Propiedad Intelectual Cpech

ÁlgebraÁlgebra20102010

Clase N° 2Clase N° 2Conjuntos numéricos II

Propiedad Intelectual Cpech

Propiedad Intelectual Cpech

APRENDIZAJES ESPERADOS

• Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano.

• Aplicar la operatoria básica en los números naturales y enteros.

Propiedad Intelectual Cpech

APRENDIZAJES ESPERADOS

• Aplicar las operaciones básicas en los números racionales.

• Resolver problemas que involucren operaciones con números enteros, decimales y fracciones.

• Reconocer regularidades numéricas (secuencias).

Propiedad Intelectual Cpech

1. Números racionales (Q)1.1 Propiedades de los racionales

1.2 Operatoria en los racionales

1.3 Transformaciones de números racionales

1.4 Comparación de fracciones

2. Números irracionales (Q*)

Contenidos

3. Números reales ( IR )

4. Números imaginarios ( II )

5. Números complejos ( C )

1.5 Secuencia numérica

Propiedad Intelectual Cpech

1.Números Racionales (Q)

Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde todos los números se pueden escribir como fracción, es decir:

a

b/ a y b son enteros, y b es distinto de ceroQ =

Ejemplos:

2; 17; 0; -6; -45; -2; 7

0,489; 2,18; -0,647-1; 8

14; 3

15, 0

NO es racional

a: numerador y b: denominador

Propiedad Intelectual Cpech

Por ejemplo:

3 es Natural (3 IN),

3 es Cardinal (3 IN0), y como

3 = , 3 es racional (3 Q). 3

1

IN IN0 Z Q

Todo número entero es racional.

Propiedad Intelectual Cpech

Diagrama representativo:

Propiedad Intelectual Cpech

1.1 Propiedades de los racionales (pág. 23 del libro)

• Amplificar y simplificar fracciones

Ejemplo:

2∙3∙

Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como el denominador por un mismo número.

6

6

Al amplificar la fracción por 6 resulta:2

3

=12

18

• Las fracciones se pueden clasificar en:

Fracción propia, donde el numerador es menor que el denominador.

Fracción impropia, donde el numerador es mayor que el denominador.

Propiedad Intelectual Cpech

Ejemplo:

Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador como el denominador por un mismo número.

3

3=

9

15

Al simplificar la fracción por 3 resulta:27

45

27 :

45 :

• Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción

El inverso multiplicativo, o recíproco de 2

9es: 9

2

Ejemplo:

Propiedad Intelectual Cpech

1.2 Operatoria en los racionales (pág. 24 del libro)

• Suma y resta

Ejemplos:

1. Si los denominadores son iguales:

4

15+

7

15=

11

15

2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:

2

15+

7

45=

2∙3 + 7∙1

45=

6 + 7

45=

13

45

4

15-

7

15=

-3

15y

Propiedad Intelectual Cpech

3. Si los denominadores son primos entre sí:

5

12 +

7

18=

5∙3 + 7∙2

36

15 + 14

36= =

29

36

4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):

4

5 +

7

8=

4∙8 + 5∙7

40

32 + 35

40= =

67

40

Propiedad Intelectual Cpech

-4

5 ∙

8

7=

-32

35=

• Multiplicación:

Ejemplo:-4

5

7

8= ∙

-28

40=

28

40-

• División:

Ejemplo:-4

5 :

7

8=

32

35-

• Número Mixto:

Ejemplo:

8 3 5 =

8∙5 + 3

5=

43

5

Propiedad Intelectual Cpech

1.3 Transformación de números racionales (pág. 24 del libro)

• De fracción a decimal:

Ejemplo:

Se divide el numerador por el denominador.

7 4

= 1,75

• De decimal finito a fracción:

Ejemplo:

El numerador corresponde al número sin comas, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número.

100175 =1,75 = 7

425∙7 25∙4

=

Propiedad Intelectual Cpech

• De un número decimal periódico a fracción:

1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera.

2. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período.

Ejemplo 1: 2,35 = 235 – 2 = 23399 99

Ejemplo 2:0,376 = 376 – 0 = 376

999 999

Nota: Se llama “período” al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente.

Propiedad Intelectual Cpech

3,21 = 321-32 = 289 9090

• De un número decimal semi periódico a fracción:

1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período.

2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período.

Nota: Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma decimal, y el período.

Ejemplo:

Propiedad Intelectual Cpech

1.4 Comparación de fracciones (pág. 25 del libro)

• Multiplicación cruzada:Ejemplo:

Al comparar

(Multiplicando cruzado)13

15

9

10y

13 ∙ 10 y 15 ∙ 9

130 y 135

Como 130 < 135, entonces: 13

15

9

10<

Propiedad Intelectual Cpech

• Igualar denominadores:

Ejemplo:

13

15

7

12Al comparar

y (Igualando denominadores)

13∙4

15∙4

7∙5

12∙5

y

52

60

35

60y

Como 52 > 35, entonces 13

15

7

12>

Propiedad Intelectual Cpech

• Transformar a decimal:Ejemplo:

13

15

7

12Al comparar

(Transformando a decimal)y

13

15= 0,86666666…

7

12= 0,58333333…

13

15

7

12>Como 0,86 > 0,583 , entonces

Propiedad Intelectual Cpech

Ejemplo:

En la secuencia: 6 ,5

16 , 5

26 , 5

36 , ... 5

¿Qué número tendríamos que sumar a para obtener el 7° término ?

1 ,5

De acuerdo a las características de la secuencia, el 7° término es 66 .

5

Tendríamos que sumar a para obtener el 7° término.

65 5

1 ,5

65 = 13 5

Es decir:

Respuesta:

1.5 Secuencia Numérica

Propiedad Intelectual Cpech

Observación:

La secuencia anterior también se puede analizar de la siguiente manera:

1 + 1 ,5

1 + 3 ,5

1 + 5 ,5

1 + 7 , 5

1 + 13…5

... ,

1° 2° 3° 4° ... , 7°…

Lo que nos permitiría saber, por ejemplo,

¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia?

Respuesta:

Es , más un número impar, lo que se expresa como: 15

1 + (2n - 1)5

(Con n = posición del término)

Propiedad Intelectual Cpech

Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción (decimales infinitos NO periódicos).

2. Números Irracionales (Q*)

,....,,2,3..... Q* =

Q

U

Q*=

Propiedad Intelectual Cpech

3. Números Reales (IR)

Es el conjunto formado por la unión entre los números racionales y los números irracionales.

IR = Q U Q*

Ejemplos:

Diagrama representativo:

3, -89, -2; 7

2,18; ;2 23,491002

IN IN0 Z Q IR

Q* IR

Propiedad Intelectual Cpech

4. Números imaginarios (II)

Todos aquellos números que NO son reales, son imaginarios.

IR

U

II = O

Ejemplo:

Raíces de índice par y parte subradical negativa:

,26 ,4 4 16,25

Propiedad Intelectual Cpech

5. Números complejos (C)

Es el conjunto formado por la unión entre los números reales y los números imaginarios.

Ejemplos: ,26 5, -68, -1; 8

-0,647

Diagrama representativo:

IN IN0 Z Q IR C

II C

IR U II = C

Propiedad Intelectual Cpech

Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, desde la página 23 a la 28.

Propiedad Intelectual Cpech

ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL

REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL.

Equipo Editorial: Patricia ValdésPablo Espinosa