

c) <-12;-5> U <-1; +∞> 05.- Indicar el intervalo no solución

2 2x 4x 3 x 7x 12

a) <0;1> b) <-1;1> c) <-∞;-1] d) <1; +∞> e) <-5;0>

06.- Resolver: 4 3 2 5(7 x) (5 x) (2 x) ( 1 x) 0

a) 1 b) 2 c) 3 d) más de 3 e) NA

07.- Resolver: x 2 x

a) [-2;2> b) [-2;2] c) [-2;8] d) <2;7> e) R 08.- Resolver:

x 1 x 2

2x 1 x 2

a) <-∞;-2> U <1;4> b) <-∞;-4> c) <-∞;1> U <4; +∞> d) <-2;4> e) NA

09.- Resolver:

x 5x 2

a) [9/7 ; 2> b) R c) <-∞;2] d) [2; +∞> e) NA 10.- Resolver:

2(x 2)(x 18) 3x(x 2) 0

a) -6 x < 2 b) -6 < x 2 U x

c) x 4 d) -6 x 3 e) NA 11.- Resolver:

(x+1)3(-1)

7(x+6)

17(x-2)

a) x<-6;-1>U<1;2>

b) x<-:-6>U<-1;1>>U<2;+>

c) x[-6;2>

d) x<-1;1>

e) x[-6;-1]U[1;2] 12.- Resolver:

(x+6)4(x+2)

6(x-4)

8(x-3)

11 > 0

a) xR – {3}

b) x<3;+>

c) x<3;+> - {4}

d) x<3;+> U {-6;2}

PROBLEMAS DE COMPLEMENTO 01.- Resolver: (x

2 – x + 1)(x

2 + x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 1) < 0

a) x <-; - 3> <1;2> d) x <-; 1> <2; >

b) x <-3; 1> <2;> e) x R

02.- Resolver: x3 + 2x

2 – 5x – 6 > 0

a) x [-3; -1] [2;> d) x [-3; -1] <2;>

b) x <-; -3> <-2;2> e) x <-1; 2> <2;>

c) x R

03.- Resolver: (x - 1)7(x - 3)

2 – x + 1) 0

a) x <-; 1] {3} d) x <-; -1>

b) x <-1; > e) x [-1; > - {3}

c) x [1; 3]

04.- Resolver: (x2 + 6) (x + 5)

2 (x - 4)

a) x [4; > {-5} d) x <-5; 4]

b) x [5; > e) x <-; 4] - {-5}

c) x R 05.- ¿cuántos valores enteros positivos verifican?.

x(x 2)

a) 0 b) 2 c) 4 d) 5 e) 1

06.- Resolver: 225 x 4

a) x [-5; -3] [3; 5] d) x [-5; 5]

b) x [-3; 3] e) x R

07.- Resolver: x4 – 8x

2 – 9 < 0

a) x <8; 9>

b) x <-; 8> <9; >

c) x <-3; 3>

d) x <-; -3>

e) x R

08.- Resolver: x3 – 12x + 16 0

a) x <-; 4]

b) x <-; -4] {2}

c) x <-; 4] – {-2}

d) x [4; >

e) x [-4; 4]

09.- Resolver: x3 – 6x

2 + 11x – 6 0

a) x <-; 1] {2;3}

b) x [1; 2] {3;>

c) x R

e) x {1}

10.- Resolver: x4 – 16 0

a) x <-; -2] {2;}

b) x [-2;2]

c) x <-; 1] {4;>

d) x <-; 4]

e) x [4; ]

11.- Resolver:

5(x 1) (x 3)0

a) <-, -7> [-3,1] c) <-, -3> [1,7]

b) [1,7] d) <-, 7] e) N.A.

12.- Resolver:

x 1(x 13x 12)

(x 4) (x 8x 4x 48)

Dar un intervalo de la solución.

a) <6, 4> b) [-1; 2] c) [3, + > d) [-3,+> e) N.A.

13.- Resolver:

2 2 3 9

(4x 2) (x 3) (2x 8)0

(x 1) (2x 5)

a) 5 1

,4 { 1, }2 2

b) 5 1

, { }2 2

c) ,4 { 1} d) 5

, 4 { 1, }2

e) N.A. 14.- Resolver:

2x 3x 2 2 x

a) [2,+> b) <-,2] c) <2, + > d) [-2,2] e) N.A. 15.- Resolver:

224 2x x x

a) <3,4] b) <-,3] c) [4+> d) <3,8> e) N.A. 16.- Resolver:

3 2 6 57

2 3 34

27 x x 14x 15(x 2) x 8(x 3)0

x 9(x 7x 8)(x 27) (x 27)

a) <1;11] b) <15,27> c) <-9,-7> d) <-,-1> e) N.A.

17.- Resolver:

2 2x 6x 5 x 7x 10 0

a) <-7> b) R c) d) 5 e) <3,7> 18.- Resolver:

x 8x 14x 12

a) <-6,-1>

b) <-,-6> <-1,+>

c) <-,-1> d) <3,6> e) N.A. 19.- Resolver:

a) <-,2> b) <-,5> c) d) R e) N.A. 20.- Resolver:

8(x 4) (x 2)0

(x 3)(x 7)

a) <7, + > b) <-3, 4> c) <6, + > d) <-7,> e) N.A.

Capítulo 4

DDDeeefffiiinnniiiccciiióóónnn

Una relación f de A en B denotada por f: A →B es una función si

y sólo si a cada elemento x A, le corresponda un único

elemento yB a través de f. Simbólicamente:

f : { (x;y) AxB / y = f(x) Dicho de otra manera, si f es una relación entre dos conjuntos A y B, diremos que f es una función si se verifica las siguientes condiciones:

1ra. f AxB

2da. Si: (x;y) f (x;z) f y = z Gráficamente una función debe guardar siempre un principio:

Si una recta imaginaria paralela al eje “y”, corta a su gráfica en un solo punto, entonces se podrá afirmar que es una función. De lo contrario no será una función. Ejemplo: Dado los conjuntos: A = { 2 ; 4 ; 6 ; 8 } B = { 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 } Hallar:

a) f = { (x;y) AxB / y = x+1 } b) Dom(f) y Ran(f)

c) Representar la función mediante un diagrama sagital.

Solución: a) La función f es un conjunto de pares ordenados (x;y) donde

xA yB que satisfacen la igualdad: y=x+1. Hallamos dichos pares ordenados, tabulando:

x y = x+1 Pares ordenados

2 y = 2 + 1 = 3 B (2;3) f

4 y = 4 + 1 = 5 B (4;5) f

6 y = 6 + 1 = 7 B (6;7) f

8 y = 8 + 1 = 9 B (8;9) f

f = { (2;3) , (4;5) , (6;7) } Donde: A: es el conjunto de partida B: es el conjunto de llegada Y = f(x) : es la regla de correspondencia

Dom(f) : es el dominio de f Ran(f) : es el rango de f b) Dom(f) = { 2 ; 4 : 6 } Ran(f) = { 3 ; 5 ; 7 } c) Diagrama sagital:

Regla de Correspondencia Para que se pueda definir bien una función es suficiente conocer su dominio (Df) , y una regla que permita asignar para cualquier x

є Df , su imagen F(x). Ejemplo: Hallar el dominio en las siguientes funciones:

a) F = { (2;3) , (4;5) , (6;3) , (2;a) } Df = { 2 ; 4 ; 6 ; -2 }

b) F(x) = x 2

Df : x – 2 0 ; x 2 Df = [2;+>

c) F(x) = x 2 3

x 5 x 3

Df : x-2

0 x 3 0x+5

Df : <-:-5> U [2;+> - {3} Ejemplo: Hallar el rango de las siguientes funciones: a) F = { (2;3) , (4;6) , (5;7) , (7;6) , (-2;3) } Rf = {3;6;7} b) Sea: F(x) = x

2 xy x

= < -;+ > ; Rf = [0;+>

Tenemos varias formas de hallar rangos, presentaremos las más conocidas. - Cuando tenemos una función donde su dominio no presenta rango, se despeja en función de “y” - Cuando tenemos un intervalo como dominio usamos desigualdades.

c) Para la función definida por:

g(x) = 2x2 + 3x + 2 ; x є R

Solución: y = 2x

2 + 3x + 2 2x

2 + 3x + (2-y) = 0

3 9 4(2)(2 y)

Si: “x” є R; luego “y” también є R

Pero: 0 ; 9 – 8(2-y) 0 y 7/8 Rg = [7/8;+∞>

d) Para la función definida por: H(x) = x2 – 4x + 7 ; x є [2;3]

Solución: y = x

2 – 4x + 7 y = (x-2)

2 x 3 0 x – 2 1 Al cuadrado: 0 (x-2)

mas de tres: 3 (x-2)

2 + 3 4

3 y 4 Rh = [ 3 ; 4 ]

e) Para la función:

Solución:

22 2 2

xy yx y x x (y 1) y

y y y yx 0 0

1 y 1 y 1 y y 1

y є [0;1> Rf = [ 0 ; 1 >

PROBLEMAS BLOQUE I 01.- Si el conjunto: F = { (1;7a+3b) , (-2 ; 3a+2b) , (-2 ; -2) , (1 ; -8) , (a+b ; 4) } Es una función, hallar a

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 02.- Hallar el dominio de la función: F(x) = x + 9 a) R – {9} b) R – {-9} c) R d) R – {0} e) R

03.- Hallar el dominio de la función: F(x) = 3x

2 + 2x + 1

a) R – {3} b) R – {2} c) R – {1} d) R e) R-

04.- Hallar el dominio de la función: F(x) = (x+1)

2 + (x-1)

a) R – {1} b) R – {-1} c) R d) R+ e) R

05.- Hallar el rango en:

N(x)x 4

a) y є R – {4} b) y є R – {-4} c) y є R – {3} d) y є R e) y є R – {-3} 06.- Hallar el rango en:

M(x)x 8

a) y є R – {8} b) y є R – {-8}

c) y є R – {1} d) R+ e) R

07.- Calcular el rango de:

F(x) = x+5

a) [5; +∞> b) [-5; +∞> c) [0; +∞> d) [2; +∞> e) [-3+∞> 08.- Hallar el dominio de:

4 2(x)F =x 2x 2

a) R+ b) R

- c) R – {2} d) R e) R – {-2}

09.- Hallar el dominio de:

(x)F = x+9 4

a) x є R+ b) x є R

-1 c) x є R d) x є [9; +∞>

e) x є [-9; +∞> 10.- ¿Cuáles de las siguientes relaciones dadas son pares ordenados, son funciones? R1 = { (a;x) , (b;x) . (c;y) } R2 = { (a;x) , (a;y) . (b;x) } R3 = { (a;x) , (b;y) . (c;z) } a) Sólo R1 b) Sólo R2 c) Sólo R3 d) R1 y R2 e) R1 y R3 BLOQUE II 01.- Hallar el dominio de la función “f” definida en R por:

- c) x є R d) R – {2} e) R – {-2}

02.- Hallar el rango de la función “f” definida en R por:

- c) x є R d) R – {2} e) R – {-2}

03.- Hallar el dominio de la función “f” definida por:

(x)y F x 5

en el conjunto N, a) {0; 2; 3; 4;…..} b) {0; 1; 2; 3;…..} c) {2; 3; 4;…..} d) {2; 4; 6;…..} e) {3; 5; 7;…..} 04.- Hallar el dominio de la función “f” definida por:

(x)y F x 5

en el conjunto Z, a) x є R b) Z c) R – {5} d) Z – {5} e) Z – {-5} 05.- ¿Cuál es el rango de la función: F = { (1;3) , (2;5) , (1;a-1) , (2;b+2) , (a;b) , (2b;a) } ? Señale la suma de sus elementos. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 06.- Reconocer el rango de la función: F = { (2;a) , (2;3a-4) , (3;a-1) , (4;a

2) } ?

a) {3; 6; 9} b) {1; 2; 4} c) {0; 2; 4} d) {3; 5; 7} e) {2; 4; 6} 07.- El dominio de la función: F(x) = x

es [-1; 1]. Determinar el rango de “f”. a) [-1;1] b) [-1; 0] c) [0;1] d) [1;2] e) [1;4] 08.- ¿Cuál es el valor mínimo del rango de la función: g(x) = x

2 + 3 ?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

09.- ¿Cuál es el valor máximo del rango de la función: h(x) = 10 - x

a) 0 b) 3 c) ∞ d) 1 e) 10 10.- El dominio de la función:

x 1F =

a) [-1;0] b) [0;1] c) [0;2] d) [-2;0] e) [-1;1] BLOQUE III 01.- Determinar el rango de la función: F(x) = |x-2| + |x+3|

a) [-5;5] b) [1; +∞> c) [5; +∞> d) <-5;5> e) [0; +∞> 02.- Si:

(x)F = x-2 x

Calcular el dominio de dicha función.

a) <2; +∞> b) [-2;2] c) [-2; +∞> d) [2; +∞> e) <-∞;2]

03.- Hallar el dominio de una función “f” cuya regla de correspondencia es:

(x)F = 5-x 3 x 1

Indicar como respuesta la cantidad de valores que toma “x”. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

04.- Hallar el dominio de la siguiente función:

x 1F =

- c) x є R d) R – {1} e) R – {-1}

05.- Hallar el dominio, si:

a) <-1;1> b) [-1;1> c) <-1;1] d) [-1;1] e) R 06.- Calcular el rango:

a) [1; +∞> b) <1; +∞> c) [-1;1] d) <-1;1> e) R+

07.- Si: F(x) = x

2 – 4x + 2 y x є <-1;4> .Hallar el dominio.

a) R b) R+ c) [-1;4] d) <-1; +∞> e) <-1;4>

08.- Hallar el dominio de:

(x)F = x+ x

a) [0; +∞> b) R c) R+

d) R – {0} e) [0;1]

09.- Calcular su rango:

(x)F = x 9

a) [0; +∞> b) <0; +∞> c) R d) R+

10.- Hallar el dominio

b) R- c) [-3;0]U[3;+∞> d) <-3;0]U<3;+∞>

e) <-3;1]U[3;+∞>

Algebra 4to...Ecuaciones e inecuaciones de 2º Grado

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