Post on 03-Nov-2014
4to Año Razonamiento Matemático 2
PRESENTACIÓN
El COLEGIO DE CIENCIAS APLICADAS “VÍCTOR VALENZUELA
GUARDIA” pone a disposición de nuestros alumnos el presente Módulo Teórico-
Práctico, del curso de Álgebra correspondiente al área de Ciencias, el cual permitirá a
nuestros estudiantes la aprehensión de la asignatura con la visión de sostenerla y
aplicarla en la realidad multidisciplinaria en que hoy se desarrolla la educación del
país.
Queremos manifestar el agradecimiento respectivo a la totalidad de nuestra Plana
Docente, la cual en largas sesiones de trabajo, elaboración y coordinación han podido
lograr la realización de este Módulo, y extender el agradecimiento a todas las
personas que han aportado para que dicho material sea el más óptimo posible.
Estas últimas líneas son para agradecer y felicitar a ustedes por confiarnos su
preparación, y en este binomio que hemos conformado, sabemos por anticipado que la
calidad en servicios educativos, está asegurada.
La Dirección
4to Año Razonamiento Matemático 2
POTENCIAS Y RADICALES EN
Son
Que consisten en
En potenciación 1n , n .se tiene:
Propiedades:
1.- Dados ,a n , se tiene: 0 1a
2.- Dados ,a n , 0a , se tiene:
1. . 1n n n n n
na a a a a
a3.-
.....
. . .....
fz
yx x y z fa a
3.- . . .. ....... . ......n
p q m p n q n m na b x a b x
4.- n
n m n m
m
aa a a
a
5.- .m n m na a a
En radicación 2n , n
1
n na a . Propiedades:
1.-
n
m n ma a
2.- . . .... . . .......
. . .....
m m m mn p q n p q
n m p m q m
a b c a b c
a b c
3.- 1
1
mmm m
mm
a a aa b
b bb
4.-
1
. . .... ( . . .... ).....pm m n p un m n p uu a a a
Eejmplos:
1. 243 4 xx
2. 123 44 3 101010
3. Reducir: 2 3 4 5 120M x
Solución:
2 3 4 5 2.3.4.5120 120
120
2.3.4.5 .
M x x
x x M x
4.- Calcular: 2. 2
2. 2. 2M
Solución
La expresión dada es:
2. 2 4
2
2. 2. 2 2. 2. 2
2. 2. 2 2. 2.2
4.2 2.2 4
4
M
M
POTENCIACIÓN Y
RADICACIÓN
OPERACIONES INVERSAS
Dados dos números base y exponente, determinar un tercer número llamado potencia
Dados dos números radicando e índice, determinar un tercer número llamado raíz
n na b b a
Potenciación y Radicación
I Bimestre
ALGEBRA
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
3
TAREA DE CLASE 1. Simplificar:
1419
1587
3.3
3.3.3
Rpta.
2. Si 5 410
3pnnn
Hallar 1P
Rpta.
3. Reducir
33251010 3 325 44
Rpta.
4. Reducir
n213n52
13n2n1
x.x.x
x.x.x
5. Reducir:
210
514
82
42
Rpta.
6. Reducir: 16
222
Rpta.
7. Luego de reducir:
n
n nn
2
2 3
Rpta.
8. Si: n6 n28
Hallar: 1n
Rpta.
9. Simplificar:
........3336K
10. Indicar el exponente final del número 2
4 423 22.2
Rpta.
11. Reducir:
1n2n2
2n21n2
326
3.22.3 n Q
Rpta.
12. Simplificar:
0
113
5
10
6
7654321
7.5
13. Hallar el valor de “M + 3”, si:
........777M
Rpta.
14. Indicar el valor de “K” si:
....888
.....55520K
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
4
Aprendiendo a resolver…..resolviendo
1. Simplificar:
1520
1698
5.5
5.5.5
a) 510
b) 515
c) 512
d) 513
e) 515
2. Si:
5 535
2QKKK , hallar Q + 3
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
3. Efectuar: 55 26
1212
4 426 99
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 11
4. Reducir:
xx
xx
aaa
aaa2141
13421
..
..
a) A–1
b) A-2
c) A-5
d) A-6
e) A-7
5. Reducir:
413
617
42
42
a) 12 b) 14 c) 16
d) 18 e) 20
6. Reducir:
8
333
a) 9 b) 1 c) 27
d) 3 e)
3
1
7. Simplificar:
.....5554Q
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
8. Indicar el exponente final del número 3. en
4 534 333
a) 21/16 b) 31/15 c) 31/17 d) 11/16 e) 31/16
9. Luego de reducir el radical, indicar el valor de M + 2:
64
64
64M
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
10. Reducir:
122
2212
5315
5.33.5KK
KK
a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/3 e) 15
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
es un
representada por dadas por
TÉRMINO ALGEBRAICO (Monomio)
Definición.- Es la mínima parte de una expresión
algebraica, en el no existen operaciones de
adición o sustracción.
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
CONJUNTO DE TÉRMINOS QUE REPRESENTA UNA CANTIDAD
CONSTITUIDA POR
VARIABLES CONSTANTES
LETRAS
NÚMEROS
OPERACIONES MATEMÁTICAS ELEMENTALES
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
5
Ejem: 3
22 2 6 3
5 ; 7 ;xy
x y x yz
Todo termino algebraico presenta tres partes, las
cuales son: Exponentes
5 3 77x y
Variables
Coeficiente
TÉRMINOS SEMEJANTE
Definición.- Son aquellos términos que presentan
las mismas variables e iguales exponentes
respecto a la Variable común.
Ejem: 5 57 4xy xy son semejantes
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
A.- Según su Naturaleza
1.- Expresión Algebraica Racional.
Es aquella expresión en donde los
exponentes de las variables son números enteros.
Estas a su vez se dividen en:
1.A Expresión Algebraica Racional Entera
Ejem: 4 27 4 4 2 1xy x y x y
2.A Expresión Algebraica Racional Fraccionaria
Ejem: 2 27 5 1xy xy
x
2.- Expresión Algebraica Irracional
Es aquella expresión en donde existe al menos
una variable afectada de algún signo radical o
exponente fraccionario.
Ejem: 2
1 4 4 1 5
2 5 3
2 3 3 2
xy x y x
x y xy x
B.- SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS
Monomio……………….1 término
Binomio…………………2 términos
Trinomio…………………3 términos
…………………………………….
Polinomio………………más de 3 términos
EXPRESION ALGEBRAICA TRASCENDENTE
Ejem: 2
2 5 5 3
2 cos
yxy x x
x senx x
Ejercicios resueltos
1.- ¿Cuántas de las expresiones son algebraicas?
2 1 3 23 ;3 3;3 5;28; 4 1xxx x x x x
Solución
Son expresiones algebraicas:
2 1 33 ;3 5;28x x x x
2.- Si los términos : 3 1 5 24 a b a bx y x y
Son semejantes; calcular a.b
Solución
Podemos plantear:
3 1 5 24 a b a bx y x y
Donde: 3 5 2 8 4
1 2 1 1
. 4
a a a a
b b b b
a b
GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
es un
VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Definición.- Es aquel valor que se obtiene al
reemplazar las variables por constantes o
variables y efectuar dichas operaciones.
Ejem: Sea ( ) 5 3P x x . Hallar:
(0); (1); ( 3)P P P x
Solución
:
0 (0) 5(0) 3 3
1 (1) 5(1) 3 8
3 ( 3) 5( 3) 3 5 18
si
x P
x P
x x P x x x
VALORES NUMERICOS NOTABLES
Si ( )P x es un polinomio, se cumple:
(0)P = término independiente
GRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
EXPONENTE QUE CARACTERIZA A LA EXPRESION ALGEBRAICA
ABSOLUTO SI SE REFIERE A TODAS LAS VARIABLE
RELATIVO SI SE REFIERE A UNA
SOLA VARIABLE
SÓLO UN TÉRMINO
TODA LA EXPRESIÓN
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
6
(1)P = suma de coeficientes
Ejem: Si ( 3) 5 16P x x
Calcular: T. Independiente y suma de coeficientes
Solucion
Se pide (0)P + (1)P
(0)P : ) 3 0 -3i x x . Reemplazando
en:
( 3 3) 5( 3) 16 1
(0) 1
P
P
(1)P : ) 3 1 -2i x x . Reemplazando en:
( 2 3) 5( 2) 16 6
(1) 6
P
P
FORMA GENERAL DE UN POLINOMIO DE
VARIABLE X
1 2
0 1 2 1( ) ...................n n n
n nP x a x a x a x a x a
Donde:
; n n grado del polinomio
0 1 2 1, , ,.........., , :n na a a a a son los coeficientes
tales que:
0 0 :a Coeficiente Principal (C.P)
:na Término Independiente (T.I)
POLINOMIOS ESPECIALES
1.- Polinomio Homogéneo.- Es aquel polinomio
que tiene todos sus términos el mismo grado.
Ejem: 3 2 2 3( , ) 3 4P x y x x y xy y
2.- Polinomio Ordenado.- Es aquel polinomio que
esta ordenado con respecto a una variable
llamada ordenatriz, donde los exponentes de la
mencionada variable van aumentando o
disminuyendo.
Ejemplos:
5 3 3 2 2 4( , ) 9 2 4 3P x y x y x y x y y
4 3 2 2 3 4( , ) 9 2 4P x y x x y x y xy y
17 12 6( ) 5 2 1Q x x x x x
3.- Polinomio Completo.- Es aquel polinomio en el
que el grado de todos sus términos van desde un
máximo valor hasta el de exponente cero (término
independiente)
Ejem: 5 4 3 2( ) 9 2 4 3 5P x x x x x x
4 3 2 2 2( , ) 9 4 10P x y x y x y x xy y
Propiedad
En todo polinomio completo y de una sola variable,
el número de términos es equivalente al grado
aumentado en uno.
Es decir: número de términos = Grado + 1
4.- Polinomios Idénticos.- Dos polinomios de las
mismas variables son idénticos si tienen el mismo
valor numérico para cualquier valor o valores
asignados a sus variables.
Ejemplos: 2 2( ) ( 2) ( ) 2 8P x x Q x x x
3 3 2 2( , ) ( , )P x y x y Q x y x y x xy y
5.- Polinomio Idénticamente Nulo.- Son aquellas
expresiones que son equivalentes a cero. Estando
reducidas se cumple que cada coeficiente es igual
a cero. Notación: ( ) 0P x
TAREA DE CLASE
1. Si P(x+1) = 3x – 2 Calcular: P(2)
Rpta.
2. Si P(x) = 2x – 2
x – 1
Calcular
P(1) + P(2) + P(3)
Rpta.
3. Calcular (a – b) si el monomio: M(x;y) = 5x
2a + b y
a + 2b
Tiene G.A. = 15 y G.R(x) = 8
Rpta.
4. Determinar “m”, si el siguiente polinomio es homogéneo P(x;y) = 3x
m + 1 . y
n + 3 + 2x
a . y
b +
+ x2m
. yx + 2
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
7
Rpta.
5. Sea P(x) = 3x
90 – 27x
88 +3x
2 – 4x
Halar P(3)
Rpta 6. Sea: R(x) = 4x + 3
N(x) = 2x – 5
Hallar R(N(3))
Rpta.
7. Sea F(3x – 1) = 2x + 3
P(x) = 4x – 1
Hallar P(F(2))
Rpta.
8. El siguiente es un polinomio
ordenado y completo de grado
3:
P(x) = xa – b
+ 4xa – 7x
b + 5
Hallar a2 + b
2
Rpta.
9. Sabiendo que:
A(x) = 2
1x y B(x) = x
2 +
x – 1
Halar el valor de A(B(2))
Rpta.
10. Si P(x + 1) = x2.
Hallar: P(P(P(2)))
Rpta.
11. Sea P(x) = 4x + 1
Hallar 03
21
PPPP
E
Rpta.
12. Sea P(x – 5) = 5x + 5
Hallar 21
01
PPPP
Rpta
Aprendiendo a resolver…..resolviendo
1. Si P(x – 1) = 5x – 3 Hallar P(3)
a) 16 b) 17 c) 18 d) 20 e) 4
2. Si P(x) = 3x + 1
+ 3x – 2
Calcular 29
21
3
10 PPP
a) 9
111 b)
9
101 c)
9
112
d) 9
113 e)
9
114
3. Calcular (a – b), si el monomio M(x;y) = 8x
3a + b . y
a + 3b
Tiene G.A = 16 y = G.R(x) = 10
a) –1 b) –2 c) –3 d) –4 e) –5
4. Sea: P(x;y) = 3x
a–8y
6 + 4x
a–11 . y
5 + 7x
a–13 . y
20
Cuyo G.R.(x) = 7, hallar el G.A.
a) –1 b) –2 c) –3 d) –4 e) –5
5. Sea
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
8
P(x) = 5x100
– 25x99
+ 6x2 – 3x
Hallar P(5)
a) 125 b) 115 c) 135
d) 145 e) 160
6. Sea R(x) = 3x + 4
N(x) = 5x – 1
Hallar R(N(2))
a) 30 b) 31 c) 32
d) 33 e) 34
7. Sabiendo que:
A(x) = 3
1x y B(x) = x
2 – x + 1
Hallar el valor de B(A(2))
a) 9
1 b)
9
3 c)
9
5
d) 9
7 e)
9
11
8. Sea: P(x - 4) = 4x – 4
Hallar
4
51
02
PP
PP
a) 0 b) –1 c) 2 d) 3 e) 5
9. Si: P(x) = 3x + 2 Hallar P(P(–2))
a) –8 b) –6 c) –7 d) –110 e) –2
10. Sea: M(x) = x+ 7 N(M(x)) = 3x + 2
Hallar N(7)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 1
PRODUCTOS NOTABLES
son
Por ejemplo
2 2 22a b a ab b
2 2 22a b a ab b
3 3 2 2 33 3a b a a b ab b
3 3 2 2 33 3a b a a b ab b
Definición.- Se denominan así a todas aquellas
multiplicaciones o potenciaciones cuyos
resultados:
Productos o potencias, tienen una frecuencia que
las hace reconocibles en una inspección.
Algunos resultados mas:
1.- DIFERENCIA DE CUADRADOS
2 2
2 2m n m n m n
a b a b a b
a b a b a b
2.- TRINOMIO AL CUADRADO
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c a b c ab ac bc
a b c a b c ab ac bc
a b c a b c ab ac bc
a b c a b c ab ac bc
3.- SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
3 3
3 3
a b a a b ab b
a b a a b ab b
PRODUCTOS NOTABLES
RESULTADOS DE DETERMINADAS MULTIPLICACIONES, OBTENIDOS
SIN EFECTUAR LA OPERACIÓN
BINOMIO SUMA AL CUADRADO
BINOMIO DIFERENCIA AL CUADRADO
BINOMIO SUMA
AL CUBO
BINOMIO DIFERENCIA
AL CUBO
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
9
TAREA DE CLASE
1. Simplificar:
1x3
1x31x32
22
Rpta.
2. Si se cumple que: a2 +b
2 = 3ab. Reducir:
22
22
baba
baba
Rpta.
3. Reducir:
8 84422 33535352
Rpta.
4. Efectuar:
131313 44
Rpta.
5. Siendo:
3232X
Hallar x2
Rpta.
6. Reducir “M”:
2
22
2
22
aaxax
axaxM
Rpta.
7. Efectuar:
23
23
23
23
Rpta.
8. Efectuar:
1313221313222
9. Si se cumple que:
22
2 xy
yx
Calcular
8
yx
Rpta.
10. Si (x + y + 1) (x + y – 1) = 1
Calcular: (x + y)2
Rpta.
11. Reducir:
5
9222mmm
N
Rpta.
12. Si: 51
xx ; hallar
3
3 1
xx
Rpta.
13. Si: m + n = 2; m . n = 1 Hallar m
3 + n
3
Rpta.
14. Si: n2 = n + 1
Hallar
8 842 1111 nnnnP
Rpta.
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
10
Aprendiendo a resolver…..resolviendo
1. Simplificar:
15
15152
22
xxx
N
a) 2 b) 4 c) 6
d) 7 e) 8
2. Si se cumple que: x2 + y
2 + 4xy
Reducir:
22
22
yxyx
yxyxR
a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4
d) 0,5 e) 0,6
3. Reducir:
8 84422 44747.11.3N
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 4
4. Efectuar:
15151515 488Q
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
5. Siendo:
5353x
Hallar x2
a) 12 b) 11 c) 10
d) 9 e) 8
6. Reducir:
2
22
2
33
aaxax
axaxZ
a) 5 b) 10 c) 15
d) 20 e) 25
7. Efectuar:
35
35
35
35M
a) 2 b) 4 c) 5
d) 6 e) 8
8. Efectuar: 222
52125153Q
a) 33 b) 44 c) 55
d) 66 e) 77
9. Si se cumple que:
23
3 ab
ba
Calcular:
3
ba
a) 7 b) 17 c) 27 d) 37 e) 47
10. Si (x – y + 2)(x – y + 2) = 4 Calcular (x – y)
2
a) 16 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
11
41 42
DIVISIÓN ALGEBRAICA
Definición.- Operación que se realiza entre
polinomios que consiste en hallar dos
polinomios llamados COCIENTE y RESIDUO,
conociendo otros dos polinomios denominados
DIVIDENDO y DIVISOR que se encuentra
ligados por la relación:
. D(x) = d(x) Q(x) + R(x) .
Donde:
D(x) : Dividendo
d(x) : Divisor
Q(x) : Cociente
R(x) : Residuo o Resto
Propiedades de la División
Gdo. (D(x)) Gdo. (d(x)) Gdo. (Q(x)) = Gdo. (D(x)) – Gdo. (d(x))
Gdo. (R(x)) < Gdo. (d(x))
Además: Máximo Gdo. (R(x)) = Gdo. (d(x)) – 1
PRINCIPALES MÉTODOS DE DIVISIÓN
MÉTODO DE WILLIAM G. HORNER
Pasos a seguir:
1. Coeficiente del dividendo ordenado
decrecientemente en una variable completo o
completado.
2.- Coeficiente del divisor ordenado
decrecientemente en una variable, completo o
completado, con signo contrario salvo el
primero.
3. Coeficientes del cociente que se obtienen de
dividir la suma de los elementos de cada
columna entre el primer coeficiente del divisor.
Cada coeficiente del cociente se multiplica por
los demás coeficientes del divisor para colocar
dichos resultados a partir de la siguiente
columna en forma horizontal.
4.- Coeficientes del residuo que se obtienen de
sumar
la columnas finales una vez obtenidos todos los
coeficientes.
OBSERVACIÓN:
LA LÍNEA DIVISORIA SE COLOCARÁ SEPARANDO
TANTOS TÉRMINOS DE LA PARTE FINAL DEL
DIVIDENDO COMO GRADO DEL DIVISOR:
II Bimestre
ALGEBRA
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
12
MÉTODO DE PAOLO RUFFINI
Pasos a seguir:
1.-Coeficientes del dividendo ordenado
decrecientemente, completo o completado,
con
respecto a una variable.
2.- Valor que se obtiene para la variable
cuando el
divisor se iguala a cero
3.-Coeficientes del cociente que se obtienen de
sumar cada columna, luego que el coeficiente
anterior se ha multiplicado por (2), y colocado
en
la siguiente columna.
4.- Resto de la división que se obtiene de sumar
la
última columna
OBSERVACIÓN:
SI EL COEFICIENTE PRINCIPAL DEL DIVISOR ES
DIFERENTE DE LA UNIDAD, EL COCIENTE
OBTENIDO SE DEBERÁ DIVIDIR ENTRE ESTE
VALOR.
TEOREMA DEL RESTO
Se utiliza para obtener el resto de una división.
Consiste en igualar a cero al divisor y despejar
la mayor potencia de la variable, para que sea
reemplazada en el dividendo.
OBSERVACIÓN:
DESPUÉS DE REALIZAR EL REEMPLAZO, DEBE
COMPROBARSE QUE EL GRADO DEL POLINOMIO
OBTENIDO SEA MAYOR QUE EL GRADO DEL DIVISOR.
TAREA DE CLASE
1. Indicar el residuo de la siguiente división
2
3242 67
xxxx
Rpta.
2. Efectuar la siguiente división Indicar el residuo
1
4456 23
xxxx
Rpta.
3. Indicar el término independiente del resto de la siguiente división
123
6262
23
xxxxx
Rpta.
4. Indicar la suma de coeficientes del cociente luego de efectuar:
1x3x2
10x20x3xx22
234
5. Calcular “n”, si el resto de la división es – 15
nxnxnxx
2
42 23
Rpta.
6. Al dividir x4 – 2x
2 – 6 entre
x + 3, el residuo es:
Rpta.
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
13
7. Hallar el cociente en:
13
12623
345
xxxxxx
Rpta.
8. Cual es el valor que deberá tener “K” para que
al dividir 4x5 – 2x
3 + K – 2 entre x – 2, el
residuo sea cero
9. El cociente de la siguiente división: x
3 + 3x
2 – x – 3 entre x
2 + 2x – 3 es:
Rpta.
10. Hallar el residuo en
2
6352 34
xxxx
Rpta.
11. Hallar el cociente en:
352
2765382
34
xxxx
Rpta.
12. Hallar el coeficiente del término cuadrático en:
32
372 34
xxxx
13. Hallar el cociente aplicando Horner
5
107272
245
xxxxxx
Rpta.
14. Hallar el cociente aplicando Ruffini x
4 – 3x
3 + 5x – 8 entre x + 2
Rpta.
15. Hallar el cociente aplicando Horner 6x
5 + 2x
4 – 23x
3 + 11x
2 + 12x – 3 entre 3x
3 – 5x
2
+ 3
Aprendiendo a resolver…..resolviendo
1. Indicar el residuo en la siguiente división:
1
32 23
xxx
a) 1 b) –1 c) 0
d) 2 e) –2
2. Efectuar la siguiente división:
12
26 2
xxx
E indicar el cociente
a) x+1 b) 3x–2 c) 3x+2
d) 2x+3 e) 2x–3
3. Indicar el término independiente del resto
en la siguiente división
9x3
27x9x6 2
a) 1 b) 2 c) –2
d) 3 e) 0
4. Calcular la suma de coeficientes del cociente,
después de efectuar.
8
56152
xxx
a) 5 b) –5 c) 6
d) –6 e) 7
5. Calcular “n” si el resto de la división es cero
4
18112 23
xnxxx
a) 12 b) 36 c) 42
d) 6 e) 24
6. Al dividir:
3
1273
36
xxx
El residuo es:
a) x3–4 b) X
3+4 c) x
2–5
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
14
d) x2–3 e) 2x
3+1
7. Hallar el cociente en:
3x4x
9x14x10x2
23
a) x+1 b) x–1 c) x+6 d) x–6 e) x+7
8. Dividir usando Horner
4y5y2y3
y84y3y10y3y9y523
23645
e
indicar la suma de coeficientes del cociente
a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) 3
9. Dividir usando Ruffini 2x
3 – 11x
2 + 18x – 24 entre
x- 4
e indicar el término independiente del cociente
a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) –3
10. Dividir usando Horner
xx
xxxx
27
2158313
562
e indicar el coeficiente del término cúbico
a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) –2
11. Dividir e indicar la suma de coeficientes
del residuo
xxxxx
638
32463112
253
a) 1 b) 5 c) 0
d) 4 e) 6
12. Efectuar la división
3
62 24
xxx
e indicar el resto
a) 69 b) 62 c) 59
d) 57 e) 54
13. Al efectuar la división
12
322
245
xxxxx
Indicar la suma de coeficientes del
residuo
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
14. Dividir e indicar la suma de coeficientes
del residuo
xxxxx
638
32463112
253
a) 1 b) 5 c) 0
d) 4 e) 6
15. Efectuar la división
3
62 24
xxx
e indicar el resto
a) 69 b) 62 c) 59
d) 57 e) 54
16. Al efectuar la división
12
322
245
xxxxx
Indicar la suma de coeficientes del
residuo
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
17. Efectuar la división e indicar el término independiente del residuo
12
1422
5234
xxxxxx
Indicar el término independiente del resto
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
18. Utilizando el Método de Horner, efectuar la división
23
9710187623
2345
xxxxxxx
Indicar el coeficiente del término lineal del cociente
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
19. Aplicando el Método de Horner, efectuar la división e indicar coeficiente del el término cúbico del cociente
124
1665252
2344
xxxxxxx
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
15
51
COCIENTES NOTABLES
Definición.- Son aquellos cocientes que se
pueden obtener en forma directa sin necesidad
de efectuar la operación de división.
Condiciones que debe cumplir: yx
yx mm
Donde
x; a bases iguales
m Z+; m 2
CASOS
1. Si: R = 0 xqyxyx nm
cociente
entero o exacto (C.N.)
2. Si: R = 0 yx
xRxq
yxyx nm
cociente completo
También según la combinación de signos se
puede analizar 4 casos.
DEDUCCIÓN DE LOS COCIENTES
DIVISIÓN
INDICADA
COCIENTES n Z+
yxyx nn
=xn-1
+xn-2
y+xn-3
y2+...+y
n-1+; n (C.N.)
yxyx nn
=x
n-1+x
n-2y+x
n-3y
2+...+y
n-1+
yxy n2
; n
(cociente completo)
yxyx nn
ompletocociente cn par ;
yx
yy...yxyxx
C.N.imparn;y...yxyxxn
nnnn
nnnn
212321
12321
yxyx nn
ompletocociente cn impar ;
yx
yy...yxyxx
C.N.parn;...nyyxyxxn
nnnn
nnnn
212321
12321
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
PARA OBTENER UN C.N.
De: qp
nm
yx
yx se debe cumplir: r
q
n
p
m; r Z
+
FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UN
C.N.
Es una fórmula que nos permite encontrar un
término cualquiera en el desarrollo de los C.N.,
sin necesidad de conocer los demás.
De la división: yx
yx nn
a) Si d(x) = x – y: . tk = xn–k
yk–1
.
b) Si d(x) = x+y: . tk = (–1)k–1
xn–k
yk–1
.
Donde:
tk término del lugar k
x 1er. término del divisor.
y 2do. término del divisor.
n número de términos de q(x)
Ejemplos:
43223455
yxyyxyxxyxyx
(C.N.)
yx
yyxyyxx
yx
yx 43223
44 2
(Cociente Completo)
86336633
1212
yyxyxxyx
yx (C.N.)
TAREA DE CLASE
1. Efectuar
2
325
xx
y hallar la suma de coeficientes
del resultado
Rpta.
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
16
2. Calcular el tercer término de:
13
184 4
xx
Rpta.
3. Calcular el segundo término de
35
27125 3
xx
Rpta.
4. Desarrollar
x
82xE
3
5. Desarrollar
1
163 4
xx
N
Rpta.
6. Si:
23
11
yx
yx mm
, es C.. Hallar “m”
Rpta.
7. Hallar el término de lugar 34 en
yxyx 4848
Rpta
8. Hallar el valor de “n” para que:
23
25
yx
yx nn
sea Cociente Notable
Rpta.
9. Hallar el valor de “P” para que:
44
64
P
P
yx
yx, sea C.N
Rpta.
10. Efectuar:
yxyx
2
64 66
e indicar el cuarto término
Rpta.
11. Cual es el tercer término en el cociente
yx
yx
2
322
510
12. Hallar el número de términos del
siguiente cociente notable:
7
63
.
.
yx
yxn
n
Rpta.
13. Efectuar:
4
643
xx
Y dar la suma de los coeficientes del
cociente.
Rpta.
14. Hallar el cuarto término de:
yxyx 77
Rpta.
15. Hallar el tercer término de:
2
164 4
xx
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
17
Aprendiendo a resolver…..resolviendo
1. El número de términos que tendrá el
siguiente cociente notable:
9a8a
3a412a4
nm
nm; es:
a) 10 b) 12 c) 25
d) 15 e) 18
2. Efectuar:
yxyx
2
64 66
y dar la suma de los coeficientes del
cociente
a) 13 b) 21 c) 31
d) 41 e) 51
3. Hallar el tercer término de:
13
181 4
xx
a) 2x2 b) 3x
4 c) 3x
d) x4 e) 4x4
4. hallar el cuarto término de:
3
325 5
xx
a) 8x – 40 b) 8x + 40
c) 8x – 20 d) 8x + 50
e) 8x – 30
5. Hallar el valor de “P” para que:
5
115
p
p
axax
Sea cociente notable
a) 5 b) 6 c) 8
d) 9 e) 7
6. Hallar el tercer término de:
35
93155
yx
yx
a) x6y
140 b) x
40y
6 c) x
140y
6
d) x140
y8 e) x
140y
10
7. Hallar el término central de:
44
100100
yx
yx
a) x48
y46
b) x46
y48
c) x48
y48
d) x6y
48 e) x
24y
24
8. Al efectuar la división:
3
12 20
xx
El término independiente del cociente es:
a) 10 b) 2 c) 1
d) 4 e) 5
9. En el cociente notable:
43 yx
yx mn
Se sabe que el desarrollo tiene 14 términos. El valor de (m + n) es:
a) 56 b) 42 c) 84 d) 89 e) 98
10. Hallar el lugar que ocupa el término de grado absoluto igual a 101 en el desarrollo de:
49
80180
zxzx
a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
18
FACTORIZACIÓN
Definición.- Proceso inverso de la multiplicación
por medio del cual una expresión algebraica
racional entera es presentada como el productos
de dos o más factores algebraicos.
Factor Divisor: Un polinomio no constante es
factor de otro cuando lo divide exactamente,
por lo cual también es llamado divisor.
Factor Primo Racional: Llamamos así a aquel
polinomio que no se puede descomponer en
otros factores. Racionales dentro del mismo
campo.
Ejemplo:
El proceso
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
es una multiplicación.
En cambio el proceso
x2 + (a + b)x + ab = (a + b) (x +b)
es una factorización
Donde:
(x + a), (x + b), son factores primos.
MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
Factor Común Monomio
1. Común Monomio Se determina el MCD de los coeficientes y se toma la variable común con el menor exponente.
Ejemplos:
1. Factorizar:
2. Factorizar 6x3 – 15x
2
Hallamos el M.C.D. de 6 y 15 es 3
El menor exponente de x es 2 el factor común es 3x
2
Luego
3x2 (2x – 5)
3. Factorizar: 3x
2y + 6xy
2 – 3x
2y
2
2. Factor Común Polinomio El factor común es un polinomio.
Método de Agrupación
Se usa este método cuando el polinomio posee un
factor común de 2 a mas términos por lo general
se encuentran luego de agrupar.
Ejemplos:
1. ax + bx + ay + by
agrupando
x(a+b) + y(a+b)
factor común
Factorizando:
(a+b)(x+y)
2. 6ax + 3a + 1 + 2x
3a(2x + 1) + 1 + 2x
Factor
común
Factorizando:
(2x + 1)(3a + 1)
3) xy2 + xz
2 + yz
2 + x
2y
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
19
xy2 + yz
2 + xz
2 + x
2y = y(xy + z
2) +
x(z2 + xy)
= (xy + z2)(y + x)
Método de las Identidades
a) Trinomio Cuadrado Perfecto
a2 + 2ab +b
2 = (a + b)
2
a2 - 2ab +b
2 = (a - b)
2
Ejemplo:
1. Factorizar
16x2 + 40x + 25
Raíz 4x 2(4x)(5) 5 =
(4x + 5) 2
Doble producto Si es T.C.P.
b) Diferencia de Cuadrados
a2 – b
2 = (a + b)(a -b)
Ejemplo:
1. Factorizar
x4
- 4b2
Raíz x2 2b x
4 – 4b
2 = (x
2 + 2b)(x
2 – 2b)
Método del Aspa Simple
Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:
TAREA DE CLASE
1. Factorizar:
7x + 7y
Rpta.
2. El factor común de x2 – x
2y es:
Rpta.
3. Factorizar
24x3 – 16x
2 + 8x
Rpta.
4. Factorizar:
18x3 + 6x
2y + 4xy
2 – 10xy
Rpta.
5. Al factorizar
16z3 + 20z
2 + 4z
4 + 12z
5, se obtiene
6. Factorizar:
5
1
5
1x
Rpta.
7. Factorizar:
–a – b + 2(a + b)
Rpta.
8. Si: x – y = 5 y m = 4. Hallar mx + my
Rpta.
ax2 + bx + c
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
20
9. Factorizar cada una de las expresiones:
a. 8x2 – 16x = ______________
b. x3 + 3x
2 – 5x = ____________
c. m5 + x
4 – m
3 = ____________
d. 6y4 + y
3 – 12y
2 = __________
e. 3x – 6x2 + 9x
3 = ___________
f. 4x4y – 2x
5 + 6x
3y
2 = _______
10. Factorizar cada uno de los polinomios:
a. 2(a+b)+x(a+b) = __________
b. x2(a–1)–y
2(a–1) = _________
c. 3b(2x+3)+2x+3 = ________
d. (a+b)x–(a+b)7–a–b = _____
e. x2+y
2–5y(x
2+y
2) = ________
11. Factorizar:
xz + yz + x + y
12. Factorizar:
ab + bx + ay + xy
Rpta.
13. Factorizar
a2b
3 – a
2 + 2b
3 – 2
Rpta.
14. Factorizar:
6b2x
2 – 3x
2 + 4b
2 – 2
Rpta.
Aprendiendo a resolver…..resolviendo
1. Factorizar (a
2 + b
2) (x + y) + (a
2 + b
2)
(x – 3y) + (a2 + b
2) (y – 2x)
Uno de los factores es:
a) x(a + b) b) x2(a + b)
c) x(a + b)2 d) –y(a
2 + b
2)
e) x(a2 – b
2)
2. Al factorizar la expresión: x
2 – 2x + cx – 2x
Uno de los factores primos es:
a) x+2 b) x–c c) x–2 d) c–x e) 2–x
3. Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos de: 2yz + 7y – 2z – 7
a) 7 b) 8 c) 5 d) 6 e) 1
4. ¿Cuántos factores primos tiene: mx – m – x + 1
a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5
5. Al factorizar la siguiente expresión: mx – m – x + 1
Uno de los factores primos es:
a) (x+1) b) (m+1) c) (2x+1) d) (x–1) e) (2m+1)
6. La suma de los coeficientes de uno de los
factores primos de:
3ax – 3ay – 2bx + 2by; es:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
7. El factor primo de mayor grado de:
2ax2 + 2ax + 2x – a
2 – a – 1; es:
a) x2 + x + 1 b) a
2 + a + 1
c) x2 + 1 d) a
2 + 1
e) a3 + 1
8. Hallar el producto de los términos
independientes de los factores primos de:
133
12 xx
x
a) 2 b)
3
1
c) 3
d) 3
2
e) 1
9. Uno de los factores primos de: x
2n + 1 + 3x
n + 1 + x
n + 3 – x
n + 3x
3 - 3
a) (xn+1
–3) b) (xn–3) c) (x
4+3)
d) (xn+1) e) (x
n–1)
10. ¿Cuál es el factor primo de mayor grado de: P = (x–8) (x–7) (x–6) + (x–7) (x–6) – (x–6)
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
21
a) (x–8)2 b) (x–6)
2 c) (x–4)
2
d) (x–3)2 e) x
3
11. Uno de los factores primos de: x
m+a – x
m . y
b + x
a . y
n – y
n+b – x
az
p + z
py
b
Es:
a) (xa+y
b) b) (x
a–y
b) c) (x
b+y
a)
d) (x+y) e) (x–y)
12. Señale un factor de:
P = ax + bx – ay - by
a) a – b b) x + y c) a + b d) 1
e) 2
13. Señale un factor de:
(x + 1)(y -2) + 3x(x + 1)
a) (x + 1) b) (x - 1)
c) (y - 2) d) (y + 2) e) 1
14. Señalar un factor de:
nx + ny + x + y
a) (n - 1) b) (x - y) c) (x + y) d) x
e) y
15. Factorizar y señalar uno de los factores
de:
xy + wz – wy + xz
a) (x + w) b) (w - x)
c) (y + z) d) (y - z)
e) (z - y)
16. Señalar uno de los factores de:
xm – xp + xn + my – py + ny
a) (m - n + p) b) (m – n - p)
c) (m + n - p) d) (x - y)
e) (m + n)
17. Después de factorizar. señalar uno de los
factores:
ax – ay – bx + by – cx + cy
a) (x + y) b) (y – x)
c) (a + b + c) d) (a – b - c)
e) (a – b + c)
18. Después de factorizar señale el factor
común de 2do grado.
N = kx2 – ky
2 + px
2 + py
2
a) (x2 + y
2) b) (y
2 – x
2)
c) (x2 - y
2) d) (p
2 + k
2)
e) (p2 – k
2)
19. Factorizar:
N = 36x4 – 16y
6
Hallar la suma de sus factores primos:
a) 10x2 b) 12x
2
c) 6x2
d) 8y3
e) 12y3
20. Hallar la diferencia de los factores
mínimos de:
64x4y
6 – 36z
6
a) 12x2 y
2 b) 12z
3
c) 12x2
d) 12y3
e) 12 x3y
2
21. Al factorizar la expresión, uno de los
factores es:
P = (a2x
2 + 2abxy + b
2y
2)
a) (ax + by)2
b) (ax + by)
c) (ax - by) d) (ay - bx)
e) (ax - bx)
22. Factorizar e indicar uno de los factores de:
N = x2 – 5x – 24
a) (x + 8) b) (2x + 3)
c) (x - 8) d) (x - 3)
e) (x - 1)
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
22
MÍNIMO COMÚN NULTIPLO y MÁXIMO COMÚN DIVISOR
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)
Para calcular el M.C.D de dos o más
expresiones, se factorizan estas y el M.C.D
estará formado por los factores comunes,
elevados a su menor exponente,
Ejemplo 1:
Hallar el M.C.D de: 24a2b ; 18a
3bx ;
30a4bx
2
Resolución:
24 18 30 2
12 9 15 3
4 3 5 2 . 3 = 6
Entonces: M.C.D(24,18,30) = 6 a2b
MÍNIMO COMÚN MULTIPLO (M.C.M)
Para calcular el M.C.M de dos o más expresiones se factorizan estas y el M.C.M se formará con los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.
Ejemplo 1:
Hallar el M.C.M de 72x3y
4z
4 ; 96x
2y
2x
3 ;
120x4y
5z
7
Solución
72 96 120 2
36 48 60 2
18 24 30 2
9 12 15 2
9 6 15 2
9 3 15 3
3 1 5 3
1 1 5 5
1 1 1
M.C.M = 25 . 3
2 . 5 = 1440
M.C.M = 1440 x4 y
5 z
7
TAREA DE CLASE
1. Hallar el M.C.D. de:
P(x) = x2 + 7x + 12
Q(x) = x2 + x – 6
Rpta.
2. Hallar el M.C.D. de:
P(x) = x2 + 4
Q(x) = x3 – 8
ALGEBRA
III Bimestre
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
23
Rpta.
3. Hallar el M.C.D. de:
P(x,y) = x4 – y
4
Q(x,y) = 2x2 – xy – y
2
Rpta.
4. Hallar el M.C.D. de:
P(x,y,z) = xz + yz + x + y
Q(x,y,z) = x2 + xy + zy + xy
Rpta.
5. Hallar el M.C.M. de:
P(x) = x2 + 7x + 10
Q(x) = x2 + 6x + 5
Rpta.
6. Hallar el M.C.M. de:
P(x) = x3 – 64
Q(x) = x2 – 16
Rpta.
7. Hallar el M.C.D. y M.C.M. de:
P(x,y,z) = 2x4y
2z
3
Q(x,y,z)= 8x2y
6
R(x,y,z) = 6x5y
7z
4
Rpta.
8. Hallar el M.C.D. de:
P(x) = x3 + 3x
2 + 3x + 1
Q(x) = x2 + x
2 – x – 1
R(x) = x3 + 4x
2 + 5x + 2
Rpta.
9. Hallar el M.C.M. de: P(x) = x
3 – 1
Q(x) = ax2 + ax + a
R(x) = x3 + 3x
2 + 3x + 2
Rpta.
10. Hallar el M.C.D. de: P(x) = x
3 – x
2 + x – 1
Q(x) = (x4 – 1)
Rpta.
11. Hallar el M.C.M. de: A = z
2x
2 – 2x
2 – 3z
2 + 6
B = (z4 – 4) (x
4 – 6x
2 + 9)
Rpta.
12. Hallar el M.C.D. de: A = m
3 + p
3
B = m2 + 2mp + p
2
C = m2 + mp + mq + pq
13. Hallar el M.C.M. de: P = x
2 – 2x – 15
Q = x2 – 25
R = 4ax2 + 40ax + 100a
Rpta.
14. Hallar el M.C.D. de: P(x) = x
3 + x
2 – 4x – 4
Q(x) = x3 + 3x
2 + 2x
Rpta.
15. Hallar el M.C.D.: P(x) = x
3 – 1
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
24
QP
X
X
)(
)(
2
2
2
2
26
62
8
63
2
3
2
3
.122
.123
24
36
y
x
y
x
yxyx
yxxx
xy
yx
Q(x) = x4 + x2 + 1
Aprendiendo a resolver…..resolviendo
1. Hallar el M.C.D. de: P(x) = x
2 + 5x – 24
Q(x) = x2 + 4x – 21
a) x + 8 b) x + 7 c) x – 3 d) x + 3 e) x + 1
2. Hallar el M.C.D. de: P(x) = x
2 – 9
Q(x) = x3 – 27
a) x + 3 b) x – 3 c) x2 – 9
d) x + 9 e) 1
3. Hallar el M.C.D. de: A(x,y) = x
6 – y
6
B(x,y) = x3 – y
3
a) x + y b) x2 + x – y
c) x – y d) x + 2y e) y – x
4. Hallar el M.C.D. de: P(x,y,z,) = xz + 3x + yz – 3y
Q(x,y,z) = xz + 2x + yz – 2y
a) x – y b) y + z c) x + y d) z + y e) z + 1
5. Hallar el M.C.M. de: P(x) = x
2 + 4x + 3
Q(x) = x2 + 6x + 9
a) x3 + 7x
2 + 15x + 9
b) x3 + 7x
2 + 15x + 1
c) x3 + x
2 + 3
d) x3 + 1
e) x – 1
6. Hallar el M.C.M. de: P(x) = x
3 – 125
Q(x) = x2 – 25
Dar como respuesta la suma de coeficientes:
a) 744 b) 644 c) –744 d) –644 e) 125
7. Hallar el M.C.D. y M.C.M. de:
P(x,y,z) = 12x5y
3z
4
Q(x,y,z) = 4x4y
2
Q(x,y,z) = 6x6 . y
4 . z
3
a) 4x4y
3; 12x
6y
4z
4
b) 4x3y
4; 12x
4y
6z
4
c) 4xy2; 12x
5y
6.z
d) 4x5y
3; 12x
6y
3z
2
e) 4xy; 12xyz
8. Hallar el M.C.D. de: P(x) = x
3 + 6x
2 + 12x + 8
Q(x) = x3 + 2x
2 – x – 2
R(x) = x3 + 4x
2 + 5x + 2
a) x – 2 b) x – 1 c) x + 3 d) x + 2 e) x + 6
9. Hallar el M.C.D. de: P(x) = x
3 – a
3
Q(x) = pz2 + pax + pa
2
a) x2 + ax + a
2 b) x
2 – ax + a
2
c) x2 + 2ax + a
3 d) x
2 + bx + 2
10. Hallar el M.C.D. de: P(x) = x
3 + x
2 – x – 1
Q(x) = (x4 – 1)
a) x + 1 b) x – 1 c) x4 + 1
d) x4 e) x2 – 1
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Fracción algebraica.- Es toda expresión de la forma:
Numerador
Denominador Donde Q(x) ≠ 0 Simplificación de Fracciones algebraicas
Una fracción algebraica es reducible (se puede
simplificar) si su numerador y su denominador se
pueden dividir por un mismo factor.
Ejemplo: 1
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
25
Ejemplo: 2
22
4
)3(2
)3(4
62
124
yx
yx
yx
yx
TAREA DE CLASE
01) Al simplificar la fracción
2aa2a
1aN
23
3
02) Al simplificar la fracción
x1
x3x1)x1(p
32
03) simplificar
4x4x
12x4xN
2
2
04) Efectuar
xx
1x2xN
2
2
05) Simplificar
1ba
baba
ba1
N
Efectuar
32x4
9
x2
5
x8
7p
08) Efectuar
1x
x
1x
2
1x
4N
2
09) Efectuar
a5
1a3
a2
2aN
10) Efectuar
1x3x2
7N
11) Efectuar
1x
52xP
12) Efectuar
x6
)yx(
)yx(2
)yx(3N
22
Aprendiendo a resolver…..resolviendo
01) Simplificar
ac2bca
ab2cbaN
222
222
A) a
ba2
B) cba
cba
C) cba
cba D) acb2
cba2
E) 1
02) Simplificar
x4
b
a
x16b
a
Q
2
2
2
A) x4b
a B) x2b
a
C) x4b
a D) x4a
E) x4a
b
03) Efectuar
1x
2
2xx
x322
A)y12
y8 B)y24
y8 C) y6
y8
D) y
y8 E) y48
y8
04) Efectuar
ab2a
ab2
b2a
a
b
a2
A) b
ba B) a
ba C)
b
ba
D) b
ba E) 1
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
26
05) Efectuar
2
2
bab
a
ba
b
b
a2
A)ba
b B)b2
ba C)
a
ba
D)b
ba E) 1
Simplificar
a10
12a11
a5
1a3
a2
2aN
A) 2
a B)
2
1a C) 0
D) 2
1a E) 1
07) Efectuar
332
52
32
243
yx
qp
pq
yx B) q
p7
C) y
p7
A) yq
p7 B)
q
p7
C) y
p
D) y
p7 E) 1
08) Efectuar
15a2a
21a10a
14a9a
16a10a2
2
2
2
A) 5a
8a B) 8a
5a C) 8a
5a
D) a
5a E) a
8a
09) Efectuar
)1a(8
yx
yxy2x
a4a4 22
22
2
A) )yx(2
)yx(a B) yx
yx
C) )yx(a
)yx(2 D) ay
ax E) ax
ay
10)Efectuar
3
a5
2
2a
3
3a
5
a
4
2a2
A) )5a7( B) 5a7
C) a75 D) 5a7
E) a7
11) Efectuar
9a6a
3a4a
18a3a
24a10a2
2
2
2
A) )yx(x B) )y2x(x
C) )y2x(x D) )yx(x
E) yx
Ejecutar
22
33
2
32
bxa
yab
ax3
yb
A) 64
4
ya81
bx4 B) 4
62
bx4
ya81
C) xy4
ba81 62 D)
6
4
y4
x81
E) 4
6
x81
y4
FACTORIAL Definición:
n! = se lee factorial de n, n Por convención 0! = 1 Leyes básicas n! = n ( n-1)! Ejemplo 8! = 8.7! (x+3)! = (x+3) ( x+2)! si x! = n! x = n
Ejemplo (x-15)! = 24 (x-15)! = 4! x-15 =4
x=19 si x! = 1 x = 0 x =1
n! = |n = n(n-1) (n-2) (n-3) ………….3.2.1
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
27
TAREA DE CLASE
01) Reducir N = (12! -11!) 11! 02) Si N! = 6, hallar “N” 03) Si (4 -2)! = 2 , hallar “n” 04) S (n-15)! = 120, hallar “n” 05) Simplificar
)!1n(
)!1n(!nP
06) Simplificar
)!2n(
)!2n()!1n(Q
07) Hallar el valor de X en
8)!2x(
)!1x(!x
08) Hallar N
156!1n
!3n
Calcular
!11!10
!11!9!10E
10) Hallar “x“
32040!125
x2
11) Hallar “X”
!20)!5x()!4x(
!6x!.4x
12) Hallar “M”
!77!76
!78M
13) Hallar “X”
!10!x
!1x!x
Aprendiendo a resolver…..resolviendo
01) Reducir
!10
!9!10N
A) 10 B) 9 C) 11 D) 9! E) 10!
02) Si K! = 24, hallar K
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
03) Si (n-18)! = 720, hallar ´´n´´
A)16 B) 18 C) 24 D) 12 E) 10
04) Si (x+3)! = 5 040 Hallar “x”
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
05) Simplificar
1)!1x(
)!1x(!xQ
A) 2x B) x+1 C) x-1 D) x E) 1
Simplificar
!80
!81!824R
A) 7 B) 8 C) 9 D) 11 E) 12
07) Simplificar
!99!98
!100!99!98P
A) 98 B) 99 C) 100 D) 101 E) 102
08) Hallar 5x , sabiendo que
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
28
512x32x
)!2x(
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Hallar “n”
!3
!4
!2
!3
!1
!2
!0
!1N
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
10) Calcular
!77!76
!78M
A) 78 B) 76 C) 75 D) 77 E) 79
11) Hallar “n”
........!.........2!2!2N
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
12) Hallar “x” en (x+6)! = 40 320
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E)5
Hallar “X” en (x+10)! = 3 628 800
A) 2 B) 0 C) 7 D) 8 E) 1
14) Simplificar
)!2n(
1
)1n(n
!nP
A) 0 B) 1 C) 3 D) 3 E) 4
15) Simplificar
)!2n(
1
!n
)1n(nQ
A) 4 B) 6 C) 3
D) 1 E) 0
RADICACIÓN
Sabemos que la raíz n-esima de x; denotado por n x es el numero “r” si se cumple que r
n = x
xrrx nn
Clasificación Considerando su Naturaleza 1) Racionales: Son aquellos en los cuales las raíces son exactas. Ejemplos:
1) xx 39 2
2) xx 283 3
02) Irracionales: Son aquellos en los cuales las raíces son inexactas.
Ejemplos:
1) x7
2) 3 214x
03) Reales: Son aquellas cuyas raíces son pares y los subradicales son positivos.
Ejemplos:
1) 33
2) 4 214x
04) Imaginarios: Son aquellos en los cuales los índices son números pares y cuyos subradicales son negativos.
Ejemplos:
1) 24x
2) 4 89x
Clasificación Considerando su Especie 1) Homogéneos: Son aquellos radicales que
tiene el mismo índice.
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
29
Ejemplos:
1) y53 y z87
2) 3 239 yxa y 332 zb
2) Heterogéneos: Son aquellos radicales que
tiene distinto índice
Ejemplos:
1) 33 xyab y 45 xya
2) 3 x y 2 y
3) Semejantes: Dos o más radicales son
semejantes si tienen el mismo índice y la misma parte subradical, solo se diferencian por los coeficientes.
4) Ejemplos: 5)
6) 1) 3 23 xab y
3 25 xm
7) 2) 22 4bx y
243
1b
TAREA DE CLASE
01) Efectuar
3
33
x48
x123x272N
02) Efectuar
3 4
3 43 4
x128a
x54a3x16a5P
03) Efectuar
75x25
12x427x9N
04) Efectuar
b5a7b5a8b5a12Q 05) Efectuar
a3.a2P 06) Efectuar
33 2ab25.a43Q
07) Efectuar
a2ab3.ax5a.x32R
08) Efectuar
ax2ab5.ax8a2N 09) Efectuar
x6a2x24ab8N 10) Efectuar
33 43x2ayx16aP
11) Efectuar
3 a2.x3N 12) Efectuar
x2x5.a43Q3 2
13) Efectuar
33x9x2527R
14) Efectuar
43 5 316964 xxN
15) Efectuar
25 43 16 abbaQ
16) Efectuar
2
3 xxN
17) Efectuar
33 22
a2x4P
Aprendiendo a resolver……resolviendo Efectuar
1xx4
1xx61xx3P
n
nn
A) 1xx4n
B) 1xx5n
C) 1xx6n
D) 1xx5n
E) 1xx5 02) Efectuar
53
5353
yx50a5
yx18a3yx8aS
A) xy2ax14
2
B) xy2xa14
22
C) xy2ax14
3
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
30
D) axy2x14
E) xyax14
03) Efectúa
48x16575x255N
A) 3x5 B) 3x10
C) 3x4 D) 3x3
E) 3x Efectuar
3 43 x4.x2S
A) 3 4
x8 B) 3 7
x8
C) 3 5
x8 D) x8
E) x
05) Efectuar
ax2ab5.ax8a2N
A) bxa203
B) bxa303
C) bxa403
D) bxa503
E) bxa253
06) Efectuar
43 . xbxaQ
A)7 2
xab B)12 5
xab
C)12 11xab D)
12 7xab
E)15 6
xab 07) Efectuar
3 425 23
xx.xxR
A) 5 xx B)
15 115xx C)
15 104xx
D) 15 136
xx E) 15 92
xx
08) Efectuar
3 24
xx.xxT
A) 66
xx B) 65
xx C) 6 54
xx
D) 5 xx E)
5 11x
09) Efectuar
7 463 23
xx.xxS
A) 510
xx B) 21 510
xx C) 7 1010
xx
D) 10 110
xx E) 7 1110
xx
10) Dividir
3 23 532y3xy3y375yx6
A) xy10 ` B) 2
xy10 C) yx102
D) 3
xy10 E) 2
yx10
11) Dividir
25 43
ab16ba32
A) 10
b
a10 B) 10
b
a C) 10
2
b
a2
D) 102
b
a2 E) 10
b
a22
12) Desarrollar
4
34xx
A) 417 xx B) 516 xx
C) 515 xx D) 318 xx
E) 3 xx
13) Desarrollar
3
5 32xx
A) 47
xx B) 57
xx
C) 57
xx D) 5 37
xx
E) 5 107
xx
14) desarrollar
3 x.x4
A) 3 2
x2 B) 3 4
x2 C)3
x2
D) x2 E) x
15) Desarrollar 4 8 ²x3x16
A) 2x8 ²x3 B) 2x²
8 ²x3
C) 8 x3 D) 2x
8 x
E) 2x8 x8
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
31
TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES A SIMPLES
No todo radical doble podrá transformarse a una suma o resta de radicales sencillos, podrá hacerse con aquellos que cumplan ciertas condiciones o requisitos.
Radicales de la forma. BA
Formula General
22
CACABA
BAC 2
Ejemplo: Transformar a radicales simples:
728
Calculamos C:
6362864728C22
Luego:
172
68
2
68728
TAREA DE CLASE
01. Simplificar
315281027N
02. Simplificar
6269347M
03. Simplioficar
777218P
04. Simplificar
1113143224S
05. Simplificar
35
158T
06. Simplificar
2
1
10
21015Z
07. Simplificar
yyx2yxM
08.S simplificar
aab2baM
09. Reducir
2
1
30
30217Q
10. Simplificar
2625N
11. Reducir
a22a2a3Q
12. Reducir
22
1122219R
13. Simplificar
13
791220S
Aprendiendo a resolver……resolviendo
01) simplificar
115521635212S
A) 3 B) 5 C) 7 D) 11
E) 13
02) simplificar
11
777218Q
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
32
A) 2 B) 3 C) 1 D) 5 E) 4 03) simplificar
1113
143224N
A) 1 B) 5 C) 7 D) 11 E) 9 04) simplificar
20
1021015Ñ
A) 0 B) 6 C) 3 D) 1 E) 5 05) simplificar
35158k
A) 2 B) 1 C) 0 D) 5 E) 4 06) simplificar
2
2
k
pkppkN
A) 2 B) -1 C) 3 D) 7 E) 1 07) simplificar
2992361323N
A) 8 B) 0 C) 1 D) 5 E) 4 08) reducir
5158Q
A) 2 B) 3 C) 5
D) 7 E) 10
09) simplificar
2347269R
A) 2 B) 3 C) 5
D) 6 E) 7
10) reducir
52
3853aa2aaN A) a B)
5 a ` C) a D) 2a E) 1
Reducir
221122219S
a) 0 b) 1 c) 2 d)3 e) 44 12) simplificar
7
2
1697x2xx8
A) 2
x B) x C) 1 D) 3
x D) x
13) Reducir
1324Q
A) 2 B) 3 C) 5 D) 0 E) 1
14) Reducir
1526N
A) 2 B) 3 C) 5 D) 7
E) 1 15) Reducir
1010211A
A) 0 B) 1 C) 3 D) 8 E) 10
RACIONALIZACIÓN
Denominamos fracción irracional, a aquellas que
tienen en el denominador uno o mas radicales.
Racionalizar una fracción es trasformarla en otra
equivalente, eliminando los radicales del
denominador.
Factor Racionalizante (F. R). es otra expresión
irracional que multiplicada por el numerador y
denominador de una fracción permite que uno de
estos
(El denominador) se transforme en una expresión
racional.
Ejemplo:
Dado 5
7 El factor
racionalizante es 5 , luego:
5
57
55
57
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
33
Casos que se presentan:
1) Cuando el denominador es una raíz
cuadrada basta multiplicar los dos términos
de la fracción por dicha raíz.
Ejemplo:
x
xa
x
x
x
a
x
a
2
3
2
3
2
3
2) Cuando el denominador presenta radicales
de cualquier índice con radicandos monomios.
Usaremos el factor racionalizante (FR)
Ejemplo:
Racionalizar: 5 32
4
yx
Hallamos el factor racionalizante de la siguiente manera:
5 235 35255 32 .. yxyxRFyx
Luego:
y.x
yx4
yxyx
yx4
yx
4 5 23
5 235 32
5 23
5 32
TAREA DE CLASE
01) Racionalizar:
3
2
Rpta.: 02) Racionalizar:
2
1
Rpta.: 03) Racionalizar:
5
4
Rpta.: 04) Racionalizar:
2
3x
Rpta.: 05) Racionalizar:
5
3
Rpta.: 06) Racionalizar:
32
9
Rpta.: 07) Racionalizar:
65
12
Rpta.: 08) Racionalizar:
211
4
Rpta.: 09) Racionalizar:
x3
2
Rpta.: 10) Racionalizar:
ax
ab
25
3
Rpta.: Racionalizar:
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
34
3
4
3
Rpta.: 12) Racionalizar:
5 2
5
x
Rpta.: 13) Racionalizar:
5 23
6
yx
Rpta.: 14) Racionalizar:
6 23
5
Rpta.: 15) Racionalizar:
3 x
1
Rpta.: 16) Racionalizar:
5
2
x
Rpta.:
17) Racionalizar: 10 32
3
Rpta.:
18) Racionalizar: 5
2
1
Rpta.:
19) Racionalizar: 6 3
1
Rpta.:
20) Racionalizar: 6 411
11
Rpta.:
Aprendiendo a resolver……resolviendo 01) Efectuar:
2
32
3
2N
a) 3
32 b)
3
34
c) 34 d) 3
e) 32
02) Simplificar:
33
9P
a) 35 b) 34
c) 3 d) 1
e) 32
03) Simplificar:
3
815
9
5 6
6Q
a) 1 b) 0
c) -1 d) 81
e) 4
04) Simplificar:
62
1283
8
3 10
10N
a) 3 b) 10 8
c) 10 3 d) 6
e) 1 05) Simplificar:
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
35
11.11
22
211
4M
a) 22 b) 33
c) 24 d) 25
e) 1
06) Simplificar: 5 2
2
x
xQ
a) 5 32 x B)
5 22 x
c) 5 42 x d) x
05) Simplificar
9a12a4N 2
a) 2a – 3 b) 2a + 4
c) 2a + 3 d) 2a - 5
e) 2a + 5
06) Simplificar
82418 2 aaN
a) 223a b) 323a
c) 523a d) 623a
e) 823a
07) Simplificar:
315
5 2
16
2
1N
a) 5 2 b)
5 312
c) 5 31 d) 0
e) 1
08) Simplificar: xyyx
N5 23
6
a) 5 32 yx b) 5 326 yx
c) 5 225 yx d) 34 xy
e) 53 xy
09) Simplificar:
55
52
5
2Q
a) 4 b) 5
c) 54 d) 2
5
e)1
10) Simplificar:
37213
1
7
2Z
a) 37 b) 76
c) 67 d) 7
e) 67
11) Simplificar:
348
8
6
62
Q
a) 7 b) 14 c) 21 d) 28 e) 1
12) Simplificar:
3263
1
2
1Z
a) 33 b) 23
c) 53 d) 323
e) 233
13) Simplificar:
3525
5
7
72
R
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
36
ECUACIONES I
Consideremos primero los siguientes conceptos:
I) Igualdad (=).- Son dos expresiones
aritméticos o algebraicas, que gozan del
mismo valor.
Ejemplos:
1) una docena = 12 unidades
2) 9 + 4 = 16 – 3 3) 5x = 20
II) Identidad ( ).- Es una igualdad por si misma
evidente.
Ejemplos:
1) 8 8 2) 5k 5k 3) y + 7 y + 7
III) Ecuación.- Es una igualdad de expresiones de
las cuales una encierra cantidades
desconocidas (incógnitas), a las cuales le
corresponden unos valores condicionados,
pero determinados.
Por ejemplo:
2x = 10
Las cantidades desconocidas están
expresados por medio de letras, generalmente
las ultimas del alfabeto, como lo son: x, y, z,
etc.
Principios Generales de las ecuaciones
1ro
Sin alterar las soluciones de una ecuación,
se puede añadir o quitar una misma
cantidad a sus dos miembros.
Ejemplo:
Resolver 3x – 5 = 7
3x – 5 + 5 = 7 + 5
3x = 12
2do
Sin alterar las soluciones de una ecuación,
se puede multiplicar o dividir por una
misma cantidad a ambos miembros.
Ejemplo:
Resolver 4x + 1 = 21
2(4x + 1) = 21 . 2 ~ 8x + 2 = 42
Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita
Toda ecuación de Primer Grado con una
incógnita, puede reducirse a la forma:
ax + b = 0
Donde: x : incógnita
a y b : coeficientes (a y b R)
Despejando a incógnita "x" se tendrá: a.x = -b
Ejemplo : Resolver la ecuación:
3x + 1 = x + 17
Solución
ALGEBRA
IV Bimestre
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
37
3x + 1 = x – 17; transponemos términos,
cambiando de signo
3x – x = 17 – 1; reducimos términos semejantes.
2
16x2 ; Despejamos "x"; dividendo los
miembros entre el coeficiente de "x"
x = 16 x = 8 (valor de la raíz)
a
bx
a) Resolución de Problemas utilizando
Ecuaciones de Primer grado con una
Incógnita
Problema: Problema es la investigación de
términos desconocidos por medio de los
conocidos.
Resolver un problema: Quiere decir: Hallar
el valor de la incógnita, hallar una igualdad la
cual se desarrollada, satisfaga al valor de la
incógnita. Y así toda clase de ecuación es un
expresión más sencilla de un problema
dando por ejemplo la siguiente ecuación: 3x +
5 = 11; puede ser expresión algebraica de
este problema.
¿Cuál es el numero cuyo triple, aumentado en
5 sea igual a 11?
- Luego el número desconocido es "x"
- Cuyo triple es: 3x
- Aumentando en 5 es: 3x + 5
- Es igual a 11; o sea: 3x + 5 = 11
Resolviendo la ecuación:
3x + 5 = 11 ; tenemos que:
3x = 11 – 5 = 6 x = 3
6 = 2 x = 2
Rpta. El número es 2
Planteo de un problema: Por plantear un
problema se entiende a acomodar todos sus
términos conocidos y desconocidos con
respecto a la incógnita, de tal suerte que
obtenga una ecuación, expresando fielmente el
sentido del problema dado.
Ejemplo: ¿Cuál es el numero cuyos 5
2
aumentando en 3 es igual a sus 4
3 disminuido
en 4?
Raciocinio: El numero buscado es "x"
5
x2 + 3 =
4
x3 - 4
Planteo 44
x33
5
x2 ; transponemos
términos
720
x15x87
4.5
x3.5x2.434
4
x3
5
x2
-7 x -7.20 x = 20
Rpta.: El número buscado es 20
TAREA DE CLASE
01) Resolver la ecuación:
3x + 1 = x + 17
02) Resolver:
5x + 3 = 2x + 15
03) Resolver la ecuación:
(x + 1)(x + 2) – x(x + 5) = 6
04) Resolver:
5x – {6x + 8- (x + 1) } = -2x + 1
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
38
05) Resolver:
15 – (2x - 1) = 8 – (2 – 3x)
06) Resolver:
2x + 1 = 4(x - 6)
07) Resolver:
7 – 3(x + 1) = x – 3 (x - 1)
08) Resolver:
5x – 2(x - 6) = 2x + 2(x - 1)
09) Resolver:
5 – (2x – 1) = 9 – (2 + 3x)
10) Resolver:
(3x + 2) + (x + 1)=(2x + 4) + (x + 3)
11) Resolver:
3(5x + 1) – 2(6x + 3) = 2(x - 1)
12) Resolver:
(5x + 4)–(3x + 1)=(4x + 2)–(3x - 7)
13) Hallar el conjunto solución de:
3x4
27x
14) Resolver:
16
x3
2
x
15) Hallar "x"
2
1
x
x15
Aprendiendo a resolver……resolviendo
01) Hallar "x" en:
12x47
x5
a) 16 b) 28 c) 20 d) 30
e) 18
02) Resolver:
5(2x - 4) = 2(3x + 4)
a) 3 b) 5 c) 7 d) 9
e) 11
03) Resolver:
8x + 2(x + 1) = 7(x – 2) + 3(x + 1) + 13
a) –2 b) 4 c) 3 d) -1
e) indeterminado
04) Hallar el valor de "x" en la siguiente ecuación:
3
5
2
x
2
3
6
x
a) 1/2 b) 1/4 c) –1/4 d) –1/2
e) 1
05) Hallar el valor de "x" en:
24
x5
2
1
3
x8
a) 9 b) 8 c) 7 d) 6
e) 5
06) Hallar "x" en:
6
5
3
x
2
x
a) 0 b) -1 c) 1 d) 2
e) 6
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
39
07) Resolver:
(6x + 7)(5x - 4) = 6(5x2 - 1)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) -2
08) Resolver:
53
x719x2
Dar como respuesta 6
x
a) 14 b) 42 c) 7 d) 2
e) 1
09) Hallar el valor de "x" en:
2x2
95
x3
2
x2
5
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15
e) 16
10) Hallar el valor de:
13
2
135
9
x
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9
e) 10
11) Resolver:
15
x102
5
x2
3
x
a) 16 b) 20 c) 25 d) 30
e) 32
12) Hallar el valor de:
94
xx
2
x
a) 10 b) 11 c) 12 d) 14
e) 16
13) Hallar el valor de "x" en:
3
13
3
x
15
x2
7
x33
a) -15 b) -25 c) -35 d) -45
e) -55
14) Hallar "x" en
16
x
2
1x
4
3x
a) 1/5 b) 2/5 c) 3/5 d) 4/5
e) 1
15) Hallar "x"
3
77
1
3
32
62 x
x
xxx
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
40
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
El siguiente es un sistema de ecuaciones:
)2........(13yx5)1(.......1yx2
Este sistema esta conformado por 2
ecuaciones con 2 incógnitas. Resolver un
sistema significa encontrar; valores de las
incógnitas que las satisfagan
simultáneamente.
En nuestro ejemplo; al resolver el sistema; tales
valores de las incógnitas son:
x = 2 e y = -3
METODOS PARA HALLAR LA SOLUCIÓN
COMÚN
I. MÉTODO DE REDUCCIÓN.-
Procedimiento a seguir:
1. Preparamos las ecuaciones del
sistema; eliminando signos de
colección; reduciendo términos
semejantes; suprimiendo
denominadores y transponiendo
términos; hasta que el sistema tenga
la siguiente forma:
)2(.........feydx)1(.........cbyax
Donde x e y son las únicas incógnitas
y a, b, c , d, e y f son los coeficientes.
2. Aplicando las propiedades de
ecuaciones; hacemos que los
coeficientes de la incógnita que se
desea eliminar; sean números opuesto
en ambas ecuaciones. Por ejemplo;
luego de aplicar las propiedades de
ecuaciones el sistema debe quedar
así:
2y4x5
18y4x3
Donde los coeficientes de “y” son 4 y -
4; respectivamente.
3. En seguida sumamos miembro a
miembro ambas ecuaciones;
eliminándose los términos con
incógnitas “y”
4. La ecuación que resulta solo tiene a
“x”, como incógnita, lo cual
procedemos a despejar.
5. El valor de “x”; hallado en el paso
anterior se reemplaza en cualquiera
de las ecuaciones del sistema; de
donde despejamos ahora “y”.
Ejemplos: Resolver el sistema:
)2(..........1yx)1(.........17y2x
Solución: Si multiplicamos (2) por 2,
tendremos los términos en y con
coeficientes opuestos:
2x – 2y = -2 …… (3)
Sumamos miembro a miembro las
ecuaciones (1) y (3)
150x3
2y2x2
17y2x
Despejamos x de la nueva ecuación:
5x
Reemplazamos el valor de x obtenido en
cualquiera de las ecuaciones del
sistema:
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
41
6y17y25
17y2x
Respuesta: La solución común que satisface al
sistema es x = 5 e y = 6
TAREA DE CLASE
01) Resolver el sistema:
)2(.........y318x2
)1(........133
yy
3
x
Rpta.:
02) x + y = 6 ……. (1) x – y = 2 ……. (2)
Hallar “x + 2y”
Rpta.:
03) Resolver el sistema:
2x – y = 0 ……. (1) 3x + y = 5 ……. (2)
Rpta.:
04) Resolver el sistema:
5m – t = 16 2m – 3t = 9
Rpta.:
05) Resolver: el sistema:
2(a – b) + 5(a + b) = 13 … (1) 7a + 2 – b = 2a + b + 3 …. (2)
Rpta.:
06) Resolver el sistema:
8x3
yy
3
x …. (1)
2x = y – x + 15 …. (2)
Rpta.:
07) 71y1x …. (1)
15,0x
)22y( ..... (2)
¿Hallar “x + 3y”?
Rpta.:
08) Resolver la ecuación
2x + 9y = -38 ….. (1) x – 9y = 35 ….. (2)
Rpta.:
09) 5a - 3b = 7 …… (1) 7a + 3b = 17 ….. (2)
Rpta.: 10) x + 2y = 15 x – 2y = -5
Rpta.: 11) Resolver la ecuación:
x + 2y = 15 x – 2y = -7
Rpta.:
12) 7m – 2n + 34 = 0 ….. (1)
5m + 3n + 11 = 0 ….. (2)
Rpta.:
13) Resolver la ecuación:
5(x + y) + 3(y – x) = 32 … (1)
(x – y) / 3 = -4 / 3 … (2)
Rpta.:
14) (7y – x) + 1(x – 1) = -25 (1)
(2y – x) + 7(y – 1) = -31 (2)
Rpta.:
15) Resolver el sistema:
4(x + 1) – 5(y + 2) = -12 ….. (1)
5(x – 1) + 4(y – 2) = -5 ….. (2)
Rpta.:
16) Resolver el sistema:
)2(.........26y3x5
)1(........12y4x
Calcule: (x + y)2
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
42
Aprendiendo a resolver……resolviendo
01) Resolver el sistema:
)2(.........9y7x
)1(........y3)1x2(
Hallar “(2x + y)”:
a) -3 b) -5 c) -6 d) -2 e) 3
02) Resolver:
8x3
yy
3
x
2x = y – x + 15 Hallar x + 3y
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17
03) Resolver: a + 7b = 15 3a – 7b = -11
Hallar: b/a
a) 4 b) 2
3 c)
2
5 d) 2 e) 3
04) Resolver:
2x + 9y = -38 x – 9y = 35 Hallar “x + y” a) -6 b) -7 c) -9 d) -8 e) -5
05) 11b3a2
b514a
Del sistema de ecuaciones, hallar “a – 2b”
a) 32 b) 28 c) 35 d) 21e) 30
06) 1]x2y[1x
8)yx2()y2x(, hallar: (x + y)
a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 6
07) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
3x – 2[(x – 1) – (y – 1)] = 18 x + y = 10
a) x = 2 ; y = 6 b) x = 4 ; y = 6 c) x = 2 ; y = 8 d) x = 5 ; y = 5 e) x = 3 ; y = 6
08) x = 5 + 3y ..…. (1)
7x – 39 = 9y …… (2)
Hallar “x + y”
a) 20/3 b) 19/3 c) 21/3 d) 18/3 e) 22/3
09) Resolver:
8x5
yy
5
x ….. (1)
2x – y = 40 ….. (2)
a) x = 25 ; y = 15 b) x = 20 ; y = 15 c) x = 30 ; y = 10 d) x = 15 ; y = 10 e) x = 25 , y = 10
10) 7 – [(2y – 3) + 4(x – 1)] = 22
[5(x + 2) – 3(y – 2)] – 8 = x
Hallar (x + y)
a) -3/5 b) 4 c) -2/5 d) 1/5 e) 2/3
11) Resolver:
3[x – 4y] + 7[2x – y] = 0 14x – 3x = 4
Hallar: x – y + y
a) 80/3 b) 215/6 c) 76 d) 90/2 e) 76/125
12) Resolver:
7x6x2
2y3xx3
2
2
, si: x2 = 6x
a) 18
7x ;
2
1y b) x = 3 ; y = 6/4
c) x = 5 ; y = 6/4 d) x = 3 ; y = 1/19
e) 4
9x ;
2
3y
13) Resolver:
4)yx(3x22
3]7y3x[2
1x30
Hallar: x + y
a) 3
1 b) -3 c) 5 d)
2
1 e)
2
1
14) Resolver el sistema:
011n3m5
034n2m7
Hallar m + n
a) -5 b) -4 c) -3 d) -2 e) -1
15) Resolver:
3/43/)yx(
32)xy(3)yx(5
Hallar “x + 3y”
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
43
ECUACIONES II ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Conocida también como ecuación cuadrática y que tiene la forma general:
0a;0cbxax2
Ejemplos: 2x
2 + x + 1 = 0; x
2 + 2 = 0
PROPIEDADES I. ANÁLISIS DE SUS RAÍCES
Sea: ax
2 + bx + c = 0 ; a 0
Se define el discriminante ( ):
ac4b2 ; a, b, c R
1
er CASO
)UNICASOLUCION(múltipleraízo
igualeserealesraíces20
Ejemplo: 4x
2 – 4x + 1 = 0
= (-4)2 – 4(4)(1) = 0
2
1.S.C
2
do CASO
diferenteserealesraíces20
Ejemplo: x2 – 4x – 12 = 0 C.S. = {6 ; -2}
= 16 – 4(1)(-12) > 0
3
er CASO
conjugadasysimaginaria,complejasraíces20
II. OPERACIONES BÁSICAS CON LAS
RAÍCES Sea: ax
2 + bx +c = 0 ; a 0
SUMA DE RAÍCES:
a
bxx 21
PRODUCTO DE RAÍCES:
a
cxx 21
DIFERENCIA DE RAÍCES:
212
212
21 xx4)xx()xx(
Reconstrucción de la ecuación de 2do grado a partir de sus raíces:
0xxx)xx(x
raicesdeoductoPr
21
RaicesdeSuma
212
TEOREMA: Sean las ecuaciones: ax
2 + bx + c = 0 ……… (1) ;
a 0 mx
2 + nx + p = 0 ……. (2) ;
m 0 Estas ecuaciones serán equivalentes, es decir tienen el mismo C.S. si se cumple:
p
c
n
b
m
a
TAREA DE CLASE
Resolver las siguientes ecuaciones:
01) x2 + 6 = 5x
02) 6x2 + 19x + 10 = 0
03) 3)2x)(1x(10
1
04) (x – a + 2)(x – a + 3) = 42
05) (x + 1)2 + (x + 2)
2 = (x + 3)
2
06) (x + a)2 – b
2 = 0
07) (2x – 1)(2x – 3) = 63
08) (3x – 1)2 + (3x – 2)
2 = 9x
2
09) 3(3x – 2) = (x + 4)(4 – x)
10) 9x + 1 = 3(x2 – 5) – (x– 3)(x– 2)
11) (z – 16)(z + 2) = 25(z + 2)2
12) 2 – 3y = 3
1(y – 4)(y + 4)
13) a4
x2
ax
x
3
ax2
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
44
Encuentre la suma y el producto de la raíces de
las siguientes ecuaciones:
14) x2 – 6x – 7 = 0
15) x2 + 7 + 10 = 0
16) 5x2 – 15x + 40 = 0
* Encuentra la ecuación que dio origen a:
17) x1 + x2 = 5 ; x1x2 = 6
18) x1 + x2 = 11 ; x1x2 = 10
19) x1 – x2 = 5 ; x1x2 = 150
20) x1 + x2 = -1 ; x1 – x2 = 5
Aprendiendo a resolver……resolviendo
Resolver las siguientes ecuaciones:
01) 3x
2 + 2 = 5x
a) 1;3
2 b) 2;1
c) 1;5
2 d) 2;
3
2
e) 3
2;
3
1
02) 6x
2 = x + 222
a) 3
7;6 b)
8
7;4
c) 6
37;6 d)
6
7;3
e) 6
7;6
03) 8x + 5 = 36x
2
a) 2
3;1 b)
185;
21
c) 3
2;
2
1 d)
18
1;
18
5
e) N.A.
04) x
2 + 15x = -56
a) {-8 ; -7} b) {-3 ; -6} c) {-2 ; 5} d) {-8 ; 7} e) {7 ; -6}
05) (5x – 2)2 – (3x + 1)
2 = x
2 + 60
a) {19 ; 5}
b) 4
13;2
19
c) 3;15
19
d) 5
19;
8
19
e) N.A.
06) 10
3
2
x
5
x2
a) 2
3;
2
1 b) 3;
2
1
c) {1 ; 2} d) {-1 ; 23} e) N.A.
07) (x–5)2 – (x– 6)
2 = (2x–3)
2 – 118
a) 7;2
7 b) 2;
4
7
c) 2
7;3 d)
2
7;
4
7
e) N.A. 08) 4x
2 + 3x = 22
a) {-7 ; 2} b) 2;2
7
c) 2
1;
4
7 d) 2;
4
11
e) 4;2
11
* Encontrar la suma y el producto de las raíces
de: 09) 3x
2 – 5x + 4 = 0
a) 3
5S ;
3
4P
b) 2
5S ;
4
3P
c) S = 5 ; P = 3 d) S = 5 ; P = ¾ e) N.A.
10) 2x2 – 6x + 18 = 0
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
45
a) S = 3 ; P = 8 b) S = 4 ; P = -9 c) S = 3 ; P = 9 d) S = -3 ; P = -9 e) N.A.
* Encontrar la ecuación que dio origen a: 11) x1 + x2 = 3 ; x1x2 = 4
a) x2 – 3x + 4 = 0
b) 2x22 – 3x + 8 = 0
c) x2 + 3x – 4 = 0
d) x2 – 3x – 4 = 0
e) N.A.
12) x1 + x2 = -5 ; x1x2 = 25
a) x2 – 5x + 25 = 0
b) x2 + 5x + 25 = 0
c) x2 – 3x + 15 = 0
d) x2 – 3x + 25 = 0
e) N.A.
13) x1 + x2 = -2 ; x1 – x2 = 4
a) x2 + 2x – 3 = 0
b) 6x2 + 3x – 2 = 0
c) x2 + x – 2 = 0
d) 3x2 + 5x + 2 = 0
e) N.A.
14) x1 + x2 = 12
5 ; x1x2 =
6
1
a) 3x
2 + 5x + 2 = 0
b) 6x2 + 3x – 2 = 0
c) 12x2 + 5x – 2 = 0
d) 3x2 + 5x + 2 = 0
e) N.A.
15) x1 + x2 = 2
13 ; x1x2 =
2
21
a) 2x
2 – 13x – 21 = 0
b) 2x2 – 3x + 1 = 0
c) 2x2 – 3x – 21 = 0
d) 2x2 – 13x + 11 = 0
e) N.A.
INECUACIONES
Desigualdad: Sean 2 números a y b Q, tal que
a b. Desigualdad es una relación entre a y b que
se representa así:
a > b ; “a es mayor que b”, si (a – b) es
positiva.
a < b ; “a es menor que b”, si (a – b) es
negativa.
Ejemplos:
(1) 7 > 4 es correcto ya que 7 – 4 = 3
(2) 5 > -3 es correcto ya que 5 – (-3) = 8
Tipos de Desigualdad
1. Desigualdad Absolutas
Son aquellas que son indiscutiblemente
ciertas.
Ejemplos: (1) 10 > 0 (2) -8 < 1
o también:
Son aquellas que se verifican para
cualquier número racional que le
asignemos a sus variables.
Ejemplos: (1) x2 0 (2) (x + 1)
2
+ 5 0
2. Desigualdad Relativas
Son aquellas que se verifican o satisface solo
para ciertos valores de sus variables. Estos
reciben también el nombre de inecuaciones:
Ejemplos:
(1) x + 3 > 7 Si x recibe e valor 2;
tendríamos 2 + 3 > 7 ó 5 >
7, lo cual no es cierto. En
este caso; x puede admitir
solo valores mayores que
4. Entonces: x + 3 > 7 es
una inecuación cuya
solución es x > 4.
Propiedades de la Desigualdad.-
1. Siendo una cantidad mayor que otra y esta
mayor que una tercera; entonces la primera
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
46
cantidad será mayor que la tercera
(PRINCIPIO DE TRANSITIVIDAD)
Es decir: Si a > b y b > c; entonces: a > c
Ejemplo:
Si 15 > 6 y 6 > 2; entonces 15 > 2
2. Si una cantidad es mayor que otra; entonces
esta será menor que la primera.
Es decir: Si a > b; entonces b < a
Ejemplo:
(1) Si 18 > 10; entonces 10 < 18
(2) Si 2 < x; entonces x > 2
3. Si ambos miembros de una desigualdad se le
suma o resta una misma cantidad el sentido
de la desigualdad NO SE ALTERA
Si: a > b y m Q
Entonces: a + m > b + m
Ejemplos: (1) Dado la desigualdad
6 > 2
Adicionemos 5 a
6 + 5 > 2 + 5
Cada miembro
11 > 7 ¡Cierto!
(2) Dado la desigualdad
3 > -9
Restemos 4 a cada
miembro 3 – 4 > -9 – 4
-1 > -13
¡Cierto!
4. Si multiplicamos a ambos miembros de una
desigualdad por una misma cantidad positiva;
el sentido de la desigualdad no se altera.
Es decir: Si a > b y m > 0
Entonces: am > bm
Veamos algunos ejemplos:
(1) Dado la desigualdad entonces:
5 > 3 y además; m = 8
5 x 8 > 3 x 8
40 > 24
¡Verdadero!
5. Si multiplicamos a ambos miembros de una
desigualdad por una misma cantidad negativa;
el sentido de la desigualdad. SE ALTERA
Es decir: Si a > b y m < 0
Entonces: am < bm
Ejemplo: Dado la desigualdad
7 > 2 y m = -4
7(-4) < 2(-4)
¡Se invierte el sentido!
-28 < -8
6. Si dividimos a ambos miembros de una
desigualdad por una misma cantidad m
positiva; el sentido de la desigualdad NO SE
ALTERA. Si dicha cantidad m es negativa el
sentido de la desigualdad. ¡SE ALTERA!
Es decir: Si a > b y m > 0
Entonces: m
b
m
a
Ejemplo:
Si: 30 > 18 y m = 6
Entonces: 6
18
6
30 ó 5 > 3
Además: Si a > b y m < 0
Entonces: m
b
m
a
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
47
Ejemplo: Si 12 > 6 y m = -2
Entonces 2
6
2
12 ó -6 < -3
TAREA DE CLASE
01) Si a + 3 0. Calcular el mínimo valor de (a + 5)
Rpta.:
02) Si x 3 ; 9 calcular el máximo valor entero de “x”
Rpta.:
03) Calcular la suma de los números enteros (x),
tal que:
2 x 7
Rpta.: 04) Resolver la inecuación:
x + 8 < 3x + 4
Rpta.: 05) Resolver la inecuación:
2x + 4 > 5x – 8
Rpta.: 06) Resolver la inecuación:
3x + 7x – 5 < 5x + 20
Rpta.:
07) Dar el intervalo de variación de (6x – 5), si: x
2 ; 8]
Rpta.:
08) Dar el intervalo de variación de (-3x + 2), si x
2 ; 8]
Rpta.:
09) Dar el intervalo de variación de: 2x
3, si x
2 ; 8
Rpta.: 10) Sean:
A = {x R / -2 < x 15}
B = {x R / -5 x < 10}
Hallar A B
Rpta.:
11) Del problema anterior, hallar A B
Rpta.: 12) Resolver: –x + 2 < 3x – 9
Rpta.: 13) Determinar el mayor valor entero que verifica:
217
28x
28
17x
Rpta.:
Aprendiendo a resolver……resolviendo
01) Calcular la suma de los números enteros (x) tal que:
2 x 7
a) 27 b) 22 c) 23 d) 25 e) 29
02) Resolver:
5x + 13 16 + 2x
a) x 1 b) x 2
c) x 1 d) x < 2 e) x > 1
03) Hallar el mayor valor de “x” que verifica:
4x – 56 16 – 2x
a) 11 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
04) Si x 2 ; 3 , entonces (x + 5) pertenece al intervalo:
a) 1 ; 2] b) [2 ; 8
c) [3 ; 8 d) 7 ; 8 e) [7 ; 8]
05) Si x [2; 5]. Calcular el mínimo valor de (x – 3)
a) 0 b) -1 c) 2 d) 1 e) 3
06) Si (x + 3) [3 ; 7]. Calcular el máximo valor de “x”
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
48
07) Resolver:
4
6
7
x2
2
3
8
4x2
a) x > 13 b) x < 13 c) x > -14 d) x < -14 e) x > 0
08) Si “x” es un número entero y además 5 < x < 7, calcular (x + 3)
a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15
09) Si: x -1 ; 2 3x – 5 > 2x – 4, por lo tanto x pertenece al intervalo:
a) -2 ; 1 b) -1 ; 2
c) [2 ; 4 d) 1 ; 2 e) N.A.
10) Resolver: (x + 1)
2 + 3 > 0
a) 0 b) {0 ; 1} c) R
– d) R
+
e) R
11) Si x [-2 ; 3], hallar: a + b, si a 2 – 3 x b
a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) 3
12) Resolver: 2[x
2 – 7x + 12] < [x
2 – 4x + 3]
a) 7 ; 3 b) 3 ; 5
c) 3 ; 7 d) 10 ; 12
e)
13) Resolver:
(x2 – 3) (x + 1) – (x
2 + 3) (x - 1) < 0
a) R b) 0 ; 3
c) [0 ; 3] d) R– 0 ; 3
e)
14) Hallar m + 2n, si el conjunto solución de la inecuación cuadrática en x:
x2 + mx + n < 0, es: C.S. = 3;1
a) 4 b) -6 c) 6 d) -8 e) 8
15) Resolver:
x2 + x + 3 > 0
a) R b) Z c) N d) Z
–
e) Q
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA
Una inecuación de segundo grado con una incógnita es aquella desigualdad condicional que reducida a su más simple expresión tiene la forma:
0cbxaxó0cbxax 22
Donde los coeficientes a, b y c son números reales; siendo a 0. Es recomendable que a sea siempre positivo, pero si fuera negativo, se multiplica ambos miembros por -1 para hacerlo positivo, con lo cual se cambia el sentido de la desigualdad. 1
ra Propiedad para completar cuadrados:
Si x2 < a entonces axa
Ejemplos:
* Si x2 < 16 16x16
-4 < x < 4
* Si x2 81 81x81
-9 x 9
* Si x2
49
25
49
25x
49
25
7
5x
7
5
2
da Propiedad
Si x2 > a; entonces axax
Ejemplos:
* Si x2 > 64 64x64x
x > 8 v x < -8
* Si x2 > 3 3x3x
* Si x2
100
36
100
36x
100
36x
10
6x
10
6x
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
49
5
3x
5
3x
TAREA DE CLASE
Resolver: 01) x
2 + 4x > 5
Rpta.:
02) x2 + 6x > 0
Rpta.:
03) x
2 + 8x > 33
Rpta.:
04) x
2 – 10x < -9
Rpta.:
05) x
2 + 2x – 63 < 0
Rpta.: 06) -x
2 + 5x + 4 < 0
Rpta.:
07) 2x2 – x – 3 0
Rpta.:
08) 3x
2 – 2x – 8 0
Rpta.:
09) 2x(x – 3) < 5
Rpta.: 10) (x + 3)
2 – 3x > 8
Rpta.:
11) (x + 5) (3x – 2) x
Rpta.: 12) 4x(x – 5) 12
Rpta.:
Aprendiendo a resolver……resolviendo
14) Resolver: x
2 – 3x – 4 < 0
Rpta.:
15) Resolver:
x2 – 2x – 2 0
Rpta.:
16) x2 – 6x + 9 0
Rpta.:
17) Resolver:
(x – 4)2 > 0
Rpta.:
18) Resolver:
(3x – 1)2 0
Rpta
19) Si x [-2 ; 3], hallar: a + b, si a 2 – 3 x
b
a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) 3 20) Resolver:
2[x2 – 7x + 12] < [x
2 – 4x + 3]
a) 7 ; 3 b) 3 ; 5
c) 3 ; 7 d) 10 ; 12
e) 21) Resolver:
(x
2 – 3) (x + 1) – (x
2 + 3) (x - 1) < 0
a) R b) 0 ; 3
c) [0 ; 3] d) R– 0 ; 3
e)
22) Hallar m + 2n, si el conjunto solución de la inecuación cuadrática en x:
x2 + mx + n < 0, es: C.S. = 3;1
a) 4 b) -6 c) 6 d) -8 e) 8 23) Resolver:
x
2 + x + 3 > 0
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
50
a) R b) Z c) N d) Z
–
e) Q
24) Si “x” es un número entero y además 5 < x < 7, calcular (x + 3)
a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15
25) Si: x -1 ; 2 3x – 5 > 2x – 4, por lo tanto x pertenece al intervalo:
a) -2 ; 1 b) -1 ; 2
c) [2 ; 4 d) 1 ; 2 e) N.A. 26) Resolver:
(x + 1)2 + 3 > 0
a) 0 b) {0 ; 1} c) R
– d) R
+
e) R
VALOR ABSOLUTO
Definición: El valor absoluto de un número real x es aquel número positivo denotado por |x| y definido así:
0x;x0x;x
|x|
TEROREMAS: x R 1) |x| 0 2) |x| = |-x| 3) |xy| = |x| |y|
4) |y|
|x|
y
x ; y 0
5) |x|2 = x
2
6) |x|x2
7) nn|x|x
8) |xn| = |x|
n
|x + y| |x| + |y| (Desigualdad triangular
Ejemplos: |9| = |-9| = 9 |x (x – 1)| = |x| |x – 1| |3(x
2 – 4)| = |3| |x
2 – 4| = 3|x
2 – 4|
|x|2 = 9 x
2 = 9 x = 3 v x = -3
2|8|8 33
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
axax|a||x|
)axax(0aa|x|
Ejemplos: Resolver:
1.- |x| = 4 2. | | 7x
x = 4 v x = -4 C.S. = C.S. = {-4 ; 4}
3.- )x2xx2x(0x|2x|
1xx
02)()(
C.S. =
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
22 ax|a||x|
axaxa|x|
axa0aa|x|
Ejemplos: Resolver: |x| < 4
-4 < x < 4 C.S. = -4 ; 4
TAREA DE CLASE
01) Resolver: |3x – 5| = 8
Rpta.:
02) Resolver: |x| =
Rpta.:
03) Resolver: |x – 2| = |3x + 1|
Rpta.: 04) Resolver: |3x + 7| = |2x – 5|
Rpta.: 05) Resolver: |3x| = 18
Rpta.: 06) Resolver: |x + 5| = 20
Rpta.: 07) Resolver: |x
2 + x – 5| = x
2 + 5
Rpta.:
08) Resolver: |x
2 + 6x + 9| = 0
Rpta.:
09) Resolver: |2x + 1| = 5x + 3
Rpta.: 10) Resolver: |2x
2–2x + 5| = |x
2 + 2|
Rpta.:
-4 40
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
51
11) Resolver: |x2 – 1| = –x
Rpta.:
12) Resolver: |x| > 3
Rpta.: 13) Resolver: |x
2 + x – 20| > -2
Rpta.:
14) Resolver: |5x + 3| < 8
Rpta.: 15) Resolver: |6x – 5| > 1
Rpta.: 16) Resolver: |2x – 1| < x + 1
Rpta.: 17) Resolver: |x–2|
2– 2|x–2|–15 < 0
Rpta.:
18) Resolver: |x + 2| > 2x – 3
Rpta.: 19) Resolver: |3x – 1| < 5x – 3
Rpta.: 20) Resolver: |x + 3| < |3x – 4|
Rpta.:
Aprendiendo a resolver……resolviendo
01) Resolver: |6x – 7| = 5 a) {2 ; 1/3} b) {-2 ; 1} c) {3 ; 1/3} d) {2 ; -1/3} e) {4 ; -1/3}
02) Resolver: |3x – 2| = x a) {-1 ; 2} b) {1 ; 1/3} c) {1 ; 1/2} d) {1 ; 2} e) {1 ; -1/2}
03) Resolver: |2x + 5| = |3x – 2| a) {-1/2 ; 5} b) {7 ; -3/5} c) {-2 ; 5} d) {7 ; -3} e) {-7 ; 3/5}
04) Resolver: |4x – 9| = |5x + 2| a) {7/9 ; -11} b) {9/7 ; 11} c) {-13 ; 7} d) {7 ; -11} e) {7/8 ; -11}
05) Resolver: ||x
2 – x| – x| = x
a) {1 ; 2} b) {0 ; 1} c) {0 ; 1 ; 3} d) {-1 ; 2} e) {-1 ; 2 ; 3}
06) Resolver: |2x + 8| = x + 4 a) {0} b) {-2} c) {-4} d) {-3} e) {-8}
07) Resolver: |x – 1| = |2x + 1| a) {-2 ; 0} b) {1 ; 0} c) {-2 ; 2} d) {-3 ; 0} e) {-2 ; 1}
08) Resolver: |||x| – 2| + 1| = 4 a) {1 ; -1} b) {2 ; -2} c) {5 ; -5} d) {3 ; -5} e) {5 ; -3}
09) Resolver: |2x2 – 3| 4x + 3
a) x [0 ; 3] b) x 0 ; 3 c) x 0 ; 2]
d) x [0 ; 2] e) x [0 ; 8]
10) Resolver: |x – 5| < 4
a) x 1 ; 8 b) x [4 ; 8 c) x 1 ; 9]
d) x [1 ; 8 e) N.A.
11) Resolver: |x2 – 1| < 2
a) 3 ; 3
b) 2 ; 3
c) 3 ; 2
d) 3 ; 5
e) N.A.
12) Resolver: 1x5x4x2
a) x - ; 1/2 1/2 ; +
b) x - ; 1/12 1/2 ; +
c) x - ; 1 1 ; +
d) x - ; 2 3 ; +
e) N.A.
13) Resolver: |2x2 + 3x – 15| > -1
a) 1 ; 2 b) [2 ; +
c) [3 ; + d) R
e) 1 ; 3
14) Resolver: |2x2 – 3| 4x + 3
a) x - ; 0 [3 ; +
b) x [3/4 ; 5] [3 ; +
c) x [-3/2 ; 0] [5 ; +
d) x [-3/4 ; 0] [3 ; +
e) x [-3/4 ; 0] [2 ; +